De cuong on tap toan 9 thi vao 10

<span class='text_page_counter'>(1)</span>PHÒNG GD&ĐT HƯƠNG KHÊ KẾ HOẠCH DẠY ÔN TOÁN 9 NĂM HỌC 2013-2014 Trường THCS Hương Lâm. Giáo viên thực hiện: Nhóm Giáo viên dạy lớp 9. Buæi Néi dung d¹y TiÕt 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30. Căn bậc hai, căn thức bậc hai, hằng đẳng thức Liªn hÖ gi÷a phÐp nh©n, phÐp chia vµ phÐp khai ph¬ng Biến đổi đơn giản, rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai Biến đổi đơn giản, rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai Một số hệ thức về cạnh và đờng cao trong tam giác vuông Mét sè hÖ thøc vÒ c¹nh vµ gãc trong tam gi¸c vu«ng C¸c bµi to¸n tæng hîp vÒ c¨n thøc bËc hai C¸c bµi to¸n tæng hîp vÒ c¨n thøc bËc hai Hàm số bậc nhất, đồ thị hàm số bậc nhất Vị trí tơng đối của đờng thẳng và đờng tròn, dấu hiệu nhận biÕt tiÕp tuyÕn Đờng thẳng song song, đờng thẳng cắt nhau, hệ số góc của đờng thẳng TÝnh chÊt cña hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau TÝnh chÊt cña hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau PT bËc nhÊt 2 Èn, hÖ PT bËc nhÊt hai Èn, gi¶i hÖ PT b»ng PP thÕ Giải hệ PT bằng PP cộng đại số Bµi to¸n tæng hîp vÒ hÖ PT bËc nhÊt 2 Èn Gãc ë t©m, liªn hÖ gi÷a cung vµ d©y Gãc néi tiÕp, gãc t¹o bëi tia tiÕp tuyÕn vµ d©y cung Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp hÖ PT Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp hÖ PT Góc có đỉnh ở bên trong, bên ngoài đờng tròn Hàm số bậc hai, đồ thị hàm số bậc hai Tø gi¸c néi tiÕp Tø gi¸c néi tiÕp- Bµi to¸n tæng hîp vÒ h×nh häc PT bËc hai 1Èn, gi¶i ph¬ng tr×nh bËc hai PT bËc hai 1Èn, gi¶i ph¬ng tr×nh bËc hai Bµi to¸n tæng hîp vÒ h×nh häc HÖ thøc vi-Ðt Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp PT Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp PT Bµi to¸n tæng hîp vÒ PT bËc 2 ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP PHẦN ĐẠI SỐ. CHƯƠNG I:. CĂN BẬC HAI- CÁC BÀI TOÁN RÚT GỌN. 1,2,3 4,5,6 7,8,9 10,11,12 13,14,15 16,17,18 19,20,21 22,23,24 25,26,27 28,29,30 31,32,33 34,35,36 37,38,39 40,41,42 43,44,45 46,47,48 49,50,51 52,53,54 55,56,57 58,59,60 61,62,63 64,65,66 67,68,69 70,71,72 73,74,75 76,77,78 79,80,81 82,83,84 85,86,87 88,89,90.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> A.KIẾN THỨC CƠ BẢN x là căn bậc hai của số không âm a  x2 = a. Kí hiệu: x  a . 2.Điều kiện xác định của biểu thức A 1.Khái niệm:. Biểu thức A xác định  A 0 . 3.Hằng đẳng thức căn bậc hai A khi A 0 A 2  A   A khi A  0 4.Các phép biến đổi căn thức A.B  A. B  A 0; B 0  +) A A   A 0; B  0  B B +) +). A2B  A B.  B 0 . A 1  B B.  A.B 0; B 0 . +). A.B. . . m. A  B m  B 0; A 2 B   2 A  B +) A  B n. A  B n   A 0; B 0; A B  A  B A  B +). . . . . 2. m  n A   m n m.n B với . A 2 B  m 2 m.n  n  m n +) B. CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN: Dạng 1: Tìm điều kiện để biểu thức có chứa căn thức có nghĩa. Với giá trị nào của x thì các biểu thức sau đây xác định: 1)  2 x  3. 2). 2 x2. 3). 4 x 3. 4). 3 1  2x. 2. 5) 3x  4 6) 1  x 7) 8) D¹ng 2: Trục căn thức ở mẫu, Rút gọn biểu thức chứa số. Bài 1: Thực hiện phép tính:. √. 2. 1) √ 13 + √ 25 2) √ 8+ (1− √ 2 ) 3) Bài 2: Trục căn thức ở mẫu: 5 1 √15 1) √5 2) √3 3) 1+ √2 Bài 3: Rút gọn các biểu thức sau: 1) 12  5 3  48 2) 5 5  20  3 45 4) 3 12  4 27  5 48 5) 12  75  27 2. 5 x 6 2. 3 3x  5. √(−11)2 +√ 22. 4). √ 3,6. 490 √5. 4 4) √3. 5). √5−1. 3) 2 32  4 8  5 18 6) 2 18  7 2  162.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> 1. 7) 3 20  2 45  4 5 1. 1 5 2. 9). 51. 1 5 1. 2 2. 12) 1  2 1 +√ 8 (1  2 ) 2  ( 2  3) 2 3  (1  3 ) 2 2 13) 14) 15) D¹ng 2: Rút gọn các biểu thức chưa căn bậc hai tổng hợp. 10). 5 2. . 8) ( 2  2) 2  2 2 1 1 − 11) 3−√ 5 √5+1. . √. x 2x  x  x  1 x  x với ( x >0 và x ≠ 1). Bài 1: Cho biểu thức : A = a) Rút gọn biểu thức A; b) Tính giá trị của biểu thức A tại x 3  2 2 . a4 a 4 a 2 Bài 2. Cho biểu thức : P = a) Rút gọn biểu thức P; b)Tìm giá trị của a sao cho P = a + 1.. . 4 a 2. a ( Với a  0 ; a  4 ). x 1  2 x x  x  x1 x 1 Bài 3: Cho biểu thức A =. a)Rút gọn biểu thức A; b)Với giá trị nào của x thì A< -1. Bài 4: Cho biểu thức A = a) Rút gọn A; b) Tìm x để A = - 1.. (1 . x x x x )(1  ) x 1 x1. 1. . 1. Bài 5: Cho biểu thức : B = 2 x  2 2 x  2 a) Tìm TXĐ rồi rút gọn biểu thức B; b) Tính giá trị của B với x =3; c) Tìm giá trị của x để. A . x 1 x. 1 2.. x 1. Bài 6: Cho biểu thức : P = a) Tìm TXĐ; b) Rút gọn P; c) Tìm x để P = 2.. . ( Với x 0; x 1 ). x 2. . 2 x x 2. . 25 x 4 x. 1 1 a 1  ):(  a  1 a a  2 Q=(. Bài 7: Cho biểu thức: a) Tìm TXĐ rồi rút gọn Q; b) Tìm a để Q dương; c) Tính giá trị của biểu thức biết a = 9- 4 5 .. a 2 ) a1.

<span class='text_page_counter'>(4)</span>  a 1   a  a a  a    2  2 a  a  1  a  1    Bài 8: Cho biểu thức: M = . a) Tìm ĐKXĐ của M; b) Rút gọn M. Tìm giá trị của a để M = - 4. 15 x  11. . 3 x. Bài 9: Cho biểu thức : K = x  2 x  3 1  x a) Tìm x để K có nghĩa; b) Rút gọn K;. . 2 x 3 x 3. 1 c) Tìm x khi K= 2 ;. d) Tìm giá trị lớn nhất của K.  x 2 x  2  x 2  2 x  1   .  x 1 2 x  2 x  1   G=. Bài 10 : Cho biểu thức: a)Xác định x để G tồn tại; b)Rút gọn biểu thức G; c)Tính giá trị của G khi x = 0,16; d)Tìm gía trị lớn nhất của G; e)Tìm x Î Z để G nhận giá trị nguyên; f)Chứng minh rằng : Nếu 0 < x < 1 thì M nhận giá trị dương; g)Tìm x để G nhận giá trị âm; 1  x 2  1   . x  2 x  x 2. Bài 11: Cho biểu thức A = a) Tìm điều kiện xác định và thu gọn A. b) Tìm tất cả các giá trị của x để c) Tìm tất cả các giá trị của x để. A. 1 2. 7 B A 3. đạt giá trị nguyên..  3 a a 4 a  2       a 4 a  4 16  a   Bài 12:Xét biểu thức: P=.  2 a 5  :  1   a  4   (Với a ≥0 ; a ≠ 16). 1)Rút gọn P; nguyên tố.. 3)Tìm các số tự nhiên a để P là số. 2)Tìm a để P = -3;. Q=. 2 √ x−9 x +3 2 √ x +1 −√ − . x−5 √ x +6 √ x−2 3−√ x. Bài 13 : XÐt biÓu thøc a) Rót gän Q. b) Tìm các giá trị của x để Q < 1. c) Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị tơng ứng của Q cũng là số nguyên. Bài 14 . Cho biểu thức :  a 1 P    a1 . a1.  1 4 a   2a a a 1 . , (Với a > 0 , a 1). 2 P a1. 1. Chứng minh rằng: Bài 15: Rút gọn các biểu thức:. 2) Tìm giá trị của a để P = a. 3  6 2 8  1  2 1 2 a) A = 1  1  x+2 x  x 4 . x + 4 x  4 x   b) B =. ( với x > 0, x  4 )..

<span class='text_page_counter'>(5)</span>  a a  a 1   : a  1 a - a  a - 1  Bài 16: Cho biểu thức A =. với a > 0, a  1. a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm các giá trị của a để A < 0. Bµi 17: 1) Rút gọn biểu thức: 1 - a a A    1- a. 2. 1 - a  a      1 - a  với a ≥ 0 và a ≠ 1.. CHƯƠNG II: HÀM SỐ BẬC NHẤT A.KIẾN THỨC CƠ BẢN *Định nghĩa: Hàm số bậc nhất là hàm số có dạng (được cho bởi công thức) y = ax + b, trong đó a, b là các số cho trước (a ≠ 0). + Hàm số y = ax + b, b = 0 có dạng y = ax.(Hàm số y = ax, có đồ thị là đường thẳng luôn đi q ua gốc tọa độ O(0; 0)) *Tính chất: Hàm số y = ax + b xác định với mọi giá trị của x thuộc R và có tính chất như sau: + Nếu a > 0 thì hàm số đồng biến trên R. (Hàm số có đồ thị là đường thẳng, nếu x tăng thì y tăng.) + Nếu a < 0 thì hàm số nghịch biến trên R. (Hàm số có đồ thị là đường thẳng, nếu x tăng thì y giảm) VD: Hàm số y = 3x + 1, đồng biến trên R. (vì a = 3 > 0). Hàm số y = - 2x + 5, nghịch biến trên R. (vì – 2 < 0) *Đồ thị hàm số y = ax + b (a ≠ 0) Đồ thị hàm số y = ax + b (a ≠ 0) là một đường thẳng: - Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b. - Song song với đường thẳng y = ax, nếu b ≠ 0; trùng với đường thẳng y = ax, nếu b = 0. ( Đồ thị hàm số y = ax + b (a ≠ 0) còn gọi là đường thẳng y = ax + b; b là tung độ gốc của đườn g thẳng; a là hệ số gốc) * Cách vẽ đồ thị: - Khi b = 0 thì y = ax có đồ thị đi qua gốc tọa độ O(0; 0) và điểm A (1; a). - Khi b ≠ 0 thì y = ax + b có đồ thị là một đường thẳng đi qua hai điểm. Ta sẽ tìm hai điểm thuộc đồ thị để vẽ đường thẳng như sau: Cho x = 0, ta được y = b, ta có điểm P(0; b) nằm trên trục Oy. ax  b 0  x . b  b Q ;0 a , ta có điểm  a  thuộc trục Ox .. Cho y = 0, thì Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm P và Q ta được đồ thị hàm số y = ax + b. * Nhận biết điểm thuộc hay không thuộc đồ thị hàm số. + Điểm M(xM; yM) là một điểm thuộc đồ thị hàm số y = ax + b, nếu với x = xM thì y = yM. Ví dụ: Điểm A(-1 ; -1) thuộc đồ thị hàm số y = 2x + 1, vì với x = -1 ta có: y = 2.(-1) + 1 = -1. + Điểm M(xM; yM) là một điểm không thuộc đồ thị hàm số y = ax + b, nếu với x = xM thì y ≠ yM..

<span class='text_page_counter'>(6)</span> * Nhận biết hai đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) và y = a’x + b’(a’ ≠ 0) cắt nhau hay song song h ay trùng nhau qua các hệ số. Xét hai đường thẳng: (d1): y = ax + b ; (d2): y = a'x + b' với a ≠ 0; a'≠ 0. -Hai đường thẳng song song ⇔ a = a' và b ≠b' . -Hai đường thẳng trùng nhau ⇔ a = a' và b = b'. ⇔ a ≠ a'. -Hai đường thẳng cắt nhau +Nếu b = b' thì chúng cắt nhau tại b trên trục tung. +Nếu a.a' = -1 thì chúng vuông góc với nhau. * Tìm giao điểm của hai đường thẳng cắt nhau: + Nếu hai đường thẳng cắt nhau có cùng tung độ gốc thì giao điểm là điểm nằm trên trục tung có tung độ là tung độ gốc. + Nếu hai đường thẳng khác tung độ gốc, ta lập phương trình hoành độ giao điểm của hai đường thẳng. Giải phương trình tìm được hồnh độ, thay vào một trong hai hàm số để tìm tung độ giao điểm. * Các bài tập rèn luyện: 1) Cho hàm số y = ax + 3. a) Xác định hệ số góc a, biết rằng đồ thị hàm số đi qua điểm A(2; 6). b) Vẽ đồ thị hàm số trên. 2) Xác định hàm số y = ax + b trong các trường hợp sau: a) a = 2 và đồ thị hàm số cắt trục hồnh tại điểm có hồnh độ bằng 1,5. b) a = 3 và đồ thị hàm số đi qua điểm A = (2; 2). B  1; 3  5  c)Vẽ đồ thị hd song song với đường thẳng y  3x và đi qua điểm 3)+ Với những giá trị nào của m thì hàm số bậc nhất y = (m – 1)x + 3 đồng biến. + Với những giá trị nào của k thì hàm số bậc nhất y = (5 – k)x + 1 nghịch biến. 4) Với giá trị nào của m thì đồ thị các hàm số y = 2x + (3 + m) và y = 3x + (5 – m) cắt nhau tại một điểm trên trục tung. 5) + Tìm giá trị của a để hai đường thẳng y = (a – 1)x + 2 (a ≠ 1) và y = (3 – a)x + 1 (a ≠ 3) so ng song với nhau. + Xác định k và m để hai đường thẳng sau đây trùng nhau: y = kx + (m – 2) (k ≠ 0) ; y = (5 – k)x + (4 – m ) (k ≠ 5).  Các dạng bài tập thường gặp: - Dạng1: Xác dịnh các giá trị của các hệ số để hàm số đồng biến, nghịch biến, Hai đường thẳng song song; cắt nhau; trùng nhau. Phương pháp: Xem lại các ví dụ ở trên. -Dạng 2: Vẽ đồ thị hàm số y = ax + b Xác định toạ độ giao điểm của hai đường thẳng (d1): y = ax + b; (d2): y = a,x + b, Phương pháp: Đặt ax + b = a,x + b, giải phương trình ta tìm được giá trị của x; thay giá trị của x vào (d1) hoặc (d2) ta tính được giá trị của y. Cặp giá trị của x và y là toạ độ giao điểm của hai đường thẳng. Tính chu vi - diện tích của các hình tạo bởi các đường thẳng: Phương pháp: +Dựa vào các tam giác vuông và định lý Py- ta -go để tính độ dài các đoạn thẳng không tính trực tiếp được. Rồi tính chu vi tam giác bằng cách cộng các cạnh. + Dựa vào công thức tính diện tích tam giác để tính S. -Dạng 3: Tính góc  tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Xem lại các ví dụ ở trên. -Dạng 4: Điểm thuộc đồ thị; điểm không thuộc đồ thị: Phương pháp: Ví dụ: Cho hàm số bậc nhất: y = ax + b. Điểm M (x1; y1) có thuộc đồ thị không? Thay giá trị của x1 vào hàm số; tính được y0. Nếu y0 = y1 thì điểm M thuộc đồ thị. Nếu y0  y1 thì điểm M không thuộc đồ thị. -Dạng 5: Viết phương trình đường thẳng: Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng y = ax + b đi qua điểm P (x0; y0) và điểm Q(x1; y1). Phương pháp: + Thay x0; y0 vào y = ax + b ta được phương trình y0 = ax0 + b (1) + Thay x1; y1 vào y = ax + b ta được phương trình y1 = ax1 + b (2) + Giải hệ phương trình ta tìm được giá trị của a và b. + Thay giá trị của a và b vào y = ax + b ta được phương trình đường thẳng cần tìm. -Dạng 6: Chứng minh đường thẳng đi qua một điểm cố định hoặc chứng minh đồng quy: Ví dụ: Cho các đường thẳng : (d1) : y = (m2-1) x + m2 -5 ( Với m 1; m -1 ) (d2) : y = x +1 (d3) : y = -x +3 a) C/m rằng khi m thay đổi thì d1 luôn đi qua 1điểm cố định . b) C/m rằng khi d1 //d3 thì d1 vuông góc d2 c) Xác định m để 3 đường thẳng d1 ;d2 ;d3 đồng qui Giải: a) Gọi điểm cố định mà đường thẳng d1 đi qua là A(x0; y0 ) thay vào PT (d1) ta có : y0 = (m2-1 ) x0 +m2 -5 Với mọi m => m2(x0+1) -(x0 +y0 +5) = 0 với mọi m ; Điều này chỉ xảy ra khi : x0+ 1 = 0 x0 + y0 + 5 = 0 suy ra : x0 = -1 y0 = - 4 Vậy điểm cố định là A (-1; - 4) b) +Ta tìm giao điểm B của (d2) và (d3) : Ta có pt hoành độ : x+1 = - x +3 => x =1 Thay vào y = x +1 = 1 +1 =2 Vậy B (1;2) Để 3 đường thẳng đồng qui thì (d1) phải đi qua điểm B nên ta thay x =1 ; y = 2 vào pt (d1) ta có: 2 = (m2 -1) .1 + m2 -5 m2 = 4 => m = 2 và m = -2 Vậy với m = 2 hoặc m = - 2 thì 3 đường thẳng trên đồng qui.  Bài tập: Bài 1: Cho hai đường thẳng (d1): y = ( 2 + m )x + 1 và (d2): y = ( 1 + 2m)x + 2 1) Tìm m để (d1) và (d2) cắt nhau . 2) Với m = – 1 , vẽ (d1) và (d2) trên cùng mặt phẳng tọa độ Oxy rồi tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng (d1) và (d2) bằng phép tính. Bài 2: Cho hàm số bậc nhất y = (2 - a)x + a . Biết đồ thị hàm số đi qua điểm M(3;1), hàm số đồng biến hay nghịch biến trên R ? Vì sao? Bài 3: Cho hàm số bậc nhất y = (1- 3m)x + m + 3 đi qua N(1;-1) , hàm số đồng biến hay nghịch biến ? Vì sao?.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Bài 4: Cho hai đường thẳng y = mx – 2 ;(m 0) và y = (2 - m)x + 4 ; (m 2) . Tìm điều kiện của m để hai đường thẳng trên: a)Song song; b)Cắt nhau . Bài 5: Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng y = 2x + 3+m và y = 3x + 5- m cắt nhau tại một điểm trên trục tung .Viết phương trình đường thẳng (d) biết (d) song song với (d’): y = 1 x 2 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 10.. Bài 6: Viết phương trình đường thẳng (d), biết (d) song song với (d’) : y = - 2x và đi qua điểm A(2;7). Bài 7: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(2; - 2) và B(-1;3). 1 x2 Bài 8: Cho hai đường thẳng : (d1): y = 2 và (d2): y =  x  2. a/ Vẽ (d1) và (d2) trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy. b/ Gọi A và B lần lượt là giao điểm của (d1) và (d2) với trục Ox , C là giao điểm của (d1) và (d2) Tính chu vi và diện tích của tam giác ABC (đơn vị trên hệ trục tọa độ là cm)? Bài 9: Cho các đường thẳng (d1) : y = 4mx - (m+5) với m 0 (d2) : y = (3m2 +1) x +(m2 -9) a; Với giá trị nào của m thì (d1) // (d2) b; Với giá trị nào của m thì (d1) cắt (d2) tìm toạ độ giao điểm Khi m = 2 c; C/m rằng khi m thay đổi thì đường thẳng (d1) luôn đi qua điểm cố định A ;(d2) đi qua điểm cố định B . Tính BA ? Bài 10: Cho hàm số : y = ax +b a; Xác định hàm số biết đồ thị của nó song song với y = 2x +3 và đi qua điểm A(1,-2) b; Vẽ đồ thị hàm số vừa xác định - Rồi tính độ lớn góc  tạo bởi đường thẳng trên với trục Ox ? c; Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng trên với đường thẳng y = - 4x +3 ? d; Tìm giá trị của m để đường thẳng trên song song với đường thẳng y = (2m-3)x +2 B- BÀI TẬP ÔN LUYỆN Bài 1: Vẽ đồ thị các hàm số sau: a) y = 2x – 5 ; b) y = -2x + 3 Bài 2: Vẽ đồ thị hàm số y = ax2 khi: a) a = 2 ; b) a = - 1. Bài 3: 1)Với giá trị nào của m thì hàm số y = ( m - 2) x+ 3 là hàm số bậc nhất. 2) Với giá trị nào của m thì hàm số y = ( m - 2) x+ 3 đồng biến trên R. 3)Với giá trị nào của m thì hàm số y = ( m - 2) x+ 3 nghịch biến trên R. Bài 4: 1) Với giá trị nào của m để hàm số y = mx2 đồng biến trên R khi x>0. 2) Với giá trị nào của m để hàm số y = mx2 đồng biến trên R khi x<0. Bài 5: Cho hàm số y = (2m - 1) x - m + 2 a) Tìm m để hàm số nghịch biến trên R. b) Tìm m để đồ thị hàm số đi qua A (1; 2) Bài 6: 1) Tính góc tạo bởi các đường thẳng sau với trục Ox. 1) y = 3x -2 2). y = - 2x + 3.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> 2) Tìm tọa độ giao điểm của 2 đường thẳng trên. Bài 7: 1)Trong hệ trục tọa độ Oxy, biết đường thẳng y = ax + b đi qua điểm A( 2; 3 ) và điểm B(-2;1) Tìm các hệ số a và b. 1 2)Trong hệ trục tọa độ Oxy, biết đồ thị hàm số y = ax2 đi qua điểm M (- 2; 4 ). Tìm hệ số a. 1 3) Biết đường thẳng y = ax + b đi qua điểm M ( 2; 2 ) và song song với đường thẳng. 2x + y = 3. Tìm các hệ số a và b..  x + 1. Tính giá trị của hàm số khi x = 3  2 . Bài 8: a) Cho hàm số y =  b) Tìm m để đường thẳng y = 2x – 1 và đường thẳng y = 3x + m cắt nhau tại một điểm nằm trên trục hoành Bài 9: Cho đường thẳng d có phương trình: ax + (2a - 1) y + 3 = 0 Tìm a để đường thẳng d đi qua điểm M(1, -1). Khi đó, hãy tìm hệ số góc của đường thẳng d. Bài 10: 1) Cho đường thẳng d có phương trình: ax + (2a - 1) y + 3 = 0 Tìm a để đường thẳng d đi qua điểm M (1, -1). Khi đó, hãy tìm hệ số góc của đường thẳng d. Bài 10: Trong mặt phẳng, với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d có phương trình: y ( m  1)x  n . 1) Với giá trị nào của m và n thì d song song với trục Ox. 2) Xác định phương trình của d, biết d đi qua điểm A(1; - 1) và có hệ số góc bằng -3. Bài 11: 1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đường thẳng y = ax + b đi qua điểm M (-1; 2) và song song với đường thẳng y = 3x + 1. Tìm hệ số a và b. Bài 12: Cho hai đường thẳng (d): y = - x + m + 2 và (d’): y = (m2 - 2) x + 1 a) Khi m = -2, hãy tìm toạ độ giao điểm của chúng. b) Tìm m để (d) song song với (d’) 3 2. 5 y= x−2 m+1 2. Bài 13: Tìm m để đường thẳng y=−3 x+6 và đường thẳng cắt nhau tại một điểm nằm trên trục hoành Bài 14:a) Cho đường thẳng d có phương trình: y mx  2m  4 . Tìm m để đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ. 2. 2. b) Với những giá trị nào của m thì đồ thị hàm số y (m  m)x đi qua điểm A(-1; 2). Bài 15: Viết phơng trình đờng thẳng (d) biết: a) (d) ®i qua A(1 ; 2) vµ B(- 2 ; - 5) b) (d) đi qua M(3 ; 2) và song song với đờng thẳng () : y = 2x – 1/5. c) (d) đi qua N(1 ; - 5) và vuông góc với đờng thẳng (d’): y = -1/2x + 3. d) (d) ®i qua D(1 ; 3) vµ t¹o víi chiÒu d¬ng trôc Ox mét gãc 300. e) (d) đi qua E(0 ; 4) và đồng quy với hai đờng thẳng (): y = 2x – 3; (’): y = 7 – 3x t¹i mét ®iÓm. g) (d) đi qua K(6 ; - 4) và cách gốc O một khoảng bằng 12/5 (đơn vị dài). Bài 16: Gọi (d) là đờng thẳng y = (2k – 1)x + k – 2 với k là tham số. a) Định k để (d) đi qua điểm (1 ; 6). b) Định k để (d) song song với đờng thẳng 2x + 3y – 5 = 0. c) Định k để (d) vuông góc với đờng thẳng x + 2y = 0..

<span class='text_page_counter'>(10)</span> d) Chứng minh rằng không có đờng thẳng (d) nào đi qua điểm A(-1/2 ; 1). e) Chứng minh rằng khi k thay đổi, đờng thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định. Bài 17: Trong mặt phẳng, với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d có phương trình: y (m  2)x  n. . 1) Với giá trị nào của m và n thì d song song với trục Ox. 2) Xác định phương trình của d, biết d đi qua điểm A(1; - 1) và có hệ số góc bằng -3. Bài 18: 1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đường thẳng y = ax + b đi qua điểm M (-1; 2) và song song với đường thẳng y = 3x + 4. Tìm hệ số a và b. Bài 19: Cho hai đường thẳng (d): y = - x + m + 2 và (d’): y = (m2 - 2) x + 1 a) Khi m = -2, hãy tìm toạ độ giao điểm của chúng. b) Tìm m để (d) song song với (d’) 5 y= x−2 m+1 2. Bài 20: 1) Tìm m để đường thẳng y  3x  12 và đường thẳng cắt nhau tại một điểm nằm trên trục hoành. 2) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, với giá trị nào của a, b thì đường thẳng (d): y = ax + 2 - b và đường thẳng (d’): y = (4 - a)x + b song song với nhau. Bài 21. Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho đường thẳng d có phương trình: 5x + 4y = 2. a) Tìm hệ số góc của đường thẳng d. b) Với giá trị nào của tham số m thì đường thẳng d1: y = (m2 - 4)x + m song song với đường thẳng d. Bài 22: Chứng tỏ rằng đờng thẳng y = (2k – 1)x + k – 2 luụn đi qua 1 điểm cố định với mọi giá trị của k (k lµ tham sè ) Chương III: HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN * Ôn tập kiến thức: + Phương trình bậc nhất hai ẩn: - Phương trình bậc nhất hai ẩn x và y là hệ thức có dạng: ax + by = c, trong đó a, b, c là các số cho trước. (a ≠ 0 hoặc b ≠ 0) - Trong phương trình ax + by = c, nếu giá trị x = x0 và y = y0 là cho vế trái và vế phải của phương trình bằng nhau thì cặp số (x0; y0) được gọi là một nghiệm của phương trình trên. - Phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c luôn luôn có vô số nghiệm. Tập nghiệm của nó được biểu diễn bởi đường thẳng ax + by = c. - Trong phương trình ax + by = c; nếu a ≠ 0, b ≠ 0 thì đường thẳng biểu diễn tập nghiệm là đồ thị hàm số y . a c x b b. * Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn: + Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng:.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> ax  by c a ' x  b ' y c ' Số nghiệm của hệ phương trình (I) dựa vào quan hệ của hai đường.  I . thẳng trong hệ. Với a, b, c, a’, b’, c’ khác 0.  a b    - Nếu hai đường thẳng cắt nhau, hệ phương trình (I) có duy nhất một nghiệm.  a ' b '  a b c     - Nếu hai đường thẳng song song, hệ phương trình vô nghiệm.  a ' b ' c '  a b c     - Nếu hai đường thẳng trùng nhau, hệ phương trình có vô số nghiệm.  a ' b ' c ' . * Cách giải hệ phương trình: + Giải bằng phương pháp thế: + Giải hệ bằng phương pháp cộng đại số: II. BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1: Giải các hệ phương trình sau: 2 x  7 15  1)  x  2 y 2 2).  x 3  3 3 0  3 x  2 y 11.  x  y 5  3)  x  y 1. x + y= 4 2 x − y =5 ¿ {¿ ¿ ¿ ¿. 4).  x  2 y 3  5)  x  y 3. Bài 2: Giải các hệ phương trình sau:  2 x  3 y 7  1) 3x  2 y 4.  2 x  y 7  2)  x  y 2.  x  y 43  3x  2 y 19. 3x  y 1  6)  x  2y 5. 7).  x  y 1  11) 2 x  3 y 7. 2 x  y 7 .  x  2 y  1 12) . 3x + 2y =1  16) 4x + 5y = 6.  x  y 21  17) 2 x  y 9. 4 x  3 y 6  3 y  4 x 10 3)  3x + 2y = 1  8) 4x + 5y = 6  2 x  y 4  13) 3 x  y 3 2 x  3 y 13  18) 3x  y 9. Bài 3: Giải các hệ phương trình sau: 3 x + y =3 3x  2y 1 2 x − y =7 .  ¿  x  3y  2  1) 2) ¿ ¿ ¿¿ 3) {. 6  x  y  8  2x  3y 6.  5  y  x  5  3x  2y. 2 x− y=7 x+ y=2. {. 3x + 2y = 1  y  x 2   4) 5x  3y 10 5) 4x + 5y = 6 ìïï 2 x - 5 y = 9 2 x  3 y 1 í  9) ïïî 3x + y = 5 10) 4 x  3 y 11. 14).  x  2 y 5  3 x  y  1. 19). x −2 y =5 2 x + y =1 ¿ {¿ ¿ ¿ ¿.  2x  y 5  4)  x  2 y 4.  2  2x  1  1,5 3  y  2   6x 7.  11,5  4  3  x  2y   5  x .  2 x  y 5  15) 3x  y 10 2 x  y  1  20)  x  2 y 7.  2x  y 3  5)  2x  y 1. 1 1  x  y 5    2  3  5 8)  x y.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> 2 6  x  y 11    4  9 1  9)  x y. 10). 2 1  x  y 2    6  2 1  x y. 3x  5y 3 13)  5x  2y 1.  x  6y 17 17)  5x  y 23. 11). 2  x  y  5  x  y   20  20  x  y  x  y 7 . 2x  3y  2 14)  3x  2y  3. 40x  3y 10 18)  20x  7y 5.  x 2  xy  4x  6  2 12)  y  xy  1. 3u  v 8 15)  7u  2v 23. 1 1  x  y  2 0 19)  3 4 5x  y 11. y x  1  16)  5 15   2x  5y 10. 4a  5b  10 0  20)  a b 1  5  3  3 0. Bài 4: Giải các hệ phương trình sau:.  x  y 5  1)  xy 6. Bài 5:. 2 x  2 y 5  2) 4 xy 1.  x  y 6  3)  xy 7 4) 2 x  y 3  1) Giải hệ phương trình:  x  3 y 4. 2 x    4   x. 3 4 y 2 1 1 y 2. 2) Xác định các giá trị của m để hệ phương trình sau vô nghiệm: (m  2) x  ( m  1) y 3   x  3 y 4. ( m là tham số). (m  1)x  (m  1)y 4m  Bài 6. Cho hệ phương trình x  (m  2)y 2 , với m Î R. a. Giải hệ đã cho khi m  –3 b. Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm duy nhất. Tìm nghiệm duy nhất đó. mx  y 3  Bài 7: Cho hệ phương trình 4 x  my 6. 1) Giải hệ pt với m= -2 2) Với giá trị nào của thì hệ có nghiệm duy nhất? 3) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất thỏa mãn x+ y = 2013. 2x  y m  1  Bài 8: Tìm m để hệ phương trình 3x  y 4m  1 có nghiệm (x; y) thỏa mãn điều kiện x + y > 1.  2 x  ay  4  Bài 9: Cho hệ phương trình : ax  3 y 5. 1. Giải hệ phương trình với a=1 2. Tìm a để hệ phương trình có nghiệm duy nhất..

<span class='text_page_counter'>(13)</span> Bài 10: Với giá trị nào của tham số m thì  x  y m  2  3x  5y 2m a)  có nghiệm nguyên.. b). mx  2y 1  3x  y 3. vô nghiệm..  x  ay 2  Bµi 11. Cho hÖ ph¬ng tr×nh ax  2 y 1. Tìm các giá trị của a để hệ phơng trình đã cho có nghiệm thỏa mãn điều kiện x > 0, y<0 Bài 12. Tìm các giá trị của a và b để đồ thị hàm số y = ax + b đi qua điểm A(-5; -3) và điểm B(3; 1) Bài 13. Tìm các giá trị của m để mx  y 5  a. HÖ ph¬ng tr×nh: 2 x  3my 7 cã nghiÖm tháa m·n ®iÒu kiÖn x > 0, y < 0 mx  y 3  b. HÖ ph¬ng tr×nh: 4 x  my 6 cã nghiÖm tho¶ m·n ®iÒu kiÖn x > 1, y > 0. x  y  m  2 x  my  0 Bµi 14: Cho hệ phương trình . (1). Giải hệ phương trình (1) khi m = –1 . Xác định giá trị của m để: x = 1 và y = 1 là nghiệm của hệ (1). Hệ (1) vô nghiệm. Tìm nghiệm của hệ phương trình (1) theo m. Tìm m để hệ (1) có nghiệm (x, y) thỏa: x + y = 1. HD: 1. Khi m = – 1, hệ (1) có nghiệm x = 1; y = 2. 2a) Hệ (1) có nghiệm x = 1 và y = 1 khi m = 2. 1 1 m a b c     2b) Hệ (1) vô nghiệm khi: a ' b ' c '  2  m 0 . 1 1  2   m  m  2 1  m  0  m  0  m = – 2: Hệ (1) vô nghiệm.   2. m2 2m Hệ (1) có nghiệm: x = m  2 ; y = m  2 . m2 2m Hệ (1) có nghiệm (x, y) thỏa: x + y = 1  m  2 + m  2 = 1  m 1(thoûa ÑK coùnghieäm)   2   m  2(khoâng thoûa ÑK coùnghieäm). m +m–2=0 Vậy khi m = 1, hệ( 1 có nghiệm (x,y) thỏa: x + y = 1. x  y  k  2  2 x  4 y 9  k Bài 15: Cho hệ phương trình . (1). ..

<span class='text_page_counter'>(14)</span> 1)Giải hệ (1) khi k = 1. 2) Tìm giá trị của k để hệ (1) có nghiệm là x = – 8 và y = 7. 3)Tìm nghiệm của hệ (1) theo k. HD: 1. Khi k = 1, hệ (1) có nghiệm x = 2; y = 1. Hệ (1) có nghiệm x = –8 và y = 7 khi k = – 3 . 5k  1 5  3k Hệ (1) có nghiệm: x = 2 ; y = 2 . x  y  3   2 x  my 1. Bài 16: Cho hệ phương trình (1) Giải hệ phương trình (1) khi m = –7 . Xác định giá trị của m để: x = – 1 và y = 4 là nghiệm của hệ (1). Hệ (1) vô nghiệm. Tìm nghiệm của hệ phương trình (1) theo m. HD: 1. Khi m = – 7, hệ (1) có nghiệm x = 4; y = – 1. 2a) Hệ (1) có nghiệm x = –1 và y = 4 khi m = 2b) Hệ (1) vô nghiệm khi: m = – 2. 3m 1 5 3. Hệ (1) có nghiệm: x = m  2 ; y = m  2 . mx  2 y  1  2 x  3 y  1. Bài 17: Cho hệ phương trình Giải hệ phương trình (1) khi m = 3 .. . . 3 4.. (1). 1 2 2 và y = 3 .. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm x = 3. Tìm nghiệm của hệ phương trình (1) theo m.. 1 5 HD: 1. Khi m = 3, hệ (1) có nghiệm x = 13 ; y = 13 . 1 2 2   2a) Hệ (1) có nghiệm x = 2 và y = 3 khi m = 3 . . 2b) Hệ (1) vô nghiệm khi: m = –2. 1 m2 Hệ (1) có nghiệm: x = 3m  4 ; y = 3m  4 . x  y  4  2 x  3 y  m. Bài 18: Cho hệ phương trình Giải hệ phương trình (1) khi m = –1.. x  0  y  0. (1). Tìm m để hệ (1) có nghiệm (x; y) thỏa . HD: 1. Khi m = –1, hệ(1) có nghiệm: x = 13 và y = – 9. 2. Tìm: Nghiệm của hệ (1) theo m: x = 12 – m ; y = m – 8 ..

<span class='text_page_counter'>(15)</span> x  0 12  m  0   y  0  m  8  0   Theo đề bài: 2 x  y  3x  2 y. Bài 19: Cho hệ phương trình Giải hệ phương trình khi m = – 1.. m  12  m  8  m < 8. 3m  1  2m  3 x  1  y  6. Với giá trị nào của m thì hệ pt có nghiệm (x; y) thỏa HD: 1. Khi m = – 1 , hệ pt có nghiệm: x = 1 và y = – 4. 2. Tìm: Nghiệm của hệ (1) theo m: x = 4m + 5 ; y = – 9 – 5m . x  1  Theo đề bài:  y  6 . .. m   1  m   3  – 3 < m < – 1 ..  2mx  y  5  Bài 20: Cho hệ phương trình :  mx  3 y 1. (1). Giải hệ (1) khi m = 1. Xác định giá trị của m để hệ (1): Có nghiệm duy nhất và tìm nghiệm duy nhất đó theo m. Có nghiệm (x, y) thỏa: x – y = 2. HD: 1. Khi m = 1, hệ (1) có nghiệm: x = – 2 ; y = 1.. 2a) Khi m  0, hệ (1) có nghiệm: 2b) m =. . 2   x  m   y 1 . .. 2 3.. mx  2 y  m  Bài 21: Cho hệ phương trình :  2 x  y  m  1. ( m là tham số) (I). Khi m = – 2, giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng. Tính giá trị của tham số m để hệ phương trình (I) có nghiệm duy nhất và tính nghiệm duy nhất đó theo m. HD:. 2 1 a) Khi m = – 2, hệ (I) có nghiệm: x = 3 ; y = 3 .. b) Hệ (I) có nghiệm duy nhất khi m 4. x. m 2  3m 3m  2 y m 4 ; m 4. Khi đó hệ(I) có nghiệm duy nhất: Chương IV: HÀM SỐ y = ax2 (a ≠ 0) PHƯƠNG TRÌNH BẬC2 HAI MỘT ẨN *Hàm số y ax  a 0  2. + Tính chaát cuûa haøm soá baäc hai y ax  a 0  - Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x < 0 và đồng biến khi x > 0..

<span class='text_page_counter'>(16)</span> - Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến khi x < 0 và nghịch biến khi x > 0. - Neáu a > 0 thì y > 0 x , y = 0 khi x = 0. Giaù trò nhoû nhaát cuûa haøm soá laø y = 0. - Nếu a < 0 thì y < 0 x , y = 0 khi x = 0. Giá trị lớn nhất của hàm số là y = 0. + Đồ thị hàm số y = ax2 (a ≠0) là một đường cong đi qua gốc tọa độ và nhận trục Oy làm trục đối xứng. Đường cong đó được gọi là một Parabol với đỉnh O. - Nếu a > 0 thì đồ thị nằm trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ thị. - Nếu a < 0 thì đồ thị nằm dưỡi trục hoành, O là điển cao nhất của đồ thị. y ax 2 a 0.   + Cách vẽ đồ thị hàm số - Tìm một số điểm thuộc đồ thị bằng cách cho x một số giá trị để tìm các giá trị của y tương ứng.( cho x = -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; …) - Vẽ hệ trục tọa độ Oxy, biểu diễn các điểm thuộc đồ thị tìm được ở trên. - Nối các điểm đó để được đường cong Parabol. * Các bài tập rèn luyện: Bµi 1 Cho hàm số y = x2 . a) Vẽ đồ thị hàm số đó. b) Tìm các giá trị f(- 8), f(- 13),f(1,5). Bµi 2 Cho hàm số y = ax2, điểm M(2; 1) thuộc đồ thị hàm số. a) Tìm hệ số a. b) Điểm A(4; 4) có thuộc đồ thị không? c) Tìm tung độ của điểm thuộc Parabol có hồnh độ x = -3. d) Tìm các điểm thuộc Parabol có tung độ y = 8. Bài 3: a)Biết đồ thị hàm số y = ax2 đi qua điểm (- 2 ; -1). Hãy tìm a và vẽ đồ thị (P) đó. b) Gọi A và B là hai điểm lần lợt trên (P) có hoành độ lần lợt là 2 và - 4. Tìm toạ độ A và B từ đó suy ra phơng trình đờng thẳng AB. Bµi 4 : Cho hµm sè víi (P).. 1 y=− x 2 2. , Lập phơng trình đờng thẳng (d) qua A(- 2; - 2) và tiếp xúc. 1 y=− x 2 4 Bµi 5: Trong cïng hÖ trôc vu«ng gãc, cho parabol (P): và đờng thẳng (D): y = mx - 2m. - 1.. a) Vẽ độ thị (P). b) T×m m sao cho (D) tiÕp xóc víi (P). c) Chứng tỏ rằng (D) luôn đi qua một điểm cố định A thuộc (P). 1 y=− x 2 2. Bµi 6: Cho hµm sè a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số trên. b) Trên (P) lấy hai điểm M và N lần lợt có hoành độ là - 2; 1. Viết phơng trình đờng th¼ng MN. c) Xác định hàm số y = ax + b biết rằng đồ thị (D) của nó song song với đờng thẳng MN vµ chØ c¾t (P) t¹i mét ®iÓm. Bµi 7: Trong cùng hệ trục toạ độ, cho Parabol (P): y = ax2 (a  0) và đờng thẳng (D): y = kx + b. 1) T×m k vµ b cho biÕt (D) ®i qua hai ®iÓm A(1; 0) vµ B(0; - 1). 2) Tìm a biết rằng (P) tiếp xúc với (D) vừa tìm đợc ở câu 1). 3)Vẽ (D) và (P) vừa tìm đợc ở câu 1) và câu 2). C. 4) Gọi (d) là đờng thẳng đi qua điểm. ( 32 ;−1). vµ cã hÖ sè gãc m.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> a) ViÕt ph¬ng tr×nh cña (d). b) Chứng tỏ rằng qua điểm C có hai đờng thẳng (d) tiếp xúc với (P) (ở câu 2) và vuông gãc víi nhau. Bài 8. Với giá trị nào của a thì đồthị hàm số y = ax2 (a 0 )đi qua điểm M(1;-1). Bài 9: Cho (P): y = x2 1. Vẽ (P) trên hệ trục Oxy. 2. Trên (P) lấy hai điểm A và B có hoành độ lần lượt là 1 và 3. Hãy viết phương trình đường thẳng đi qua A và B. 3. Lập phương trình đường trung trực (d) của AB. 4. Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P). 5.Tính diện tích tứ giác có các đỉnh là A, B và các điểm 1; 3 trên trục hoành. 2 Bài 10: Cho hai hàm số: y=x và y=x +2 1) Vẽ đồ thị của hai hàm số này trên cùng một hệ trục Oxy. 2) Tìm toạ độ các giao điểm M, N của hai đồ thị trên bằng phép tính. CÁC BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Giải phương trình bậc hai dạng ax2 + bx + c = 0 (a 0) (1) a) Nhẩm nghiệm:  x1 1   x2  c a. a + b +c = 0  pt (1) có 2 nghiệm:   x1  1   x2  c a. a – b +c = 0  pt (1) có 2 nghiệm:  b) Giải với  ' : b Nếu b = 2b’  b’ = 2   ' = (b’)2 – ac.  b' '  b' ' x1  x2  a a Nếu  ' > 0  phương trình có 2 nghiệm phân biệt: ;  b' x1  x2  a . Nếu  ' = 0  phương trình có nghiệm kép: Nếu  ' < 0  phương trình vô nghiệm. c) Giải với  : Tính  :  = b2 – 4ac.  b   b  x1  x2  2a ; 2a Nếu  > 0  phương trình có 2 nghiệm phân biệt: b x1  x2  2a . Nếu  = 0  phương trình có nghiệm kép: Nếu  < 0  phương trình vô nghiệm.. 2. Hệ thức Vi ét và ứng dụng:.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> a) Định lý: Nếu x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 0) thì ta có: b  S x1  x2  a   P  x x c 1 2  a .. u  v S  b) Định lý đảo: Nếu u.v P  u, v là 2 nghiệm của phương trình x2 – Sx + P = 0 (ĐK: S2 – 4P  0).. * Một số hệ thức khi áp dụng hệ thức Vi-ét: 2 2 2 Tổng bình phương các nghiệm: x1  x2 ( x1  x2 )  2 x1 x2 = S2 – 2P.. 1 1 x x S   1 2  x1 x2 P. Tổng nghịch đảo các nghiệm: x1 x2 x12  x22 S2  2P 1 1    2 2 2 x x ( x x ) P2 . 1 2 1 2 Tổng nghịch đảo bình phương các nghiệm: 2 2 Bình phương của hiệu các nghiệm: ( x1  x2 )  ( x1  x2 )  4 x1 x2 = S2 – 4P.. Tổng lập phương các nghiệm: x1  x2  ( x1  x2 )  3 x1 x2 ( x1  x2 ) = S3 – 3PS Ví dụ: Cho phương trình x2 – 12x + 35 = 0. Hãy tính giá trị của các biểu thức sau: 3. 3. 3. 1 1  x x2 . 1 b). a) x  x . c) ( x1  x2 ) d) x1  x2 Giải: Phương trình có  ' = 1 > 0  pt có 2 nghiệm, áp dụng hệ thức Vi-ét cho pt (1): 2 1. 2 2. 2. 3. 3. b   S x1  x2  a 12   P x x  c  35 1 2  a . 2 2 2 a) x1  x2 ( x1  x2 )  2 x1 x2 = S2 – 2P = 122 – 2.35 = 74.. 1 1 x x S 12   1 2  x1 x2 P = 35 . b) x1 x2 ( x1  x2 )2  ( x1  x2 )2  4 x1 x2 S2 -4P. c). = 122 – 4.35 = 4.. d) x1  x2  ( x1  x2 )  3 x1 x2 ( x1  x2 ) = S3 – 3PS = 123 – 3.35.12 = 468. 3.Tìm hệ thức giữa hai nghiệm độc lập đối với tham số:(Tìm hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm x1, x2 không phụ thuộc vào tham số). * Phương pháp giải: Tìm điều kiện để phương trình đã cho có nghiệm (  '  0 ;  0 hoặc a.c < 0). 3. 3. 3. b  S  x  x  1 2  a  c  P x x  1 2 a Lập hệ thức Vi-ét cho phương trình  .. Khử tham số (bằng phương pháp cộng đại số) tìm hệ thức liên hệ giữa S và P  Đó là hệ thức độc lập với tham số. Ví dụ: Cho phương trình 2x2 + (2m – 1)x + m – 1 = 0 (1) (m là tham số)..

<span class='text_page_counter'>(19)</span> CMR: Phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m. Gọi x1, x2 là 2 nghiệm của pt (1). Tìm hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm không phụ thuộc vào m. Giải: Phương trình (1) có  = b2 – 4ac = + (2m – 1)2 – 4.2.(m – 1) = 4m2 – 12m + 9 = (2m – 3)2  0,  m. Vậy phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m. b  2m  1  S x1  x2  a  2  2S  2m 1 P x x  c  m  1  1 2 a 2  2 P  m  1 Áp dụng hệ thức Vi-ét cho phương trình (1):  2S  2m  1   4 P  2m  2  2S + 4P = -1. Hay: 2(x + x ) + 4x x = -1 : Đây là hệ thức cần tìm. 1. 2. 1 2. 4. Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng – Lập phương trình bâc hai khi biết hai nghiệm của nó: * Phương pháp giải:. u  v S  Nếu 2 số u và v c ó: u.v P  u, v là hai nghiệm của phương trình: x2 – Sx + P = 0 (*).. Giải pt (*): u x1 u x2   v x2    '  + Nếu > 0 (hoặc > 0) pt (*) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2. Vậy hoặc v x1 . b' b'   + Nếu  ' = 0 (hoặc  = 0)  pt (*) có nghiệm kép x1 = x2 = a . Vậy u = v = a . + Nếu  ' < 0 (hoặc  < 0)  pt (*) vô nghiệm. Vậy không có 2 số u, v thỏa đề bài.. Ví dụ 1: Tìm 2 số u,v biết u + v = 11 và u.v = 28 Giải: Theo đề bài  u, v là hai nghiệm của phương trình: x2 – Sx + P = 0  x2 – 11x + 28 = 0(*) Phương trình (*) có  = 9 > 0  u  7  Vậy: v  4 hay. u  4  v  7.  x1 7   3   x2 4 .. Ví dụ 2: Cho hai số a = 3 +1 và b = 3 – 3 . Viết phương trình bậc hai có hai nghiệm là a và b. Giải: a + b = ( 3 +1) + (3 – 3 ) = 4. a.b = ( 3 +1). (3 – 3 ) = 2 3 . Suy ra: a, b là 2 nghiệm của phương trình: x2 – Sx + P = 0  x2 – 4x + 2 3 = 0: Đây là pt cần tìm..

<span class='text_page_counter'>(20)</span> 5. Chứng minh phương trình bậc hai luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của tham số m: * Phương pháp giải: Lập biệt thức  ' (hoặc  ). Biến đổi  ' đưa về dạng :  ' = (A  B)2 + c > 0,  m (với c là một số dương) Kết luận: Vậy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi tham số m. 6. Chứng minh phương trình bậc hai luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m: * Phương pháp giải: Lập biệt thức  ' (hoặc  ). Biến đổi  ' đưa về dạng :  ' = (A  B)2  0,  m. Kết luận: Vậy phương trình đã cho luôn nghiệm với mọi tham số m. 7. Biện luận phương trình bậc hai theo tham số m: * Phương pháp giải: Lập biệt thức  ' (hoặc  ). Biện luận: + Phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi:  ' > 0  giải bất pt  tìm tham số m  kết luận. + Phương trình có nghiệm kép khi  ' = 0  giải pt  tìm tham số m  kết luận. + Phương trình vô nghiệm khi  ' < 0  giải bất pt  tìm tham số m  kết luận. + Phương trình có nghiệm khi  '  0  giải bất pt  tìm tham số m  kết luận. * Phương trình có 2 nghiệm trái dấu khi: a.c < 0  giải bất pt  tìm tham số m  kết luận. 8. Xác định giá trị nhỏ nhất của biểu thức: * Phương pháp giải: Đưa biểu thức P cần tìm về dạng: P = (A  B)2 + c  P = (A  B)2 + c  c. Giá trị nhỏ nhất của P: Pmin = c khi A  B = 0  giải pt  tìm tham số m  kết luận. 9. Xác định giá trị lớn nhất của biểu thức: * Phương pháp giải: Đưa biểu thức Q cần tìm về dạng: Q = c – (A  B)2  Q = c – (A  B)2  c Giá trị nhỏ nhất của Q: Qmax = c khi A  B = 0  giải pt  tìm tham số m  kết luận. *Các phương trình quy về phương trình bậc hai: + Phương trình trùng phương: 4 2 Phöông trình truøng phöông laø phöông trình coù daïng: ax  bx  c 0 . Cách giải - Ñaët t = x2 ( t 0). - Chuyển phương trình đã cho theo ẩn t đã đặt. - Giaûi phöông trình theo t, tìm giaù trò cuûa t. - Giải tìm x theo giá trị của t tìm được ở trên. II. BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1: Giải các phương trình sau:. 1) 3x 2  2x 0. 2) 4x 2  8x 0 3) . 1 2 x  8 0 2. Bài 2: Giải các phương trình sau: 1) x2 – 6x + 14 = 0 ; 2) 4x2 – 8x + 3 = 0 ; 2 4) -30x + 30x – 7,5 = 0 ; 5) x2 – 4x + 3 = 0 ;. 4)3x 2  27 0 3) 3x2 + 5x + 2 = 0 ; 6) x2 – 7x – 8 = 0 ;.

<span class='text_page_counter'>(21)</span> 7) 3x2 – 11x + 8 = 0 ; 6) 5x2 + 24x + 19 = 0 ; 12) x2 – 10x + 21 = 0.. 8) 5x2 – 17x + 12 = 0 ; 10) x2 – 11x + 30 = 0 ;. 9) 3x2 – 19x – 22 = 0 ; 11) x2 – 12x + 27 = 0 ;. 2 13) x  2 2 x  7 0. 2 14) 2 x  x  3 0. 2. 16) x  6 x  9 0. 15) 2x2 – 7x + 3 = 0.. 18): x2 – 5x + 4 = 0. 19) x2 – (1 + =0; Bài 3: Giải các phương trình sau: 1) (x + 1)(x + 2) = 0 5) 9x4 + 5x2 – 4 = 0. 9). x  5 2 x  18. √3. )x +. √3. x  1 5 2) 4 2 6) x  x  20 0 10). 2 17). x  12 x  36 0. = 0 ; 20) (. √3. + 1)x2 + 2. √3. x+. √3. -1. 3) 2 x  4  x 4) x  1 x  1 4 2 7) x  16 x  32 0 8) x4 + x2 – 6 = 0 2x x2  x  8  11) x  1 ( x  1)( x  4). x 2  4 x  4 x 1. Bài 4: Cho Phương trình 2x2 – 5x – 3 = 0 có 2 nghiệm x1, x2. Tính giá trị 1) A = x1 + x2 - 2x1x2 5) A = x12 – x1x2 + x22. 1 1  x x2 1 2) B =. x1 x2  x x1 2 3) C=. 4) D= x12 + x22. 3 3 6) E = x1 x2  x2 x1  21. Bài 5: Tìm tham, số thực m để phương trình x 2 – 2mx + m – 1 = 0 có một nghiệm bằng 1. Tính nghiệm còn lại. Bài 6: : Cho phương trình : x2 + 2mx + m2 – 2m + 4 = 0 1. Giải phơng trình khi m = 4 2. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x 2  4 x  m 2  3 0  *. Bài 7: Cho phương trình (ẩn số x): . 1. Chứng minh phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. 2. Tìm giá trị của m để phương trình (*) có hai nghiệm x1 , x2 thỏa x2  5 x1 . Bài 8: Cho ph¬ng tr×nh: x2 – 2(m-1)x + m2 – 6 =0 ( m lµ tham sè). a) Gi¶i ph¬ng tr×nh khi m = 3 2. 2. b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1  x2 16 Bài 9: 1. Giải phương trình x 2 – 7x – 8 = 0 2. Cho phương trình x 2 – 2x + m – 3 = 0 với m là tham số. Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn điều kiện. x13 x 2  x1x 32  6. 2 Bài 10: Cho phương trình x  2(m  1)x  m  2 0 , với x là ẩn số, m Î R a. Giải phương trình đã cho khi m  – 2. b. Giả sử phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1 và x 2 . Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 và x 2 mà không phụ thuộc vào m.. Bài 11: Cho phương trình x2 – 2(m – 3)x – 1 = 0 a) Giải phương trình khi m = 1 b) Tìm m để phương trình có nghiệm x1 ; x2 mà biểu thức 2 A = x1 – x1x2 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ nhất đó. Bài 12: Cho phương trình x2 – 2(m + 1)x + 4m = 0 a) Giải phương trình (1) với m = 2.. (1).

<span class='text_page_counter'>(22)</span> b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm x1, x2 thỏa mãn (x1 + m)(x2 + m) = 3m2 + 12 Bài 13: Cho phương trình bậc hai ẩn x, tham số m: x2 + 2mx – 2m – 3 = 0 (1) a) Giải phương trình (1) với m = -1.. 2. 2. b) Xác định giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 sao cho x 1 + x 2 nhỏ nhất. Tìm nghiệm của phương trình (1) ứng với m vừa tìm được. Bài 14: Cho phương trình (ẩn x): x2– ax – 2 = 0 (*) 1. Giải phương trình (*) với a = 1. 2. Chứng minh rằng phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của a. 3) Tìm m để Pt có 2 nghiệm trái dấu. 2 Bài 15 : Chứng minh rằng pt: x + mx + m - 1 = 0 luôn có nghiệm với mọi giá trị của m. Giả sử x1,x2 là 2 nghiệm của pt đã cho,tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức. B = x 21 + x 2 2 - 4.( x1 + x2 ) Bài 16: Cho phương trình: mx2 – (4m -2)x + 3m – 2 = 0 (1) ( m là tham số). 1) Giải phương trình (1) khi m = 2. 2) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị của m. Bài 17: Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình x2 + 4x – m2 – 5m = 0. Tìm các giá trị của m sao cho: |x1 – x2| = 4. Bài 18 Cho phương trình x2 – 2mx – 2m – 5 = 0 (m là tham số) 1/ Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m Bài 19: Cho phương trình: x2 – 4x + m + 1 = 0 (m là tham số). 1) Giải phương trình với m = 2. 2) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu (x 1 < 0 < x2). Khi đó nghiệm nào có giá trị tuyệt đối lớn hơn? Bài 20: Cho ph¬ng tr×nh bËc hai Èn x: x2-2(m-1)x+2m-4=0 (m lµ tham sè) (1) a) Gi¶i ph¬ng tr×nh (1) khi m = 3 b)Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh (1) lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt víi mäi m. c) Gäi x1,x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1). T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A = x12+x22 x 2  2  m  1 x  m 2  3 0 Bài 21: Cho phương trình . 1) Tìm m để Pt có một nghiệm bằng 1. tìm nghiệm kia. 2) Tìm m để phương trình có nghiệm. 3) Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình đã cho, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A x1  x2  x1 x2 . Bài 22: Cho phương trình bậc hai tham số m : x2 -2 (m-1) x - 3 = 0 a. Giải phương trình khi m= 2 b. Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x 1; x2 với mọi giá trị x1 x  22 m  1 2 của m. Tìm m thỏa mãn x2 x 1. Bài 23:Giá trị của m để phương trình x2 – (m+1)x - 2 = 0 có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn x12x2 + x1x22 = 4 là... 2 Bài 24 Cho phương trình x −2 ( m−1 ) x+m−3=0 (m là tham số) a) Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt. b) Gọi hai nghiệm của phương trình là x 1 ,x 2 . Xác định m để giá trị của biểu thức A=x 2 + x 1. 22. nhỏ nhất.

<span class='text_page_counter'>(23)</span> Bài 25.. Cho phương trình bậc hai x2 – (m – 3)x – 2m = 0 (1). Giải phương trình (1) khi m = – 2. CMR: Phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. Tìm hệ thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m. HD: 1. Khi m = –2, ta có phương trình: x2 + 5x + 4 = 0, pt có a – b + c = 1 –5 + 4 = 0   x1  1  c 4  x2    4  a 1. Vậy khi m = – 2, phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt: x1 = –1, x2 = – 4. 2.  = m2 + 2m + 9 = (m + 1)2 + 8 > 0, m . 3. Hệ thức: 2S + P = – 6  2(x1 + x2) + x1x2 = – 6. Bài 26 Cho phương trình bậc hai x2 – (m + 1)x + m = 0 (1). Giải phương trình (1) khi m = 3. CMR: Phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m. Trong trường hợp (1) có hai nghiệm phân biệt.Tìm hệ thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m. HD: 1. Khi m = 3, ta có phương trình: x2 – 4x + 3 = 0, pt có a + b + c = 1 +(–4) + 3 = 0  x1 1  c 3  x2   3   a 1 .. Vậy khi m = 3, phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt: x1 = 1, x2 = 3. 2.  = (m – 1)2 0, m . 3. m  1  ĐK để pt (1) có 2 nghiệm phân biệt: (m – 1)2 > 0  |m – 1| > 0   m  1 . Hệ thức: S – P = 1  x1 + x2 – x1x2 = 1.. Bài 27: Cho phương trình 2x2 + (2m – 1)x + m – 1 = 0 (m là tham số) (1) Giải phương trình (1) khi m = 2. CMR: Phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m. Trong trường hợp (1) có hai nghiệm phân biệt.Thiết lập hệ thức liên hệ giữa x1, x2 độc lập với m. HD: 1. Khi m = 2, phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt: x1 = –1, x2 = 2.  = (2m – 3)2 0, m . 3.. . 1 2.. 3  m  2  m  3 2 2 . ĐK để pt (1) có 2 nghiệm phân biệt: (2m – 3) > 0  |2m – 3| > 0   Hệ thức: 2S + 4P = 1  2( x1 + x2) + 4 x1x2 = 1.. Bài 28 : Cho phương trình x2 – 2(m – 1)x + 2m – 3 = 0 (m là tham số) (1) Giải phương trình (1) khi m = 5..

<span class='text_page_counter'>(24)</span> CMR: Phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m. Trong trường hợp (1) có hai nghiệm phân biệt.Thiết lập hệ thức liên hệ giữa x1, x2 độc lập với m. Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm trái dấu. HD: 1. Khi m = 5, phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt: x1 = 1, x2 = 7. 2.  = (m – 2)2 0, m . 3. m  2  ĐK để pt (1) có 2 nghiệm phân biệt: (m – 2)2 > 0  |m – 2| > 0   m  2 . Hệ thức: S – P = 1  x1 + x2 – x1x2 = 1.. 3 4. Phương trình (1) có 2 nghiệm trái dấu khi a.c < 0  1.(2m – 3) < 0  m < 2. Bài 29 : Cho phương trình bậc hai x2 –2(m – 1)x + m2 = 0 (1). Tìm m để: Pt (1) có 2 nghiệm phân biệt. Pt (1) có một nghiệm là – 2. Giả sử x1, x2 là 2 nghiệm của pt (1). CMR: (x1 – x2)2 + 4(x1 + x2) + 4 = 0. HD: 1a. Phương trình (1) có  ' = 1 – 2m.. 1 Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi  ' > 0  1 – 2m > 0  m < 2 . 1b. Pt (1) có một nghiệm là – 2 khi: (– 2)2 –2(m – 1)(–2) + m2 = 0  m2 + 4m = 0 .  m1 0  m  4  2 .. Vậy khi m = 0 hoặc m = – 4 thì pt (1) có một nghiệm là – 2.  S x1  x2 2m  2  2 2. Áp dụng hệ thức Vi-ét cho pt (1):  P  x1 x2  m. Ta có: (x1 – x2)2 + 4(x1 + x2) + 4 = (x1 + x2)2 – 4x1x2 + 4(x1 + x2) + 4 = (2m – 2)2 – 4m2 + 4(2m – 2) + 4 = 4m2 – 8m + 4 – 4m2 + 8m – 8 + 4 = 0 (đpcm). Bài 30 : Cho phương trình bậc hai x2 –2(m + 1)x + m – 4 = 0 (1). Giải phương trình (1) khi m = –2. CMR: m , phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt Gọi x1, x2 là hai nghiệm của pt (1). Chứng minh biểu thức: A = x1(1 – x2) + x2(1 – x1) không phụ thuộc vào m. HD: 1. Khi m = –2  x1 =  1  7 ; x2 =  1  7 . 2. 1  19  m    2 4 > 0, m . 2.  ' = m2 + m + 5 =  S x1  x2 2m  2   P x1 x2  m  4. 3. Áp dụng hệ thức Vi-ét cho pt (1):.

<span class='text_page_counter'>(25)</span> Theo đề bài: A = x1(1 – x2) + x2(1 – x1) = x1 – x1x2 + x2 – x1x2 = (x1 + x2) – 2x1x2 = (2m + 2) – 2(m – 4) = 10. Vậy A = 10 không phụ thuộc vào m. Bài 31 : Cho phương trình bậc hai x2 –2(m + 1)x + (2m – 4) = 0 (1). Giải phương trình (1) khi m = – 2. CMR: Với mọi m, phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt. 2. 2. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của (1). Tính A = x1  x2 theo m. Tìm giá trị của m để A đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 32 : Cho phương trình bậc hai x2 – (m – 1)x + 2m – 7 = 0 (1). Giải phương trình (1) khi m = –1. CMR: Với mọi m, phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt. Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm trái dấu. Thiết lập mối quan hệ giữa 2 nghiệm x1, x2 không phụ thuộc và m. 2. 2. Tìm m để x1  x2 = 10. HD: 1. Khi m = –1  x1 =  1  10 ; x2 =  1  10 . 2.  = m2 – 10m + 29 = (m – 5)2 + 4 > 0, m .. 7  3. Phương trình (1) có 2 nghiệm trái dấu khi a.c < 0  1.(2m – 7) < 0 m< 2. 4. Hệ thức cần tìm: 2S – P =5  2(x1 +x2) – x1x2 = 5. 2. 2. 5. x1  x2 = 10  m2 – 6m + 5 = 0  m = 1 hoặc m = 5. Bài 33 : Cho phương trình bậc hai x2 + 2x + 4m + 1 = 0 (1). Giải phương trình (1) khi m = –1. Tìm m để: Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt. Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu. Tổng bình phương các nghiệm của pt (1) bằng 11. HD: 1. Khi m = –1  x1 = 1 ; x2 = –3 . 2a. Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi  = –4m > 0  m < 0.. 1   2b. Phương trình (1) có 2 nghiệm trái dấu khi a.c < 0  1.(4m + 1) < 0 m< 4. 2 2 2c. Tổng các bình phương hai nghiệm của pt (1) bằng 11  x1  x2 = 11  (x + 1. 2. x2) – 2x1x2 = 11  2 – 8m = 11  m =. . 9 8.. Bài 34 : Cho phương trình: x2 – 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0 (m là tham số) (1). Tìm m để phương trình (1) có nghiệm kép và tính nghiệm kép đó. Trong trường hợp phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 hãy tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm x1, x2 mà không phụ thuộc m. HD: a) m  3  Phương trình (1) có nghiệm kép   ' = 0  m2 – 9 = 0   m  3 ..

<span class='text_page_counter'>(26)</span> m  3 b'   m  3 Khi  pt (1) có nghiệm kép x1 = x2 = a = m + 1. Khi m = 3  x1 = x2 = 4. Khi m = – 3  x1 = x2 = – 2 .. b) m  3  Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 khi  ' > 0  m2 – 9 > 0   m  3 . Hệ thức: S – P = – 8  x1 + x2 – x1x1 = – 8 hay: x1x1 – (x1 + x2) = 8.. GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH – LẬP PHƯƠNG TRÌNH IKiến thức cần nhớ” Các bước giải: Lập phương trình ( hoặc hệ phương trình): Chọn ẩn số và xác định điều kiện thích hợp cho ẩn; Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và qua các đại lượng đã biết ; Lập phương trình ( hoặc hệ phương trình) biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng Giải phương trình ( hoặc hệ phương trình) vừa lập được. Trả lời: Chỉ nhận nghiệm thỏa ĐK và trả lời yêu cầu của bài. II. Bài tập vận dụng: Bài 1: Giải bài toán sau bằng cách lập hệ phương trình: Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng chữ số hàng chục lớn hớn chữ số hàng đơn vị là 2 và nếu viết thêm chữ số bằng chữ số hàng chục vào bên phải thì được một số lớn hơn số ban đầu là 682. HD: Gọi x là chữ số hàng chục (xÎ N, 0 < x  9). Gọi y là chữ số hàng đơn vị (yÎ N, x  9) Số cần tìm có dạng xy = 10x + y Vì chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 2 nên ta có pt: x – y = 2 (1) Khi thêm chữ số bằng chữ số hàng chục vào bên phải thì được số mới: xyx =100x +10y + x = 101x +10y Vì số mới lớn hơn số ban đầu là 682 nên ta có phương trình: (101x + 10y) – (10x + y) = 682  91x + 9y = 682 (2). Từ (1) và (2) ta có hệ pt:. x  y  2  91x  9 y 682.  x 7   y 5. Giải hệ pt ta được (thỏa ĐK)  số cần tìm là 75. Bài 2: Có hai số tự nhiên, biết rằng: tổng của hai số bằng 59; hai lần số này bé hơn ba lần số kia là 7. Tìm hai số đó. HD: Gọi x, y là hai số cần tìm (x, yÎ N)  x  y 59  2 x  7 3 y  Theo đề bài ta có hệ pt: .  x  y  59  2 x  3 y  7.

<span class='text_page_counter'>(27)</span>  x 34  Giải hệ ta được:  y  25 (thỏa ĐK)  hai số cần tìm là 34 và 25.. Bài 3: Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình: Cho một số tự nhiên có hai chữ số. Tổng của hai chữ số của nó bằng 10; tích hai chữ số ấy nhỏ hơn số đã cho là 12. Tìm số đã cho. HD: Gọi x là chữ số hàng chục của số đã cho (xÎ N, 0 < x  9) Chữ số hàng đơn vị: 10 – x Số đã cho có dạng: 10.x + (10 – x) = 9x + 10 Tích của hai chữ số ấy: x(10 – x) Theo đề bài ta có phương trình: (9x + 10) – x(10 – x)= 12  x2 – 2 = 0 Giải pt trên ta được: x1 = –1( loại); x2 = 2 (nhận) Vậy số cần tìm là 28. Bài 4: Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình: Một hình chữ nhật có chu vi là 280m. Nếu giảm chiều dài của hình chữ nhật 2m và tăng chiều rộng thêm 3m thì diện tích của nó tăng thêm 144m2. Tính các kích thước của hình chữ nhật. HD: 280 Nửa chu vi hình chữ nhật: 2 = 140 (m).. Gọi x (m) là chiều dài của hình chữ nhật (0 < x < 140). Chiều rộng của hình chữ nhật là 140 – x (m). Diện tích ban đầu của hình chữ nhật là x(140 – x) (m2). Khi giảm chiều dài của hình chữ nhật 2m và tăng chiều rộng thêm 3m thì hình chữ nhật mới có diện tích: (x – 2)[(140 – x) + 3] = (x – 2)(143 – x) (m2) Vì diện tích hình chữ nhật tăng thêm 144m2 nên ta có phương trình: (x – 2)(143 – x) – x(140 – x) = 144  5x = 430  x = 86 (thỏa ĐK) Vậy hình chữ nhật có chiều dài 86m và chiều rộng là: 140 – x = 140 – 86 = 54 (m). Bài 5: Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình: Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi là 320m. Nếu chiều dài của khu vườn tăng 10m và chiều rộng giảm 5m thì diện tích của nó tăng thêm 50m2. Tính diện tích của khu vườn ban đầu. HD: Chiều dài là 100m và chiều rộng là 60m. Diện tích khu vườn: 6 000 m2. Bài 6: Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình: Một hình chữ nhật có chu vi 160cm và có diện tích 1500m2. Tính các kich thước của nó. HD: 160 Nửa chu vi hình chữ nhật: 2 = 80 (m).. Gọi x (m) là một kích thước của hình chữ nhật (0 < x < 80). Kích thước còn lại của hình chữ nhật là 80 – x (m). Diện tích của hình chữ nhật là x(80 – x) (m2). Vì diện tích hình chữ nhật là 1500m2 nên ta có phương trình: x(80 – x) = 1500  x2 – 80x + 1500 = 0 Giải pt trên ta được: x1 = 30 (nhận); x2 = 50 (nhận). Vậy hình chữ nhật có các kích thước là 30m và 50m..

<span class='text_page_counter'>(28)</span> Bài 7: Giải bài toán sau bằng cách lập hệ phương trình: Một sân trường hình chữ nhật có chu vi là 340m. Ba lần chiều dài hơn 4 lần chiều rộng là 20m. Tính diện tích của sân trường. HD: Gọi x, y (m) lần lượt là chiều dài và chiều rộng sân trường ( 0 < x, y < 170) Vì sân trường có chu vi 340m nên ta có phương trình: 2(x + y) = 340  x + y = 170 (1). Vì ba lần chiều dài hơn 4 lần chiều rộng là 20m nên ta có pt: 3x – 4y = 20 (2). Từ (1) và (2) ta có hệ pt:.  x  y 170  3x  4 y  20.  x 100  y  70 Giải hệ pt ta được  (thỏa ĐK).. Bài 8: Cho một tam giác vuông. Nếu tăng các cạnh góc vuông lên 4cm và 5cm thì diện tích tam giác sẽ tăng thêm 110cm2. Nếu giảm cả hai cạnh này đi 5cm thì diện tích sẽ giảm đi 100cm2. Tình hai cạnh góc vuông của tam giác. HD: Gọi x (cm), y (cm) là độ dài hai cạnh góc vuông (x > 5, y > 5). Theo đề bài ta có hệ pt:. 5 x  4 y  200   x  y  45.  x  20   y  25. Giải hệ pt ta được (thỏa ĐK). Vậy độ dài hai cạnh góc vuông là 20cm và 25cm. Bài 9: Cho tam giác vuông có cạnh huyền bằng 5cm, diện tích bằng 6cm2. Tìm độ dài các cạnh góc vuông. HD: Gọi x (cm), y (cm) là độ dài hai cạnh góc vuông (0 < x, y < 5). Vì tam giác có cạnh huyền 5cm nên ta có pt: x2 + y2 = 25 (1). 1 Vì tam giác có diện tích 6cm2 nên ta có pt: 2 xy = 6  xy = 12 (2)..  x 2  y 2  25  Từ (1) và (2) ta có hệ pt:  x . y  12  ( x  y ) 2  49 x  y  7     x . y  12   x . y  12. ( x  y) 2  2 xy  25   x . y  12. ( vì x, y > 0).  x 3  x 4   y 4  Giải hệ pt ta được hoặc  y 3 (thỏa ĐK).. Vậy độ dài hai cạnh góc vuông là 3cm và 4cm. Bài 10: Giải bài toán sau bằng cách lập hệ phương trình: Hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể không có nước trong 4 giờ 48 phút sẽ đầy bể. Nếu mở vòi thứ nhất trong 3 giờ và vòi 3 thứ hai trong 4 giờ thì được 4 bể nước. Hỏi mỗi vòi chảy một mình trong bao lâu thì mới. đầy bể? HD:.

<span class='text_page_counter'>(29)</span> Gọi x (h), y (h) lần lượt là thời gian vòi 1, vòi 2 chảy riêng đầy bể ( x > 3, y > 4). 1 Trong 1h, vòi 1 chảy được: x (bể). 1 Trong 1h, vòi 2 chảy được: y (bể). 24 Vì hai vòi nước cùng chảy trong 4 giờ 48 phút = 5 h sẽ đầy bể nên trong 1h hai vòi cùng. chảy được 1 5 1 5 24 bể, do đó ta có pt: x + y = 24 (1). 3 3 Vì vòi thứ nhất trong 3 giờ và vòi thứ hai trong 4 giờ thì được 4 bể nước nên ta có pt: x + 4 3 y = 4 (2).. Từ (1) và (2) ta có hệ pt:. 5 1 1  x  y  24   3  4  3  x y 4. (I). 5  u  v   24  1 1 3u  4v  3 4 (II). Đặt u = x , v = y , hệ (I) trở thành:  1 1 1  u   x 12  12 1 1   x 12   v  1  y 8    y 8 (thỏa ĐK). 8     Giải hệ (II), ta được:. Vậy: Vòi 1 chảy riêng đầy bể trong 12h, vòi 2 chảy riêng đầy bể trong 8h. Bài 11: Giải bài toán sau bằng cách lập hệ phương trình: Hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể không có nước trong 1 giờ 20 phút thì đầy bể. Nếu để vòi thứ nhất chảy một mình 2 trong 10 phút và vòi thứ hai chảy một mình trong 12 phút thì chỉ được 15 thể tích của bể. nước. Hỏi mỗi vòi chảy một mình trong bao lâu sẽ đầy bể? HD: Vòi 1 chảy riêng đầy bể trong 120 phút = 2h, vòi 2 chảy riêng đầy bể trong 240 phút = 4h. Bài 12: Giải bài toán sau bằng cách lập hệ phương trình: Hai vòi nước cùng chảy vào một 4 cái bể cạn (không có nước) thì sau 5 giờ đầy bể. Nếu lúc đầu chỉ mở vòi thứ nhất và 9 giờ 6 sau mới mở thêm vòi thứ hai thì sau 5 giờ nữa mới bể nước. Hỏi nếu ngay từ đầu chỉ mở 4. vòi thứ hai thì sau bao lâu mới đầy bể? HD:.

<span class='text_page_counter'>(30)</span> 6 Gọi x (h), y (h) lần lượt là thời gian vòi 1, vòi 2 chảy riêng đầy bể ( x > 9, y > 5 ). 1 Trong 1h, vòi 1 chảy được: x (bể). 1 Trong 1h, vòi 2 chảy được: y (bể).. Vì hai vòi nước cùng chảy trong. 4. 4 24 5 giờ = 5 h sẽ đầy bể nên trong 1h hai vòi cùng chảy. 5 được 24 bể,. 1 1 5 do đó ta có pt: x + y = 24 (1). 6 Vì lúc đầu chỉ mở vòi thứ nhất và 9 giờ sau mới mở thêm vòi thứ hai thì sau 5 giờ nữa mới 6 1 1 9    bể nước nên ta có pt: x + 5  x y  = 1 (2).. 1 5 1   x y 24    9  6  1  1  1  x 5  x y  Từ (1) và (2) ta có hệ pt: (I) 5  u v    24  1 1 9u  6  u  v   1 5  Đặt u = x , v = y , hệ (I) trở thành:  1  u 12  v  1 8 Giải hệ (II), ta được: . 1 1  x 12 1 1   y 8  . 5   u  v  24   51 u  6 v  1  5 5 (II)..  x 12    y 8 (thỏa ĐK).. Vậy: Vòi 2 chảy riêng đầy bể trong 8h. Bài 13: Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn chưa có nước thì sau 18 giờ đầy bể. Nếu chảy riêng thì vòi thứ nhất sẽ chảy đầy bể chậm hơn vòi thứ hai 27 giờ. Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vòi mất bao lâu mới chảy đầy bể? HD: Gọi x (h) là thời gian vòi thứ nhất chảy riêng đầy bể (x > 27). Thời gian vòi thứ hai chảy riêng đầy bể: x – 27 (h). 1 Mỗi giờ vòi thứ nhất chảy được x (bể). 1 Mỗi giờ vòi thứ hai chảy được x  27 (bể). 1 Vì hai vòi cùng chảy thì sau 18 h bể đầy, nên trong 1h hai vòi cùng chảy được 18 bể, do đó. nên ta có pt:.

<span class='text_page_counter'>(31)</span> 1 1 1   x x  27 18  x2 – 63x + 486 = 0.. Giải pt trên ta được: x1 = 54 (nhận); x2 = 9 (loại). Vậy: Vòi thứ nhất chảy riêng đầy bể trong 542h, vòi thứ hai chảy riêng đầy bể trong 27h. Bài 14: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình: Hai tỉnh A và B cách nhau 90 km. Hai mô tô khởi hành đồng thời, xe thứ nhất từ A và xe thứ hai từ B đi ngược chiều nhau. Sau 1 giờ chúng gặp nhau. Tiếp tục đi, xe thứ hai tới A trước xe thứ nhất tới B là 27 phút. Tính vận tốc mỗi xe. HD: Gọi x, y là vận tốc của xe I và xe II (x, y > 0). Sau một giờ hai xe gặp nhau nên tổng quãng đường hai xe đi được bằng đoạn đường AB, do đó ta có pt: x + y = 90 (1). 90 Thời gian xe I đi hết đoạn đướng AB: x (h). 90 Thời gian xe II đi hết đoạn đướng AB: y (h).. 90 9 90 9 y Vì xe II tới A trước xe I tới B là 27 phút = 20 h nên ta có pt: x – = 20 (2)  y = 90  x ( a)  x + y = 90   10 1 9  90 90 10  x  y  20  x  90  x  20 (b)   . Từ (1) và (2) ta có hệ pt: . Giải pt (b)ta được: x1 = 40(nhận) ; x2 = 450 (loại). Thế x = 40 vào (a)  y = 50 (nhận). Vậy: Xe I có vận tốc: 40 km/h. Xe II có vận tốc: 50 km/h. Bài 15: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình: Hai tỉnh A và B cách nhau 110 km. Hai mô tô khởi hành đồng thời, xe thứ nhất từ A và xe thứ hai từ B đi ngược chiều nhau. Sau 2 giờ chúng gặp nhau. Tiếp tục đi, xe thứ hai tới A trước xe thứ nhất tới B là 44 phút. Tính vận tốc mỗi xe. HD: Gọi x, y là vận tốc của xe I và xe II (x, y > 0). Sau 2 giờ hai xe gặp nhau nên tổng quãng đường hai xe đi được bằng đoạn đường AB, do đó ta có pt: 2x +2y =110 (1). 110 Thời gian xe I đi hết đoạn đướng AB: x (h). 110 Thời gian xe II đi hết đoạn đướng AB: y (h).. 110 11 110 11 y Vì xe II tới A trước xe I tới B là 44 phút = 15 h nên ta có pt: x – = 15 (2) (a )  y = 55  x 2x + 2y = 110   110 11 110 110 11 110  x  y  15  x  55  x  15 (b)   . Từ (1) và (2) ta có hệ pt:. ..

<span class='text_page_counter'>(32)</span> Giải pt (b)ta được: x1 = 25(nhận) ; x2 = (loại). Thế x = 25 vào (a)  y = (nhận). Vậy: Xe I có vận tốc: 40 km/h. Xe II có vận tốc: 50 km/h. ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 PHẦN HÌNH HỌC A. CHƯƠNG II (5 buổi) Chuyên đề 1: Sự xác định đường tròn- đường kính và dây của đường tròn- liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây. (1 buổi) I.KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1.Sự xác định đường tròn -Qua ba điểm không thẳng hàng, ta vẽ được một và chỉ một đường tròn -Đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác ABC gọi là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Khi đó tam giác ABC gọi là tam giác nội tiếp đường tròn. Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm của ba đường trung trực của ba cạnh của tam giác 2.Đường kính và dây của đường tròn -Trong các dây của đường tròn, dây lớn nhất là đường kính -Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy -Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy 3.Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây -Trong một đường tròn: + Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm + Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau -Trong hai dây của đường tròn: + Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn + Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn II. BÀI TẬP 1.Cho tam giác ABC, các đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Chứng minh rằng: a) Bốn điểm B, C, D, E cùng thuộc một đường tròn b) Bốn điểm D, A, E, H cùng thuộc một đường tròn c) DE<BC 2.Cho (O), hai dây AB,CD bằng nhau và cắt nhau tại I nằm bên trong đường tròn. Chứng minh rằng: a) OI là tia phân giác của một trong hai góc tạo bởi hai dây AB và CD b)Điểm I chia AB, CD thành các đoạn thẳng bằng nhau đôi một.

<span class='text_page_counter'>(33)</span> 3.Cho (O), các bán kính OA và OB. Trên cung nhỏ AB lấy các điểm M và N sao cho AM=BN. Gọi C là giao điểm của các đường thẳng AM và BN. Chứng minh rằng: a) OC là tia phân giác của góc AOB b) OC vuông góc với AB 4.Cho tứ giác ABCD có ∠B = ∠ D=900 a) Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C ,D cùng thuộc một đường tròn b) So sánh độ dài AC và BD. Nếu AC=BD thì tứ giác ABCD là hình gì? Chuyên đề 2: Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn-Dấu hiệu nhân biết tiếp tuyến của đường (2 buổi) I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1.Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn Gọi d là khoảng cách từ O của (O;R) đến đường thẳng a. Đường thẳng a và (O;R) + Cắt nhau ⇔ d<R. a gọi là cát tuyến của (O;R) + Tiếp xức với nhau ⇔ d=R . a gọi là tiếp tuyến của (O;R) + Không giao nhau ⇔ d>R 2.Dấu hiệu nhân biết tiếp tuyến của đường -Nếu một đường thẳng và một đường tròn chỉ có một điểm chung thì đường thẳng đó là tiếp tuyến của đường tròn -Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn II. BÀI TẬP 1.Trên mặt phẳng tọa độ cho điểm I(-3;2).Nếu vẽ đường tròn tâm I bán kính bằng 2 thì đường tròn đó có vị trí tương đối như thế nào đối với các trục tọa độ 2.Cho điểm A cách đường thẳng xy là 12cm. Vẽ (A;13cm) a) (A;13cm) có vị trí tương đối như thế nào với đường thẳng xy b) Gọi giao điểm của xy với (A;13cm) là B, C. Tính độ dài BC 3.Cho hình thang vuông ABCD có ∠ A= ∠ D =900, AB=4cm, BC=13cm, CD=9cm a) Tính AD b) CMR đường thẳng AD tiếp xúc với đường tròn đường kính BC 4.Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Qua điểm C thuộc nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến d của đường tròn. Gọi E, F lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ A và B đến d. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ C đến AB. Chứng minh rằng: a) CE=CF b) AC là tia phân giác của ∠ BAE c) CH2=AE.BF.

<span class='text_page_counter'>(34)</span> 5.Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ (B;BA) và (C;CA) chúng cắt nhau tại điểm D (khác A). Chứng minh rằng CD là tiếp tuyến của (B) 6.Cho tam giác ABC cân tại A, các đường cao AD và BE cắt nhau tại H. Vẽ đường tròn tâm O, đường kính AH. CMR: a) Điểm E nằm trên (O) b) DE là tiếp tuyến của (O) 7.Cho (O) , bán kính OA, dây CD là đường trung trực của OA. a) Tứ giác OCAD là hình gì? Vì sao? b) Kẻ tiếp tuyến với đường tròn tại C, tiếp tuyến này cắt đường thẳng OA tại I. Tính độ dài CI biết OA=R Chuyên đề 3: Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau - Vị trí tương đối của hai đường tròn (2 buổi) I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau -Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì: + Điểm đó cách đều hai tiếp điểm + Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến + Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm -Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác gọi là đường tròn nội tiếp tam giác. Khi đó tam giác gọi là ngoại tiếp đường tròn. Tâm đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của ba đường phân giác của ba góc trong của tam giác -Đường tròn tiếp xúc với một cạnh của tam giác và tiếp xúc với phần kéo dài của hai cạnh kia gọi là đường tròn bàng tiếp tam giác 2. Vị trí tương đối của hai đường tròn - (O;R) và (O';r) cắt nhau ⇔ R-r<OO'<R+r - (O;R) và (O';r) tiếp xúc ngoài ⇔ OO'=R+r - (O;R) và (O';r) tiếp xúc trong ⇔ OO'=R-r>0 -(O;R) và (O';r) ở ngoài nhau ⇔ OO'>R+r -(O;R) đựng (O';r) ⇔ OO'<R-r -Tiếp tuyến chung của hai đường tròn là đường thẳng tiếp xúc với cả hai đường tròn đó II.BÀI TẬP 1.Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Gọi Ax, By là các tia vuông góc với AB (Ax, By và nửa đường tròn cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ AB). Gọi M là điểm bất kì thuộc tia Ax. Qua M kẻ tiếp tuyến với đường tròn cắt By tại N.

<span class='text_page_counter'>(35)</span> a) Tính số đo góc MON b) CMR: MN=AM+BN c) CMR: AM.BN=R2 (R là bán kính của nửa đường tròn) 2.Cho (O), điểm A nằm bên ngoài đường tròn.Kẻ các tiếp tuyến AM, AM với đường tròn (M, N là các tiếp điểm) a) Chứng minh rằng OA ¿ MN b) Vẽ đường kính NOC. Chứng minh rằng MC//AO c) Tính độ dài các cạnh của tam giác AMN, biết OM=3cm, OA=5cm 3.Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Vẽ đường tròn (A;AH).Kẻ tiếp tuyến BD, CE với đường tròn (D, E là các tiếp điểm khác H). CMR: a) Ba điểm D, A, E thẳng hàng b) DE tiếp xúc với đường tròn đường kính BC 4.Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By (Ax, By và nửa đường tròn cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ AB). Gọi M là một điểm bất kì thuộc nửa đường tròn. Tiếp tuyến tại M cắt Ax, By theo thứ tự ở C và D a) CMR: đường tròn đường kính CD tiếp xúc với AB b) Tìm vị trí của M để chi vi hình thang ABDC có chu vi nhỏ nhất c) Tìm vị trí của C, D để hình thang ABCD có chu vi bằng 14cm, biết AB=4cm 5.Cho đường tròn (O) và (O') tiếp xúc ngoài tại A. Gọi CD là tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn ( C ¿ (O), D ¿ (O') ) a) Tính số đo của góc CAD b) Tính độ dài CD biết OA=4,5cm, O'A=2cm 6.Cho đường tròn (O) và (O') tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ các đường kính AOB, AO'C. Gọi DE là tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn ( D ¿ (O), E ¿ (O') ).Gọi M là giao điểm của BD và CE a) Tính số đo góc DAE b) Tứ giác ADME là hình gì? Vì sao? c) CMR: MA là tiếp tuyến chung của hai đường tròn 7.Cho đường tròn (O) và (O') cắt nhau tai A và B, trong đó O' nằm trên (O). Kẻ đường kính O'OC của (O). a) Chứng minh rằng CA, CB là các tiếp tuyến của (O') b) Đường vuông góc với AO' tại O' cắt CB ở I. Đường vuông góc với AC tại C cắt đường thẳng O'B ở K. CMR ba điểm O, I, K thẳng hàng B.CHƯƠNG III (5 buổi).

<span class='text_page_counter'>(36)</span> Chuyên đề 1: Góc ở tâm - Liên hệ gữa cung và dây (1 buổi) I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Góc ở tâm -Định nghĩa: Góc ở tâm là góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn -Tính chất: Số đo của góc ở tâm bằng số đo cung bị chắn -Nếu C là một điểm nằm trên cung AB thì: sđ AB= sđ AC+sđ CB 2. Liên hệ giữa cung và dây -Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau: Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau và ngược lại -Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau: Cung lớn hơn căng dây lớn hơn và ngược lại II. BÀI TẬP 1.Hai tiếp tuyến tại A, B của (O;R) cắt nhau tại M. Biết OM=2R. Tính số đo góc ở tâm AOB 2.Cho tam giác ABC, có AB>AC. Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho AD=AC. Vẽ đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác DBC. Từ O lần lượt hạ các đường vuông góc OH, OK xuống BC và BD (H ¿ BC, K ¿ BD) a) CMR: OH<OK b) So sánh hai cung nhỏ BD và BC 3.Trên dây cung AB của một đường tròn tâm O, lấy hai điểm C, D chia dây này thành ba đoạn thẳng bằng nhau AC=CD=DB. Các bán kính qua C, D cắt cung nhỏ AB lần lượt tại E và F. CMR: a) AE = FB b) AE < EF 4.Cho đường tròn tâm O. Trên nửa đường tròn đường kính AB lấy hai điểm C, D. Từ C kẻ CH vuông góc với AB, nó cắt đường tròn tại điểm thứ hai là E. Từ A kẻ AK vuông góc với DC, nó cắt đường tròn tại điểm thứ hai là F. CMR: a) Hai cung nhỏ CF và DB bằng nhau b) Hai cung nhỏ BF và DE bằng nhau c) DE=BF Chuyên đề 2: Góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung (1 buổi) I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1.Góc nội tiếp -Định nghĩa: Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa dây cung của đường tròn đó.

<span class='text_page_counter'>(37)</span> -Tính chất: Trong một nửa đường tròn số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn -Hệ quả: +Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau +Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau +Góc nội tiếp (nhỏ hơn hoặc bằng 900) có số đo bằng một nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung +Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông 2.Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung -Định nghĩa: Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung là góc có đỉnh nằm trên đường tròn, một cạnh là tia tiếp tuyến, cạnh còn lại chúa dây cung -Tính chất: Số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng một nửa số đo cung bị chắn -Hệ quả: Trong một đường tròn góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau II. BÀI TẬP 1.Cho đường tròn tâm O và hai dây AB, AC bằng nhau. Qua A vẽ một cát tuyến cắt dây BC ở D và cắt (O) ở E. CMR: AB2=AD.AE 2.Cho tam giác đều ABC nội tiếp (O) và M là một điểm của cung nhỏ BC. Tên tia MA lấy điểm D sao cho MD=MB. a) Tam giác MBD là tam giác gì? vì sao? b) CMR: Δ BDA= Δ BMC c) CMR: MA=MB+MC 3.Từ một điểm M cố định ở bên ngoài đường tròn (O) ta kẻ một tiếp tuyến MT và một cát tuyến MAB của đường tròn đó a) CMR: MT2=MA.MB và tích này không phụ thuộc vào vị trí của cát tuyến MAB b) Trong trường hợp cát tuyến MAB đi qua tâm của đường tròn và MT=20cm, MB=50cm. Tính bán kính của đường tròn 4.Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn. Vẽ tia Bx sao cho tia BC nằm giữa hai tia Bx, BA và ∠ BAx= ∠ BAC. CMR: Bx là tiếp tuyến của (O) Chuyên đề 3: Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn-Góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn (1 buổi) I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1.Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn - Góc có ở bên trong đường tròn là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn.

<span class='text_page_counter'>(38)</span> -Tính chất: Số đo của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng một nửa tổng số đo hai cung bị chắn 2.Góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn - Góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn là góc có đỉnh nằm ngoài đường tròn và các cạnh đều có điểm chung với đường tròn -Tính chất: Số đo của góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn bằng một nửa số đo hiệu hai cung bị chắn II. BÀI TẬP 1.Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường tròn đường kính AB cắt BC ở D. Tiếp tuyến ở D cắt AC ở P. Chứng minh PD=PC 2.Hai dây cung AB, CD kéo dài cắt nhau tại điểm E ở bên ngoài đường tròn (O) (B nằm giữa A và E, C nằm giữa D và E) . Cho biết ∠ CBE=750, ∠ CEB=220, ∠ AOD=1440 . Chứng minh ∠ AOB= ∠ BAC 3.A,B,C là ba điểm thuộc đường tròn (O) sao cho tiếp tuyến tại A cắt tia BC tại D.Tia phân giác của ∠ BAC cắt đường tròn tại M, tia phân giác của góc D cắt AM tại I. Chứng minh DI ¿ AM 4.Trên đường tròn (O;R) vẽ ba dây liên tiếp bằng nhau AB,BC, CD, mỗi dây có độ dài nhỏ hơn R. Các đường thẳng AB, CD cắt nhau tại I, các tiếp tuyến của đường tròn tại B,D cắt nhau tại K. a) Chứng minh ∠ BIC= ∠ BKD b) Chứng minh BC là tia phân giác của ∠ KBD Chuyên đề 4: Tứ giác nội tiếp (2 buổi) I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ -Định nghĩa: Tứ giác nội tiếp là tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn -Tính chất: Trong tứ giác nội tiếp tổng số đo của hai góc đối bằng 1800 -Dấu hiệu nhận biết tứ giác: +Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800 +Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối của đỉnh đó +Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm (mà ta có thể xác định được). Điểm đó là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác +Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc α II. BÀI TẬP 1.Cho tam giác ABC có ba góc đều nhọn , các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.CMR: a) Các tứ giác BCEF , HEAF nội tiếp b) ∠ BCF= ∠ BAD.

<span class='text_page_counter'>(39)</span> c) EB là tia phân giác của ∠ DEF 2.Cho tam giác ABC cân tai A, ∠ A=200. Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C lấy điểm D sao cho DA=DB và ∠ DAB=400. Gọi E là giao điểm AB và CD . a) Chứng minh ACBD là tứ giác nội tiếp b) Tính ∠ AED 3.Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Vẽ dây cung CD vuông góc với AB tại I (I nằm giữa A,O). Lấy điểm E trên cung nhỏ BC(E khác B và C), AE cắt CD tại F. Chứng minh: a) BEFI là tứ giác nội tiếp đường tròn b) AE.AF=AC2 c) Khi E chạy trên cung nhỏ BC thì tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CEF luôn thuộc một đường thẳng cố định 4.Cho tam giác ABC vuông tại A, Mlà một điêm thuộc cạnh AC (M khác A và C). Đường tròn đường kình MC cắt BC tại N và cắt tia BM tại I. Chứng minh rằng: a) ABNM và ABCI là các tứ giác nội tiếp đường tròn b) NM là tia phân giác của góc ANI c) BM.BI+CM.CA=AB2+AC2 5.Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Lấy điểm M thuộc đoạn thẳng OA, lấy điểm N thuộc nửa đường tròn (O). Từ A và B vẽ các tiếp tuyến Ax và By. Đường thẳng Qua N và vuông góc với NM cắt Ax, By theo thứ tự tại C và D a) Chứng minh ACNM và BDNM là các tứ giác nội tiếp đường tròn b) Chứng minh tam giác ANB đồng dạng với tam giác CMD c) Gọi I là giao điểm của AN và CM, K là giao điểm của BN và DM. Chứng minh IK//AB 6.Cho nửa đường tròn tâm O, đường kinh AB và điểm C thuộc nửa đường tròn đó (C khác A, B). Lấy điểm D thuộc dây BC (D khác B, C). Tia AD cắt cung nhỏ BC tại điẻm E, tia AC cắt tia BE tại F. a) Chứng minh rằng: FCDE là tứ giác nội tiếp đường tròn b) Chứng minh rằng: DA.DE=DB.DC c) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác FCDE, chứng minh IC là tiếp tuyến của đường tròn (O)..

<span class='text_page_counter'>(40)</span>

<span class='text_page_counter'>(41)</span>