MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ MỐI QUAN HỆ GIỮA TRIẾT HỌC VÀ TOÁN HỌC TRONG NGHIÊN CỨU TOÁN HỌC VÀ NHẬN THỨC THẾ GIỚI

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH


Bài tiểu luận mơn Triết học
MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ MỐI QUAN HỆ GIỮA
TRIẾT HỌC VÀ TOÁN HỌC TRONG NGHIÊN
CỨU TOÁN HỌC VÀ NHẬN THỨC THẾ GIỚI

GV: TS Nguyễn Ngọc Khá
TS Nguyễn Chương Nhiếp
HV: Trần Thị Hiếu Nghĩa
Học viên cao học khóa 21 chuyên ngành Đại số và lí thuyết số

TP. HỒ CHÍ MINH
THÁNG 01 NĂM 2011


MỤC LỤC
MỤC LỤC..........................................................................................................................2
LỜI CẢM ƠN....................................................................................................................2
I - VAI TRÒ CỦA TRIẾT HỌC ĐỐI VỚI TỐN HỌC..................................................4
1.Tốn học là kết quả của sự phản ánh thế giới hiện thực..............................................4
2.Thực tiễn là tiêu chuẩn chân lí trong tốn học............................................................6
3.Triết học cung cấp cơng cụ để nhận thức Toán học....................................................8
II - TÁC ĐỘNG CỦA TOÁN HỌC ĐỐI VỚI SỰ HÌNH THÀNH VÀ PHÁT TRIỂN
THẾ GIỚI QUAN DUY VẬT...........................................................................................9
1.Toán học góp phần hoàn thiện những tri thức triết học...............................................9
2.Toán học góp phần điều chỉnh và hồn thiện những ngun tắc Triết học ..............10
3.Tốn học là cơng cụ của nhận thức...........................................................................11
III - MỘT SỐ PHÂN TÍCH VỀ NỘI DUNG TOÁN HỌC THEO QUAN ĐIỂM DUY

VẬT BIỆN CHỨNG........................................................................................................12
1. “Cấu trúc” trong toán học.........................................................................................12
2.Mối quan hệ giữa nội dung và hình thức trong toán học...........................................13
3.Sự phủ định của phủ định trong toán học..................................................................15
4.Bất biến và vạn biến trong toán học..........................................................................16

LỜI CẢM ƠN
2


Tôi xin chân thành cảm ơn thầy Nguyễn Chương Nhiếp và thầy Nguyễn
Ngọc Khá vì những bài giảng triết học của các thầy đã truyền cảm hứng cho tôi
thêm yêu thích triết học và có hứng thú tìm hiểu vấn đề vận dụng triết học vào việc
học tập của bản thân.
Tôi xin được cảm ơn giáo sư Nguyễn Cảnh Toàn vì những quyển sách tham
khảo rất có giá trị trong việc khơi gợi niềm say mê học tập của thế hệ trẻ, trong đó
có tôi.
Trần Thị Hiếu Nghĩa

Triết học và tốn học đóng vai trị rất quan trọng trong các lĩnh vực của đời
sống. Giữa chúng có mối quan hệ biện chứng sâu sắc thể hiện trong suốt quá trình
hình thành và phát triển của mỗi lĩnh vực . Mối quan hệ này được vận dụng như thế
nào để những người học tốn (nói riêng) nghiên cứu tốn học hiệu quả hơn và con
người (nói chung) nhận thức được thế giới sâu sắc hơn để phục vụ cho sự tồn tại và
phát triển của xã hội là một vấn đề đáng được quan tâm. Trong bài viết ngắn này,
3


chúng ta sẽ đề cập đến mối liên hệ giữa triết học và tốn học ở một số khía cạnh có
ích trong việc nhận thức tốn học và vài vận dụng trong đời sống.

I - VAI TRÒ CỦA TRIẾT HỌC ĐỐI VỚI TỐN HỌC
Triết học có tác động rất lớn đối sự hình thành và phát triển của tốn học.
Triết học cung cấp thế giới quan khoa học và phương pháp luận duy vật biện chứng
nhằm định hướng và cung cấp công cụ nhận thức cho sự phát triển của toán học.
Đây là quan niệm rất kinh điển mà ta khơng bàn thêm về tính đúng đắn của nó. Sau
đây chúng ta khai thác một vài khía cạnh cần thiết trong việc nhận thức toán học.
1. Toán học là kết quả của sự phản ánh thế giới hiện thực
Toán học hình thành và phát triển do những nhu cầu thực tế của con người.
Toán học nghiên cứu những tương quan số lượng và các dạng không gian của thế
giới khách quan. Qua từng thời kì lịch sử tốn học đã phát triển các đối tượng của
nó liên tục và phong phú nhờ sự vận động không ngừng của các sự vật hiện tượng
trong thực tiễn. Hầu hết các đối tượng của tốn học, khơng trực tiếp thì cũng gián
tiếp, xuất phát từ thực tiễn. Dù cho con người có khám phá ra hay khơng thì chúng
vẫn tồn tại. Ví dụ:
• Các con số tương ứng với một lượng nào đó các sự vật trong thực tế như
trong lớp có ba mươi lăm học sinh, tương ứng với số 35, nếu thêm một học
sinh mới vào thì số tương ứng sẽ là 36, không thể là 37 được. Ta thấy rằng
dù các số tự nhiên ra đời ở những nơi khác nhau trên thế giới, được kí hiệu
khác nhau nhưng bản chất là như nhau.
• Các đối tượng hình học như đường tròn, elip, hyperbol, parabol lần lượt
tương ứng với những hình ảnh trong thực tế như mặt trăng, mặt nước trong
ly (hình trụ trịn) khi nghiêng, bóng của ngọn đèn dầu hắt lên tường, sợi dây
bị võng xuống,...
Đối với hình học, C. Mác và Ăngghen cho rằng:
“Các kết quả của hình học khơng phải cái gì khác là những thuộc tính tự nhiên của
các đường, của bề mặt và của các vật thể, cũng như của những tổ hợp của chúng
mà đại bộ phận đã có trong tự nhiên từ lâu trước khi loài người xuất hiện” (xem
832, [2])*
*Điều

Xem trang
i liệu số
2
này832
đã tàđược
các

nhà sư phạm ứng dụng trong việc dạy toán cho học sinh, từ
trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng. Chẳng hạn: dạy phép cộng qua việc đếm
các que tính, dùng hình ảnh nền nhà mơ phỏng mặt phẳng, hình ảnh trụ cờ đứng
trong sân trường mô phỏng đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, ...

4


Từ quan điểm toán học xuất phát từ thực tiễn ta có thể liên hệ với thực tế những vấn
đề tốn học để dễ dàng nắm bắt hơn. Một ví dụ khá trực quan để nắm bắt khái niệm
đa tạp, khái niệm hàm sớ:
• Người ta cần khảo sát các họa tiết trên một chiếc bình gốm cổ. Khi đó vì
bình gốm khơng phẳng nên ta khơng thể in một lượt tất cả họa tiết của nó lên
một tờ giấy nhưng ta có thể in từng phần họa tiết của bình gốm lên mặt giấy.
Như vậy ở đây ta có thể xem bề mặt bình gốm là đa tạp 2 chiều vì tại mỗi
điểm trên bình có vùng hoa văn chứa điểm đó tương ứng (đồng phơi) với
một vùng trên tờ giấy (khơng gian Euclide 2 chiều).
• Khi in tranh Đông Hồ, người ta đem bản khắc gỗ bức tranh được phủ mực in
lên tờ giấy thì ta có sự tương ứng 1-1 giữa mỗi điểm trên bản gỗ với một
điểm trên tờ giấy. Đó là một biểu hiện thực tiễn của khái niệm hàm số.
Qua việc quan sát cẩn thận thực tiễn thì tư duy tốn học cũng sâu sắc hơn và cịn có
thể phát hiện ra những kiến thức tốn học mới, có thể là mới đối với bản thân thơi
cũng là điều có ích vì đó là cơ sở ban đầu cho các phát minh toán học.

Tuy nhiên, khơng phải lúc nào ta cũng tìm được một mơ hình cho các đối
tượng tốn học, bởi vì: đặc điểm đặc trưng của đối tượng tốn học là tính trừu tượng
rất cao. Tính trừu tượng này thể hiện trước hết qua chính đối tượng tốn học, chúng
được trừu xuất từ các sự vật, hiện tượng trong thực tiễn chứ không phải luôn là một
sự vật, hiện tượng cụ thể nào (ví dụ: điểm, đường thẳng, mặt phẳng,...). Tốn học
chỉ quan tâm đến tương quan số lượng và dạng không gian của chúng. Các khái
niệm, tính chất trong tốn học được trình bày cho những đối tượng được trừu xuất
và tính đúng đắn của các mệnh đề tốn học được chứng minh theo tư duy logic từ
tính đúng đắn của các mệnh đề chứ khơng qua sự kiện thực tiễn.
Tính trừu tượng này ngày càng cao cùng với trình độ phát triển của tốn học, nhất là
từ khi các kí hiệu tốn học phát huy được sức mạnh của nó. Với các kí hiệu tốn
học người ta có thể trình bày những vấn đề tốn học mà khơng dùng đến sự liên hệ
thực tế nào. Điều này thể hiện mạnh mẽ trong việc nhóm Bourbaki muốn trình bày
tất cả các kiến thức tốn học dưới dạng các tiên đề, kí hiệu.
Mặc dù, tính trừu tượng của tốn học rất cao nhưng chúng đều bắt nguồn từ thực
tiễn và cuối cùng cũng sẽ phục vụ cho thực tiễn. Nhiều khái niệm toán học là kết
quả của các khái niệm xuất phát từ thực tế được trừu tượng hóa nhiều tầng lớp. Ví
dụ: khái niệm “metric” (metric là một ánh xạ) xuất phát từ khoảng cách thông
thường. Trên không gian được trang bị metric này, người ta xây dựng các khái niệm
“tập mở”, “tập đóng”, “ánh xạ liên tục”,…
Không chỉ các đối tượng toán học mới có nguồn gốc từ thực tiễn mà những
quy luật logic trong toán học cũng xuất phát từ thực tiễn. Chúng đã được rút ra qua
5


rất nhiều sự kiện thực tế. Chẳng hạn, tính chất bắc cầu trong toán học đã đúng trong
“rất nhiều” sự kiện thực tiễn. Ở đây nói “rất nhiều” chứ không phải “tất cả” vì thế
giới là vô cùng vô tận, ta chưa biết tới ngày nào điều này sẽ không đúng nữa nhưng
hiện tại nó vẫn đang đúng.
Chúng ta có thể thử tách toán học khỏi thực tế (một cách triệt để và trước sau gì

cũng khơng liên quan đến thực tiễn) như dùng các kí hiệu (khơng thể hiện cho bất
cứ cái gì trong thực tế) và nêu ra những quy tắc, định lí, tính chất hồn tồn khơng
có trong thực tế nhưng điều này khơng giúp ích gì lắm cho sự phát triển của tốn
học bởi vì nó hoàn toàn thiên về việc tưởng tượng (mọi thứ đều phải tưởng tượng vì
nếu khơng tưởng tượng mà dùng những suy luận như lâu nay vẫn dùng thì lại quay
về thực tế). Nếu ta tưởng tượng điều vốn biết là khơng thể thành điều có thể thì
cũng là vận dụng quy luật phủ định. Một cơng trình mà về bản chất khơng liên quan
gì đến thực tiễn (hoặc phục vụ cho phát triển tư duy) thì cũng khó phát triển lâu dài.
Toán học cũng phát triển do những yêu cầu nội tại của nó. Điều này khơng mâu
thuẫn với quan điểm thực tế là cơ sở của lí luận vì bên cạnh quan điểm này, chủ
nghĩa duy vật biện chứng cịn khẳng định tính độc lập tương đối của lí luận và khả
năng đi trước thực tế của lí luận. Sự phát triển này xuất phát từ những mâu thuẫn
nội tại trong tốn học, tính trừu tượng ngày càng cao của tư duy tốn học,... Hình
học Lobachevsky là một ví dụ.
Trong việc dạy tốn, tùy tình hình cụ thể, kiến thức cụ thể mà chọn cách
trình bày kiến thức tốn học. Ví dụ: học sinh mới học tốn cần có những liên hệ
thực tế (những thứ mà học sinh mắt thấy, tai nghe) để học sinh dễ nắm bắt. Khi lên
các lớp trên, tập cho học sinh quen dần với tư duy trừu tượng vì khơng phải lúc nào
cũng tìm được mơ hình thực tế để minh họa kiến thức (lí luận độc lập tương đối với
thực tiễn) và đó cũng là việc làm cần thiết để học sinh tiếp thu các tri thức toán học
cao cấp hơn.
2. Thực tiễn là tiêu chuẩn chân lí trong tốn học
Từ chỗ tốn học bắt nguồn từ thực tiễn, tính đúng đắn của nó cũng được
kiểm tra theo tiêu chuẩn xuất phát từ thực tiễn. Các cơng trình tốn học, xét cho
cùng, sẽ được con người sử dụng để nhận thức và cải tạo thế giới, đó cũng là cách
để thực tiễn kiểm tra lại tính đúng đắn của tri thức tốn học.
Một trong những tiêu chuẩn để xét giá trị của một cơng trình tốn học là khả
năng ứng dụng vào đời sống. Tất nhiên, việc ứng dụng là trực tiếp hay gián tiếp,
dưới hình thức nào, trong lĩnh vực nào, mức đợ và phạm vi ra sao thì khác nhau tùy
trường hợp. Nhưng nhìn chung chúng phải phục vụ được cho việc cải tạo thế giới

của con người (ngay cả phát triển tư duy, phục vụ cho nội bộ toán học vẫn có giá trị
thực tiễn ở một mức nào đấy).
6


Vận dụng điều này trong việc học toán ra sao? Sau đây là một số ví dụ:
• Ở mức độ đơn giản, ta thường kiểm tra mình làm đúng bài tập hay khơng
bằng cách tìm ra được một mơ hình thực tế thể hiện được suy luận và kết quả
của mình. Hoặc trong chứng minh khẳng định nào đó sai bằng cách tìm phản
ví dụ, ta thường cố gắng tìm một mơ hình thực tế (đúng) mà trái với điều
được phát biểu.
• Trong “thuật tốn khái qt hóa” mà giáo sư Nguyễn Cảnh Toàn nêu ra để
phát triển khả năng học toán của học sinh (xem [4]) thể hiện quan điểm “thực
tiễn là tiêu chuẩn chân lí trong tốn học”. Bước thứ 6 và 7 trong thuật tốn
đó là tìm ví dụ để làm rõ mợt phỏng đốn: nếu ví dụ là sai thì bác bỏ phỏng
đốn; nếu ví dụ là đúng thì củng cố thêm khả năng phỏng đốn là đúng.
Một điểm có thể thấy là trong các chứng minh tốn học, nếu tìm thấy một mơ
hình trong thực tế trái với lí luận thì lí luận bị sai nhưng nếu ta chỉ ra rất nhiều điều
đúng trong thực tế thì chưa chứng minh được lí luận là đúng. Ta không thể nói
n 3 − n chia hết cho 3 vì với n bằng 1, 2, 3,…, 1000 thì n 3 − n chia hết cho 3. Đó là
do tính đặc thù của tốn học, dùng suy luận logic để chứng minh và các chứng minh
không phụ thuộc vào sự vật, hiện tượng cụ thể.
Thực tiễn có thể kiểm tra tính đúng đắn của các lí thuyết tốn học ở những
hình thức khác nhau, mức độ khác nhau, thời gian khác nhau. Điều này dễ nhận
thấy vì các sự vật, hiện tượng rất đa dạng và phong phú, toán học xuất phát từ thực
tiễn nên cũng mang nhiều nội dung, đặc điểm khác nhau. Nhiều kết quả của toán
học không đúng trong thời điểm này nhưng đúng trong thời điểm khác.
Tuy ta vẫn thấy có những cơng trình tốn học chưa được ứng dụng gì trong thực
tiễn hiện tại nhưng nó đã được chứng minh là đúng đắn bằng lí luận tốn học thì có
thể là do nó đã phát triển nhanh quá mức mà con người chưa thể ứng dụng được

(thực tiễn chưa kiểm tra được hoặc những người khác chưa nhận ra được) chứ
khơng hẳn nó sai và tách khỏi thực tiễn hồn tồn. Ví dụ: hình học Lobachevsky lúc
đầu sự ra đời của nó bị cho là quái gở nhưng về sau nó được đánh giá là một phát
minh rất quan trọng. Điều này cho ta một luận điểm quan trọng trong nhận thức
tốn học:
“Một lí thuyết tốn học, dù kì quặc đến đâu, cũng có quyền tồn tại nếu nó đứng
vững về mặt tốn học, nghĩa là nó phù hợp với logic; logic lại khơng phải từ trên
trời rơi xuống, mà từ thực tiễn mà ra; cho nên phù hợp với logic chính là phù hợp
với thực tiễn, nếu không phải là thực tiễn ngày nay thì là một thực tiễn trong tương
lai. Những lí thuyết kì quặc là những lí thuyết phù hợp với một thực tiễn trong
tương lai mà hiện nay chưa ai biết.” (xem 873, [4])

7


Trong toán học cần đào sâu, lật đi lật lại vấn đề, khơng nên nghĩ rằng cái gì
thực tiễn đã kiểm nghiệm đúng là khơng cịn gì để làm nữa. Điều này nghĩa là ln
ln học hỏi, tìm tịi để hoàn thiện hơn tri thức, phát triển sâu sắc tư duy, khơng nên
q tin tưởng vào điều gì. Ví dụ: trước đây người ta đã chứng minh được sự tồn tại
của hạt vật chất nhỏ nhất (lúc đó người ta nghĩ rằng nó là nhỏ nhất) là nguyên tử.
Nếu như người ta chấp nhận, khơng có một sự “nghi ngờ khoa học” nào thì ta
khơng thể biết rằng ngun tử cịn có thể chia nhỏ nữa. Hoặc nếu nghĩ rằng hình
học Euclide đã đủ để biểu thị mọi mối quan hệ giữa các đối tượng trong khơng gian
thì đã khơng có thêm hình học Lobachevsky, hình học siêu phi Euclide. Chính sự
nghi ngờ và tị mị khoa học đã dẫn đến nhiều phát minh toán học.
3. Triết học cung cấp cơng cụ để nhận thức Tốn học
Triết học thể hiện các quy luật chung nhất của sự phát triển của tự nhiên, xã
hội và tư duy con người. Toán học là kết quả của sự phản ánh thế giới hiện thực vào
đầu óc con người nên không nằm ngoài quy luật chung nhất của sự phát triển của tự
nhiên, xã hội và tư duy con người. Do đó triết học cung cấp cho ta công cụ để

nghiên cứu toán học. Vậy công cụ đó là gì? Tại sao lại cần đến công cụ đó?
Công cụ để nghiên cứu toán học là phép biện chứng duy vật. Phương pháp luận duy
vật biện chứng là phương pháp luận chung nhất cho mọi sự vật hiện tượng trong tự
nhiên, xã hội và tư duy con người. Do đó nó cũng được dùng để nhận thức toán học.
Lịch sử đã chứng minh được vai trò của phép biện chứng duy vật đối với sự hình
thành và phát triển của toán học.
Giáo sư Nguyễn Cảnh Toàn đánh giá rất cao phép biện chứng duy vật trong việc
nhận thức toán học. Ơng đã chỉ ra ng̀n gốc của các phát minh toán học trên cơ sở
phép biện chứng duy vật: “ Mọi phát minh toán học không phải là một việc ngẫu
nhiên mà là một bước nhảy vọt tất yếu kết thúc một q trình tích lũy xã hội thông
qua một cá nhân hay tập thể và đều là kết quả của sự đấu tranh giữa hai mặt đối
lập.” (xem 73, [4])
Từ việc hiểu nguồn gốc của các phát minh toán học, những người ở thế hệ
sau có thể tiếp tục phát triển toán học. Cụ thể là các học sinh, sinh viên, những ai
yêu thích toán học có thể tận dụng được công cụ hữu ích là phép biện chứng duy vật
trong việc nghiên cứu toán học của mình.
Ngày nay, nhiều nhà toán học, nhiều thầy cơ giáo dạy tốn đã nghiên cứu các
vấn đề Triết học trong tốn học để tìm ra phương pháp học toán, dạy toán và nghiên
cứu toán. Ở nước ta có thể kể đến là giáo sư Nguyễn Cảnh Tồn, người đã có nhiều
cơng trình nghiên cứu về vấn đề triết học và toán học cùng những ứng dụng trong
nghiên cứu, giảng dạy và đời sống. Ông rất quan tâm đến mối liên hệ giữa tốn học
với thực tiễn, ơng đã tìm hiểu và vận dụng rất thành cơng mối liên hệ này và phép
biện chứng duy vật trong việc học tập, giảng dạy và nghiên cứu toán. Tác phẩm

Tải bản FULL (file word 18 trang): bit.ly/2Ywib4t

8


Phương pháp luận duy vật biện chứng với việc học, dạy, nghiên cứu tốn học của

giáo sư Nguyễn Cảnh Tồn là tài liệu rất có giá trị trong việc học và dạy toán. (xem
[5])
Trong đời sống thường ngày chúng ta vẫn vận dụng những quy luật triết học
vào trong nhận thức toán học hoặc vận dụng tư duy toán học để nhận thức những
vấn đề trong cuộc sống nhưng ở những mức độ và hiệu quả khác nhau, nhiều khi
không nhận ra. Do đó, việc nghiên cứu triết học sẽ cho chúng ta một sự chủ động
trong việc nắm bắt và vận dụng các quy luật của triết học trong nhận thức tốn học
và trong các hoạt đợng thường ngày.

II - TÁC ĐỘNG CỦA TOÁN HỌC ĐỐI VỚI SỰ HÌNH THÀNH VÀ PHÁT
TRIỂN THẾ GIỚI QUAN DUY VẬT
Quan điểm duy vật biện chứng thúc đẩy toán học tiến lên. Ngược lại các phát
minh toán học củng cố cho quan điểm duy vật biện chứng.
1. Toán học góp phần hoàn thiện những tri thức triết học
Toán học cung cấp cho triết học những tri thức về mặt số lượng và hình thức
không gian của các sự vật, hiện tượng ở mức chính xác rất cao. Tốn học có các
đối tượng là tương quan số lượng và dạng không gian của các sự vật, hiện tượng.
Toán học đã nghiên cứu những đặc điểm của các đối tượng này bằng những
phương pháp mang tính trừu tượng và khái quát rất cao. Vì thế mà tính đúng đắn
của các tri thức thức toán học không phụ thuộc vào một sự vật, hiện tượng cụ thể
nào. Do đó, các tri thức của nó dễ dàng đem phục vụ cho sự phát triển của các
ngành khoa học khác.
Qua từng thời kì lịch sử toán học phản ánh ngày càng sâu sắc, chính xác về
mặt lượng của các đối tượng khác nhau. Do đó, toán học cung cấp tri thức cho
những lĩnh vực khác nhau của đời sống ngày càng hiệu quả. Cơ học và thiên văn
học sử dụng tri thức của toán học là điều dễ thấy. Toán học được sử dụng trong
sinh học, địa lí, hóa học rất phổ biến. Ngay cả trong các lĩnh vực tưởng chừng như
không dùng đến toán học như văn học, ngôn ngữ học, mỹ thuật thì vẫn có đóng
góp của toán học. Ví dụ:
• Trong văn học, khảo sát khả năng xuất hiện từ ngữ nào đó trong văn chương

để tìm hiểu phong cách của tác giả hoặc ý đờ nghệ tḥt của tác giả.
• Trong ngơn ngữ học, người ta sử dụng tri thức toán học để giải mã ngôn ngữ
của người cổ xưa hay nghiên cứu ngôn ngữ của một vùng nào đó. Chẳng
hạn: từ ngữ đó tương ứng với từ nào trong ngôn ngữ hiện dùng và một khi nó
tương ứng với từ đó thì không thể hoặc ít có khả năng tương ứng với từ khác
(sử dụng tri thức về ánh xạ).

Tải bản FULL (file word 18 trang): bit.ly/2Ywib4t

9


• Trong hội họa, người ta từng khảo sát rất nhiều bức họa đẹp thì thấy bố cục
của chúng tuân theo “tỉ lệ vàng”. Hoặc trong kĩ thuật dệt tranh thì người ta
phóng bức tranh to ra, chia tranh thành các ô vuông rất nhỏ rồi dệt theo từng
ô, ô được dệt tương ứng số 1, ô không dệt tương ứng với số 0.
Qua các ví dụ trên đây ta thấy rằng toán học và các lĩnh vực của đời sống luôn
thâm nhập vào nhau. Toán học lấy mặt lượng và quan hệ số lượng của các sự vật,
hiện tượng trong các lĩnh vực khác làm đối tượng nghiên cứu của mình. Sau đó
những tri thức toán học phục vụ trở lại các lĩnh vực khác. Điều này giúp cho toán
học và các khoa học khác cùng phát triển.
Toán học không chỉ đơn thuần cung cấp tri thức về mặt số lượng cho các lĩnh
vực khác mà nó còn cung cấp tri thức về phương pháp, cách thức tư duy có thể
vận dụng vào các khoa học khác. Ví dụ: tri thức về xác suất thống kê được áp dụng
vào ngành y rất hiệu quả. Người ta đã vận dụng tri thức này để chọn đối tượng nào
đem khảo sát thì cho kết quả tốt, tính toán khả năng bệnh di truyền xảy ra,… Tất
nhiên sự ứng dụng là linh hoạt vì thế kiến thức và cách tư duy của toán học cần
được hiểu rõ để vận dụng chính xác, hiệu quả.
Mỗi người, cuộc sống của mình, dù làm nghề gì cũng cần đến một số kiến
thức toán học, nhiều hay ít là tùy trường hợp. Vì thế việc học toán và nhất là các

phương pháp toán học, tư duy toán học rất cần thiết đới với mọi người.
2. Tốn học góp phần điều chỉnh và hoàn thiện những nguyên tắc Triết học
Trong suốt quá trình hình thành và phát triển, toán học đã góp phần điều chỉnh
và hoàn thiện các nguyên tắc triết học để phù hợp và phản ánh đúng đắn bản chất
của sự vật hiện tượng.
Thời kì toán học của các đại lượng bất biến (nghiên cứu về các giá trị cố định):
Toán học góp phần vào sự hình thành cơ sở của logic hình thức. Nó giúp cho lập
luận được chính xác, chặt chẽ hơn.
Thời kì toán học của các đại lượng biến thiên: giới hạn, liên tục, phép tính vi phân,
tích phân,… Điều này góp phần thay đổi về chất tư duy khoa học, giúp phát triển
logic biện chứng.
“Mỗi lần có một phát minh vạch thời đại, ngay cả trong lĩnh vực khoa học tự nhiên,
thì chủ nghĩa duy vật khơng tránh khỏi thay đổi hình thức của nó.” ( xem 606, [1])
Ví dụ: Nhà toán học Godel đã chứng minh được rằng trừ hai hệ hình thức đơn giản
là tốn mệnh đề và tốn tân từ (và các hệ hình thức tương đương với chúng) là đầy
đủ (tức khơng xảy ra nghịch lí) cịn các hệ hình thức phức tạp hơn (hệ tiên đề về số
học, về tập hợp,...) đều không thể trở thành hệ đầy đủ (nếu ta bổ sung thêm các tiên
đề để khắc phục nghịch lí thì lại có một nghịch lí khác xảy ra).
10