Tải bản đầy đủ (.pdf) (9 trang)

Nhóm cơ bản và đồng điều lý thuyết toán học hiện đại

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.48 MB, 9 trang )

9/6/2021

Nhóm cơ bản và đồng điều: lý thuyết - Tốn học hiện đại - Diễn đàn Toán học

Diễn đà n T oá n h ọc →
Ng h iên cứu T oá n h ọc →
T oá n h ọc h iện đại

Nhóm cơ bản và đồng điều: lý thuyết
Bắt đầu bởi Minhnksc, 2 6 -04 -2 02 1 - 01 :1 5

Đã g ửi 2 6 -0 4 -2 0 2 1 - 0 1 :1 5

Minhnksc

Đây là bài viết đầu tiên của mình về topo đại số trên diễn đàn, và sẽ là topic mình sẽ tổng hợp lại bài từ cái webinar
nho nhỏ của tụi mình trong khoảng thời gian sắp tới. Bài đầu tiên sẽ do mình đăng, các bài sẽ chủ yếu dựa trên
quyển Topo đại số của Rotman.
 
Trước hết, mình sẽ trình bày về các khái niệm đồng luân, null- homotopic, contractible và topo thương.
 

1. Đồng luân
Định nghĩa 1.1. Xét X, Y là hai không gian topo và hai ánh xạ liên tục f, g : X → Y. Khi đó f gọi là đồng luân với g
nếu như tồn tại một ánh xạ liên tục F: X × I → Y mà F(x, 0) = f(x) và F(x, 1) = g(x). Kí hiệu f ≃ g.
Nếu như f đồng luân với g thì có thể ví như có thể dời, làm biến dạng từ f được thành g, và f t(x) = F(x, t) miêu tả sự
"biến dạng" tại thời điểm t.
Ví dụ: Xét γ i : I → C với i = 0, 1 là hai hàm liên tục mà ảnh của chúng là hai đường cong trong mặt phẳng phức. Nếu ta
xét F(x, t) = tγ 1 (x) + (1 − t)γ 0 (x) thì dễ thấy γ 0 ≃ γ 1 .

( />Bổ đề 1.2. Giả sử không gian X là hợp hữu hạn các tập đóng X i và f i là các ánh xạ liên tục từ X i vào Y thỏa mãn


f i(X i ∩ X j) = f j(X i ∩ X j) thì tồn tại duy nhất f : X → Y liên tục mà f | X i = f i.
Chứng minh
Hiển nhiên từ X là hợp của các tập X i và f i(X i ∩ X j) = f j(X i ∩ X j) ta thấy rằng ánh xạ f được xác định duy nhất.
Giả sử C là một tập đóng của Y, khi đó:
 
f − 1 (C) = f − 1 ( ⋃ C ∩ f(X i)) =

⋃ f − 1 (C ∩ f(X i)) = ⋃ f i− 1 (C ∩ f i(X i)).

Vì C ∪ f i(X i) đóng trong f i(X i) nên C ∪ f i(X i) đóng trong X i.    ◻
Từ đó ta có f − 1 (C) và suy ra f liên tục.
Định lý 1.3. Đồng luân là một quan hệ tương đương trên tập các ánh xạ liên tục đi từ X vào Y.
+  Tính phản xạ: Xét F(x, t) = f(x)∀(x, t) ∈ X × I, rõ ràng F liên tục nên f ≃ f.
+  Tính đối xứng: Nếu F(x, t) liên tục, F(x, 0) = f(x) và F(x, 1) = g(x) thì G(x, t) = F(x, 1 − t) liên tục,
G(x, 0) = F(x, 1) = g(x) và G(x, 1) = F(x, 1) = f(x). Do đó nếu f ≃ g thì g ≃ f.
+  Tính bắc cầu: Giả sử F: f ≃ g và G: g ≃ h. Khi đó xác định:

H(x, t) =

{

F(x, 2t),
G(x, 2t − 1),

∀0 ≤ t ≤

1
2

1


∀ 2 ≤ t ≤ 1.

    
Ta có H(x, 0) = f(x) và H(x, 1) = g(x). Hơn nữa H liên tục là hệ quả trực tiếp từ bổ đề 1.2, do đó f ≃ h.    ◻
Định nghĩa 1.4. Nếu f : X → Y là ánh xạ liên tục thì lớp tương đương đồng luân được định nghĩa như sau:

/>
1/9


9/6/2021

Nhóm cơ bản và đồng điều: lý thuyết - Tốn học hiện đại - Diễn đàn Toán học
  
[f] = {ánh xạ g liên tục từ X vào Y : f ≃ g}.
Để kết luận rằng đồng luân là một congruence trên T op thì ta chỉ cịn cần chứng minh định lý sau:
Định lý 1.5. Cho f i : Y → Z và g i : X → Y với i = 0, 1 là các ánh xạ liên tục thỏa mãn f 0 ≃ f 1 và g 0 ≃ g 1 . Khi đó
[f 0 ∘ g 0 ] = [f 1 ∘ g 1 ].
Chứng minh
Đầu tiên ta khẳng định rằng f 0 ∘ g 0 ≃ f 1 ∘ g 0 .Giả sử F: f 0 ≃ f 1 Xét G(x, t) = F(g 0 (x), t) và C là tập mở trong Y, từ đó
ta có F − 1 (C) mở trong X × I.
Khi đó X × I có cơ sở là U × V với U và V lần lượt là tập mở trong X và trong I. Hơn nữa, nếu đặt h(x, t) = (g 0 (x), t)
thì G = F ∘ h và:
     
h − 1 (U × V) =

⋃ h − 1 (U × {t}) = ⋃ g 0− 1 (U) × {t} = g 0− 1 (U) × V

t∈V


t∈V

mở trongX × I.
Do đó G là một ánh xạ liên tục, từ đó dễ dàng suy ra f 0 ∘ g 0 ≃ f 1 ∘ g 0 . Tương tự, ta cũng có f 1 ∘ g 0 ≃ f 1 ∘ g 1 và định lý
được chứng minh.    ◻
Hệ quả 1.6. Đồng luân là một congruence trên T op
Khi đó ta xây dựng được một phạm trù thương trên T op với Hom(X, Y) = [X, Y] và phép hợp hai cấu xạ
[f] ∘ [g] = [f ∘ g].
Phạm trù thương được xác định như trên được gọi là phạm trù thương đồng luân, và được kí hiệu là hT op.

2. Null-homotopic và định lý cơ bản của đại số
Định nghĩa 2.1. Ánh xạ k được gọi là ánh xạ hằng trên X nếu tồn tại y ∈ Y sao cho k(x) = y với mọi x ∈ X. Một
ánh xạ f : X → Y liên tục được gọi là null-homotopic nếu tồn tại ánh xạ hằng k trên X mà f ≃ k.
Nói cách khác, một ánh xạ f là null-homotopic nếu như nó "co được" về một điểm.
Định lý 2.2. Cho f : S n → Y là ánh xạ liên tục vào không gian Y nào đó. Các điều kiện sau là tương đương:
1. f là null-homotopic
2. f có thể thác triển thành một ánh xạ liên tục g : Dn → Y
3. Nếu x 0 ∈ S n và k: S n → Y là ánh xạ hằng tại f(x 0 ) thì tồn tại một đồng luân F: f ≃ k với F(x 0 , t) = f(x 0 ) với
mọi t ∈ I
Chứng minh
     (1) ⇒ (2): Xét F: f ≃ k với k là ánh xạ hằng, k(x) = a với mọi x. Định nghĩa:

g(x) =

{

a,
F(


x
| |x | |

∀0 ≤ | | x | | ≤

, 2 − 2 | | x | | ),



1
2

1
2

≤ | | x | | ≤ 1.

 Dễ thấy rằng g liên tục nhờ bổ đề 0.2
     (2) ⇒ (3):Xét F(x, t) = g((1 − t)x + tx 0 ). Ta kiểm tra lại được rằng F liên tục, F(x, 0) = f(x) và F(x, 1) = f(x 0 nên
F: f ≃ k. Hơn nữa F(x 0 , t) = g(x 0 ) = f(x 0 )
  (3) ⇒ (1): Hiển nhiên.    ◻
Định lý 2.3. Giả sử Σρ ⊂ C là đường tròn tâm 0 bán kính ρ và kí hiệu f nρ : Σρ → C − {0} là hạn chế của z ↦ z n trên Σρ
n

. Nếu khơng có ánh xạ f ρ nào là null-homotopic thì định lý cơ bản của đại số là đúng.
Chứng minh
n

+) Xét đa thức g(x) = x n + . . . + a 0 . Ta xây dựng ánh xạ đồng luân giữa g hạn chế trên Σρ và ρ > 0 nào đó và f ρ
sau:

     
F(x, t) = x n + (1 − t)(a n − 1 x n − 1 + . . . + a 0 ).
n

 Khi đó rõ ràng F liên tục, F(x, 0) = g(x) và F(x, 1) = f ρ (x). Giờ ta chỉ cần chứng minh g t(x):= F(x, t) nằm hoàn toàn
trong C − {0} là xong.
 Thật vậy, chọn ρ sao cho ρ > 1 + max 1 ≤ i ≤ n | a i | . Giả sử tồn tại x,t mà F(x, t) = 0, ta có:

/>
2/9


9/6/2021

Nhóm cơ bản và đồng điều: lý thuyết - Tốn học hiện đại - Diễn đàn Toán học
ρ n = | x | n = (1 − t) | a n − 1 x n − 1 + . . . + a 0 |
≤ | an − 1 | | x | n − 1 + . . . + | a0 |
≤ ρ( | x | n − 1 + . . . + | x | + 1) = ρ n + . . . + ρ.
Điều này khơng thể xảy ra vì ρ > 0.
+) Giả sử g khơng có nghiệm phức, khi đó xét G(x, t) = g((1 − t)x). Vì g khơng có nghiệm phức nên G nằm hoàn toàn
trong C − {0}. Dễ thấy rằng G: g | Σρ ≃ k với k: z ↦ a 0 . Do đó ta phải có f nρ ≃ k, tức f nρ là null - homotopic.
    Điều này mâu thuẫn với điều ta giả sử.    ◻

3. Contractible và không gian thương
Định nghĩa 2.4. Tập con X của R n được gọi là lồi nếu với mọi x, y ∈ X và t ∈ I thì tx + (1 − t)y ∈ X.
Định nghĩa 2.5. X được gọi là contractible nếu 1 X là null-homotopic.
Một cách khơng chặt chẽ, ta có thể nói rằng khơng gian X là contractible nếu nó "co được" về một điểm.

( /> 
Định lý 2.6. Nếu X lồi thì X cũng là contractible.

Chứng minh
     Xét x 0 ∈ X và F(x, t) = tx + (1 − t)x 0 , vì X lồi nên ta ln có tx + (1 − t)x 0 ∈ X. Khi đó dễ thấy rằng F: 1 X ≃ k
với k là ánh xạ hằng trên X và k(x) = x 0 .    ◻
Định nghĩa 2.7.  Xét X là một không gian topo và Y = {X i} là một phân hoạch của X. Lúc này, ánh xạ tự nhiên của X
là v : X → Y được xác định bởi v(x) = X i và topo trên Y gồm họ các tập U mà v − 1 (U) mở trong X được gọi là topo
thương trên Y.
Ta quan tâm hai trường hợp đặc biệt sau đây:
  + Nếu xét A là một tập con của X thì phân hoạch của X, kí hiệu là X / A gồm các tập con một phần tử của X − A và
chính tập A. Khi đó khơng gian thương X / A được tạo bởi "chập" các điểm của A trong X thành một điểm
  + Trường hợp thứ hai là xét một quan hệ tương đương ∼ trên X và phân hoạch Y chính là họ các lớp tương đương của
quan hệ ∼ . Khi đó ánh xạ v được xác định bởi v : x ↦ [x] Khơng gian thương trên Y khi đó được kí hiệu bởi X / ∼ .

/>
3/9


9/6/2021

Nhóm cơ bản và đồng điều: lý thuyết - Tốn học hiện đại - Diễn đàn Tốn học

( />Ví dụ:
Ta xét một ví dụ về topo thương sử dụng quan hệ tương đương, đặt X = I × I và xác định ∼ là quan hệ tương đương
mà (x, 0) ∼ (x, 1). Khi đó X / ∼ sẽ đồng phơi với một cái ống S 1 × I. Hơn nữa, nếu ∼ thỏa mãn (1, y) ∼ (0, y) thì
X / ∼ sẽ đồng phơi với một hình xuyến (torus) S 1 × S 1 .

Bài v iết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnksc: 2 5-06 -2 02 1 - 01 :50

Đã g ửi 2 3 -0 6 -2 0 2 1 - 1 3 :3 6

Minhnksc


1.Liên thông đường
Định nghĩa 1.1 Một đường trong X là một ánh xạ liên tục f : I → X. Nếu f(0) = a và f(1) = b, ta nói f là một đường từ
a đến b.
Định nghĩa 2.1 Một không gian X được gọi là liên thông đường nếu, với mọi a, b ∈ X, tồn tại một đường trong X từ
a đến b.
Định lý 1.3 Nếu X liên thông đường thì X liên thơng.
Chứng minh
Nếu X khơng liên thơng thì tồn tại A, B ≠ ∅ là các tập mở trong X sao cho A ∩ B = ∅ và A ∪ B = X. Lấy a ∈ A và
b ∈ B, xét f : I → X là một đường từ a đến b. Ta có
f(I) = (A ∩ f(I)) ∪ (B ∩ f(I)).
Do đó f(I) khơng liên thơng. Điều này mâu thuẫn vì f(I) phải liên thơng.     ◻
Định lý 1.4 Nếu f : X → Y liên tục và X liên thơng đường, thì f(X) liên thơng đường.
Chứng minh
Ta có, với mỗi y 1 , y 2 ∈ f(X) thì tồn tại x 1 , x 2 ∈ X sao cho f(x 1 ) = y 1 , f(x 2 ) = y 2 . Do X liên thông đường nên tồn tại
h : I → X liên tục sao cho h(0) = x 1 , h(1) = x 2 . Xét hàm g = f ∘ h, khi đó g : I → Y liên tục và g(0) = y 1 , g(1) = y 2 nên
f(X) liên thông đường.    ◻
 

2. Thành phần đường
Định lý 2.1 Nếu X là một khơng gian topo, thì quan hệ hai ngôi ∼ trên X xác định bởi "a ∼ b nếu và chỉ nếu có
một đường trong X từ a đến b" là một quan hệ tương đương.
Chứng minh
Tính phản xạ: Nếu a ∈ X, hàm hằng f : I → X với f(x) = a ∀x ∈ I là một đường từ a đến a.
 Tính đối xứng: Nếu f : I → X là một đường từ a đến b, thì g : I → X sao cho g(x) = f(1 − x) ∀x ∈ I là một
đường từ b đến a.
 Tính bắc cầu: Nếu f là một đường từ a đến b và g là một đường từ b đến c thì h : I → X xác định bởi:
     

h(t) =


/>
{

f(2t) nếu 0 ≤ t ≤ 1 / 2
g(2t − 1) nếu 1 / 2 ≤ t ≤ 1.

4/9


9/6/2021

Nhóm cơ bản và đồng điều: lý thuyết - Tốn học hiện đại - Diễn đàn Tốn học
    khi đó h liên tục nên h là đường từ a đến c.   ◻
Định nghĩa 2.2 Các lớp tương đương trong X xác định dưới quan hệ tương đương ∼ trong định lí trên được gọi là các
thành phần đường trong X.
Các thành phần đường của X là các tập con liên thơng đường lớn nhất của nó. Hơn nữa, mọi tập con liên thông đường
của X là tập con của một thành phần đường duy nhất của X.
Định nghĩa 2.3 Ta sẽ kí hiệu tập các thành phần đường trong X là π 0 (X). Đồng thời xác định
π 0 (f): π 0 (X) → π 0 (Y) là ánh xạ biến mỗi thành phần đường C ⊂ X thành một thành phần đường của Y chứa f(C).
Định nghĩa ánh xạ π 0 (f) ở trên là một định nghĩa tốt do ảnh của một tập liên thông đường qua một ánh xạ liên tục cũng
là một tập liên thông đường, hơn nữa chỉ có duy nhất một thành phần đường Y chứa f(C).
Định lý 2.4 π 0 : T op → Sets là một hàm tử. Hơn nữa, nếu f ≃ g, thì π 0 (f) = π 0 (g).
Chứng minh
Chúng ta dễ dàng kiểm tra rằng π 0 bảo toàn phần tử đơn vị và bảo toàn phép hợp thành, từ đó kết luận được π 0 là
một hàm tử.
Nếu f ≃ g thì tồn tại F: X × I → Y liên tục sao cho F(x, 0) = f(x)∀x ∈ X và F(x, 1) = g(x)∀x ∈ X. Nếu C là thành
phần đường của X thì C × I là liên thơng đường, nên F(C × I) là liên thơng đường. Ta có:
   
f(C) = F(C × 0) ⊂ F(C × I) và F(C × I) ⊃ F(C × 1) = g(C).

 Khi đó, thành phần đường Y chứa F(C × I) cũng chứa f(C) và g(C). Vậy nên π 0 (f) = π 0 (g).    ◻
Hệ quả 2.5 Nếu X và Y có cùng dạng đồng ln thì π 0 (X) đẳng cấu với π 0 (Y).
Định nghĩa 2.6  Một không gian X được gọi là liên thông đường địa phương nếu, ∀x ∈ X và mọi lân cận mở U chứa x
, tồn tại một tập mở V với x ∈ V ⊂ U sao cho bất kì hai điểm nào trong V cũng có một đường trong U đi từ điểm này
đến điểm kia. 
Định lý 2.7 Một không gian X là liên thông đường địa phương nếu và chỉ nếu các thành phần đường của một taappj
mở là tập mở. Nói riêng, nếu X liên thơng đường địa phương thì các thành phần đường của nó đều mở.
Chứng minh
Giả sử X là liên thông đường địa phương và U là một tập mở trong X. Lấy C là một thành phần đường trong U, và với
mỗi x ∈ C tồn tại một tập mở V sao cho x ∈ V ⊂ U thỏa mãn với mỗi điểm trong V thì đều có một đường từ điểm đó
tới x trong U. Vì thế mỗi điểm trong V đều thuộc cùng một thành phần đường chứa x nên V ⊂ C. Vậy, C mở.
Ngược lại, cho U là một tập mở trong X, với x ∈ U, gọi V là thành phần đường của x trong U. Theo giả thiết V mở. Vậy
nên X là liên thông đường địa phương.      ◻
Hệ quả 2.8  X liên thông đường địa phương nếu vầ chỉ nếu, với mỗi x ∈ X và với mỗi lân cận mở U của x tồn tại
một tập mở liên thông đường V sao cho x ∈ V ⊂ U.
Hệ quả 2.9 Nếu X liên thông đường đại phương thì các thành phần của mỗi tập mở trùng với các thành phần đường
của nó. Đặc biệt, các thành phần của X trùng với các thành phần đường của X.
Hệ quả 2.10 Nếu X liên thông và X liên thơng đường địa phương thì X liên thơng đường.

Bài v iết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnksc: 2 5-06 -2 02 1 - 00:4 5

Đã g ửi 2 5 -0 6 -2 0 2 1 - 0 1 :3 7

gosh

1. Groupoid cơ bản
 
Định nghĩa 1.1. Cho f, g : I → X là các đường với f(1) = g(0). Định nghĩa đường f ∗ g : I → X như sau:
 


            (f ∗ g)(t) =

{

f(2t)
g(2t − 1)

với 0 ≤ t ≤

1
2

;

1

với  2 ≤ t ≤ 1.

      
Bài tốn. Nếu khơng gian X contractible và Y liên thơng đường thì hai ánh xạ liên tục bất kỳ X → Y là đồng ln
và mỗi ánh xạ đó đều là null-homotopic.
Chứng minh.
        Vì X contractible nên 1 x ≃ k với k: X → X là một ánh xạ hằng.
        Lấy f, g : X → Y là hai ánh xạ liên tục, ta có:\\
        f = 1 X ∘ f ≃ k ∘ f ≃ k1  với k1 : X → Y là ánh xạ hằng biến tất cả các phần tử của X thành y 1 ; 

/>
5/9



9/6/2021

Nhóm cơ bản và đồng điều: lý thuyết - Tốn học hiện đại - Diễn đàn Toán học
        g = 1 X ∘ g ≃ k ∘ g ≃ k2  với k2 : X → Y là ánh xạ hằng biến tất cả các phần tử của X thành y 2 .
        Ta cần chứng minh k1 ≃ k2 .
        Do Y là liên thông đường nên tồn tại một đường h : I → Y với h(0) = y 1 và h 1 = y 2 .
        Ta xây dựng đồng luân F: X × I → Y mà F(x, t) = h(t) với mọi t ∈ [0, 1] và x ∈ X.
 
Định nghĩa 1.2. Cho A ⊂ X và f 0 , f 1 : x → Y là các ánh xạ liên tục với f 0 | A = f 1 | A. Ta viết
f 0 ≃ f 1  rel A
nếu tồn tại một đồng luân F: f 0 ≃ f 1 mà  F(a, t) = f 0 (a) = f 1 (a) với mọi a ∈ A và mọi t ∈ I.
Đồng luân F được gọi là đồng luân tương đối (đồng luân rel A).
Nhận xét: Quan hệ đồng luân rel A là một quan hệ tương đương.
 
Định nghĩa 1.3. Cho ˙I = {0, 1}. Lớp tương đương của đường f : I → X rel ˙
I được gọi là lớp đường của f và ký
hiệu là [f].

( /> 
 
Định lý 1.4. Giả sử f 0 , f 1 , g 0 , g 1 là các đường trong X với f 0 ≃ f 1 rel ˙
I và g 0 ≃ g 1  rel ˙
I.
˙
Nếu f (1) = f (1) = g (0) = g (0) thì f ∗ g ≃ f ∗ g  rel I.
0

1

0


1

0

0

1

1

Chứng minh.
        Với đồng luân tương đối F: f 0 ≃ f 1  rel ˙
I và G: g 0 ≃ g 1  rel ˙
I, ta xây dựng được đồng luân tương đối
˙
H: f ∗ g ≃ f ∗ g  rel I như sau:
0

0

        H(t, s) =

1

{

1

F(2t, s)

G(21 − 1, s)

với 0 ≤ t ≤
với 

1
2

1
2

≤ t ≤ 1.
        

( /> 
Định nghĩa 1.5. Nếu f : I → X là một đường từ x 0 đến x 1 , ta gọi x 0 là \textbf{điểm đầu} của f (x 0 = α(f)) và x 1 là
điểm cuối của f (x 1 = ω(f)).
 Một đường được gọi là một đường đóng nếu nó có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau.

/>
6/9


9/6/2021

Nhóm cơ bản và đồng điều: lý thuyết - Tốn học hiện đại - Diễn đàn Toán học
 
Định nghĩa 1.6. Nếu p ∈ X thì hàm hằng i p : I → X với i p (t) = p với mọi t ∈ I được gọi là đường hằng tại p.
 Nếu f : I → X là một đường thì ta định nghĩa đường nghịch đảo f − 1 : I → X (t ↦ f(1 − t)).
 

Nhận xét: Nếu f là đường đóng thì ta có

        f ∗

f − 1 (t)

{
{

f(2t)

với 0 ≤ t ≤

=

1
2

1

f(2 − 2t)

với  2 ≤ t ≤ 1

f(1 − 2t)

với 0 ≤ t ≤

f(2t − 1)


với 

        f − 1 ∗ f(t) =

1
2

1
2

≤ t ≤ 1.

Khi đó, f ∗ f − 1 ≠ f − 1 ∗ f.
 
Định lý 1.7. Nếu X là một khơng gian thì tập các lớp đường trong X cùng với phép toán [f][g] = [f ∗ g] tạo thành
một hệ thống đại số (được gọi là groupoid) thỏa mãn các tính chất sau:
            (i) mỗi lớp đường [f] với điểm đầu α[f] = p ∈ X và điểm cuốiω[f] = q ∈ X thì [i p ][f] = [f] = [f][i q ];
            (ii) tính chất kết hợp khi có thể; 
            (iii) nếu p = α[f] và q = ω[f] thì [f][f − 1 ] = [i p ] và [f − 1 ][f] = [i q ].
Chứng minh.
        (i)

( />
168008-0-32460000-1624558783.png)
        Ta chỉ cần chứng minh i p ∗ f ≃ frel ˙
I, còn lại tương tự.
1
        Phương trình đoạn thẳng nối điểm (0, 1) với ( , 0) là 2s = 1 − t.
2
1−t

        Với mỗi t ∈ [0, 1] cố định, định nghĩa một ánh xạ affine: θ t : [
, 1] → [0, 1] nối các điểm mút của hai đoạn
2
đó.
        Ta xây dựng đồng luân H: i ∗ f ≃ f rel ˙
I  như sau:
p

 
        H(s, t) =

{

p với 2s ≤ 1 − t
f(θ t(s))với 2s ≥ 1 − t.

 

/>
7/9


9/6/2021

Nhóm cơ bản và đồng điều: lý thuyết - Tốn học hiện đại - Diễn đàn Tốn học
        (ii)

( />
0-60483100-1624558775.png)
1

1
2−t
        Phương trình đoạn thẳng nối ( , 0) và ( , 1) là s =
.
2
4
4
3
1
3−t
        Phương trình đoạn thẳng nối ( , 0) và ( , 1) là s =
.
4
2
4
        Tương tự (i), với mỗi t ∈ [0, 1], ta xây dựng ánh xạ affine: θ 1 t : [0,

2−t
] → [0, 1];
4

2−t 3−t
,
] → [0, 1];
4
4
3−t
        θ 1 t : [
, 1] → [0, 1].
4

        Ta xây dựng đồng luân H: (f ∗ g) ∗ h ≃ f ∗ (h ∗ g) rel ˙
I  như sau:
        θ 2 t : [

 

{

f(θ 1 t(s)) với s ∈ [0,

        H(s, t) = g(θ 2 t(s)) với s ∈ [

2 −t

]

4

2 −t 3 −t

,

4

h(θ 3 t(s)) với s ∈ [

3 −t
4

4


]

, 1]

 
        (iii) Ta chỉ cần chứng minh f ∗ f − 1 ≃ i p  rel ˙
I, còn lại tương tự.
        xây dưng đồng luân H: f ∗ f − 1 ≃ i p  rel ˙
I như sau:
 

        H(s, t) =

{

f(2s(1 − t)) với s ∈ [0,

1
2

]

1

f(2(1 − s)(1 − t)) với s ∈ [ , 1].
2

 
Định nghĩa 1.8. Cố định một điểm x 0 ∈ X và gọi điểm đó là điểm nền. Nhóm cơ bản của X với điểm nền x 0


               

{

π 1 (X, x 0 ) = [f]: [f] là lớp đường trong Xvớiα[f] = x 0 = ω[f]

}

cùng với phép toán [f][g] = [f ∗ g].
 
       

 2. Hàm tử π 1

{ } thì

Đinh lý 2.1.  π 1 : T op ∗ → Group là một hàm tử. Hơn nữa, nếu h, k: (X, x o ) → (Y, y 0 ) và h ≃ k rel x 0
π 1 (h) = π 1 (k).

/>
8/9


9/6/2021

Nhóm cơ bản và đồng điều: lý thuyết - Tốn học hiện đại - Diễn đàn Tốn học

( /> 
Định lí 2.2. Nếu X là không gian liên thông đường và x 0 , x 1 ∈ X, thì π 1 (X, x 0 ) ≅ π 1 (X, x 1 ).

Chứng minh:
         Lấy γ là đường trong X đi từ x 0 đến x 1 . Xác định đồng cấu ϕ : π 1 (X, x 0 ) → π 1 (X, x 1 ) ([f] ↦ [γ − 1 ][f][γ]. Sử
dụng định lí 1.7 suy ra ϕ là một đẳng cấu.
        

( />
Bài v iết đã được chỉnh sửa nội dung bởi gosh: 2 5-06 -2 02 1 - 2 0:3 8

Trở lại Toán học hiện đại

Diễn đà n T oá n h ọc → Ng h iên cứu T oá n h ọc → T ố n h ọc h iện đại

/>
9/9



×