De thi chon hsg lop 9 TMN

<span class='text_page_counter'>(1)</span>TRƯỜNG THCS TRẦN MAI NINH. ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 VÒNG II NĂM HỌC 2012 – 2013. (Thời gian làm bài 150 phút) .................................................................. Bài 1:(5 điểm) 6. 5. a −2 a +a −2 5 a +1 25 16  2 và ( x  z ) ( z  y)(2 x  y  z ). a) Tính giá trị biểu thức Q = Biết. a 5 = x + y x+ z. 1 1 1 1    b) Cho các số nguyên a, b, c  0 thoả mãn: a b c abc 1  a 2   1  b 2   1  c2   Chứng minh rằng: là số chính phương Bài 2: (4 điểm) x  241 x  220 x  195 x  166    10 19 21 23 a) Giải phương trình: 17 2. b) Giải phương trình nghiệm nguyên: x( x + x + 1) = 4y( y + 1) Bài 3: (4 điểm) a) Cho a, b, c là các số thực dương sao cho a  c, b  c. Chứng minh rằng c  a  c   c  b  c   ab. b) Gi¶ sö f(x) lµ mét ®a thøc bËc 4 víi hÖ sè nguyªn. Chøng minh r»ng: NÕu f(x) 7 víi ∀ x ∈ Ζ th× tõng hÖ sè cña f(x) còng 7 Bài 4: (5 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực tâm HA '. HB' HC '. a) Tính tổng AA ' + BB ' + CC ' b) Gọi AI là phân giác của tam giác ABC; IM, IN thứ tự là phân giác của góc AIC và góc AIB. Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN. IC.AM ( AB  BC  CA) 2 2 2 2 c) Tam giác ABC như thế nào thì biểu thức ( AA ')  ( BB ')  (CC ') đạt giá trị nhỏ nhất? Bài 5: (2 điểm) Cho hình vuông MNPQ, lấy điểm E thuộc cạnh MQ, điểm F thuộc cạnh NP sao cho: ME = PF. Các đường thẳng MF và NE cắt đường thẳng PQ lần lượt tại C và B. Kéo dài MB và NC cắt nhau tại A. Chứng minh rằng tam ABC là tam giác vuông. .........................Hết...................... ( Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.).

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Họ và tên thi sinh..........................................................Số báo danh....................... TRƯỜNG THCS TRẦN MAI NINH. HƯỚNG DẪN CHẤM CHỌN HSG TOÁN 9 NĂM HỌC 2012 - 2013 Bài 1. Nội dung a. 5,0đ 3,0đ. a 5 5−a 5+ a Ta có x + y = x+ z = z − y = 2 x+ y+ z 2 x+ z ¿ (5 −a)(5+ a) ¿ Suy ra 25 = ( z − y)( 2 x + y + z) = ¿ 16 25 −a 2 = = ( z − y)( 2 x + y + z) (z − y)( 2 x + y +z). Suy ra 25 – a2 = 16 Þ a2 = 9 Þ a= ±3 6 5 a5 (a − 2)+( a −2) a −2 a +a −2 Mặt khác Q = = = a5+ 1 a5 +1 5 (a −2)(a + 1) = = a – 2, với a  - 1 5 a +1. Với a = 3 thì P = 1 với a = - 3 thì P = - 5 b 2,0đ. Ta có:. Điểm 0,5. 0,75 0,5. 0,75 0,5. 1 1 1 1    Þ ab  bc  ca 1 a b c abc. Þ 1  a 2 ab  bc  ca  a 2 a(a  b)  c(a  b) (a  b)(a  c). 0,5. Þ 1  b 2 ab  bc  ca  b 2 b(a  b)  c(a  b) (a  b)(b  c) Þ 1  c2 ab  bc  ca  c2 b(a  c)  c(a  c) (a  c)(b  c). 0,5. 2 Þ (1  a 2 )(1  b 2 )(1  c2 ) (a  b)2 (b  c)2 (a  c)2  (a  b)(b  c)(c  a) . 0,5. Vì a, b, c là các số nguyên Þ (a  b)(b  c)(c  a)  Z 2. 2. 2. 0,5. Þ (1  a )(1  b )(1  c ) là số chính phương. 2. a. 4,0đ 2,0đ. Ta có:. x  241 x  220 x  195 x  166    10 17 19 21 23. x  241 x  220 x  195 x  166  1  2  3  4 0 17 19 21 23 x  258 x  258 x  258 x  258     0 17 19 21 23 1   1 1 1   x  258       0  17 19 21 23   x 258 . 0,5 0,5 0,5.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> b 2,0đ. Vậy phương trình có nghiệm x = 258 2 2 + Phương trình được biến đổi thành: (x + 1)(x + 1) = (2y + 1). 0,5 0,5. 2. + Ta chứng minh (x + 1) và (x + 1) nguyên tố cùng nhau. 2. Vì nếu d = UCLN (x+1, x + 1) thì d phải là số lẻ (vì 2y+1 lẻ). Þ.  x 2  x d  2  x  1d  x  1d  x  1d  x  1d  2   x  1d Þ  Þ  x  1d Þ 2 d mà d lẻ nên d = 1.. 0,5. 2. + Nên muốn (x + 1)(x + 1) là số chính phương 2. Thì (x+1) và (x + 1) đều phải là số chính phương  x 2  1 k 2  k 1 k  1    2 x  1 t Þ x  0   Þ  Đặt: (k + x)(k – x) = 1 hoặc  x 0 2 + Với x = 0 thì (2y + 1) = 1 Þ y = 0 hoặc y = - 1.(Thỏa mãn pt). (0; 0), Vậy nghiệm của phương trình là: (x; y) = . 3. a. 4,0đ 2,0đ. (0;  1). 0,5. 0,5. Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với c a c c b c    1 b a a b xy xy  2 Áp dụng bđt Cauchy Với x  0, y  0. Đẳng thức. xảy ra <=> x = y ta có.. 0,5. c a c 1 c a  c 1 c c       1    b a 2b a  2 b a. 0,5. c b c 1 c b c 1 c c       1    a b 2 a b  2 a b. 0,5. Cộng vế với vế hai bđt ta được bđt cần chứng minh: ab c a c c b c c   a b a và a b <=> Đẳng thức xảy ra <=> b. b. Gi¶ sö f(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e Do f(0) = e nªn e 7. 2,0đ. 0,5. 0,5.  f (1) a  b  c  d  e 7 a  c 7 Þ   MÆt kh¸c  f ( 1) a  b  c  d  e 7 b  d 7  f (2) 16a  8b  4c  2d  e 7 Þ   f ( 1) 16a  8b  4c  2d  e 7. 4a  c 7  4b  d 7. a  c 7 3a 7 a 7 b  d 7 3b 7 b 7 Þ  Þ  Þ  Þ    4 a  c  7 c  7 c  7 4 b  d  7 d  7       d 7 => vµ. Vậy các hệ số của f(x) đều chia hết cho 7. 0,75 0,5 0,25.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> 4 5,0đ. a 1,5đ. Ta có:. 1 . HA ' . BC S HBC 2 HA ' = = ; S ABC 1 AA ' . AA ' .BC 2 S HAB HC '. S HAC HB '. Tương tự: S =CC ' ; S =BB ' ABC ABC. 0,5 0,5. HA ' HB' HC ' S HBC SHAB S HAC + + = + + =1 AA ' BB ' CC' S ABC S ABC SABC. 0,5 b 1,5đ. Áp dụng tính chất phân giác vào các  ABC,  ABI,  AIC: BI AB AN AI CM IC = ; = ; = IC AC NB BI MA AI. 0,5. BI AN CM AB AI IC AB IC . .  . .  . 1 IC NB MA AC BI AI AC BI Þ BI . AN .CM BN .IC. AM . c 2,0đ. Vẽ Cx. 0,5 0,5. CC’. Gọi D là điểm đối xứng của A qua Cx. - Chứng minh được góc BAD vuông, CD = AC, AD = 2CC’ - Xét 3 điểm B, C, D ta có: BD. BC + CD. 0,5. - Δ BAD vuông tại A nên: AB2+AD2 = BD2 ⇒. AB2 + AD2  (BC+CD)2 => AB2 + 4CC’2  (BC+AC)2 => 4CC’2  (BC+AC)2 – AB2. Tương tự: 4AA’2  (AB+AC)2 – BC2 4BB’2  (AB+BC)2 – AC2. 0,75. - Chứng minh được : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2)  (AB+BC+AC)2. ( AB  BC  CA) 2 4 2 2 2 ( AA ')  ( BB ')  ( CC ') <=> Đẳng thức xảy ra <=> BC = AC, AC = AB, AB = BC <=> AB = AC = BC <=>  ABC đều. 0,25.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> ( AB  BC  CA) 2 4 2 2 2 ( AA ')  ( BB ')  ( CC ') Vậy GTNN của <=>  ABC đều. 0,5. 5 2,0đ. F E. 2,0đ Áp dụng định lí Talet ta có : ME =MN EQ BQ. (1);. PF PC = FN MN. 0,5. (2) Vì ME = PF. ⇒. Từ (1); (2); (3) ⇒. ME PF = EQ FN. (3). MN PC = BQ MN. a,b,c∈Z. Suy ra hai tam giác vuông  BMQ và  NCP đồng dạng với nhau 0     => MBQ + NCP = CNP + NCP = 90. Suy ra :  ABC vuông tại A Chú ý: + Hướng dẫn chấm này có 04 trang, chấm theo thang điểm 20. + Điểm toàn bài là tổng các điểm thành phần không làm tròn. + Bài số 4 và 5 phải có hình vẽ đúng mới chấm. + Mọi cách làm khác đúng cũng cho điểm tối đa tương ứng với từng nội dung của bài đó.. 0,5 0,25 0,75.

<span class='text_page_counter'>(6)</span>