Những năng lực cần thiết của việc học tập môn toán

CHƯƠNG I. MộT Số VấN Đề CHUNG

1. Những năng lực cần thiết của việc học tập
môn toán
1.1 Năng lực:
Phần lớn các công trình tâm lí học và giáo dục học đều
thừa nhận rằng con ngời có năng lực khác nhau, những năng lực
đó đợc hình thành qua hoạt động, học tập, cuộc sống. Dới đây
là một số cách hiểu về năng lực:
Định nghĩa 1: (Theo từ điển tiếng Việt). Năng lực là phẩm
chất tâm lí tạo cho con ngời khả năng hoàn thành một loại hoạt
động nào đó với chất lợng cao.
Định nghĩa 2: Năng lực là một tổ hợp đặc điểm tâm lí
của con ngời đáp ứng đợc yêu cầu của một loại hoạt động nhất
định và là điều kiện cần thiết để hoàn thành có kết quả một
số hoạt động nào đó.
Định nghĩa 3: Năng l là những đặc điểm tâm lí cá nhân
của con ngời đáp ứng đợc yêu cầu của một loại hoạt động nhất
định và là điều kiện cần thiết để hoàn thành xuất sắc một số
loại hoạt động nào đó.
Nh vậy cả ba định nghĩa đều có những đặc điểm chung
là: Năng lực chỉ nảy sinh và quan sát đợc trong hoạt động giải
quýết những yêu cầu mới mẻ vá nó gắn liền với tính sáng tạo, t
duy (tuy nhiên có khác nhau về mức độ).

1.2 Năng lực toán học :
1.3 Theo. V.A. Krutecxki: năng lực toán học đợc hiểu từ hai góc
độ:
Góc độ lĩnh hội toán học (quá trình học tập). Năng lực học
toán đối với việc nắm vững giáo trình môn toán trong trờng
học, nắm vững một cách nhanh và tốt các kiến thức, kỹ năng

kỹ xảo tơng ứng.
Góc độ khoa học (tính sáng tạo): Năng lực sáng tạo, tạo ra
những kết quả mới, khách quan có một giá trị lớn đối víi loµi
ngêi

1


Cũng theo Krutecxki:Những năng lực toán học đợc hiểu là
những đặc điểm tâm lý cá nhân(trớc hết là những hoạt
động trí tuệ) đáp ứng những yêu cầu của hoạt động toán
học, trong những điều kiện vững chắc nh nhau là nguyên
nhân của sự thành công trong việc nắm vững một cách sáng
tạo toán họcvới t cách là một môn học, đặc biệt nắm vững tơng đối nhanh,dễ dàng, sâu sắc những kiến thức, kỹ năng,
kỹ xảo trong lĩnh vực toán học.
Tất nhiên, ở mỗi ngời cũng có khác nhau về mức độ năng lực
toán học. Do vậy trong dạy học toán, vấn đề quan trọng là
chọn lựa nội dung, phơng pháp thích hợp để giúp cho mọi
đối tợng học sinh đều đợc nâng cao dần về mặt năng lực
toán học.

1.4 Cấu trúc năng lực toán học:
Dựa theo quan điểm của lí thuyết thông tin, Krutecxki đÃ
chỉ ra cấu trúc năng lực của học sinh là:
1.3.1 Về mặt thu nhận những thông tin toán học:
Năng lực tri giác hình thức hóa tài liệu toán học, năng lực
nắm đợc cấu trúc hình thức của bài toán.
1.3.2 Về mặt chế biến những thông tin toán học:
1.3.2.1 Năng lực t duy lô gic trong lĩnh vực các quan hệ số lợng về không gian, hệ thống kí hiệu số và dấu, năng
lực t duy bằng các kí hiệu toán học.

1.3.2.2 Năng lực kết quả hóa nhanh chóng và rộng rÃi các đối
tợng quan hệ toán học và các phép toán.
1.3.2.3 Năng lực rút gọn quá trình suy luận toán học và hệ
thống các phép toán tơng ứng, năng lực t duy bằng các
cấu trúc đợc rút gọn.
1.3.2.4 Tính linh hoạt của các quá trình t duy trong hoạt động
toán học.
1.3.2.5 Khuynh hớng vơn tới tính rõ ràng, đơn giản, tiết kiệm
hợp lí của lời giải.
1.3.2.6 Năng lực nhanh chóng và dễ dàng sửa lại phơng hớng
của quá trình t duy, năng lực chuyển từ tiến trình t
duy thuận sang tiến trình t duy đảo (trong suy luËn
to¸n häc).

2


1.3.3 Về mặt lu trữ thông tin toán học :
Trí nhớ toán học (tức là trí nhớ khái quát về các quan hệ
toán học, về các đặc điểm điển hình , về các sơ đồ
suy luận và chứng minh,về các phơng pháp giải toán,
nguên tắc đờng lối giải toán).
1.3.4

Về thành phần tổng hợp khái quát:
Khuynh hớng toán học của trí tuệ.
Các thành phần trên có liên quan chặt chẽ với nhau có
ảnh hởng lẫn nhau, tạo thành một hệ thống, một cấu trúc
hoàn chỉnh.
Trong quan điểm của Krutẽcki về năng lực toán học, cho

ta thấy trong cùng một điều kiện dạy- học toán nh nhau có
những học sinh tiếp thu chậm hơn, vận dụng kém hơn so
với các em khác. Tuy nhiên các khả năng đó đợc hình
thành thông qua hoạt động giải toán là chủ yếu. Do đó
cần nghiên cứu để nắm vững đợc bản chất của năng lực
và các con đờng hình thành, phát triển hoàn thiện năng
lực. Kết quả học tập toán của học sinh là hiệu quả hoạt
động trong lĩnh vực học tập và nghiên cứu toán học,
ngoài ra còn phụ thuộc vào một số yếu tố khác, chẳng
hạn niềm say mê, thái độ chăm chỉ trong học tập, sự
khuyến khích hỗ trợ của giáo viên, gia đình và xà hội.
Để bồi dỡng năng lực toán học cho học sinh, ngoài việc
cần tìm hiểu chỗ mạnh, nhằm giúp các em phát triển
năng lực ấy, đồng thời cần tìm hiểu những năng lực còn
yếu của học sinh để tìm cách giúp học sinh khắc phục.
Sau đây là quan điểm về năng lực toán học của một
số nhà tâm lý học, giáo dục học, nhà toán học trên thế giới
Theo A.N.Kôlmôgôrôv, trong thành phần của năng lực toán
học có:
1) Năng lực biến đổi khéo léo những biểu thức chữ
phức tạp, năng lực tìm con đờng giải các phơng
trình không theo quy tắc chuẩn.
2) Trí tởng tợng hình học.

3


3) Nghệ thuật suy luận logic theo các bớc đợc phân chia
một cách đúng đắn. Đặc biệt có kĩ năng vận dụng
đúng đắn nguyên lí quy nạp toán học.

Quan điểm của Pelley nh sau:
1) Nhìn thấy những quan hệ , những điều cần phải
phân biệt (chẳng hạn giả thiết và kết luận)
2) Lu trữ và dịch chuyển (qua đồ thị và kí hiệu)
3) Năng lực theo dõi một hớng suy luận
4) Năng lực hiểu bài toán
5) Năng lực theo dõi những con đờng giải toán
6) Khái quát hóa, mở rộng bằng tơng tự. tìm một mô
hình thích hợp (trong các mô hình đà biết)
7) Xây dựng một mô hình toán học có thể giải bài toán
8) Xây dựng một thuật toán để giải bài tập.
Quan điểm của A.I. Mrcuxevich về các phẩm chất trí
tuệ cần đợc giáo dục cùng với việc dạy học toán bao gồm:
1) Có kỹ năng tách ra cái bản chất của vấn đề và loại bỏ
các chi tiết không cơ bản, chẳng hạn kỹ năng trừu tợng
hóa.
2) Có kỹ năng xây dựng sơ đồ của hiện tợng sao cho
trong đó chỉ giữ lại những vấn đề cần thiết cho
việc giải thích vấn đề về toán học. Bao gồm các
quan hệ thuộc, thứ tự, lợng và độ đo, phân bố không
gian, kỹ năng đồ họa.
3) Có kỹ năng rút ra các hệ quả lôgic từ các tiền đề đÃ
cho
4) Có kỹ năng phân tích các vấn đề đà cho thành các
trờng hợp riêng, kỹ năng phân biệt khi nào chúng chỉ
là các ví dụ chứ không bao quát hết mọi khả năng.
5) Có kỹ năng vận dụng c¸c kÕt ln rót ra tõ c¸c suy
ln lý thut cho các vấn đề cụ thể và biết đối
chiếu các kết quả đó với các vấn đề đà dự kiến, kỹ
năng đánh giá ảnh hởng của việc thay đổi các điều

kiện đến độ tin cậy của các kết quả.
6) Khái quát hóa các kết quả nhận đợc và đặt ra những
vấn đề mới.

4


Quan điểm của X.I.Svacbuôc về các yếu tố trong sự
phát triển của năng lực toán học:
1) Các biểu tợng không gian
2) T duy trừu tợng
3) Chuyển sang sơ đồ toán học
4) T duy suy diễn
5) Phân tích xem xét các trờng hợp riêng
6) Vận dụng các kết luận
7) Tính phê phán
8) Kiên trì khi giải toán
Quan điểm của A.Ia Khin-chin về những nét đọc đáo
của phong cách t duy toán học là:
1) Suy luận theo sơ đồ logic chiếm u thế
2) Khuynh hớng đi tìm con đờng ngắn nhất dẫn đến
mục đích
3) Phân chia rành mạch các bớc suy luận
4) Sử dụng chính xác các ký hiệu (mỗi ký hiệu toán học
có một ý nghĩa xác định chặt chẽ)
5) Tính có căn cứ các lập luận, đặc biệt không bao giờ
chấp nhận những khái quát không có suy luận , những
phép tơng tự không có cơ sở
Quan điểm của B.V.Gonhedencô:
1) Năng lực nhìn thấy đợc tính không rõ ràng của suy

luận , thấy đợc sự thiếu mắt xích cần thiết của
chứng minh
2) Có thói quen trình bày lời giải của bài toán một cách
đày đủ
3) Phân chia rành mạch tiến trình suy luận
4) Sự cô đọng
5) Sự chính xác của suy luận
Quan điểm A.Ph.Lavuxki về những yếu tố đặc trng
cho t duy khi nghiên cứu số học gồm các yếu tố:
1) Tính hệ thống và tính tuần tự của t duy.
2) TÝnh râ rµng vµ khóc chiÕt cđa t duy.

5


3) Năng lực khái quát hóa của toán học.
4) Sự nhanh trí.
5) Năng lực thiết lập mối liên hệ giữa các tri thức toán
học đà đợc lĩnh hội và các hiƯn tỵng cđa cc sèng.
6) TrÝ nhí trong lÜnh vùc của các số.
Cuối cùng xin nêu lên quan điểm của tổ chức quốc tế
về đánh giá thành tích toán học (UNESCO), với 10 yếu tố
cơ bản của nâng lực toán học đó là:
1) Năng lực phát biểu và tái hiện định nghĩa, ký hiệu
các phép toán và các khái niệm.
2) Năng lực tính nhanh, cẩn thận và sử dụng các ký hiệu.
3) Năng lực dịch chuyển dữ kiện ký hiệu.
4) Năng lực biễu diễn dữ kiện thành dạng kí hiệu.
5) Năng lực theo dõi một hớng suy luận hay chứng minh.
6) Năng lực xây dựng một chứng minh.

7) Năng lực giải một bài toán đà toán học hóa.
8) Năng lực giải một bài toán có lời văn (cha toán học
hóa).
9) Năng lực phân tích bài toán và xác định các phép
toán cos thể áp dụng để giải.
10)
Năng lực tìm cách khái quát hóa toán học.

CHƯƠNG V. DạY HọC PHÂN MÔN Số HọC
THựC TRạNG Và GIảI PHáP

1. Đặc điểm nội dung chơng trình môn Số
học:
Số học là một môn học có nhiều ứng dụng thực tiễn trong việc
trang bị thêm các kiến thức nghề nghiệp cho sinh viên s phạm
Toán, phục vụ cho việc giảng dạy sau này của sinh viên. Các kiến
thức số sinh viên viên đà đợc làm quen ngay từ những năm đầu
của tiểu học, nhng đợc đa vào chơng trình CĐSP ở mức độ khái
quát và trừu tỵng.

6


Chơng trình Số học của Cao đẳng s phạm đợc chia làm hai
phân môn: Lý thuyết số và Cơ sở số học. Phần Lý thuyết số đợc
học ngay từ năm đầu, trớc khi học Đại số đại cơng, phần Cơ sở số
học đợc trình bày sau khi sinh viên đà đơc học Đại số đại cơng
và Nhập môn Toán học cao cấp, do đó về nội dung chơng trình
có những đặc điểm sau:
1.1

Đặc điểm cấu trúc chơng trình
Môn Lý thuyết sè gåm bèn ch¬ng:
Ch¬ng I: Lý thuyÕt chia hÕt
Chia hÕt và chia có d - Ước chung lớn nhất. Bội chung nhỏ nhất.
Số nguyên tố. Định lý cơ bản của số học, phơng trình vô định
ax+by=c.
Chơng II Lý thuyết đồng d
Đồng d thức. Các tính chất. Vành các lớp thặng d. Hệ thặng d
đầy đủ và hệ thặng d thu gọn. Định lý Ơ-le và định lý Phecma.
Chơng III các hàm số số học.
Hàm phần nguyên. Hàm phần phân. Hàm nhân. Hàm Mơ-bius. Hàm Ơ-le . Hàm (n) , (n) .
Chơng IV Phơng trình đồng d.
Các khái niệm cơ bản. Phơng trình đồng d bậc nhất. Hệ phơng trình đồng d bậc nhất. Định lý Trung Hoa về thặng d. Phơng trình đồng d bậc cao theo mô đun nguyên tố.
Môn cơ sở số học gồm năm chơng:
Chơng I: Số tự nhiên.
Tập hợp đẳng lực. Tập hữu hạn và tập vô hạn. Số tự nhiên. Số
tự nhiên kề sau. Các phép toán trên N. Lực lợng của N. Tiên đề
quy nạp. Hệ tiên đề Pêanô. Các hệ thống ghi số. Thực hành các
phép toán trong hệ ghi số g-phân. Các dấu hiệu chia hết.
Chơng II số nguyên.
Xây dựng vành số nguyên. Ghi số nguyên. Quan hệ thứ tự và
giá trị tuyệt đối. Thực hành các phép toán trên Z. Lực lợng của
Z.
Chơng III Số hữu tỷ.
Xây dựng trờng số hữu tỷ. Phân số Các phép toán trên phân
số. Quan hệ thứ tự trên Q. Lực lợng của Q. Tập hợp Q10-Số thập
phân hữu hạn. Số thập phân vô hạn tuần hoàn. Liên phân số
hữu hạn.

7

Chơng IV Số thực.
Số thập phân vô hạn. Quan hệ thứ tự trên R. Các phép toán trên
R. Tính trù mật hữu tỷ. Lực lợng continuum.
Chơng V Số phức.
Xây dựng trờng số phức. Dạng đại số của số phức. Số phức liên
hợp. Dạng lợng giác của số phức. Công thức Moa vrơ. Khai căn số
phức.
1.2
Đặc điểm nội dung chơng trình.
Số học là một môn học có nhiều ứng dụng thực tiễn trong
việc trang bị thêm các kiến thức nghề nghiệp cho sinh viên s
phạm Toán, phục vụ cho việc giảng dạy sau này của sinh viên.
Các kiến thức số học sinh viên đà đợc làm quen ngay từ những
năm đầu của tiểu học, nhng nó đợc đa vào ở chơng trình
CĐSP với mức đọ kháI quát và trừu tợng.
Chơng trình Số học của CĐSP đợc chia làm hai phân môn: Lý
thuyết số và Cơ sở số học. Phần Lý thuyết số đợc học ngay từ
năm đầu, trớc khi học đại số đại cơng, phần c sử số học đợc
học sau ki sinh viên đà học Đại số đại cơng và Nhập nôn toán
học cao cấp, do đó về nội dung chơng trình có những đặc
điểm sau:
Phần Lý thuyết số:
Lý thuyết số cung cấp cho sinh viên các tính chất của tập hợp
số nguyên, giúp sinh viên nắm đợc các phơng pháp nghiên cứu cơ
bản của số học. Một mặt lý thuyết số làm cho sinh viên biết vận
dụng các kiến thức đà học để soi sáng, nắm vững chơng trình
sách giáo khoa Toán Trung học cơ sở về phần số học, một mặt nó
cung cấp những ví dụ cần thiết cho sinh viên khi học đại số đại

cơng sau này. Lý thuyết số đợc học trớc khi học đại số đại cơng
cho nên các vấn đề đa ra đợc trình bày một cách hoàn toàn sơ
cấp với đặc thï riªng cđa sè häc theo mét sù lùa chän phù hợp với
những khái niệm của đại số hiện đại một mặt cho sinh viên dễ
tiếp thu, dễ vận dụng, mặt khác giúp cho sinh viên thuận lợi khi
nghiên cứu một số khái niệm tổng quát hơn trong đại số đại cơng.
Phần Cơ sở số học:

8


Nội dung của phần Cơ sở số học là trình bày việc xây dựng
và mở rộng một cách có hệ thống từ nửa nhóm các số tự nhiên
đến vành số nguyên, trờng số hữu tỷ, tròng số thực và trờng số
phức trên cơ sở lý thuyết tập hợp và các cấu trúc đại số tổng quát
mà sinh viên đà học trong Đại số đại cơng. Cơ sở các tính chất
của các tập hợp đó giúp sinh viên giải đợc các bài toán liên quan,
đặc biệt là nắm đợc các kỹ thuật và kỹ năng thực hiện các phép
toán và các thuật toán quen thuộc trên chúng.
Chơng trình Số học ở trờng CĐSP tuy đợc tách thành hai phần
riêng biệt: Lý thuyết số và Cơ sở số học nhng hai phần này có liên
quan chặt chẽ với nhau. Phần Lý thuyết số sẽ làm cơ sở cho phần
Cơ sở số học, đặc biệt là việc nghiên cứu nửa nhóm các số tự
nhiên và vành số nguyên, còn phần Cơ sở số học làm sáng tỏ các
vấn đề đà học ở Lý thuyết số dới quan điểm của đại số hiện đại.
Chơng trình Số học ở CĐSP còn góp phần thiết thực trong việc
đào tạo giáo viên Toán ở trờng trung học cơ sở vì nó giúp các sinh
viên hệ thống lại và nâng cao các kiến thức số học ở chơng trình
Toán của trung học cơ sở, đồng thời nắm đợc bản chất và hệ
thống của các kiến thức đó trong chơng trình Toán học nói

chung.
So với chơng trình Số học ở Đại học, chơng trình Số học ở
CĐSP đợc trình bày ở mức độ nhẹ hơn, chẳng hạn thừa nhận
một số định lý về tập hợp hữu hạn khi xây dựng tập hợp số tự
nhiên, không trình bày chi tiết bài toán đối xứng hóa khi xây
dựng tập số nguyên hoặc việc xây dựng trờng các thơng của
miền nguyên Z khi xây dựng tập số hữu tỷ...
Các kiến thức số học ở CĐSP đợc trình bày với mục tiêu là soi
sáng sách giáo khoa Toán trung học cơ sở, nhằm giúp cho sinh viên
có cái nhìn tổng thể về kiến thức số học ở phổ thông. Nhiều
bài tập liên quan đến Toán phổ thông có ý nghĩa thiết thực
trong việc củng cố thêm cho sinh viên s phạm Toán các kiến thức
trong hành trang nghề nghiệp của mình.

2. Thực trạng dạy học môn Số học
2.1 Thực trạng về việc häc tËp cđa sinh viªn

9


2.1.1 Có nhiều lỗ hổng về kiến thức, kỹ năng.
Từ những năm đầu của tiểu học và trung học cơ sở, sinh
viên đà đợc làm quen với bộ môn số học, mặc dầu mới chỉ là
các kiến thức cơ sở nhng nó đà tạo tiền đề cho việc đi sâu
nghiên cứu bộ môn này. Tuy nhiên, do chơng trình Toán ở phổ
thông trung học ít đề cập đến các kiến thức của số học mà
chủ yếu là đại số, hình học, giải tích nên sinh viên CĐSP,
đặc biệt là sinh viên dân tộc thiểu số quên khá nhiều khái
niệm và các kỹ năng trong Lý thuyết số. Chẳng hạn khi tìm ớc
số chung lớn nhất của hai số tự nhiên, đa số sinh viên không

nhớ thuật toán Ơclit hoặc phơng pháp phân tích một số tự
nhiên thành thừa số nguyên tố, hay các khái niệm về số
nguyên tố, hợp số, các tính chất chia hết của số tự nhiên, các
dạng biểu diễn và các phép toán của số phức...
Trong các lớp sinh viên dân tộc thiểu số của các trờng CĐSP,
sự phân hóa còn khá cao. Điều này chủ yếu là do đầu vào
của sinh viên khác nhau: một số do thi tuyển, một số do cử
tuyển. Những sinh viên trớc đây đợc học ở các trờng PTTH
dân tộc nội trú của tỉnh đa số đều nắm vững các kiến thức
cơ bản của sách giáo khoa phổ thông, còn những sinh viên do
các huyện gửi đến hầu nh mới chỉ ở dạng đọc thông viết
thạo. Sinh viên còn cha giải đợc phơng trình bậc nhất, cha
thực hiện tốt các phép toán cộng, trừ, nhân, chia phân số
hay số âm... nên đối với việc học các môn Toán cao cấp nói
chung và bộ môn Số học nói riêng sinh viên hầu nh không tiếp
thu nổi, do đó dẫn đến tình trạng không chịu học bài, đến
lớp không để ý đến bài giảng vì có nghe cũng không hiểu.
Đặc biệt những lớp sinh viên dân tộc thiểu số học chung với
sinh viên ngời Kinh thi vào, sự phân hóa càng rõ nét. ở các lớp
này, việc phát biểu, xây dựng bài, giải bài tập đều do một
số sinh viên học khá trong lớp thực hiện, còn sinh viên khác chỉ
biết ngồi nghe một cách thụ đông.
2.1.2. Khả năng tiếp thu chậm, kỹ năng vận dụng hạn chế.
Khi tiếp cận với bộ môn Số học của giáo trình CĐSP, do hổng
nhiều kiến thức nên các kiến thức lại trở nên mới mẻ và đòi hỏi
phải t duy nhiều. Đặc biệt những khái niệm tổng quát và các
định lí cần phải có t duy trõu tỵng.

10

Đối với SVDTTS, khả năng t duy trừu tợng còn hạn chế vì
sinh viên mới chỉ tiếp xúc với lý luận cụ thể, con số cụ thể.
Còn các khái niệm, tính chất đợc diễn đạt bằng chữ sinh viên
khó tiếp thu.Ví dụ nh khái niệm và tính chất của hệ thặng
d đầy đủ, hệ thặng d thu gọn sinh viên tiếp thu rất khó
khăn,vì những khái niệm này khá mới mẻ đối vối sinh viên.
Hoặc nh trong bài hàm số số học có tính chất nhân và bài
hàm số Ơle, ngay cả đối với sinh viên khá cũng gặp khó khăn
khi tiếp thu phần này , còn đối với sinh viên dân tộc thiểu số
thì quá vất vả để hiểu đợc các khái niệm đó.
Sinh viên các trờng cao đẳng mới làm quen với lý thuyết
tập hợp, mà lý thuyết tập hợp đợc trình bày ở giáo trình Đại số
đại cơng, nhập môn Toán học cao cấp... cũng trên quan
điểm sơ đẳng. Mặt khác sinh viên chỉ mới bớc đầu hiểu
các cấu trúc đại số và các tính chất đơn giản của chúng nên
khi tiếp thu phần Cơ sở số học có ít nhiều khó khăn, đặc
biệt là phần xây dựng các hệ thống số theo một lý thuyết
chặt chẽ và có hệ thống trên cơ sở Toán học hiện đại.
Một số khái niệm cụ thể nh khái niệm số tự nhiên liền sau
thì sinh viên hiểu rất rõ thông qua các ví dụ cụ thể mà sinh
viên đà đợc học ở phổ thông, nh số 11 là số tự nhiên liền sau
của số 10, nhng khi xây dựng khái niệm đó theo quan
điểm lý thuyết tập hợp dựa trên bản số của các tập hợp hữu
hạn thì sinh viên lúc đầu rất khó tiếp thu.
Phần liên quan đến lực lợng các tập N, Z, Q, R, quan hệ
thứ tự trên N, Z, Q, R là những phần trừu tợng, khó tiếp thu
đối với sinh viên CĐSP. Việc nhìn nhận các tập hợp đà học theo
quan điểm mở rộng số N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R vµ ý nghÜa của các mở
rộng ấy trong Toán học là quá trình lâu dài đối với các sinh

viên CĐSP vì đa số sinh viên, đặc biệt là sinh viên dân tộc
thiểu số còn cha có cách nhìn tổng quan đối với các môn học
thấy cây mà chẳng thấy rừng.
Đối với SVDTTS khả năng áp dụng của sinh viên còn nhiều
hạn chế, nhất là sinh viên học yếu, ngay cả những bài tập
chỉ cần lắp vào công thức để tính toán nhng nếu phép
tính hơi rắc rối là sinh viên trở nên lúng túng. Ví dụ khi dùng
thuật toán Ơ-clít mở rộng để làm bài tập, một số sinh viên thờng làm sai ở ví dụ đầu tiên, có thể do tính toán sai ,cã thÓ

11


do sai lÇm khi chän r0, r1, x0, x1, y0, y1, hoặc cha biết quá
trình dừng lại khi nào. Mặc dầu trong phần lí thuyết giáo
viên đà giảng kĩ và lu ý những sai lầm thờng mắc phải. Sau
khi học điều kiện có nghiệm của hệ phơng trình đồng d
bậc nhất một ẩn giáo viên đà hớng dẫn sinh viên thực hành giải
hệ một cách cẩn thận. Nhng khi làm bài tập sinh viên thờng áp
dụng máy móc cha biết sử dụng linh hoạt điều kiện có
nghiệm.
Ví dụ nếu cho hệ phơng trình mà hai phơng trình
không thỏa mÃn điều kiện để hệ có nghiệm đợc sắp xếp
xen kẽ giữa các phơng trình của hệ thõa mÃn điều kiện hệ
có nghiệm thì SVDTTS nhất là sinh viên tiếp thu chậm không
biết cách biện luận để đa ra ngay kết quả,mà thờng giải
cho đến khi nào gặp cặp phơng trình không thõa mÃn
điều kiện thì mới dừng lại.
Một số sinh viên ¸p dơng lý thut mét c¸ch m¸y mãc, khi
gi¶i hƯ phơng trình đồng d bậc nhất một ẩn một số sinh
viên cha tìm cách áp dụng tính chất của đồng d thức, phép

biến đổi tơng đơng phơng trình hệ phơng trình đồng d
để rút ngắn đợc quá trình giải, mà thờng áp dụng tuần tự
các bớc giải từ trên xuống.ng giải tuần tự từ trên xuống cho nên
mất nhiều thời gian.
Một trong những đặc thù của môn số học là áp dụng các
kiến toán học vào giải các bài toán thực tế, bài toán có lời văn
nhng đối với SVDTTS điều này rất hạn chế. Do hạn chế về
khả năng tiếp thu, khả năng áp dụng, hạn khả năng diễn đạt.
Chẳng hạn ngay cả ví dụ quen thuộc trong bài phơng trình
Đi-ô-phăng là bài toán cổ trăm trâu trăm cỏ nhng mét sè em
rÊt lóng tóng khi nghiªn cøu vÝ dụ này. Hoặc nh các bài tập
1.2; 1.53; 4.15; 4.16; 4.20; 4.22 (Giáo trình Lý thuyết số Nguyễn Hữu Hoan). Bài tập 28; 30 (Cơ sở số học- Nguyễn
Tiến Tài).
Phần lớn các bài tập trong Lý thuyết số là các bài tập
đòi hỏi những kỹ năng tính toán và các kỹ thuật sử dụng khá
phức tạp đòi hỏi t duy sáng tạo. Các kỹ năng đó thờng quen
thuộc với học sinh khá giỏi ở trờng phổ thông nhng sinh viên
CĐSP, đặc biệt là sinh viên dân tộc thiểu số, thờng kh«ng

12


thuộc diện ấy.Ví dụ nh các bài tập 3.1 đến 3.12 trang 124 (Lý
thuyết số-Giáo trình cao đẳng s phạm- Nguyễn Hữu Hoan).
Một số bài tập có phơng pháp giải rõ ràng nhng do nắm
cha vững lý thuyết mà đà bắt tay vào giải nên sinh viên thờng nhầm lẫn, đặc biệt là sinh viên dân tộc thiểu số nếu
không đợc nhắc nhở và lu ý sẽ phạm sai lầm đó nhiều lần. Ví
dụ nh khi áp dụng tính chất của đồng d thức (1.2.4) để giải
phơng trình Đi-ô-phăng sinh viên thờng quên điều kiện
nguyên tố với mô đun dẫn đến kết quả sai. Hoặc khi tìm

nghiệm riêng của phơng trình Đi-ô-phăng bằng công cụ thuật
toán Ơ-clít mở rộng thờng quên điều kiện a>b do đó khi lấy
nghiệm tổng quát sai.
Các bài tập số học tơng tự các bài tập ở chơng trình phổ
thông, những bài tập đà có dạng, có công thức thì phần lớn
sinh viên có thể giải đợc nhng các bài tập có tính chất lý
thuyết liên quan đến các khái niệm mới (đặc biệt là các cấu
trúc đại số) sinh viên khi giải thờng gặp khó khăn vì tính
trừu tợng của các loại toán ấy khá cao. Đặc biệt đối với các
SVDTTS thờng quen với t duy cụ thể, cho nên rất ngại làm loại
bài tập định tính, mặc dầu những bài tập loại này rất quan
trọng trong việc bổ sung thêm các tính chất của bài học mà
do khuôn khổ của giáo trình, cha đợc trình bày ở phần lý
thuyết. Ví dụ khi giải các bài tập sử dụng nguyên lí ngăn kéo
của Đi-ric-lê sinh viên rất lúng túng (bài 1.7 trang 64 Lý thuyết
số-Nguyễn Hữu Hoan), bài 12 trang 69 (Cơ sở số học-Nguyễn
Tiến Tài).

2.2 Thực trạng về việc dạy của giáo viên.
Việc giảng dạy cho sinh viên dân tộc thiểu số là một vấn
đề gây trăn trở rất nhiều cho giáo viên CĐSP. Đa số giáo viên
đà tìm cách đổi mới phơng pháp giảng dạy, lựa chọn nhiều
phơng pháp để tạo niềm hứng thó cho sinh viªn, kÝch thÝch
viƯc häc tËp cđa sinh viên đạt kết quả tốt hơn nhng do kiến
thức của đối tợng sinh viên này bị hổng quá nhiều và sự tiếp
thu của sinh viên còn quá chậm nên trong việc giảng dạy vẫn
còn rất nhiều hạn chế.

13

Do chơng trình của bộ môn số học tơng đối dài so với
thời lợng sáu trình, kết hợp với việc đổi mới phơng pháp dạy
học, yêu cầu sinh viên phải tự nghiên cứu một số phần dới sự hớng dẫn của giáo viên. Nhng đối với SVDTTS thực hiện điều
đó với hiệu quả thấp, cho nên khi dạy giáo viên lại phải giảng lại
dẫn đến tình trạng quá tải cho mét tiÕt häc. VÝ dơ sau khi
häc bµi íc chung lớn nhất, chuyển sang học bài bội chung nhỏ
nhất trình tự trình bày và cách xây dựng hoàn toàn tơng
tự . Giáo viên hớng dẫn sinh viên đọc kỹ bài ớc chung lớn nhất
rồi từ đó đọc hiểu bài bội chung nhỏ nhất, nhng đa số sinh
viên sinh viên dân tộc thiểu số đà không trả lời đợc các câu
hỏi mà giáo viên đa ra sau khi sinh viên đà đọc ở nhà.
Trong bộ môn Số học, có một số khái niệm trừu tợng, khó
tiếp thu nên phần lớn giáo viên khi dạy lý thuyết thờng theo phơng pháp thuyết trình, ít phân tích ý nghĩa, bản chất của
các khái niệm vừa đợc hình thành và đặt mối quan hệ của
các khái niệm ấy trong hệ thống chung của toàn bộ chơng
trình Số học. Khi xây dựng các khái niệm ít tìm các ví dụ
mới, đặc biệt các phản ví dụ để sinh viên nắm đợc bản chất
của khái niệm và tránh đợc những nhầm lẫn khi nhận dạng
các đối tợng liên quan đến khái niệm. Khi trình bày các tính
chất, các định lý liên quan đến khái niệm ít phân tích ý
nghĩa Toán học và các ứng dụng của chúng trong việc giải
quyết các vấn đề và các bài toán liên quan.
Khi hình thành các thuật toán, giáo viên thờng theo thói
quen thực hành nh ở bậc phổ thông cơ sở mà ít phân tích
cơ sở toán học của chúng theo quan điểm của toán học hiện
đại ở bậc CĐSP, cha hớng dẫn cho sinh viên tìm mối liên hệ
giữa chơng trình số học ở THCS và chơng trình số học ở
CĐSP, dẫn đến việc không gây đợc hứng thú cho sinh viên
khi tiếp thu bài giảng, ví dụ : khi xây dựng cách tìm ớc

chung lớn nhất, bội chung nhỏ nhất của hai hay nhiều số hoặc
xây dựng dấu hiệu chia hết cho 2;5;3;9;định nghĩa các
phép toán trên N, Z , Q,.... Khi giải các bài tập Lý thuyết số
hoặc Cơ sở số học liên quan đến chơng trình số học ở bậc
phổ thông, giáo viên thờng chỉ cho sinh viên giải nh đà làm ở
THCS mà còn thiếu việc phân tích cơ sở lý luận để phù hợp
với yêu cầu của chơng trình CĐSP. Mặt khác các bµi tËp khã

14


nhng quan träng nh»m bỉ sung lý thut th× bá qua hoặc
chỉ nêu sơ lợc, trong khi việc bổ sung những kiến thức này là
rất cần thiết để sinh viên hiểu sâu thêm nội dung của bài và
áp dụng vào các bài tập có liên quan. Chẳng hạn bài tập 1.35
đến bài 1.42 trang 68; 2.20,2.24, 2.28 trang 98 ; 3.11, 3.19,
3.27, 3.28 trang 126; 4.2, 4.9, 4.10,4.25 4.34 trang 158 đến
165 (Giáo trình Lý thuyết số. Nguyễn Hữu Hoan).
Tuy nhiên có nhiều giáo viên do tiếp xúc với các nội dung số
học tơng ứng ở bậc Đại học nên khi trình bày một số vấn đề
lý thuyết quá phức tạp, định lý, công thức ở chơng trình
CĐSP đợc công nhận không chứng minh hoặc cho sinh viên tự
đọc nhng giáo viên vẫn trình bày trên lớp làm cho đa số sinh
viên, đặc biệt là sinh viên dân tộc thiểu số khó tiếp thu.
Do đặc điểm của các lớp SVDTTS là lực học của sinh viên
không đồng đều, trong lớp có nhiều em học quá kém và
hổng kiến thức ở các lớp dới quá nhiều nên giáo viên khi dạy thờng chỉ tập trung vào những sinh viên khá trong lớp. Do đó
kết quả của giờ dạy là chỉ những sinh viên khá hiểu bài, còn
sinh viên khác hầu nh bị bỏ rơi, lên lớp chỉ ghi lại bài giảng
một cách thụ động, dẫn đến việc ngày càng bị hổng kiến

thức nhiều hơn. Vì vậy, việc quan tâm đến nhiều đối tợng
sinh viên khác nhau trong cùng một lớp là một vấn đề mà giáo
viên cần lu ý khi giảng dạy cho SVDTTS.
Một thực trạng nữa mà một số giáo viên còn cha thực sự
đổi mới hình thức kiểm tra ®èi víi SVDTTS. Do trong líp häc
tr×nh ®é cđa sinh viên không đồng đều, có những lớp vừa có
sinh viên miền xuôi vừa có sinh viên vùng dân tộc thiểu số.
Những sinh viên học toán khá bậc trung học cơ sở thì những
bài tập số học nâng cao sinh viên đà dợc làm quen trong các
buổi học chuyên đề bồi dỡng sinh viên khá giỏi. Vì vậy khi ra
đề kiểm tra hay đề thi giáo viên thờng yêu cầu cao. Do đó
sinh viên dân tộc thiểu số thờng chán nản và cảm thấy sợ ,
hoặc buông xuôi khi học môn số học, mặc dầu biết rằng
môn số học phục vụ trực tiếp cho việc giảng dạy ở phổ thông
sau này.Vì vậy việc cải tiến hình thức kiểm tra đánh giá
đối với sinh viên dân tộc thiểu số là một trong những vấn đề
rất quan trọng góp phần thúc đẩy, động viªn, khÝch lƯ sinh

15


viên học tập tốt môn số học nói riêng các môn học khác nói
chung.

3. Một số giải pháp
3.1. Nâng cao chất lợng đầu vào.
Những mục tiêu và định hớng cơ bản đà đợc nêu rõ trong
phần 4.1.2. Do đặc thù riêng của môn số học là các kiến thức
đợc trình bày nhằm để soi sáng sách giáo khoa toán THCS.
Vì vậy trong chơng trình dành cho lớp dự bị cử tuyển không

có phân môn số học mà chỉ đợc nêu ra rất ít ỏi trong phần
đại số. Khi giảng dạy chơng trình đại số cho lớp dự bị cử
tuyển, giáo viên cần lu ý: khi gặp những phần có liên quan
đến môn số học cần hớng dẫn cho sinh viên ôn tập theo chơng trình, đồng thời ôn tập những kiến thức có liên quan
đến kiến thức số học mà sinh viên đợc học trong chơng
trình CĐSP sau này. Trớc mỗi bài dạy giáo viên hớng dẫn cho
sinh viên một hệ thống câu hỏi, tài liệu cụ thể để sinh viên
chủ động trong ôn tập. Những bài tập áp dụng dù đơn giản
vẫn yêu cầu sinh viên làm đến nơi ®Õn chèn, sau ®ã tỉ
chøc cho sinh viªn kiĨm tra lẫn nhau theo nhóm tổ. Cần tăng
cờng cho sinh viên tù häc kÕt hỵp víi häc tËp theo nhãm trong
giê học trên lớp cũng nh tự học ở nhà. Khi chia nhóm phân
chia đủ các loại sinh viên khá giỏi, trung bình, yếu kém trong
một nhóm để sinh viên tơng trợ, giúp đỡ lẫn nhau.
Một thực tế cho thấy nhiều sinh viên của lớp dự bị cử
tuyển ngay cả nhân chia cộng trừ số nguyên cũng cha thành
thạo. Trong chơng trình đại số đà hớng dẫn cho sinh viên sử
dụng máy tính bỏ túi. Khi dạy giáo viên cần lu tâm hớng dẫn
sinh viên một cách chu đáo và bắt buộc đến từng sinh viên
đều phải sử dụng thành thạo máy tính bỏ túi trong tính toán,
giải phơng trình, hệ phơng trình cũng nh một số bài toán
đơn giản.
Giáo viên cần quan tâm đến việc đổi mới phơng pháp
kiểm tra đánh giá và phối hợp nhiều hình thức kiểm tra đối
với sinh viên lớp dự bị cử tuyển. Không chỉ là bài thi kết thúc
học phần mà ngay cả các bài kiểm tra định kỳ và kiểm tra

16

trong các tiết dạy, giáo viên cần tăng cờng kiểm tra vấn đáp
kết hợp với kiểm tra viết. Vì hình thức kiểm tra vấn đáp sẽ
đánh giá rất chính xác kết quả học tập và góp phần phân
hóa đợc sinh viên trong môn học. Đề kiểm tra rất cơ bản, từ
dễ đến khó, yêu cầu phù hợp với trình độ của từng sinh viên.
Sinh viên lớp dự bị cử tuyển vừa rời ghế phổ thông vào
học, cha làm quen với phơng pháp học ở bậc đại học và cao
đẳng nên giáo viên vừa dạy cho sinh viên kiến thức lại vừa hớng dẫn sinh viên làm quen với phơng pháp học ở bậc đại học,
cao đẳng, đó là tăng cờng tự đọc, tự học. Giáo viên cần phối
hợp các phơng pháp dạy học một cách linh hoạt, kết hợp với sử
dụng phơng tiện dạy học hiện đại. Giáo viên cần hớng dẫn cho
sinh viên một cách cụ thể hệ thống câu hỏi, bài tập và tài
liệu giúp sinh viên thuận lợi trong việc tự học ở nhà.

3.2. Đổi mới phơng pháp dạy học
3.2.1 Đổi mới phơng pháp dạy học môn Lý thuyết số
Hiện nay giáo viên càng ngày càng có ý thức hơn về việc
cần phải đổi mới phơng pháp dạy học nhằm khuyến khích
sinh viên hoạt động tích cực hơn trong học tập và đà chú ý tới
việc phân hóa trong dạy học, sử dụng phơng tiện dạy học
hiện đại... Tuy nhiên trớc thực trạng của SVDTTS trong trờng
CĐSP và đặc điểm môn lý thuyết số chúng ta cần lựa chọn
phơng pháp dạy học phù hợp với thực tiễn đó.
3.2.1.1 Đổi mới phơng pháp dạy học theo hớng phát huy cao độ
tính tích cực chủ động sáng tạo của sinh viên trong quá trình
lĩnh hội tri thức.
1) Dạy học chú trọng rèn luyện phơng pháp tự học cho sinh
viên
Rèn luyện cho sinh viên có đợc phơng pháp, kỹ năng, thãi
quen, ý chÝ tù häc. Tù häc ë nhµ, sau buổi lên lớp, kể cả trong

tiết học có sự hớng dẫn của giáo viên.
a. Hớng dẫn sinh viên ôn tập những kiến thức đà học ở phổ
thông có liên quan đến bài học. Do đặc điểm môn lý thuyết
số làm cho sinh viên biết vận dụng các kiến thức đà học để
soi sáng nắm vững chơng trình sách giáo khoa To¸n THCS,…

17


Mặt khác một số kiến thức sinh viên học từ đầu cấp THCS mà
trong năm học dự bị sinh viên không đợc ôn lại. Vì vậy rất
nhiều sinh viên đà quên dù là những kiến thức cơ bản, nhất là
SVDTTS không còn nhớ gì cả nếu không hớng dẫn cho sinh
viên đọc lại.
Ví dụ: Chơng I, Đ1. Chia hết và chia có d
Đ2. Ước số chung lớn nhất
Đ3. Bội chung nhỏ nhất.
Giáo viên có thể hớng dẫn cho sinh viên «n tËp theo hƯ thèng
c©u hái nh sau:
C©u hái 1: HÃy ôn lại phép chia hết, phép chia có d, tÝnh chÊt
chia hÕt cđa mét tỉng, mét tÝch (S¸ch gi¸o khoa toán 6- tập
1- NXBGD 2004)
Câu hỏi 2: HÃy ôn lại định nghĩa ớc và bội, ớc chung, bội
chung, ớc chung lớn nhất, bội chung nhỏ nhất và cách tìm íc
chung, béi chung, íc chung lín nhÊt, béi chung nhá nhất của
các số tự nhiên (Sách giáo khoa toán 6- tập 1). Cho ví dụ minh
họa về cách tìm ớc chung lín nhÊt, béi chung nhá nhÊt cđa
c¸c sè tù nhiên.
Câu hỏi 3: HÃy ôn tập định nghĩa số nguyên tố, hợp số, cách
thành lập bảng số nguyên tố (Sách gi¸o khoa to¸n 6 – TËp 1).

Cho vÝ dơ minh họa cách kiểm tra một số là số nguyên tố.
Có những công thức, những thuật toán sinh viên sinh khá
ở THCS đà thực hiện rất thành thạo. Nhng đối với SVDTTS thì
cha đợc biết đến mặc dù các kiến thức đó đà có trong sách
bài tập, sách tham khảo của phổ thông. Giáo viên hớng dẫn
cho sinh viên tìm đọc trong các tài liệu đó, sau đó giáo viên
kiểm tra.Ví dụ
Chơng I, Đ5. Phơng trinh Đi-ô-phăng ax + by = c.
Có thể hớng dẫn cho sinh viên ôn tập
- Cách tìm nghiệm nguyên của phơng trình ax+by=c với a,
b, c là những số nguyên a,b không đồng thời bằng không.
- Tìm nghiêm nguyên của các phơng trình:
a) x+y-xy=7
b) 6x+4y= 10
c) 6x+ 4y = 5
Chơng III, Đ1. Phần nguyên và phần lỴ cđa sè thùc

18


HÃy tìm đọc khái niệm phần nguyên, phần lẻ của một số thực
(nâng cao và phát triển toán 7 Vũ Hữu Bình).
Chơng III, Đ3. Số các ớc và tổng các ớc của một số tự nhiên.
HÃy ôn tập khái niệm số hoàn chỉnh Cách xác định số lợng
các ớc của một số tự nhiên (Sách giáo khoa toán 6-tập 1).
b. Hớng dẫn sinh viên ôn tập những kiến thức của bài trớc,
phần trớc trong giáo trình Lý thuyết số, trong chơng trình
toán cao cấp đà học có liên quan đến bài mới.
Ví dụ 1: Chơng I, Đ5. Phơng trình Đi-ô-phăng ax+by=c
HÃy ôn lại thuật toán Ơclit mở rộng, c¸c tÝnh chÊt íc chung, íc

chung lín nhÊt.
VÝ dơ 2: Chơng III, Đ2. Hàm số số học có tính chất nhân.
- HÃy ôn tập định nghĩa ánh xạ, cách lập ánh xạ, cho ví dụ
minh họa
- HÃy ôn tập định lý cơ bản của số học và dạng phân tích
tiêu chuẩn của một số tự nhiên.
Ví dụ 3: Chơng III, Đ4. Hàm số Ơ le:
- HÃy ôn tập ớc chung lớn nhất của một lớp (định nghĩa ớc
chung lớn nhất của một lớp, định nghĩa Z m*, số phần tử
của Zm*)
- Định nghĩa, các tính chất của hàm số có tính chất nhân.
c. Hớng dẫn sinh viên tự đọc, tự nghiên cứu giáo trình
Những phần mà sinh viên có thể tự đọc, tự nghiên cứu là
những phần có cấu trúc hoàn toàn tơng tự phần trớc đó hoặc
trong giáo trình trình bày đơn giản và có những kiến thức
tơng tự nh ở phổ thông. Tuy nhiên đối với SVDTTS, giáo viên
cần hớng dẫn tỉ mỉ, rõ ràng những yêu cầu cần đọc và có
kiểm tra đánh giá sinh viên sau khi đà đọc. Lần đầu giáo
viên hớng dẫn cho sinh viên cách tự đọc, tự nghiên cứu trên lớp
để sinh viên làm quen, sau đó hớng dẫn sinh viên tự đọc, tự
nghiên cứu ở nhà.
Ví dụ 1: Ngay bài học đầu tiên giáo viên hớng dẫn cho sinh
viên đọc nhanh phần mở đầu tai lớp để hiểu đợc nội dung

19


cuốn sách, cấu trúc chơng trình. Sau đó đọc kỹ những lu ý
khi sử dụng cuốn sách đặc biệt là các mệnh đề cần sử dụng
trong các bài học trong chơng trình, sau đó giáo viên yêu cầu

sinh viên trả lời câu hỏi.
HÃy nêu rõ nội dung từng mệnh đề đợc nêu trong phần mở
đầu?
Mệnh đề nào em cảm thấy khó hiểu nhất? Ai có thể giải
thích đợc?
Sau đó giáo viên hớng dẫn cách đọc cho sinh viên, khi đọc
cần lu ý những phần cha hiểu có thể trao đổi với sinh viên
cùng nhóm tổ hoặc có thể đánh dấu để đến lớp trao đổi
với các sinh viên khác hoặc với giáo viên. Những phần đà hiểu
có thể tự đặt câu hỏi tự trả lời để tự kiểm tra kết quả đọc
đợc của mình hoặc cũng có thể nhờ sự kiểm tra của nhóm
tổ.
Ví dụ 2: Đọc kỹ Đ2. Bôi chung nhỏ nhất.
Yêu cầu cần nắm đợc định nghĩa bội chung, bội chung nhỏ
nhất, phát biểu và chứng minh định lý sự tồn taị bội chung
nhỏ nhất (sinh viên khá giỏi), cách tìm bội chung nhỏ nhất
của hai hay nhiều sè, c¸c tÝnh chÊt cđa béi chung nhá nhÊt.
So s¸nh trình tự trình bày bội chung nhỏ nhất, ớc chung lớn
nhất. Tìm mối liên hệ giữa bội chung nhỏ nhất và ớc chung lớn
nhất (sinh viên khá giỏi).
Ví dụ 3: Chơng I, Đ4. Số nguyên tố.
Đọc kỹ phần tập hợp các số nguyên tố. Nắm đợc bổ đề, cách
lập bảng các số nguyên tố.
Đọc định lý cơ bản của số học và một số ứng dụng của định
lý cơ bản.
Sau đó trả lời câu hỏi: cách tìm ớc chung lớn nhÊt, béi chung
nhá nhÊt cđa hai hay nhiỊu sè lín hơn 1 của sách giáo khoa
toán 6-THCS đợc đa ra dựa vào cơ sở lý thuyết nào (sinh viên
khá giỏi).
Ví dụ 4: Chơng I, Đ5. Phơng trình Đi-ô-phăng

Đọc kỹ các ví dụ về tìm nghiêm nguyên của phơng trình,
trình bày cách tìm nghiệm riêng của các ví dụ đó.

20


Ví dụ 5: Chơng II, Đ1 Đồng d thức
- Đọc và nắm đợc cách tìm số d trong một phép chia,
c¸ch chøng minh sè a chia hÕt cho m b»ng công cụ
đồng d thông qua các ví dụ.
- Đọc và nắm vững cách xây dựng dấu hiệu chia hết
cho 2, chia hÕt cho 3, chia hÕt cho 9, chia hÕt cho 4 và
chia hết cho 25 bằng công cụ đồng d và liên hệ với cách
trình bày của sách giáo khoa toán 6 THCS.
Ví dụ 6: Chơng II, Đ3. Hệ thặng d đầy đủ - hệ thặng d thu
gọn.
- Đọc và nắm đợc cách trình bày định nghĩa, tính chất
của hƯ thỈng d thu gän. LÊy vÝ du minh häa.ChØ ra
mối liên hệ giữa hệ thặng d đầy đủ và hệ thặng d
thu gọn.
Ví dụ 7: Chơng IV, Đ1. Các khái niệm chung phơng trình
đồng d
- Đọc và nắm vững những phép biến đổi tơng dơng
hay gặp. So sánh với các phép biến đổi tơng đơng
các phơng trình nói chung trong chơng trình lớp 8 (SV
khá giỏi).
- Đọc phần hệ phơng trình đồng d: nắm đợc định
nghĩa hệ phơng trình đồng d, hệ phơng trình tơng
đơng, nghiệm của hệ phơng trình đồng d.
Ví dụ 8: Chơng IV, Đ2. Phơng trình đồng d bậc nhất một ẩn.

- Đọc mối liên hệ giữa phơng trình đồng d bậc nhất và
phơng trình Đi-ô-phăng bậc nhất hai ẩn: ax+by=c.
Thông qua đọc các ví dụ cần nắm vững cách giải phơng
trình Đi-ô-phăng bằng công cụ đồng d.
2) Hớng dẫn sinh viên tăng cờng học tập cá thể phối hợp với học
tập hợp tác.
SVDTTS bị hổng nhiều kiến thức, tiếp thu chậm nên việc
học nhóm là điều thiết yếu. Nhóm học tập do lớp phân định
kết hợp với giáo viên bộ môn. Nhóm phân theo trình ®é cña

21


sinh viên kết hợp với địa bàn sinh viên c tró. Trong mét nhãm
cã tõ 7 ®Õn 8 em trong đó có sinh viên khá giỏi, sinh viên học
tập trung bình, sinh viên yếu kém để thuận lợi cho sinh viên
hớng dẫn giúp đỡ nhau trong học tập.
Ví dụ 1: Đọc phần mối liên hệ giữa phơng trình đồng d bậc
nhất và phơng trình Đi-ô-phăng bâc nhất hai ẩn: ax+by=c.
Yêu cầu: Tất cả các sinh viên đều đọc mối liên hệ giữa phơng trình đồng d bậc nhất và phơng trình Đi-ô-phăng bâc
nhất hai ẩn (tài liệu Lý thuyết số- Nguyễn Hữu Hoan).
+ Yêu cầu nhóm I nghiên cứu kỹ mèi liªn hƯ, nhãm II nghiªn
cøu kü vÝ dơ 1, nhãm III nghiªn cøu kü vÝ dơ 2 (nghiªn cøu ở
nhà).
+ Đến tiết học tiếp theo mỗi nhóm cử một sinh viên đại diện
trình bày (lực học trung bình khá hoặc trung bình).
Sau đó trong nhóm cử ra một sinh viên khác bổ sung câu trả
lời của nhóm mình. Sau mỗi lần các nhóm đà trình bày xong
thì có thể nêu câu hỏi để thảo luận, câu hỏi do sinh viên,
hoặc giáo viên đa ra:

+ Giải phơng trình Đi-ô-phăng ax+by=c bằng công cụ đồng
d gồm những bớc nào?
+ Giải phơng trình Đi-ô-phăng ax+by=c bằng công cụ đồng
d có u điểm gì so với cách giải phơng trình Đi-ô-phăng bằng
cách sử dụng thuật toán Ơclit mở rộng, cách giải bằng cách
tách phần nguyên?
+ Trong các cách giải phơng trình Đi-ô-phăng: ax+by=c thì
cách nào dễ sử dụng hơn Bạn thích dùng cách nào hơn?
Sau đó các nhóm đánh giá chéo nhau: nhóm I, II đánh giá
nhóm III; nhóm II, III đánh giá nhóm I; nhóm I, III đánh giá
nhóm II.
Cuối cùng giáo viên nhận xét, đánh giá cho điểm.
Ví dụ 2: Yêu cầu sinh viên khi đọc phần số nguyên tố (bài Đ4
chơng I)
Tất cả các sinh viên đều đọc để nắm đợc khái niệm số
nguyên tố, hợp số, cách thành lập bảng số nguyên tố. Nắm đợc
định lý cơ bản của số học và một số ứng dựng định lý cơ
bản.
Nhóm I: Đọc kỹ mục 4.1. Số nguyên tố và hỵp sè.

22


Nhóm II: Đọc kỹ mục 4.2 Định lý cơ bản
Nhóm III: Đọc kỹ mục 4.3. Một số ứng dụng định lý cơ bản.
SV trình bày trên lớp trong tiết lý thuyết, mỗi nhóm cử hai
sinh viên lên trình bày.
Nhóm I: sinh viên thứ nhất trình bày 4.1.1 và 4.1.2; sinh viên
thứ hai trình bày 4.1.3.
Nhóm II: sinh viên thứ nhất trình bày 4.2.1; sinh viên thứ hai

trình bày 4.2.2 và 4.2.3.
Nhóm III: sinh viên thứ nhất trình bày 4.3.1; sinh viên thứ hai
trình bày 4.3.2.
Sau mỗi lần sinh viên của từng nhóm trình bày, các sinh viên
trong nhóm bổ sung; sinh viên nhóm khác nhận xét và đặt
câu hỏi. Nếu cha hoàn chỉnh thì sinh viên nhóm khác bổ
sung hoàn chỉnh.
Giáo viên ra câu hỏi để cả lớp cùng suy nghĩ trả lời: Dựa
vào cơ sở lý thuyết nào mà sách giáo khoa toán 6 THCS đà đa ra cách t×m íc chung lín nhÊt, béi chung nhá nhÊt cđa 2 hay
nhiều số lớn hơn 1. Các nhóm suy nghĩ cử đại diện trả lời,
sau đó nhận xét chấm điểm toàn bộ phần trình bày vừa rồi
của các nhóm khác. Cuối cùng giáo viên nhận xét đánh giá từ
khâu chuẩn bị đến cách trình bày, nội dung và kết quả và
cho điểm.
3) Đổi mới phơng pháp dạy học theo hớng sử dụng và phối hợp
các phơng tiện dạy học.
Dạy học theo hớng thuyết trình có đặt vấn đề, có câu hỏi
gợi mở, kết hợp với sử dụng phơng tiện dạy học hiện đại để
xây dựng những tình huống có dụng ý s phạm cho sinh viên
học tập trong hoạt động và bằng hoạt động.
Dạy học cần chú trọng tới trình độ của đối tợng, đặc điểm
của đối tợng nhng vẫn phải đảm bảo nội dung chơng trình
và theo hớng nâng cao chất lợng. Đối với SVDTTS để làm đợc
điều này đòi hỏi giáo viên phải có sự chuẩn bị chu đáo trớc
khi lên lớp.
Phơng tiện, công nghệ dạy học nếu sử dụng đúng mục đích
nó có tác dụng giúp thiết lập những tình huống có dụng ý s
phạm, tổ chức những hoạt động và giao lu giữa thầy và trò,
giúp tèi ®a hãa thêi gian häc tËp thùc sù diƠn ra, tèi thiÕu

23


hóa các hoạt động cấp thấp, nâng cao tính hấp dẫn và hiệu
quả của bài giảng.
Một số phơng tiện, công nghệ dạy học:
Tài liệu in ấn, đồ dùng dạy học đơn giản, các phơng tiện kỹ
thuật hiện đại nh Overhead (dùng giấy trong và bút dạ màu).
Loại này sử dụng tốt cho thuyết giảng và thảo luận.
Công nghệ đa phơng tiện (multimedia) nh văn bản, đồ
họa, âm thanh...
Máy chiếu (Projector) đơn năng hoặc đa năng.
Máy vi tính chiếu hắt lên màn ảnh rộng.
Sử dụng Internet...
Với điều kiện cơ sở vật chất ở các trờng CĐSP, trình độ sinh
viên, và căn cứ vào đặc điểm môn Lý thuyết số là môn học
có một số thật toán đà đợc lập trình, nội dung trình bày theo
một trình tự thống nhất, nội dung khá nhiều so với số tiết đợc
phân phối trong chơng trình. Do đó việc sử dụng phơng
tiện, công nghệ vào dạy học đối với môn học này là việc làm
cần thiÕt.
Trong tiÕt d¹y tríc hÕt cho xt hiƯn cÊu tróc bài học lên màn
hình.Các khái niệm, định lý, tính chất, công thức và một số
ví dụ cho xuất hiện lên màn hình máy vi tính với hình thức
giảng đến đâu cho xt hiƯn ®Õn ®Êy. Ci tiÕt häc cho
xt hiƯn một bảng tổng kết các kiến thức cốt lõi của bài
giúp sinh viên tiện ghi nhớ.
Ví dụ 1: Chơng I, Đ2 Ước chung lớn nhất
Các định nghĩa ớc chung, ớc chung lớn nhất, số nguyên tố.
Định lý sự tồn tại ớc chung lớn nhất, hệ quả, các bổ đề cách

tìm íc chung lín nhÊt, c¸c tÝnh chÊt íc chung lín nhất đều
cho hiện lên máy tính với hình thức vừa giảng đến đâu vừa
hiện lên đến đấy. Đồng thời cho hiện lên một bảng tổng kết
vào cuối tiết học để nhắc nhở sinh viên những điều cốt lõi
cần ghi nhớ.
Đối với thuật toán Ơ-clit giáo viên cho sinh viên làm vÝ dơ t×m íc
chung lín nhÊt cđa hai sè b»ng thuật toán Ơ-clít (đà ôn tập ở
nhà), sinh viên làm trên giấy trong, sau đó chiếu lên màn
hình bài làm của một số sinh viên cho cả lớp nhận xét, gi¸o

24


viên sửa đổi bổ sung. Dựa trên ví dụ giáo viên hớng dẫn sinh
viên nêu lên các bớc hình thành thuật toán Ơ-clit, cho xuất hiện
trên màn hình thuật toán Ơ-clít.
Giáo viên giới thiệu cho sinh viên biết bằng thuật ngữ tin
học ngời ta diễn tả thuật toán Ơ-clít nh thế nào, cách sử dụng
nó ra sao, đồng thời hớng dẫn cho sinh viên cách nhập số liệu
và đa ra kết quả (có thể kiểm tra lại ví dụ đà làm).
Giáo viên có thể hớng dẫn sinh viên dùng máy tính bỏ túi để
tìm ƯCLN của hai số.
Giáo viên hớng dẫn sinh viên xây dựng thuật toán Ơ-clít mở
rộng bằng cách tơng tự nh trên (với các phơng tiện bảng viết,
đèn chiếu, máy vi tính).
4) Dạy học theo hớng thuyết trình có vấn đề, có câu hỏi gợi
mở, xây dựng những tình huống có dụng ý s phạm cho sinh
viên học tập trong hoạt động và bằng hoạt động
Ví dụ 1: Chơng I, Đ5 Phơng trình Đi-ô-phăng ax+by=c
Đặt vấn đề: ở phổ thông ta đà biết cách tìm nghiệm của

phơng trình bậc nhất hai ẩn. Vậy đối với Phơng trình Đi-ôphăng ax+by=c (1) với a; b;c là những số nguyên; a, b không
đồng thời bằng không. Chúng ta có thể luôn luôn tìm đợc
các số nguyên x, y thỏa mÃn phơng trình (1) hay không? Và
cách tìm các số nguyên đó nh thế nào?
Hỏi bài cũ: Giáo viên chỉ định hai sinh viên lên bảng tìm
nghiệm nguyên của các phơng trình (đà chuẩn bị ở nhà):
a) 6x+4y= 10 (2)
b) 6x+ 4y = 5 (3)
Từ kết quả của hai bài tập trên có thể dự đoán đợc khi nào
thì phơng trình (1) có nghiệm nguyên và khi nào phơng
trình (1) không có nghiệm nguyên.
Giáo viên hớng dẫn sinh viên nêu lên nội dung định lý và hớng
dẫn sinh viên chứng minh định lý.
Để chứng minh định lý điều kiện có nghiệm nguyên của phơng trình Đi-ô-phăng ta cần chứng minh mấy phần?
Với giả thiết của định lý muốn chứng minh d|c ta cần chứng
minh điều gì?

25