Rèn luyện cho học sinh kĩ năng phát hiện và giải quyết vấn đề trong dạy học giải bài tập toán giới hạn

MỞ ĐẦU
1.Lí do chọn đề tài
Tổ tiên ta đã khẳng định một chân lí trên bia văn miếu Hà Nội "những
người tài giỏi là yếu tố cốt tử đối với một chỉnh thể. Khi yếu tố này dồi dào thì
đất nước phát triển mạnh mẽ và phồn thịnh.Khi yếu tố này kém đi thì quyền lực
đất nước bị suy thối, những người tài giỏi có học thức là một sức mạnh đặc
biệt quan trọng đối với đất nước ".
Trong đại hội đại biểu toàn quốc lần thứ IV của đảng, đã nêu rõ: "mục
đích của cải cách giáo dục là đào tạo chất lượng tốt những người lao động mới,
trên cơ sở đó đào tạo và bồi dưỡng với quy mô ngày càng lớn đội ngũ công
nhân kĩ thuật và cán bộ quản lí, cán bộ khoa học kĩ thuật và nghiệp vụ ".
Thủ tướng Phạm Văn Đồng trong bức thư gửi các bạn trẻ yêu toán (tháng
10/1967) đã chỉ rõ: "trong các mơn khoa học và kĩ thuật, tốn học giữ một vị trí
nổi bật. Nó có tác dụng lớn đối với nhiều ngành khoa học khác, đối với kĩ
thuật, đối với sản xuất và chiến đấu. Nó cịn là mơn thể thao của trí tuệ, giúp
chúng ta nhiều trong việc rèn luyện phương pháp suy nghĩ, phương pháp suy
luận, phương pháp học tập, phương pháp giải quyết các vấn đề, giúp chúng ta
rèn luyện trí thơng minh sáng tạo. Nó cịn giúp chúng ta rèn luyện nhiều đức
tính quý báu khác như :cần cù và nhẫn nại, tự lực cánh sinh, ý chí vượt khó,u
thích chính chính xác, ham muốn chân lí. Dù các bạn phục vụ ngành nào trong
cơng tác nào thì các kiến thức và phương pháp toán học cũng rất cần cho các
bạn ".
Theo quan điểm giáo dục hiện đại : việc học tập của học sinh được diễn
ra trong hoạt động và bằng hoạt động. Hình thức hoạt động tốn học chủ yếu
của học sinh là hoạt động giải bài tập toán. Bài tập tốn có vai trị quan trọng
trong mơn tốn. Thơng qua giải bài tập toán học sinh thực hiện những hoạt
động hình thành củng cố trí thức kĩ năng, kĩ xảo ở những khâu khác nhau của
quá trình dạy học, kể cả ứng dụng toán học vào thực tiễn. Rèn luyện năng lực
trí tuệ như những hoạt động tư duy hình thành những phẩm chất trí tuệ. Bồi

dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng, hình thành những phẩm chất đạo đức
của người lao động mới.
Từ một số quan điểm vừa nêu, nhận thấy : quá trình dạy học ở trường
phổ thông cần chú trọng đến việc rèn luyện năng lực trí tuệ cho học sinh, đặc
biệt là rèn luyện thơng qua dạy họcc mơn tốn.Tốn học là những chặng đường,
trên con đường dài của nhận thức. Từ trực quan sinh động đến tư duy trừu
tượng, rồi từ đó đến thực tiễn.Góp phần đào tạo về nhiều mặt của con người lao
động mới phát triển toàn diện.
Trong chương trình tốn trung học phổ thơng chủ đề giới hạn đóng một
vai trị khá quan trọng, nó là cơ sở đối với kiến thức về 2 phép tính cơ bản của
giải tích tốn học là phép tính dạo hàm và phép tính tích phân. Đây là một chủ
đề khó với hệ thống bài tập mà khi giải quyết đòi hỏi học sinh phải vận dụng
nhiều quy tắc, định lí, phương pháp, huy động nhiều kiến thức đã học. Hệ
thống bài tập về chủ đề này còn giúp học sinh củng cố các kiến thức khác,vì
vậy rèn luyện kĩ năng phát hiện và giải quyết giải bài tập toán giới hạn là cần
thiết.
Với những lí do trên tơi quyết định chọn đề tài "Rèn luyện cho học sinh
kĩ năng phát hiện và giải quyết vấn đề trong dạy học giải bài tập tốn giới hạn
".
2. Mục đích nghiên cứu
Đưa ra hệ thống bài tập về giới hạn ,góp phần nâng cao hiệu quả rèn
luyện năng lực giải toán giới hạn cho học sinh.
3. Đối tượng nghiên cứu
Quá trình rèn luyện kĩ năng phát hiện và giải quyết vấn đề giải bài tập
toán chủ đề giới hạn ở trường trung học phổ thơng
4. Giả thiết khoa học
• Có thể rèn luyện kĩ năng phát hiện và giải quyết vấn đề trong giải bài
tập toán giới hạn, ở trường trung học phổ thông được hay không ? và bằng cách
nào ?

• Trên cơ sở chương trình sách giáo khoa có thể rèn luyện cho học sinh
những kĩ năng nào, của chủ đề giải bài tập tốn giới hạn ?
• Nêu những phương thức có thể có để rèn luyện kĩ năng phát hiện và
giải quyết vấn đề giải bài tập toán giới hạn.
5. Nhiệm vụ nghiên cứu
5.1 hệ thống hoá cơ sở lí luận, phân tích bản chất của các hình thức tổ
chức rèn luyện kĩ năng phát hiện và giải quyết bài toán.
5.2 nghiên cứu một số phương pháp rèn luyện kĩ năng giải các dạng bài
tập toán, chủ đề giới hạn cho học sinh trung học phổ thông.
5.3 thực nghiệm sư phạm, kiểm tra tính khả thi và hiệu quả của các kĩ
năng rèn luyện phát hiện và giải quyết giải bài tập toán chủ đề giới hạn.
6. Phạm vi nghiên cứu
Chủ đề nghiên cứu trong phạm vi sử dụng phương pháp rèn luyện kĩ
năng phát hiện và giải quyết vấn đề, trong giải bài tập toán vào chủ đề cụ thể
của chương trình trung học phổ thơng.
7. Ỹ nghĩa của việc nghiên cứu
Việc đề xuất các phương pháp giải bài tập về giới hạn và có hướng dẫn
hợp lí sẽ góp phần rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh, nâng cao kết quả
học tập cho học sinh.
8. Cấu trúc đề tài
Chương I : Cơ sở lí luận và thực tiễn
1.1 Quan điểm hoạt động trí tuệ trong giải bài tập toán
1.2 Năng lực toán học
1.3 Vị trí của chủ đề giới hạn và thực trạng của chủ đề đó hiện nay
Chương II : Rèn luyện kĩ năng giải một số dạng bài tập toán chủ đề giới
hạn cho học sinh
2.1 Rèn luyện kĩ năng giải các bài tập toán giới hạn dãy số
2.2 Rèn luyện kĩ năng giải các bài tập toán giới hạn hàm số
Chương III : Thực nghiệm sư phạm

3.1 Mục đích thựcc nghiệm
3.2 Nội dung thực nghiệm
3.3 Tổ chức thực nghiệm
3.4 nhận xét và đánh giá quá trình thực nghiệm
3.5 Kết luận chung về thực nghiệm


CHƯƠNG I : CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1 QUAN ĐIỂM HOẠT ĐỘNG TRÍ TUỆ TRONG GIẢI BÀI TẬP TỐN
Trong dạy học giảỉ tốn, kĩ năng tìm kiếm lời giải là một trong các kĩ
năng quan trọng nhất, mà việc rèn luyện các thao tác tư duy là một thành phần
khơng thể thiếu trong dạy học giải tốn. Trong tác phẩm của G.Pôlia ông đã
đưa ra 4 bước để đi đến lời giải bài toán.
1) Hiểu rõ bài toán
Để giải một bài toán trước hết phải hiểu bài toán và hơn nữa cịn phải có
hứng thú để giải bài tốn đó. Vì vậy điều đầu tiên giáo viên cần chú ý hướng
dẫn học sinh giải toán là khêu gợi trí tị mị, lịng ham muốn giải tốn của các
em, giúp các em hiểu bài toán phải giải. Muốn vậy cần phải phân tích giả thiết
và kết luận của bài toán, đâu là ẩn đâu là dữ kiện? đâu là điều kiện. Điều kiện,
dữ kiện này liên quan tới điều gì ?có thể biểu diễn bài tốn dưới một hình thức
khác được không ? như vậy, ngay ở bước " hiểu rõ bài tốn " ta đã thấy được
vai trị của các thao tác tư duy trong việc định hướng lời giải.
2) xây dựng chương trình giải
Trong bước thứ 2 này, ta lại thấy vai trò của các thao tác tư duy thể hiện
rõ nét hơn, qua việc phân tích bài toán đã cho thành nhiều bài toán đơn giản
hơn, biến đổi bài tốn đã cho, mị mẫn và dự đốn thơng qua xét các trường
hợp đặc biệt, xét các bài tốn tương tự hay khái qt hơn …thơng qua các kĩ
năng sau bằng cách đặt các câu hỏi.

- Huy động kiến thức có liên quan :
• Em đã gặp bài toán này hay bài toán này ở dạng hơi khác lần nào chưa
? em ccó biết một bài tốn nào liên quan khơng ? một định lí có thể dùng được
khơng ?
• Thử nhớ lại một bài tốn quen thuộc có cùng ẩn hay ẩn số tương tự ?
• Có thể sử dụng một bài tốn nào đó mà em đã có lần giải rồi hoặc sử
dụng kết quả của nó khơng ?
- Dự đốn kết quả phải tìm


• Em có thể nghĩ ra một bài tốn liên quan mà dễ hơn khơng ? một bài
tốn tổng qt hơn ? một trường hợp riêng ? một bài toán tương tự ? em có rhể
giải một phần của bài tốn ?
• Em đã sử dụng mọi dữ kiện chưa ? đã sử dụng hết điều kiện chưa ? đã
để ý đến mọi khái niệm chủ yếu của bài toán chưa ?
• Hãy giữ lại một phần điều kiện, bỏ qua phần kia, khi đó ẩn được xác
định đến chừng mực nào và biến đổi thế nào ?
- Sử dụng phép phân tích đi lên và phép phân tích đi xuống để tìm kiếm
hướng giải quyết vấn đề .
Trong quá trình dạy học nếu giáo viên khai thác triệt để những gợi ý trên
thì sẽ hình thành và phát triển ở học sinh kĩ năng tìm lời giải cho các bài tốn .
Tuy nhiên để đạt được điều này thì giáo viên phải thực hiện kiên trì tất cả các
giờ dạy toán . Đồng thời học sinh phải được tự mình áp dụng vào hoạt động
giải tốn của mình .
3) Thực hiện chương trình giải
Khi thực hiện chương trình giải, hãy kiểm tra lại từng bước. Em đã thấy
rõ ràng là mỗi bước đều đúng chưa ? có thể chứng minh là nó đúng khơng ?
4) Kiểm tra và nghiên cứu lời giải
Học sinh phổ thơng thường có thói quen khi đã tìm được lời giải của bài
tốn thì thoả mãn, ít đi sâu kiểm tra lại lời giải xem có sai lầm thiếu xót gì

khơng ? ít quan tâm tới việc nghiên cứu cải tiến lời giải, khai thác lời giải vì
vậy trong quá trình dạy học, giáo viên cần chú ý cho học sinh thường xuyên
thực hiện các yêu cầu sau:
• Kiểm tra lại kết qủa, kiểm tra lại suy luận.
• Xem xét đầy đủ các trường hợp có thể xảy ra của bài tốn.
• Tìm cách giải khác cuủa bài tốn : một bài tốn thường có nhiều các
giải, học sinh thường có những suy nghĩ khác nhau trước một bài toán, nhiều


khi độc đáo và sáng tạo. Vì vậy giáo viên cần lưu ý để phát huy tính sáng tạo
của học sinh trong việc tìm lời giải gọn , hay của một bài tốn.
Tuy nhiên cũng khơng nên q thiên về lời giải hay, làm cho học sinh
trung bình và kém chán nản. Tìm các sử dụng kết quả hay phương pháp giải bài
toán này cho 1 bài toán khác. Đề xuất bài tốn mới, có thể u cầu này là quá
cao đối với học sinh yếu kém. Nhưng có thể có thể coi là một phương hướng
bồi dưỡng học sinh giỏi. Tuy nhiên trong một số trường hợp đơn giản, dễ hiểu,
giáo viên có thể cho học sinh tồn lớp thấy được việc phân tích lời giải của bài
tốn để áp dụng vào bài toán khác hoặc đề xuất ra bài tốn mới .
Ví dụ 1 : Tính tổng
A=

1 1
1
1
+
+
+ ... +
2 2.3 3.4
9.10

Đứng trước bài toán này học sinh chỉ quan niệm là tính tổng của 9 số
hạng, thì học sinh sẽ giải quyết bài toán bằng cách lấy giá trị của các số hạng
cộng lại với nhau để tính tổng . Tuy nhiên một vấn đề đặt ra nếu đấy không
phải là tổng của 9 số nữa mà của nhiều số thì cách quan niệm trên sẽ khơng giải
quyết được bài toán.
B=

1 1
1
1
+
+
+ ... +
2 2.3 3.4
n(n + 1)

Đến đây chúng ta cần phải quan niệm bài toán theo một chiều hướng
khác. Nếu ta nhận thấy :

1
1
1
= −
n(n + 1) n n + 1
Thì bài tốn được giải quyết dễ dàng hơn . khi đó

1
2

1 1

2 3

1
n

B = (1 − ) + ( − ) + ... + ( −

1
1
n
) =1−
=
n +1
n +1 n +1

Như vậy quan niệm bài tốn theo một hướng khác, ta có thể giải quyết
bài toán trong cả trường hợp tổng quát và dĩ nhiên quan niệm theo cách này có
lợi hơn nhiều.


Hai thao tác " bổ sung " và " nhóm lại " thường hỗ trợ lẫn nhau . hoạt
động trí tuệ trong giải tốn cịn được thể hiện thơng qua hành động " tách biệt "
và " kết hợp ".tách biệt là tách một chi tiết, một bộ phận cụ thể khỏi cái tồn
thể bao quanh nó, tập trung mọi chú ý vào chi tiết bộ phận này. Các bộ phận có
thể gợi ý cái tồn thể, có thể dẫn tới thiết lập cái tồn thể. Hành động trí tuệ "
tách biệt " khơng thể diễn ra bên ngồi thao tác đối lập với nó. Hành động trí
tuệ " kết hợp " sau khi đã nghiên cứu một loại chi tiết, một bộ phận hành động
kết hợp liên kết, những chi tiết, những bộ phận đã được xem xét lại với nhau
trong một cái toàn thể. Cái toàn thể này được phản ánh đầy đủ hơn trước, tính
hài hồ và tính thống nhất của nó rõ nét hơn. Hành động " tách biệt " dẫn đến

hành động " kết hợp ",hành động " kết hợp "lại dẫn tới những hành động "
tách biệt " mới . Tách biệt những chi tiết mới, những bộ phận mới đó là tiến
trình suy nghĩ làm cho người giải hiểu bài toán và giải được bài tốn.
Ví dụ 2 : Gọi G là trọng tâm

VABC .

A1 , B1 , C1 lần lượt là hình chiếu

của G lên BC , AC , AB . cmr:

uuur
uuur
uuuu
r r
a 2 GA1 + b 2 GB1 + c 2 GC1 = 0

Để giải quyết bài toán này ta sử dụng kết quả sau : 0 là một điểm bất kì
trong

VABC,

gọi S1 , S2 , S3 lần lượt là diện tích của các tam giác : OBC

,OAC , OAB .Khi đó

uuu
r
uuu
r

uuur r
S1 OA + S 2 OB + S3 OC = 0 . Vấn đề đặt ra là làm thế

nào người giải có thể đốn được rằng, giải quyết bài toán này cần sử dụng kết
quả trên .
Sau một lúc nghiên cứu người giải phát hiện ra rằng đẳng thức cần chứng
minh có liên quan đến kết quả trên do nhìn thấy G nằm trong

V A1 B1C1

. khi

đó người giải tách bộ phận này ra, tập trung chú ý vào nó và bắt đầu đi tìm mối
liên hệ với kết quả trên.
Nhận thấy G nằm trong

V A1 B1C1 ta có :


uuur
uuur
uuuu
r r
S1 GA1 + S 2 GB1 + S3 GC1 = 0 .trong đó S1 = SVGB1C1 ; S2 = SVGC1 A1 ;
S3 = SVGA1B1 .
1
· GB = 1 GC .GB sin A = 1 2SVGAB . 2 SVGAC .sin A
Tacó: S1 = SVGB1C1 = GC1 .GB1 sin C
1
1

1
1
2

2

2 AB

AC

1
1
2 2 a
2.(abc)2 .a 2a3bc
2. .SVABC . .SVABC
=
=
= 2SVGAB .SVGAC
= S
3
.sin A = 3
.sin A 9bc 2 R 9bc.(4 R) 2 .2 R 144 R 3
c.b
b.c
2ab3c
2abc3
Tương tự : S2 =
; S3 =
144 R 3
144 R 3

uuur 2 uuur
uuuur r
2a 3bc uuur 2ab3c uuur 2abc3 uuuur r
2
2
⇒
⇔
GA
+
GB
+
GC
=
0
a
GA
+
b
GB
+
c
GC
1
1
1
1
1
1 =0
144 R 3
144 R3

144 R3

C1

A

B1
G

B

A1

C

1.2 NĂNG LỰC TOÁN HỌC
1.2.1 CÁC VẤN ĐỀ CHUNG VỀ NĂNG LỰC TỐN HỌC VÀ NĂNG
LỰC TỐN HỌC Ở HỌC SINH
Có nhiều quan điểm khác nhau về năng lực. Những quan điểm đứng trên
lập trường về tính tiền định sinh vật hoặc tính di truyền trực tiếp của năng lực
cho rằng : não người có những bứu đặc biệt tương ứng với tài năng khác nhau.
Người có bứu tốn thì có tài năng tốn học, quan niệm này của Ga Ltơng chỉ
nhằm củng cố đặc quyền cho giai cấp thống trị.
Một trong những cơng trình nghiên cứu đầy đủ nhất về năng lực tốn học
là cơng trình "tâm lí năng lực toán học của học sinh " của VA.Gucchetxiki.


Theo ơng vấn đề năng lực chính là vấn đề khác biệt cá nhân, mỗi cá nhân đều
có năng lực nhiều hơn về một mặt nào đó và có năng lực ít hơn về ột mặt khác.
Năng lực khơng chỉ do bẩm sinh mà phát triển trong đừi sống. Trong

hoạt động các năng lực không phải nhất thành bất biến mà hình thành và phát
triển trong quá trình học tập, luyện tập để nắm được hoạt động tương ứng. Do
đó năng lực toán chỉ tồn tại trong hoạt động toán học và chỉ trên cơ cở phân
tích tốn học mới thấy được biểu hiện của năng lực toán học .
Ở mỗi học sinh đều có năng lực tốn học khác nhau. Trong cùng một
điều kiện giảng dạy học tập như nhau có những em học nhanh, học giỏi, có
những em kém hơn. Có những em đạt thành tích cao mà khơng cần nhiều cơng
sức lắm, cũng có những em dù đã cố gắng hết sức mà thành tích đạt được
khơng là bao, do đó giáo viên cần nghiên cứu để nắm bắt được những học sinh
yếu để giúp các em nâng cao dần năng lực ở mặt này và giúp em có năng lực
phát huy hết khả năng của mình.
Nhà trường là nơi cung cấp cho học sinh những cơ sở đầu tiên của tốn
học. Khơng ai khác chính thầy giáo là những người hoặc vun xới cho mần
mống năng khiếu toán học ở học sinh hoặc thui chột chúng. Chính vì vậy, việc
phát triển năng lực tốn học ở học sinh là nhiệm vụ đặc biệt quan trọng của
người thầy giáo.
1.2.2 NĂNG LỰC GIẢI BÀI TẬP TỐN
Nói đến nănng lực giải tốn, là nói đến khả năng vận dụng kiến thức để
giải quyết bài toán. Năng lực giải toán được thể hiện qua các mặt sau :
Tìm và liên hệ những kiến thức đầu vào và dữ kiện đầu ra khả năng vận
dụng các phương pháp toán học khác nhau để giải bài tốn. Nhìn nhận bài tốn
dưới nhiều khía cạnh khác nhau. Từ đó vận dụng kiến thức để giải quyết bài
tốn.
Khả năng chuyển từ bài tốn khó thành bài toán đơn giản hơn, huy động
các kiến thức liên quan đến khái niệm, những khái niệm cơ bản đó, lựa chọn


trong số kiến thức đó gần gũi với bài tốn nhất để giải quyết nó. Nhà tốn học
A. Ia Khin -xin cho rằng những nét độc đáo của phong cách tư duy tốn học là :
• Suy luận theo sơ đồ loogic chiếm ưu thế .

• Khuynh hướng đi tìm con đường ngắn nhất, dẫn đến mục đích phân
chia rành mạch các bước suy luận.
• Sử dụng chính xác các kí hiệu.
• Tính có căn cứ đầy đủ các lập luận, đặc biệt không bao giờ chấp nhận
những khái quát khơng có suy luận, những phép tương tự khơng có cơ sở.
1.3 VỊ TRÍ CỦA CHỦ ĐỀ GIỚI HẠN VÀ THỰC TRẠNG CỦA
CHỦ ĐỀ ĐÓ HIỆN NAY
Khái niệm giới hạn là cơ sở của giải tích tốn học (gọi tắt là giải tích ).
Giải tích bắt đầu bằng khái niệm giới hạn. Ranh giới giữa đại số và giải tích
bắt đầu từ đấy. Mỗi lần ta gặp một vấn đề gì khơng địi hỏi phải chuyển qua
giới hạn, thì ta còn đứng trong lĩnh vực đại số, mỗi lần ta phải tìm giới hạn của
một đại lượng biến thiên nào đó, thì ta đã bước vào lĩnh vực giải tích rồi.
Chẳng hạn khi ta khảo sát một hàm số và ta vẽ đồ thị của nó bằng cách tìm một
số điểm của nó và nối các điểm đó bằng một đường, thì cách làm đó thuộc
phạm vi đại số. Cịn nếu ta chứng minh được rằng hàm số đó là liên tục và vẽ
đồ thị của nó bằng một đường liền thể hiện sự bến thiên liên tục của nó, thì
cách làm đó thuộc phạm vi giải tích.
Chương trình đại số và giải tich 11 gồm 2 phần đan xen nhau:
*) Phần đại số nghiên cứu các đề mục sau :
1) Các hàm số siêu việt siêu cấp :lượng giác, mũ, logarit, nghiên cứu
bằng các phhương pháp đại số.
2) Các công thức lượng giác.
3) Các dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân.
4) Các phép tính luỹ thừa và căn thức.
5) Các phương trình và bất phương trình lượng giác, mũ và mũ lơgarit.
*) Phần giải tích nghiên cứu các đề mục sau


1) Giới hạn của dãy số.
2) Giới hạn của hàm số.

3) Hàm số liên tục.
4) Định nghĩa luỹ thừa a q với q vơ tỉ
5) Việc tìm giới hạn của hàm số khi x dần tới vô cực, hoặc dần tới 0 đối
với các hàm số y = a x , log a x …vốn thuộc phạm vi giải tích, song vì trình độ
học sinh lớp 11 chưa cho phép giải quyết một cách chính xác các vấn đề đó,
nên các kết quả thường được thừa nhận, xem những hệ quả tự nhiên của sự biến
thiên của các hàm số đó. Thành thử việc nghiên cứu các hàm số mũ và lôgarit
trong trường THPT được thực hiện bằng các phương pháp đại số.
Trước khi bước vào học về giới hạn, học sinh chỉ tư duy theo kiểu "hữu
hạn, rời rạc " của đại số, nay mới làm quen với kiểu tư duy "vơ hạn, giới hạn,
liên tục "của giải tích. Từ chủ đề kiến thức này đã mở ra một loạt chủ đề kiến
thức khác liên quan cũng như vạn dụng nó để giải một lớp bài tập.


CHƯƠNG II : RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI
TẬP TOÁN CHỦ ĐỀ GIIỚI HẠN CHO HỌC SINH
2.1 RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC BÀI TẬP TOÁN GIỚI HẠN
DÃY SỐ
2.1.1 sự tồn tại giới hạn của dãy số.
2.1.1.1 các bước kiểm tra sự tồn tại của dãy số { un }
+) bước 1 : Xét un+1 − un
+)bước 2 :tìm m sao cho un >m ∀n hoặc un +)kết luận
Nếu un+1 − un >0 và un
•
có giới hạn.

2.1.1.2 các cách chỉ ra { un } là khơng có gới hạn
Cách 1 : c/m { un } khơng thoả mãn ngun lí giới hạn.

Cách 2 : chỉ ra 2 dãy con có giới hạn khác nhau.
Cách 3 dãy số cho dưới dạng công thức truy hồi ta làm như sau : giả sử
dãy có giới hạn, sau đó đưa vào cơng thức truy hồi c/m phương trình vơ
nghiệm.
Cách 4 : chỉ ra một dãy con của dãy số đã cho khơng có giới hạn
2.1.1.3 các bài tập rèn luyện kĩ năng xét sự tồn tại giới hạn của dãy số
Bài 1: chứng minh dãy số sau có giới hạn hữu hạn

un =

1 1
1
+ + ... + ; n = 1, 2,3...
1! 2!
n!

Giải : ta có :

un+1 =

1 1
1
1
+ + ... + +
1! 2!
n ! (n + 1)!

⇒ un+1 − un =

1

⇒ un+1 − un >0 ⇒{ un } là dãy đơn điệu tăng.
(n + 1)!


{ un }

là dãy đơn điệu tăng nên ta đi chứng minh { un } là bị chặn trên .đi

đến đánh giá theo chiều lớn hơn.
Ta có : 3! = 1.2.3 >2.2= 22
4!=1.2.3.>2. 22 = 23
5!=1.2.3.4.5>2. 23 = 24
…
n!=(n-1)!.n> 2n−2.2 = 2 n−1

1 1
1 1 1
1
+ ... + < + + ... + n−1
1! 2!
n! 1 2
2

⇒ +

1
1 1 1
1
2n
⇒ un < 0 + 1 + 2 + ... + n−1 = 1.

1
2 2 2
2
1−
2
1−

⇒ un < 2.(1 −

1
) ⇒un <2 ∀n
2n

⇒{ un } bị chặn trên bởi 2.theo nguyên lí giới hạn suy ra dãy số có giới
hạn hữu hạn.
Bài 2 : chứng minh rằng dãy số sau có giới hạn hữu hạn :

1
1
1
un = (1 + ).(1 + )...(1 + ); n = 1, 2...
1!
2!
n!
Giải : khi dãy số cho dưới dạng công thức tổng quát và nhận giá trị
dương, xét tính đơn điệu tăng hay đơn điệu giảm ta cịn có cách sau :
Xét

un+1
un

Nếu

un+1
<1 thì dãy đơn điệu giảm
un

Nếu

un+1
>1 thì dãy đơn điệu tăng.
un

Ta có :


1
1
1
1
un+1 = (1 + ).(1 + )...(1 + ).(1 +
)
1!
2!
n!
( n + 1)!
un+1
u
1
= 1+

⇒ n+1 >1 ⇒{ un } là dãy đơn điệu tăng.
un
( n + 1)!
un

⇒

Bây giờ ta chứng minh { un } bị chặn trên.
Từ bài 1 ta có :

1 1
1
+ + ... + < 2
1! 2!
n!

Trong cơng thức tổng quát của { un } ta cũng thấy xuất hiện

1 1
1
, ,...,
1! 2!
n!

hơn nữa chúng đang nằm dưới dạng tích nên ta phải tìm cách chuyển chúng về
dạng tổng.
Khi đó, ta nghĩ đến cơng thức : a m .a n = a m+n
1
1
n

Ta đi đến chứng minh :1 + < a ! dễ dàng chứng minh được
n!
1
1
n!
1+ < 3
n!
1
1
1!
Ta có : 1 + < 3
1!
1
1
2!
1+ < 3
2!

…
1
1
n!
1+ < 3
n!
1
1
1
1
1
1

1!
2!
n
⇒(1 + ).(1 + )...(1 + ) < 3 .3 ...3 !
1!
2!
n!
1

1

1

⇒ u < 31!.3 2!...3 n! < 32 ⇒ un < 9 ∀ n.
n
Theo nguyên lí giới hạn suy ra { un } có giới hạn hữu hạn.


Bài 3 : chứng minh các dãy số sau có giới hạn
a) un =

1
1
1
+
+ ... +
; n = 1, 2,...
1.2 2.3
n(n + 1)

b) un = (1 +

1
1
1
).(1 + 2 )...(1 + 2 ); n = 1, 2...
2
2
3
n

Giải :
a) điều kiện 1 : un+1 =
⇒ un+1 − un =

1
1
1
1
+
+ ... +
+
1.2 2.3
n( n + 1) ( n + 1).( n + 2)

1
⇒un+1 − un > 0
(n + 1).(n + 2)

⇒ { un } là dãy đơn điệu tăng.

Điều kiện 2 :
Nhận xét :

1
1
1
= −
n(n + 1) n n + 1
1
1
= 1−
1.2
2

⇒

1
1 1
= −
2.3 2 3
…

1
1
1
= −
n(n + 1) n n + 1
⇒

1

1
1
1
+
+ ... +
= 1−
⇒ un < 1 ∀ n
1.2 2.3
n( n + 1)
n +1

⇒ { un } bị chặn trên .
Theo nguyên lí giới hạn suy ra { un } có giới hạn.
b) { un } với mỗi n= 2,3 …có

1+

1
> 0 nên ta xét
n2


un+1
1
= 1+
> 1 ⇒un+1 > un ∀ n
un
( n + 1)2
⇒ { un } là dãy đơn điệu tăng.
1

1
2
Ta có : 1 + 2 < 3 n
n
1

1
2
< 32
2
2

⇒1 +

1

1
2
1 + 2 < 33
3
…
1

1
2
1 + 2 < 3n
n
1

1

1

+ +...+
1
1
1
⇒ (1 + ).(1 + )...(1 + ) < 3 22 32 n2
22
32
n2

Lại có :

1
1
1
<
=
1
−
22 1.2
2
1
1
1 1
<
=
−

32 2.3 2 3
…

1
1
1
1
<
=
−
2
n
n(n − 1) n − 1 n
⇒ (1 +

1
1
1
1
).(1 + 2 )...(1 + 2 ) < 1 − < 1
2
2
3
n
n

⇒un < 3 ∀ n
Bài 4 : xét sự hội tụ của dãy số sau

un =

3n + 3
n2 + n + 1


Giải : ta có

un+1 =

3n + 6
3n + 6
= 2
2
(n + 1) + n + 1 + 1 n + 3n + 3

⇒ un+1 − un =

3n + 6
3n + 3
n+2
n +1
− 2
= 3( 2
− 2
)
n + 3n + 3 n + n + 1
n + 3n + 3 n + n + 1
2

n3 + 3n 2 + 3n + 2 − n3 − 4n 2 − 6n − 3

− n 2 − 3n − 1
= 3.
= 3. 2
(n 2 + 3n + 3)(n 2 + n + 1)
(n + 3n + 3)(n 2 + n + 1)
⇒ un+1 − un < 0
⇒ { un } là dãy đơn điệu giảm.
Tiếp theo ta chứng minh cho { un } bị chặn dưới
Ta có : un > 0 ∀n ⇒ { un } bị chặn dưới bởi 0.
Theo nguyên lí giới hạn suy ra { un } có giới hạn hữu hạn.
Bài tập đề nghị :
Bài 1 : xét sự tồn tại giới hạn của dãy số

un =

1 3 5
2n − 1
+ 2 + 3 + ... + n
2 2 2
2

Bài 2 : xét sự tồn giới hạn của dãy số xn =

sin1 sin 2
sin n
+ 2 + ... + n
2
2
2

Bài 3 : chứng minh dãy số sau có giới hạn

xn =

cos1! cos 2!
cos n !
+
+ ... +
; n = 1, 2..
1.2
2.3
n(n + 1)

Bài 4 :chứng minh dãy số sau có giới hạn

un = 1 +

1
1
+ ... + 2 ; n = 1, 2...
2
2
n

Bài 5 : xét sự tồn tại giới hạn của dãy

22 + (−2) 2
xn =
3n
Bài 6 : xét xem dãy số sau có tồn tại giới hạn hữu hạn hay không.

un = 1 +

1
1
1
+
+ ... +
− 2 n ; n = 1, 2,3...
2
3
n

Bài 7 :chứng minh các dãy số sau khơng có giới hạn
a) un = 1 +
b) un =

1
1
+ .... +
2
n

1
1
1
+
.... +
ln 2 ln 3

ln n
1
n

n
c) un = (1 − ) + 2( −1)

d) un =

2n
nπ
.sin
n +1
2

2.1.2 các cách giải bài tập toán giới hạn dãy số
2.1.2.1 chứng minh giới hạn của dãy số nhờ định nghĩa

un = a
Định nghĩa : dãy số { un } gọi là có giới hạn bằng a và kí hiệu lim
x→∞
nếu như ∀ ε >0 tồn tại số nguyên dương n0 sao cho : ∀ n> n0 thì

un − a < ε. Viết gọn lại lim un = a
Bài toán : chứng minh rằng : lim un = a
Phương pháp : bài toán này học sinh cần đi tìm số n0 phụ thuộc vào ε và
a .để un − a < ε
Bài tập rèn luyện kĩ năng dùng định nghĩa chứng minh giới hạn của dãy
số:
Bài 1 : chứng minh rằng

n 2 + 2n
lim 2
=1
n + 2n + 4
Giải : ∀ ε >0 cho trước ta có

n 2 + 2n
4
un − 1 = 2
−1 = 2
n + 2n + 4
n + 2n + 4


Vì thế un − 1 < ε ⇔
Lại có :
⇒

4
<ε
n + 2n + 4
2

4
4
<
n 2 + 2n + 4 ( n + 1) 2

4

4
<ε
ε
⇔
<
2
2
(
n
+
1)
n + 2n + 4

⇔ n+1 >

2
2
⇔ n>
-1
ε
ε
 2

− 1 + 1 khi đó
 ε


Chọn n0 = 
∀ n> n0

thì

un − 1 < ε. Theo định nghĩa giới hạn suy ra

n 2 + 2n
lim 2
=1
n + 2n + 4
Bài 2 :chứng minh rằng :

lim( n + 1 − n ) = 0
Giải : ∀ ε >0 cho trước ta có

un − 0 =

1
1
<
n +1 + n 2 n

n +1 − n =

Vì thế: un − 0 < ε ⇔

1
2 n

< ε ⇔n >

1

4ε 2

 1 
+ 1 khi đó ∀ n> n0 thì un − 0 < ε. Theo định nghĩa
2
 4ε 

Chọn n0 = 
giới hạn ta suy ra :

lim( n + 1 − n ) = 0

Bài 3 : chứng minh rằng

lim

2n.sin n
=0
n3 + 1

Giải : ∀ ε >0 nhỏ tuỳ ý cho trước ta có


un − 0 =

2n.sin n
2n
2n
2
−

0
=
.
sin
n
<
<
n3 + 1
n3 + 1
n3 + 1 n 2

Vì thế un − 0 < ε ⇔

2
2
< ε ⇔ n>
2
n
ε

 2
 + 1 khi đó ∀ n> n0 thì un − 0 < ε. Theo định nghĩa giới
ε



Chọn n0 = 
hạn

lim

2n.sin n
= 0.
n3 + 1

Bài 4 : chứng minh rằng

(−1) n
lim
=0
n
Giải : ∀ ε >0 nhỏ tuỳ ý cho trước ta có

(−1) n 1
un − 0 =
=
n
n

Vì thế un − 0 < ε ⇔

1
 

1
1
< ε ⇔ n>
n
ε

Chọn n0 =   + 1 khi đó ∀ n> n0 thì un − 0 < ε. Theo định nghĩa giới
ε
hạn

(−1) n
lim
=0
n
bài tập đề nghị
1) Hãy vận dụng định nghĩa để chứng minh
a) lim

1
=0
n

b) lim c = c (c là hằng số)
c) lim

2n − 3
=2
n


2) chứng minh rằng

lim

3n
=3

n+7

3) cho q mà q < 1 chứng minh rằng lim q n = 0
2.1.2.2 tìm giới hạn bằng cách sử dụng ngun lí kẹp
Tìm giới hạn của dãy số { un }
Phương pháp : tìm 2 dãy số

{ vn }

{ wn }

và

sao cho : tồn tại

lim vn ;lim wn và lim vn = lim wn = a đồng thời vn ≤ un ≤ wn ; ∀n
Khi đó : tồn tại giới hạn lim un và lim un =a
Bài 1 : tìm lim

sin n
n

Giải : như ta đã biết -1 −1 ≤ sin n ≤ 1; ∀n ∈ N và lim(

lim

1
= 0 .nên ta hướng tới sử dụng "ngun lí kẹp" để giải bài tốn
n

này.từ trên suy ra :

lim

−1
)=0
n

−1 sin n 1
≤
≤ ; ∀n ∈ N .Theo "ngun lí kẹp" suy ra
n
n
n

sin n
=0
n
tìm lim( 2. 4 2. 8 2...2 n 2)

Bài 2 :

Giải : ta có thể viết lại
1
2

1
8

1

4

2. 2. 2... 2 = 2 .2 .2 ...2
4

8

2n

1
2n

1
2

1
22

1
23

= 2 .2 .2 ...2

1
2n

=2

1 1
1

+ +...+ n
2 22
2

=2

1
1−
1 2n
.
2 1− 1
2

=

2
2

Bài tốn trở về tìm lim

2
2

1
2n

2

=

lim 2

có thể giải bằng ngun lí kẹp như sau :

1
2n

⇒ cần tìm

lim 2

1
2n

bài tốn này

1
2n


2n

  1n

  


2 =  2 ÷ = 1 +  2 − 1÷ > 1 +  2 2 − 1÷
 


  
 
 
1
2n

1
2n

n

n

 21n

 21n

 21n

= 1 + n  2 − 1÷+ ... +  2 − 1÷ > n  2 − 1÷






⇒

1

2
n
> 22 −1 > 0
n

1
2n

lim(2 − 1) = 0 → lim 2

1
2n

theo

ngun

lí

kẹp

ta

có

=1

⇒ lim( 2. 4 2. 8 2...2 n 2) =2

2n

Bài 3 : tìm lim
n!
Giải : nhận xét
n−2

2n 2.2....2 2 2 2
2 2
2 2 2
2
=
= . ... = 2.1. ... < 2.1. . ... = 2  ÷
n ! 1.2.3...n 1 2 n
3 n
3 3 3
3
n

2 9 92
= 2.  ÷. =  ÷
 3 4 2 3
n

n

2n 9  2 
9 2
2n
⇒0<
vì
nên

theo
ngun
lí
kẹp
<  ÷
lim .  ÷ = 0
lim
n! 2  3 
2 3
n!
=0
bài tập đề nghị
a) tìm giới hạn của dãy số sau

un =

( 2n − 1) !!
( 2n ) !!

b) chứng minh lim

an
= 0 (a cho trước)
n!


2.1.2.3 tìm giới hạn của dãy số nhờ phép biến đổi
(*) giới hạn dạng

∞

∞

Phương pháp : chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa của n cao nhất và sử dụng
các phép biến đổi tính giới hạn
Bài 1 : tìm giới hạn lim

( n + 1) ( 2n − 1)
( 3n + 2 ) ( n + 2 )

Giải : chia cả tử và mẫu cho n 2 ta được

1
 1 
1
+
2
−

÷
÷
n + 1) ( 2n − 1)
(
n 
n  1.2 2

lim
= lim
=
=
2  2  3.1 3


( 3n + 2 ) ( n + 2 )
 3 + ÷ 1 + ÷
n  n 

Vì lim

1
2
= lim = 0
n
n

2 n + 5n
Bài 2 : tính giới hạn lim n
3 + 5n
Giải : chia cả tử và mẫu cho 5n ta được
n

2
n
n
 ÷ +1
n
n
2 +5
5
2
3




lim n
= lim
= 1 vì lim  ÷ = lim  ÷ = 0
n
3 + 5n
3
5
5
 ÷ +1
5
Bài 3 : tính giới hạn lim

n +1
n +1

Giải : chia cả tử và mẫu cho

n ta được

1
n +1
n = 1 vì lim 1 = lim 1 = 0
lim
= lim
1
n
n +1
n

1+
n
1+


bài tập đề nghị
Tìm các giới hạn

−2 ) + 3n
(
lim
n+1
( −2 ) + 3n+1
n

a)

3 2
b) lim n + 2

n+2

c) lim

n

1 + 3 + 5 + ... + ( 2n − 1)
2n 2 + n + 1

an

d) lim
(a>0)
1 + an
 1

1



1

+
+ ... +
e) lim 
 ; n = 1, 2...
1.2.3
2.3.4
n
(
n
+
1)(
n
+
2)


(*) giới hạn dạng ∞ − ∞
Phương pháp : thực hiện các phép tốn như nhân liên hợp, thêm bớt,…
đưa về tìm giới hạn dạng

∞
∞

Bài 1 : tìm giới hạn lim

(

n2 + n − n

)

Giải :

lim

(

)

n + n − n = lim
2

n2 + n − n2
n2 + n + n

= lim

n
n2 + n + n

= lim

1
1
=
2
1
1+ +1
n