Dạy học định lý toán học ở trường THPT theo hướng rèn luyện kĩ năng phát hiện và giải guyết vấn đề

mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
1.1. Trong công cuộc đổi mới của đất nớc, Đảng và Nhà nớc ta đà nhấn mạnh
yếu tố con ngời, phát triển con ngời toàn diện để đáp ứng yêu cầu của sự nghiệp công
nghiệp hoá - hiện đại hoá đất nớc và thích nghi với xu thế toàn cầu hoá. Có thể hiểu
con ngêi ViƯt Nam trong thêi kú míi lµ ngêi cã tri thức, có tính độc lập và sáng tạo,
có khả năng học tập suốt đời.
Đảng và Nhà nớc ta đà đề ra mục tiêu đổi mới giáo dục là phải đổi mới một
cách toàn diện về tất cả các mặt theo hớng tạo những cơ hội thuận lợi nhất cho ngời
học hoạt động một cách tích cực để tự chiếm lĩnh tri thức cho bản thân. Nghi quyết
trung ơng 2 khoá VIII của Đảng đà khẳng định: Cuộc cách mạng về phCuộc cách mạng về phơng pháp
giáo dục phải hớng vào ngời học, rèn luyện và phát triển khả năng suy nghĩ, khả
năng giải quyết vấn đề một cách năng động, độc lập, sáng tạo ngay trong quá trình
học tập ở nhà trờng phổ thông..
1.2. Trong Luật giáo dục Việt Nam, năm 2005, ở điều 28.2 đà viết: Phơng
pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của
học sinh, phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học; cần phải bồi dỡng phơng
pháp tự học, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; cần phải đem lại
niềm vui, høng thó häc tËp cho häc sinh.
Trong d¹y häc Phát hiện và giải quyết vấn đề, học sinh vừa nắm đợc tri thức
mới, vừa nắm đợc phơng pháp chiếm lĩnh tri thức đó, phát triển t duy tích cực sáng
tạo, đợc chuẩn bị một năng lực thích ứng với đời sống xà hội; phát hiện kịp thời và
giải quyết hợp lý các vấn đề nảy sinh. (Tài liệu bồi dỡng giáo viên - tr 33).
1.3. Theo tác giả Nguyễn Cảnh Toàn thì Cuộc cách mạng về phdạy học là dạy kiến thức, kĩ năng, t
duy và tính cách....; trong đó dạy kĩ năng có một vị trí đặc biệt quan trọng, bởi vì nếu
không có kĩ năng thì sẽ không phát triển đợc t duy và cũng không đáp ứng đợc nhu
cầu giải quyết vấn đề. Do đó việc rèn luyện cho học sinh các kĩ năng trong quá trình
dạy học toán là một yêu cầu quan trọng và cùc kú thiÕt thùc ®èi víi häc sinh trung
häc phỉ thông. Nếu các kĩ năng đợc rèn luyện tốt thì hiệu quả học tập môn Toán đợc
nâng cao; ngợc lại, nếu các kĩ năng bị hạn chế thì học tập sẽ mắc phải nhiều khó khăn
trong việc chiếm lĩnh và kiến tạo tri thức Toán học.

1.4. Các định lí cùng với các khái niệm Toán học tạo thành nội dung cơ bản
của môn Toán, làm nền tảng cho việc rèn luyện kĩ năng bộ môn, đặc biệt là khả năng
suy luận và chứng minh, phát triển năng lực trí tuệ chung, rèn luyện t tởng, phẩm chất
và đạo đức.
Vì lý do trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu của Luận văn là: Cuộc cách mạng về phDạy học định
lí Toán học ở trờng THPT theo hớng tăng cờng rèn luyện kĩ năng phát hiện và giải
quyết vấn đề cho häc sinh”..


1
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của Luận văn là nghiên cứu các cơ sở lý luận và thực tiễn để xác định
đợc các kĩ năng phát hiện và giải quyết vấn đề thông qua dạy học định lí Toán học ở
trờng THPT. Từ đó, xác định các phơng thức s phạm nhằm rèn luyện các kĩ năng phát
hiện và giải quyết vấn đề, góp phần nâng cao hiệu quả dạy học định lí Toán học ở trờng THPT.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Để đạt đợc mục đích nghiên cứu trên luận văn có nhiệm vụ làm rõ những vấn
đề sau:
3.1. Kĩ năng là gì? Cơ chế hình thành kĩ năng là nh thế nào?
3.2. Nghiên cứu các cơ sở lí luận và thực tiễn về kĩ năng phát hiện và giải quyết
vấn đề.
3.3. Đề xuất các định hớng cơ bản làm cơ sở cho việc xác định các phơng thức
dạy học, theo hớng rèn luyện kĩ năng phát hiện và giải quyết vấn đề thông qua dạy
học các định lí Toán học ở trờng THPT.
3.4. Xác định các phơng thức s phạm nhằm rèn luyện các kĩ năng phát hiện và
giải quyết vấn đề thông qua dạy học một số định lí Toán học.
3.5. Thực nghiệm s phạm kiểm tra tính khả thi của phơng pháp dạy học phát
hiện và giải quyết vấn đề, nhằm rèn luyện các kĩ năng cho học sinh thông qua dạy
học các định lí Toán häc ë trêng THPT.

2
4. Phơng pháp nghiên cứu
4.1. Nghiên cứu lý luận:
4.2. Điều tra, quan sát thực tiễn:
4.3. Thực nghiệm s phạm:
5. Giả thuyết khoa học
Nếu xác định đợc các kĩ năng phát hiện và giải quyết vấn đề trong dạy học định
lí Toán học, đa ra và thực hiện đợc các phơng thức s phạm nhằm rèn luyện các kĩ
năng phát hiện và giải quyết vấn đề thì sẽ góp phần nâng cao chất lợng dạy học Toán
học ở trờng THPT.
6. Đóng góp của luận văn
6.1. Về mặt lý luận
Làm rõ đợc phơng pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề thông qua dạy học
các định lí Toán học ở trờng THPT, phân tích về kĩ năng và sự hình thành kĩ năng từ đó
xác định đợc các kĩ năng phát hiện và giải quyết vấn đề.
Đề ra những định hớng và các phơng thức dạy học phát hiện và giải quyết vấn
đề nhằm rèn luyện các kĩ năng cho học sinh.
6.2. Về mặt thực tiễn
Luận văn có thể dùng làm tài liệu tham khảo cho giáo viên Toán ở trờng THPT.
7. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, Luận văn còn có 3 chơng:
Chơng 1. Một số vấn đề cơ sở lý luận và thực tiễn.
Chơng 2. Một số phơng thức rèn luyện kĩ năng phát hiện và giải quyết vấn đề
cho học sinh thông qua dạy học định lí Toán học
Chơng 3. Thùc nghiƯm s ph¹m


3
Chơng 1

cơ sở lý luận và thực tiễn
1.1. Kĩ năng
1.1.1. Khái niệm kĩ năng
Xem xét các công trình nghiên cứu về kĩ năng, chúng tôi thấy vẫn còn tồn tại
hai quan niệm khác nhau đôi chút về kĩ năng:
Quan niệm 1: Coi kĩ năng là mặt kỹ thuật của một thao tác, hành động hay một
hoạt động nào đó. Muốn thực hiện đợc một hành động, cá nhân phải hiểu đợc mục
đích, phơng thức và điều kiện để thực hiện nó. Vì vậy nếu ta nắm đợc các tri thức về
hành động, thực hiện nó trong thực tiễn theo các yêu cầu khác nhau tức là ta đà có kĩ
năng về hành động. Theo V.A. Cruchetxki thì Cuộc cách mạng về phKĩ năng là các phơng thức thực hiện
hoạt động, những cái mà con ngời đà nắm vững.. Ông cho rằng chỉ cần nắm vững phơng thức của hành động là con ngời có kĩ năng, không cần đến kết quả hoạt động của
cá nhân. Tác giả Trần Trọng Thuỷ cũng cho rằng Cuộc cách mạng về phKĩ năng là mặt kỹ thuật của hành
động. Con ngời nắm đợc cách thức hành động - tức kỹ thuật của hành động là có kĩ
năng..
Quan niệm 2: Coi kĩ năng không đơn thuần là mặt kỹ thuật của hành động mà
còn là một biểu hiện năng lực của con ngời. Chẳng hạn, theo N.D. Lêvitôp Cuộc cách mạng về phKĩ năng là
sự thực hiện có kết quả một động tác nào đó hay một hoạt động phức tạp hơn bằng cách
lựa chọn và áp dụng những cách thức đúng đắn có tính đến những điều kiện nhất định..
K.k.Platơnôp, nhà tâm lý học Liên Xô khẳng định: Cuộc cách mạng về phCơ sở tâm lý của kĩ năng là sự thông
hiểu mối liên hệ giữa mục đích hành động, các điều kiện và phơng thức hành động..
Theo giáo trình Tâm lý học đại cơng thì: Cuộc cách mạng về phKĩ năng là năng lực sử dụng các dữ
kiện, các tri thức hay khái niệm đà có, năng lực vận dụng chúng để phát hiện những
thuộc tính bản chất của các sự vật và giải quyết thành công những nhiệm vụ lý luận
hay thực hành xác định..
Theo từ điển Tâm lý học do Vũ Dũng chủ biên đà định nghĩa: Cuộc cách mạng về phKĩ năng là năng
lực vận dụng có kết quả tri thức về phơng thức hành động đà đợc chủ thể lĩnh hội để
thực hiện những nhiệm vụ tơng ứng..
Từ điển Tiếng Việt có viết: Cuộc cách mạng về phKĩ năng là khả năng vận dụng những kiến thức thu
nhận đợc trong một lĩnh vực nào đó vào thực tế. [33].

Có thể thấy, theo khuynh hớng thứ hai này thì khi bàn về kĩ năng lại rất chú ý
đến mặt kết quả của hành động.
Xét về mặt bản chất hai quan niệm trên không phủ định lẫn nhau. Sự khác biệt là ở
chỗ mở rộng hay thu hẹp thành phần cấu trúc của kĩ năng mà thôi.
Quan điểm cá nhân về kĩ năng:
Kĩ năng là độ thuần thục của một hoạt động trong một điều kiện nhất định nào
đó, nhằm tạo ra một sản phẩm nhờ vận dụng các kiến thức ®· cho.


4
1.1.2. Sự hình thành các kĩ năng
Sự hình thành các kĩ năng - đó là sự nắm vững cả một hệ thống phức tạp các thao
tác phát hiện và cải biến thông tin chứa đựng trong các tri thức và tiếp thu đợc từ các
đối tợng, đối chiếu và xác lập quan hệ của thông tin với các hành động. Kĩ năng chỉ đợc hình thành thông qua quá trình t duy để giải quyết các nhiệm vụ đặt ra. Khi tiến
hành t duy sự vật thì chủ thể thờng biến đổi, phân tích đối tợng để tách ra những khía
cạnh, những thuộc tính mới.
Để hình thành bất kì một kĩ năng nào cũng cần đợc tiến hành thông qua các
hoạt động luyện tập, củng cố, vận dụng thông qua việc thực hiện các thao tác, hành
động và diễn ra theo một quy trình trong một khoảng thời gian nhất định.
1.2. Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề
Trong dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề, học sinh vừa nắm đợc tri thức
mới, vừa nắm đợc phơng pháp chiếm lĩnh tri thức đó, phát triển t duy tích cực sáng
tạo, đợc chuẩn bị một năng lực thích ứng với đời sống xà hội: phát hiện kịp thời và
giải quyết hợp lí các vấn đề nÃy sinh. Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề không
chỉ giới hạn ở phạm trù PPDH, nó đòi hỏi cải tạo nội dung, đổi mới cách tổ chức quá
trình dạy học trong mèi quan hƯ thèng nhÊt víi PPDH.
1.2.1. C¬ së lý luận của phơng pháp dạy học PH và GQVĐ
1.2.1.1. C¬ së triÕt häc
Theo triÕt häc duy vËt biƯn chøng Cuộc cách mạng về phMâu thuẫn là động lực thúc đẩy quá trình
phát triển.. Phơng pháp dạy học PH và GQVĐ đà dựa vào quy luật trên. Một vấn đề

đợc gợi cho học sinh học tập chính là mâu thuẫn giữa yêu cầu nhiệm vụ nhận thức với
tri thức và kinh nghiệm sẵn có. Nếu giải quyết đợc mâu thuẫn thì chủ thể có thêm một
kiến thức mới.
1.2.1.2. Cơ sở tâm lý học
Quá trình nhận thức luôn thực hiện nhờ t duy, mà t duy về bản chất lại là sự
nhận thức dẫn đến chỗ giải quyết các vấn đề, các nhiệm vụ đặt ra cho mỗi ngời. Vì
vậy tâm lý học, dạy học phải dựa vào nguyên tắc Cuộc cách mạng về phTính có vấn đề cao., tức không có
vấn đề thì không có t duy.
1.2.1.3. Cơ sở giáo dục học
Có hiệu quả giáo dục cao hơn khi quá trình đào tạo đợc biến thành quá trình tự
đào tạo.
1.2.2. Những khái niệm cơ bản của dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề


5
1.2.2.1. Vấn đề
Để hiểu đúng thế nào là một vấn đề và đồng thời làm rõ một vài khái niệm
khác có liên quan, ta bắt đầu từ khái niệm hệ thống.
1.2.2.2. Tình huống gợi vấn đề
Tình huống gợi vấn đề, còn gọi là tình huống vấn đề, là một tình huống gợi ra
cho học sinh những khó khăn về lý luận hay thực tiễn mà họ thấy cần thiết và có khả
năng vợt qua.
- Tồn tại một vấn đề:
- Nhu cầu nhận thức:
- Gây niềm tin ở khả năng:
1.2.3. Dạy học PH và GQVĐ
Dạy học PH và GQVĐ là kiểu dạy có nét đặc trng là giáo viên trực tiếp tạo ra
những tình huống gợi vấn đề, điều khiển học sinh phát hiện ra vấn đề, hoạt động tự
giác và tích cực để giải quyết ván đề.
1.2.4. Những hình thức và cấp độ dạy học PH và GQVĐ

Tùy theo mức độ độc lập của học sinh trong quá trình GQVĐ mà ngời ta nói tới
các cấp độ khác nhau, cũng đồng thời là những hình thức khác nhau của dạy học PH
và GQVĐ. Theo Giáo s Nguyễn Bá Kim thì đa ra các hình thức sau đây:
- Ngời học độc lập PH và GQVĐ:
- Ngời học hợp tác PH và GQVĐ:
- Thầy trò vấn đáp PH và GQVĐ:
- Giáo viên thuyết trình PH và GQVĐ:
1.2.5. Quy trình dạy học Phát hiện và giải quyết vấn đề
1.2.5.1. Nguyên tắc thiết lập quy trình dạy học PH và GQVĐ
Cơ sở để vạch ra các bớc cơ bản trong quy trình dạy học là cấu trúc của sự tìm
tòi trí tuệ, cấu trúc lôgic của nội dung dạy học và cấu trúc hoạt động của thầy trò
trong dạy học PH và GQVĐ.
1.2.5.2. Cấu trúc của quy trình dạy học PH và GQVĐ
Theo Giáo s Nguyễn Bá Kim, Vũ Dơng Thụy thì quy trình này có thể chia
thành các bớc sau
Bớc 1: Tri giác vấn đề:
Bớc 2: Giải quyết vấn đề:
Bớc 3: Trình bày cách giải quyết vấn đề.
Bớc 4: Kiểm tra và nghiên cứu lời giải:
Trong cuốn sách Cuộc cách mạng về phSáng tạo toán học., tác giả G. Polia đà mô tả cấu trúc cho
việc dạy học PH và GQVĐ bởi mô hình:
Bớc 1: Tìm hiểu vấn đề.
Bớc 2: Lập kế hoạch gi¶i.


6
Bíc 3: Thùc hiƯn kÕ ho¹ch.
Bíc 4: KiĨm tra l¹i.
Do đó chúng tôi đà đa ra quy trình dạy học PH và GQVĐ tổng quát nh sau.
Bớc 1: Tạo tình huống gợi vấn đề:

B
Bớc 2: Giải quyết vấn đề:
Bớc 3: Kiểm tra và ứng dụng kết quả:
Ví dụ1: Dạy học định lí cosin.
a
Bớc1: Tạo tình huống gợi vấn đề:
c
Đa học sinh vào tình huống gợi vấn đề:
Giáo viên ra ba bài toán:
C
Bài toán 1: Cho tam giác vuông ABC (hình 1)
A
b
1. HÃy tìm công thức hiển thị cạnh góc
HìnhA1
vuông b theo hai cạnh a, c và cosB.
HÃy xác lập các công thức tơng tự cho các cạnh a, c.
b
c
Bài toán 2. Cho tam giác đều ABC (hình 2).
HÃy phát biểu các công thức tơng tự với các
công thức ở bài toán 1 cho các cạnh của tam giác
C
đều đà cho.
B
a
Bài toán 3. Cho tam giác ABC bất kỳ (hình 3).
Dựa vào kết quả thu đợc ở hai bài toán trên,
Hình 2
hÃy khái quát hoá các kết quả đó?

Dự đoán kết quả thu đợc là:
A

a 2 b 2 c 2  2bc cos A

b 2 a 2  c 2  2ac cos B

c

b

c 2 a 2  b 2 2ab cos C
Bớc 2: Giải quyết vấn đề
C
B
a
Bớc 3: Kiểm tra và ứng dụng kết quả: Kiểm tra tính hợp lý và tối u của lời giải.
1.3. Kĩ năng phát hiện và giải quyết vấn đề
Hình 3
1.3.1. Khái niệm kĩ năng phát hiện và giải quyết vấn đề
Cuộc cách mạng về phKĩ năng phát hiện và giải quyết vấn đề là năng lực sử dụng các dữ kiện, các tri
thức hay khái niệm đà có, năng lực vận dụng chúng để phát hiện những thuộc tính
bản chất của các sự vật, hiện tợng và giải quyết thành công những nhiệm vụ nhằm xây
dựng nên những kiến mới cần thu nhận..
1.3.2. Các kĩ năng phát hiện và giải quyết vấn đề trong dạy học Toán
1.3.2.1. Cơ sở xác định các kĩ năng phát hiện và giải quyết vấn đề
a) Sơ đồ tìm một cách giải quyết vấn đề
b) Cách dạy học phát triển nhận thức
c) Quan điểm về sự sản sinh c¸i míi

7
d) Sự thích nghi trí tuệ
1.3.2.2. Các kĩ năng phát hiện và giải quyết vấn đề trong dạy học Toán
a) Kĩ năng dự đoán phát hiện vấn đề dự trên cơ sở các quy luật t duy tiền logic,
t duy biện chứng, suy luận có lý, khả năng liên tởng và di chuyển liên tởng.
Theo tác giả Hoàng Chúng: Cuộc cách mạng về phPhải dạy cho học sinh biết các suy luận có lý để
có thể tự tìm tòi, dự ®o¸n c¸c quy lt cđa thÕ giíi kh¸ch quan, tù mình phát hiện và
phát biểu vấn đề. Nhằm mục đích ấy, cần tập cho học sinh biết thu thập các số liệu,
đúc kết, lập bảng, vẽ đồ thị... quan sát các kết quả, rút ra các kết luận khái quát có
tính chất dự đoán.....
b) Kĩ năng huy động kiến thức để giải quyết các vấn đề Toán học
- Kĩ năng lựa chọn các công cụ thích hợp để giải quyết một vấn đề
- Kĩ năng chuyển đổi ngôn ngữ
- Kĩ năng quy lạ về quen nhờ biến đổi các vấn đề, biến đổi các bài toán về dạng
tơng tự.
c) Kĩ năng lập luận logic, có căn cứ giải quyết vấn đề đặt ra
Để khẳng định tính chính xác hay bác bỏ một giả tuyết đặt ra trong quá trình hình thành
kiến thức mới yêu cầu ngời học sinh phải lập luận có căn cứ chính xác.
Ví dụ 5: Dạy học định lí Cuộc cách mạng về phNếu điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỷ số k 1 thì



OA

k .OB Cuộc cách mạng về ph.
với điểm O bất kỳ: OM
1 k

1.3.3. Kĩ năng phát hiện và giải quyết vấn đề trong dạy học định lí Toán học

Theo tác giả Nguyễn Bá Kim, việc dạy học định lí Toán học (trong đó các định
lí hình học) đợc thực hiện một trong hai con ®êng sau:
- Con ®êng suy diƠn.
- Con đờng có khâu suy đoán.
1.3.3.1. Dạy học định lí theo con đờng có khâu suy đoán
Theo con đờng này để dạy học một định lí chúng ta thờng đi theo các bớc sau:
1) Gợi động cơ học tập định lí xuất phát từ một nhu cầu nảy sinh trong thực
tiễn hoặc trong nội bộ Toán học;
2) Dự đoán và phát biểu định lí;
3) Chứng minh định lí;
4) Vận dụng định lí vừa tìm đợc để giải quyết, khép kín vấn đề đặt ra khi gợi
động cơ;
5) Củng cố định lí.
1.3.3. 2. Dạy học định lí theo con đờng suy diễn
Theo con đờng này để dạy học một định lí chúng ta thờng đi theo các bớc sau:
1) Gợi động cơ học tập định lí nh ở con đờng thứ nhất;


8
2) Xuất phát từ những tri thức Toán học đà biết, dùng suy diễn logic dẫn tới định lí.
3) Phát biểu định lí;
4) Vận dụng định lí;
5) Củng cố định lí.
Sự khác biệt căn bản giữa hai con đờng là ở chỗ: Theo con đờng có khâu suy
đoán thì sự dự đoán phát hiện diễn ra trớc việc chứng minh định lí còn ở con đờng suy
diễn thì hai việc này nhập lại thành một bớc. Tuỳ từng nội dung cụ thể của từng định
lí mà chúng ta có thể trình bày theo cách này hay cách khác.
1.3.3.3. Các kĩ năng phát hiện và giải quyết vấn đề trong dạy học định lí
toán học
a) Kĩ năng dự đoán và phát biểu định lí nhờ vào hoạt động gợi động cơ

b) Kĩ năng điều khiển học sinh chứng minh định lí
c) Kĩ năng thể hiện một số hoạt động củng cố định lí
1.4. Tiềm năng trong việc rèn luyện các kĩ năng phát hiện và giải quyết vấn đề
thông qua dạy học định lí Toán học
- Kĩ năng huy động kiến thức
- Kĩ năng tạo các tình huống
- Kĩ năng dự đoán phát hiện vấn đề
- Kĩ năng giải quyết các vấn đề
- Kĩ năng củng cố định lí (hoạt động thông qua một số bài toán, hoạt động khái
quát hoá định lí).
1.5. Kết luận chơng 1
Dựa trên những phân tích về dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề, về kĩ năng
và sự hình thành kĩ năng luận văn đà xác định đợc các kĩ năng phát hiện và giải quyết
vấn đề, phân tích và minh hoạ đợc các kĩ năng phát hiện và giải quyết vấn đề. Từ đó,
khẳng định đợc việc rèn luyện các kĩ năng phát hiện và giải quyết vấn đề cho học sinh
thông qua dạy học các định lí Toán học ở trờng THPT là hết sức cần thiết và có thể
thực hiện đợc.


9
Chơng 2

Một số phơng thức rèn luyện kĩ năng phát hiện
và giải quyết vấn đề cho học sinh thông qua
dạy học định lí toán học
2.1. Một số cơ sở khoa học đề xuất các phơng thức rèn luyện các kĩ năng phát
hiện và giải quyết vấn đề cho học sinh
2.1.1. Yêu cầu của sách giáo khoa mới
2.1.2. Trình độ nhận thức của học sinh
2.1.3. Những khó khăn của giáo viên khi dạy học theo chơng trình sách giáo

khoa mới
2.2. Một số phơng thức rèn luyện kĩ năng phát hiện và giải quyết vấn đề cho học
sinh thông qua dạy học định lí Toán học
2.2.1. Thông qua việc tổ chức kiến thức tạo tình huống, môi trờng để học sinh hoạt
động phát hiện định lí
Cuộc cách mạng về phMôi trờng đợc hiểu là hệ thống các đối tợng trực diện với ngời học trò, là
những đối tợng của hoạt động, tác động tới quá trình thích nghi của ngời học..
Ví dụ 8: Xét định lí mở đầu về điều kiện đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng:
Cuộc cách mạng về phNếu đờng thẳng vuông góc với hai đờng thẳng a, b cắt nhau nằm trong mặt
phẳng (P) thì vuông góc với mặt phẳng (P). (SGK Hình học 11, NXB Giáo dục,
2008).
Ví dụ 9: Xét định lí Cuộc cách mạng về phNếu mặt phẳng ( ) chứa hai đờng thẳng cắt nhau a, b và
a, b cùng song song với mặt phẳng ( ) thì ( ) song song víi (  )”. (SGK H×nh häc
11, NXB Giáo dục, 2008).
2.2.2. Xuất phát từ khảo sát các trờng hợp riêng trên cơ sở những tri thức Toán
học đà biết, từ đó để học sinh khái quát dự đoán định lí
Chơng trình và sách giáo khoa Toán học hiện hành ở bậc THPT, đà chú trọng
các hoạt động của học sinh, để học sinh tự do phát hiện, dự đoán, hình thành các định
lí Toán học.
Ví dụ 10: Dạy học định lí côsin trong tam giác
Ví dụ 11: Dạy học định lí sin trong tam giác
2.2.3. Tập dợt cho học sinh mò mẫm, dự đoán để phát biểu định lí
Tác giả Nguyễn Bá Kim đà phát biểu: Cuộc cách mạng về phNếu nhìn Toán học trong quá trình hình
thành và phát triển, trong quá trình tìm tòi, dự đoán, vẫn có Cuộc cách mạng về phthực nghiệm. và Cuộc cách mạng về phquy nạp...
Còn nhà Toán học và là nhà s phạm nổi tiếng ngời Mỹ - G.Pôlya cho rằng: Cuộc cách mạng về phKết quả
công tác sáng tạo của nhà Toán học là suy luận, nhờ dự đoán. Nếu việc dạy Toán phản ánh ở
mức độ nào đó thì việc hình thành Toán học nh thế nào thì trong việc giảng dạy đó phải
dành chỗ cho dự đoán, cho suy luận có lý..
2.2.3.1. Dự đoán bằng đặc biệt ho¸

10
Cuộc cách mạng về phĐặc biệt hoá là chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp đối tợng đà cho sang việc
nghiên cứu một tập hợp nhỏ hơn chứa trong tập đà cho.[22].
Ví dụ 13: Dạy học định lí về phơng tích của một điểm đối với một đờng tròn.
Ví dụ 14: Dạy học định lí về thể tích của khối lăng trụ.
2.2.3.2. Dự đoán bằng tơng tự hoá
Tơng tự là một kiểu giống nhau nào đó. Có thể nói tơng tự là giống nhau nhng
ở mức độ xác định hơn, và mức độ đó đợc phản ánh bằng khái niệm [22].
Ví dụ 15: Định lí Cuộc cách mạng về phNếu hai đờng thẳng cùng song song với một đờng thẳng thứ ba thì
chúng song song. (có thể thay Cuộc cách mạng về phđờng thẳng. bởi Cuộc cách mạng về phmặt phẳng.).
2.2.3.3. Dự đoán bằng tổng quát hoá
Tổng quát hoá là chuyển khái niệm tính chất từ tập hợp này sang tập hợp rộng
hơn, hay mở rộng khái niệm, tính chất ngay trên tập đó.
Ví dụ 19: Dạy học định lí về trọng tâm tam giác
2.2.3.4. Dự đoán bằng quy nạp (xuất phát từ cái riêng để dự đoán cái chung).
Quy nạp đóng vai trò quan trọng trong quá trình dự đoán, sáng tạo cái mới.
Khi dùng phơng pháp quy nạp để dự đoán, chúng ta nổ lực t duy nhằm đa ra giả
thuyết của mình (giả thuyết quy nạp), tìm ra quy luật chung của bài toán từ những trờng hợp riêng cụ thể.
2.2.4. Luyện tập cho học sinh các hoạt động hớng vào việc huy động kiến thức để
chứng minh định lí
Chứng minh định lí Toán học là một kiểu lập luận xuất phát từ giả thiết, dùng
suy diễn logíc chặt chẽ để đi đến kết luận. Có nhiều phơng pháp chứng minh định lí
nh: chứng minh trực tiếp, chứng minh bằng phản, chứng minh bằng quy nạp.
Ví dụ 21: Dạy học chứng minh định lí côsin trong tam giác (hình 18).
Nội dung định lí: Trong tam giác ABC, víi BC = a, CA = b, AB = c, ta cã
2
2
a = b + c2 - 2bc.cosA; b2 = a2 + c2 - 2ac.cosB; c2 = a2 + b2 - 2ab.cosC
Tríc hÕt lËp ln chøng minh biĨu thøc a2 = b2 + c2 - 2bc.cosA (1)

Hoạt động điều khiển của giáo viên thể hiện qua các câu hỏi định hớng sau:
Câu hỏi đợc đặt ra là, biểu thức 2bc.cosA liên hệ với kiến thức nào đà biết?
Yêu cầu học sinh trả lời câu hỏi trên để học sinh nhớ lại tích vô hớng của hai


véctơ AB, AC có độ dài lần lợt bằng c, b.
Mong đợi câu tr¶ lêi häc sinh:
 


AB. AC = AB . AC .cos( AB, AC )

Sè a2 liªn hƯ víi kiÕn thøc nào đà có?

A
c

b

a

C
Yêu cầu để học sinh biểu diễn a2 = BC 2 ,
B
Hình 18
các em hÃy viết công thức (1) nhờ ngôn ngữ véctơ? mong đợi câu trả lời cña häc sinh:


11
a2 = b2 + c2 - 2bc.cosA

 2  2
 2

 BC  AC  AB  2 AC AB cos( AC , AB )
 2  2  2 
 
2
 BC  AC  AB  2 AC. AB  BC ( AC  AB ) 2

Tõ c¸c nhận xét trên em hÃy tìm cách chứng minh nội dung công thức (1). HÃy biểu




diễn véctơ BC qua hai véctơ AB, AC ? Sau đó bình phơng vô hớng.
Mong đợi câu trả lời ở học sinh:





2



2
2
2
BC  AC  AB  BC ( AC  AB ) 2  BC  AC  AB  2 AC .AB
 2  2

2 

 BC  AC  AB  2 AC . AB cos( AC , AB )  BC 2  AC 2  AB 2  2 AC. AB cos A

VËy:

a2 = b2 + c2 - 2bc.cosA.
Yêu cầu học sinh chứng minh tơng tự các công thức
b2 = a2 + c2 - 2ac.cosB
c2 = a2 + b2 - 2ab.cosC
VÝ dơ 22: D¹y häc chøng minh định lí về điều kiện đờng thẳng vuông góc với
mặt phẳng: Cuộc cách mạng về phNếu một đờng thẳng vuông góc với hai đờng thẳng cắt nhau cùng thuộc
một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng ấy. (Hình học11 NXB Giáo dục, năm
2008).
2.2.5. Tập dợt cho học sinh các hoạt động tơng thích với định lí
Mỗi định lí dạy học đều liên hệ mật thiết với những hoạt động nhất định. Hoạt
động đợc gọi là tơng thích với định lí nếu nó đợc tiến hành trong quá trình hình thành
hoặc vận dụng định lí đó.
Các hoạt động cần chú ý:
1) Những hoạt động nhận dạng và thể hiện
2) Những hoạt động Toán học phức hợp
3) Những hoạt động trí tuệ phổ biến trong môn Toán
4) Những hoạt động trí tuệ chung
5) Những hoạt động ngôn ngữ
* Chọn lựa một số hoạt động tơng thích
1) Tập trung vào mục đích / mục tiêu đà đề ra.
2) Phân tích hoạt động thành những hoạt động thành phần
3) Tập trung vào những hoạt động toán học: nhận dạng và thể hiện, những hoạt
động toán học phức hợp, những hoạt động trí tuệ phổ biến trong môn toán.
Ví dụ 25: Để dạy cho học sinh nắm vững nội dung định lí Cuộc cách mạng về phTứ giác nội tiếp

trong đờng tròn. ta cần tổ chức các hoạt động sau:
a) Hoạt động trÝ tuÖ:


12
Bất kì tam giác nào cũng nội tiếp đợc trong một đờng tròn, điều đó còn đúng
không nếu đó là tứ giác? Ví dụ hình bình hành, hình chữ nhật? Cho bốn điểm A, B,
C, D nằm trên một đờng tròn tạo nên một tứ giác lồi. Cho biết góc A b»ng 600, h·y
dïng kiÕn thøc vÒ gãc néi tiÕp tìm độ lớn của góc C. Từ đó nêu lên một giả thuyết và
chứng minh.
b) Hoạt động nhận dạng, thể hiện:
HÃy xét các tứ giác hình bình hành, hình chữ nhật, hình vuông, hình thang cân,
hình thang thờng. Xem hình nào nội tiếp đợc, không đợc?
c) Hoạt động phức hợp:
Để chứng minh một tứ giác ABCD là nội tiếp đợc trong một đờng
tròn có cần phải có điều kiện
M
A + C = 1800 và B + D = 1800 không? Tại sao?
N
Với các điều kiện trong hình bên), ta có thể kết
luận tứ giác MNPQ nội tiếp trong một đờng
tròn đợc không? Cho biết ABCD nội tiếp đợc
trong một đờng tròn, hÃy vẽ đờng tròn đó !
P
Q
d) Hoạt động ngôn ngữ: HÃy phân biệt: Đờng tròn (O) ngoại
tiếp
tứ
giác
ABCD

Hình 20
và tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn (O) !
2.2.6. Luyện tập cho häc sinh khai th¸c c¸c híng kh¸c nhau vËn dụng định lí
Việc luyện tập các hoạt động khai thác các hớng khác nhau của một định lí
toán học đợc tiến hành theo trình tự sau:
1. Phát hiện thêm các dạng toán ứng dụng định lí và xây dựng thuật giải tơng ứng.
2. Lựa chọn các bài toán gốc nhằm vận dụng khắc sâu cách giải ở trên.
3. Lựa chọn và phát triển các bài toán nâng cao mức độ khó khăn nhằm rèn
luyện năng lực huy động kiến thức trong quá trình giải toán.
Ví dụ 26: Chứng minh ba điểm thẳng hàng nhờ sử dụng định lí Ta-lét
* Các cách vận dụng định lí Ta-lét để chứng minh ba điểm thẳng hàng
Cách 1. Để chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng ta làm theo các bớc sau:
- Vẽ đờng thẳng a đi qua A, sao cho B và C thuộc một nửa mặt phẳng bờ là đ ờng thẳng a.
A
- Vẽ các đờng thẳng BM và CN song song víi
nhau sao cho M, N thuéc a.
- Chøng minh

BM AM
(1) (hình 21)

CN
AN

Có thể kiểm tra tính đúng đắn của chứng minh
bằng cách sau:

M

B

N
C
C1

a

C1
Hình 21


13
Vẽ đờng thẳng AB cắt tia CN tại C1. Khi đó vì BM song song C1N nên theo
định lí Ta-lét trong tam gi¸c AC1N ta cã
Tõ c¸c hƯ thøc (1) và (2) suy ra

BM AM

(2)
C1 N AN

BM BM

. Từ đó CN = C1N suy ra hai điểm C
CN C1 N

và C1 trùng nhau.
Cách 2. Chứng minh A, B, C thẳng hàng theo các bớc sau:
- Vẽ đờng thẳng a đi qua điểm B, sao cho A và C thuộc hai nửa mặt phẳng khác
nhau với bờ a.

- Vẽ AM và CN song song với nhau sao cho các điểm M và N thuộc a.
- Chứng minh

AM BM
(hình 22)

CN
BN

a

- Chứng minh

M

A

Cách 3. Chứng minh các điểm A, B, C thẳng
hàng theo các bớc sau:
Xác định góc xAy sao cho B, C thc miỊn
trong cđa gãc ®ã.
- VÏ BE song song víi CF ; các điểm E, F
thuộc tia Ax; vẽ BI song song víi CJ, I vµ J thc tia Ay.

B

C

BE BI
(hình 23)

CF CJ

N

* Lựa chọn các bài toán gốc nhằm khắc sâu cách giải 1
+) Bài toán 1. Cho tam giác ABC.
Đờng thẳng MN song song với cạnh BC; M, N
lần lợt thuộc các cạnh AB và AC. Gọi I và J tơng ứng
là trung điểm của đoạn MN và cạnh BC. Chứng minh
F
ba điểm A, I, J thẳng hàng.
Lời giải: Do I, J nằm về một phía của đờng
x
thẳng AB và MI song song BJ, nên hai bớc đầu của
cách 1 đà thỏa mÃn. Vậy để chứng minh ba điểm A, I,

Hình 22
A
E

I
B

J

C
A Hình 23

MI AM

J thẳng hàng chỉ cần chứng minh
(hình 24)

BJ
AB

Thật vậy, do MN song song BC nên theo định lí
Ta-lét áp dụng cho tam giác ABC ta cã:

M

1
MN
AM MN 2
MI



.
1
AB
BC
BJ
BC
2

N
I

B

J
H×nh 24

C

y


14
+) Bài toán 2. Cho tam giác ABC.
Gọi O là giao điểm của các đờng phân
giác trong của tam giác đó; O1 là giao
của AO với phân giác ngoài của góc B.
Giả sử các điểm H và K là hình chiếu của O1 và O lên BC. Điểm I là ®iĨm ®èi
xøng cđa K qua t©m O. Chøng minh r»ng A, I, H là ba điểm thẳng hàng.
Lời giải: Do các điểm I, H nằm về một phía đA
ờng AO và OI song song O1H nên theo cách 1 để lập
luận A, I, H thẳng hàng chỉ cần chứng tỏ

(hình 25).
Thật vậy, gọi các điểm M và N lần lợt là các
hình chiếu của O và O1 lên đờng thẳng AB. Khi ®ã

I

M

OI
AO


O1 H AO1

O
B

C
K

H

N

AO AM OM OK
OI




AO1 AN O1 N O1 H O1 H

O1

(áp dụng định lí Ta-lét cho tam giác AO1N và tính chất của đờng phânHình
giác).
25
* Các bài toán nâng cao mức độ khó khăn đợc giải nhờ vận dụng cách 1 và
các bài toán gốc
+) Bài toán 3. Cho tam giác ABC nhọn. M là điểm di động trên cạnh BC. Các
điểm P, Q lần lợt là hình chiếu của M lên các cạnh AB, AC. Tìm quỹ tích trung điểm

của đoạn PQ.
2.3. Kết luận chơng 2
Trong chơng 2, luận văn đà nghiên cứu và xây dùng mét sè ph¬ng thøc nh»m
rÌn lun cho häc sinh các kĩ năng phát hiện và giải quyết vấn đề thông qua dạy học
định lí toán học. Đồng thời, luận văn cũng đà thể hiện cụ thể một số ví dụ về cách
thức thực hiện các phơng thức đó.
Chơng 3

Thực nghiệm s phạm
3.1. Mục đích thực nghiệm
Thực nghiệm s phạm đợc tiến hành nhằm mục đích kiểm nghiệm tính khả thi
và tính hiệu quả của việc bồi dỡng các kĩ năng phát hiện và giải quyết vấn đề cho học
sinh trung học phổ thông thông qua dạy học Cuộc cách mạng về phĐịnh lí toán học., kiểm nghiệm tính
đúng đắn của Giả thuyết khoa học.
3.2. Tổ chức và nội dung thùc nghiƯm
3.2.1. Tỉ chøc thùc nghiƯm


15
Thực nghiệm s phạm đợc tiến hành tại trờng trung học phổ thông Bắc Yên
Thành, Yên Thành, Nghệ An.
Bảng 1. Bố trí các lớp thực nghiệm và đối chứng
Trờng
THPT Bắc Yên Thành
Tổng số học sinh

Lớp thực nghiệm

Lớp đối chứng

10A4

10A3

48

45

Thời gian chúng tôi tiến hành tổ chức thực nghiệm từ ngày 5 thánh 10 năm 2009 đến
ngày 12 tháng 12 năm 2009 tại trờng THPT Bắc Yên Thành, Yên Thành, Nghệ An. Giáo
viên dạy lớp thực nghiệm: Thầy giáo Trần Văn Thẩm. Giáo viên dạy lớp đối chứng:
Cô giáo Nguyễn Thị Trang
3.2.2. Néi dung thùc nghiƯm
Néi dung ®Ị kiĨm tra
(Thêi gian làm bài 15 phút)
Cho tam giác ABC có góc A = 600, c¹nh CA = 8 cm, c¹nh AB = 5 cm.
a) Tính độ dài cạnh BC ?
b) Xét xem gãc B tï hay nhän.
c) TÝnh b¸n kÝnh R cđa đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Nội dung đề kiểm tra
(Thời gian làm bài 60 phút)
Bài 1: (4 điểm) Cho tam gi¸c ABC tháa m·n sinA.sinB = sin 2C. Chøng minh
rằng:
a) c2 = ab. Với a, b và c lần lợt là độ dài các cạnh BC, AC và AB.
1
2

b) cosC .
Bài 2: (4 điểm) Cho tam giác ABC víi AB = 2, AC = 2 3 , A 300 .
a) TÝnh c¹nh BC.

b) TÝnh trung tuyÕn AM
c) TÝnh bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Bài 3: (2 điểm) Cho tam giác ABC với AB + AC = 13, AB > AC, A = 60 0. BiÕt bán
kính đờng tròn nội tiếp tam giác đó bằng 3 . Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC.
3.2.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm
3.2.3.1. Đánh giá các tiết dạy thực nghiệm
Về ý kiến của giáo viên dự giờ thùc nghiÖm:


16
VỊ ý kiÕn cđa häc sinh ë líp d¹y thùc nghiệm:
3.2.3.2. Đánh giá bài kiểm tra
3.2.3.3. Đánh giá, phân tích kết quả kiểm tra
* Đánh giá định tính
* Đánh giá định lợng
Qua các bài kiểm tra đánh giá, chúng tôi đà tiến hành thống kê, tính toán và thu
đợc các bảng số liệu sau:
Bảng 2. Bảng thống kê các điểm số (Xi) của bài kiểm tra
Số bài kiểm tra đạt điểm Xi
Lớp

Số HS Số bài KT

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

ĐC 10A3

45

90

1

3

7

9

16

20

20

11

2

1

TN 10A4

48

96

0

1

4

5

18

22

25

14

4

3

9

10

Bảng 3. Bảng phân phối tần suất
Số % bài kiểm tra đạt điểm Xi
Lớp

Số HS Số bài KT
1

2

3

4

5

6

7

8

ĐC 10A3

45

90

1,1

3,3

7,8

10,0 17,8 22,2 22,2 12,2

2,2

1,1

TN 10A4

48

96

0,0

1,1

4,2

5,2

4,2

3,1

18,7 22,9 26,0 14,6

Biểu đồ 1. Biểu đồ phân phối tÇn st cđa hai líp

Số % bài kiểm tra đạt im Xi

30.0
25.0
20.0

C

15.0

TN

10.0
5.0
0.0
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

im

3.3. Kết luận chung về thực nghiệm s phạm
Căn cứ vào kết quả kiểm tra, bớc đầu có thể thấy hiệu quả của các phơng thức s
phạm trong việc rèn luyện các kĩ năng phát hiện và giải quyết vấn đề cho học sinh
thông qua dạy học Cuộc cách mạng về phĐịnh lí toán học. mà chúng ta đà đề xuất và thực hiện. Qua quan
sát hoạt động dạy học và kết quả thu đợc qua đợt thực nghiệm s ph¹m cho thÊy:


17
Tính tích cực hoạt động của học sinh lớp thực nghiệm cao hơn lớp đối chứng.
Nâng cao trình độ nhận thức, khả năng t duy cho học sinh trung bình và một số
học sinh yếu ở lớp thực nghiệm, tạo hứng thú và niềm tin cho các em, trong khi điều
này cha có ở lớp đối chứng.
Từ kết quả thống kê điểm số các bài kiểm tra của hai lớp ĐC và lớp TN cho

thấy về mặt định lợng, kết quả học tập của lớp TN cao hơn kết quả học tập của lớp
ĐC. Sau khi kiểm định giả thuyết thống kê, có thể kết luận đợc HS ở lớp TN nắm
vững kiến thức đà đợc truyền thụ hơn so với HS ở lớp ĐC.
Kết quả thực nghiệm cho thấy việc xây dựng các phơng thức s phạm đà có tác
dụng tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh, tạo cho các em khả năng tìm tòi và
giải quyết vấn đề một cách độc lập, sáng tạo, nâng cao hiệu quả học tập ở học sinh,
góp phần nâng cao chất lợng dạy học môn Toán ở trờng phổ thông.
Nh vậy, mục đích của thực nghiệm đà đạt đợc và giả thuyết khoa học nêu ra đÃ
đợc kiểm nghiệm.


18

Kết luận
Luận văn đà thu đợc một số kết quả chính sau đây:
1.ĐÃ hệ thống hoá một số quan điểm của các nhà khoa học về lý thuyết phát
hiện và giải quyết vấn đề.
2. ĐÃ hệ thống hoá đợc khái niệm kĩ năng và sự hình thành kĩ năng.
3. ĐÃ xác định và diễn giải rõ đợc các kĩ năng phát hiện và giải quyết vấn đề.
4. ĐÃ đề xuất đợc một số phơng thức s phạm nhằm rèn luyện cho học sinh các
kĩ năng phát hiện và giải quyết vấn đề thông qua dạy học các định lí Toán học.
5. ĐÃ tổ chức thực nghiệm s phạm để minh hoạ tính khả thi và hiệu quả của các
phơng thức rèn luyện các kĩ năng phát hiện và giải quyết vấn đề cho học sinh thông
qua dạy học định lí toán học.
Nh vậy, có thể khẳng định rằng: Mục đích nghiên cứu đà đợc thực hiện, nhiệm
vụ nghiên cứu đà đợc hoàn thành và giả thuyết khoa học là chấp nhận đợc.


19