TÍCH LỆCH các TRƯỜNG VECTƠ TRONG r4

LỜI MỞ ĐẦU
Lý thuyết đường cong trong R 4 là một nội dung quan trọng trong hình học
vi phân đã được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu và nó có nhiều ứng
dụng trong vật lý, giao thơng vận tải và các ngành khác nhau của tốn học.
Trong khóa luận này chúng tơi trình bày về tích lệch các trường vecto
trong R4 và sử dụng nó để xây dựng trường mục tiêu Frenet của đường cong
trong R4. Trong mỗi phần chúng tơi đều chỉ ra các ví dụ minh họa.
Nội dung của khóa luận gồm 3 mục, cùng với phần mở đầu, kết luận và
tài liệu tham khảo.
§1. TÍCH LỆNH CÁC TRƯỜNG VECTƠ TRONG R4
Trong mục này chúng tôi trình bày định nghĩa và một số tính chất của tích
lệch các trường vecto trên R 4. Ngồi ra cịn trình bày định nghĩa Gram và mối
quan hệ giữa định thức Gram với tích lệch các trường vecto tren R4.
§2. ĐƯỜNG CONG TRONG R4
Trong mục này, chúng tôi dành cho việc trình bày các định nghĩa và tính
chất cơ bản của đường cong trong R4. Đồng thời chúng tơi trình bày siêu phẳng
mặt tiếp, ...,cách tìm tham số hóa tự nhiên của đường cong  cho bởi tham số
hóa tùy ý và các ví dụ cụ thể.
§3. TRƯỜNG MỤC TIÊU FRENET TRONG R4
Chủ yếu trong phần này, chúng tôi xây dựng trường mục tiêu Frenet và
công thức Frenet cùng với các ví dụ minh họa dọc đường cong  trong R4.
Khóa luận được hồn thành nhờ sự hướng dẫn nhiệt tình, tận tâm của thầy
giáo PGS.TS Nguyễn Hữu Quang. Nhân dịp này, tác giả xin hãy bày tỏ lòng biết
ơn và kính trọng sâu sắc đến thầy, người đã dành cho tác giả sự hướng dẫn chỉ
bảo tận tình trong q trình học tập, nghiên cứu và thực hiện khóa luận. Tác giả
cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cơ trong tổ hình học và các thầy
cơ trong khoa Tốn – Đại học Vinh đã dạy bảo dìu dắt tác giả trong những năm
đại học cũng như đã hết lòng giúp đỡ tác giả trong quá trình làm khóa luận.

1

Vì thời gian có hạn và sự hiểu biết cịn hạn chế nên khóa luận được viết ra
chắc chắn khơng thể tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả kính mong nhận được
sự đóng góp ý kiến của q thầy cơ và các bạn.

2


§1. TÍCH LỆCH CÁC TRƯỜNG VECTƠ TRONG R4
1.1. Định nghĩa:
Giả sử  E1, E2, E3, E4

là trường mục tiêu tự nhiên trong R4 và

X1  11,12,13,14  , X2  21, 22, 23,24  , X3  31,32,33,34 

là các trường vectơ

trong R4 . Khi đó, tích lệch các trường vectơ X1, X2, X3 là một trường vectơ được
ký hiệu X1 �X2 �X3  X và được xác định như sau:
�12 13 14 11 13 14 11 12 14 11 12 13 �
�
�
X1 �X2 �X3  �22 23 24 , 21 23 24 ,  21 22 24 , 21 22 23 �
�
�
� 32 33 34 31 33 34 31 32 34 31 32 33 �

1.2. Ví dụ:
Giả sử trong R4 cho các trường vectơ

X1  x, y,0, yz , X2  xy,0, z, y , X3  1, xz, y,0

Khi đó, ta có tích lệch của X1, X2, X3 là:
�y 0 yz x y yz 11 12 14 x y 0 �
�
�
X  X1 �X2 �X3  �0 z y , xy 0 y ,  21 22 24 , xy 0 z �
�xz y 0 1 y 0 
32 34 1 xz y �
31
�
�



 xyz3  y3; xy3z  yz2  xy2; x2yz  x2y2z2  y2; yz  xy2  xz2



1.3. Chú ý
Giả sử X1  E1   1,0,0,0 , X2  E2   0,1,0,0 , X3  E3   0,0,1,0
Khi đó, ta có E4  X1 �X2 �X3
Thật vậy, theo định nghĩa tích lệch ta có:
�0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 �
�
�
X1 �X2 �X3  �1 0 0 , 0 0 0 ,  0 1 0 , 0 1 0 �
�0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 �
�
�

  0,0,0,1  E4

Vậy E4  X1 �X2 �X3

1.4. Mệnh đề:
3


Tích lệch các trường vectơ có tính chất tuyến tính đối với từng thành
phần.
Chứng minh:
Giả sử: X1  11,12,13,14  , X2  21,22,23,24  , X3  31,32,33,34 
X1�
 11�,12�,13�,14� , X2� 21�,22�,23�,24� , X3� 31�,32�,33�,34�

là các trường vectơ trong R4 và a�R , ta sẽ chứng minh, chẳng hạn:

 �X2 �X3  X1 �X2 �X3  X1��X2 �X3
(1)  X1  X1�
(2)  aX1  �X2 �X3  a X1 �X2 �X3 
Trước hết, ta chứng minh (1)
Theo định nghĩa tích lệch, ta có:
� 13  13
� 14  14
� 11  11
� 13  13
� 14  14
�
�12  12
�

23
24 , 21
23
24 ,
 X1  X1�
 �X2 �X3  � 22
� 
33
34
31
33
34
� 32
� 12  12
� 14  14
� 11  11
� 12  12
� 13  13
��
11  11
�
 21
22
 24 , 21
22
23 �
31
32
34
31

32
33 �
�
� 12 13 14 11 13 14 11 12 14 11 12 13 �
�
�
�
 22 23 24 , 21 23 24 , 21 22 24 , 21 22 23 �
�
� 32 33 34 31 33 34 31 32 34 31 32 33 �
�
� 13
� 14
� 11
� 13
� 14
� 11
� 12
� 14
� 11
� 12
� 13
��
�12
�
�
�
22 23 24 , 21 23  24   21  22  24 ,  21  22  23 �
�
32 33 34 31 33 34 31 32 34 31 32 33 �

�
�

=  X1 �X2 �X3    X1��X2 �X3 
Do đó

 X1  X1  �X2 �X3   X1 �X2 �X3    X1��X2 �X3  ;

 

X1, X2, X3, X1�
� R4

Bây giờ ta đi chứng minh (2), ta có :
� a12 a13 a14 a11 a13 a14 a11 a12 a14 a11 a12 a13 �
�
 22 23 24 , 21 23 24 ,  21 22 24 , 21 22 23 �
 aX1  �X2 �X3  �
�
�
31 32 34 31 32 33 �
� 32 33 34 31 33 34
�

4


� 12 13 14 11 13 14
11 12 14 11 12 13 �
�

�
�
a 22 23 24 , a 21 23 24 , a 21 22 24 , a 21 22 23 �
�
31 32 34 31 32 33 �
� 32 33 34 31 33 34
�
� 12 13 14 11 13 14 11 12 14 11 12 13 �
�
�
 a�
 22 23 24 , 21 23  24 ,   21 22 24 ,  21 22 23 �
�
� 32 33 34 31 33 34 31 32 34 31 32 33 �
�
 a X1 �X2 �X3 

Vậy:

 aX1  �X2 �X3  a X1 �X2 �X3  ,X1, X2, X3 �  R4 
1.5. Mệnh đề
Giả sử X1  11,12,13,14  , X2  21,22,23,24  , X3  31,32,33,34  . Theo định
nghĩa tích lệch các trường vectơ trong R4 và tích vơ hướng của 2 trường vectơ ta
có:
12 13 14
11 13 14
11 12 14
11 12 13
X�
X1   22 23 24 .11  21 23 24 .12  21 22 24 13  21 22 23 14

32 33 34
31 33 34
31 32 34
31 32 33
  11122334  11132432  11223314  11322314  11132234  11 33 2412
 11122334  1213 2431  12213314  1231 2314  12 211334  1211 33 24
 11132234  1312 2431  13 213214  13 31 2214  1312 2134  1311 32 24
11223314  14122331  14213213  1431 2213  14211233  111432 23

0

Vậy: X.X1  0
Tương tự ta có: X.X2  X.X3  0
1.6. Mệnh đề
Giả sử: X1, X2, X3 là các trường vectơ trong R4 . Khi đó:

 X1, X2, X3 phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi
Chứng minh:
+ Điều kiện cần:
5

X  X1 �X2 �X3  0


Giả sử: X1  11,12,13,14  , X2  21,22,23,24  , X3  31,32,33,34  là các trường
vectơ trong R4 mà  X1, X2, X3 phụ thuộc tuyến tính.
Ta phải chứng minh: X  X1 �X2 �X3  0
Thật vậy, do  X1, X2, X3 phụ thuộc tuyến tính nên tồn tại a, b�R sao cho:
X1  aX2  bX3

Do đó:
X  X1 �X2 �X3
  aX2  bX3  �X2 �X3
  aX2 �X2 �X    bX3 �X2 �X3 

(1)

Theo định nghĩa tích lệch, ta có:
� 22 23 24 21 23 24 21 22 24 21 22 23 �
�
�
X2 �X2 �X3  �
 22 23 24 , 21 23 24 ,  21 22 24 , 21 22 23 �
�
�
� 32 33 34 31 33 34 31 32 34 31 32 33 �

  0,0,0,0  0

Vậy: X2 �X2 �X3  0
Tương tự ta có: X3 �X2 �X3  0
Thay vào (1) ta được:
X  a.0  b.0  0

Vật nếu  X1, X2, X3 phụ thuộc tuyến tính thì X  0

(2)

+ Điều kiện đủ:
Giả sử X  X1 �X2 �X3  0 . Ta phải chứng minh  X1, X2, X3 phụ thuộc

tuyến tính.
Thật vây, giả sử ngược lại  X1, X2, X3 độc lập tuyến tính. Khi đó:
rank X1, X2, X3  3

Do đó X �0 . Điều này mâu thuẫn với giả thiết X  0
Vậy  X1, X2, X3 phụ thuộc tuyến tính

(3)

Từ (2) và (3) ta suy ra điều cần chứng minh
6


1.7. Mệnh đề
Giả sử X1, X2, X3 là các trường vectơ trong R4 . Khi đó:



X  X1 �X2 �X3  sgn X  1 , X  2 , X  3



Chứng minh:
�1

2

3 �

Ta có S3  � 1  2  3 �là số các phép thế của  1,2,3

   �
� 
Gọi X1  11,12,13,14  , X2  21,22,23,24  , X3  31,32,33,34  .
Theo định nghĩa tích lệch, ta có:
� 12 13 14 11 13 14 11 12 14 11 12 13 �
�
�
X�
 22 23 24 , 21 23 24 ,   21 22 24 , 21 22 23 �
�
�
� 32 33 34 31 33 34 31 32 34 31 32 33 �

Vì các hàm toạ độ của X là các định thức cấp 3, khi đổi hàng thì định thức
đổi dấu nên từ đó ta có:



X  X1 �X2 �X3  sgn X  1 , X  2 , X  3
 �S3



1.8. Định nghĩa
Tích hỗn tạp của 4 trường vectơ X1, X2, X3, X4 �R4 là một hàm số, ký hiệu
D  X1, X2, X3, X4  và được xác định như sau:
D  X1, X2, X3, X4   X1  X2 �X3 �X4 

1.9. Nhận xét
Giả sử Xi  i1,i 2,i 3,i 4  ;i  1,4. Khi đó:

11

D  X1, X2, X3, X4    21
31
41

12
22
32
42

Chứng minh:
Thật vậy, theo định nghĩa tích hỗn tạp ta có:
D  X1, X2, X3, X4   X1  X2 �X3 �X4 

7

13
23
33
43

14
24
34
44


22 23 24
21 23 24

21 22 24
21 22 23
 11 22 23 24  12 21 23 24 , 13 21 22 24  14 21 22 23
32 33 34
31 33 34
31 32 34
31 32 33
� 22 23 24
21 23 24
21 22 24
21 22 23 �
�
�
 �
11 22 23 24  12 21 23 24 , 13 21 22 24  14 21 22 23 �
� 
31 33 34
31 32 34
31 32 33 �
� 32 33 34
�

11

  21
31
41

12
22

32
42

13
23
33
43

14
24
34
44

Khi đổi chỗ hai hàng thì định thức đổi dấu, số lần đổi dấu của định thức
ln cùng tính chẵn, lẻ với số nghịch thế của phép thế  �S4 . Do đó:



D  X1, X2, X3, X4   sgn D X  1 , X  2 , X  3 , X  4
 �S4



1.10. Định nghĩa
Định thức Gram của hệ 3 trường vectơ  X1, X2, X3 là một hàm số, được ký
hiệu Gr  X1, X2, X3  và được xác định bởi:
X1X1
Gr  X1, X2, X3   X2 X1
X3X1

X1X2
X2 X2
X3X2

X1X3
X2 X3
X3 X3

1.11. Mệnh đề
Giả sử X1, X2, X3 �R4 . Khi đó:
Gr  X1, X2, X3   X1 �X2 �X3

2

Chứng minh:
Theo định nghĩa tích lệch trong R4 , ta có:
2

2

2

12 13 14
11 13 14
11 12 14
11 12 13
2
X1 �X2 �X3  22  23 24   21 23  24  21  22 24  21 22  23
32 33 34
31 33 34

31 32 34
31 32 33
2

� 23 24

24

23 �
�
12
 13 22
 14 22
�
32 34
32 33 �
� 33 34

8

2


2

� 23 24
 
  �
�
11

 13 21 24  14 21 23 �
31 34
31 33 �
� 33 34
2

� 22 24
 
  �
�
11
 12 21 24  14 21 23 �
31 34
31 33 �
� 32 34
2

� 22 23
 
  �
�
11
 12 21 23  13 21 22 �
31 33
31 32 �
� 32 33
�23 24 2 22 24 2 22 23 2 � �23 24 2 21 24 2 21 23 2 �
�  122 �
�
  11 �





�33 34
32 34
32 33 � �33 34
31 34
31 33 �
�
� �
�
2

�22  24 2 21 24 2 22 23 2 � �22 23 2 21 23 2 21 22 2 �
�  142 �
�
 13 �




�32 34
31  34
32 33 � �32 33
31 33
31 32 �
�
� �
�

2

�
24 21 24 22 23 21 23 �
 21112 � 22
.

.
�
�32 34 31 34 32 33 31 33 �
�
23 21 24 22 23 21 22 �
 21113 � 22
.

.
�
�32 33 31 34 32 33 31 32 �
�
24 21 24 22  24 21 22 �
 21114 � 23
.

.
�
�33 34 31 34 32 34 31 32 �
�
24 22 23 21 23 21  22 �
 21213 � 23
.


.
�
�33 34 32 33 31 33 31 32 �
�
 24  22  23 21  24  21  22 �
 21214 � 23
.

.
�
�33 34 32 33 31 34 31 32 �
�
24 22 23 21 24 21 23 �
 21314 � 22
.

.
�
�32 34 32 33 31 34 31 33 �
�21 22 2 21 23 2 21 24 2 22 23 2  22  24 2 23 24 2 �
�
  11   12   13   14 �





�31 32 31 33 31 34 32 33 32 34 33 34 �
�

�



2

2

2

2



�21 22 2  21  23 2 21 24 2 � � 22 23 2 22  24 2 21 22 2 �
�  122 �
�
 11 �




�31 32 31 33 31 34 � �32 33 32 34 31 32 �
�
� �
�
2

�23 24 2 21 23 2 22 23 2 � �23 24 2 22 24 2 21 24 2 �
�  142 �

�
 13 �




�33 34 31 33 32 33 � �33 34 32 34 31 34 �
�
� �
�
2

 21112 �
 2234  3224  . 2134  3124    2233  3223  . 2133  3123  �
�
�

9


 21113 �
 2233  3223  . 2134  3124    2233  3223  . 2132  3122  �
�
�
 21114 �
 2334  3324  . 2133  3123    2234  3224  . 2132  3122  �
�
�
 21213 �
 2334  3324  . 2234  3224    2133  3123  . 2132  3122  �

�
�
 21214 �
 2334  3324  . 2233  3223    2134  3124  . 2132  3122  �
�
�
 21314 �
 2234  3224  . 2233  3223    2134  3124  . 2133  3123  �
�
�
2
4 �
4 �
 2k
�4 2 � 4 2 j 2k
�
1i �
.�
 ��
12i �� 2i
�
 3k
i 1 � k1 �
�i 1 �kj 1 3j 3k
� k�0 3i
j k

�
�
�

�

 21112 �
2122 342   2231  3221  .2434  3132 242  2122 332   2134  3124 
�

  2233  32 23  . 3122  3221  .2333  3132 232 �
�
 21113 �
2123 342   2331  3321  .2434  3133 242  3133 222   2123 322    2133  31 23   2232 �
�
�
 21114 �
 2134  3124  .2333  3134 232  2124 332   3124  3421  2232  3134 222   21 24 322 �
�
�
 21213 �
2223 342  3233 242   3223  3322  .2434  3233 212  2123 312   2233  32 23   2131�
�
�
 21214 �
 2234  3224  .2333  3234 232  2224 332  3234 212  2124 312   2234  2432   2131�
�
�
 21314 �
3334 222  2324 322   2334  3324  .2232  3334 212  2324 312   2334  3324   2131�
�
�
2
4 �

4 �
 2k
�4 2 � 4 2 j 2k
�
1i �
.�
 ��
12i �� 2i
�
 3k
i 1 � k1 �
�i 1 �kj 1 3j 3k
� k�0 3i
j k

�
�
�
�

 2 11122122  11132123   242  2 1112 2122  11132123   332
 2 11132123  11142124   322  2 12132223  12142224   312
 2 11143134  12133233   342  2 11123132  12143234   232
 2 11143134  13143334   222  2 12133233  13143334   212
 21112  2132  3122   2333  3424   21113  2133  3123   2232  3424 
 21114  2134  3124   2333  3222   21213  3123  33 22   2131  3424 
 21214  2234  2432   2333  2131   21314  2334  3324   2131  2232 
2
4 �
4 �

2i 2k
�4 2 � 4 2 j 2k
2
�
�

.


�
�
�
�
1i �
1i �
 3k
i 1 � k1 �
�i 1 �kj 1 3j 3k
� k�0 3i
j k

10

�
�
�
�
�
�
�





2
2
2
2
 31
 32
 33
 34
 11211222  11211323  11211424

 12221323  12221424  13231424 





2
2
2
2
 21
 22
 23
 24

 11311232  11311333  11311434

 12321333  12321434  13331434 
  2131  2232  2333  2434   11211232  12221131  11211333  13 2311 31  11 211434 
  2131  2232  2333  2434   11211232  12221131  11211333  13 231131  11 211434

 14241131  12221333  13231232  12221434  14241232  13 231434  14 241333 
2
4 �
4 �
 2k
�4 2 � 4 2 j 2k
2
�
�
1i �
.�
 � 1i �� 2i
�
 3k
i 1 � k1 �
�i 1 �k, j 1 3j 3k
� k�0 3i
jk

�
�
�
�
�

�
�

�4
�4
�
�4
�
� �4
�
�
�
�
 2 �1i2i1j3 j �
2k3k � 2 �1i3i1j3j ��� 22k �
�
�
�
��k1 �
i , j 1
�k1
� �
�ijj k1
�
�
�
j
�
i
�

�
�4
� 4
� 2�
�
2 �1j2 j1k2k �
� 3k �
�
�
�
j ,k1
�k1
�
�
�
j k

(*)

Mặt khác, ta có:
X1X1
Gr  X1, X2, X3   X2 X1
X3X1

X1X2
X2 X2
X3X2

X1X3
X2 X3

X3 X3

 X12 X22 X32  2 X1X2.X2 X3.X3X1   X1X3  .X22  X32. X1X2   X12. X2 X3 
2

2

2

2
�4 2 ��4 2 � �4
��
�4 2 ��
 �� 1i �
.�
.�� 3k � ��2 j .3j ��
�� 2 j �
�
�i 1 ��
�j 1 ��k1 � �j 1
��
�

��4
�4
��4
�
 2��1i2i �
.��1j3j �
.��2k3k �

�i 1
��j 1
�
��k1
2

2

� �4
�4
� �4
��4
�
 ��1i3i �.��22k �
.��1j2 j �.��32k �
�i 1
� �k1 ��j 1
� �k1 �
�
� �4
� 4
4
4
�4 2 ��4 2 2
�
�
2
�
�
 ��1i �. � 2 j  3k  2�2 j3j2k3k  2 � 1i2i3i  �1i2i1j3j �.�� 2k3k �

� �i 1
��k1
j ,k1
j ,i 1
�i 1 ��j ,k1
�
�j �k
� �
�
j k
i �j

11


�4
� 4
�
� 4
4
4
� 2 � �4 2 2
�
�
2 2
�
�
 �1i3i  2�1i3i1j3j .��2k � �1j2 j  2 �1j2 j1k2k �.��32k �
�i 1
��k1 � �j 1

��k1 �
i , j 1
j ,k1
�
�
�
�
i j
jk
�
�
2
�4 2 ��4
�4 2
��4
�
�
 ��1i �
. � 2 j3k  2k3j   2��1i2i3i  2k3j �
.��2k3k �
�
�i 1 ��
��k1
�
�jj ,kk1
� �i 1
�
�
�4
� 4

�
�
�
� �4 2 2 2 � �4 2 2 2 �
�
�
 2 �1i2i1j3j .�
�
 � 1i  2i  3k
�2k3k �
� 1i  2i 3i �
�
�
�
i , j 1
j ,k1
�k1
� �i 1
��
�
�
�
�
i �j
i �k
�
�
�
�
�4

� 4
�
�
� 2 � �4 2 2 2 � �4 2 2 2 �
�
�
 2 �1i2i1j3j .�
 1j  2 j  3k
� 2k � ��1i  2i  3i � �j�
�
�
�
i , j 1
,k1
�k1 � �j 1
�
�
�
�
�
i j
i �k
�
�
�
�
�4
� 4
� 2�
�

 2 �1j2 j1k2k �
.�
� 3k �
�
�
�jj ,kk1
��k1 �
�
�
�
�4 2 � 4 � 2 4
�
 3k �
 �  1i �  32i  22k   22i  32k  2 2i  3i  2k 3k
�
�k1
� k1 �
� jj ,kk1
�





�
�
�
�
�

�4
� 4
�
�4
�
� �4
� 2�
�
�
 2 �1i2i1j3 j �
2k3k �
 2 �1i3i1j3 j �
�
� 2k �
�
�
�
�
i , j 1
i , j 1
�k1
� �
�k1
�
�
�
�
�
�j �i
�

�j �i
�
�4
� 4
�
�4
� 2 � �4
�
�
�
�
 2 �1j2 j1k 2k �
 2k �
 2 �1i2i1j3j �
2k3k �
�
�
�
�
�
�
i , j 1
� �
�k1
�
�jj ,kk1
��k1
�
�
�

�
�j �i
�
�4
� 4
�
� 4
� 2 � �4
� 2�
�
�
 2 �1i3i1j3 j �
 2k �
 2 �1j2 j1k 2k �
�
� 3k �
�
�
�
�
� �
�k1
�
�j ,k1
��k1
�j ,k1
�
�j �i
�
�j  k

�

�4 2 �4 2 j
�
�1i �
�
k, j 1 3 j
�i 1
�
j k

2
� 4
4
2k
�
 ��
 2 �� 2i
�
3k
3i
i 1 � k1 �
� k�i
1i

2k
3k

�
�

�
�
�
�
�
�

�4
� 4
�
�4
�
� �4
� 2�
�
�
 2 �1i 2i1j3 j �
2k3k �
 2 �1i3i1j3 j �
�
� 2k �
�
�
�
�
i , j 1
i , j 1
�k1
� �
�k1

�
�
�
�
�
�j �i
�
�j �i
�
�4
� 4
� 2�
�
 2 �1j2 j1k2k �
� 3k �
�
�
�
�k1
�
�j ,k1
�
�j  k
�

(**)
12


Từ (*) và (**) suy ra:

Gr  X1, X2, X3   X1 �X2 �X3

2

W

§2. ĐƯỜNG CONG TRONG R4
2.1. Đường cong trong R4.
2.1.1. Cung tham số
a. Định nghĩa.
13


Một cung tham số δ của R4 là một ánh xạ khả vi từ một khoảng J �R lên
R4 , tức là:

 : J � R4
t a   t   x1  t , x2  t , x3  t , x4  t 

Trong đó xi  t : J � R, i  1,4
Và  khả vi khi và chỉ khi các hàm số xi  t khả vi, i  1,4 .
b. Ví dụ:
Cho  : (1,3)

T

� R4
�x1  t  t
�
x2  t  t2  3t

�
a
�
x3  t  t3  2t
�
2
�x4  t  t  1

Khi đó  là cung tham số
Thật vậy, ta có:
1 :  1,3 � R

khả vi

ta t

2 :  1,3 � R

khả vi

t a t3  3t

3 :  1,3 � R

khả vi

t a t3  2t

 4 :  1,3 � R

khả vi

t a t2  1

Vậy    1, 2, 3,  4  khả vi
Do đó  là cung tham số
2.1.2. Hai cung tham số tương đương
a. Định nghĩa:
và 2 : J � R4

Cho hai cung tham số 1 : I � R4
t a 1  t

14

s a 2  s


Hai cung 1 và 2 được gọi là tương đương, ký hiệu 1 :  2 , nếu và chỉ
nếu tồn tại một vi phôi  : I � J sao cho: 1  2.
  là vi phôi nếu nó là song ánh đồng thời  và  1 khả vi, chẳng hạn:
:

R

� R

x

a

là một vi phôi

x 1

Thật vây:
 đơn ánh: Lấy x1, x2  R, x1

x2 ta có:

  x1   x1  1,   x2   x2  1

Suy ra:   x1  �  x2 
Vậy  đơn ánh.
  toàn ánh: Ta có y�R khi đó ta chứng minh tồn tại x�R sao cho
  x  y.

Giả sử tồn tại x�R. Khi đó:   x  x  1  y
� x  y  1 sao cho   x  y

Vậy  là một song ánh.
 Vì  là song ánh nên tồn tại ánh xạ ngược  1 : R � R song ánh
x a x 1

Ta có  : R � R và  1 : R � R
x a x 1

x a x 1

là các hàm khả vi.

Do vậy  : R � R là một vi phôi
x a x 1

b. Mệnh đề:
Quan hệ " : " nói trên là một quan hệ tương đương
Chứng minh:
4
Tính phản xạ: Giả sử  :  a, b � R

Ta có 1 :  2 nên tồn tại vi phôi 1 :  a, b �  c, d sao cho:
1  2.1

15


1
1
1
Suy ra: 1.    2.1  .   2  1.    2.id   2
1

1

1

1
1
Do đó: 2  2. với  vi phơi:  c, d �  a, b
1

1

Tính bắc cầu: Giả sử 1 :  a, b � R4, 2 :  c, d � R4, 3 :  e, f  � R4
Ta có: 1 :  2 nên tồn tại vi phôi 1 :  a, b �  c, d thoả mãn 1  2.1
1 :  2 nên tồn tại vi phôi 1 :  c, d �  e, f  thoả mãn 2   2.2

Suy ra:
1  2.1   3.2  .1  3  2 .1 

(1)

Ta có : 1, 2 là các vi phơi do đó 1, 2 là song ánh.
�   2.1 song ánh và  ,  1 khả vi.

(2)

Từ (1) và (2) ta suy ra tồn tại vi phơi  sao cho 1  3.1
Do đó " : " là quan hệ tương đương.
2.1.3. Cung
      1 1 :   : được gọi là một cung
Hay nói cách khác: Một cung là một tập hợp tất cả các cung tham số
tương đương với nhau.
   t được gọi là một đường cong. Vậy đường cong là một tập ảnh của
một cung, ký hiệu là     J 
Chú ý : +) Khi giải toán với đường cong, ta lấy ra một cung đại diện và
đại diện này được gọi là tham số hoá đường cong.
+) Tất cả các cung của đường cong đều có chung tập ảnh, dó đó một
đường cong chỉ có một tập ảnh.

2.1.4. Đường cong chính quy.

a. Định nghĩa:

16


Giả sử  là một đường cng cho bởi:  : t a   t , điểm P    t0  được gọi
r

 t0  �0
là điểm chính quy khi và chỉ khi  �
Điểm p được gọi là điểm kỳ dỵ nếu và chỉ nếu p khơng chính quy (
r
�
 t0  �0 )

Đường cong  được gọi là đường cong chính quy khi và chỉ khi mọi điểm
p� là điểm chính quy.

b. Ví dụ:
1. Cho  :  1,5
t

� R4





a t, t2, t2  2,1

p    0 . Khi đó p là điểm chính quy.

Thật vậy, ta có p    0   0,0,2,1
�
 t   1,2t,2t,0 �0; t

Do đó p    0 là điểm chính quy
2. Cho  :  1,4
t

� R4



a t2, t3,2t2  2, t4



Khi đó p    0   0,0,1,0 là điểm kỳ dy.
Thật vậy, ta có
�
 t   2t,3t2,4t,4t3 
� �
 t / p   0,0,0,0  0

Do đó p    0 là điểm kỳ dy.
c. Mệnh đề (đường cong)
Định nghĩa về điểm chính quy khơng phụ thuộc vào việc chọn tham số
hố của nó.
Chứng minh: Giả sử có tham số 1 mà 1 :  , p    t là điểm chính

quy của  , t . Ta chứng minh p    t là điểm chính quy của 1 .
Ta có:  : t a   t
17


1 :

a 1  s

t

Theo giả thiết: 1 :  nên tồn tại vi phôi  :t a s sao cho
  1. �   t   1.   t

Khi đó:
�
�
 t  �
 1.   t �
 t . �
 t
�
� 1�
� 1�
   t  
� 1�
 s 

�
 t ,  �t �0,t

 
�
 t

�
 t �0
�
 t

 t �0,t )
(vì  �

2.1.5. Tiếp tuyến – Siêu phẳng pháp diện của 
4
Giả sử đường cong  được cho bởi  : t a   t �R

t �J   a, b �R

a. Định nghĩa:
Cho p    t0  là điểm chính quy của  , đường thẳng a đi qua điểm p nhận
�
 t0  làm vectơ chỉ phương được gọi là tiếp tuyến của  tại p.

 t0  làm
Nếu p    t0  là điểm chính quy, siêu phẳng (P) đi qua p nhận  �
vectơ pháp tuyến thì (P) được gọi là siêu phẳng pháp diện của  tại p.
b.Ví dụ.
Cho đường cong  xác định bởi  : R � R4
�x1  t  2t
�

2
�x2  t  t  t
t a �
3
�x3  t  2t  1
�x4  t  3t4
�

Và p    1 . Lập phương trình tiếp tuyến tại p? Siêu phẳng pháp diện tại p?
Giải:

r

 1   2,2,6,12 �0 � p là đfiểm chính quy.
+) Ta có  �
+) p    1   2,0,3,3
18


+) Phương trình tiếp tuyến a tại p: Giả sử X  x1, x2, x3, x4  �a ta có:
x1  2�
�
�x1  2  2t
�2 �
�x1  x2  2  0
�
�
�x
�
�

x

0

2
t
2
�
�
2
2
�
�  � �t � �
� �3x3  x3  3  0
�
�6 �
x3  3�
�x3  3  6t
�
6x2  x4  4  0
�
�
��
�
�
x

3
x


4

12
t
12�
�
�4 �
�4
r
 1   2,2,6,12
+) Ta có n   �

Phương trình siêu phẳng pháp diện (P) tại p là: Giả sử X  x1, x2, x3, x4  �P .
Khi đó:
2 x1  2  2 x2  0  6 x3  3  12 x4  3  0
� x1  x2  3x3  6x4  29  0

2.1.6. Hướng của đường cong 
Giả sử  là một đường cong được cho bởi  : t a   t , t �J �R Ta
biết rằng     J  , tập    cùng xác định đường cong  .
Giả sử: 1, 2 �   ,
1

 a, b
t

1  J   2  J   
2

� R4,

a 1  t ,

 c, d

� R4
a  2  s

s

1  2. ,  là vi phơi.

 t  0
Lúc đó, ta nói hai tham số hoá 1, 2 cùng hướng nếu và chỉ nếu  �
 t  0
Hai tham số hoá 1, 2 ngược hướng nếu và chỉ nếu  �
Chẳng hạn:
a. Các tham số hoá sau cùng hướng:
1 : t a  et cost, et sint, et ,1 , t   0,



2 : t a  t cos lnt , tsin lnt , t,1 , t   1,

Thật vậy, xét  :  0, � �  1, �
t

a

lnt

Khi đó 1  2. ,  vi phơi
Trước hết ta chứng minh  toàn ánh
Với mọi    1,  ta lấy t  e thì lnt  
19




Cuối cùng ta chứng minh  khả vi.

 t   lnt �
Ta có  �

1
xác định với mọi t  1,
t



Từ đó suy ra:
 1 :

 1, �
t

�
a

 0,�
et

 t  0 ,t  1,  nên 1, 2 cùng hướng.
Từ 1  2. và  �
b. Các tham số hoá sau ngược hướng.
1 : t a  t,1 t2,2t,1 t2  , t � 0,1
��
2 : t a  cost,sin2,cost,1 cos2t , t ��0, �
� 2�

Ta nhận thấy  đơn ánh vì: Với t1, t2 � 0,1 thoả mãn t1 �t2 thì cost1 �cost2
��
Mặt khác  tồn ánh vì với mọi giá trị  ��0, �thì ta lấy t  ar cos t thì
� 2�

  t  

 t   sint xác định t � 0,1
Hơn nữa:  khả vi vì  �
��
1
Từ đó suy ra:  : �0, � �  0,1
� 2�
t

khả vi

a ar cost

 t  0 nên 1, 2 ngược hướng.
Từ 1  2. và  �

 Một lớp các tham số hố cùng hướng của  thì được gọi là một hướng.
Như vậy mỗi đường cong  có 2 hướng.
 Đường cong  đường là định hướng nếu và chỉ nếu  chọn một trong
hai hướng.
2.2. Đường cong siêu chính quy trong R4.
Giả sử đường cong  xác định bởi:  : J � R4
t a

a. Định nghĩa

20

  t


Cho đường cong  và một tham số hoá của nó là   t . Điểm p�
p    t0  , được gọi là điểm siêu chính quy nếu và chỉ nến các vectơ
�
�
�
 t  ,�
 t   độc lập tuyến tính.
  � t  ,  �
0

0

0

Đường cong  đưịng là siêu chính quy nếu và chỉ nếu mọi điểm p�

đều là điểm siêu chính quy.
b. Nhật xét.
Nếu  là đường cong siêu chính quy thì  là chính quy và song chính
quy.
c. Ví dụ:
 cho bởi tham số hố  : R � R4



t a t, t2,2t3  1, t4



Khi đó  là đường cong siêu chính quy.
2
3
4
Thật vậy, ta có   t   t, t ,2t  1, t 

�
 t   t,2t,6t2,4t3 
�
�
 t   0,2,12t,12t2 
�
�
�
 t   0,0,12,24t

Ta xét ma trận

�
1 2t 6t2 4t3 �
�
�
A �
0 2 12t 12t2 �
�
0 0 12 4t �
�
�
1 2t 6t2
Có A1  0 2 12t  24 �0
0 0 12

Nên ta suy ra rank A  3
�
�
�
 t ,  �
 t ,  �
 t  độc lập tuyến tính , t �R
Vậy   �

Do đó đường cong  là đường cong siêu chính quy.
2.3. Siêu phẳng mật tiếp.
21


a. Định nghĩa
Do đó đường cong  cho bởi tham số  : R � R4 và     t2  , t0 �R là

điểm siêu chính quy. Khi đó siêu phẳng P đi qua điểm p và nhận
�
�
�
 t  ,�
 t 
  � t  ,  �
1

0

0

0

làm vectơ chỉ phương đương là siêu phẳng mật tiếp của

đường cong  tại p.
b. Ví dụ
Đường cong  xác định bởi  : R � R4
t a

 t,2t ,t ,t 
4

3

2

Viết phương trình siêu phẳng mật tiếp tại điểm p    1

Giải
Ta có p    1   1,2,1,1
�
 1   1,8,3,2
�
�
 1   0,24,6,2
�
�
�
 1   0,48,6,0

Xét ma trận
1 3 2
A  0 6 2  12 �0
0 6 0
�
�
�
 1 ,  �
 1 ,  �
 1  độc lập tuyến tính.
Vậy   �

Do đó p là điểm siêu chính quy.
Phương trình siêu phẳng mật tiếp (P) tại p. Giả sử X  x1, x2, x3, x4  �P
Ta có:
uuu
r
�

�
�
pX  t1 �
 1  t2 �
 1  t3   �
 1 
1
�x1  1� ��
�0 � �0 �
�
�
��
�
x 2
8
24� �
48�
� �2 � �� t2 � � t3 � �
�x3  1� ��
�6 � �6 �
3
�
� �� � � � �
2
�2 � �0 �
�x4  1� ��

22

�x1  1  t1
�x  2  8t  24t  48t
�
1
2
3
� �2
�x3  1  3t1  6t2  6t3
�
�x4  1  2t1  2t2

(1)
(2)
(3)
(4)

�
�t1  x1  1
�
1
1
�
 x4 
Từ (1) (3) (4) ta suy ra �t2   x1
2
2
�
1
1
1

� 1
t3  x1  x3  x4 
�
� 2
6
2
6

Thay vào (2) ta được:
8x1  x2  8x3  12x4  2  0

2.4. Tham số tự nhiên của đường cong  .
Một đường trong cho trước có nhiều tham số hố, các tham số hố ấy
tương đương với nhau. Trong mục này ta tìm một tham số hoá tốt nhất, thuận lợi
cho việc nghiên cứu đường cong.
2.4.1. Độ dài của đường cong 
a. Định nghĩa
4
Đường cong  được cho bởi tham số hoá khả vi  : J   a, b � R

t a   t

Khi đó, độ dài của  được ký hiệu là l    và được xác định như sau:
b

l    �
�
 t dt
a

4
b. Ví dụ: Cho  xác định bởi  :  1,3 � R

ta

Tính l    .
Giải: Ta có   t   cost,sint, t,1
�
 t    sint,cost,1,0

�
 t  sin2 t  cos2t 1  2
3
3
� l     �2dt  2  2 2
1
1

23

 cost,sint,t,1


c. Mệnh đề
l    không phụ thuộc vào việc chọn tham số hoá của  .

Chứng minh:
:

:

Giả sử  là một tham số hoá khác của đường cong ,  : I � R4 tương
đương với tham số hố  . Như vậy tồn tại vi phơi  sao cho:
:

   . ,  : J � I
:

ta t
:

� :�

:

b

�
Ta có  �
 .  t ,�   . �
 t  �
 t
�
�
�

Do đó:
b

b

a

a

:

� � t dt  � .  t dt  �  .  � t dt
a

:

Trường hợp 1: Nếu

, 

cùng hướng thì

�
 t  0, t �J

và

�
 t  0, t �J

và

  a  c,   b  d

Do đó
b

b

a

a

:

b

:

� � t dt  � . � t dt  ��.  � t dt
a

:

Trường hợp 2: Nếu

ngước hướng thì

 ,

  a  d,   b  c

Do đó:
b

b

c

d

��
�
t dt  �
 ��
t dt
 t dt  � . �
 t dt  � ��
��
�
��
��
a
a
d
c
:

:

:

:

:

:

:

2.4.2. Tham số hoá tự nhiên
a. Định nghĩa
Tham số hoá   t của  được gọi là tham số hoá tự nhiên khi và chỉ khi
�
 t  1, t �J

24


b. Ví dụ.


� �
0, � � R4
Cho  xác định bởi  : �
� 4�
t
�1
�2

Ta có:   t  � cost,

1
2

sint,

1
1
�1
�
a � cost,
sint,
t  2,1�
2
2
�2
�
1

�
t  2,1�
2
�

1
1 �
� 1
�
 t  � sint, cost, ,0�
2
2 �
� 2

�
 t 

1 2 1
1
sin t  cost2   1
2
2
2

Vậy  là tham số hoá tự nhiên của 
c. Mệnh đề
Nếu  là một đường cong chính quy trong R 4 thì  ln có tham số hố
tự nhiên.
Chứng minh:
Như ta đã biết tham số hoá r : s � r  s

 s�I   c, d �R

được gọi là tham

số hoá tự nhiên khi và chỉ khi r  s  1,s�I
Giả sử  được cho bởi tham số  : J � R4
t a   t
t

�
 t dt
Khi đó ta đặt: s    t  �
a

Ta nhận thấy rằng   t xác định với t (vì  khả vi).
Hơn nữa   t là hàm dương,   t đơn điệu tăng. Do đó,   t là vi phôi từ
J đến I   0,l     , (trong đó l    là độ dài cung của  ).
Mặt khác:
�
 t   �
 t

Nếu ta đặt r : I � R4
s a  . 1  s

25