CAC DANG TOAN ON THI TOT NGHIEP DAI HOC

<span class='text_page_counter'>(1)</span>CÁC DẠNG TOÁN ÔN THI TỐT NGHIỆP& ĐẠI HỌC Vấn đề 1: Phương trình mặt phẳng. 1. Kiến thức cần nhớ:  n - Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng: Vectơ 0 đgl vectơ pháp tuyến của mp(P) . n  (P) . nếu giá của n vuông   góc với (P), viết tắt là - Nếu hai vectơ a, b không cùng phương có giá song song hoặc nằm trên mp(P)    n P  a, b  thì mp(P) có một vectơ pháp tuyến là: .. - Phương trình tổng quát của mp có dạng: Ax+By+Cz+D=0 với A 2  B2  C2 0. - Phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M(x 0 ;y 0 ;z 0 ) có vectơ pháp tuyến  n P  A;B;C . có dạng:. A  x  x 0   B  y  y 0   C  z  z 0  0. .. Cần nhớ: -. moät ñieåm M(x 0 ;y 0 ;z 0 ) thuoäc mp   moä t VTPT n P  A;B;C  Để viết phương trình mặt phẳng ta cần tìm: . 2. Các dạng toán. Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng(P) qua một điểm vuông góc với đường thẳng. M(x 0 ;y 0 ;z 0 ) và.  Ñieåm ñi qua M(x 0 ;y 0 ;z 0 )  HD     VTPT n  P ad  d.. Cần nhớ: MP vuông góc đường thẳng nhận VTCP của đt làm VTPT.. Bài 1: Viết phương trình mp(P) qua điểm A(2;2;-1) và vuông góc với đt d:. x 1  2t  y  3t z 2 .  Ñieåm ñi qua A(2;2-1)    HD   VTPT n  P ad Bài giải. - Mặt phẳng (P) qua điểm A(2;2;-1).  . - Mặt phẳng (P) có VTPT là n P ad  2;  3;0  . Pt mp(P) : A  x  x 0   B  y  y 0   C  z  z 0  0. -.  2  x  2   3  y  2   0  z  1 0  2x  4  3y  6 0  2x  3y  2 0. Cần nhớ: -.  Mp(P) vuông góc đường thẳng d nhận vectơ ad làm vectơ pháp tuyến..

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Bài 2: Viết phương trình mp(P) qua điểm A(2;2;-1) và vuông góc với đường thẳng x 1 y 2 z   2 2 d: 1.  Ñieåm ñi qua A(2;2-1)    HD   VTPT n P ad Bài giải. - Mặt phẳng (P) qua điểm A(2;2;-1).  . - Mặt phẳng (P) có VTPT là n P ad  1;2;  2  . -. Pt mp(P) : A  x  x 0   B  y  y 0   C  z  z 0  0.   x  2   2  y  2   2  z  1 0  x  2  2y  4  2z  2 0  x  2y  2z  8 0.  Cần nhớ: Mp(P) vuông góc đường thẳng d nhận vectơ ad làm vectơ pháp tuyến.. Bài 3: Cho ba điểm A(2;0;0), B(0;2;0), C(0;0;2). 1. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua B vuông góc với AC.  Ñieåm ñi qua B(0;2;0)  HD     VTPT n  P AC Bài giải. - Mặt phẳng (P) qua điểm B(0;2;0).  . - Mặt phẳng (P) có VTPT là n P AC   2;0;2  . -. Pt mp(P) : A  x  x 0   B  y  y 0   C  z  z 0  0.     x  0   0  y  2   2  z  0  0   x + 2z = 0   x+z=0.  Cần nhớ: Mp(P) vuông góc đường thẳng AC nhận vectơ AC làm vectơ pháp tuyến.. 2. Viết phương trình mặt phẳng (P) vuông góc với BC tại B.  Ñieåm ñi qua B(0;2;0)    HD   VTPT n  P BC Bài giải. - Mặt phẳng (P) qua điểm B(0;2;0).  . - Mặt phẳng (P) có VTPT là n P BC  0;  2;2  . -. Pt mp(P) : A  x  x 0   B  y  y 0   C  z  z 0  0.    x  0   2  y  2   2  z  0  0   y+4+2z=0   y+2z+4=0.  Cần nhớ: Mp(P) vuông góc đường thẳng BC nhận vectơ BC làm vectơ pháp tuyến.. Bài 4: Cho hai điểm A(1;1;1), B(3;3;3). Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB..

<span class='text_page_counter'>(3)</span>  Ñieåm ñi qua laø trung ñieåm I(2;2;2)    HD   VTPT n  P AB Bài giải. - Gọi (P) là mp trung trực của đoạn thẳng AB.  I 2;2;2 .  - Gọi I là trung điểm của AB - Mặt phẳng (P) qua điểm I(2;2;2).  . - Mặt phẳng (P) có VTPT là n P AB  2;2;2  . -. Pt mp(P) : A  x  x 0   B  y  y 0   C  z  z 0  0.    x  0   2  y  2   2  z  0  0   y+4+2z=0   y+2z+4=0. Cần nhớ: Mp trung trực của đoạn thẳng AB là mp vuông góc với đoạn thẳng AB tại trung điểm I của đoạn thẳng AB. Kiến thức cần nhớ:  - Trục Ox có VTCP là i  1;0;0  . - Trục Oy có VTCP là j  0;1;0  . k  0;0;1. - Trục Oz có VTCP là. ..    n  i, j k  0;0;1 - Mp (Oxy) có VTPT: .    n  i, k   j  0;1;0  - Mp (Oxz) có VTPT: .    n  j, k  i  1;0;0  - Mp (Oyz) có VTPT:. Bài 5: Cho điểm M(1;2;3). 1. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với trục Ox.  Ñieåm ñi qua M(1;2;3)    HD   VTPT n P i  1;0;0  Bài giải. - Mặt phẳng (P) qua điểm M(1;2;3).   - Mặt phẳng (P) có VTPT là -. n P i  1;0;0 . .. Pt mp(P) : A  x  x 0   B  y  y 0   C  z  z 0  0.   x  1  0  y  2   0  z  3  0  x-1=0.  Cần nhớ: Mp(P) vuông góc trục Ox nhận vectơ i làm vectơ pháp tuyến.. 2. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với trục Oy.  Ñieåm ñi qua M(1;2;3)    HD   VTPT n P  j  0;1;0  Bài giải. - Mặt phẳng (P) qua điểm M(1;2;3).  . - Mặt phẳng (P) có VTPT là n P  j  0;1;0  . -. Pt mp(P) : A  x  x 0   B  y  y 0   C  z  z 0  0.

<span class='text_page_counter'>(4)</span>    x  1  1 y  2   0  z  3 0  y-2=0.  Cần nhớ: Mp(P) vuông góc trục Oy nhận vectơ j làm vectơ pháp tuyến.. 3. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với trục Oz.  Ñieåm ñi qua M(1;2;3)    HD   VTPT n P k  0;0;1 Bài giải. - Mặt phẳng (P) qua điểm M(1;2;3).  . - Mặt phẳng (P) có VTPT là n P k  0;0;1 . -. Pt mp(P) : A  x  x 0   B  y  y 0   C  z  z 0  0.    x  1  0  y  2   1 z  3  0  z  =0.  k Cần nhớ: Mp(P) vuông góc trục Oz nhận vectơ làm vectơ pháp tuyến.. Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng(P) qua ba điểm A, B, C  Ñieåm ñi qua A(x 0 ;y 0 ;z 0 )       VTPT n P  AB,AC  HD. Bài 1: Viết phương trình mp(P) qua ba điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1).  Ñieåm ñi qua A     HD    AB,AC  VTPT n  P    Bài giải. - Mặt phẳng (P) qua điểm A(1;0;0). -. -.    n P  AB,AC  Mặt phẳng (P)  có VTPT là AB   1;1;0   Với AC   1;0;1     n P  AB,AC   1;1;1 Pt mp(P) : A  x  x 0   B  y  y 0   C  z  z 0  0.   x  1  1 y  0   1 z  0  0  x  1  y  z 0  x  y  z  1 0. Bài 2: Cho hai điểm M(1;1;1), N(1;-1;1). Viết phương trình mp(OMN).     HD  Ñieåm ñi qua O, VTPT n P  OM,ON  Bài giải. - Mặt phẳng (P) qua điểm O(0;0;0).   - Mặt phẳng (P) có VTPT là. n P  OM,ON .

<span class='text_page_counter'>(5)</span> -.  OM  1;1;1  Với ON 1;  1;1  n P  OM,ON   2;0;  2  Pt mp(P) : A  x  x 0   B  y  y 0   C  z  z 0  0    x  0   0  y  0   2  z  0  0  x  2z 0. Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng(P) qua một điểm song với mp(Q). M(x 0 ;y 0 ;z 0 ) và.  Ñieåm ñi qua M(x 0 ;y 0 ;z 0 )    HD   VTPT n P nQ. Bài 1: Viết phương trình mp(P) qua điểm A(1;2;3) và song song với mp(Q): 2x+2y+z=0.  Ñieåm ñi qua A(1;2;3)    HD   VTPT n P n Q Bài giải. - Mặt phẳng (P) qua điểm A(1;2;3).  . - Mặt phẳng (P) có VTPT là n P n Q  2;2;1 . -. Pt mp(P) : A  x  x 0   B  y  y 0   C  z  z 0  0.    x  1  2  y  2   1 z  3 0  x  2  2y  4  z  3 0  x  2y  z  3 0. Cần nhớ: Hai mp song song cùng VTPT. Bài 2: Cho ba điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1). Viết phương trình mp(P) qua điểm M(1;2;3) và song song với mp(ABC)  Ñieåm ñi qua M      HD     VTPT n  n P ABC  AB,AC   Bài giải. - Mặt phẳng (P) qua điểm M(1;2;3). -. -.    n P  AB,AC  Mặt phẳng (P) có VTPT là  AB   1;1;0       AB,AC   1;1;1  n  P   Với AC   1;0;1 Pt mp(P) : A  x  x 0   B  y  y 0   C  z  z 0  0.   x  1  1 y  2   1 z  3  0  x  1  y  2  z  3 0  x  y  z  6 0   n ABC  AB,AC . Cần nhớ: Mp(ABC) có VTPT là . Bài 3: Viết pt mp(P) qua điểm M(1;2;3) và song song mp(Oxy).. song.

<span class='text_page_counter'>(6)</span>   Ñieåm ñi qua M(1;2;3)   HD   VTPT n P  i, j k  0;0;1  Bài giải. - Mặt phẳng (P) qua điểm M(1;2;3). -.     n P  i, j k  0;0;1 Mặt phẳng (P) có VTPT là . Pt mp(P) : A  x  x 0   B  y  y 0   C  z  z 0  0.    x  1  0  y  2   1 z  3 0  z-3=0. Bài 4: Viết pt mp(P) qua điểm M(1;2;3) và song song mp(Oxz).. -.  Ñieåm ñi qua M(1;2;3)     HD   VTPT n P  i, k   j  0;1;0  Bài giải   Mặt phẳng (P) qua điểm M(1;2;3).   n  i, k   j  0;1; 0  Mặt phẳng (P) có VTPT là P   . Pt mp(P) : A  x  x 0   B  y  y 0   C  z  z 0  0.    x  1  1 y  2   0  z  3 0  y-2=0. Bài 5: Viết pt mp(P) qua điểm M(1;2;3) và song song mp(Oyz).. -.  Ñieåm ñi qua M(1;2;3)     HD   VTPT n P  j,k  i  1;0;0   Bài giải   Mặt phẳng (P) qua điểm M(1;2;3).   n P  j, k  i  1;0; 0 . - Mặt phẳng (P) có VTPT là -. Pt mp(P) : A  x  x 0   B  y  y 0   C  z  z 0  0. ..   x  1  0  y  2   0  z  3  0  x-1=0. Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng(P) qua hai điểm A, B và vuông góc với mp(Q).  Ñieåm ñi qua A     HD    AB,n Q  VTPT n  P   . Bài 1: Viết pt mp(P) qua 2 điểm A(3;1;-1), B(2;-1;4) và vuông góc với mp (Q): 2x-y+3z-1=0  Ñieåm ñi qua A    HD   VTPT n P  AB,n Q  Bài giải. - Mặt phẳng (P) qua điểm A(3;1;-1). - Hai vectơ không cùng phương có giá song song hoặc nằm trên (P) là:.

<span class='text_page_counter'>(7)</span>  AB   1;  2;5   n Q  2;  1;3 . -.   : n  AB,n Q    1;13;5  Mặt phẳng (P) có VTPT là P  Pt mp(P) : A  x  x 0   B  y  y 0   C  z  z 0  0.    x  3  13  y  1  5  z  1 0  x-13y-5z+5=0. Bài 2: Viết pt mp(P) qua 2 điểm A(3;1;-1), B(2;-1;4) và vuông góc với mp(Oxy)  Ñieåm ñi qua A      VTPT n P  AB, k  Bài giải HD. - Mặt phẳng (P) qua điểm A(3;1;-1). - Hai vectơ không cùng phương có giá song song hoặc nằm trên (P) là: AB   1;  2;5   k  0;0;1. -.   n  AB,k  Mặt phẳng (P) có VTPT là P  =(-2;1;0) Pt mp(P) : A  x  x 0   B  y  y 0   C  z  z 0  0.     x  3  1 y  1  0  z  1 0   x+y+5=0. Bài 3: Viết pt mp(P) qua gốc tọa độ, điểm A(1;1;1) và vuông góc với mp(Oyz)  Ñieåm ñi qua O    HD   VTPT n P  OA,i   Bài giải. - Mặt phẳng (P) qua điểm O(0;0;0). - Hai vectơ không cùng phương có giá song song hoặc nằm trên (P) là:  OA  1;1;1  i  1;0;0 . -.   n  OA,i  Mặt phẳng (P) có VTPT là P  =(0;1;-1) Pt mp(P) : A  x  x 0   B  y  y 0   C  z  z 0  0.    x  0   1 y  0   1 z  0  0  y-z=0. Vấn đề 2: Phương trình đường thẳng. Kiến thức cần nhớ: - Vectơ chỉ phương của đường thẳng là vectơ có giá song song với đường thẳng hoặc trùng với đường thẳng.  - Đường thẳng d qua điểm M(x 0 ;y 0 ;z 0 ) có vectơ chỉ phương ad  a; b;c  :.  Có pt tham số:. x x 0  at  y y 0  bt z z  ct 0 . ..

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Các dạng toán. Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm A, B.  Ñieåm ñi qua A    HD   VTPT aAB AB.  AB Cần nhớ: Đường thẳng AB có vectơ chỉ phương là vectơ .. Bài 1: Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm A(1;2;3), B(2;1;4).  Ñieåm ñi qua A    HD   VTPT aAB AB Bài giải. - Đường thẳng AB qua điểm A(1;2;3). -.   a Đường thẳng AB có vectơ chỉ phương là: AB AB =(1;-1;1). x x 0  at x 1  t   y y 0  bt   y 2  t z z  ct z 3  t  0 . - Pt tham số của AB là: . Bài 2: Cho ba điểm A(1;1;1), B(2;2;2), C(3;6;9). Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Viết phương trình đường thẳng OG.  Ñieåm ñi qua O    HD   VTPT a  OG OG Bài giải. - Ta có G(2;3;4) - Đường thẳng OG qua điểm O(0;0;0)..   - Đường thẳng OG có vectơ chỉ phương là: aOG OG =(2;3;4). x x 0  at x 0  2t x 2t    y y 0  bt  y 0  3t  y 3t  z 0  4t   z 4t . - Pt tham số của OG là: z z 0  ct  Cần nhớ: Đường thẳng OG có vectơ chỉ phương là OG. Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M và vuông góc với mp(P).  Ñieåm ñi qua M  HD     VTPT a  d n P. Bài 1: Viết pt đường thẳng d qua điểm M(1;2;3) và vuông góc với mp(P): x-2y-z-1=0..

<span class='text_page_counter'>(9)</span>  Ñieåm ñi qua M    HD   VTPT a  d n P Bài giải. - Đường thẳng d qua điểm M(1;2;3). -.   Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là: ad n P =(1;-2;-1). x x 0  at x 1  t   y y 0  bt  y 2  2t z z  ct z 3  t  0 . - Pt tham số của d là: . Cần nhớ: Đường thẳng vuông góc mp nhận VTPT của mp là VTCP. Bài 2: Cho ba điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1). Viết pt đường thẳng d qua gốc tọa độ và vuông góc mp(ABC).  Ñieåm ñi qua O          VTPT a  n d ABC  AB,AC   Bài giải HD. - Đường thẳng d qua điểm O(0;0;0). -.     ad n ABC  AB,AC  Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là: =(1;1;1). x x 0  at x t   y y 0  bt  y t z z  ct  z t 0 . - Pt tham số của d là: . Bài 3: Viết phương trình đường thẳng d qua M(1;2;3) và vuông góc mp(Oxy).  Ñieåm ñi qua M        VTPT a d  i, j k  Bài giải HD. - Đường thẳng d qua điểm M(1;2;3). -.   Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là: ad k =(0;0;1). x x 0  at x 1   y y 0  bt  y 2 z z  ct  z 3  t 0 . - Pt tham số của d là:. ..

<span class='text_page_counter'>(10)</span>