Gioi han

<span class='text_page_counter'>(1)</span>CHƯƠNG IV: GIỚI HẠN CHỦ ĐỀ: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ A. KIẾN THỨC CƠ BẢN B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN.. un . P  n Q n. 1. Giới hạn của dãy số (un) với với P,Q là các đa thức: o Nếu bậc P = bậc Q = k, hệ số cao nhất của P là a0, hệ số cao nhất của Q là b0 thì chia tử số và mẫu số cho nk. lim  un   o o. a0 b0 .. để đi đến kết quả : Nếu bậc P nhỏ hơn bậc Q = k, thì chia tử và mẫu cho nk để đi đến kết quả :lim(un)=0. Nếu k = bậc P > bậc Q, chia tử và mẫu cho nk để đi đến kết quả :lim(un)=  .. un  2. o o C.. f  n g n. Giới hạn của dãy số dạng: , f và g là các biển thức chứa căn. Chia tử và mẫu cho nk với k chọn thích hợp. Nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp. CÁC VÍ DỤ.. 1 n 2  1  4n 1 2  4 n  1  4n 1 4 5 n n lim lim lim   3n  2 2 3n  2 3 3 3 n n 1. 2.  lim  n  2n  3  n  lim 2. 2.. 2n  3. lim. n  2n  3  n 2. n2  2n  3  n.   2 3 n  1   2  1 n n  .  1 1  1  1 1           ...      2 4  8  2. 1 2. q . n 3  2n  1 1 3 n  2n  1 n lim 2 lim 2 lim 1 2n  n  3 2n  n  3  3 n n 4. lim. . 3. n2 . . n lim. 3. n2  3. 5.. lim.  3. n2  2n  3  n. 1 2  ...   .  1 3 1     2 Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có công bội. 3. 3. 3. n2.  n  2. 2. 3.    n 3. 3. 2 1  3 2 n n  1 3  n 2 n3 .. 2 n  3  n  2   3 n  2. 3 n  3 n2   . .  n  2. 2.  3 n  2. 3 n  3 n 2. 3.  3 n  2. 3 n  3 n2. 2. 3 2 n lim  1 1 1 2 3 1  2 1 n n. và số hạng đầu u1=1.. . 2. n2  2n  3  n. là biểu thức liên hợp của.  n 1.  lim n  2n  3  n. 2. 2n  3. lim. n 2  2n  3  n. n2  2n  3  n. n2  2n  3  n. 3.. . lim. n2 n 3.  n  2. 2.  3 n  2. 3 n  3 n2.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> lim. 2 3. 2.  n  2   3 n  2. 3 n  3 n2. 0. _______________________________________________________________________________________________ GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ A. KIẾN THỨC CƠ BẢN B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Khi tìm giới hạn hàm số ta thường gặp các dạng sau:. lim x a. f  x  0  g  x   0 . 1. Giới hạn của hàm số dạng: o Nếu f(x) , g(x) là các hàm đa thức thì có thể chia tử số , mẫu số cho (x-a) hoặc (x-a) 2. o Nếu f(x) , g(x) là các biểu thức chứa căn thì nhân tử và mẫu cho các biểu thức liên hợp.. f  x      x  g  x   . lim. 2. Giới hạn của hàm số dạng: o Chia tử và mẫu cho xk với k chọn thích hợp. Chú ý rằng nếu coi như x<0 khi đưa x ra hoặc vào khỏi căn bậc chẵn.. 3. Giới hạn của hàm số dạng:. thì coi như x>0, nếu.      0. . Ta biến đổi về dạng:   . lim  f  x  .g  x   x . lim  f  x   4. Giới hạn của hàm số dạng: x    f  x  g x  lim x  f  x  g x  o Đưa về dạng: C. CÁC VÍ DỤ. x  . g x  .  - . 2. 1. 2.. x 2  3x  2   2   3  2   2 12 lim    3 x  2 x 2 4   2  2. lim x 2.  x  2   x  1 lim x  1 2  1 1 x 2  3x  2 lim   x 2 x 2 x 2 x 2 .Chia tử và mẫu cho (x-2)..  x  1  2  3x  3 lim  x  1  4   3x  3  3x  3   x  1  2   3x  3 x  1  2  3x  3  x  3  3 x  3  3x  3   3.3  3  6 1 lim lim 3  x  3  x  1  2  3  x  1  2  3  3  1  2  12 2 lim x 3. 3.. x 1  2 lim x 3 3x  3. . x 1  2. x 3. x 3. 2. x 3.  x 2  3x  1   xlim  3 x 3  2  lim x  3 x  1    x 3 (vì tử dần về 1 còn mẫu dần về 0).Cụ thể:  x  3. 4.. x 2  3x  1 lim  x 3 x 3. 5.. 2x 2  x  1  x  1 2 x 2  x  1 2x3  x2  1 lim 3 lim lim  2 x 1 x  4 x 2  5x  2 x 1 x  1  x  1  x  2   x  1  x  2 . . 6. 7.. lim x  1 0 x 1. . 2x  x  3 1 3 2  2 2 x x x  2 2 lim 2 x  1 x 1 1 1 2 2 x x 2. 2x2  x  3 lim lim x  x  x2 1. . . .. x . thì.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> 8.. 9.. lim. x 1  lim x   x. lim. x 1  lim x   x. 2. x  . 2. x  . 1 x 2  lim 1  1 1 x   x x2. x 1. 1 1  x 1 2 2 x  lim x  lim   1  1   1   x   x    x x x 2   .. x 1. x2  x  3  f  x   x+a   x 10. Cho hàm số : Ta có :.  x 1  x>1. . Tìm a để hàm số có giới hạn khi x dần tới 1 và tìm giới hạn đó. Giải. lim  f  x   lim x 2  x  3 3 x 1. x 1. . . .. x a a  1 x 1 x 1 x lim  f  x   3  a  1 3  a 2 Vậy x  1  0  x  2  x2  2x  4 x3  8 lim lim lim  x 2  2 x  4  12   x 2 x 2 x 2 11. x  2 x  2 . Dạng  0  . lim  f  x   lim. x3  2x  1 2 1 1 2  3 3 x  2x  1 x x x 1 lim lim lim   3 3 x  x  x  1 2x 1 2x  1 2 2    3 x x3 12. . Dạng    . 2 3x 2  x  1 2 3x 2  x  1   2 2 x2 lim  3 x  x  1  lim lim  3 3 x  x  x  x. 3 x 3  1 x. 3 x 3  1  x. x  1  x2 13. 3. . . . . . x2  x  3  x.   lim x. . 1 1  2 3   2  x x  6 lim   6 x  1 1 3 1 3 x lim. 14..  lim. x  . x  . . x. 2.   x  3  x   lim. x 3 x2  x  3  x. x2  x  3  x. . x2  x  3  x x 3 3 1 1 x x  lim  x 2  x  3  x x   1  1  3  1 2 x x2 x x  .  lim. x  . x  . 2.  x  3  x2. x2  x  3  x.    . . Dạng . _______________________________________________________________________________________________ HÀM SỐ LIÊN TỤC A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN..  x x 0   x=x 0 .  g  x  f  x   a 1. Xét tính liên tục của hàm số dạng: o. Tìm. lim  g  x  . x  x0. .Hàm số liên tục tại x0.  lim  g  x   a x  x0. ..

<span class='text_page_counter'>(4)</span> g  x   x<x0   f  x  a  x=x 0    x>x0  h  x  2. Xét tính liên tục của hàm số dạng:  lim  f  x    lim  g  x   x  x0  x  x0   f  x    lim  g  x    xlim   x  x0   x0  f  x0  o Tìm :  . Hàm số liên tục tại x = x0.  lim  f  x    lim  f  x    f  x0  a x  x0 x  x0. . 3. Chứng minh phương trình f(x) = 0 có nghiệm trong khoảng (a;b). o Chứng tỏ f(x) liên tục trên đoạn [a;b]. o Chứng tỏ f(a).f(b)<0 Khi đó f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (a;b). Nếu chưa có (a;b) thì ta cần tính các giá trị f(x) để tìm a và b. Muốn chứng minh f(x)=0 có hai , ba nghiệm thì ta tìm hai , ba khoảng rời nhau và trên mỗi khoảng f(x)=0 đều có nghiệm. C. CÁC VÍ DỤ.  x2  1  x 1  f  x   x  1 a  x=1 a là hằng số. Xét tính liên tục của hàm số tại x0 = 1.  1. Cho hàm số: Giải Hàm số xác định với mọi x thuộc R. Ta có f(1) = a.. lim x 1.  x  1  x  1 lim x  1 2 x2  1 lim   x1 x  1 x1 x 1. Nếu a=2 thì hàm số liên tục tại x0 = 1. Nếu a 2 thì hàm số gián đoạn tại x0 = 1. 2  x 1 f  x    x 2. Cho hàm số:.  x  0  x 0  . Xét tính liên tục của hàm số tại x. 0. = 0.. Giải Hàm số xác định với mọi x thuộc R. Ta có f(0) = 0. lim  f  x    lim x 0. x  0. x 0. lim  f  x    lim x 2  1 1  0= lim  f  x    lim x. x 0. x 0. . . x 0. x 0. .. Vậy hàm số không liên tục tại x0 = 0.. ax  2 f  x   2 x +x-1 3. Cho hàm số:.  x 1  x  1. . Xét tính liên tục của hàm số trên toàn trục số. Giải. x >1 ta có f(x) = ax +2 hàm số liên tục. x <1 ta có f(x) = x2+x-1 hàm số liên tục. Khi x = 1: Ta có f(1) = a+2. lim  f  x   lim  ax  2  a  2 x1. x1. lim  f  x   lim x 2  x  1 1 x1. x1. . . . Hàm số liên tục tại x0 = 1 nếu a = -1. Hàm số gián đoạn tại x0 = 1 nếu a  -1..

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Vậy hàm số liên tục trên toàn trục số nếu a = -1.Hàm số liên tục trên.   ;1   1;  . nếu a.  -1..

<span class='text_page_counter'>(6)</span>