on thi hk 2 toan 9

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Tài liệu ôn thi tuyển sinh lớp 10 TÀI LIỆU ÔN THI TUYỂN SINH LỚP 10 MÔN TOÁN A. PHẦN ĐẠI SÔ I. CĂN BẬC HAI – CĂN BẬC BA 1. Kiến thức cơ bản 1. 2. 3.. =. (Với A. ). (Với A. ). 4.. (Với. ). 5.. (Với A. ). (Với A. ). 6.. (Với A.B. 7.. (Với B>0). 8.. (Với A. 9.. (Với A. 10.. (Với A. ). 2. Bài tập Bài 1: Tìm giá trị của x để các biểu thức sau xác định A= C= E=. B= D= F= Trang 1.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Tài liệu ôn thi tuyển sinh lớp 10 G=. H=. I= Bài 2: Thực hiện phép tính. K=. A=. B=. C=. D=. E=. F=. G= Bài 3: Thực hiện phép tính. H=2. a,. .. b,. c,. : d,. e, f, Bài 4: Rút gọn các biểu thức sau a, A = b, B=. với với. Bài 5: Chứng minh đẳng thức a,. Với mọi. b,. Với mọi. c,. Với mọi. d,. Với Trang 2.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Tài liệu ôn thi tuyển sinh lớp 10 Bài 6:Cho biểu thức: a, Tìm điều kiện của a để P có nghĩa b, Rút gọn biểu thức P c, Tính P tại Bài 7: Cho biểu thức: a, Tìm điều kiện của x để P có nghĩa b, Rút gọn biểu thức P c, Tính. khi. Bài 8: Cho biểu thức: a, Tìm điều kiện của x để P có nghĩa b, Rút gọn biểu thức P c, Tìm giá trị của x để P=20 Bài 9: Cho biểu thức: a, Tìm điều kiện của a để P có nghĩa b, Rút gọn biểu thức P c, Tính P khi d, Tìm a để Bài 10: Cho biểu thức: a, Tìm điều kiện của x để P có nghĩa b, Rút gọn biểu thức P c, Tìm giá trị của x để P d, Tìm x để P đạt giá trị nhỏ nhất Bài 11: Cho biểu thức: a, Tìm điều kiện của x để P có nghĩa b, Rút gọn biểu thức P c, Tính giá trị của P khi d, Tìm x để P đạt giá trị nhỏ nhất Trang 3.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Tài liệu ôn thi tuyển sinh lớp 10 Bài 12: Cho biểu thức: a, Tìm điều kiện của x để P có nghĩa b, Rút gọn biểu thức P c, Tính giá trị của P khi d, Tìm giá trị của x để P= Bài 13: Cho biểu thức: a, Tìm điều kiện của x để P có nghĩa b, Rút gọn biểu thức P c, Tìm các giá trị nguyên của x để P có giá trị nguyên Bài 14: Cho biểu thức: a, Tìm điều kiện của x để P có nghĩa b, Rút gọn biểu thức P c, Tìm giá trị của x để P d, Tìm các giá trị nguyên dương của x để P đạt giá trị nguyên Bài 15:Cho biểu thức: a, Tìm điều kiện của x để P có nghĩa b, Rút gọn biểu thức P c, Tìm giá trị của x để P d, Tìm các giá trị nguyên của x để P có giá trị nguyên e, Tìm các giá trị của x để f, Giải bất phương trình g, Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P-1 h, So sánh P với Bài 16: Cho biểu thức: a, Tìm điều kiện của x để P có nghĩa b, Rút gọn biểu thức P c, Tính giá trị của P khi d, Tìm các giá trị nguyên của x để P có giá trị nguyên e, Tìm các giá trị của x để P=-2 f, Tìm các giá trị của x để Trang 4.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Tài liệu ôn thi tuyển sinh lớp 10 Bài 17: Cho biểu thức: a, Tìm điều kiện của x để P có nghĩa b, Rút gọn biểu thức P c, Tính giá trị của P khi d, Tìm giá trị của x để P e, Tìm giá trị của x để P f, Tìm giá trị của x để biểu thức P có giá trị nhỏ nhất. II.HÀM SỐ 1. Kiến thức cơ bản  Hàm số bậc nhất - Hàm số bậc nhất có dạng - Đồ thị hàm số thẳng - Hàm số. là đường thẳng song song hoặc trùng với đường. , cắt trục tung tại b, cắt trục hoành tại đồng biến khi ; nghịch biến khi.  Hệ số góc. Đường thẳng song song; dường thẳng cắt nhau - Hàm số có hệ số góc là a - Với hai đường thẳng d: và ó và cắt nhau ó và song song với nhau ó và trùng nhau. :. 2. Bài tập Bài 1: Cho hàm số a. Với giá trị nào của a thì hàm số là hàm số bậc nhất? b. Với giá trị nào của a thì hàm số đồng biến trên R? c. Với giá trị nào của a thì hàm số nghịch biến trên R? d. Nếu a = 5 thì hàm số đồng biến hay nghịch biến? e. Tính f(-4); f(0); f(3) Bài 2: Cho hàm số (d) a. Tìm k để đường thẳng (d) đi qua gốc tọa độ Trang 5.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Tài liệu ôn thi tuyển sinh lớp 10 b. Tìm k để đường thẳng (d) song song với đường thẳng có phương trình Bài 3: Cho hai hàm số: và a. Xác định k để hai đường thẳng cắt nhau. b. Xác định k để hai đường thẳng song song với nhau c. Hai đường thẳng có trùng nhau được không? Vì sao? Bài 4: Cho 3đường thẳng: ( Tìm k để: a. ( ) // ( b. ( ) // ( c. ( ) cắt (. (. ) ;. (. ;. Bài 5: Xác định hàm số biết a. Đồ thị hàm số đi qua và có hệ số góc là 2 b. Đồ thị hàm số đi qua và c. Đồ thị hàm số song song với đường thẳng và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1. d. Xác định tọa độ giao điểm của đường thẳng AB với trục hoành và trục tung. Bài 6: Cho ba điểm ; ; a. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A và B b. Tìm k để ba điểm A; B; C thẳng hàng Bài 7: Cho 3 đường thẳng ( ; ( ; a. Tìm tọa độ giao điểm của ( và ( ; b. Tìm k để ba đường thẳng đồng quy trong mặt phẳng tọa độ. (. Bài 8: a. Vẽ đồ thị của 3 hàm số sau trên cùng một hệ trục tọa độ ( ; ( ; b. Gọi giao điểm của đường thẳng ( với đường thẳng ( tọa độ các điểm A; B c. Tam giác AOB là tam giác gì? Vì sao? d. Tính Trang 6. ( và (. là A và B. Tìm.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Tài liệu ôn thi tuyển sinh lớp 10 Bài 9: Cho hàm số: ( a. Xác định m để hàm số đồng biến, nghịch biến b. Xác định m để hàm số +. Song song với trục hoành +. Song song với đường thẳng có phương trình +. Cắt trục hoành tại điểm A có hoành độ c. Chứng minh rằng đường thẳng ( luôn đi qua 1 điểm cố định khi m thay đổi Bài 10: Cho hàm số (1) (m,n là tham số) a. Xác định m, n để đường thẳng (1) đi qua 2 điểm A(1;-2) và B(3;-4) b. Xác định m, n để đường thẳng (1) cắt trục hoành tại điểm C có hoành độ và cắt trục tung tại điểm D có tung độ c. Xác định m, n để đường thẳng (1) + Song song với đường thẳng có phương trình + Trùng với đường thẳng có phương trình III.. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN. A. Phương pháp giải hệ phương trình 1.. Kiến thức cơ bản. - Cho hai phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c và a’x + b’y = c’. Khi đó, ta có hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng. (I). ¿ ax+ by=c a ' x +b ' y=c ' ¿{ ¿. - Nếu hai phương trình ấy có nghiệm chung ( x 0 ; y 0 ) thì ( x 0 ; y 0 ) được gọi là một nghiệm của hệ (I) - Giải hệ phương trình là tìm tất cả các nghiệm của phương trình đó - Các phương pháp giải hệ phương trình: + Phương pháp thế - B1: Từ một phương trình của hệ đã cho (coi là phương trình thứ nhất) ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình thứ hai để được một phương trình mới (chỉ có một ẩn) - B2: Giải phương trình một ẩn vừa có, rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho. Trang 7.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Tài liệu ôn thi tuyển sinh lớp 10 + Phương pháp cộng đại số ( Sử dụng quy tắc cộng đại số) -. B1: Nhân cả hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phương trình của hệ bằng nhau hoặc đối nhau. B2: Cộng từng vế ( nếu các hệ số của một ẩn nào đó đối nhau) hay trừ từng vế (nếu hệ số của một ẩn nào đó bằng nhau) để được phương trình mới chỉ có một ẩn B3: Giải phương trình một ẩn vừa thu được rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho 2.. Bài tập. Bài 1: Giải các hệ phương trình sau ¿ 2 x + y =4 1, 3 x − y =1 ¿{ ¿ ¿ x +2 y=5 3, 3 x − y =1 ¿{ ¿ ¿ 0,2 x −3 y=2 5. x −15 y=10 ¿{ ¿ ¿ y x − =5 2 7. 2 x − y =6 ¿{ ¿ ¿ 2 x+ y =5 3 3 15 9. 2 x+ 4 y = 2 ¿{ ¿ ¿ |x|+3 y=5 11. − x + y=− 1 ¿{ ¿ ¿ 6 x+ 6 y=5 xy 4 3 − =1 13. x y ¿{ ¿. 2,. 4,. 6.. 8.. 10.. 12.. 14.. ¿ x − y=1 3 x+2 y=3 ¿{ ¿ ¿ 3 x − y −5=0 x + y −3=0 ¿{ ¿ ¿ x −3 −2 y 2 x + 4 y=1007 ¿{ ¿ ¿ 3 x − y =2 −3 y +9 x=6 ¿{ ¿ ¿ 2 x+3 y =6 5 5 x+ y=5 3 2 ¿{ ¿ ¿ y=2|x − 1|+3 x =2 y −5 ¿{ ¿ ¿ ( x+ y )( x −2 y )=0 x −5 y=3 ¿{ ¿. Trang 8.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Tài liệu ôn thi tuyển sinh lớp 10 ¿ 2 x − √ √ 3 y=5 2 √ 2 x+ 3 √ 3 y=− 5 ¿{ ¿ ¿ ( x +1 ) +2 ( y − 2 )=5 3 ( x+1 ) − ( y −2 ) =1 ¿{ ¿. 15.. 17.. 16.. 18.. ¿ 3 ( x + y ) +5 ( x − y )=12 −5 ( x+ y ) +2 ( x − y )=11 ¿{ ¿. 19.. ¿ 3 x − √3 y=3 − 2 √ 3 √ 2 x +3 y=6+ √ 2 ¿{ ¿ ¿ ( x +5 )( y −2 )= ( x +2 ) ( y −1 ) ( x − 4 )( y +7 )=( x − 3 ) ( y − 4 ) ¿{ ¿. ¿ ( x+ y )( x − 1 )=( x − y ) ( x +1 ) +2 xy 20. ( y − x )( y +1 )= ( y+ x ) ( y −2 ) −2 xy ¿{ ¿. Bài 2: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp đặt ẩn phụ ¿ 1 1 4 + = x y 5 1 1 1 − = x y 5 ¿{ ¿. ¿ 1 1 − =1 x y a, b, 3 + 4 =5 x y ¿{ ¿ ¿ 2 x −ay =b Bài 3: Cho hệ phương trình ax+ by=1 ¿{ ¿. a) b) c). Giải hệ phương rình khi a=3; b=-2 Tìm a; b để hệ có nghiệm ( x ; y ) =( √ 2; √ 3 ) Tìm a; b để hệ vô số nghiệm. Bài 4: Cho hệ phương trình a) b). Giải hệ phương trình khi a=2 Chứng minh rằng hệ phương trình luôn có nghiệm với mọi a. Bài 5: Cho hệ phương trình a) b). ¿ ax − y=2 x+ ay=3 ¿{ ¿. ¿ ax − 2 y =a −2 x+ y=a+1 ¿{ ¿. Giải hệ phương trình khi a=-2 Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho x-y=1. Trang 9.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Tài liệu ôn thi tuyển sinh lớp 10 Bài 6: Cho hệ phương trình. ¿ 2 x +my=1 mx+2 y=1 ¿{ ¿. a) Giải và biện luận nghiệm của hệ phương trình theo tham số m b) Tìm các số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho x; y là các số nguyên dương Bài 7: Cho hệ phương trình. ¿ mx+ 4 y=10 − m x +my=4 ¿{ ¿. a) Giải và biện luận nghiệm của hệ phương trình theo tham số m b) Tìm các số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho x; y là các số nguyên dương Bài 8: Cho hệ phương trình. ¿ x+ my=2 mx −2 y=1 ¿{ ¿. a) Giải hệ phương trình khi m=2 b) Tìm các số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho x>0; y>0 c) Tìm các số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho x; y là các số nguyên dương B. GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH 1. Kiến thức cơ bản B1: Lập hệ phương trình Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn Biểu diễn mối quan hệ còn lại qua ẩn và các đại lượng đã biết Lập hệ phương trình B2: Giải hệ phương trình B3: Đối chiếu điều kiện và trả lời 2. Bài tập Dạng 1: Toán chuyển động Bài 1: Hai ô tô cùng khởi hành một lúc từ hai tỉnh A và B cách nhau 160km, đi ngược chiều nhau và gặp nhau sau 2 giờ. Tìm vận tốc của mỗi ô tô biết rằng nếu ô tô đi từ A tăng vận tốc thêm 10km/h sẽ bằng hai lần vận tốc ô tô đi từ B Bài 2: Một người đi xe máy từ A đến B trong một thời gian dự định. Nếu vận tốc tăng 14km/h thì đến B sớm hơn 2 giờ, Nếu vận tốc giảm 2km/h thì đến B muộn 1 giờ. Tính quãng đường AB, vận tốc và thời gian đã định Bài 3: Hai ca nô khởi hành từ hai bến A, B cách nhau 85km, đi ngược chiều nhau và gặp nhau sau 1 giờ 40 phút. Tính vận tốc riêng của mỗi ca nô biết rằng vận tốc của ca nô khi xuôi dòng lớn hơn vân tốc của ca nô khi ngược dòng là 9 km/h (có cả vận tốc dòng nước) và vận tốc dòng nước là 3 km/h. Trang 10.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> Tài liệu ôn thi tuyển sinh lớp 10 Bài 4: Quãng đường AB gồm một đoạn lên dốc dai 4 km, một đoạn xuống dốc dài 5 km. Một người đi xe đạp từ A đến B hết 40 phút và từ B về A hết 41 phút (vận tốc lên dốc lúc đi và lúc về là như nhau, vận tốc xuống dốc lúc đi và lúc về là như nhau). Tính vận tốc lúc lên dốc và lúc xuống dốc Bài 5: Một ca nô xuôi khúc sông dài 40 km rồi ngược khúc sông ấy hết 4 giờ 30 phút. Biết thời gian ca nô xuôi dòng 5 km bằng thời gian ca nô ngược dòng 4 km. Tính vận tốc dòng nước Bài 6: Hai bến sông A và B cách nhau 40 km. Một ca nô xuôi từ A đến B rồi quay ngay về A với vận tốc riêng không đổi hết tất cả 2 giờ 15 phút. Khi ca nô khởi hành từ A thì cùng lúc đó, một khúc gỗ cũng trôi tự do từ A theo dòng nước và gặp ca nô trên đường trở về tại một điểm cách A là 8 km. Tính vận tốc riêng của ca nô và vận tốc của dòng nước Bài 7: Hai địa điểm A và B cách nhau 360 km. Cùng một lúc, một xe tải khởi hành từ A chạy về B và một xe con chạy từ B về A. Sauk hi gặp nhau xe tải chạy tiếp trong 5 giờ nữa thì đến B và xe con chạy 3 giờ 12 phút nữa thì tới A. Tính vận tốc mỗi xe Dạng 2: Toán có nội dung công việc, năng suất, vòi nước cùng chảy Bài 8: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước sau 2 giờ 55 phút thì đầy bể. Nếu chảy riêng thì vòi thứ nhất cần ít thời gian hơn vòi thứ hai là 2 giờ. Tính thời gian để mỗi vòi chảy riêng thì đầy bể Bài 9: Hai tổ cùng làm cung một công việc hoàn thành sau 15 giờ, nếu tổ 1 làm trong 5 giờ, tổ 2 làm trong 3 giờ thì được 30% công việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi tổ hoàn thành công việc trong bao lâu Bài 10: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể, thì sau 4 giờ 48 phút thì đầy bể. Nếu vòi thứ nhất chảy trong 4 giờ, vòi thứ hai chảy trong 3 giờ thì cả hai vòi chảy được ¾ bể. Tính thời gian mỗi vòi chảy một mình đầy bể Bài 11: Hai máy cày có công suất khác nhau cùng làm việc đã cày được 1/6 cánh đồng trong 15 giờ. Nếu máy thứ nhất cày 12 giờ, máy thứ hai cày trong 20 giờ thì cả hai máy cày được 20% cánh đồng. Hỏi nếu mỗi máy làm việc riêng thì sẽ cày xong cánh đồng trong bao lâu? Bài 12: Hai công nhân phải làm một số dụng cụ bằng nhau trong cùng một thời gian. Người thứ nhất mỗi giờ làm tăng hai dụng cụ thì hoàn thành công việc trước thời hạn 2 giờ. Người thứ hai mỗi giờ làm tăng 4 dụng cụ nên không những hoàn thành công việc trước thòi hạn 3 giờ mà còn làm them 6 chiếc nữa. Tính số dụng cụ mỗi người được giao. Bài 13: Để làm xong một công việc, nếu A và B cùng làm thì mất 6 giờ, nếu B và C cùng làm thì mất 4,5 giờ. Nếu A và C cùng làm thì chỉ mất 3 giờ 36 phút. Hỏi nếu cả ba cùng làm thì phải mất bao lâu mới xong công việc đó Dạng 3: Toán tỉ số và quan hệ giữa các số Bài 14: Một thửa ruộng hình chữ nhật có chu vi 200m, nếu tăng chiều dài thêm 5m, giảm chiều rộng đi 5m thì diện tích giảm 75 m2 . Tính diện tích thửa ruộng đó Bài 15: Hưởng ứng tết trồng cây. Lớp 9A đã trồng được 164 cây vừa phi lao vừa bạch đàn. Nhưng do thời tiết xấu nên có 6 cây phi lao và 10 cây bạch đàn bị chết, do đó số cây sống mỗi loại bằng nhau. Hỏi lớp 9A trồng được bao nhiêu cây mỗi loại Trang 11.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> Tài liệu ôn thi tuyển sinh lớp 10 Bài 16: Hai lớp 9A và 9B có tổng cộng 70 học sinh. Nếu chuyển 5 học sinh từ lớp 9A sang lớp 9B thì số học sinh hai lớp bằng nhau. Tính số học sinh mỗi lớp Bài 17: Ba xe ô tô chở upload.123doc.net tấn hang tổng cộng hết 50 chuyến. Số chuyến xe thứ nhất chở gấp rưỡi số chuyến xe thứ hai. Mỗi chuyến xe thứ nhất chở 2 tấn, xe thứ hai chở 2,5 tấn, xe thứ ba chở 3 tấn. Hỏi mỗi ô tô chở mấy chuyến. Bài 18: Để vận chuyển một số gạch đến công trường xây dựng, có thể dùng 1 xe loại lớn chở 10 chuyến hoặc 1 xe loại nhỏ chở 15 chuyến. Người ta dùng cả hai loại đó. Biết tổng cộng có tất cả 11 chuyến vừa lớn vừa nhỏ. Hỏi mỗi loại xe đã chở mấy chuyến. Dạng 4: Toán phần trăm Bài 19: Hai trường A và B có 250 hs lớp 9 dự thi vào lớp 10, kết quả có 210 hs trúng tuyển. Tính riêng tỉ lệ đỗ thì trường A đạt 80%, trường B đạt 90%. Hỏi mỗi trường có bao nhiêu hs lớp 9 dự thi vào lớp 10 Bài 20: Mức sản xuất của một xí nghiệp cách đây 2 năm là 75000 dụng cụ một năm, hiện nay là 90750 dụng cụ một năm. Hỏi năm sau xí nghiệp làm tăng hơn năm trước bao nhiêu phần trăm? IV. HÀM SỐ y=ax 2 SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ y=ax 2 VÀ y=ax+b 1. Kiến thức cơ bản  Hàm số y=ax 2 - Tính chất: + Hàm số y=ax 2 ( a ≠ 0 ) xác định với mọi giá trị x thuộc R + Nếu a>0 thì hàm số đồng biến khi x>0, nghịch biến khi x<0 + Nếu a<0 thì hàm số đồng biến khi x<0, nghịch biến khi x>0 - Đồ thị của hàm số y=ax 2 ( a ≠ 0 ) là một đường cong đi qua gốc toạ độ và nhận trục Oy là trục đối xứng. Đường cong đó là một parabol đỉnh O + Nếu a>0 đồ thị nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ thị + Nếu a<0 đồ thị nằm phía dưới trục hoành, O là điểm cao nhất của đồ thị.  Các dạng bài tập - Vẽ đồ thị hàm số y=ax 2 ( a ≠ 0 ) - Sự tương giao của đồ thị hàm số y=ax 2 ( a ≠ 0 ) với đồ thị hàm số y=ax+b là số giao điểm của hai đồ thị này + Hoành độ giao điểm của hai đồ thị này là nghiệm phương trình: ax 2=ax +b 2.Bài tập. 1 2 Bài 1: Cho Parabol (P): y= 2 x và đường thẳng (d) có phương trình: y=2x-2. Trang 12.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> Tài liệu ôn thi tuyển sinh lớp 10 Chứng tỏ rằng đường thẳng (d) và parabol (P) có điểm chung duy nhất. Xác định toạ độ điểm chung đó 1 2 Bài 2: Cho Parabol (P): y=− 4 x và đường thẳng (d) có phương trình: y=x+m. a) b) c). Tìm m để đường thẳng (d) và parabol (P) có điểm chung duy nhất. Tìm m để đường thẳng (d) và parabol (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt. Tìm m để đường thẳng (d) và parabol (P) không có điểm chung. Bài 3: Cho Parabol (P): y=x 2 và đường thẳng (d) có phương trình: y=ax+b. Tìm a và b để đường thẳng (d) và parabol (P) tiếp xúc nhau tại điểm A(1;1) 1 2 Bài 4: Cho Parabol (P): y= 4 x. a) Viết phương trình đường thẳng (d) có hệ số góc là k và đi qua điểm M(1,5;-1) b) Tìm k để đường thẳng (d) và Parabol (P) tiếp xúc nhau c) Tìm k để đường thẳng (d) và Parabol (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt Bài 5: Cho Parabol (P): y=ax 2 a) Tìm a biết rằng (P) đi qua A(2;-1) và vẽ (P) với a vừa tìm được. b) Điểm B có hoành độ là 4 thuộc (P) ở câu a,. Hãy viết phương trình đường thẳng AB c) Viết phương trình đường thẳng tiếp xúc Parabol (P) ở câu a và song song với AB 1 2 Câu 6: Cho Parabol (P): y= 2 x và điểm N(m;0) và I(0;2) với m≠ 0. a) Vẽ (P). b) Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua hai điểm N,I c) Chứng minh rằng (d) và (P) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt A va B với mọi m≠ 0. d) Gọi H;K là hình chiếu của A và B lên trục hoành. Chứng minh rằng tam giác HIK vuông tại I. V. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN 1.. Kiến thức cơ bản. Phương trình bậc hai ax 2+ bx +c=0. Trang 13.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> Tài liệu ôn thi tuyển sinh lớp 10 2. Δ=b2 − 4 ac. (b = 2b’). Δ ' =b' − ac.  Δ> 0 : phương trình có 2 nghiệm phân  Δ ' >0 : phương trình có 2 nghiệm phân biệt biệt x 1=. − b+ √ Δ ; 2a. x 2=. − b −√ Δ ; 2a. '. '. '. − b +√ Δ x 1= ; a. '. −b −√Δ x 2= ; a.  Δ=0 : Phương trình có nghiệm kép.  Δ ' =0 : Phương trình có nghiệm kép.    0 : Phương trình vô nghiệm Hệ thức vi-et và ứng dụng.  Δ ' <0 : Phương trình vô nghiêm. x1 , x2.  Nếu. là hai nghiệm của phương trình. 2. ax + bx +c=0. ( a ≠ 0 ) thì. ¿. b a c x 1 . x2 = a ¿{ ¿. x 1+ x 2=−.  Muốn tìm hai số u và v biết u + v = S, uv = P ta giải phương trình (Điều kiện S 2 − 4 P ≥ 0 ). x 2 −Sx + P=0. c  Nếu a + b + c = 0 thì phương trình ax 2+ bx +c=0 có hai nghiệm x 1=1; x 2= a c  Nếu a - b + c = 0 thì phương trình ax 2+ bx +c=0 có hai nghiệm x 1=−1 ; x2 =− a. 2. Bài tập vận dụng Bài 1: Giải các phương trình sau: a. x 2 −10 x +21=0 c. 3 x2 −5 x − 8=0 e. x 2 −12 x+ 27=0 g. 3 x2 −19 x+ 22=0 i. x 2 −| x|− 6=0 Bài 2: Giải các phương trình trùng phương: a. 2 x 4 − 7 x 2 − 4=0 c. 9 x 4 +6 x 2+ 1=0 Bài 3: Giải các phương trình sau: a. c.. 2 x−5 3x = x −1 x −2 2x 5 5 − = 2 x −2 x −3 x −5 x +6. b. d. f. h. k.. x 2+ x −20=0 x 2 − 4 x +1=0 5 x2 −17 x +12=0 3 x2 −2 √ 3 x −3=0 x 2 − ( 1+ √ 2 ) x+ √2=0. b. x 4 +8 x 2+15=0 d. x 4 −13 x2 +36=0 4x. x +1. b. x +2 = x −2 x+ 2. 6. d. x −5 +3= 2 − x Trang 14.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> Tài liệu ôn thi tuyển sinh lớp 10 Bài 4: Giải các phương trình sau: 2 a. ( 4 x2 −25 ) ( 2 x 2 − 7 x −9 )=0 b. ( 2 x2 −3 ) − 4 ( x − 1 )2=0 c. 2 x ( 3 x −1 )2 +9 x 2 − 1=0 Bài 5: Giải các phương trình sau bằng phương pháp đặt ẩn phụ x+ 1. a. x 4 − x 2 − 6=0 2. c. ( x 2+ 2 x ) −2 ( x2 +2 x ) − 3=0 2 e. ( x 2 −5 x ) −30 ( x 2 − 5 x ) =216 g.. 2 2 2 + x − − 2=0 x x. ( ) x−. x −1. b. x −1 + x+1 =3 2 d. ( x 2+ 2 x +2 ) −2 ( x 2+2 x ) − 28=0 f. ( y − x − 2 )2+ ( x +2 y )2=0 h.. 1 2 1 − 4,5 x+ +5=0 x x. ( ) x+. ( ). VI. ĐỊNH LÝ VI-ET. DẤU CỦA NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI A. Kiến thức cơ bản. 1. Phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt: Xét. 2. Phương trình bậc hai có hai nghiệm kép: Xét. 3. Phương trình bậc hai vô nghiệm: Xét. ¿ a≠0 ' Δ> 0 ( Δ >0 ) ¿{ ¿. ¿ a≠0 Δ=0 ( Δ ' =0 ) ¿{ ¿. ¿ a≠0 ' Δ< 0 ( Δ <0 ) ¿{ ¿. ¿ a≠0 Δ> 0 ( Δ' >0 ) 4. Phương trình bậc hai có hai nghiệm trái dấu : Xét P<0 ¿{{ ¿ ¿ a≠0 ( ' ) 5. Phương trình bậc hai có hai nghiệm cùng dấu : Xét Δ> 0 Δ >0 P>0 ¿{{ ¿. Trang 15.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> Tài liệu ôn thi tuyển sinh lớp 10 ¿ a≠0 Δ> 0 ( Δ' >0 ) 6. Phương trình bậc hai có hai nghiệm cùng dấu âm: Xét P>0 S<0 ¿{{{ ¿ ¿ a≠0 Δ> 0 ( Δ' >0 ) 7. Phương trình bậc hai có hai nghiệm cùng dấu dương: Xét P>0 S>0 ¿{{{ ¿. Trang 16.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> Tài liệu ôn thi tuyển sinh lớp 10 8. Phương trình bậc hai có hai nghiệm đối nhau: Xét. ¿ a≠0 Δ> 0 ( Δ' >0 ) S=0 ¿{{ ¿. B. Bài tập Bài 1: Cho phương trình 2 x 2 +3 x+ 2m −1=0 a. Giải phương trình với m = 1 b. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt Bài 2: Cho phương trình x 2 − ax+ a+1=0 a. Giải phương trình khi a = -1 b. Xác định giá trị của a, biết phương trình có một nghiệm. x 1=. 3 . Với giá trị vừa tìm 2. được của a, hãy tìm nghiệm thứ hai của phương trình Bài 3: Cho phương trình ( m+ 5 ) x 2 +2 ( m− 1 ) x +1=0 a. Giải phương trình khi m = 1 b. Tìm m để phương trình có nghiệm kép c. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt, tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc vào m Bài 4: Cho phương trình ( m− 1 ) x 2 +2 mx +m− 2=0 a. Giải phương trình khi m = 1 b. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt Bài 5: Cho phương trình x 2 − ( m+2 ) x+ m2 − 4=0 Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm kép? Bài 6: Cho phương trình x 2 −2 ( m+1 ) x +m2 − 2 m−3=0 a. Giải phương trình khi m = 1 b. Xác định giá trị của m để phương trình có hai nghiệm trái dấu c. Tìm m để phương trình có một nghiệm bằng 3. Tìm nghiệm kia Bài 7: Cho phương trình x 2 −2 ( m− 1 ) x +m −3=0 Trang 17.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> Tài liệu ôn thi tuyển sinh lớp 10 a. Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m b. Tìm m để phương trình có một nghiệm bằng 3. Tìm nghiệm kia c. Tìm m để phương trình có hai nghiệm đối nhau Bài 8: Cho phương trình x 2 −2 ( a+1 ) x − 3 b=0 a. Giải phương trình với a = b = 1 b. Tìm giá trị của a, b để phương trình có hai nghiệm x 1=0 ; x 2=−2 Bài 9: Cho phương trình x 2 −2 x − 2 m−3=0 a. Giải phương trình khi m = 6 b. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có nghiệm Bài 10: Cho phương trình x 2 −2 x − 3 m2 =0 a. Giải phương trình m = 0. Trang 18. (1).

<span class='text_page_counter'>(19)</span> Tài liệu ôn thi tuyển sinh lớp 10 b. Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu ( m≠ 0 ) luôn có hai nghiệm phân biệt c. Chứng minh phương trình 3 m2 x 2+ 2 x − 1=0 và mỗi nghiệm của nó là nghịch đảo của một nghiệm của phương trình (1) Bài 11: Cho phương trình x 2 −7 x +m=0 a. Giải phương trình khi m = 1 b. Gọi x 1 ; x 2 là các nghiệm của phương trình. Tính A=x 21 + x 22 c. Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu Bài 12: Cho phương trình mx2 −2 ( m− 1 ) x +m=0 a. Giải phương trình khi m = -1 b. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt c. Gọi x2 x1. x1 ; x2. là các nghiệm của phương trình. Hãy lập phương trình nhận. x1 ; x2. làm nghiệm. Bài 13: Cho phương trình x 2 −2 mx +2 m −1=0 a. Giải phương trình với m = 2 b. Chứng tỏ phương trình luôn có nghiệm x 1 ; x 2 với mọi m c. Đặt A=2 ( x 21 + x 22 ) −5 x 1 x 2  Chứng minh A=8 m2 −18 m+9  Tìm m sao cho A = 27 d. Tìm m sao cho phương trình có nghiệm này bằng hai nghiệm kia Bài 14: Cho phương trình x 2 −2 ( m+1 ) x +m2 +3 m+ 2=0 a. Tìm các giá trị của m đê phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt b. Tìm các giá trị của m thoả mãn x 21+ x 22=12 trong đó x 1 ; x 2 là các nghiệm của phương trình Bài 15: Cho phương trình x 2 −2 mx +2 m −5=0 a. Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m b. Tìm điều kiện của m để phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu c. Gọi hai nghiệm của phương trình là x 1 ; x 2 , tìm các giá trị của m để x 21 ( 1 − x 22 ) + x 22 ( 1− x12) =− 8. Bài 16: Cho phương trình x 2 −2 ( m+1 ) x +2 m− 15=0 Trang 19.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> Tài liệu ôn thi tuyển sinh lớp 10 a. Giải phương trình với m = 0 b. Gọi hai nghiệm của phương trình là. x 1 ; x 2 , tìm các giá trị của m thoả mãn. 5 x1 + x 2=4 2 Bài 17: Cho phương trình x −6 x +1=0 . Gọi x 1 ; x 2 là hai nghiệm của phương trình. Không giải phương trình, hãy tính: a. x 21+ x 22 b. x 1 √ x1 + x 2 √ x 2 2 2 x 1 + x 2+ x 1 x2 ( x 1+ x 2 ) c. 2 2 2 2. x 1 ( x 1 −1 ) + x 2 ( x 2 −1 ). Bài 18: Cho phương trình. 2 2 x −5 x+1=0 . Gọi. Trang 20. x1 ; x2. là hai nghiệm của phương trình..

<span class='text_page_counter'>(21)</span> Tài liệu ôn thi tuyển sinh lớp 10 Không giải phương trình, hãy tính: a. x 31+ x 32 b. x 1 √ x1 + x 2 √ x 2 2 2 Bài 19: Cho phương trình x − ( m+1 ) x+ m −2 m+2=0 a. Giải phương trình với m = 2 b. Xác định giá trị của m để phương trình có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó c. Với giá trị nào của m thì x 21+ x 22 đạt giá trị bé nhất, lớn nhất Bài 20: Cho phương trình a. Giải phương trình khi m = 1; n = 3 b. Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m, n c. Gọi x 1 ; x 2 là hai nghiệm của phương trình. Tính x 21+ x 22 theo m,n Bài 21: Cho phương trình Tính giá trị của biểu thức: Bài 22: Cho phương trình. 2 x −5 x+1=0 . Gọi x 1 ; x 2 2 2 2 x1 +2 x 2 −3 x 1 x 2 A= 2 2 x 1 x 2 + x 1 x2 x 2 − ( 2 m+1 ) x +m 2 +m+1=0 2. là hai nghiệm của phương trình.. a. Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m b. Gọi x 1 ; x 2 là hai nghiệm của phương trình. Tìm m sao cho ( 2 x1 − x 2 ) ( 2 x 2 − x 1) đạt giá trị nhỏ nhất và tìm giá trị nhỏ nhất ấy c. Hãy tìm một hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 mà không phụ thuộc vào m Bài 23: Cho phương trình 2 x 2 − ( m+1 ) x +m −1=0 a. b. c. d.. Giải phương trình khi m = 1 Tìm các giá trị của m để hiệu của hai nghiệm bằng tích của chúng Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m Khi phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1 ; x 2 . Hãy tìm một hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 mà không phụ thuộc vào m. Bài 24: Cho phương trình x 2 −2 ( m+1 ) x +m −4=0 a. b. c. d.. Giải phương trình khi m = 2 Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm với mọi m Tìm m để phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu Chứng minh rằng biểu thức M =x 1 ( 1 − x 2 ) + x 2 ( 1 − x 1 ) không phụ thuộc vào m. Bài 25: Cho phương trình x 2+2 mx − 6 m− 9=0 a. Giải phương trình khi m = 1 Trang 21.

<span class='text_page_counter'>(22)</span> Tài liệu ôn thi tuyển sinh lớp 10 b. Tìm m để phương trình có nghiệm x = 2 c. Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm với mọi m d. Tìm m để phương trình luôn có hai nghiệm dương phân biệt e. Tìm m để phương trình luôn có hai nghiệm âm phân biệt f. Tìm m để phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu. Trang 22.

<span class='text_page_counter'>(23)</span> Tài liệu ôn thi tuyển sinh lớp 10 VII. GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH Dạng 1: Toán chuyển động Bài 1: Một ô tô đi từ A đến B dài 120 km trong một thời gian dự định. Sauk hi đi được nửa quảng đường xe tăng vận tốc thêm 10 km/h nên đến B sớm hơn dự định 12 phút. Tính vận tốc dự định Bài 2: Một ô tô đi từ A đến B dài 250 km với một vận tốc dự định. Thực tế xe đã đi hết quãng đường với vận tốc tăng thêm 10 km/h so với vận tốc dự định nên đến B sớm hơn 50 phút. Tính vận tốc dự định Bài 3: Một ô tô đi từ A đến B. Cùng một lúc ô tô thứ hai đi từ B đến A với vận tốc bằng 2 3. vận tốc của ôtô thứ nhất. Sau 5 giờ, chúng gặp nhau. Hỏi mỗi ô tô đi cả quãng đường. AB mất bao lâu? Bài 4: Một ô tô du lịch đi từ A đến C. Cùng một lúc từ địa điểm B nằm trên đoạn đường AC, một ôtô vận tải cùng đi đến C. Sau 5 giờ hai ôtô gặp nhau tại C. Hỏi ôtô du lịch từ A 3. đến B mất bao lâu, biết rằng vận tốc của ôtô vận tải bằng 5 vận tốc của ô tô du lịch Bài 5: Quãng sông từ thành phố A đến thành phố B ngắn hơn đường bộ 10 km. Để đi từ A đến B, ca nô đi hết 3 giờ 20 phút, ô tô đi hết 2 giờ. Vận tốc của ca nô kém vận tốc của ô tô 17 km/h. Tính vận tốc của ca nô Bài 6: Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 50km. Sau đó 1 giờ 30 phút, một người đi xe máy cũng đi từ A và đến B sớm hơn 1 giờ. Tính vận tốc của mỗi xe, biết rằng vận tốc của xe máy gấp 2,5 lần vận tốc xe đạp Bài 7: Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc trung bình 30km/h. Sau khi đến B, người đó nghỉ lại 20 phút rồi quay trở về A với vận tốc trung bình 25 km/h. Tính quãng đường AB biết rằng cả đi lẫn về là 5 giờ 50 phút Bài 8: Một ô tô dự định đi từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc trung bình 40 km/h. Lúc đầu ôtô đi với vận tốc đó, khi còn 60km nữa thì đi được nửa quãng đường AB, người lái xe tăng thêm vận tốc 10 km/h trên quãng đường còn lại, do đó ô tô đến tỉnh B sớm hơn 1 giờ so với dự định. Tính quãng đường AB Bài 9: Một ô tô dự định đi từ A đến B trong 1 thời gian nhất định. Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h thì đến chậm mất 2 giờ. Nếu xe chạy với vận tốc 50km/h thì đến sớm hơn 1 giờ. Tính quãng đường AB và vận tốc dự định lúc đầu Bài 10: Hai ca nô cùng khởi hành từ hai bến A và B cách nhau 85 km và đi ngược chiều nhau. Tính vận tốc riêng của mỗi ca nô, biết rằng vận tốc của canô đi xuôi dòng lớn hơn vận tốc của canô đi ngược dòng là 9km/h và vận tốc dòng nước là 3km/h Bài 11: Mọt chiếc thuyền khởi hành từ một bến sông A. Sau 5 giờ 20 phút. Dạng 2: Toán có nội dung công việc, năng suất, vòi nước cùng chảy. Trang 23.

<span class='text_page_counter'>(24)</span> Tài liệu ôn thi tuyển sinh lớp 10 Bài 9: Hai công nhân cùng làm chung thì hoàn thành 1 công việc trong 4 ngày. Nếu làm riêng thì người thứ nhất làm hoàn thành công việc ít hơn người thứ hai 6 ngày. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người làm hoàn thành công việc trong bao nhiêu ngày? Bài 10: Một đội máy kéo dự định mỗi ngày cày được 40 ha. Khi thực hiện, mỗi ngày đội máy kéo cày được 52 ha. Vì vậy, đội không những đã cày xong trước thòi hạn 2 ngày mà còn cày thêm được 4ha nữa. Tính diện tích thửa ruộng mà đội phải cày theo kế hoạch đã định. Bài 11: Hai tổ công nhân làm chung trong 12 giờ sẽ hoàn thành xong một công việc đã định. Họ làm chung với nhau trong 4 giờ thì tổ thứ nhất được điều đi làm việc khác, tổ thứ hai làm nốt phần việc còn lại trong 10 giờ. Hỏi tổ thứ hai nếu làm một mình thì sau bao lâu sẽ hoàn thành công việc?. 4 Bài 12: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể thì sau 4 5 giờ thì đầy bể. Một giờ lượng 1 nứơc của vòi I chảy được bằng 1 2 lượng nước chảy được của vòi II. Hỏi mỗi vòi chảy riêng thì trong bao lâu sẽ đầy bể Bài 13: Một máy bơm muốn bơm đầy nước vào một bể chứa trong một thời gian quy định. thì mỗi giờ phải bơm được 10m 3. Sauk hi bơm được. 1 3. dung tích bể chứa, người công. nhận vận hành cho máy bơm với công suất lớn hơn. Mỗi giờ bơm được 15 m 3. Do đó bể được bơm đầy trước 48 phút so với thời gian quy định. Tính dung tích của bể chứa. Bài 14: Hai đội xây dựng cùng làm chung một công việc và dự định làm xong trong 12 ngày. Họ cùng làm với nhau được 8 ngày thì đội 1 được điều đi làm công việc khác, còn đội 2 tiếp tục làm. Do cải tiến kĩ thuật, năng suất tăng gấp đôi nên đội 2 đã làm xong phần công việc còn lại trong 3 ngày rưỡi. Hỏi nếu mỗi đội làm một mình thì sau bao nhiêu ngày sẽ làm xong công việc nói trên (với năng suất bình thường) Bài 15: Nếu hai vòi nước cùng chảy vào bể thì sau 1 giờ 20 phút bể đầy. Nếu mở vòi thứ 2. nhất chảy trong 10 phút và vòi thứ hai chảy trong 12 phút thì đầy 15 vòi chảy một mình thì bao lâu mới đầy bể. bể. Hỏi nếu mỗi. Dạng 3: Toán tỉ số và quan hệ giữa các số Bài 16: Cho một số gồm có hai chữ số. Tìm số đó biết rằng tổng hai chữ số của nó nhỏ hơn số đó 6 lând và thêm 25 vào tích của hai chữ số đó sẽ được số viết theo thứ tự ngược lại số đã cho Bài 17: Cho một số gồm có hai chữ số. Tìm số đó biết rằng khi chia số đó cho tổng 2 chữ số của nó thì được thương là 6 và dư 11. Khi chia số đó cho tích 2 chữ số của nó thì được thương là 2 và dư 5 Bài 18: Một hình chữ nhật có chu vi là 280m. Người ta làm một lối đi xung quanh vườn (thuộc đất của vườn) rồng 2 m. Tính kích thước của vườn biết rằng phần đất còn lại để tròng trọt là 4256m2 Trang 24.

<span class='text_page_counter'>(25)</span> Tài liệu ôn thi tuyển sinh lớp 10 B. PHẦN HÌNH HỌC I. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG 1 Hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Đặt AB = c, AC = b, BC = a, AH = h, BH = b’ CH = c’. Ta có: b2=ab '; c 2=ac ' ah=bc h 2=b ' . c ' 1 1 1 = + h2 b 2 c 2 a2=b 2+ c 2. 2. Định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn đôi ; huyên đôi tan α = ; kê sin α =. kê huyên kê cot α = đôi cos α =. 3. Tính chất tỉ số lượng giác của góc nhọn 0. α + β=90 ⇒ sin α =cos β cos α =sin β tan α =cot β cot α =tan β ¿ {{ {. 4.Hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Đặt AB = c, AC = b, BC = a, b=a . sin B=a . cos C Ta có: a. b. c.. II.. c=a. sin C=a . cos B b=c . tan B=c . cot C c=b . tan C=b . cot B b c a= = sin B cos B b c a= = cos C sin B. ĐƯỜNG TRÒN 1. Các định nghĩa. -. -. Đường tròn tâm (O), bán kính R (với R>0) là hình gồm các điểm cách điểm O một khoảng bằng R Tiếp tuyến của đường tròn là đường thẳng chỉ có một điểm chung với đường tròn đó 2. Các định lí Trang 25.

<span class='text_page_counter'>(26)</span> Tài liệu ôn thi tuyển sinh lớp 10 a. – Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền -. Nếu một tam giác có một cạnh là đường kính của đường tròn ngoại tiếp thì tam giác đó là tam giác vuông. b. – đường tròn là hình có tâm đối xứng. Tâm của đường tròn là tâm đối xứng của đường tròn đó – đường tròn là hình có trụ đối xứng. Bất kì đường kính nào cũng là trục đối xứng của đường tròn đó c. Trong các dây của một đường tròn, đường kính là dây lớn nhất d. Trong một đường tròn -. Đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy Đường kính đi qua trung điểm của một dây không phải là đường kính thì vuông góc với dây ấy. e. Trong một đường tròn -. Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm, hai dây cách đều tâm thì bằng nhau Dây lớn hơn thì gần tâm hơn, dây gần tâm hơn thì lớn hơn. f.– Nếu một đường kính là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuôgn góc với bán kính đi qua tiếp điểm – Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm đó thì đường thẳng ấy là tiếp tuyến của đường tròn. g. Nếu hai tiếp tuyến của đường tròn cắt nhau tại một điểm thì: -. Điểm đó cách đều hai tiếp điểm Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến Tia ke từ tâm đi qua điểm đólà tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua tiếp điểm. h. Nếu hai đường tròn cắt nhau thì đường nối tâm là đường trung trực của dây chung III.Góc với đường tròn 1. Các định nghĩa -. Góc ở tâm là góc có đỉnh trùng với tâm của đường tròn Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó Số đo cung lớn bằng hiệu giữa 3600 và số đo cung nhỏ Trang 26.

<span class='text_page_counter'>(27)</span> Tài liệu ôn thi tuyển sinh lớp 10 Số đo của nửa đường tròn bằng 1800 Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường trònvà hai cạnh chứa dây cung của đườngtròn đó Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung là góc có đỉnh tại tiếp điểm, một cạnh là tia tiếp tuyến và cạnh kia chứa dây cung Tứ giác nội tiếp một đường tròn là tứ giác có đỉnh nằm trên một đường tròn 2.Các định lí - Nếu C là một điểm nằm trên cung AB thì sđAB=sđAC+sđCB - Với hai cung nhỏ trong một đường tròn, hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau và ngược lại - Với hai cung nhỏ trong một đường tròn, cung lớn hơn căng dây lớn hơn và ngược lại - Trong một đường tròn hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau - Trong một đường tròn đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm của dây căng cung - Trong một đường tròn đường kính đi qua trung điểm của một dây cung (không phải là đường kính) thì chia cung căng dây ấy thành hai cung bằng nhau. - Số đo của góc nột tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn - Số đo của góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo của cung bị chắn - Trong một đường tròn: + Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau + Các góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau + Các góc nội tiếp chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau + Góc nội tiếp có số đo nhỏ hơn 900 có số đo bằng nửa số đo góc ở tâm chắn cung đó + Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông và ngược lại, góc vuông nội tiếp thì chắn nửa đường tròn + Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau - Số đo của góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo của hai cung bị chắn - Số đo của góc có đỉnh nằm bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo của hai cung bị chắn - Tập hợp các điểm nhìn một đoạn thẳng cho trước dưới một góc α không đổi là hai cung chứa góc α dựng trên đoạn thẳng đó ( 00 < α <90 0 ) - Một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng 180 0 thì nội tiếp được đường tròn và ngược lại - Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp: + Tứ giác có tổng các góc đối bằng 1800 + Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện + Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm (mà ta xác định được) + Tứ giác có hai đỉnh kề nhau nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc α - Hình thang nội tiếp được đường tròn là hình thang cân và ngược lại Trang 27.

<span class='text_page_counter'>(28)</span> Tài liệu ôn thi tuyển sinh lớp 10 - Bất kì một đa giác đều nào cũng có một và chỉ một đường tròn ngoại tiếp có một và chỉ một đường tròn nội tiếp π Rn - Trên đường tròn bán kính R, độ dài l của một cung no được tính theo công thức l=180 πR2 n - Diện tích hình quạt tròn bán kính R, cung n o được tính theo công thức S= S=. lR 2. 360. hay. BÀI TẬP Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, d là tiếp tuyến của đường tròn tại A. Các tiếp tuyến của đường tròn tại B và C cắt d theo thứ tự tại D và E. a. b. c. d.. Tính góc DOE Chứng minh: DE=BD+CE Chứng minh: BD.CE=R2 (R là bán kính đường tròn (O)) Chứng minh BC là tiếp tuyến của đường tròn đường kính DE. Bài 2: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax và By. Qua một điểm M thuộc nửa đường tròn đã cho kẻ thứ ba cắt Ax và By lần lượt ở C và D. Các đường thẳng AD và BC cắt nhau ở N. Chứng minh rằng: a. b. c. d.. CD=AC+BD MN//AC CD.MN=CM.DB Hỏi rằng M ở vị trí nào trên nửa đường tròn đã cho thì tổng AC+BD có giá trị nhỏ nhất. Bài 3: Cho hình vuông ABCD , điểm E thuộc cạnh BC. Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với DE, đường thẳng này cắt các đường thẳng DE và DC thứ tự ở H và K. a. b. c. d.. Chứng minh rằng BHCK là tứ giác nội tiếp Tính góc CHK Chứng minh KC.KD=KH.KB Khi điểm E di chuyển trên cạnh BC thì H di chuyển trên đường nào?. Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A(với AB>AC). Đường cao AH. Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A, vẽ nửa đường tròn đường kính BH cắt AB tại E, nửa đường tròn đường kính HC cắt AC tại F a. Chứng minh tứ giác AFHE là hình chữ nhật b. Chứng minh tứ giác BEFC là tứ giác nội tiếp c. Chứng minh AE.AB=AF.AC Trang 28.

<span class='text_page_counter'>(29)</span> Tài liệu ôn thi tuyển sinh lớp 10 d. Chứng minh rằng FE là tiếp chung của hai nửa đường tròn Bài 5: Cho đường tròn (O;R) có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Trên đoạn AB lấy một điểm M (khác O). Đường thẳng CM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai N. Đường thẳng vuông góc với AB tại M cắt tiếp tuyến tại N của đường tròn tại điểm P. Chứng minh rằng: a. Tứ giác OMPN là tứ giác nội tiếp b. Tứ giác CMPO là hình bình hành c. Tích CM.CN không phụ thuộc vào vị trí điểm M d. Khi M di động trên đoạn thẳng AB thì P chạy trên đường thẳng cố định Bài 6: Cho tam giác ABC vuong tại A. Trên cạnh AC lấy điểm M, dựng đường tròn tâm O đường kính MC. Đường thẳng BM cắt (O) tại D. Đường thẳng AD cắt đường tròn tại S a. Chứng minh ABCD là tứ giác nội tiếp b. CA là phân giác góc SCB c. Gọi E là giao điểm của BC với (O). Chứng minh rằng ba đường thẳng BA, EM, CD đồng quy. Bài 7: Cho tam giác ABC vuông tại A và một điểm D nằm giữa A và B. Đường tròn đường kính BD cắt BC tại E. Các đường thẳng CD, AE lần lượt cắt đường tròn tại điểm thứ hai F, G. Chứng minh: a. Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD b. Tứ giác ADEC và AFBC là tứ giác nội tiếp c. AC // FG d. Các đường thẳng AC, DE, BF đồng quy Bài 8: Cho tam giác đêug ABC có đường cao AH. Trên cạnh BC lấy một điểm M bất kì (M không trùng với các điểm B, C, H). Từ M kẻ MP, MQ thứ tự vuông góc với các cạnh AB, AC. Chứng minh: a. Tứ giác APMQ là tứ giác nội tiếp và hãy xác định tâm O của đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó. b. MP + MQ = AH c. OH vuông góc với PQ Bài 9: Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Trên đoạn thẳng OB lấy điểm H bất kì (H không trùng với O, B); trên đường thẳng vuông góc với OB tại H, lấy một điểm M ở ngoài đường tròn; MA và Mb thứ tự cắt đường tròn đó tại C và D. Gọi I là giao điểm của AD và BC a. Chứng minh tứ giác MCID nội tiếp b. Chứng minh các đường thẳng AD, BC, MH cùng đi qua một điểm c. Gọi K là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MCID, chứng minh KCOH là tứ giác nội tiếp Bài 10: Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Trên đường tròn đó lấy điểm D (D khác A và B). Trên đường kính AB lấy điểm C và kẻ CH vuông góc với AD tại H. Đường phân giác trong của góc DAB cắt đường tròn tại E và cắt CH tại F, đường thẳng DF cắt đường tròn tại N. Chứng minh: Trang 29.

<span class='text_page_counter'>(30)</span> Tài liệu ôn thi tuyển sinh lớp 10 a. Góc ANF = ACF b. Tứ giác AFCN là tứ giác nội tiếp c. Ba điểm C, N, E thẳng hàng Bài 11: Cho đường tròn tâm O và điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Vẽ các tiếp tuyến AB và AC, cát tuyến ADE. Gọi H là trung điểm DE a. b. c. d.. Chứng minh tứ giác BHOC nội tiếp Chứng minh HA là tia phân giác của góc BHC Gọi I là giao điểm của BC và DE. Chứng minh AB2 = AI. AH BH cắt (O) tại K. Chứng minh AE // CK. Bài 12: Hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) (R > R’) tiếp xuc ngoài nhau tại C. Gọi AC và BC là các đường kính đi qua C của (O) và (O’). DE là dây cung của (O) và vuông góc với AB tại trung điểm M của AB. Gọi giao điểm thứ hai của đường thẳng DC với (O’) là F a. b. c. d. e.. Tứ giác AEBD là hình gì? Chứng minh rằng ba điểm B, E, F thẳng hàng Chứng minh tứ giác MDBF nội tiếp DB cắt (O’) tại tại G. Chứng minh DF, EG, AB đồng quy Chứng minh và MF là tiếp tuyến của (O’). Bài 13: Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R. Kẻ tiếp tuyến Bx với nửa đường tròn. C và D là hai điểm di động trên nửa đường tròn. Các tia AC và AD cắt Bx lần lượt tại E và F (F nằm giữa B và E). a. Chứng minh hai tam giác ABF và BDF đồng dạng. b. Chứng minh tứ giác CEFD nội tiếp. c. Khi D và C di động trên nửa đường tròn, chứng tỏ rằng: AC.AE=AD.AF không đổi khi C, D di chuyển trên nửa đường tròn. Bài 14: Cho đường tròn (O). Vẽ hai dây AB và CD vuông góc tại M ở bên trong đường tròn. Từ A vẽ một đường thẳng vuông góc với BC tại H, Cắt CD tại E. F là điểm đối xứng của C qua AB. Tia AF cắt BD tại K. Chứng minh rằng: a. Góc MAH = MCB. b. Tam giác ADE cân. c. Tứ giác AHBK là tứ giác nội tiếp. Bài 15: Cho hình vuông ABCD . Trên hai cạnh CB và CD lần lượt lấy hai điểm di động M và N sao cho CM = CN. Vẽ CF vuông góc với BN tại E (F thuộc AD). a. Chứng minh tứ giác FMCD là hình chữ nhật. b. Chứng minh năm điểm A, B, M, E, F cùng nằm trên một đường tròn. Xác định tâm O của đường tròn đó. c. Đường tròn (O) cắt AC tại điểm thứ hai là I. Chứng minh rằng tam giác ABI vuông cân. d. Tiếp tuyến tại B của đường tròn (O) cắt đường thẳng FI tại K. Chứng minh rằng ba điểm K, C, D thẳng hàng. Trang 30.

<span class='text_page_counter'>(31)</span> Tài liệu ôn thi tuyển sinh lớp 10 Bài 16: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R. C là trung điểm của AO, đường thẳng Cx vuông góc với AB tại C, Cx cắt nửa đường tròn tại I. K là điểm bất kì trên CI (K khác C,I). Tia AK cắt (O) tại M, cắt Cx tại N. Tia BM cắt Cx tại D. a. Chứng minh rằng: 4 điểm A, C, M, D cùng nằm trên một đường tròn. b. Chứng minh rằng tam giác MNK cân c. Tính diện tích tam giác ABD khi K là trung điểm của CI d. Chứng minh rằng: Khi K di động trên CI thì tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AKD nằm trên một đường thẳng cố dịnh. Bài 17: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O). Tia phân giác trong của góc B cắt đường tròn tại D. Tia phân giác trong của góc C cắt đường tròn tại E, hai phân giác này cắt nhau tại F. Gọi I, K theo thứ tự là giao điểm của dây DE với các cạnh AB, AC. a. Chứng minh rằng tam giác EBF cân b. Chứng minh rằng tứ giác DKFC nội tiếp và FK//AB c. Tứ giác AIKF là hình gì? Tại sao? d. Tìm điều kiện của ta giác ABC để tứ giác AIKF là hình thoi, đồng thời có diện tích gấp 3 lần diện tích tứ giác DKFC Bài 18: Cho nửa đường tròn đường kính BC, một điểm A di động trên nửa đường tròn, kẻ AH vuông góc với BC tại H. Đường tròn tâm I đường kính AH cắt nửa đường tròn tâm O tại điểm thứ hai là G, cắt AB, AC lần lượt D và E. a. Chứng minh rằng tứ giác BDEC nội tiếp b. Các tiếp tuyến tại D và E của đường tròn tâm I lần lượt cắt BC tại M, N. Chứng minh rằng. Trang 31.

<span class='text_page_counter'>(32)</span>