THI HSG LOP 9

<span class='text_page_counter'>(1)</span>PHÒNG GD-ĐT CÀNG LONG. ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG. Trường THCS Phương Thạnh. NĂM HỌC 2010-2011 MÔN : TOÁN 9. Đề chính thức. Thời gian làm bài : 120 phút NỘI DUNG ĐỀ. A.PHẦN ĐẠI SỐ: Câu 1 : ( 4điểm ) a/. A  4  10  2 5  4  10  2 5  B. b/.. 2 3 2  2 3. . 2 2. 3 2. 3. . Câu 2 : (3điểm ) . Cho đường thẳng (d) : y = 3x – 5 a) Viết phương trình đường thẳng (d1) song song với (d) và có tung độ góc là 8 . b) Viết phương trình đường thẳng (d2) song song với (d) , cắt Ox tại A , Oy tại B và diện tích tam giác OAB bằng 6 . Câu 3 : ( 4 điểm ) Chứng minh rằng : 2 3 2  2 3. . 2 2. 3 2. 3.  2. Câu 4 : (2điểm ) Giải phương trình : x2 + x + 12 √ x+1 = 36. B. PHẦN HÌNH HỌC: Câu 5 : ( 4điểm ) Cho đường tròn tâm O , cung AB = 720 , C là điểm chính giữa của cung AB . Tia phân giác của góc OAC cắt OC tại E. a) Đặt OA = a ; AC = x . Chứng minh rằng : x2 = a . ( a – x ). b) Tia phân giác của góc AOC cắt AB ở D .Chứng minh rằng :.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> OB2 = AB . DB ;. AC2 = AB . AD .. c) Đặt AB = y . Chứng minh rằng : y2 = a2 + x2 . Câu 6 : ( 3điểm ) Xét tam giác ABC vuông tại A, AB < AC, Cˆ   45 , đường trung tuyến AM, đường cao AH, MA = MB = MC = a. Chứng minh công thức: sin 2 2sin  .cos  . ----------HẾT---------.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN : TOÁN 9 Biểu điểm Câu. Nội dung. Chi tiết. Câu 1 4đ. Tổng điểm 4đ. A  4  10  2 5  4  10  2 5    A  4  10  2 5  4  10  2 5   . 2. 2. 4  10  2 5  2 42  (10  2 5)  4  10  2 5. 8  2 6  2 5 8  2 ( 5  1) 2. 2. 6  2 5  2 Vậy A  6  2 5  ( 5  1)  5  1. B. . 2 3 2  2 3. . 2 2. 3 2. 3. B 2 3 2 3   2 2 42 3 2 4 2 3 . 2 3 2 3  2  ( 3  1) 2  ( 3  1). . 2 3 2 3  3 3 3 3. 2.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> . . (2  3)(3 . 3)  (2  9 3. 3)(3  3). 6  2 3 3 3  36 2 3  3 3  3 6  1 6 6. Vậy B  2 Câu 2a. Vì (d1) song song với (d) : y = 3x – 5 nên phương trình của (d1) là : y = 3x + b ( b - 5 ) , Vì (d1) có tung độ góc là 8 nên b = 8 . Vậy phương trình của ( d1) là : y = 3x + 8 .. 1,5đ. 0,75. 0,75. 3đ. 2b 1,5đ. Vì (d2) song song với (d) nên (d2) : y = 3x + b . Ta tính b . Cho x = 0 thì y = b ⇒ B( 0 ; b ) Cho y = 0 thì x =. −b 3. ⇒. A(. −b 3. ;0).. 0,75. Diện tích tam giác OAB : S=. 1 2. OA . OB =. 1 2. −b 3. | |. . |b| =. b2 6. ..

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Vậy : 6 =. b2 6. ⇔. 36 ⇔ b = ± 6 .. Vậy phương trình (d2) cần tìm là : y = 3x + 6 0,75. Hay y = 3x – 6 Câu 3 4đ. Ta có : 42 3 2 3   2. 2. 3. 4 2 2. . . 3 1. 2. 2. 3  . .. . 3 1 2. 0,5. 2. .. Do đó :. 2 3 2  2 3. . 2 2. . 3 2. 3. . 3 1. 2. . 2. . 3 1 2 2. . . 3 1. . 3 1. 2. 2. 3 2 6.  . 6. . . . 3 1. .  2.. Câu 4 2đ. x2 + x + 12 √ x+1 = 36.. ( x > -1 ).  x2 + 2x –x + 1 – 1 + 12 √ x+1 - 36 = 0. . 2. . 3 1. . . 3 1. 2 2. . 31. 3 2. 3 1 3  1 6 2 3 6. . 0,5. 3 1 2. 2.  . 2. 2. . =2 2 6 2.  . . 3 1. 2. 6 2. 1 0,5. 2. 6. . 31. . 6. . 0,5. 2. . 31. 0,5. 0,5. 4đ.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> 0,5.  ( x + 1 )2 – ( √ x+1 - 6 )2 = 0  (x + 1 - √ x+1 + 6 ) ( x + 1 + √ x+1 - 6 ) = 0 . [( √. . [(. Vì. 2. x +1 ) − √ x+1+ 2. √ x+ 1−. 24 4. ] ( x +1 + √. x+1. 1 23 + [ ( x +1 − 4 ) + ( √ x +1− 2 ) ] 2 4. ]. ). 2. (√ x+1 − 12 ) +234. > 0 . ( với mọi x. -4–2)=0 =0. 2đ -1). 0,5. Còn lại (x + 1 – 4 ) + ( √ x+1 - 2 ) = 0 2. . [ ( √ x+ 1 ) − 4 ]+ ( √ x +1 −2 ). =0.  ( √ x+1 + 2 ) ( √ x+1 - 2 ) + ( √ x+1 -2) = 0  ( √ x+1 - 2 ) ( √ x+1 + 2 + 1 ) = 0  ( √ x+1 - 2 )( √ x+1 + 3 ) = 0. * √ x+1 + 3 = 0. Vô nghiệm . Hoặc *. √ x+1 - 2 = 0. 0,5.  √ x+1 = 2  x=3. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x = 3 . 0,5.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Câu 5 4đ. a) Δ AOC có OA = OC = R => Δ AOC cân tại O 0. =>. 0. 0. = ( 180 – 36 ) : 2 = 72 .. 0,5. * AE là phân giác của góc OAC nên : : 2 = 360 .. 0,5. * Δ OAC và Δ ACE có :. = 360 .. 4đ. là góc chung => Δ OAC ~ Δ ACE ( g . g ) OA. AC. => AC =CE. => AC . AC = OA . CE => AC2 = OA . CE. (1). 0,5. * Δ OAE và Δ ACE là tam giác cân => EO = EA = AC = x mà CE = CO – OE = a – x Thay vào (1) ta được AC2 = OA . CE = OA .( CO – OE ). 0,5. 2. x =a.(a–x).. b) Δ DOB có : = ( 1800 – 720 ) : 2 = 540 ( góc ở đáy của tam giác cân OAB ) .. 0,5.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> 0. = 36 +. 360 2. = 540 , nên Δ BOD. cân tại D .Do đó : Δ DOB ~ Δ OAB ( g . g ) . OB. DB. => OB2 = AB . BD .. => AB =OB Δ ABC ~. (2). Δ ACD ( có Â chung ) , suy ra :. => AC2 = AB . AD .. (3). = AB2 2. 0,5. AC AD = AB AC. c) Từ (2) và (3) suy ra : OB2 + AC2 = AB . ( DB + AD ). 2. 0,5. 0,25 0,25. 2.  a +x =y . 0,5 Câu 6. 3đ A a. B. H. M. a. a. C. 1đ Ta có:. sin  . AH CH ;cos   AC AC. Vì AMH là góc ngoài tại đỉnh M của tam giác cân AMC nên AMH 2.  sin 2 . 1đ AH AH  AM a.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> AH CH 2 AH CH 2sin  cos  2    AC AC AC 2 Do đó:. . 2 AH CH 2 AH AH   sin 2  BC CH 2a a. ----------HẾT----------. 1đ.

<span class='text_page_counter'>(10)</span>