4 dang toan co ban vao lop 1 0

<span class='text_page_counter'>(1)</span>PHßNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO thanh ch¬ng ***    ***. ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN VÀO THPT NĂM HỌC: 2012-2013.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> «n tËp vµo líp 10 n¨m häc 2011-2012 PhÇn 1: C¸c lo¹i bµi tËp vÒ biÓu thøc 5 Bµi 1: Cho biÓu thøc : P= √ a+2 − +¿ √ a+3 a+ √ a −6 a) Rót gän P b) Tìm giá trị của a để P<1. 1 2 − √a. Bµi 2: Cho biÓu thøc: P= 1 − √ x : √ x +3 + √ x +2 + √ x+2 √ x +1 √ x − 2 3− √ x x −5 √ x+ 6 a) Rót gän P b)Tìm giá trị của a để P<0 Bµi 3: Cho biÓu thøc: P= √ x −1 − 1 + 8 √ x : 1− 3 √ x −2 3 √ x − 1 3 √ x+1 9 x −1 3 √ x +1 a) Rót gän P b) Tìm các giá trị của x để P= 6. (. )(. (. ). )(. 5. Bµi 4: Cho biÓu thøc P= 1+ √ a :. (. 1 2√ a − ) ( a+1 √ a −1 a √ a+ √ a −a −1 ). a) Rót gän P b) Tìm giá trị của a để P<1 c) T×m gi¸ trÞ cña P nÕu a=19− 8 √ 3. ).

<span class='text_page_counter'>(3)</span> 1− a ¿2 ¿ √a ¿ ¿. Bµi 5: Cho biÓu thøc: P=. a) Rót gän P b) XÐt dÊu cña biÓu thøc M=a.(P-. 1 2. ). ( √√2xx+1+1 + √√22xx+−√1x −1): (1+ √√2x+x+11 − √√22x+x −1√ x ). Bµi 6: Cho biÓu thøc: P =. a) Rót gän P b) TÝnh gi¸ trÞ cña P khi x ¿ 1 . ( 3+ 2 √ 2 ) 2. Bµi 7: Cho biÓu thøc: P= a) Rót gän P b) Tìm x để P. ( x √ x+2√√xx− x − 1 − √ x1−1 ) :( 1+ x√+1x ). 0. (. Bµi 8: Cho biÓu thøc: P=. 2 a+1 √ a . 1+ √ a3 − √ a − √ a3 a+ √a+ 1 1+ √ a. )(. ). a) Rót gän P b) XÐt dÊu cña biÓu thøc P. √ 1− a Bµi 9: Cho biÓu thøc P= 1:. . ( x √x +2x −1 + x +√√x +1x +1 − √xx+1 −1 ). a) Rót gän P b) So s¸nh P víi 3 Bµi 10: Cho biÓu thøc :. P=. √a − √a ( 1−1−a√√aa + √ a) .( 1+a ) 1+ √ a. a) Rót gän P b) Tìm a để P< 7 − 4 √ 3 Bµi 11: Cho biÓu thøc: P=. ( √2x√+3x + √ x√−3x − 3xx−+39 ) :( 2√√xx−3−2 − 1). a) Rót gän P b) Tìm x để P< 1 2 c) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P Bµi 12: Cho biÓu thøc:. P=. √ x −1 : 9− x − √ x − 3 − √ x − 2 ( x −3 ) ( x+ √ x − 6 2− √ x √ x +3 ) x−9. a) Rót gän P b) Tìm giá trị của x để P<1 Bµi 13: Cho biÓu thøc : P= 15 √ x −11 + 3 √ x −2 − 2 √ x +3 x +2 √ x −3 1− √ x √ x+3 a) Rót gän P b) Tìm các giá trị của x để P= 1 2. c) Chøng minh P 2 3.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Bµi 14: Cho biÓu thøc:. 2 √x √ x − m2 + √ x +m √ x − m 4 x − 4 m2. P=. víi m>0. a) Rót gän P b) Tính x theo m để P=0. c) Xác định các giá trị của m để x tìm đợc ở câu b thoả mãn điều kiện x>1 2 Bµi 15: Cho biÓu thøc P= a + √a − 2 a+ √a +1 a− √ a+1 √a a) Rót gän P b) BiÕt a>1 H·y so s¸nh P víi P c) Tìm a để P=2 d) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P Bµi 16: Cho biÓu thøc P= √ a+1 + √ ab+ √ a −1 : √ a+1 − √ ab+ √ a +1 √ ab+1 √ ab− 1 √ab+ 1 √ab − 1 a) Rót gän P b) TÝnh gi¸ trÞ cña P nÕu a= 2− √ 3 vµ b= √ 3 −1 1+ √ 3 c) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P nÕu √ a+ √ b=4 Bµi 17: Cho biÓu thøc : P= a √ a− 1 − a √ a+1 + √ a − 1 √ a+1 + √ a −1 a − √a a+ √ a √ a √ a− 1 √a+ 1 a) Rót gän P b) Víi gi¸ trÞ nµo cña a th× P=7 c) Víi gi¸ trÞ nµo cña a th× P>6 2 √ a −1 − √ a+1 Bµi 18: Cho biÓu thøc: P= √ a − 1 2 2 √ a √ a+ 1 √ a −1 a) Rót gän P b) Tìm các giá trị của a để P<0 c) Tìm các giá trị của a để P=-2 2 Bµi 19: Cho biÓu thøc P= ( √ a− √ b ) +4 √ ab . a √ b − b √ a √ a+ √ b √ ab a) Tìm điều kiện để P có nghĩa. b) Rót gän P c) TÝnh gi¸ trÞ cña P khi a= 2 √ 3 vµ b= √ 3 x +2 x 1 x −1 Bµi 20: Cho biÓu thøc : P= + √ + :√ 2 x √ x −1 x + √ x +1 1− √ x a) Rót gän P b) Chøng minh r»ng P>0 ∀ x 1 Bµi 21: Cho biÓu thøc : P= 2 √ x + x − 1 : 1 − √ x +2 x √ x −1 √ x −1 x+ √ x +1 a) Rót gän P b) TÝnh √ P khi x= 5+2 √3. (. )(. ). )(. (. (. )(. ). (. (. Bµi 22: Cho biÓu thøc. ). )(. ). 3x P= 1: 1 + 2 − 2 1 : 2+ √ x 4 − x 4 −2 √ x 4 − 2 √ x. (. ). a) Rót gän P b) Tìm giá trị của x để P=20 Bµi 23: Cho biÓu thøc : a) Rót gän P. P=. (. 2. x−y x3 − √ y 3 ( √ x − √ y ) + √ xy +√ : y− x √x −√ y √ x +√ y. ). ).

<span class='text_page_counter'>(5)</span> b) Chøng minh P 0. (. Bµi 24: Cho biÓu thøc P=. 1 3 √ ab + . √ a+ √ b a √ a+ b √ b. ) [(. a) Rót gän P b) TÝnh P khi a=16 vµ b=4. 1 3 √ ab a− b − : √ a − √ b a √ a− b √ b a+ √ ab+b. ). P= 1+ 2 a+ √ a −1 − 2 a √ a − √ a+a . a − √ a 1−a 1 −a √ a 2 √ a −1. (. Bµi 25: Cho biÓu thøc:. ). a) Rót gän P. √ 6 t×m gi¸ trÞ cña a 1+ √ 6 c) Chøng minh r»ng P> 2 b) Cho P=. 3. Bµi 26: Cho biÓu thøc:. P=. ( xx−5−25√ x −1): (25x+2− x√ x −15 − √√ xx +3+5 + √√ xx −5 −3 ). a) Rót gän P b) Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× P<1 Bµi 27: Cho biÓu thøc. P=. (. ( a −1 ) . ( √ a− √ b ) 3 √a 3a 1 − + : a+ √ ab+b a √ a −b √b √ a − √ b 2 a+2 √ ab+2 b. ). a) Rót gän P b) Tìm những giá trị nguyên của a để P có giá trị nguyên 1 1 a+1 √ a+2 Bµi 28: Cho biÓu thøc P= − : √ − a− 1 a a √ √ √ − 2 √ a −1 a) Rót gän P b) Tìm giá trị của a để P> 1 6 Bµi 29: Cho biÓu thøc: 1 1 2 1 1 √ x 3 + y √ x + x √ y +√ y 3 P= + . + + : √ x √ y √ x+ √ y x y √ x 3 y +√ xy3 a) Rót gän P b) Cho x.y=16. Xác định x,y để P có giá trị nhỏ nhất. )(. (. [(. Bµi 30: Cho biÓu thøc :. ). ]. ). P=. √ x3. −. 2x 1− x . x + √ x −2 √ xy −2 √ y 1− √ x. √ xy −2 y a) Rót gän P b) Tìm tất cả các số nguyên dơng x để y=625 và P<0,2. Bµi 31 : 1) §¬n gi¶n biÓu thøc :. P=. 14  6 5  14  6 5. ..  x 2 x  2  x 1    . x  1 x  2 x  1 x  . 2) Cho biÓu thøc : Q= a) Rót gän biÓu thøc Q. b) Tìm x để | Q | > - Q. c) Tìm số nguyên x để Q có giá trị nguyên Híng dÉn : 1. P = 6. ].

<span class='text_page_counter'>(6)</span> 2. a) §KX§ : x > 0 ; x  1. BiÓu thøc rót gän : Q = b) | Q | > - Q ⇔ x > 1. c) x = { 2; 3 } th× Q Z 1 x 1. Bµi 32 : Cho biÓu thøc P = a) Rót gän biÓu thøc sau P.. . 2 x −1. .. x x x. b) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc P khi x = Híng dÉn : a) §KX§ : x > 0 ; x  1. BiÓu thøc rót gän : P = 1x+− 1x . 1 2. 1 2. .. √2. b) Víi x = th× P = - 3 – 2 . x √ x +1 x −1 − Bµi 33 : Cho biÓu thøc : A = x−1 √ x +1 a) Rót gän biÓu thøc sau A. b) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A khi x = 14 c) Tìm x để A < 0. d) Tìm x để | A | = A. Híng dÉn : a) §KX§ : x  0, x  1. BiÓu thøc rót gän : A = b) Víi x = 14 th× A = - 1. c) Víi 0 x < 1 th× A < 0. d) Víi x > 1 th× | A | = A.. √x √x− 1. .. 1  3   1    1  a 3   a  a 3. Bµi 34 : Cho biÓu thøc : A = a) Rót gän biÓu thøc sau A. b) Xác định a để biểu thức A >. 1 2. . Híng dÉn : a) §KX§ : a > 0 vµ a 9. BiÓu thøc rót gän : A =. 2 √a+ 3. .. 1 . 2  x  1 x  1 x 2  4x  1  x  2003    . x  1 x 1 x2  1  x  A= .. b) Víi 0 < a < 1 th× biÓu thøc A >. Bµi 35 : Cho biÓu thøc: 1) Tìm điều kiện đối với x để biểu thức có nghĩa. 2) Rót gän A. 3) Với x  Z ? để A  Z ? Híng dÉn : a) §KX§ : x ≠ 0 ; x ≠ ± 1..

<span class='text_page_counter'>(7)</span> b) BiÓu thøc rót gän : A =. x +2003 x. víi x ≠ 0 ; x ≠. ±. 1.. c) x = - 2003 ; 2003 th× A  Z .. .  x x  1 x x 1  2 x  2 x 1   : x 1 x  x   x x. . Bµi 36 : Cho biÓu thøc: A= a) Rót gän A. b) Tìm x để A < 0. c) Tìm x nguyên để A có giá trị nguyên.. .. Híng dÉn : √ x+1 . √x− 1. a) §KX§ : x > 0 ; x ≠ 1. BiÓu thøc rót gän : A = b) Víi 0 < x < 1 th× A < 0. c) x = { 4 ; 9 } th× A Z..  x2 x 1  x1     : 2  x x  1 x  x 1 1  x . Bµi 37 : Cho biÓu thøc: A = a) Rót gän biÓu thøc A. b) Chøng minh r»ng: 0 < A < 2.. Híng dÉn : 2 a) §KX§ : x > 0 ; x ≠ 1. BiÓu thøc rót gän : A = x + √ x+1 b) Ta xÐt hai trêng hîp : 2 +) A > 0 ⇔ > 0 luôn đúng với x > 0 ; x ≠ 1 (1) +) A < 2 ⇔ th× x > 0. (2). x + √ x+ 1 2 x + √ x+ 1. <2. Bµi 38 : Cho biÓu thøc: P = a) Rót gän P. b) TÝnh gi¸ trÞ cña P víi a = 9.. ⇔. 2(. a 3  a 2. x+ √ x +1. )>2. a1 4 a 4  4 a a 2. Híng dÉn : a) §KX§ : a  0, a 4. BiÓu thøc rót gän : P = b) Ta thÊy a = 9 §KX§ . Suy ra P = 4 Bµi 39 : Cho biÓu thøc: N= 1) Rót gän biÓu thøc N. 2) Tìm giá trị của a để N = -2004.. ⇔. (a. x+ √ x.  0;. 4 √a − 2.  a  a  a  a   1    1   a  1 a  1   . Híng dÉn : a) §KX§ : a  0, a 1. BiÓu thøc rót gän : N = 1 – a . b) Ta thÊy a = - 2004 §KX§ . Suy ra N = 2005.. a. . > 0 đúng vì theo gt. 4).

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Bµi 40 : Cho biÓu thøc P= x √ x+ 26 √ x −19 − 2 √ x + √ x −3 x +2 √ x − 3 √ x − 1 √ x +3 a. Rót gän P. b. TÝnh gi¸ trÞ cña P khi x=7 − 4 √ 3 c. Với giá trị nào của x thì P đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất đó. Híng dÉn : x+16 a ) §KX§ : x  0, x 1. BiÓu thøc rót gän : P= b) Ta thÊy x=7 − 4 √ 3 c) Pmin=4 khi x=4.. §KX§ . Suy ra. Bµi 41 : Cho biÓu thøc. P=. √ x+3 103+3 √ 3 P= 22. ( √2x√+3x + √√x +3x − 3xx+−93 ) :( 2√√xx−3−2 − 1). b. Tìm x để P<− 12 Híng dÉn : a. ) §KX§ : x  0, x 9. BiÓu thøc rót gän : P= a. Rót gän P.. b. Víi 0 ≤ x <9 th× c. Pmin= -1 khi x = 0. Bµi 42: Cho A= a. Rót gän A. P<−. 1 2.  a 1    a1. b. TÝnh A víi a =. 4.   a1 1   4 a  .  a   a 1 a  . . 15 .. 10 . . 6 .. 4  15. −3 √ x+3. víi x>0 ,x 1. . ( KQ : A= 4a ).  x 3 x   9 x x3  1 :     x  9 x  x  6 x  2   . Bµi 43: Cho A= a. Rót gän A. b. x= ? Th× A < 1. c. Tìm x  Z để A  Z. (KQ : A= 15 x  11 3 x  2 2 x  3   x  2 x  3 1 x x 3. Bµi 44: Cho A = a. Rót gän A. b. T×m GTLN cña A. c. Tìm x để A =. c. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P.. 1 2. x  2  x  3 . víi x 0 , x 9, x 4 .. 3 x 2). víi x 0 , x 1..

<span class='text_page_counter'>(9)</span> d. CMR : A. . 2 3. .. (KQ:. A=. x2 x 1 1   x x  1 x  x 1 1  x. Bµi 45: Cho A = a . Rót gän A.. b. T×m GTLN cña A . Bµi 46: Cho A = a . Rót gän A. b. CMR : 0  A 1. x x  x 1. ). víi x 0 , x 1.. ( KQ : x. ). víi x 0 , x 1.. ( KQ : A =. 1 3 2   x 1 x x 1 x  x 1. A=. x x 1 ).  x 5 x   25  x  1  :    x  25 x  2 x  15   Cho A = . Bµi 47: a. Rót gän A. b. Tìm x  Z để. 2 5 x x 3. x 3 x  5   x 5 x  3 . A Z. ( KQ :. A=. 5 x 3 ) 2 a 9  a  5 a 6. Bµi 48: Cho A = a. Rót gän A. b. Tìm a để A < 1 aZ. c. T×m. để. a  3 2 a 1  a  2 3 a. A Z. Bµi 49: Cho A= a. Rót gän A.. x 2 2 x   x  2 x  4 . 1 A. víi x > 0 , x 4.. ( KQ : A =. 3 3  x y x  y   :   x y y x   A =. Bµi50: Cho a. Rót gän A.. a 1 a 3). ( KQ : A =.  x  x 7 1   x 2     :  x  4 x  2 x  2   . b. So s¸nh A víi. víi a 0 , a 9 , a 4.. . x. y. . 2. x y. ( KQ : A =. ).  xy. víi x 0 , y 0, xy. b. CMR : A 0. x 9 6 x. x. xy  y. ). x y.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> x x  1 x x 1  1   x 1 x  1   x     .  x x x x  x  x1 x 1 . Bµi 51 : Cho A = a. Rót gän A.. . Víi x > 0 , x 1.. . 2 x  x 1. b. Tìm x để A = 6.   x 4 3   x 2   :   x x 2 x  2   x  . . Bµi 52 : Cho A = a. Rót gän A b. TÝnh A víi x =. x. ( KQ : A = x   x  2 . . 6 2 5. (KQ:. víi x > 0 , x 4.. A = 1. 1   1 1  1  1     :   1 x 1 x   1 x 1 x  2 x. Bµi 53 : Cho A= a. Rót gän A. ). x). víi x > 0 , x 1. 3. b. TÝnh A víi x =  2 x 1   3  x 1. xZ. (KQ:. 1   x4   :  1   x  1   x  x 1 . Bµi 54 : Cho A= a. Rót gän A. b. T×m. 6 2 5. để. A Z. A=. (KQ:. x x 3). A=. (KQ:.  2 x x 3x  3   2 x  2     1   : x  3 x  9   x  3  x 3 . Bµi 56 : Cho A = . a. Rót gän A..  x 1    x1. víi x 0 , x 1.. A Z. c. Tìm x để A đạt GTNN .. b. Tìm x để A <. ). víi x 0 , x 1..  1   1 2 x 2 2      :    x 1 x x  x  x  1   x  1 x  1 . Bµi 55: Cho A= a. Rót gän A. b. Tìm x  Z để. 2 x. 1 -2. 3 a 3 ). x  1 8 x   x  x 3    : x  1 x  1   x  1. b. TÝnh A víi x =. víi x 0 , x 9. ( KQ : A =. Bµi 57 : Cho A = a. Rót gän A. 6 2 5. A=. x1 x 1 ). 1   x  1 . (KQ:. víi x 0 , x 1. A=. 4 x x4 ).

<span class='text_page_counter'>(11)</span> c . CMR : A 1. Bµi 58 :. 1  x 1  1   : x  1  x  2 x 1  x x. Cho A =. a. Rót gän A b.So s¸nh A víi 1. Bµi 59 :. víi x > 0 , x 1.. (KQ:. A=.  x1 1 8 x   3 x  2     :  1    3 x  1 3 x 1 9x  1   3 x 1 . Cho A = a. Rót gän A.. Víi. x1 x ). x 0, x . 1 9. 6 A=5. b. Tìm x để c. Tìm x để A < 1. ( KQ : A =. x x 3 x1).  x 2 x  2  x 2  2 x 1    . 2  x  1 x  2 x 1 . Bµi 60 : Cho A = víi x 0 , x 1. a. Rót gän A. b. CMR nÕu 0 < x < 1 th× A > 0 c. TÝnh A khi x =3+2 2 d. T×m GTLN cña A (KQ: A = x (1  x ) ) Bµi 61 : Cho A =.  x2 x 1  x1     : 2  x x  1 x  x 1 1  x . víi x 0 , x 1.. a. Rót gän A. b. CMR nÕu x 0 , x 1 th× A > 0 , (KQ: Bµi 62 :. Cho A =.  1 . 4 1  x 2 x  : x 1 x  1  x  1. A=. 2 x  x 1 ). víi x > 0 , x 1, x 4.. a. Rót gän b. Tìm x để A =. 1 2.  x 1 x  2 x  3   x  3 2      :   x 1 x 1   x1   x 1. Bµi 63 : Cho A = a. Rót gän A. b. TÝnh A khi x= 0,36. víi x 0 , x 1..

<span class='text_page_counter'>(12)</span> c. T×m. xZ. để. A Z.  x   x 3 x 2 x 2     1   :    1 x   x  2 3  x x  5 x  6 . Bµi 64 : Cho A= a. Rót gän A. b. Tìm x  Z để A  Z. víi x 0 , x 9 , x 4.. x 2 x 1 ). c. Tìm x để A < 0. (KQ: A = PhÇn 2: C¸c bµi tËp vÒ hÖ ph¬ng tr×nh bËc 2: Bµi 1: Cho ph¬ng tr×nh : m √2 x − ( √2 −1 )2= √ 2 − x +m 2 a) Gi¶i ph¬ng tr×nh khi m=√ 2+1 b) Tìm m để phơng trình có nghiệm x=3 − √ 2 c) Tìm m để phơng trình có nghiệm dơng duy nhất Bµi 2: Cho ph¬ng tr×nh : (x lµ Èn ) ( m− 4 ) x 2 − 2 mx +m− 2=0 a) Tìm m để phơng trình có nghiệm x=√ 2 .Tìm nghiệm còn lại b) Tìm m để phơng trình 2 có nghiệm phân biệt c) TÝnh x 21+ x 22 theo m Bµi 3: Cho ph¬ng tr×nh : 2 (x lµ Èn ) x −2 ( m+1 ) x +m −4=0 a) Tìm m để phơng trình 2 có nghiệm trái dấu b) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n cã 2 nghiÖm ph©n biÖt víi mäi m c) Chøng minh biÓu thøc M= x 1 ( 1 − x 2 ) +x 2 ( 1 − x 1 ) kh«ng phô thuéc vµo m. Bài 4: Tìm m để phơng trình : a) x 2 − x +2 ( m− 1 )=0 cã hai nghiÖm d¬ng ph©n biÖt b) 4 x 2 +2 x+ m−1=0 cã hai nghiÖm ©m ph©n biÖt c) ( m2+1 ) x 2 −2 ( m+1 ) x +2 m−1=0 cã hai nghiÖm tr¸i dÊu Bµi 5: Cho ph¬ng tr×nh : x 2 − ( a− 1 ) x −a 2+ a −2=0 a) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh trªn cã 2 nghiÖm tr¸I dÊu víi mäi a b) Gọi hai nghiệm của phơng trình là x1 và x2 .Tìm giá trị của a để x 21+ x 22 đạt giá trị nhỏ nhÊt Bµi 6: Cho b vµ c lµ hai sè tho¶ m·n hÖ thøc: 1 + 1 = 1 b c. 2. CMR Ýt nhÊt mét trong hai ph¬ng tr×nh sau ph¶i cã nghiÖm. x 2+ bx +c=0 x 2 +cx +b=0. Bµi 7:Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× hai ph¬ng tr×nh sau cã Ýt nhÊt mét nghiÖm sè chung: 2 x 2 − ( 3 m+2 ) x+12=0(1) 4 x 2 − ( 9 m −2 ) x +36=0(2). Bµi 8: Cho ph¬ng tr×nh : 2. 2. 2 x −2 mx+m − 2=0. a) Tìm các giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm dơng phân biệt b) Gi¶ sö ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm kh«ng ©m, t×m nghiÖm d¬ng lín nhÊt cña ph¬ng tr×nh Bµi 9: Cho ph¬ng tr×nh bËc hai tham sè m : 2. x + 4 x +m+ 1=0. a) Tìm điều kiện của m để phơng trình có nghiệm b) T×m m sao cho ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1vµ x2 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn 2. 2. x 1+ x 2=10. Bµi 10: Cho ph¬ng tr×nh.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> x 2 −2 ( m− 1 ) x +2 m− 5=0. a) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm víi mäi m b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cung dấu . Khi đó hai nghiệm mang dấu gì ? Bµi 11: Cho ph¬ng tr×nh x 2 −2 ( m+1 ) x +2 m+ 10=0 (víi m lµ tham sè ) a) Gi¶i vµ biÖn luËn vÒ sè nghiÖm cña ph¬ng tr×nh b) Trong trêng hîp ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt lµ x 1 ; x 2 ; h·y t×m mét hÖ thøc liªn hÖ gi÷a x 1 ; x 2 mµ kh«ng phô thuéc vµo m c) Tìm giá trị của m để 10 x1 x 2+ x 21 + x 22 đạt giá trị nhỏ nhất Bµi 12: Cho ph¬ng tr×nh ( m− 1 ) x 2 − 2 mx+m+1=0 víi m lµ tham sè a) CMR ph¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt ∀ m≠ 1 b) Xác định giá trị của m dể phơng trình có tích hai nghiệm bằng 5, từ đó hãy tính tổng hai nghiªm cña ph¬ng tr×nh c) T×m mét hÖ thøc liªn hÖ gi÷a hai nghiÖm kh«ng phô thuéc vµo m d) Tìm m để phơng trình có nghiệm x 1 ; x 2 thoả mãn hệ thức: x1 x2 5 + + =0 x2 x1 2. Bµi 13: A) Cho ph¬ng tr×nh : 2. (m lµ tham sè) a) Chøng tá r»ng ph¬nh tr×nh cã nghiÖm x 1 ; x 2 víi mäi m ; tÝnh nghiÖm kÐp ( nÕu cã) cña ph¬ng tr×nh vµ gi¸ trÞ cña m t¬ng øng b) §Æt A=x 21 + x 22 − 6 x1 x 2  Chøng minh A=m2 −8 m+8  Tìm m để A=8  T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A vµ gi¸ trÞ cña m t¬ng øng c) T×m m sao cho ph¬ng tr×nh cã nghiÖm nµy b»ng hai lÇn nghiÖm kia B) Cho ph¬ng tr×nh x − mx +m− 1=0. x 2 −2 mx+2 m −1=0. a) Chøng tá r»ng ph¬nh tr×nh cã nghiÖm x 1 ; x 2 víi mäi m. b) §Æt A= 2(x 21+ x22 )− 5 x 1 x2  CMR A= 8 m2 −18 m+9  T×m m sao cho A=27 c)T×m m sao cho ph¬ng tr×nh cã nghiÖm nay b»ng hai nghiÖm kia. Bµi 14: Gi¶ sö ph¬ng tr×nh a . x 2 + bx+ c=0 cã 2 nghiÖm ph©n biÖt x 1 ; x 2 .§Æt S n=x n1 + x n2 nguyªn d¬ng) a) CMR a . S n+2 + bSn+1 +cSn=0 5 5 1+ √5 1− √5 b) ¸p dông TÝnh gi¸ trÞ cña : A= +. (. 2. )(. 2. (n. ). Bµi 15: Cho f(x) = x2 - 2 (m+2).x + 6m+1 a) CMR ph¬ng tr×nh f(x) = 0 cã nghiÖm víi mäi m b) Đặt x=t+2 .Tính f(x) theo t, từ đó tìm điều kiện đối với m để phơng trình nghiÖm lín h¬n 2 Bµi 16: Cho ph¬ng tr×nh :. f(x) = 0 cã 2. x 2 −2 ( m+1 ) x +m 2 − 4 m+5=0. a) Xác định giá trị của m để phơng trình có nghiệm b) Xác định giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt đều dơng c) Xác định giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm có giá trị tuyệt đối bằng nhau và trái dÊu nhau.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> d) Gäi x 1 ; x 2 lµ hai nghiÖm nÕu cã cña ph¬ng tr×nh . TÝnh x 21+ x 22 theo m Bµi 17: Cho ph¬ng tr×nh x 2 − 4 x √ 3+8=0 cã hai nghiÖm lµ x 1 ; x 2 . Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh , h·y tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc : M = Bµi 18: Cho ph¬ng tr×nh. 6 x21 +10 x 1 x 2+6 x22 5 x 1 x 32 +5 x31 x 2. x. x − 2 ( m+2 ) x+ m+1=0 a) Gi¶i ph¬ng tr×nh khi m= 1 2. b) Tìm các giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu c) Gọi x 1 ; x 2 là hai nghiệm của phơng trình . Tìm giá trị của m để : x 1(1 −2 x 2)+ x 2 (1− 2 x 1 )=m. 2. Bµi 19: Cho ph¬ng tr×nh 2. (1) (n , m lµ tham sè)  Cho n=0 . CMR ph¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm víi mäi m  Tìm m và n để hai nghiệm x 1 ; x 2 của phơng trình (1) thoả mãn hệ : x + mx+n −3=0 x1 − x 2=1 x 21 − x 22=7. {. Bµi 20: Cho ph¬ng tr×nh: 2. ( k lµ tham sè) a) CMR ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt víi mäi gi¸ trÞ cña k b) Gäi x 1 ; x 2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh . T×m gi¸ trÞ cña k sao cho x −2 ( k −2 ) x − 2 k − 5=0 2. 2. x 1+ x 2=18. Bµi 21: Cho ph¬ng tr×nh ( 2 m−1 ) x 2 − 4 mx+ 4=0. (1). a) Gi¶i ph¬ng tr×nh (1) khi m=1 b) Gi¶i ph¬ng tr×nh (1) khi m bÊt k× c) Tìm giá trị của m để phơng trình (1) có một nghiệm bằng m Bµi 22:Cho ph¬ng tr×nh : x 2 − ( 2 m− 3 ) x+ m2 −3 m=0. a) CMR ph¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt víi mäi m Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x 1 , x 2 thoả mãn 1< x 1< x 2 <6 Bài tập về hàm số bËc nhÊt Bµi 23: 1) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua hai điểm (1 ; 2) và (-1 ; -4). 2) Tìm toạ độ giao điểm của đờng thẳng trên với trục tung và trục hoành Hớng dẫn : 1) Gọi pt đờng thẳng cần tìm có dạng : y = ax + b. Do đờng thẳng đi qua hai điểm (1 ; 2) và (-1 ; -4) ta có hệ pt :. ¿ 2=a+ b − 4=−a+ b ¿{ ¿. ⇔ a=3 b=−1 ¿{. Vậy pt đờng thẳng cần tìm là y = 3x – 1 2) Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -1 ; Đồ thị cắt trục hoành tại điểm có hoành độ b»ng 1 . 3 Bµi 24 Cho hµm sè y = (m – 2)x + m + 3. 1) Tìm điều kiện của m để hàm số luôn nghịch biến. 2) Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3. 3) Tìm m để đồ thị của hàm số trên và các đồ thị của các hàm số y = -x + 2 ; y = 2x – 1 đồng quy..

<span class='text_page_counter'>(15)</span> Híng dÉn : 1) Hµm sè y = (m – 2)x + m + 3 ⇔ m – 2 < 0 ⇔ m < 2. 2) Do đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3. Suy ra : x= 3 ; y = 0 3. Thay x= 3 ; y = 0 vào hàm số y = (m – 2)x + m + 3, ta đợc m = 4 . 3) Giao điểm của hai đồ thị y = -x + 2 ; y = 2x – 1 là nghiệm của hệ pt : ⇔ (x;y) = (1;1).. ¿ y=− x+2 y=2 x − 1 ¿{ ¿. Để 3 đồ thị y = (m – 2)x + m + 3, y = -x + 2 và y = 2x – 1 đồng quy cần : (x;y) = (1;1) lµ nghiÖm cña pt : y = (m – 2)x + m + 3. Víi (x;y) = (1;1) ⇒ m = − 1 2 B µi 25: Cho hµm sè y = (m – 1)x + m + 3. 1) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + 1. 2) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số đi qua điểm (1 ; -4). 3) Tìm điểm cố định mà đồ thị của hàm số luôn đi qua với mọi m. Híng dÉn : 1) Để hai đồ thị của hàm số song song với nhau cần : m – 1 = - 2 ⇔ m = -1. Vậy với m = -1 đồ thị của hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + 1. 2) Thay (x;y) = (1 ; -4) vào pt : y = (m – 1)x + m + 3. Ta đợc : m = -3. Vậy với m = -3 thì đồ thị của hàm số đi qua điểm (1 ; -4). 3) Gọi điểm cố định mà đồ thị luôn đi qua là M(x0 ;y0). Ta có y0 = (m – 1)x0 + m + 3 ⇔ (x0 – 1)m - x0 - y0 + 3 = 0 ⇔ Vậy với mọi m thì đồ thị luôn đi qua điểm cố định (1;2).. ¿ x 0 =1 y 0=2 ¿{ ¿. Bµ26 : Cho hai ®iÓm A(1 ; 1), B(2 ; -1). 1) Viết phơng trình đờng thẳng AB. 2) Tìm các giá trị của m để đờng thẳng y = (m2 – 3m)x + m2 – 2m + 2 song song với đờng thẳng AB đồng thời đi qua điểm C(0 ; 2). Híng dÉn : 1) Gọi pt đờng thẳng AB có dạng : y = ax + b. Do đờng thẳng đi qua hai điểm (1 ; 1) và (2 ;-1) ta có hệ pt :. ¿ 1=a+ b −1=2a+ b ¿{ ¿. ⇔ a=−2 b=3 ¿{. Vậy pt đờng thẳng cần tìm là y = - 2x + 3. 2) Để đờng thẳng y = (m2 – 3m)x + m2 – 2m + 2 song song với đờng thẳng AB đồng thời đi qua ®iÓm C(0 ; 2) ta cÇn :. ¿ m 2 − 3 m=−2 m2 − 2m+2=2 ¿{ ¿. ⇔. m = 2.. Vậy m = 2 thì đờng thẳng y = (m2 – 3m)x + m2 – 2m + 2 song song với đờng thẳng AB đồng thêi ®i qua ®iÓm C(0 ; 2).

<span class='text_page_counter'>(16)</span> Bµi 27 : Cho hµm sè y = (2m – 1)x + m – 3. 1) Tìm m để đồ thị của hàm số đi qua điểm (2; 5) 2) Chứng minh rằng đồ thị của hàm số luôn đi qua một điểm cố định với mọi m. Tìm điểm cố định ấy. 3) Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x = 2  1 . Híng dÉn : 1) m = 2. 2) Gọi điểm cố định mà đồ thị luôn đi qua là M(x0 ;y0). Ta có. y0 = (2m – 1)x0 + m - 3 ⇔ (2x0 + 1)m - x0 - y0 - 3 = 0 ⇔. Vậy với mọi m thì đồ thị luôn đi qua điểm cố định ( − 1 ; − 5 ). 2 2 Chủ đề : Phơng trình – bất phơng trình bậc nhất một ần HÖ ph¬ng tr×nh bËc nhÊt 2 Èn . A. kiÕn thøc cÇn nhí : 1. Ph¬ng tr×nh bËc nhÊt : ax + b = 0. Ph¬ng ph¸p gi¶i : + NÕu a ≠ 0 ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt : x =. ¿ −1 x0 = 2 −5 y 0= 2 ¿{ ¿. −a . b. + NÕu a = 0 vµ b ≠ 0 ⇒ ph¬ng tr×nh v« nghiÖm. + NÕu a = 0 vµ b = 0 ⇒ ph¬ng tr×nh cã v« sè nghiÖm. 2. HÖ ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn :. ¿ ax + by = c a'x + b'y =c' ¿{ ¿. Ph¬ng ph¸p gi¶i : Sö dông mét trong c¸c c¸ch sau : +) Ph¬ng ph¸p thÕ : Tõ mét trong hai ph¬ng tr×nh rót ra mét Èn theo Èn kia , thÕ vµo ph¬ng trình thứ 2 ta đợc phơng trình bậc nhất 1 ẩn. +) Phơng pháp cộng đại số : - Quy đồng hệ số một ẩn nào đó (làm cho một ẩn nào đó của hệ có hệ số bằng nhau hoặc đối nhau). - Trừ hoặc cộng vế với vế để khử ẩn đó. - Gi¶i ra mét Èn, suy ra Èn thø hai. B. VÝ dô minh häa : VÝ dô 1 : Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau ®©y : x x a) + =2 §S : §KX§ : x ≠ 1 ; x ≠ - 2. S = { 4 } . x-1 x +2 3 b) 2x3 - 1 =2 x + x +1 Gi¶i : §KX§ : x 3+ x +1 ≠ 0. (*) 3 2x - 1 Khi đó : 3 = 2 ⇔ 2x = - 3 x + x +1. ⇔. x = −3 2.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> Víi ⇔ x = − 3 thay vµo (* ) ta cã ( − 3 )3 + − 3 + 1 ≠ 0 2. 2. 2. −3 2. VËy x = lµ nghiÖm. VÝ dô 2 : Gi¶i vµ biÖn luËn ph¬ng tr×nh theo m : (m – 2)x + m2 – 4 = 0 (1) + NÕu m 2 th× (1) ⇔ x = - (m + 2). + NÕu m = 2 th× (1) v« nghiÖm. VÝ dô 3 : T×m m Z để phơng trình sau đây có nghiệm nguyên . (2m – 3)x + 2m2 + m - 2 = 0. Gi¶i : 4 Ta cã : víi m Z th× 2m – 3 0 , v©y ph¬ng tr×nh cã nghiÖm : x = - (m + 2) . 2m - 3 để pt có nghiệm nguyên thì 4 ⋮ 2m – 3 . Giải ra ta đợc m = 2, m = 1. VÝ dô 3 : T×m nghiÖm nguyªn d¬ng cña ph¬ng tr×nh : 7x + 4y = 23. Gi¶i : a) Ta cã : 7x + 4y = 23 ⇔ y = 23 - 7x = 6 – 2x + x − 1 4 4 V× y Z ⇒ x – 1 ⋮ 4. Giải ra ta đợc x = 1 và y = 4 Ph¬ng tr×nh bËc hai định lý viet và ứng dụng A.Kiến thức cần ghi nhớ 1. Để biện luận sự có nghiệm của phương trình : ax2 + bx + c = 0 (1) trong đó a,b ,c phụ thuộc tham số m,ta xét 2 trường hợp a)Nếu a= 0 khi đó ta tìm được một vài giá trị nào đó của m ,thay giá trị đó vào (1).Phương trình (1) trở thành phương trình bậc nhất nên có thể : - Có một nghiệm duy nhất - hoặc vô nghiệm - hoặc vô số nghiệm b)Nếu a 0 Lập biệt số Δ = b2 – 4ac hoặc Δ / = b/2 – ac * Δ < 0 ( Δ / < 0 ) thì phương trình (1) vô nghiệm /. * Δ =0( Δ. b. = 0 ) : phương trình (1) có nghiệm kép x1,2 = - 2 a b❑ (hoặc x1,2 = - a ). * Δ >0( Δ. /. > 0 ) : phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt: − b −√ Δ − b+ √ Δ x = ; x = 1. (hoặc x1 =. 2a − b❑ − √ Δ❑ a. 2. ; x2 =. 2a − b❑+ √ Δ❑ a. ). 2. Định lý Viét. Nếu x1 , x2 là nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a b. S = x 1 + x2 = - a c. p = x1x2 = a. 0) thì.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> Đảo l¹i: Nếu có hai số x1,x2 mà x1 + x2 = S và x1x2 = p thì hai số đó là nghiệm (nếu cã ) cña ph¬ng tr×nh bËc 2: x2 – S x + p = 0 3.DÊu cña nghiÖm sè cña ph¬ng tr×nh bËc hai. Cho phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a 0) . Gọi x1 ,x2 là các nghiệm của ph¬ng tr×nh .Ta cã c¸c kÕt qu¶ sau: x1 vµ x2 tr¸i dÊu( x1 < 0 < x2 ) ⇔ p < 0 ¿ Δ≥0 Hai nghiÖm cïng d¬ng( x1 > 0 vµ x2 > 0 ) ⇔ p>0 S> 0 ¿{{ ¿ ¿ Δ≥0 p>0 Hai nghiÖm cïng ©m (x1 < 0 vµ x2 < 0) ⇔ S< 0 ¿{{ ¿. Mét nghiÖm b»ng 0 vµ 1 nghiÖm d¬ng( x2 > x1 = 0) ⇔. Mét nghiÖm b»ng 0 vµ 1 nghiÖm ©m (x1 < x2 = 0) ⇔. ¿ Δ> 0 p=0 S> 0 ¿{{ ¿ ¿ Δ> 0 p=0 S< 0 ¿{{ ¿. 4.Vài bài toán ứng dụng định lý Viét a)TÝnh nhÈm nghiÖm. XÐt ph¬ng tr×nh bËc hai: ax2 + bx + c = 0 (a 0)  NÕu a + b + c = 0 th× ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1 = 1 , x2 = c. a.  NÕu a – b + c = 0 th× ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1 = -1 , x2 = - c a  NÕu x1 + x2 = m +n , x1x2 = mn vµ Δ ≥ 0 th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x1 = m , x2 = n hoÆc x1 = n , x2 = m b) LËp ph¬ng tr×nh bËc hai khi biÕt hai nghiÖm x1 ,x2 cña nã C¸ch lµm : - LËp tæng S = x1 + x2 - LËp tÝch p = x1x2 - Ph¬ng tr×nh cÇn t×m lµ : x2 – S x + p = 0 c)Tìm điều kiện của tham số để phơng trình bậc 2 có nghệm x1 , x2 thoả mãn điều kiện cho trớc.(Các điều kiện cho trớc thờng gặp và cách biến đổi): *) x12+ x22 = (x1+ x2)2 – 2x1x2 = S2 – 2p *) (x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 – 4x1x2 = S2 – 4p *) x13 + x23 = (x1 + x2)3 – 3x1x2(x1 + x2) = S3 – 3Sp *) x14 + x24 = (x12 + x22)2 – 2x12x22 *). 1 1 x1 + x2 = + = x1 x2 x1 x2. S p.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> *). x1 x2 x1 + x2 = + = x2 x1 x1 x2 2. 2. S 2 −2 p p. *) (x1 – a)( x2 – a) = x1x2 – a(x1 + x2) + a2 = p – aS + a2 *). x + x −2 a 1 1 S − 2a + = 1 2 = x 1 −a x2 −a (x 1 − a)( x2 −a) p − aS+a2. (Chó ý : c¸c gi¸ trÞ cña tham sè rót ra tõ ®iÒu kiÖn cho tríc ph¶i tho¶ m·n ®iÒu kiÖn Δ≥ 0 ) d)Tìm điều kiện của tham số để phơng trình bậc hai có một nghiệm x = x1 cho trớc .Tìm nghiÖm thø 2 C¸ch gi¶i:  Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm x= x1 cho trớc có hai cách làm +) Cách 1:- Lập điều kiện để phơng trình bậc 2 đã cho có 2 nghiệm: Δ≥ 0 (hoÆc Δ❑ ≥ 0 ) (*) - Thay x = x1 vào phơng trình đã cho ,tìm đợc giá trị của tham sè - Đối chiếu giá trị vừa tìm đợc của tham số với điều kiện(*) để kết luận +) C¸ch 2: - Kh«ng cÇn lËp ®iÒu kiÖn Δ≥ 0 (hoÆc Δ❑ ≥ 0 ) mµ ta thay lu«n x = x1 vào phơng trình đã cho, tìm đợc giá trị của tham số - Sau đó thay giá trị tìm đợc của tham số vào phơng trình và gi¶i ph¬ng tr×nh Chú ý : Nếu sau khi thay giá trị của tham số vào phơng trình đã cho mà phơng trình bậc hai này có Δ < 0 thì kết luận không có giá trị nào của tham số để phơng trình có nghiệm x1 cho tríc.  §ª t×m nghiÖm thø 2 ta cã 3 c¸ch lµm +) Cách 1: Thay giá trị của tham số tìm đợc vào phơng trình rồi giải phơng trình (nh cách 2 tr×nh bÇy ë trªn) +) Cách 2 :Thay giá trị của tham số tìm đợc vào công thức tổng 2 nghiệm sẽ tìm đợc nghiÖm thø 2 +) Cách 3: thay giá trị của tham số tìm đợc vào công thức tích hai nghiệm ,từ đó tìm đợc nghiÖm thø 2 B . Bµi tËp ¸p dông Bµi 1: Gi¶i vµ biÖn luËn ph¬ng tr×nh : x2 – 2(m + 1) +2m+10 = 0 Gi¶i. ❑ 2 2 Ta cã Δ = (m + 1) – 2m + 10 = m – 9 + Nếu Δ❑ > 0 ⇔ m2 – 9 > 0 ⇔ m < - 3 hoặc m > 3 .Phơng trình đã cho có 2 nghiÖm ph©n biÖt: x1 = m + 1 - √ m2 −9 x2 = m + 1 + √ m2 −9 + NÕu Δ❑ = 0 ⇔ m = ± 3 - Víi m =3 th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ x1.2 = 4 - Víi m = -3 th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ x1.2 = -2 ❑ + NÕu Δ < 0 ⇔ -3 < m < 3 th× ph¬ng tr×nh v« nghiÖm KÕt kuËn:  Víi m = 3 th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x = 4  Víi m = - 3 th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x = -2  Víi m < - 3 hoÆc m > 3 th× ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt x1 = m + 1 - √ m2 −9 x2 = m + 1 +  Víi -3< m < 3 th× ph¬ng tr×nh v« nghiÖm. √ m2 −9. Bµi 2: Gi¶i vµ biÖn luËn ph¬ng tr×nh: (m- 3) x2 – 2mx + m – 6 = 0.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> Híng dÉn  Nếu m – 3 = 0 ⇔ m = 3 thì phơng trình đã cho có dạng 1 - 6x – 3 = 0 ⇔ x=2 * NÕu m – 3 0 ⇔ m 3 .Phơng trình đã cho là phơng trình bậc hai có biệt số Δ❑ = m2 – (m – 3)(m – 6) = 9m – 18 - NÕu Δ❑ = 0 ⇔ 9m – 18 = 0 ⇔ m = 2 .ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp ❑ x1 = x2 = - b = 2 =-2 a 2 −3 - NÕu Δ❑ > 0 ⇔ m >2 .Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1,2 = m± 3 √ m −2. m −3. - NÕu Δ❑ < 0 ⇔ m < 2 .Ph¬ng tr×nh v« nghiÖm KÕt luËn: Víi m = 3 ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x = - 1 2 Víi m = 2 ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x1 = x2 = -2 Víi m > 2 vµ m 3 ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x1,2 = m± 3 √m −2 m −3 Víi m < 2 ph¬ng tr×nh v« nghiÖm Bµi 3: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau b»ng c¸ch nhÈm nhanh nhÊt a) 2x2 + 2007x – 2009 = 0 b) 17x2 + 221x + 204 = 0 c) x2 + ( √ 3− √ 5 )x - √ 15 = 0 d) x2 –(3 - 2 √ 7 )x - 6 √ 7 = 0 Gi¶i 2 a) 2x + 2007x – 2009 = 0 cã a + b + c = 2 + 2007 +(-2009) = 0 VËy ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt: x1 = 1 , x2 = c = − 2009 a. 2. b) 17x + 221x + 204 = 0 cã a – b + c = 17 – 221 + 204 = 0 VËy ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt: x1 = -1 , x2 = - c =− 204 = - 12 2. a. 17. c) x2 + ( √ 3− √ 5 )x - √ 15 = 0 cã: ac = - √ 15 < 0 . Do đó phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 .áp dụng hệ thức Viet ta có : x1 + x2 = -( √ 3− √ 5 ) = - √ 3 + √ 5 x1x2 = - √ 15 = (- √ 3 ) √ 5 VËy ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm lµ x1 = - √ 3 , x2= √ 5 (hoÆc x1 = √ 5 , x2 = - √ 3 ) 2 d ) x –(3 - 2 √ 7 )x - 6 √ 7 = 0 cã : ac = - 6 √ 7 < 0 Do đó phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 .áp dụng hệ thức Viét ,ta có ¿ x1 + x 2 = 3 - 2 √ 7 x 1 x 2 = - 6 √ 7= 3( -2 √ 7) ¿{ ¿. VËy ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm x1 = 3 , x2 = - 2 √ 7 Bµi 4 : Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau b»ng c¸nh nhÈm nhanh nhÊt (m lµ tham sè).

<span class='text_page_counter'>(21)</span> a) x2 + (3m – 5)x – 3m + 4 = 0 b) (m – 3)x2 – (m + 1)x – 2m + 2 = 0 Híng dÉn : a) x2 + (3m – 5)x – 3m + 4 = 0 cã a + b + c = 1 + 3m – 5 – 3m + 4 = 0 Suy ra : x1 = 2 HoÆc x2 = m+1 3 b) (m – 3)x2 – (m + 1)x – 2m + 2 = 0 (*) * m- 3 = 0 ⇔ m = 3 (*) trë thµnh – 4x – 4 = 0 ⇔ x = - 1. *m–3. 0 ⇔ m. 3 (*). ⇔ x 1=−1 ¿ 2 m− 2 x 2= m −3 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿. Bµi 5: Gäi x1 , x2 lµ c¸c nghÞªm cña ph¬ng tr×nh : x2 – 3x – 7 = 0 a) TÝnh: A = x12 + x22 B = |x 1 − x 2| C=. 1 1 + x 1 −1 x 2 − 1. D = (3x1 + x2)(3x2 + x1). b) lËp ph¬ng tr×nh bËc 2 cã c¸c nghiÖm lµ. 1 x 1 −1. vµ. 1 x 2 −1. Gi¶i ; Ph¬ng tr×nh b©c hai x2 – 3x – 7 = 0 cã tÝch ac = - 7 < 0 , suy ra ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1 , x2 . Theo hÖ thøc ViÐt ,ta cã : S = x1 + x2 = 3 vµ p = x1x2 = -7 a)Ta cã + A = x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2 = S2 – 2p = 9 – 2(-7) = 23 + (x1 – x2)2 = S2 – 4p => B = |x 1 − x 2| = √ S 2 − 4 p=√37 +C=. 1 1 + x 1 −1 x 2 − 1. =. (x1 + x 2) −2 S −2 1 = =− ( x 1 −1)( x 2 − 1) p − S +1 9. + D = (3x1 + x2)(3x2 + x1) = 9x1x2 + 3(x12 + x22) + x1x2 = 10x1x2 + 3 (x12 + x22) = 10p + 3(S2 – 2p) = 3S2 + 4p = - 1 b)Ta cã :. 1 1 1 + =− (theo c©u a) x 1 −1 x 2 − 1 9 1 1 1 = =− p= 9 ( x 1 −1)( x 2 − 1) p − S +1 1 1 VËy vµ lµ nghiÖm cña h¬ng tr×nh : x 1 −1 x 2 −1 X2 – SX + p = 0 ⇔ X2 + 1 X - 1 = 0 ⇔ 9X2 + X - 1 = 0 9 9. S=. Bµi 6 : Cho ph¬ng tr×nh : x2 – ( k – 1)x - k2 + k – 2 = 0 (1) (k lµ tham sè) 1. Chøng minh ph¬ng tr×nh (1 ) lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt víi mäi gi¸ trÞ cña k 2. Tìm những giá trị của k để phơng trình (1) có 2 nghiệm phân biệt trái dấu 3. Gọi x1 , x2 là nghệm của phơng trình (1) .Tìm k để : x13 + x23 > 0.

<span class='text_page_counter'>(22)</span> Gi¶i. 1. Ph¬ng tr×nh (1) lµ ph¬ng tr×nh bËc hai cã: 6 k+ 9 ) Δ = (k -1)2 – 4(- k2 + k – 2) = 5k2 – 6k + 9 = 5(k2 5. = 5(k2 – 2. 3 k + 5. 9 25. 36 ) = 5(k 25. 3 )+ 5. 36 5. 2. 4. 5. + > 0 víi mäi gi¸ trÞ cña k. VËy ph¬ng tr×nh (1) lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt 2. Ph¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm ph©n biÖt tr¸i dÊu ⇔ p < 0 1 k+ 1 + 7 )<0 ⇔ - k2 + k – 2 < 0 ⇔ - ( k2 – 2. 4. -(k - 1 )2 - 7 < 0 luôn đúng với mọi k.Vậy phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt 2 4 tr¸i dÊu víi mäi k 3. Ta cã x13 + x23 = (x1 + x2)3 – 3x1x2(x1 + x2) V× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm víi mäi k .Theo hÖ thøc viÐt ta cã x1 + x2 = k – 1 vµ x1x2 = - k2 + k – 2  x13 + x23 = (k – 1)3 – 3(- k2 + k – 2)( k – 1) = (k – 1) [(k – 1)2 - 3(- k2 + k – 2)] = (k – 1) (4k2 – 5k + 7) = (k – 1)[(2k - 5 )2 + 87 ] ⇔. Do đó x13 + x23 > 0 ⇔ ⇔. 4 16 5 2 (k – 1)[(2k ) + 87 ] > 0 4 16 5 2 k – 1 > 0 ( v× (2k ) + 87 4 16. > 0 víi mäi k) VËy k > 1 lµ gi¸ trÞ cÇn t×m. ⇔ k>1 Bµi 7: Cho ph¬ng tr×nh : x2 – 2( m + 1) x + m – 4 = 0 (1) (m lµ tham sè) 1. Gi¶i ph¬ng tr×nh (1) víi m = -5 2. Chøng minh r»ng pt (1) lu«n cã hai nghiÖm x1 , x2 ph©n biÖt víi mäi m 3. Tìm m để |x 1 − x 2| đạt giá trị nhỏ nhất (x1 , x2 là hao nghiệm của phơng trình (1) nói trong phÇn 2.) Gi¶i 1. Víi m = - 5 ph¬ng tr×nh (1) trë thµnh x2 + 8x – 9 = 0 vµ cã 2 nghiÖm lµ x1 = 1 , x2 = 9 2. Cã Δ❑ = (m + 1)2 – (m – 4) = m2 + 2m + 1 – m + 4 = m2 + m + 5. = m2 + 2.m. 1 + 1 + 19 = (m + 1 )2 + 19 > 0 víi mäi m 2 4 4 2 4 VËy ph¬ng tr×nh (1) lu«n cã 2 nghiÖm ph©n biÖt x1 , x2 3. V× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm víi mäi m ,theo hÖ thøc ViÐt ta cã: x1 + x2 = 2( m + 1) vµ x1x2 = m – 4 Ta cã (x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 – 4x1x2 = 4( m + 1)2 – 4 (m – 4) = 4m2 + 4m + 20 = 4(m2 + m + 5) = 4[(m + 1 )2 + 19 ] 2. => |x 1 − x 2|. 1 19 m+ ¿2+ 2 4 =2 ¿ √¿. 2. √. 19 4. = √ 19. Vậy |x 1 − x 2| đạt giá trị nhỏ nhất bằng √ 19. 4. khi m + 1 = 0 ⇔ m = - 1 2. khi m = - 1 2. Bµi 8 : Cho ph¬ng tr×nh (m + 2) x2 + (1 – 2m)x + m – 3 = 0 (m lµ tham sè). 2.

<span class='text_page_counter'>(23)</span> 1) Gi¶i ph¬ng tr×nh khi m = - 9 2 2) Chứng minh rằng phơng trình đã cho có nghiệm với mọi m 3) T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña m sao cho ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt vµ nghiÖm nµy gÊp ba lÇn nghiÖm kia. Gi¶i: 1) Thay m = - 9 vào phơng trình đã cho và thu gọn ta đợc 2 5x2 - 20 x + 15 = 0 ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1 = 1 , x2= 3 2) + Nếu: m + 2 = 0 => m = - 2 khi đó phơng trình đã cho trở thành; 5x – 5 = 0 ⇔ x = 1 + NÕu : m + 2 0 => m - 2 .Khi đó phơng trình đã cho là phơng trình bậc hai có biÖt sè : Δ = (1 – 2m)2 - 4(m + 2)( m – 3) = 1 – 4m + 4m2 – 4(m2- m – 6) = 25 > 0 Do đó phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 =. 2 m− 1+5 = 2(m+2). 2(m− 3) m− 3 x2 = 2 m− 1− 5 = =. 2 m+4 =1 2 m+4. 2(m+2). 2( m+2). m+2. Tóm lại phơng trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m 3)Theo c©u 2 ta cã m - 2 thì phơng trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.Để nghiệm này gÊp 3 lÇn nghiÖm kia ta sÐt 2 trêng hîp Trờng hợp 1 : 3x1 = x2 ⇔ 3 = m−3 giải ra ta đợc m = - 9 (đã giải ở câu 1) m+2 1= 3. m−3 m+2. 2. 11 Trêng hîp 2: x1 = 3x2 ⇔ ⇔ m + 2 = 3m – 9 ⇔ m = 2 ®iÒu kiÖn m - 2) Kiểm tra lại: Thay m = 11 vào phơng trình đã cho ta đợc phơng trình : 2 15x2 – 20x + 5 = 0 ph¬ng tr×nh nµy cã hai nghiÖm x1 = 1 , x2 = 5 = 1 (tho¶ m·n ®Çu bµi) 15. 3. Bµi 9: Cho ph¬ng tr×nh : mx2 – 2(m-2)x + m – 3 = 0 (1) víi m lµ tham sè . 1. BiÖn luËn theo m sù cã nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) 2. Tìm m để (1) có 2 nghiệm trái dấu. 3. Tìm m để (1) có một nghiệm bằng 3. Tìm nghiệm thứ hai. Gi¶i 1.+ NÕu m = 0 thay vµo (1) ta cã : 4x – 3 = 0 ⇔ x = 3 4. + NÕu m Δ❑ Δ❑. 0 .LËp biÖt sè. Δ❑ = (m – 2)2 – m(m-3). = m2- 4m + 4 – m2 + 3m =-m+4 < 0 ⇔ - m + 4 < 0 ⇔ m > 4 : (1) v« nghiÖm = 0 ⇔ - m + 4 = 0 ⇔ m = 4 : (1) cã nghiÖm kÐp. ❑ x1 = x2 = - b = m−2 = 4 − 2 = 1. a. m. 2. 2. > 0 ⇔ - m + 4 > 0 ⇔ m < 4: (1) cã 2 nghiÖm ph©n biÖt x1 = m−2 − √ − m+ 4 ; x2 = m−2+ √ − m+ 4 m m VËy : m > 4 : ph¬ng tr×nh (1) v« nghiÖm m = 4 : ph¬ng tr×nh (1) Cã nghiÖm kÐp x = 1 Δ❑. 2. (tho¶ m·n.

<span class='text_page_counter'>(24)</span> 0. m < 4 : ph¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm ph©n biÖt: x1 = m−2 − √ − m+ 4 m. ;. x2 = m−2+ √ − m+ 4. m = 0 : Phơng trình (1) có nghiệm đơn x = 3 4 c m−3 2. (1) cã nghiÖm tr¸i dÊu ⇔ <0 ⇔ a m ¿ m− 3>0 ¿ m> 3 m<0 m<0 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ m −3< 0 m<3 ⇔ ⇔ ¿ ¿ m>0 m>0 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ m>3 Trêng hîp m<0 kh«ng tho¶ m·n ¿{ ¿. Trêng hîp. ¿ m<3 m>0 ¿{ ¿. ⇔. m. <0. 0<m<3. 3. *)Cách 1: Lập điều kiện để phơng trình (1) có hai nghiệm 0 ⇔ 0 m 4 (*) (ở câu a đã có) - Thay x = 3 vµo ph¬ng tr×nh (1) ta cã : 9m – 6(m – 2) + m -3 = 0 ⇔ 4m = -9 ⇔ m = - 9 Δ❑. 4 9 - §èi chiÕu víi ®iÒu kiÖn (*), gi¸ trÞ m = tho¶ m·n 4 *) C¸ch 2: Kh«ng cÇn lËp ®iÒu kiÖn Δ❑ 0 mà thay x = 3 vào (1) để tìm đợc m = 9 9 .Sau đó thay m = vào phơng trình (1) : 4 4 - 9 x2 – 2(- 9 - 2)x - 9 - 3 = 0 ⇔ -9x2 +34x – 21 = 0 4 4 4 x 1=3 ¿ 7 x 2= ❑ cã Δ = 289 – 189 = 100 > 0 => 9 ¿ ¿ ¿ ¿ 9 VËy víi m = th× ph¬ng tr×nh (1) cã mét nghiÖm x= 3 4. *)§Ó t×m nghiÖm thø 2 ,ta cã 3 c¸ch lµm.

<span class='text_page_counter'>(25)</span> Cách 1: Thay m = - 9 vào phơng trình đã cho rồi giải phơng trình để tìm đợc x2 = 4 (Nh phần trên đã làm) C¸ch 2: Thay m = - 9 vµo c«ng thøc tÝnh tæng 2 nghiÖm:. 7 9. 4. 9 2(− −2) 2( m−2) 4 34 = = x1 + x2 = m −9 9 4  x2 = 34 - x1 = 34 - 3 = 7 9 9 9. C¸ch 3: Thay m = - 9 vµo c«ng trøc tÝnh tÝch hai nghiÖm 4. x1 x2 =. 9 − −3 m−3 4 21 = = m 9 9 − 4. => x2 = 21 : x1 = 21 9. 9. :3= 7. 9. Bµi 10: Cho ph¬ng tr×nh : x2 + 2kx + 2 – 5k = 0 (1) víi k lµ tham sè 1.Tìm k để phơng trình (1) có nghiệm kép 2. Tim k để phơng trình (1) có 2 nghiệm x1 , x2 thoả mãn điều kiện : x12 + x22 = 10 Gi¶i. ❑ 1.Ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm kÐp ⇔ = 0 ⇔ k2 – (2 – 5k) = 0 Δ ⇔. k2 + 5k – 2 = 0 ( cã Δ = 25 + 8 = 33 > 0 )  k1 = − 5 − √ 33 ; k2 = − 5+ √ 33 2. 2. VËy cã 2 gi¸ trÞ k1 = − 5 − √ 33 2. hoÆc k2 = − 5+ √ 33 th× ph¬ng tr×nh (1) Cã nghiÖm 2. kÐp. 2.Cã 2 c¸ch gi¶i. Cách 1: Lập điều kiện để phơng trình (1) có nghiệm: 0 ⇔ k2 + 5k – 2 0 (*) Δ❑ 2 2 2 Ta cã x1 + x2 = (x1 + x2) – 2x1x2 Theo bµi ra ta cã (x1 + x2)2 – 2x1x2 = 10 Víi ®iÒu kiÖn(*) , ¸p dông hÖ trøc vi Ðt: x1 + x2 = - b =¿ - 2k vµ x1x2 = 2 – 5k a VËy (-2k)2 – 2(2 – 5k) = 10 ⇔ 2k2 + 5k – 7 = 0 (Cã a + b + c = 2+ 5 – 7 = 0 ) => k1 = 1 , k2 = - 7 2. Để đối chiếu với điều kiện (*) ta thay lần lợt k1 , k2 vào Δ❑ = k2 + 5k – 2 + k1 = 1 => Δ❑ = 1 + 5 – 2 = 4 > 0 ; tho¶ m·n + k2 = - 7 => Δ❑ = 49 − 35 −2= 49 −70 −8 =− 29 2 4 2 4 8 VËy k = 1 lµ gi¸ trÞ cÇn t×m. kh«ng tho¶ m·n. C¸ch 2 : Kh«ng cÇn lËp ®iÒu kiÖn Δ❑ 0 .C¸ch gi¶i lµ: Từ điều kiện x12 + x22 = 10 ta tìm đợc k1 = 1 ; k2 = - 7 (cách tìm nh trên) 2 Thay lÇn lît k1 , k2 vµo ph¬ng tr×nh (1).

<span class='text_page_counter'>(26)</span> + Víi k1 = 1 : (1) => x2 + 2x – 3 = 0 cã x1 = 1 , x2 = 3 + Víi k2 = - 7 (1) => x2- 7x + 39 = 0 (cã Δ = 49 -78 = - 29 < 0 ) .Ph¬ng tr×nh v« 2 2 nghiÖm VËy k = 1 lµ gi¸ trÞ cÇn t×m Bµi tËp vÒ pt bËc hai Bµi 1 : Cho ph¬ng tr×nh : x – 6x + 1 = 0, gäi x1 vµ x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh. Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh, h·y tÝnh: 1) x12 + x22 2. 2) x1 x1  x 2 x 2 x12  x 22  x1x x  x1  x 2 . 3) 1  1  2  2  . Bµi 2 : Cho ph¬ng tr×nh: 2x2 – 5x + 1 = 0. x2 x2  1  x2 x2  1. TÝnh x1 x 2  x2 x1 (víi x1, x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh). Bµi 3 : Cho ph¬ng tr×nh bËc hai: x2 – 2(m + 1)x + m2 + 3m + 2 = 0 1) Tìm các giá trị của m để phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt. 2) Tìm giá trị của m thoả mãn x12 + x22 = 12 (trong đó x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình). Bµi 4 : Cho ph¬ng tr×nh: x2 – 2mx + 2m – 5 = 0. 1) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt víi mäi m. 2) Tìm điều kiện của m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu. 3) Gọi hai nghiệm của phơng trình là x1 và x2, tìm các giá trị của m để: x12(1 – x22) + x22(1 – x12) = -8. Bµi 5 : Cho ph¬ng tr×nh: x2 – 2(m + 1)x + 2m – 15 = 0. 1) Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m = 0. 2) Gäi hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ x1 vµ x2. T×m c¸c gi¸ trÞ cña m tho¶ m·n 5x1 + x2 = 4. Baøi 6 : Cho ph¬ng tr×nh: x2 + 4x + 1 = 0 (1) 1) Gi¶i ph¬ng tr×nh (1). 2) Gäi x1, x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1). TÝnh B = x13 + x23. Bµi 7 : Cho ph¬ng tr×nh : x2 - (m + 4)x + 3m + 3 = 0 (m lµ tham sè). a) Xác định m để phơng trình có một nghiệm là bằng 2. Tìm nghiệm còn lại. b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn x13 + x23  0. Bµi 8 : Cho ph¬ng tr×nh: (m – 1)x2 + 2mx + m – 2 = 0 (*) 1) Gi¶i ph¬ng tr×nh khi m = 1. 2) Tìm m để phơng trình (*) có 2 nghiệm phân biệt.. Bµi 9. Cho ph¬ng tr×nh (2m-1)x2-2mx+1=0 Xác định m để phơng trình trên có nghiệm thuộc khoảng (-1,0) Bµi 10: Ph¬ng tr×nh: ( 2m-1)x2-2mx+1=0  XÐt 2m-1=0=> m=1/2 pt trë thµnh –x+1=0=> x=1  Xét 2m-10=> m 1/2 khi đó ta có = m2-2m+1= (m-1)20 mäi m=> pt cã nghiÖm víi mäi m Δ, ta thÊy nghiÖm x=1 kh«ng thuéc (-1,0) 1 víi m 1/2 pt cßn cã nghiÖm x= m−m+1 = 2 m−1. 2 m− 1 1 pt cã nghiÖm trong kho¶ng (-1,0)=> -1< <0 2 m− 1.

<span class='text_page_counter'>(27)</span> ¿ ¿ 1 2m +1> 0 >0 2 m− 1 2 m− 1 => =>m<0 2 m−1<0 2 m− 1<0 ¿{ ¿{ ¿ ¿. VËy Pt cã nghiÖm trong kho¶ng (-1,0) khi vµ chØ khi m<0 PhÇn 3: HÖ ph¬ng tr×nh: Bài53: Tìm giá trị của m để hệ phơng trình ; ( m+1 ) x − y=m+1 x+ ( m−1 ) y=2. {. Cã nghiÖm duy nhÊt tho¶ m·n ®iÒu kiÖn x+y nhá nhÊt Bài 54: Giải hệ phơnh trình và minh hoạ bằmg đồ thị x −| y|=2 | y +1|=x −1 a) |x|+1= y b) c) x y. {. {2 y −5=x. + =1 4 4 Bµi 55: Cho hÖ ph¬ng tr×nh : 2 x+ by=− 4 bx − ay=− 5 a)Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh khi a=|b|. { y =3 x −12. {. b)Xác định a và b để hệ phơng trình trên có nghiệm : * (1;-2) * ( √ 2− 1; √ 2 ) *§Ó hÖ cã v« sè nghiÖm Bµi 56:Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ ph¬ng tr×nh theo tham sè m: − y=2 m {mx 4 x − my=6+ m. Bµi 57: Víi gi¸ trÞ nµo cña a th× hÖ ph¬ng tr×nh :. {axx +ay=1 ·+ y=2 a) Cã mét nghiÖm duy nhÊt b) V« nghiÖm Bµi 58 :Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh sau: x 2 + xy+ y 2 =19 x − xy + y=− 1. {. Bµi 59*: T×m m sao cho hÖ ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm: |x − 1|+| y −2|=1. { Bµi 60 :Gi¶I hÖ ph¬ng tr×nh: {. ( x − y )2 +m ( x − y −1 ) − x + y=0. 2 x 2 − xy+3 y 2=13 x 2 − 4 xy −2 y 2=−6. Bµi 61*: Cho a vµ b tho¶ m·n hÖ ph¬ng tr×nh : 3. 2. a +2 b − 4 b+3=0 2 2 2 a + a b − 2b=0. {. Bµi 61:Cho hÖ ph¬ng tr×nh :. {(a+a .1)x+x −y=ay =3. .TÝnh a2 +b 2.

<span class='text_page_counter'>(28)</span> a) Gi¶i hÖ ph¬ng r×nh khi a=- √ 2 b) Xác định giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất thoả mãn điều kiện x+y>0 Phần 4: Hàm số và đồ thị ¿ ¿ ¿. Bµi 62: Cho hµm sè y= (m-2)x+n (d) Tìm giá trị của m và n để đồ thị (d) của hàm số : a) §i qua hai ®iÓm A(-1;2) vµ B(3;-4) b) Cắt trục tung tại điểm cótung độ bằng 1- √ 2 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ b»ng 2+ √ 2 . c) Cắt đờng thẳng -2y+x-3=0 d) Song song vối đờng thẳng 3x+2y=1 Bµi 63: Cho hµm sè : y=2 x 2 (P) a) Vẽ đồ thị (P) b) Tìm trên đồ thị các điểm cách đều hai trục toạ độ c) Xét số giao điểm của (P) với đờng thẳng (d) y=mx− 1 theo m d) Viết phơng trình đờng thẳng (d') đi qua điểm M(0;-2) và tiếp xúc với (P) Bài 64 : Cho (P) y=x 2 và đờng thẳng (d) y=2 x+ m 1.Xác định m để hai đờng đó : a) Tiếp xúc nhau . Tìm toạ độ tiếp điểm b) Cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B , một điểm có hoành độ x=-1. Tìm hoành độ điểm còn lại . Tìm toạ độ A và B 2.Trong trêng hîp tæng qu¸t , gi¶ sö (d) c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt M vµ N. Tìm toạ độ trung điểm I của đoạn MN theo m và tìm quỹ tích của điểm I khi m thay đổi. Bài 65: Cho đờng thẳng (d) 2(m− 1) x +(m −2) y =2 a) Tìm m để đờng thẳng (d) cắt (P) y=x 2 tại hai điểm phân biệt A và B b) Tìm toạ độ trung điểm I của đoạn AB theo m c) Tìm m để (d) cách gốc toạ độ một khoảng Max d) Tìm điểm cố định mà (d) đi qua khi m thay đổi Bµi 66: Cho (P) y=− x2 a) Tìm tập hợp các điểm M sao cho từ đó có thể kẻ đợc hai đờng thẳng vuông góc với nhau vµ tiÕp xóc víi (P) b) Tìm trên (P) các điểm sao cho khoảng cách tới gốc toạ độ bằng √ 2 Bài 67: Cho đờng thẳng (d) y= 3 x − 3 4 a) VÏ (d) b) Tính diện tích tam giác đợc tạo thành giữa (d) và hai trục toạ độ c) Tính khoảng cách từ gốc O đến (d) Bµi 68: Cho hµm sè y=|x −1| (d) a) Nhận xét dạng của đồ thị. Vẽ đồ thị (d) b) Dùng đồ thị , biện luận số nghiệm của phơng trình |x − 1|=m Bài 69: Với giá trị nào của m thì hai đờng thẳng : (d) y=(m− 1) x+ 2 (d') y=3 x − 1 a) Song song víi nhau b) C¾t nhau c) Vu«ng gãc víi nhau Bài 70: Tìm giá trị của a để ba đờng thẳng : (d 1) y=2 x − 5 (d2 ) y =x+ 2 (d 3 ) y=a . x −12. đồng quy tại một điểm trong mặt phẳng toạ độ. Bài 71: CMR khi m thay đổi thì (d) 2x+(m-1)y=1 luôn đi qua một điểm cố định.

<span class='text_page_counter'>(29)</span> Bài 72: Cho (P) y= 1 x 2 và đờng thẳng (d) y=a.x+b .Xác định a và b để đờng thẳng (d) đI 2 qua ®iÓm A(-1;0) vµ tiÕp xóc víi (P). Bµi 73: Cho hµm sè y=|x −1|+|x +2| a) Vẽ đồ thị hàn số trên b) Dùng đồ thị câu a biện luận theo m số nghiệm của phơng trình |x − 1|+|x +2|=m Bài 74: Cho (P) y=x 2 và đờng thẳng (d) y=2x+m a) VÏ (P) b) Tìm m để (P) tiếp xúc (d) 2. Bµi 75: Cho (P) y=− x vµ (d) y=x+m 4 a) VÏ (P) b) Xác định m để (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B c) Xác định phơng trình đờng thẳng (d') song song với đờng thẳng (d) và cắt (P) tại điẻm có tung độ bằng -4 d) Xác định phơng trình đờng thẳng (d'') vuông góc với (d') và đi qua giao điểm của (d') và (P) Bµi 76: Cho hµm sè y=x 2 (P) vµ hµm sè y=x+m (d) a) T×m m sao cho (P) vµ (d) c¾t nhau t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A vµ B b) Xác định phơng trình đờng thẳng (d') vuông góc với (d) và tiếp xúc với (P) c) ThiÕt lËp c«ng thøc tÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®iÓm bÊt k×. ¸p dông: T×m m sao cho kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®iÓm A vµ B b»ng 3 √ 2 Bài 77: Cho điểm A(-2;2) và đờng thẳng ( d 1 ) y=-2(x+1) a) §iÓm A cã thuéc ( d 1 ) ? V× sao ? b) Tìm a để hàm số y=a. x 2 (P) đi qua A c) Xác định phơng trình đờng thẳng ( d 2 ) đi qua A và vuông góc với ( d 1 ) d) Gäi A vµ B lµ giao ®iÓm cña (P) vµ ( d 2 ) ; C lµ giao ®iÓm cña ( d 1 ) víi trôc tung . T×m toạ độ của B và C . Tính diện tích tam giác ABC Bài 78: Cho (P) y= 1 x 2 và đờng thẳng (d) qua hai điểm A và B trên (P) có hoành độ lầm lợt 4 lµ -2 vµ 4 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (P) của hàm số trên b) Viết phơng trình đờng thẳng (d) c) Tìm điểm M trên cung AB của (P) tơng ứng hoành độ x ∈ [ − 2; 4 ] sao cho tam giác MAB cã diÖn tÝch lín nhÊt. 2. Bµi 79: Cho (P) y=− x vµ ®iÓm M (1;-2) 4 a) Viết phơng trình đờng thẳng (d) đi qua M và có hệ số góc là m b) CMR (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B khi m thay đổi c) Gọi x A ; x B lần lợt là hoành độ của A và B .Xác định m để x 2A x B + x A x 2B đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị đó d) Gäi A' vµ B' lÇn lît lµ h×nh chiÕu cña A vµ B trªn trôc hoµnh vµ S lµ diÖn tÝch tø gi¸c AA'B'B. *TÝnh S theo m *Xác định m để S= 4 (8+ m2 √ m2 +m+2) Bµi 80: Cho hµm sè y=x 2 (P) a) VÏ (P) b) Gọi A,B là hai điểm thuộc (P) có hoành độ lần lợt là -1 và 2. Viết phơng trình đờng th¼ng AB c) Viết phơng trình đờng thẳng (d) song song với AB và tiếp xúc với (P) Bài 81: Trong hệ toạ độ xoy cho Parabol (P) y=− 1 x 2 4.

<span class='text_page_counter'>(30)</span> và đờng thẳng (d) y=mx− 2m −1 a) VÏ (P) b) Tìm m sao cho (P) và (d) tiếp xúc nhau.Tìm toạ độ tiếp điểm c) Chứng tỏ rằng (d) luôn đi qua một điểm cố định Bài 82: Cho (P) y=− 1 x 2 và điểm I(0;-2) .Gọi (d) là đờng thẳng qua I và có hệ số góc m. 4 a) VÏ (P) . CMR (d) lu«n c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A vµ B ∀ m∈ R b) Tìm giá trị của m để đoạn AB ngắn nhất 2. Bài 83: Cho (P) y= x và đờng thẳng (d) đi qua điểm I( 3 ; 1 ) có hệ số góc là m 2 4 a) VÏ (P) vµ viÕt ph¬ng tr×nh (d) b) T×m m sao cho (d) tiÕp xóc (P) c) T×m m sao cho (d) vµ (P) cã hai ®iÓm chung ph©n biÖt 2. Bài 84: Cho (P) y= x và đờng thẳng (d) y=− x + 2 2 4 a) VÏ (P) vµ (d) b) Tìm toạ độ giao điểm của (P) và (d) c) Tìm toạ độ của điểm thuộc (P) sao cho tại đó đờng tiếp tuyến của (P) song song với (d) Bµi 85: Cho (P) y=x 2 a) VÏ (P) b) Gọi A và B là hai điểm thuộc (P) có hoành độ lần lợt là -1 và 2 . Viết phơng trình đờng th¼ng AB c) Viết phơng trình đờng thẳng (d) song song với AB và tiếp xúc với (P) Bµi 86: Cho (P) y=2 x 2 a) VÏ (P) b) Trên (P) lấy điểm A có hoành độ x=1 và điểm B có hoành độ x=2 . Xác định các giá trị của m và n để đờng thẳng (d) y=mx+n tiếp xúc với (P) và song song với AB Bài 87: Xác định giá trị của m để hai đờng thẳng có phơng trình. (d1 ) x + y=m (d 2)mx+ y=1. c¾t nhau. t¹i mét ®iÓm trªn (P) y=− 2 x 2 PhÇn 5: Gi¶i to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh 1. chuyển động Bài 88: Hai tỉnh A và B cách nhau 180 km . Cùng một lúc , một ôtô đi từ A đến B và một xe máy đi từ B về A . Hai xe gặp nhau tại thị trấn C . Từ C đến B ôtô đi hết 2 giờ , còn từ C về A xe máy đi hết 4 giờ 30 phút . Tính vận tốc của mỗi xe biết rằng trên đờng AB hai xe đều chạy với vận tốc không đổi Bài 89: Một ca nô xuôi dòng từ bến A đến bến B rồi lại ngợc dòng từ bến B về bến A mất tất c¶ 4 giê . TÝnh vËn tèc cña ca n« khi níc yªn lÆng ,biÕt r»ng qu·ng s«ng AB dµi 30 km vµ vËn tèc dßng níc lµ 4 km/h. Bài 90: Một ca nô xuôi từ bến A đến bến B với vận tốc 30 km/h , sau đó lại ngựơc từ B trở về A .Thêi gian xu«i Ýt h¬n thêi gian ®i ngîc 1 giê 20 phót . TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a hai bÕn A vµ B biÕt r»ng vËn tèc dßng níc lµ 5 km/h Bài 91: Một ngời chuyển động đều trên một quãng đờng gồm một đoạn đờng bằng và một đoạn đờng dốc . Vận tốc trên đoạn đờng bằng và trên đoạn đờng dốc tơng ứng là 40 km/h và 20 km/h . Biết rằng đoạn đờng dốc ngắn hơn đoạn đờng bằng là 110km và thời gian để ngời đó đi cả quãng đờng là 3 giờ 30 phút . Tính chiều dài quãng đờng ngời đó đã đi..

<span class='text_page_counter'>(31)</span> Bài 92: Một xe tải và một xe con cùng khởi hành từ A đến B . Xe tảI đi với vận tốc 30 Km/h , xe con đi với vận tốc 45 Km/h. Sau khi đi đợc 3 quãng đờng AB , xe con tăng vận 4 tốc thêm 5 Km/h trên quãng đờng còn lại . Tính quãng đờng AB biết rằng xe con đến B sớm h¬n xe t¶i 2giê 20 phót. Bài 93: Một ngời đi xe đạp từ A đến B cách nhau 33 Km với một vận tốc xác định . Khi từ B về A ngời đó đi bằng con đờng khác dài hơn trớc 29 Km nhng với vận tốc lớn hơn vận tốc lóc ®i 3 Km/h . TÝnh vËn tèc lóc ®i , biÕt r»ng thêi gian vÒ nhiÒu h¬n thêi gian ®i lµ 1 giê 30 phót. Bµi 94:Hai ca n« cïng khëi hµnh tõ hai bÕn A, B c¸ch nhau 85 Km ®i ngîc chiÒu nhau . Sau 1h40’ th× gÆp nhau . TÝnh vËn tèc riªng cña mçi ca n« , biÕt r»ng vËn tèc ca n« ®i xu«i lín h¬n vËn tèc ca n« ®i ngîc 9Km/h vµ vËn tèc dßng níc lµ 3 Km/h. Bài 95: Hai địa điểm A,B cách nhau 56 Km . Lúc 6h45phút một ngời đi xe đạp từ A với vận tốc 10 Km/h . Sau đó 2 giờ một ngời đi xe đạp từ B đến A với vận tốc 14 Km/h . Hỏi đến mấy giê hä gÆp nhau vµ chç gÆp nhau c¸ch A bao nhiªu Km ? Bài 96: Một ngời đi xe đạp từ A đến B với vận tốc 15 Km/h . Sau đó một thời gian, một ngời đi xe máy cũng xuất phát từ A với vận tốc 30 Km/h và nếu không có gì thay đổi thì sẽ đuổi kịp ngời đi xe máy tại B . Nhng sau khi đi đợc nửa quãng đờng AB , ngời đi xe đạp giảm bớt vận tốc 3 Km/h nên hai ngòi gặp nhau tại C cách B 10 Km . Tính quãng đờng AB Bài 97: Một ngời đi xe máy từ A đến B với vận tốc trung bình là 30 Km/h . Khi đến B ngời đó nghỉ 20 phút rồi quay trở về A với vận tốc trung bình là 24 Km/h . Tính quãng đờng AB biết r»ng thêi gian c¶ ®i lÉn vÒ lµ 5 giê 50 phót. Bài 98: Một ca nô xuôi từ bến A đến bến B với vận tốc trung bình 30 Km/h , sau đó ng ợc từ B vÒ A . Thêi gian ®i xu«i Ýt h¬n thêi gian ®i ngîc lµ 40 phót . TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a hai bÕn A và B biết rằng vận tốc dòng nớc là 3 Km/h và vận tốc riêng của ca nô là không đổi . Bài 99: Một ô tô dự định đi từ tỉnh A đến tỉnh B với vvận tốc trung bình là 40 Km/h . Lúc đầu ô tô đi với vận tốc đó , khi còn 60 Km nữa thì đợc một nửa quãng đờng AB , ngời lái xe tăng vận tốc thêm 10 Km/h trên quãng đờng còn lại . Do đó ô tô đến tỉnh B sớm hơn 1 giờ so với dự định . Tính quãng đờng AB. Bài 100: Hai ca nô khởi hành cùng một lúc và chạy từ bến A đến bến B . Ca nô I chạy với vận tốc 20 Km/h , ca nô II chạy với vận tốc 24 Km/h . Trên đờng đi ca nô II dừng lại 40 phút , sau đó tiếp tục chạy . Tính chiều dài quãng đờng sông AB biết rằng hai ca nô đến B cùng một lóc . Bài 101: Một ngời đi xe đạp từ A đến B cách nhau 50 Km . Sau đó 1 giờ 30 phút , một ngời đi xe máy cũng đi từ A và đến B sớm hơn 1 giờ . Tính vận tốc của mỗi xe , biết rằng vận tốc của xe máy gấp 2,5 lần vận tốc xe đạp. Bµi 102: Mét ca n« ch¹y trªn s«ng trong 7 giê , xu«i dßng 108 Km vµ ngîc dßng 63 Km. Một lần khác , ca nô đó cũng chạy trong 7 giờ, xuôi dòng 81 Km và ngợc dòng 84 Km . Tính vËn tèc dßng níc ch¶y vµ vËn tèc riªng ( thùc ) cña ca n«. Bµi103: Mét tÇu thuû ch¹y trªn mét khóc s«ng dµi 80 Km , c¶ ®i vµ vÒ mÊt 8 giê 20 phót . TÝnh vËn tèc cña tÇu khi níc yªn lÆng , biÕt r»ng vËn tèc dßng níc lµ 4 Km/h. Bài 104: Một chiếc thuyền khởi hành từ bến sông A . Sau đó 5 giờ 20 phút một chiếc ca nô ch¹y tõ bÕn s«ng A ®uæi theo vµ gÆp chiÕc thuyÒn t¹i mét ®iÓm c¸ch bÕn A 20 Km. Hái vËn tèc cña thuyÒn , biÕt r»ng ca n« ch¹y nhanh h¬n thuyÒn 12 Km/h..

<span class='text_page_counter'>(32)</span> Bài 105: Một ôtô chuyển động đều với vận tốc đã định để đi hết quãng đ ờng dài 120 Km trong một thời gian đã định . Đi đợc một nửa quãng đờng xe nghỉ 3 phút nên để đến nơi đúng giờ , xe phải tăng vận tốc thêm 2 Km/h trên nửa quãng đờng còn lại . Tính thời gian xe lăn bánh trên đờng . Bài 106: Một ôtô dự định đi từ A đén B cách nhau 120 Km trong một thời gian quy định . Sau khi đi đợc 1 giờ ôtô bị chắn đờng bởi xe hoả 10 phút . Do đó , để đến B đúng hạn , xe phải t¨ng vËn tèc thªm 6 Km/h . TÝnh vËn tèc lóc ®Çu cña «t«. Bài107: Một ngời đi xe đạp từ A đến B trong một thời gian đã định . Khi còn cách B 30 Km , ngời đó nhận thấy rằng sẽ đến B chậm nửa giờ nếu giữ nguyên vận tốc đang đi , nhng nếu tăng vận tốc thêm 5 Km/h thì sẽ tới đích sớm hơn nửa giờ .Tính vận tốc của xe đạp tren quãng đờng đã đi lúc đầu. 2. N¨ng xuÊt Bài 108: Hai đội công nhân cùng làm một công việc thì làm xong trong 4 giờ . Nếu mỗi đội làm một mình để làm xong công việc ấy , thì đội thứ nhất cần thời gian ít hơn so với đội thứ hai là 6 giờ . Hỏi mỗi đội làm một mình xong công việc ấy trong bao lâu? Bài 109: Một xí nghiệp đóng giầy dự định hoàn thành kế hoạch trong 26 ngày . Nhng do cải tiến kỹ thuật nên mỗi ngày đã vợt mức 6000 đôi giầy do đó chẳng những đã hoàn thành kế hoạch đã định trong 24 ngày mà còn vợt mức 104 000 đôi giầy . Tính số đôi giầy phải làm theo kÕ ho¹ch. Bài 110: Một cơ sở đánh cá dự định trung bình mỗi tuần đánh bắt đợc 20 tấn cá , nhng đã vợt mức đợc 6 tấn mỗi tuần nên chẳng những đã hoàn thành kế hoạch sớm 1 tuần mà còn vợt mức kế hoạch 10 tấn . Tính mức kế hoạch đã định Bài 111: Một đội xe cần chuyên chở 36 tấn hàng . Trứoc khi làm việc đội xe đó đợc bổ xung thêm 3 xe nữa nên mỗi xe chở ít hơn 1 tấn so với dự định . Hỏi đội xe lúc đầu có bao nhiªu xe ? BiÕt r»ng sè hµng chë trªn tÊt c¶ c¸c xe cã khèi lîng b»ng nhau. Bµi 112: Hai tæ s¶n xuÊt cïng nhËn chung mét møc kho¸n . NÕu lµm chung trong 4 giê tæ 1 và 6 giờ của tổ 2 thì hoàn thành đợc 2 mức khoán . Nếu để mỗi tổ làm riêng thì tổ này sẽ 3 lµm xong møc kho¸n th× mçi tæ ph¶i lµm trong bao l©u ? Bài 113: Hai tổ công nhân làm chung trong 12 giờ sẽ hoàn thành xong công việc đã định . Họ làm chung với nhau trong 4 giờ thì tổ thứ nhất đợc điều đi làm việc khác , tổ thứ hai làm nèt c«ng viÖc cßn l¹i trong 10 giê . Hái tæ thø hai lµm mét m×nh th× sau bao l©u sÏ hoµn thµnh c«ng viÖc. Bµi 114: Hai ngêi thî cïng lµm mét c«ng viÖc trong 16 giê th× xong . NÕu ngêi thø nhÊt làm 3 giờ và ngời thứ hai làm 6 giờ thì họ làm đợc 25% côngviệc . Hỏi mỗi ngời làm công việc đó trong mấy giờ thì xong . 3. ThÓ tÝch Bài 115: Hai vòi nớc cùng chảy vào một cái bể không chứa nớc đã làm đầy bể trong 5 giờ 50 phót . NÕu ch¶y riªng th× vßi thø hai ch¶y ®Çy bÓ nhanh h¬n vßi thø nhÊt lµ 4 giê . Hái nÕu ch¶y riªng th× mçi vßi ch¶y trong bao l©u sÏ ®Çy bÓ ? Bµi 116: Hai vßi níc cïng ch¶y vµo mét c¸i bÓ kh«ng cã níc vµ ch¶y ®Çy bÓ mÊt 1 giê 48 phót . NÕu ch¶y riªng , vßi thø nhÊt ch¶y ®Çy bÓ nhanh h¬n vßi thø hai trong 1 giê 30 phót . Hái nÕu ch¶y riªng th× mçi vßi sÏ ch¶y ®Çy bÓ trong bao l©u ?.

<span class='text_page_counter'>(33)</span> Bài 117: Một máy bơm muốn bơm đầy nớc vào một bể chứa trong một thời gian quy định thì mỗi giờ phải bơm đợc 10 m3 . Sau khi bơm đợc 1 thể tích bể chứa , máy bơm hoạt 3 động với công suất lớn hơn , mỗi giờ bơm đợc 15 m3 . Do vậy so với quy định , bể chứa đợc b¬m ®Çy tríc 48 phót. TÝnh thÓ tÝch bÓ chøa. Bµi upload.123doc.net: NÕu hai vßi níc cïng ch¶y vµo mét c¸i bÓ chøa kh«ng cã níc th× sau 1 giê 30 phót sÏ ®Çy bÓ . NÕu më vßi thø nhÊt trong 15 phót råi kho¸ l¹i vµ më vßi thø hai chảy tiếp trong 20 phút thì sẽ đợc 1 bể . Hỏi mỗi vòi chảy riêng thì sau bao lâu sẽ đầy bể ? 5. Bµi 119: Hai vßi níc cïng ch¶y vµo mét c¸i bÓ chøa kh«ng cã níc th× sau 2 giê 55 phót sÏ ®Çy bÓ . NÕu ch¶y riªng th× vßi thø nhÊt ch¶y ®Çy bÓ nhanh h¬n vßi thø hai 2 giê . Hái nÕu ch¶y riªng th× mçi vßi ch¶y ®Çy bÓ trong bao l©u ? Gi¶I bµi to¸n b»ng c¸ch lËp pt Bài1 : Hai ô tô khởi hành cùng một lúc đi từ A đến B cách nhau 300 km . Ô tô thứ nhất mỗi giờ chạy nhanh hơn ô tô thứ hai 10 km nên đến B sớm hơn ô tô thứ hai 1 giờ . Tính vận tốc mçi xe « t« . Bài 12 : Một ô tô dự định đi từ A đến B với vận tốc 50 km/h. Sau khi đi đợc 2/3 quãng đờng với vận tốc đó, vì đờng khó đi nên ngời lái xe phải giảm vận tốc mỗi giờ 10 km trên quãng đờng còn lại. Do đó ô tô đến B chậm 30 phút so với dự định. Tính quãng đờng AB. Bµi 2 : Hai vßi níc cïng ch¶y vµo bÓ th× sau 4 giê 48 phót th× ®Çy. Nðu ch¶y cïng mét thêi gian nh nhau thì lợng nớc của vòi II bằng 2/3 lơng nớc của vòi I chảy đợc. Hỏi mỗi vòi chảy riªng th× sau bao l©u ®Çy bÓ. Bài 3 : Một ô tô dự định đi từ A đền B trong một thời gian nhất định . Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h thì đến chậm mất 2 giờ . Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì đến sớm hơn 1 giờ . Tính quãng đờng AB và thời gian dự định đi lúc đầu . Bài 4 : Quãng đờng AB dài 180 km. Cùng một lúc hai ôtô khởi hành từ A để đến B. Do vận tốc của ôtô thứ nhất hơn vận tốc của ôtô thứ hai là 15 km/h nên ôtô thứ nhất đến sớm hơn ôtô thø hai 2h. TÝnh vËn tèc cña mçi «t«? Bài 5 : Trong một buổi lao động trồng cây, một tổ gồm 13 học sinh (cả nam và nữ) đã trồng đợc tất cả 80 cây. Biết rằng số cây các bạn nam trồng đợc và số cây các bạn nữ trồng đợc là bằng nhau ; mỗi bạn nam trồng đợc nhiều hơn mỗi bạn nữ 3 cây. Tính số học sinh nam và số häc sinh n÷ cña tæ. Bài 6 : Khoảng cách giữa hai thành phố A và B là 180 km. Một ô tô đi từ A đến B, nghỉ 90 phút ở B rồi trở lại từ B về A. Thời gian từ lúc đi đến lúc trở về là 10 giờ. Biết vận tốc lúc về kÐm vËn tèc lóc ®i lµ 5 km/h. TÝnh vËn tèc lóc ®i cña « t«. Bµi 7 : Mét h×nh ch÷ nhËt cã diÖn tÝch 300m 2. NÕu gi¶m chiÒu réng 3m, t¨ng chiÒu dµi thªm 5m thì ta đợc hình chữ nhật mới có diện tích bằng diện tích hình chữ nhật ban đầu. Tính chu vi cña h×nh ch÷ nhËt ban ®Çu. Bài 8 : Một ca nô xuôi dòng từ bến sông A đến bến sông B cách nhau 24 km, cùng lúc đó cũng từ A một bè nứa trôi với vận tốc dòng nớc 4 km/h. Khi đến B ca nô quay lại ngay và gặp bè nứa trôi tại một địa điểm C cách A là 8 km. Tính vận tốc thực của ca nô. Bµi 9 : Kho¶ng c¸ch gi÷a hai tØnh A vµ B lµ 108 km. Hai « t« cïng khëi hµnh mét lóc ®i tõ A đến B, mỗi giờ xe thứ nhất chạy nhanh hơn xe thứ hai 6 km nên đến B trớc xe thứ hai 12 phút. TÝnh vËn tèc mçi xe. Bµi 10 : Theo kÕ ho¹ch, mét tæ c«ng nh©n ph¶i s¶n xuÊt 360 s¶n phÈm. §Õn khi lµm viÖc, do phải điều 3 công nhân đi làm việc khác nên mỗi công nhân còn lại phải làm nhiều hơn dự định 4 sản phẩm. Hỏi lúc đầu tổ có bao nhiêu công nhân? Biết rằng năng suất lao động của mỗi c«ng nh©n lµ nh nhau. Bài 11: Ba chiếc bình có thể tích tổng cộng 120lít . Nếu đổ đầy nớc vào bình thứ nhất rồi đem rót vào hai bình kia thì hoặc bình thứ 3 đầy nớc, bình thứ 2 chỉ đợc 1/2 thể tích của nó, hoặc bình thứ 2 đầy nớc thì bình thứ 3 chỉ đợc 1/3 thể tích của nó. Tìm thể tích của mỗi bình.

<span class='text_page_counter'>(34)</span> Bài 11 : Hai địa điểm A, B cách nhau 56km. Lúc 6h45' một ngời đi từ A với vận tốc 10km/h. Sau 2h , một ngời đi xe đạp từ B tới A với vận tốc 14km/h . Hỏi đến mấy giờ thì họ gặp nhau, chç gÆp nhau c¸ch A bao nhiªu km Bài 12 : Một ca nô xuôi từ A đến B với vận tốc 30km/h, sau đó ngợc từ B trở về A. Thời gian ®i xu«i Ýt h¬n thêi gian ®i ngîc lµ 40'. TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a A vµ B . BiÕt vËn tèc ca n« kh«ng đổi, vận tốc dòng nớc là 3km/h. Bài 13 : Một ngời đi xe đạp từ A đến B cách nhau 50km. Sau 1h30' một ngời đi xe máy cũng từ A và đến B sớm hơn một giờ. Tính vận tốc của mỗi xe, biết rằng vận tốc xe máy gấp 2.5 lần xe đạp Bài 14 : Một phòng họp có 360 ghế ngồi đợc xếp thành từng hàng và số ghế ở mỗi hàng bằng nhau. NÕu sè hµng t¨ng thªm 1 vµ sè ghÕ ë mçi hµng t¨ng thªm 1 th× trong phßng cã 400 ghÕ. Hái cã bao nhiªu hµng, mçi hµng cã bao nhiªu ghÕ? Bµi 15 : Hai ngêi thî cïng lµm mét c«ng viÖc trong 16 giê th× xong. NÕu ngêi thø nhÊt lµm 3 giờ và ngời thứ 2 làm 6 giờ thì họ làm đợc 25% công việc. Hỏi mỗi ngời làm một mình công việc đó trong mấy giời thì xong?. Bài 16 : Hai vật chuyển động trên một đờng tròn có đờng kính 20m , xuất phát cùng một núc từ cùng một điểm. Nếu chúng chuyển động ngợc chiều nhau thì cứ 2 giây lại gặp nhau. Nếu chúng chuyển động cùng chiều nhauthì cứ sau 10 giây lại gặp nhua. TÝnh vËn tèc cña mçi vËt. Bài 17 : Tháng thứ nhất hai tổ sản xuất đợc 800 sản phẩm. Sang tháng thứ hai tổ 1 vợt 15%.tổ 2 vợt 20%. Do đó cuối tháng cả hai tổ xản xuất đựoc 945 sản phẩm. Tính xem trong tháng thứ nhất mỗi tổ sản xuất đợc bao nhiêu sản phẩm Bµi 18 : Mét khèi líp tæ chøc ®i tham quan b»ng « t«. Mçi xe chë 22 h/s th× cßn thõa 01 h/s. Nếu bớt đi 01 ôtô thì có thể xếp đều các h/s trên các ôtô còn lại. Hỏi lúc đầu có bao nhiêu ôtô, bao nhiªu h/s. Mçi xe chë kh«ng qu¸ 32 h/s. Bài 19 : Một nhà máy dự định sản xuất chi tiết máy trong thời gian đã định và dự định sẽ sản xuất 300 chi tiết máy trong một ngày. Nhng thực tế mỗi ngày đã làm thêm đợc 100 chi tiết, nên đã sản xuất thêm đợc tất cả là 600 chi tiết và hoàn thành kế hoạch trớc 1 ngày Tính số chi tiết máy dự định sản xuất. Bµi 20: Mét ca n« xu«i dßng 42km råi ngîc dßng trë l¹i lµ 20km m¸t tæng céng 5giê. BiÕt vËn tèc cña dßng ch¶y lµ 2km/h. T×m vËn tèc cña ca n« lóc dßng níc yªn lÆng Bài 21: Một đội xe cần chuyên chở 120 tấn hàng. Hôm làm việc có 2 xe phải điều đi nơi khác nên mỗi xe phải chở thêm 16 tấn. Hỏi đội có bao nhiêu xe? Bài 22: Hai ô tô khởi hành cùng một lúc từ địa điểm A đễn địa điểm B. Mỗi giờ ôtô thứ nhất chạy nhanh hơn ôtô thứ hai 12km nên đến địa điểm B trớc ô tô thứ hai 100phút. Tính vận tốc của mỗi ô tô biết quãng đờng AB dài 240km Bµi 23: NÕu më c¶ hai vßi níc ch¶y vµo mÖt bÓ c¹n th× sau 2 giê 55phót bÓ ®Çy bÓ. NÕu më riªng tõng vßi th× vßi thø nhÊt lµm ®Çy bÓ nhanh h¬n vßi thø hai lµ hai giê. Hái nÕu më riªng tõng vßi th× mçi vßi ch¶y bao l©u ®Çy bÓ? Bài 24: Hai tổ học sinh trồng đợc một số cây trong sân trờng. Nếu lấy 5 cây của tổ 2 chuyển cho tổ một thì số cây trồng đợc của cả hai tổ sẽ bằng nhau. Nếu lấy 10 cây của tổ một chuyển cho tổ hai thì số cây trồng đợc của tổ hai sẽ gấp đôi số cây cña tæ mét..

<span class='text_page_counter'>(35)</span> Hỏi mỗi tổ trồng đợc bao nhiêu cây? Bµi 25: Hai « t« A vµ B khëi hµnh cïng mét lóc tõ hai tØnh c¸ch nhau 150km, ®i ngîc chiÒu vµ gÆp nhau sau 2 giê. T×m vËn tèc cña mçi « t«, biÕt r»ng nÕu vËn tèc cña « t« A t¨ng thªm 5km/h vµ vËn tèc « t« B gi¶m 5km/h th× vËn tèc cña « t« A b»ng 2 lÇn vËn tèc cña « t« B. Bài 26: Hai hợp tác xã đã bán cho nhà nớc 860 tấn thóc. Tính số thóc mà mỗi hợp tác xã đã b¸n cho nhµ níc. BiÕt r»ng 3 lÇn sè thãc hîp t¸c x· thø nhÊt b¸n cho nhµ níc nhiÒu h¬n hai lÇn sè thãc hîp t¸c x· thø hai b¸n lµ 280 tÊn PhÇn 6 : H×nh häc. PhÇn 1 : h×nh häc ph¼ng. A. lý thuyÕt: I.§êng trßn: 1,§Þnh nghÜa: Tập hợp các điểm cách điểm 0 cho trớc một khoảng cách R > 0 không đổi gọi là đờng tròn t©m 0 b¸n kÝnh R . KÝ hiÖu : ( 0 ; R) 2, Vị trí tơng đối: * Của một điểm với một đờng tròn : xÐt (0 ; R ) vµ ®iÓm M bÊt k× vị trí tơng đối. HÖ thøc. M n»m ngoµi ( O ; R ). OM > R. M n»m trªn ( O ; R ) hay M thuéc OM = R ( O ; R) M n»m trong ( O ; R ). OM < R. * Của một đờng thẳng với một đờng tròn : xét ( O ; R ) và đờng thẳng a bất kì ( với d là khoảng cách từ tâm O đến đờng thẳng a ) vị trí tơng đối. Sè ®iÓm chung. HÖ thøc. a c¾t ( O ; R ). 2. d<R. a tiÕp xóc ( O ; R ). 1. d=R. a vµ ( O ; R ) kh«ng 0 giao nhau. d>R. * Của hai đờng tròn : xÐt ( O;R) vµ (O’; R’) ( víi d = O O’ ) vị trí tơng đối. Sè ®iÓm chung. HÖ thøc. Hai đờng tròn cắt nhau. 2. R – r < d < R- r. Hai đờng tròn tiếp xúc 1 nhau :.

<span class='text_page_counter'>(36)</span> + tiÕp xóc ngoµi : + tiÕp xóc trong :. d=R+r d=R–r. Haiđờng tròn không 0 giao nhau : +hai đờng tròn ở ngoài nhau : +đờng tròn lớn đựng đờng tròn nhỏ :. d>R+r d < R -r. 3 . Tiếp tuyến của đờng tròn : a. §Þnh nghÜa : đờng thẳng d đợc gọi là tiếp tuyến của một đờng tròn nếu nó chỉ có một điểm chung với đờng đó . b, TÝnh chÊt : + Tính chất 1 : Nếu một đờng thẳng là một tiếp tuyến của một đờng tròn thì nó vuông góc với b¸n kÝnh ®I qua tiÕp ®iÓm . + Tính chất 2 : Nếu hai tiếp tuyến của một đờng tròn cắt nhau tại một điểm thì giao điểm này cách đều hai tiếp điểm và tia kẻ từ giao điểm đó qua tâm đờng tròn là tia phân giác của góc tạo bëi hai tiÕp tuyÕn . c, C¸ch chøng minh :  Cách 1 : chứng minh đờng thẳng đó có một điểm chung với đờng tròn đó .  Cách 2 : chứng minh đờng thẳng đó vuông góc với bán kính của đờng tròn đó tại một điểm và điểm đó thuộc đờng tròn . 4 . Quan hệ giữa đờng kính và dây cung : * §Þnh lÝ 1 : §êng kÝnh vu«ng gãc víi mét d©y cung th× chia d©y cung Êy ra thµnh hai phÇn b»ng nhau . * §Þnh lÝ 2 : §êng kÝnh ®I qua trung ®iÓm cña mét d©y cung kh«ng ®i qua t©m th× vu«ng gãc víi d©y cung Êy. 5 . Quan hệ giữa dây cung và khoảng cách đến tâm : * Định lí 1 : Trong một đờng tròn hai dây cung bằng nhau khi và chỉ khi chúng cách đều tâm . * Định lí 2 : Trong hai dây cung không bằng nhau của một đờng tròn, dây cung lớn hơn khi và chØ khi nã gÇn t©m h¬n . II. Góc trong đờng tròn: 1, Các loại góc trong đờng tròn: - Gãc ë t©m - Gãc néi tiÕp - Góc có đỉnh ở bên trong hay bên ngoài đờng tròn - Gãc t¹o bëi tia tiÕp tuyÕn vµ d©y cung 2, Mèi quan hÖ gi÷a cung vµ d©y cung: * Định lí 1: Đối với hai cung nhỏ trong một đờng tròn: a, Hai cung b»ng nhau c¨ng hai d©y b»ng nhau.

<span class='text_page_counter'>(37)</span> b, §¶o l¹i, hai d©y b»ng nhau tr¬ng hai cung b»ng nhau. * Định lí 2: Đối với hai cung nhỏ trong một đờng tròn: a, Cung lín h¬n c¨ng d©y lín h¬n b, D©y lín h¬n tr¬ng cung lín h¬n. 3, Tø gi¸c néi tiÕp: a, §Þnh nghÜa: Tứ giác nội tiếp một đờng tròn là tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đờng tròn . Đơng tròn đó đợc gọi là đờng tròn ngoại tiếp tứ giác. b, C¸ch chøng minh : * Cách 1: chứng minh bốn đỉnh của tứ giác cùng thuộc một đờng tròn * Cách 2: chứng minh tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng 1800 * Cách 3: chứng minh tứ giác có hai đỉnh kề nhau nhìn cạnh đối diện dới cùng một góc. B. Bµi tËp: Bài 1: Cho tam giác ABC ( Â= 1v ), đờng cao AH. Đờng tròn đờng kính AH cắt các cạnh AB, AC lÇn lît t¹i E vµ F. a. CM: tø gi¸c AEHF lµ h×nh ch÷ nhËt. b. CM: tø gi¸c EFCB néi tiÕp. c. §êng th¼ng qua A vu«ng gãc víi EF c¾t BC t¹i I. Chøng minh I lµ trung ®iÓm cña BC. d. CMR: NÕu S ABC = 2. S AEHF th× tam gi¸c ABC vu«ng c©n. Bài 2: Cho tam giác ABC ( AB> AC ) nội tiếp (O). Vẽ đờng phân giác của góc  cắt (O) tại M. Nèi OM c¾t BC t¹i I. 1. Chøng minh tam gi¸c BMC c©n. 2. Chøng minh: gãc BMA < gãc AMC. 3. Chøng minh: ¿❑ gãc ABC + gãc ACB = gãc BMC. 4. §êng cao AH vµ BP cña tam gi¸c ABC c¾t nhau t¹i Q. Chøng minh OH // AH. 5. Trªn AH lÊy ®iÓm D sao cho AD = MO. Tø gi¸c OMDA lµ h×nh g×? 6. Chøng minh AM lµ ph©n gi¸c cña gãc OAH. 7. OM kÐo dµi c¾t (O) t¹i N. VÏ OE vu«ng gãc víi NC. Chøng minh OE= 1 MB . 2. 8. Chứng minh tứ giác OICE nội tiếp. Xác định tâm của đờng tròn ngoại tiếp tứ giác OICE. 9. Chøng minh c¸c tø gi¸c ABHP vµ QPCH néi tiÕp. 10.Tõ C vÏ tiÕp tuyÕn cña (O) c¾t BM kÐo dµi t¹i K. Chøng minh CM lµ ph©n gi¸c cña gãc BCK. 11. So s¸nh c¸c gãc KMC vµ KCB víi gãc A. 12.Từ B vẽ đờng thẳng song song với OM cắt CM tại S. Chứng minh tam giác BMS cân tại M. 13.13.Chøng minh gãc S = gãc EOI – gãc MOC. 14.Chøng minh gãc SBC = gãc NCM. 15.Chøng minh gãc ABF = gãc AON..

<span class='text_page_counter'>(38)</span> 16.Tõ A kÎ AF // BC, F thuéc (O). Chøng minh BF = CA. Bài 3: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Đờng tròn tâm O đờng kính BC cắt AB, AC theo thứ tù t¹i D, E. Gäi I lµ giao ®iÓm cña BE vµ CD. 1. Chøng minh AI vu«ng gãc víi BC. 2. Chøng minh gãc IDE = gãc IAE. 3. Chøng minh : AE . EC = BE . EI. 4. Cho góc BAC = 600 . Chứng minh tam giác DOE đều. Bµi 4: Cho tam gi¸c ABC nhän néi tiÕp (O). §êng cao AH cña tam gi¸c ABC c¾t (O) t¹i D , AO kÐo dµi c¾t (O) t¹i E. a. Chøng minh tø gi¸c BDEC lµ h×nh thang c©n. b. Gäi M lµ ®iÓm ch×nh gi÷a cña cung DE, OM c¾t BC t¹i I. Chøng minh I lµ trung ®iÓm cña BC. c. TÝnh b¸n kÝnh cña (O) biÕt BC = 24 cm vµ IM = 8 cm. Bài 5: Trên nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB lấy hai điểm M và N sao cho các cung AM, MN, NB b»ng nhau. Gäi P lµ giao ®iÓm cña AM vµ BN, H lµ giao ®iÓm cña AN víi BM. CMR: a. Tø gi¸c AMNB lµ h×nh thang c©n. b. PH ┴ AB. Từ đó suy ra P, H, O thẳng hàng. c. ON là tiếp tuyến của đờng tròn đơnngf kính PH. Bµi 6: Cho (O, R) , d©y cung AB < 2R. Gäi M lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung nhá AB. KÎ hai d©y MC, MD lÇn lît c¾t AB t¹i E vµ F. CMR: a. Tam giác MAE và MCA đồng dạng. b. ME . MC = MF . MD. c. Tø gi¸c CEFD néi tiÕp. d. Khi AB=R √ 3 thì tam giác OAM đều. Bài 7: Cho tam giác ABC vuông cân tại A ( AB > AC ), đờng cao AH. Vẽ đờng tròn tâm I đờng kính BH cắt AB tại E, đờng tròn tâm K đờng kính CH cắt AC tại F. a. Tø gi¸c AEHF lµ h×nh g×? b. Chøng minh tø gi¸c BEFC néi tiÕp. c. Chøng minh AE . AB = AF . AC. d. Chømg minh EF lµ tiÕp tuyÕn chung cña (O) vµ (I). e. Gọi Ax là tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh Ax // EF. Bài 8: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Điểm D thuộc AB. Qua B vẽ đờng thẳng vuông góc với CD tại H, đờng thẳng BH cắt CA tại E. a. Chøng minh tø gi¸c AHBC néi tiÕp. b. TÝnh gãc AHE..

<span class='text_page_counter'>(39)</span> c. Chứng minh tam giác EAH và EBC đồng dạng. d. Chøng minh AD = AE. e. Khi điểm D di chuyển trên cạnh AB thì điểm H di chuyển trên đờng nào? Bài 9: Tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn đờng kính AC ( AB > BC ; AD > CD ). Gọi E là giao ®iÓm cña AB vµ CD, F lµ giao ®iÓm cña AD vµ BC. Chøng minh r»ng: a. EF ┴ AC b. DA . DF = DC . DE c. Tø gi¸c BDFE néi tiÕp. Bài 10: Cho đờng tròn tâm O đờng kính BC, điểm A thuộc (O). Vẽ bán kính OK // BA ( K và A nằm cùng phía đối với BC ). Tiếp tuyến với đờng tròn (O) tại C cắt OK tại I. a. Chøng minh IA lµ tiÕp tuyÕn cña (O). b. Chøng minh CK lµ tia ph©n gi¸c cña gãc ACI. c. Cho BC = 30 cm; AB = 18 cm. TÝnh OI, CI. Bµi 11: Cho ®o¹n th¼ng AB vµ O lµ trung ®iÓm cña AB. VÏ vÒ cïng phÝa víi AB c¸c tia Ax, By cïng vu«ng gãc víi AB. C¸c ®iÓm M, N theo thø tù di chuyÓn trªn Ax vµ By sao cho gãc MON = 900. Gäi I lµ trung ®iÓm cña MN. Chøng minh r»ng : a. AB lµ tiÕp tuyÕn cña (I ; IO). b. MO lµ tia ph©n gi¸c cña gãc AMN. c. MN là tiếp tuyến của đờng tròn đờng kính AB. d. Khi c¸c ®iÓm M, N di chuyÓn trªn Ax, By th× tÝch AM. BN kh«ng dæi. Bài 12: Cho (O;R) và (O’; r)tiếp xúc ngoài tại A. Gọi BC là tiếp tuyến chung ngoài của hai đờng tròn ( B thuộc (O); C thuộc (O’) ). Tiếp tuyến chung trong của hai đờng tròn tại A cắt BC t¹i M. a. Chứng minh A, B, C thuộc đờng tròn tâm M. b. Đờng thẳng OO’ có vị trí tơng đối gì với (M) nói trên? c. Xác định tâm đờng tròn đi qua ba điểm O, O’ , M. d. Chứng minh BC là tiếp tuyến của đờng tròn đi qua ba điểm O, O’, M. Bµi 13: Cho (O) vµ (O’)tiÕp xócngoµi t¹i A. §êng th¼ng ¤’ c¾t (O) vµ (O’) theo thø tù t¹u B vµ C ( khác A ). Gọi DE là tiếp tuyến chung ngoài của hai đờng tròn ( D thuộc (O); E thuộc (O’)) . M lµ giao ®iÓm cña BD vµ CE. Chøng minh r»ng : a. Gãc DME lµ gãc vu«ng. b. MA là tiếp tuyến chung của hai đờng tròn. c. MD . MB = ME . MC. Bài 14: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp (O), đờng cao BD, CE , M là trung điểm cña BC. a. Chøng minh tø gi¸c BCDE néi tiÕp. b. Chứng minh các tam giác ADE và ABC đồng dạng ..

<span class='text_page_counter'>(40)</span> c. d.. KÎ tiÕp tuyÕn Ax víi (O) . Chøng minh Ax // DE. Chứng minh rằng nếu góc BAC = 600 thì tam giác DME là tam giác đều.. Bµi 15: Cho (O) vµ ®iÓm A n»m bªn ngoµi (O). VÏ c¸c tiÕp tuyÕn AB vµ AC , c¸t tuyÕn ADE. Gäi H lµ trung ®iÓm cña DE. a. Chøng minh tø gi¸c BHOC néi tiÕp. b. Chøng minh HA lµ tia ph©n gi¸c cña gãc BHA. c. Gäi I lµ giao ®iÓm cña BC vµ DE. Chøng minh : AB2 = AI . AH. d. BH c¾t (O) t¹i K . Chøng minh AE // CK. Bài 16: Cho (O), đờng tròn AB. Vẽ tiếp tuyến xBy. Gọi C,D là hai điểm di động trên hai nửa mặt phẳng bờ AB đối nhau. Tia AC cắt Bx tại M, tia AD cắt By tại N. a. Chứng minh các tam giác ACD và AMN đồng dạng. b. Tø gi¸c MNDC néi tiÕp. c. Chứng minh AC . AM = AD . AN và tích này không đổi khi C, D di động. Bài 17: Xét nửa đờng tròn (O), đờng kính AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đờng tròn. kẻ tiếp tuyến Ax và dây AC bất kỳ. Tia phân giác của góc Cax cắt nửa đờng tròn tại D, các tia AD vµ BC c¾t nhau t¹i E. a. Chøng minh tam gi¸c ABE c©n t¹i B. b. C¸c d©y AC vµ BD c¾t nhau t¹i K. Chøng minh EK ┴ AB. c. Tia BD c¾t tia Ax t¹i F. Chøng minh tø gi¸c AKEF lµ h×nh thoi. Bài 18: Cho nửa lục giác đều ABCD nội tiếp trong nửa đờng tròn (O ; R). Hai tiÕp tuyÕn t¹i B vµ D c¾t nhau t¹i T. a. Chøng minh r»ng OT // AB. b. Chøng minh ba ®iÓm O, C, T th¼ng hµng. c. TÝnh chu vi vµ diÖn tÝch tam gi¸c TBD theo R. d. TÝnh diÖn tÝch h×nh giíi h¹n bëi hai c¹nh TB, TD vµ cung BCD theo R. Bài 19: Hai đờngtròn (O) và (O’) có bán kính R và R’ ( R > R’) tiếp xúc ngoài nhau tại C. Gọi AC và BC là hai đờng kính đi qua C của (O) và (O’). DE là dây cung của (O) vuông góc với AB tại trung điểm của M của AB. Gọi giao điểm thứ hai của đờng thẳng DC với (O’) là F. a. Tø gi¸c AEBD lµ h×nh g×? b. Chøng minh r»ng ba ®iÓm B, E, F th¼ng hµng. c. Chøng minh tø gi¸c MDBF néi tiÕp. d. DB cắt (O’) tại G. Chứng minh DF, EG, AB đồng qui. e.. Chøng minh MF= 1 DE vµ MF lµ tiÕp tuyÕn cña (O’). 2. Bài 20: Cho đờng tròn tâm O, đờng kính AC. Trên đoạn OC lấy một điểm B và vẽ đờng tròn tâm O’ đờng kính BC. Gọi M là trung điểm của AB. Từ M kẻ dây cung DE vuông góc với AB, DC c¾t (O’) t¹i I..

<span class='text_page_counter'>(41)</span> a.Tø gi¸c ADBE lµ h×nh g× ? t¹i sao? b.Chøng minh BI // AD. c.Chøng minh ba ®iÓm I, B, E th¼ng hµng vµ MD = MI. d.Xác định và giải thích vị trí tơng đối của đờng thẳng MI với (O’). Bài 21: Từ một điểm A ở bên ngoài đờng tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến AMN của đờng tròn đó. Gọi I là trung điểm của dây MN. a. Chứng minh 5 điểm A,B,I,O,C cùng nằm trên một đờng tròn. b. Nếu AB = OB thì tứ giác ABOC là hình gì ? Tại sao? Tính diện tích hình tròn và độ dài đờng tròn ngoại tiếp tứ giác ABOC theo bán kính R của (O). Bµi 22: Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp (O). Tia ph©n gi¸c cña gãc A c¾t BC t¹i D, c¾t (O) t¹i E. Tiếp tuyến của đờng tròn tại A cắt đờng thẳng BC tại M. a. Chøng minh MA = MD. b. Gọi I là điểm đối xứng với D qua M, gọi F là giao điểm của IA với (O).Chứng minh E, O, F th¼ng hµng. Bài 23: Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên cạnh AC lấy điểm M, dựng (O) đờng kính MC. Đờng thẳng BM cắt (O) tại D. Đờng thẳng AD cắt đờng tròn (O) tại S. a. Chøng minh tø gi¸c ABCD néi tiÕp. CA lµ tia ph©n gi¸c cña gãc SCB. b. Gọi E là giao điểm của BC với (O) . Chứng minh các đờng thẳng BA, EM, CD đồng qui. c. Chøng minh DM lµ ph©n gi¸c cña gãc ADE. d. Chứng minh M là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ADE. Bµi 24: Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A. a. Nªu c¸ch dùng (O) qua A vµ tiÕp xóc víi BC t¹i B. Nªu c¸ch dùng (O’) qua tiÕp xóc víi BC t¹i C. b. Hai đờng tròn (O) và (O’) ở vị trí tơng đối nào? c. Gäi M lµ trung ®iÓm cña BC. Chøng minh AM lµ tiÕp tuyÕn chung cña (O) vµ (O’). d. Cho AB = 36cm, AC = 48 cm. Tính độ dài BC và các bán kính của (O) , (O’). Bài 25: Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB, bán kính OC vuông góc với AB. Gọi M là một điểm di động trên cung BC ( M ≠ B, M ≠ C). AM cắt OC tại N. a. Chứng minh rằng tích AM . AN không đổi. b. VÏ CD ┴ AM . Chøng minh c¸c tø gi¸c MNOB vµ AODC néi tiÕp. c. Xác định vị trí của điểm M trên cung BC để tam giác COD cân tại D. Bµi 26: Cho tam gi¸c ABC nhän néi tiÕp (O), H lµ trùc t©m cña tam gi¸c ABC, M lµ mét ®iÓm trªn cung BC kh«ng chøa ®iÓm A. a. Xác định vị trí của M để tứ giác BHCM là hình bình hành. b. Gọi N và E lần lợt là các điểm đối xứng của M qua AB và AC. Chứng minh ba điểm N. H , E th¼ng hµng..

<span class='text_page_counter'>(42)</span> c. Xác định vị trí của M để NE có độ dài lớn nhất. Bµi 27: Cho (O,R) vµ (O’,r) tiÕp xóc ngoµi t¹i M ( R > r ). §êng th¼ng OO’ c¾t (O) t¹i C, c¾t (O’) tại D . Tiếp tuyến chung ngoài AB ( A ∈(O) , B ∈(O ') ) cắt đòng thẳng OO’ tại H. Tiếp tuyến chung của hai đờng tròn ở M cắt AB tại I. Chøng minh c¸c tam gi¸c OIO’ vµ AMB lµ c¸c tam gi¸c vu«ng. Chøng minh AB=2 √ R . r . Tia AM c¾t (O’) t¹i A’, tia BM c¾t (O) t¹i B’. Chøng minh ba ®iÓm A, O, B’ vµ A’ , O’ , B th¼ng hµng vµ CD2 = BB’2 + AA’2. Gọi N và N’ lần lợt là giao điểm của AM với OI và BM với O’I. Tính độ dài các đoạn thẳng MI, AB, OI, O’I, OH, O’H theo R vµ r. Bài 28: Cho đờng tròn (O) đờng kính AB, một điểm C ( khác A, B ) nằm trên đờng tròn . Tiếp tuyÕn Cx cña (O) c¾t tia AB t¹i I. Ph©n gi¸c gãc CIA c¾t OC t¹i O’. a. Chứng minh (O’, O’C) vừa tiếp xúc với (O) vừa tiếp xúc với đờng thẳng AB. b. Gäi D,E theo thø tù lµ giao ®iÓm thø hai cña CA, CB víi (O’). Chøng minh D, O’, E th¼ng hµng . c. Tìm vị trí của C sao cho đờng tròn ngoại tiếp tam giác OCI tiếp xúc với AC. Bài 29: Cho nửa đờng tròn đờng kính AB = 2R. Kẻ tiếp tuyến Bx với nửa đờng tròn. C và D là hai điểm di động trên nửa đờng tròn. Các tia AC và AD cắt Bx lần lợt tại E và F ( F nằm giữa B vµ E ). a. Chứng minh hai tam giác ABF và BDF đồng dạng. b. Chøng minh tø gi¸c CEFD néi tiÕp. c. Khi D và C di động trên nửa đờng tròn , chứng tỏ rằng : AC. AE = AD . AF = const . Bài 30: Cho (O). Vẽ hai dây AB và CD vuông góc tại M ở bên trong (O). Từ A vẽ một đờng thẳng vuông góc với BC tại H, cắt CD tại E. F là điểm đối xứng của C qua AB. Tia AF cắt tia BD t¹i K. Chøng minh r»ng: a. Gãc MAH = gãc MCB. b. Tam gi¸c ADE c©n. c. Tø gi¸c AHBK néi tiÕp. Bµi 31. Cho ®o¹n th¼ng AB vµ C lµ mét ®iÓm n»m gi÷a A vµ B. Ngêi ta kÎ trªn cïng mét nöa mÆt ph¼ng bê AB hai tia Ax vµ By vu«ng gãc víi AB. Trªn tia Ax lÊy mét ®iÓm I. Tia Cz vu«ng góc với tia CI tại C và cắt By tại K. Đờng tròn đờng kính IC cắt IK tại P. Chứng minh: a. Tø gi¸c CPKB néi tiÕp. b. AI.BK=AC.CB. c.  APB vu«ng. d. Giả sử A, B, I cố định. Hãy xác định vị trí điểm C sao cho diện tích hình thang vuông ABKI lín nhÊt. Bµi 32. Cho (O) vµ mét ®iÓm A n»m ngoµi (O). Tõ A kÎ hai tiÕp tuyÕn AB, AC vµ c¸t tuyÕn AMN víi (O). (B, C, M, N cïng thuéc (O); AM<AN). Gäi E lµ trung ®iÓm cña d©y MN, I lµ giao điểm thứ hai của đờng thẳng CE với (O). a. Chứng minh bốn điểm A, O, E, C cùng nằm trên một đờng tròn. b. Chøng minh gãc AOC=gãc BIC c. Chøng minh BI//MN. d. Xác định ví trí cát tuyến AMN để diện tích tam giác AIN lớn nhất..

<span class='text_page_counter'>(43)</span> Bài 33. Cho tam giác ABC vuông ở A (AB<AC), đờng cao AH. Trên đoạn thẳng HC lấy D sao cho HD=HB. VÏ CE vu«ng gãc víi AD (EAD). a. Chøng minh tø gi¸c AHCE néi tiÕp. b. Chứng minh AB là tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp tứ giác AHCE. c. Chøng minh CH lµ tia ph©n gi¸c cña gãc ACE. d. Tính diện tích hình giới hạn bởi các đoạn thẳng CA, CH và cung nhỏ AH của đờng tròn nãi trªn biÕt AC=6cm; gãc ACB = 30o. Bài 34. Cho (O) có đờng kính BC. Gọi A là một điểm thuộc cung BC (cung AB < cung AC). D lµ ®iÓm thuéc b¸n kÝnh OC. §êng vu«ng gãc víi BC t¹i D c¾t AC ë E, c¾t tia BA ë F. a. Chøng minh tø gi¸c ADCF néi tiÕp. b. Gäi M lµ trung ®iÓm cña EF. Chøng minh: gãc AME=2 gãc ACB. c. Chøng minh AM lµ tiÕp tuyÕn cña (O). d. TÝnh diÖn tÝch h×nh giíi h¹n bëi c¸c ®o¹n th¼ng BC, BA vµ cung nhá AC cña (O) biÕt BC=8cm; gãc ABC = 60o. Bài 35. Cho đờng tròn (O) đờng kính AB=2R và một điểm M di chuyển trên nửa đờng tròn. Ngời ta vẽ đờng tròn tâm E tiếp xúc với (O) tại M và tiếp xúc với AB tại N. Đờng tròn này cắt MA, MB lÇn lît t¹i c¸c ®iÓm thø hai C, D. a. Chøng minh CD//AB. b. Chứng minh MN là tia phân giác của góc AMB và đờng thẳng MN đi qua một điểm K cố định. c. Chứng minh tích KM.KN cố định. d. Gọi giao điểm của các tia CN, DN với KB, KA lần lợt là C', D'. Tìm vị trí của M để chu vi tam giác NC'D' đạt giá trị nhỏ nhất có thể đợc. Bài 36. Cho một đờng tròn đờng kính AB, các điểm C, D ở trên đờng tròn sao cho C, D không nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB đồng thời AD>AC. Gọi các điểm chính giữa các cung AC, AD lÇn lît lµ M, N. Giao ®iÓm cña MN víi AC, AD lÇn lît lµ H, I. Giao ®iÓm cña MD víi CN lµ K. a. CM: NKD vµ MAK c©n. b. CM: tứ giác MCKH nội tiếp đợc. Suy ra KH//AD. c. So s¸nh c¸c gãc CAK víi gãc DAK. d. Tìm một hệ thức giữa số đo AC, số đo AD là điều kiện cần và đủ để AK//ND. Bài 37. Cho (O1) và (O2) tiếp xúc ngoài với nhau tại điểm A và tiếp tuyến chung Ax. Một đờng thẳng d tiếp xúc với (O1), (O2) lần lợt tại B, C và cắt Ax tại điểm M. Kẻ các đờng kính BO1D, CO2E. a. Chøng minh M lµ trung ®iÓm BC. b. Chøng minh O1MO2 vu«ng. c. Chøng minh B, A, E th¼ng hµng; C, A, D th¼ng hµng. d. Gọi I là trung điểm của DE. Chứng minh rằng đờng tròn ngoại tiếp tam giác IO1O2 tiếp xóc víi d. PhÇn 2: H×nh häc kh«ng gian. A.Lý thuyÕt: I. Mét sè kiÕn thøc c¬ b¶n vÒ h×nh häc kh«ng gian: 1. Các vị trí tơng đối: a.Vị trí tơng đối của hai đờng thẳng: * a // b  a , b  (P), a vµ b kh«ng cã ®iÓm chung. * a c¾t b  a , b  (P), a vµ b cã mét ®iÓm chung. * a vµ b chÐo nhau  a vµ b kh«ng cïng thuéc mét mÆt ph¼ng. b. Vị trí tơng đối của đờng thẳng a và mặt phẳng (P): * a // (P)  a vµ (P) kh«ng cã ®iÓm chung. * a c¾t (P)  a vµ (P) cã mét ®iÓm chung..

<span class='text_page_counter'>(44)</span> * a  (P)  a vµ (P) cã v« sè ®iÓm chung. c. Vị trí tơng đối của hai mặt phẳng (P) và (Q): * (P) // (Q)  kh«ng cã ®iÓm chung. * (P)  (Q) = a  có một đờng thẳng a chung ( a gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng). * (P)  (Q). 2. Mét sè c¸ch chøng minh: a. Chứng minh hai đờng thẳng song song: C1: a vµ b cïng thuéc mét mÆt ph¼ng. a vµ b kh«ng cã ®iÓm chung. C2: a // c vµ b // c. ( P) //(Q). }. C3 : (P)∩(R)=a ⇒ a // b (Q)∩(R)=b. b.Chứng minh đờng thẳng song song với mặt phẳng: a // b ⇒ a // (P) b ⊂( P). }. c.Chøng minh hai mÆt ph¼ng song song: a , b ⊂(Q) ,aXb ⇒( P) // (Q) a // ( P), b //(P). }. d.Chứng minh hai đờng thẳng vuông góc: a ⊥( P) ⇒ a ⊥ b b ⊂(P). }. e.Chứng minh đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng: a⊥b,a⊥c ⇒ a ⊥(P) bXc , b ⊂( P) , c ⊂(P). }. g.Chøng minh hai mÆt ph¼ng vu«ng gãc: a ⊥(P) ⇒( P) ⊥(Q) a ⊂(Q). }. II. Mét sè h×nh kh«ng gian: H×nh trô: 1. H×nh l¨ng trô: Sxq = P.h = 2R.h với R: bán kính đáy Sxq = P . h với P: chu vi đáy V = B.h = R2.h h: chiÒu cao. V=B.h h : chiÒu cao B: diện tích đáy H×nh chãp:. 2. H×nh nãn:.

<span class='text_page_counter'>(45)</span> 1 S xq = P . d 2 1 V= B.h 3. với d: đờng cao mặt bên. 1 S xq= P . d=πR . l 2 1 1 V = B . h= πR2 . h 3 3. d: đờng sinh; h: chiều cao. H×nh nãn côt:. 3. H×nh chãp côt:. 1 S xq = ( P+ P ' ) . d=π ( R+r ) d 2 1 π .h ( 2 2 V = ( B+ B ' + √ B. B' ) .h= R +r + R . r ) 3 3. 1 S xq= ( P+ P ' ) . d 2 1( V = B+ B '+ √ B. B' ) .h 3. H×nh cÇu: S=4 πR2 4 V = πR3 3. B. Bµi tËp: Bµi 1: Cho h×nh b×nh hµnh ABCD vµ ®iÓm S n»m ngoµi mp(ABCD). Gäi M, N theo thø tù lµ trung ®iÓm cña SA, SD. Tø gi¸c MNCB lµ h×nh g×? Bµi 2: Cho tø diÖn ABCD. Gäi G, H theo thø tù lµ trung ®iÓm cña AD, CD. LÊy ®iÓm E AB, F  BC sao cho: AE= 1 AB; CF= 1 CB . 4. 4. a. Chøng minh GH // (ABC); EF // (ACD); EF // GH. b. Gäi I lµ giao ®iÓm cña EG vµ (BCD). CMR: F, H, I th¼ng hµng. Bài 3: CMR: Nếu một mặt phẳng song song với đờng thẳng a của mp(Q) mà (P) và (Q) cắt nhau th× giao tuyÕn cña chóng song song víi a. Bµi 4: Cho hai mÆt ph¼ng (P) vµ (Q) c¾t nhau theo giao tuyÕn d. Mét mÆt ph¼ng thø ba (R) c¾t (P) , (Q) theo thø tù lµ c¸c giao tuyÕn a vµ b. CMR: a. Nếu a x d = M thì a, b, d đồng qui. b. Nếu a // d thì a, b, d đôi một song song. Bµi 5: Cho tø diÖn S.ABC, ®iÓm D  SA sao cho SD= 1 SA, E ∈ AB sao cho BE= 1 BA . Gäi 4 4 M lµ trung ®iÓm cña SC, I lµ giao ®iÓm cña DM vµ AC, N lµ giao ®iÓm cña IE vµ BC. CMR: a. SB // (IDE). b. N lµ trung ®iÓm cña BC. Bài 6: Cho tam giác ABC vuông tại A, đờng cao AH. Một đờng thẳng d  (ABC) tại A. Trên d lÊy ®iÓm S bÊt kú. a. Chøng minh BC  SH. b. Kẻ AI là đờng cao của tam giác SAH. Chứng minh AI  (SBC). c. Cho AB = 15 cm, AC = 20 cm , SA = 16 cm. TÝnh BC, SH råi tÝnh S xq, Stp, V cña h×nh chãp S . ABC..

<span class='text_page_counter'>(46)</span> Bài 7: Cho tam giác ABC đều và trung tuyến AM, điểm I  AM sao cho IA = 2.IM . Qua I vẽ đờng thẳng d vuông góc với mp(ABC), trên d lấy điểm S bất kỳ. a. Chøng minh SA = SB = SC. b. Gọi IH là đờng cao của tam giác SIM. CMR: IH  (SBC). c. TÝnh Sxq vµ V cña h×nh chãp S . ABC biÕt AB=3 √ 3 cm ; SA = 5 cm. Bµi 8: Cho tø diÖn S . ABC. §iÓm E  SA, F  AB sao cho SE= 1 SA ; BF= 1 BA . Gäi G, H 3 3 theo thø tù lµ trung ®iÓm cña SC, BC. CMR: a. EF // GH. b. EG, FH, AC đồng qui. Bài 9: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 8 cm, AC = 6 cm. Một đờng thẳng d vuông góc vãi mp(ABC) t¹i B, trªn d lÊy ®iÓm S sao cho SA = 10 cm. a. CMR: SB  AC. b. TÝnh SB, BC, SC. c. CM: Tam gi¸c SAC vu«ng. d. TÝnh Stp , V. Bài 10: Cho hình vuông ABCD cạnh 3 cm. Trên đờng thẳng d vuông góc với mp(ABCD) tại A lÊy ®iÓm S sao cho SA = 4 cm. CMR: a. (SAB)  (SAD). b. SC  BD. c. C¸c tam gi¸c SBC vµ SDC vu«ng. d. Bài 11: Cho lăng trụ đứng ABCD . A’B’C’D’ có đáy là hình thoi. Biét đờng cao AA’ = 5 cm, các đờng chéo AC’ = 15 cm , DB’ = 9 cm. a. TÝnh AB? b. TÝnh Sxq, V cña h×nh l¨ng trô ABCD . A’B’C’D’. c. TÝnh Sxq, V cña h×nh chãp B’ . ABCD. Bài 12: Cho lăng trụ tam giác đều ABC . A’B’C’ có AA’ = 4 cm , góc BAB’ = 45 0 . TÝnh Sxq vµ V. Bµi 13: H×nh hép ch÷ nhËt ABCD . A’B’C’D’ cã AD = 3 cm, AB = 4 cm, BD’ = 13 cm. TÝnh S xq vµ V ? Bµi 14: Cho h×nh hép ch÷ nhËt ABCD . A’B’C’D’ cã AB = 12 cm, AD = 16 cm, AA’ = 25 cm. a. CM: C¸c tø gi¸c ACC’A’, BDD’B’ lµ h×nh ch÷ nhËt. b. CM: AC’2 = AB2 + AD2 + AA’2. c. TÝnh Stp , V ? Bµi 15: Cho h×nh hép ch÷ nhËt ABCD . A’B’C’D’cã AB = AA’ = a vµ gãc A’CA = 30 0. TÝnh Stp vµ V ? Bài 16: Cho hình lập phơng ABCD . A’B’C’D’ có độ dài cạnh là 6 cm . a. Tính đờng chéo BD’. b. TÝnh Stp vµ V cña h×nh chãp A’ . ABD. c. TÝnh Stp vµ V cña h×nh chãp A’.BC’D..

<span class='text_page_counter'>(47)</span> Bài 17: Một thùng hình trụ có diện tích xung quanh bằng tổng diện tích hai đáy, đờng cao của hình trụ bằng 6 dm. Hỏi thùng chứa đợc bao nhiêu lít nớc ? ( biết rằng 1 dm3 = 1 lít ). Bµi 18: Mét mÆt ph¼ng qua trôc OO’ cña mét h×nh trô, phÇn mÆt ph¼ng bÞ giíi h¹n bëi h×nh trô ( còn gọi là thiết diện) là một hình chữ nhật có diện tích bằng 72 cm 2. Tính bán kính đáy, đờng cao của hình trụ biết rằng đờng kính đáy bằng một nửa chiều cao. Bµi 19: Mét h×nh trô cã thiÕt diÖn qua trôc lµ mét h×nh ch÷ nhËt cã chiÒu dµi 4 cm, chiÒu réng 3 cm. Tính Sxq và V của hình trụ đó. Bài 20: Cho hình nón đỉnh A, đờng sinh AB = 5 cm, bán kính đáy OB = 3 cm. a. TÝnh Sxq cña h×nh nãn. b. TÝnh V cña h×nh nãn. c. Gäi CD lµ d©y cung cña (O; OB)vu«ng gãc víi OB. CMR: CD  (AOB). Bài 21: Cho tam giác ABC vuông tại A quay một vòng quanh AB. Tính bán kính đáy, đờng cao của hình nón tạo thành. Từ đó tính Sxq , và V của hình nón biết rằng BC = 6 cm, góc ACB = 600. Bài 22: Một hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác đều cạnh bằng 4 cm. Tính S xq và V . Bài 23: Một hình nón cụt có đờng cao 12 cm, các bán kính đáy là 10 cm và 15 cm. a. TÝnh Sxq cña h×nh nãn côt. b. Tính V của hình nón sinh ra hình nón cụt đó. Bµi 24: Mét h×nh thang ABCD cã gãc A vµ gãc D =90 0, AB = BC = a , gãc C = 600. TÝnh Stp cña h×nh t¹o thµnh khi quay h×nh thang vu«ng mét vßng xung quanh: a. C¹nh AD. b. Cạnh DC.

<span class='text_page_counter'>(48)</span>