cac dang toan co ban on vao 10

NI DUNG KIN THC C BN ễN THI VO LP 10 THPT
Đinh công Hải: Giáo viên Phơng Đình -Đan Phợng Hà Nội DD 0944791341
H THNG KIN THC C BN V MT S DNG BI TP CH YU
(Phc v cho chng trỡnh lp 9 v ụn thi vo lp 10)
I.MC TIấU
II.NHNG NI DUNG KIN THC C BN
A.i s:
I.a thc: Nhõn, chia, hng ng thc, phõn tớch a thc thnh nhõn t.
II.Phõn thc i s: KX, rỳt gn, quy ng, cỏc phộp tớnh.
III.Cn bc hai: Khỏi nim, hng ng thc, KX, cỏc phộp bin i.
IV.Phng trỡnh, bt phng trỡnh bc nht mt n: Dng, phng phỏp gii.
V.Hm s bc nht, bc hai: nh ngha, tớnh cht, th, v trớ trờn mt phng ta
gia cỏc th.
VI.H phng trỡnh bc nht hai n: Nghim, cỏc phng phỏp gii.
VII.Gii bi toỏn bng cỏch lp h phng trỡnh, phng trỡnh.
VIII.Phng trỡnh bc hai: Dng, cụng thc nghim, nh lý Viet, ng dng.
B.Hỡnh hc:
I.nh lớ Pytago, h thc lng trong tam giỏc vuụng, t s lng giỏc ca gúc nhn.
II.nh lý Talet, tớnh cht ng phõn giỏc.
III.Tam giỏc bng nhau, ng dng: Khỏi nim, cỏc trng hp.
IV.ng trũn: Khỏi nim, s xỏc nh ng trũn, tớnh cht i xng, v trớ tng i
ca ng thng vi ng trũn (chỳ ý tip tuyn ca ng trũn), ng trũn vi ng
trũn.
V.Gúc v ng trũn: c im, quan h vi cung b chn, tớnh cht.
VI.T giỏc ni tip: Khỏi nim, tớnh cht, du hiu.
VII. di v din tớch hỡnh trũn.
VIII.Hỡnh hc khụng gian: Khỏi nim, cụng thc tớnh din tớch xung quanh, din tớch ton
phn, th tớch.
Đ1.A THC
A.KIN THC C BN
1.Nhõn n, a thc

( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
m n p q m p n q m p n q
) ax y .bx y a.b x .x y .y abx y .
) A B C D A.B A.C A.D
) A B C D A.C A.D B.C B.D
+ +
+ = =
+ + = +
+ + = +
2.Cng, tr n, a thc
Thc cht ca vic lm ny l cng, tr n thc ng dng da vo quy tc sau
cựng tớnh cht giao hoỏn, kt hp ca phộp cng cỏc a thc.
( )
( )
m n m n m n
m n m p m n m n m p
ax y bx y a b x y
ax y bx y cx y a c x y bx y
=
+ + = + +
3.Hng ng thc ỏng nh
Đinh công Hải: Giáo viên Phơng Đình- Đan Phợng Hà Nội DD 0944791341
1
NỘI DUNG KIẾN THỨC CƠ BẢN ÔN THI VÀO LỚP 10 THPT
§inh c«ng H¶i: Gi¸o viªn Ph¬ng §×nh -§an Phîng –Hµ Néi –DD 0944791341
( )
( ) ( )

( )
( )
( )
2
2 2
2 2
3
3 2 2 3
2 2 3 3
A B A 2AB B
A B A B A B
A B A 3A B 3AB B
A B A AB B A B
± = ± +
+ − = −
± = ± + ±
± + = −m
Mở rộng:
( ) ( )
( ) ( )
2
2 2 2
2
2 2 2
A B C A B C 2 AB BC CA
A B C A B C 2 AB BC CA
+ + = + + + + +
+ − = + + + − −
4.Phân tích đa thức thành nhân tử
Phân tích đa thức thành nhân tử thực chất là viết đa thức đó thành tích của hai hay

nhiều đa thức khác đơn giản hơn.
Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử gồm:
-Đặt nhân tử chung.
-Dùng hằng đẳng thức.
-Nhóm nhiều hạng tử.
-Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử.
-Thêm, bớt cùng một hạng tử.
-Đặt ẩn phụ.
Trong thực hành thông thường ta dùng kết hợp các phương pháp với nhau. Song
nên đi theo thứ tự các phương pháp như trên để thuận lợi trong quá trình xử lý kết quả.
B.MỘT SỐ VÍ DỤ
Ví dụ 1.Thực hiện phép tính
( )
( ) ( )
2 3 2 3 4
3 2
3
A 2x y. x y xy . 4x
2
B x 1 x. x 2 1
 
= − − + −
 ÷
 
= + − − −
Giải
( )
2 3 2 3 4
5 3 5 3
5 3

3
A 2x y. x y xy . 4x
2
3x y 4x y
x y
 
= − − + −
 ÷
 
= −
= −
( ) ( )
3 2
3 2 3 2
2
B x 1 x. x 2 1
x 3x 3x 1 x 2x 4x 1
5x x
= + − − −
= + + + − + − −
= −
Ví dụ 2.Tính giá trị của biểu thức
( )
2 3 2 3 4
3
A 2x y. x y xy . 4x
2
 
= − − + −
 ÷

 
với x = - 2; y =
1
2
.
( ) ( )
3 2
B x 1 x. x 2 1= + − − −
với x =
2
1
3
−
Giải
§inh c«ng H¶i: Gi¸o viªn Ph¬ng §×nh- §an Phîng –Hµ Néi –DD 0944791341
2
NỘI DUNG KIẾN THỨC CƠ BẢN ÔN THI VÀO LỚP 10 THPT
§inh c«ng H¶i: Gi¸o viªn Ph¬ng §×nh -§an Phîng –Hµ Néi –DD 0944791341
-Thu gọn biểu thức. (đã làm ở ví dụ 1)
-Thay số, tính:
( ) ( )
3
5
1 1
A 2 . 32 . 4
2 8
 
= − − = − − =
 ÷
 

2
5 5 25 5 125 15 140
B 5 5
3 3 9 3 9 9 9
     
= − − − = + = + =
 ÷  ÷  ÷
     
.
Ví dụ 3.Chứng minh
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
2
a) a b 4ab a b
b) A n n 5 n 3 n 2 6 n Z
c) B x 2x 2 0 x.
+ − = −
= + − − + ∀ ∈
= + + > ∀
M
Giải
a) Có VT = a
2
+ 2ab + b
2
– 4ab = a
2
– 2ab + b
2

= (a – b)
2
= VP.(đpcm)
b) Có A = n
2
+ 5n – n
2
+ n + 6 = 6n + 6 = 6.(n + 1)
do
( )
n Z n 1 Z 6 n 1 n∈ ⇒ + ∈ ⇒ + M
. (đpcm)
c) Có B = (x
2
+ 2x + 1) + 1 = (x + 1)
2
+ 1.
Do (x + 1)
2

≥
0 x∀
⇒
(x + 1)
2
+ 1 > 0 x∀ .(đpcm)
Ví dụ 4.Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a) x
3
– 4x b) x

2
– 5x + 4 c) x
4
+ 4.
Giải
a) x
3
– 4x = x.(x
2
– 4) = x.(x – 2).(x + 2).
b) x
2
– 5x + 4 = (x
2
– 4x) – (x – 4) = x.(x – 4) – (x – 4) = (x – 4).(x – 1).
c) x
4
+ 4 = (x
2
)
2
+2x
2
.2 +2
2
– 4x
2
= (x
2
+2)

2
– (2x)
2
= (x
2
+2 – 2x).(x
2
+2 + 2x).
C.MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN
1.Chứng minh
( ) ( ) ( ) ( )
2
3 2
a) 3x. x 1 2x. x 3 . x 3 4x. x 4 x 2x 5x− − − + + − = − +
.
( ) ( )
2 3
b) A x. 2x 1 x 2x 2 2x x 15= + − + + − +
không phụ thuộc vào biến x.
( )
( )
2
c) B 2a a 5 5 a 2a 1 0 a= − − − + < ∀
.
2.Tính giá trị của biểu thức
A = 6(4x + 5) + 3(4 – 5x) với x = 1,5.
B = 40y – 5(2y – 3) + 6(5 – 1,5y) với y = -1,5.
3.Tìm x
a) 2x(3x + 1) + (4 – 2x).3x = 7.
b) 5x(x – 3) – x + 3 = 0.

4.Chứng minh
a) (1 – 2a)(5a
2
+ 2a + 1) = 1 – 10a
3
.
b) (5x
3
+ 4x
2
y + 2xy
2
+ y
3
)(2x – 10y) = 10(x
4
– y
4
).
c) a
3
+ b
3
+ c
3
-3abc = 0
⇔
a = b = c hoặc a + b + c = 0.
(Nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác thì tam giác đó là tam giác gì?)
d)

x,y 0∀ >
thì
x y
2
y x
+ ≥
.
§inh c«ng H¶i: Gi¸o viªn Ph¬ng §×nh- §an Phîng –Hµ Néi –DD 0944791341
3
NỘI DUNG KIẾN THỨC CƠ BẢN ÔN THI VÀO LỚP 10 THPT
§inh c«ng H¶i: Gi¸o viªn Ph¬ng §×nh -§an Phîng –Hµ Néi –DD 0944791341
5.Cho x + y + z = 0 và xy + yz + zx = 0 Tính T = (x – 1)
1991
+ y
1992
+ (z + 1)
1993
.
6.Tìm max, min của các biểu thức sau
A = x
2
– 4x + 1.
B = 2 + x – x
2
.
C = x
2
– 2x

+ y

2
– 4y + 6.
---------------------------------------------------------------------------------
§2.PHÂN THỨC
A.KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.Khái niệm
Dạng
A
B
trong đó A, B là các đa thức, B
≠
0.
2.Điều kiện xác định
Cách tìm:
-Giải B = 0.
-Kết luận: loại đi các giá trị tìm được của ẩn ở trên.
3.Rút gọn
-Phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử.
-Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung.
A C.M C
B D.M D
= =
4.Quy đồng mẫu các phân thức
-Phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử.
-Lập tích = (BCNN của các hệ số).(các nhân tử với số mũ lớn nhất).
-Tìm thừa số phụ = MTC : MR.
-Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với thừa số phụ tương ứng của nó.
5.Các phép tính
( )
A B A B

a)
M M M
A C A.D C.B
b)
B D B.D
A C A C
c)
B D B D
A C A.C
d) .
B D B.D
A C A D
e) : . C 0
B D B C
+
+ =
+
+ =
−
− = +
=
= ≠
Chú ý:
-Ở phần b, MTC có thể khác.
-Cần rút gọn kết quả nếu có thể.
B.MỘT SỐ VÍ DỤ
§inh c«ng H¶i: Gi¸o viªn Ph¬ng §×nh- §an Phîng –Hµ Néi –DD 0944791341
4
NỘI DUNG KIẾN THỨC CƠ BẢN ÔN THI VÀO LỚP 10 THPT
§inh c«ng H¶i: Gi¸o viªn Ph¬ng §×nh -§an Phîng –Hµ Néi –DD 0944791341

Ví dụ 1.Tìm điều kiện xác định của các phân thức sau
3
2
x 1 30
a) b)
x 1 4x xy
+
− −
Giải
a) Phân thức
3
x 1
x 1
+
−
không xác định khi x – 1 = 0
⇔
x = 1.
Vậy ĐKXĐ: x
≠
1.
b) Phân thức
2
30
4x xy−
không xác định khi 4x
2
– xy = 0
⇔
x(4x – y) = 0

⇔
x = 0 hoặc 4x – y = 0

⇔
x = 0 hoặc y = 4x.
Vậy ĐKXĐ:
x 0; y 4x≠ ≠
.
Ví dụ 2.Rút gọn các biểu thức sau
2 2
2
4x 1 x x 20
A B
2x 1 x 5x
− + −
= =
− +
Giải
( ) ( ) ( )
( )
2
2
2x 1 2x 1 2x 1
4x 1 1
A 2x 1; x
2x 1 2x 1 2x 1 2
− − +
−
 

= = = = + ≠
 ÷
− − −
 
.
( ) ( )
( )
( )
2
2
x 5 x 4
x x 20 x 4
B ; x 5
x 5x x x 5 x
+ −
+ − −
= = = ≠ −
+ +
.
Ví dụ 3.Thực hiện phép tính
2
2 2
x 1 x 2 x 1
a) b)
x 1 1 x x 3x x 9
+ +
+ −
− − + −
Giải
( ) ( )

( )
( )
2 2 2
x 1 x 1
x 1 x 1 x 1
a) x 1; x 1
x 1 1 x x 1 x 1 x 1 x 1
− +
−
+ = − = = = + ≠
− − − − − −
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
2 2
2 2
x 2 x 3 x 1 x
x 2 x 1 x 2 x 1
b)
x 3x x 9 x x 3 x 3 x 3 x 3 x 3
2 x 3
x 3x 2x 6 x x 2x 6 2
x x 3 x 3 x x 3 x 3 x x 3 x 3 x x 3
x 3; x 0
+ + − +
+ + + +

− = − =
+ − + − + − +
− +
− + − − − − − −
= = = =
− + − + − + −
≠ ± ≠
.
C.MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN
1.Tìm điều kiện xác định của các phân thức sau
( )
2 2
2
3 2
x 2xy y x 2y 2x 1 7
a) b) c) d)
x y 3x x x x 1
4 x y
− + + +
− − − +
+
§inh c«ng H¶i: Gi¸o viªn Ph¬ng §×nh- §an Phîng –Hµ Néi –DD 0944791341
5
NỘI DUNG KIẾN THỨC CƠ BẢN ÔN THI VÀO LỚP 10 THPT
§inh c«ng H¶i: Gi¸o viªn Ph¬ng §×nh -§an Phîng –Hµ Néi –DD 0944791341
2.Các biểu thức sau có phụ thuộc vào giá trị của biến hay không?
2
2
2
4x 1 4xy 2y 2x 1 1 1

A ; x , y .
2x 1 2y 1 2 2
x 1 2
B ; x 2
x 4 x 2 2 x
− − + −
= − ∀ ≠ ≠ −
− +
= + + ∀ ≠ ±
− + −
3.Chứng minh
2 2 x y x y 2x
x y :
3x x y 3x x x y
 
+ −
 
− − − =
 ÷
 
+ −
 
 
.
4.Cho biểu thức
2
6x 2x 3xy y
A
6x 3y
+ − −

=
−
a)Tìm ĐKXĐ của biểu thức A.
b)Rút gọn A và tính giá trị với x = - 0,5; y = 3.
c)Tìm điều kiện của x, y để A = 1.
d)Tìm x, y để biểu thức A có giá trị âm.
------------------------------------------------------------------
§3.CĂN BẬC HAI
A.KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.Khái niệm
x là căn bậc hai của số không âm a
⇔
x
2
= a. Kí hiệu:
x a=
.
2.Điều kiện xác định của biểu thức
A
Biểu thức
A
xác định
⇔

A 0≥
.
3.Hằng đẳng thức căn bậc hai
2
A khi A 0
A A

A khi A 0
≥

= =

− <

4.Các phép biến đổi căn thức
+)
( )
A.B A. B A 0; B 0= ≥ ≥
+)
( )
A A
A 0; B 0
B
B
= ≥ >
+)
( )
2
A B A B B 0
= ≥
+)
( )
A 1
A.B A.B 0; B 0
B B
= ≥ ≠
+)

( )
( )
2
2
m. A B
m
B 0; A B
A B
A B
= ≥ ≠
−
±
m
+)
( )
( )
n. A B
n
A 0; B 0; A B
A B
A B
= ≥ ≥ ≠
−
±
m
§inh c«ng H¶i: Gi¸o viªn Ph¬ng §×nh- §an Phîng –Hµ Néi –DD 0944791341
6
NỘI DUNG KIẾN THỨC CƠ BẢN ÔN THI VÀO LỚP 10 THPT
§inh c«ng H¶i: Gi¸o viªn Ph¬ng §×nh -§an Phîng –Hµ Néi –DD 0944791341
+)

( )
2
A 2 B m 2 m.n n m n m n± = ± + = ± = ±
với
m n A
m.n B
+ =


=

B.MỘT SỐ VÍ DỤ
VD1.Thu gọn, tính giá trị các biểu thức
( ) ( ) ( )
( )
2
A 3 3 2 3 3 3 1
3 2 3 2 2
B 2 3
3 2 1
C 3 2 2 6 4 2
D 2 3 2 3
= − − + +
+ +
= + − +
+
= − − +
= + + −
Giải
A 6 3 6 27 6 3 1 34= − + + + + =

( ) ( )
3 3 2 2 2 1
B 2 3 3 2 2 2 3 2
3 2 1
+ +
= + − − = + + − − =
+
( ) ( )
2 2
C 2 2 2 1 4 2 8 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1= − + − + + = + − + = + − − = −
(
)
( ) ( )
2 2
D. 2 2. 2 3 2 3 4 2 3 4 2 3 3 1 3 1
D. 2 3 1 3 1 2 3 D 6
= + + − = + + − = + + −
⇒ = + + − = ⇒ =
VD2.Cho biểu thức
2
x x 2x x
y 1
x x 1 x
+ +
= + −
− +
a)Rút gọn y. Tìm x để y = 2.
b)Cho x > 1. Chứng minh
y y 0− =
c)Tìm giá trị nhỏ nhất của y

Giải
a)
( )
( )
( )
3
x x 1
x 2 x 1
y 1 x x 1 1 2 x 1 x x
x x 1 x
 
+
+
 
 
= + − = + + − − = −
− +
( ) ( )
y 2 x x 2 x x 2 0 x 1 x 2 0
x 2 0 x 2 x 4
= ⇔ − = ⇔ − − = ⇔ + − =
⇔ − = ⇔ = ⇔ =
(Ở đây ta có thể áp dụng giải phương trình bậc hai bằng cách đặt ẩn phụ)
b) Có
y y x x x x− = − − −
§inh c«ng H¶i: Gi¸o viªn Ph¬ng §×nh- §an Phîng –Hµ Néi –DD 0944791341
7
NỘI DUNG KIẾN THỨC CƠ BẢN ÔN THI VÀO LỚP 10 THPT
§inh c«ng H¶i: Gi¸o viªn Ph¬ng §×nh -§an Phîng –Hµ Néi –DD 0944791341
Do x 1 x x x x 0 x x x x

y y 0
> ⇒ > ⇒ − > ⇒ − = −
⇒ − =
c) Có:
( ) ( )
2
2 2
1 1 1 1 1 1
y x x x x x 2. x. x
2 4 4 2 4 4
 
= − = − = − + − = + − ≥ −
 ÷
 
Vậy
1 1 1 1
Min y khi x x x
4 2 2 4
= − = ⇔ = ⇔ =
VD3.So sánh hai số sau
a 1997 1999= +
và
b 2 1998=
Giải
Có
( )
2
2 2
a 1998 1 1998 1 1998 1 1998 1
2.1998 2 1998 1 2.1998 2 1998 2 1998

= − + + = − + +
= + − < + =
Vậy a < b.
C.MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN
1.Thực hiện phép tính, rút gọn biểu thức
A 4 3 2 2 57 40 2= + − +
B 1100 7 44 2 176 1331= − + −
( )
2
C 1 2002 . 2003 2 2002= − +
1 2
D 72 5 4,5 2 2 27
3 3
= − + +
( )
3 2 3 2
E 6 2 4 . 3 12 6 . 2
2 3 2 3
   
= + − − − −
 ÷ ÷
   
F 8 2 15 8 2 15= − − +
G 4 7 4 7= + − −
H 8 60 45 12= + + −
I 9 4 5 9 4 5= − − +
( ) ( )
K 2 8 3 5 7 2 . 72 5 20 2 2= + − − −
2 5 14
L

12
+ −
=
( ) ( )
5 3 50 5 24
M
75 5 2
+ −
=
−
§inh c«ng H¶i: Gi¸o viªn Ph¬ng §×nh- §an Phîng –Hµ Néi –DD 0944791341
8
NỘI DUNG KIẾN THỨC CƠ BẢN ÔN THI VÀO LỚP 10 THPT
§inh c«ng H¶i: Gi¸o viªn Ph¬ng §×nh -§an Phîng –Hµ Néi –DD 0944791341
3 5 3 5
N
3 5 3 5
+ −
= +
− +
3 8 2 12 20
P
3 18 2 27 45
− +
=
− +
( )
2
2
1 5 2 5

Q
2 5
2 3
 
−
= −
 ÷
−
 
+
R 3 13 48= + +
2.Tính giá trị của biểu thức
1 1 1 1
A khi a ; b
a 1 b 1
7 4 3 7 4 3
= − = =
+ +
+ −
2
1
B 5x 4 5x 4 khi x 5
5
= − + = +
1 2x 1 2x 3
C khi x
4
1 1 2x 1 1 2x
+ −
= + =

+ + − −
3.Chứng minh
a)
1 1 1 5 1 3
12 2
3 3 2 3 6
+ + − =
b)
3 3
2 5 2 5 1+ + − =
c)
2 3 2 3
2
2 2 3 2 2 3
+ −
+ =
+ + − −
d)
1 1 1
S ...
1 2 2 3 99 100
= + + +
+ + +
là một số nguyên.
4.Cho
( )
3
x x 2x 2
2x 3 x 2
A ; B

x 2 x 2
− + −
− −
= =
− +
a) Rút gọn A và B.
b) Tìm x để A = B.
5.Cho
x 1
A
x 3
+
=
−
. Tìm số nguyên x để A nhận giá trị nguyên.
6.Tìm x, biết:
( )
2
x x 1 x 5
a) 4 x . 81 36 b) 3 c) 1
x x 4
+ + −
− = = =
−
§inh c«ng H¶i: Gi¸o viªn Ph¬ng §×nh- §an Phîng –Hµ Néi –DD 0944791341
9
NỘI DUNG KIẾN THỨC CƠ BẢN ÔN THI VÀO LỚP 10 THPT
§inh c«ng H¶i: Gi¸o viªn Ph¬ng §×nh -§an Phîng –Hµ Néi –DD 0944791341
§4.HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN

A.KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.Định lý Pitago
ABC∆
vuông tại A
2 2 2
AB AC BC⇔ + =
2.Hệ thức lượng trong tam giác vuông
B
H
C
A
1) AB
2
= BH.BC; AC
2
= CH.BC
2) AB.AC = AH.BC
3) AH
2
= BH.HC
4)
2 2 2
1 1 1
AH AB AC
= +
Kết quả:
-Với tam giác đều cạnh là a, ta có:
2
a 3 a 3
h ; S

2 4
= =
3.Tỉ số lượng giác của góc nhọn
Đặt
ACB ; ABC∠ = α ∠ = β
khi đó:
AB AH AC HC AB AH AC HC
sin ; cos ; tg ; cotg
BC AC BC AC AC HC AB AH
α = = α = = α = = α = =
b asin B acosC ctgB ccotgC
c acosB asinC bctgB btgC
= = = =
= = = =
Kết quả suy ra:
1) sin cos ; cos sin ; tg cotg ; cotg tgα = β α = β α = β α = β
sin cos
2) 0 sin 1; 0 cos <1; tg ; cotg
cos sin
α α
< α < < α α = α =
α α
2 2
2 2
1 1
3) sin cos 1; tg .cot g 1; 1 cot g ; 1 tg
sin cos
α + α = α α = = + α = + α
α α
4) Cho

ABC∆
nhọn, BC = a; AC = b; AB = c khi đó:
2 2 2
ABC
1
a b c 2bc.cosA; S bcsinA
2
∆
= + − =
§inh c«ng H¶i: Gi¸o viªn Ph¬ng §×nh- §an Phîng –Hµ Néi –DD 0944791341
10
NỘI DUNG KIẾN THỨC CƠ BẢN ÔN THI VÀO LỚP 10 THPT
§inh c«ng H¶i: Gi¸o viªn Ph¬ng §×nh -§an Phîng –Hµ Néi –DD 0944791341
B.MỘT SỐ VÍ DỤ
VD1.Cho tam giác ABC có AB>AC, kẻ trung tuyến AM và đường cao AH. Chứng minh:
2
2 2 2
2 2
BC
a) AB AC 2AM
2
b) AB AC 2BC.MH
+ = +
− =
VD2.Cho hình thang ABCD (AB//CD có AB = 3cm; CD = 14cm; AC = 15cm; BD = 8cm.
a) Chứng minh AC vuông góc với BD.
b) Tính diện tích hình thang.
VD3.Tính diện tích hình bình hành ABCD biết AD = 12; DC = 15;
∠
ADC=70

0
.
C.MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN
1.Cho tam giác ABC vuông cân tại A, trung tuyến BD. Gọi I là hình chiếu của C trên BD,
H là hình chiếu của I trên AC.
Chứng minh: AH = 3HI.
2.Qua đỉnh A của hình vuông ABCD cạnh bằng a, vẽ một đường thẳng cắt BC ở E và cắt
đường thẳng DC ở F.
Chứng minh:
2 2 2
1 1 1
AE AF a
+ =
3.Cho tam giác cân ABC có đáy BC = a;
∠
BAC = 2
α
;
0
45α <
. Kẻ các đường cao AE,
BF.
a) Tính các cạnh của tam giác BFC theo a và tỉ số lượng giác của góc
α
.
b) Tính theo a, theo các tỉ số lượng giác của góc
α
và
2α
, các cạnh của tam giác

ABF, BFC.
c) Từ các kết quả trên, chứng minh các đẳng thức sau:
2 2
2
2tg
1) sin 2 2sin cos ; 2) cos2 =cos sin ; 3) tg2
1 tg
α
α = α α α α − α α =
− α
------------------------------------------------------------------
§inh c«ng H¶i: Gi¸o viªn Ph¬ng §×nh- §an Phîng –Hµ Néi –DD 0944791341
11
NỘI DUNG KIẾN THỨC CƠ BẢN ÔN THI VÀO LỚP 10 THPT
§inh c«ng H¶i: Gi¸o viªn Ph¬ng §×nh -§an Phîng –Hµ Néi –DD 0944791341
§5.PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH
(Bậc nhất)
A.KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.Phương trình bậc nhất một ẩn
-Quy đồng khử mẫu.
-Đưa về dạng ax + b = 0 (a ≠ 0)
-Nghiệm duy nhất là
b
x
a
−
=
2.Phương trình chứa ẩn ở mẫu
-Tìm ĐKXĐ của phương trình.
-Quy đồng và khử mẫu.

-Giải phương trình vừa tìm được.
-So sánh giá trị vừa tìm được với ĐKXĐ rồi kết luận.
3.Phương trình tích
Để giái phương trình tích ta chỉ cần giải các phương trình thành phần của nó.
Chẳng hạn: Với phương trình A(x).B(x).C(x) = 0
( )
( )
( )
A x 0
B x 0
C x 0
=

⇔ =


=

4.Phương trình có chứa hệ số chữ (Giải và biện luận phương trình)
Dạng phương trình này sau khi biến đổi cũng có dạng ax + b = 0. Song giá trị cụ
thể của a, b ta không biết nên cần đặt điều kiện để xác định số nghiệm của phương trình.
-Nếu a ≠ 0 thì phương trình có nghiệm duy nhất
b
x
a
−
=
.
-Nếu a = 0 và b = 0 thì phương trình có vô số nghiệm.
-Nếu a = 0 và b ≠ 0 thì phương trình vô nghiệm.

5.Phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối
Cần chú ý khái niệm giá trị tuyệt đối của một biểu thức
A khi A 0
A
A khi A 0
≥

=

− <

6.Hệ phương trình bậc nhất
Cách giải chủ yếu dựa vào hai phương pháp cộng đại số và thế. Chú ý phương pháp
đặt ẩn phụ trong một số trường hợp xuất hiện các biểu thức giống nhau ở cả hai phương
trình.
7.Bất phương trình bậc nhất
§inh c«ng H¶i: Gi¸o viªn Ph¬ng §×nh- §an Phîng –Hµ Néi –DD 0944791341
12
NỘI DUNG KIẾN THỨC CƠ BẢN ÔN THI VÀO LỚP 10 THPT
§inh c«ng H¶i: Gi¸o viªn Ph¬ng §×nh -§an Phîng –Hµ Néi –DD 0944791341
Với bất phương trình bậc nhất thì việc biến đổi tương tự như với phương trình bậc
nhất. Tuy nhiên cần chú ý khi nhân và cả hai vế với cùng một số âm thì phải đổi chiều bất
phương trình.
B.MỘT SỐ VÍ DỤ
VD1.Giải các phương trình sau
a)
( ) ( )
2 x 3 1 2 x 1 9− + = + −
b)
( )

7x 20x 1,5
5 x 9
8 6
+
− − =
c)
2 2
13 1 6
2x x 21 2x 7 x 9
+ =
+ − + −
d)
x 3 3 x 7 10− + − =
(*)
Giải
( ) ( )
a) 2 x 3 1 2 x 1 9 2x 5 2x 7 5 7− + = + − ⇔ − = − ⇔ − = −
(Vô lý)
Vậy phương trình vô nghệm.
( )
7x 20x 1,5
b) 5 x 9 21x 120x 1080 80x 6 179x 1074 x 6
8 6
+
− − = ⇔ − + = + ⇔ − = − ⇔ =
Vậy phương trình có nghiệm x = 6.
c)
2 2
13 1 6
2x x 21 2x 7 x 9

+ =
+ − + −
( ) ( ) ( ) ( )
13 1 6
x 3 2x 7 2x 7 x 3 x 3
⇔ + =
− + + − +
ĐKXĐ:
7
x 3; x
2
≠ ± ≠ −
( ) ( ) ( ) ( )
2
13 x 3 x 3 x 3 6 2x 7 13x 39 x 9 12x 42⇒ + + − + = + ⇔ + + − = +
( ) ( )
2
x 3 DKXD
x x 12 0 x 3 x 4 0
x 4 DKXD
= ∉

⇔ + − = ⇔ − + = ⇔

= − ∈

Vậy phương trình có nghiệm x = - 4.
d) Lập bảng xét dấu
x 3 7
x – 3 - 0 + +

x - 7 - - 0 +
-Xét x < 3:
(*)
( )
7
3 x 3 7 x 10 24 4x 10 4x 14 x
2
⇔ − + − = ⇔ − = ⇔ − = − ⇔ =
(loại)
-Xét
3 x 7≤ <
:
(*)
( )
x 3 3 7 x 10 2x 18 10 2x 8 x 4⇔ − + − = ⇔ − + = ⇔ − = − ⇔ =
(t/mãn)
-Xét
x 7≥
:
(*)
( )
17
x 3 3 x 7 10 4x 24 10 4x 34 x
2
⇔ − + − = ⇔ − = ⇔ = ⇔ =
(loại)
Vậy phương trình có nghiệm x = 4.
VD2.Giải và biện luận phương trình sau
a)
2 2

x a b x b a b a
a b ab
+ − + − −
− = (1)
§inh c«ng H¶i: Gi¸o viªn Ph¬ng §×nh- §an Phîng –Hµ Néi –DD 0944791341
13
NỘI DUNG KIẾN THỨC CƠ BẢN ÔN THI VÀO LỚP 10 THPT
§inh c«ng H¶i: Gi¸o viªn Ph¬ng §×nh -§an Phîng –Hµ Néi –DD 0944791341
b)
( )
2
2
a x 1
ax 1 2
x 1 x 1 x 1
+
−
+ =
− + −
(2)
Giải
a) ĐK: a ≠ 0; b ≠ 0.
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
2 2 2 2
(1) b x a b a x b a b a
bx ab b ax ab a b a
b a x 2 b a b a
⇔ + − − + − = −

⇔ + − − − + = −
⇔ − = − +
-Nếu b – a ≠ 0
b a⇒ ≠
thì
( ) ( )
( )
2 b a b a
x 2 b a
b a
− +
= = +
−
-Nếu b – a = 0
b a⇒ =
thì phương trình có vô số nghiệm.
Vậy:
-Với b ≠ a, phương trình có nghiệm duy nhất x = 2(b + a).
-Với b = a, phương trình có vô số nghiệm
b) ĐKXĐ:
x 1
≠ ±
( ) ( ) ( )
( )
( )
2
2 2
(2) ax-1 x 1 2 x 1 a x 1
ax ax x 1 2x 2 ax a
a 1 x a 3

⇒ + + − = +
⇔ + − − + − = +
⇔ + = +
-Nếu a + 1 ≠ 0
a 1⇒ ≠ −
thì
a 3
x
a 1
+
=
+
-Nếu a + 1 = 0
a 1⇒ = −
thì phương trình vô nghiệm.
Vậy:
-Với a ≠ -1 và a ≠ -2 thì phương trình có nghiệm duy nhất
a 3
x
a 1
+
=
+
-Với a = -1 hoặc a = -2 thì phương trình vô nghiệm.
VD3.Giải các hệ phương trình sau
1 1 5
x 2y 3z 2
x 5y 7
x y x y 8
a) b) c) x 3y z 5

3x 2y 4 1 1 3
x 5y 1
x y x y 8

+ − =
+ =


+ =
+ −

 
− + =
  
− =

 
− =
− =


− +

Giải
( )
x 7 5y
x 5y 7 x 7 5y x 7 5y x 2
a)
3 7 5y 2y 4
3x 2y 4 21 17y 4 y 1 y 1

= −

+ = = − = − =
   
⇔ ⇔ ⇔ ⇔
    
− − =
− = − = = =
   

hoặc
x 5y 7 3x 15y 21 17y 17 y 1
3x 2y 4 3x 2y 4 3x 2y 4 x 2
+ = + = = =
   
⇔ ⇔ ⇔
   
− = − = − = =
   
b) ĐK:
x y≠ ±
đặt
1 1
u; v
x y x y
= =
+ −
§inh c«ng H¶i: Gi¸o viªn Ph¬ng §×nh- §an Phîng –Hµ Néi –DD 0944791341
14