CÁC DẠNG TOÁN cơ bản ôn THI học kỳ II lớp 12

I. Khảo sát hàm số:
Khảo xát và vẽ đồ thị các hàm số sau:
a) y = x
3
-3x
2
+ 2
b) y = x
3
– 6x
2
+9x +1
c) y = -2x
3
+3x
2
+1
d) y = x
4
-4x
2
+1
e) y = -x
4
+4x
2
+1
II. Tìm GTLN và GTNN của hàm số:
a)
I.TÍCH PHÂN:
1. Tích phân chứa căn:

1
3 2
0
3 2 3 2 2
2 2
3
3
2 3
1 1
1. 1
2
1 1 2 3
3
/ : x = 0 t = 1
x =1 t = 2
2 2 2 2 2 4 2 2
2
I = 2 1
3 3 3 3 9 9 9
1
I x x dx
tdt
t x t x tdt x dx x dx
d c
tdt t
t t dt
= +
= + ⇒ = + ⇒ = ⇒ =
⇒
⇒

−
= = = − =
∫
∫ ∫
2
0
2
2 2
3
3
2 3
1 1
2. sinx 1cos
sinx 1 sinx 1 2 cos cos 2
/ : x = 0 t = 1
x = t = 2
2
2 2 4 2 2
2
I = 2 2 2 2 1
3 3 3 3
1
I xdx
t t tdt xdx xdx tdt
d c
t
t tdt t dt
π
π
= +

= + ⇒ = + ⇒ = ⇒ =
⇒
⇒
−
= = = − =
∫
∫ ∫
1
0
2
1 1
3
2 3 3
1 1
3. 1
1 1 2 2
/ : x = 0 t = 1
x =1 t = 1
2 2
1
I = 2 2 2 ( 1) 1
3 3 3
1
x x
x x x x
e e
I e e dx
t e t e tdt e dx e dx tdt
d c
e

t
e
t tdt t dt e
+ +
= +
= + ⇒ = + ⇒ = ⇒ =
⇒
⇒ +
+
= = = + −
∫
∫ ∫
1
2
2 2
3
2 3 3
1 1
3ln 1
4.
3 2
3ln 1 3ln 1 2
3 3
/ : x = 1 t = 1
x =e t = 2
2
2 2 2 2 2 14
I = 2 1
1
3 3 3 3 9 9 9

e
x
I dx
x
dx dx tdt
t x t x tdt
x
d c
tdt t
t t dt
+
=
= + ⇒ = + ⇒ = ⇒ =
⇒
⇒
= = = − =
∫
∫ ∫
2. Tích phân đặt t bằng mẫu:
1
2
0
2
2 2
1 1
1.
1
1 2
2
/ : x = 0 t = 1

x =1 t = 2
2
1 1 1 1 1
I = ln | | ln 2 ln1 ln 2
1
2 2 2 2 2 2
x
I dx
x
dt
t x dt xdx xdx
d c
dt dt
t
t t
=
+
= + ⇒ = ⇒ =
⇒
⇒
= = = − =
∫
∫ ∫
2
0
1 2
2 1
sin
2.
cos 1

cos 1 sin sin
/ : x = 0 t = 2
x = t = 1
2
2
( )
I = ln | | ln 2 ln1 ln 2
1
x
I dx
x
t x dt xdx xdx dt
d c
dt dt
t
t t
π
π
=
+
= + ⇒ = − ⇒ = −
⇒
⇒
−
= = = − =
∫
∫ ∫
1
0
e +1

1
3.
1
1
/ : x = 0 t = 2
x =1 t = e +1
e +1
I = ln | | ln( 1) ln1 ln( 1)
1
x
x
x x x
e
I dx
e
t e dt e dx e dx dt
d c
dt
t e e
t
=
+
= + ⇒ = ⇒ =
⇒
⇒
= = + − = +
∫
∫
2
2

2
1
1
4.
ln
ln
/ : x = e t = 1
x =e t = 2
2
I = ln | | ln 2 ln1 ln 2
1
e
e
I dx
x x
dx
t x dt
x
d c
dt
t
t
=
= ⇒ =
⇒
⇒
= = − =
∫
∫
3) Tích phân đặt bằng trong lũy thừa:

1
2 3
0
2
2 2
4
3 3 4 4
1 1
1. ( 1)
1 2
2
/ : x = 0 t = 1
x =1 t = 2
2
1 1 1 1
I = 4 1
1
2 2 2 4 4 4
I x xdx
dt
t x dt xdx xdx
d c
dt t
t t dt
= +
= + ⇒ = ⇒ =
⇒
⇒
= = = −
∫

∫ ∫
2
4
0
5 3
2 2
5
4 4
1 1
2. (3sinx 1) cos
3sin 3cos cos
3
/ : x = 0 t = 1
x = t = 4
2
4
1 1 1 4 1 1
I =
1
3 3 3 5 3 5 3 5
I xdx
dt
t x dt xdx xdx
d c
dt t
t t dt
π
π
= +
= ⇒ = ⇒ =

⇒
⇒
= = = −
∫
∫ ∫
4) Tích phân chứa e mu đặt t = mu
2
1 1
0 0
2
2
d/c: x = 0 t = 0
x = 1 t = 1
1
1 1 1
0
2 2 2 2
1
2
0
t t t
dt
dt xdx xdx
dt e
I e e dt e
x
I xe dx
t x ⇒ = ⇒ =
⇒
⇒

−
= = = =
=
∫
=
∫ ∫
2
0
sinx
2. cos
sinx os
d/c: x = 0 t = 0
x = t = 1
2
1 1
1
1
0
0 0
I xe dx
t dt c xdx
t t t
I e dt e dt e e
π
π
=
∫
= ⇒ =
⇒
⇒

= = = = −
∫ ∫
4) Tích phân từng phần:
1
0
1
0
1. (2 1)
2 1 2
1 1
(2 1) 2 3 1 2
0 0
3 1 (2 2) 1
x
x x
x x x
I x e dx
u x du dx
dv e dx v e
I x e e dx e e
e e e
= +
= + =
 
⇒
 
= =
 
= + − = − −
= − − − = +

∫
∫
2
0
2
0
2. ( 1)sinx
1
sinx cos
( 1)cos ( cos ) 1 sinx
2 2
0 0
2
I x dx
u x du dx
dv dx v x
I x x x dx
π
π
π π
= +
= + =
 
⇒
 
= = −
 
= − + − − = +
=
∫

∫
1
2
2 2 2 2 2
1
3. lnx
ln
2
1
ln
1 1
2 2 2 4 4
2
e
e
I x dx
dx
du
u x
x
dv xdx
x
v
e e
x x dx e x e
I x
x
=

=


=


⇒
 
=


=


+
= − = − =
=
∫
∫
II. Tính diện tích hình phẳng:
1) Tính diện tích hình phẳng giới hạn y = x
3
– 3x
2
+ 2x + 2 và đường
thẳng y = 2
Giải:
Phương trình hoành độ giao điểm: x
3
– 3x
2
+ 2x + 2 = 2

⇔
x
3
– 3x
2
+ 2x = 0
0
1
2
x
x
x
=


⇔ =


=

S =
1 2
3 2 3 2
0 1
1 2
3 2 3 2
0 1
4 3 2 4 3 2
| 3 2 | | 3 2 |
| ( 3 2 ) | | ( 3 2 ) |

1 2
| ( 3 2 ) | ( 3 2 )
0 1
4 3 2 4 3 2

x x x dx x x x dx
x x x dx x x x dx
x x x x x x
− + + − +
= − + + − +
= − + + − +
=
∫ ∫
∫ ∫
2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn y = xe
x
và trục hoành và đường
thẳng x = 1.
Giải:
Phương trình hoành độ giao điểm: xe
x
= 0
⇔
xe
x
= 0
⇔
x = 0
S =
1 1

0 0
| | | | | |
x x
xe dx xe dx I= =
∫ ∫
Ta có I = 1 suy ra S = 1
III. Số phức:
1. Tìm phần thực, phần ảo, môđun, số phức liên hợp của:
a)
2 3z i= +
phần thực 2, phần ảo 3,
2 2
| | 2 3 13Z = + =
,
2 3z i= −
b)
2 3
(2 )(3 4 )
1 2
i
z i i
i
+
= + − +
−
ta có:

2
2
2

2 3 (2 3 )(1 2 )
(2 )(3 4 ) 6 8 3 4
1 2 (1 2 )(1 2 )
2 4 3 6 4 7
10 5 10 5
1 2 2 4 5
4 7 46 42
10 5
5 5 5 5
i i i
z i i i i i
i i i
i i i i
i i
i i i
i i i
+ + +
= + − + = + + − −
− − +
+ + + − +
= + + = + +
+ − −
−
= + + + = +
Phần thực 46/5, phần ảo 42/5,
2 2
46 42
| | ( ) ( )
5 5
Z = +

,
46 42
5 5
z i= −
2. Tìm hình biểu diễn của số phức z thỏa mãn:
a) |z - 2i| = 2
Giải:
Gọi z = x + yi biểu diển thành điểm M(x;y)

2 2
2 2
z – 2i 2 | 2 | 2 | ( 2) | 2 ( 2) 2
( 2) 4
x yi i x y i x y
x y
= ⇔ + − = ⇔ + − = ⇔ + − =
⇔ + − =
Vậy hình biểu diễn của z là đường tròn tâm I(0;2) và R = 2
b)
| 3| 3z + ≤
Gọi z = x + yi biểu diển thành điểm M(x;y)

2 2
2 2
z +2 3 | 2| 3 | 2 | 3 ( 2) 3
( 2) 9
x yi x yi x y
x y
≤ ⇔ + + ≤ ⇔ + + ≤ ⇔ + + ≤
⇔ + + ≤

Vậy hình biểu diễn của z là đường tròn tâm I(-2;0) và R = 3
c)z + 2i là số thực.
Gọi z = x + yi biểu diển thành điểm M(x;y)
z + 2i là số thực x + yi + 2i = x + (y + 2)i là số thực suy ra y + 2 = 0
⇔
y = -2
Vậy hình biểu diễn của z là đường thẳng y = -2
3. Giải phương trình trên tập:
a) (2 + 3i)z – (3 – 4i) = 5 – 2i
2
2
(2 3 ) 5 2 3 4
(2 3 ) 8 6
8 6 (8 6 )(2 3 ) 16 12 24 18 2 6
2 3 (2 3 )(2 3 ) 4 6 6 9 13 13
i z i i
i z i
i i i i i i
z i
i i i i i i
⇔ + = − + −
⇔ + = −
− − − − − + −
⇔ = = = = +
+ + − + − −
2
) 2 5 3
2 3
2 8
2 3

(2 8 )(2 3 ) 4 6 16 24 28 10
z
b i i
i
z
i
i
z i i i i i i
+ − =
−
⇔ = +
−
⇔ = + − = − + − = +
2
2
1
2
) 3 7 0
( 3) 4.1.7 19
3 19
2 2
3 19
2 2
c z z
b i
z
a
b i
z
a

− + =
∆ = − − = −

− − ∆ −
= =


⇒

− + ∆ +
= =


3 2
2
2
1
2
0
) 5 7 0
5 7 0
( 5) 4.1.7 4
3 2
2 2
3 2
2 2
z
d z z z
z z
b i

z
a
b i
z
a
=

− + = ⇔

− + =

∆ = − − = −

− − ∆ −
= =


⇒

− + ∆ +
= =


4 2
2
2 2
2
) 5 6 0
2 2 2
, 5 6 0

3
3
3
e z z
t z z i
t z t t
t
z
z i
+ + =


= − = − = ±

= + + = ⇔ ⇒ ⇔



= −
= −
= ±




HÌNH HỌC TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN
I. Các bài toán cơ bản:
1) Cho A(2 ;1 ;2), B(1 ;-2 ;1) ; C(0 ; 2 ; 3) Tính S
ABC
, Tìm D sao cho

ABCD là hình bình hành.
Giải:
Ta có:
( )
( 1; 3; 1)
( 2;3; 7)
( 2;1;1)
P
AB
n
AC

= − − −

⇒ = − −

= −


uuur
uuur
uuur
2 2 2
1 1 61
[ , ] ( 2) 3 ( 7)
2 2 2
ABC
S AB AC
∆
= = − + + − =

uuur uuur
ABCD là hình bình hành
AD BC⇔ =
uuur uuur
1 0 2 3
2 2 1 3
1 3 2 0
D A B C D B C A
D
D A B C D B C A D
D
D A B C D B C A
x x x x x x x x
x
y y y y y y y y y
z
z z z z z z z z
− = − = − +
= − + =
 

  
⇔ − = − ⇔ = − + ⇔ = − − + = −
  
  
= − + =
− = − = − +

 
Vậy D(3;-3;0)

2) Cho A(2 ;1 ;2), B(1 ;-2 ;1) ; C(0 ; 2 ; 3), D(-1;0;-2). Chứng minh rằng
ABCD là tứ diện, Tính V
ABCD
.
Giải:
Ta có:
( 1; 3; 1)
[ , ] ( 2;3; 7)
( 2;1;1)
AB
AB AC
AC

= − − −

⇒ = − −

= −


uuur
uuur uuur
uuur
( 3; 1; 4) [ , ] ( 2)( 3) 3( 1) ( 7)( 4) 31AD AB AC AD= − − − ⇒ = − − + − + − − =
uuur uuur uuur uuur
1 1 31
|[ , ]. | | 31|
6 6 6
ABC
S AB AC AD

∆
= = =
uuur uuur uuur
3) Cho A(2 ;1 ;2), (P): 2x + 2y – z + 3 = 0. Tính khoảng cách từ A đến
(P).
Giải:
Ta có:
2 2 2
| 2.2 2.1 2 8 | 4
( ,( ))
3
2 2 ( 1)
d A P
+ − −
= =
+ + −
II. Phương trình đường thẳng:
1) Viết phương trình đường thẳng d qua A(2;1;-2) và vuông góc (P) : 2x
– 3y + z -3 = 0.
Giải:
d qua A(2;1;-2)
d vuông góc (P) suy ra
(2; 3;1)
d p
u n= = −
uur uur
phương trình đường thẳng d
2 2
1 3
2

x t
y t
z t
= +


= −


= − +

2) Viết phương trình đường thẳng d qua A(2;1;-2) và song song
2
: 1 3
2 2
x t
y t
z t
= +


∆ = −


= − +

Giải:
d qua A(2;1;-2)
d song song
∆

suy ra
(1; 3;2)
d
u u
∆
= = −
uur uur
( Lấy hệ số trước t)
phương trình đường thẳng d
2
1 3
2 2
x t
y t
z t
= +


= −


= − +

3) Viết phương trình đường thẳng d qua A(2;1;-2) và B(1;2;3)
Giải:
d qua A(2;1;-2)
d qua A, B suy ra
( 1;1;5)
d
u AB= = −

uur uuur
(lấy tọa độ B trừ tọa độ của B)
phương trình đường thẳng d
2
1
2 5
x t
y t
z t
= −


= +


= − +

II. Viết phương trình mặt phẳng:
1) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A(2;1;-3) và song song với (Q):
2x – 3y + z -5 = 0
Giải:
(P) qua A(2;1;-3)
(P)//(Q)
( ) ( )
(2; 3;1)
P Q
n n⇒ = = −
uuur uuur
(P): 2(x – 2) – 3(y – 1) +1(z + 3) = 0
⇔

2x – 4 – 3y + 3 + z + 3 = 0
⇔
2x – 3y + z + 2 = 0
2) Viết pương trình mặt phẳng (P) qua A(2;1;-3) và vuông góc với
2
: 1 2
2 2
x t
d y t
z t
= −


= −


= − +

Giải:
(P) qua A(2;1;-3)
(P) vuông góc d
( )
( 1; 2;2)
P d
n u⇒ = = − −
uuur uur
(P): -1(x – 2) – 2(y – 1) +2(z + 3) = 0
⇔
-x + 2 – 2y + 2 + z + 3 = 0
⇔

-x – 2y + z + 7 = 0
3) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa tam giác ABC với A(2 ;1 ;2),
B(1 ;-2 ;1) ; C(0 ; 2 ; 3)
Giải:
(P) qua A(2;1;2)
(P) qua A, B , C
( )
[ , ]
P
n AB AC⇒ =
uuur uuur uuur
( )
( 1; 3; 1)
( 2;3; 7)
( 2;1;1)
P
AB
n
AC

= − − −

⇒ = − −

= −


uuur
uuur
uuur

(P): -2(x – 2) + 3(y – 1) – 7(z – 2) = 0
⇔
-2x + 4 + 3y – 3 – 7z + 14 = 0
⇔
-2x + 3y – 7z + 15 = 0
III. Phương trình mặt cầu :
1) Viết phương trình mặt cầu đường kính AB với A(2 ;1 ;3) và B(2 ;-
1 ;1)
Giải :
(S) có tâm là I(2 ;0 ;2) là trung điểm AB
(S) có bán kính là R = IA =
2 2 2
(2 2) (1 0) (3 2) 2− + − + − =
Vậy phương trình mặt cầu (S) có đường kính AB là :
2 2 2
( 2) ( 0) ( 2) 2x y z− + − + − =
2) Viết phương trình mặt cầu tâm A(2 ;1 ;3) và qua B(2 ;-1 ;1)
Giải :
(S) có tâm là A(2 ;1 ;3)
(S) có bán kính là R = AB =
2 2 2
(2 2) ( 1 1)) (3 1) 8− + − − + − =
Vậy phương trình mặt cầu (S) có tâm A(2;1;3) và qua B(2;-1;1) là:
2 2 2
( 2) ( 1) ( 3) 8x y z− + − + − =
3) Viết phương trình mặt cầu tâm A(2 ;1 ;3) và tiếp xúc (P) 2x – y + 2z +
3 = 0.
Giải :
(S) có tâm là A(2 ;1 ;3)
(S) có bán kính là R = d(A,(P)) =

2 2 2
| 2.2 1 2.3 3|
4
2 ( 1) 2
− + +
=
+ − +
Vậy phương trình mặt cầu (S) có tâm A(2;1;3) và tiếp xúc (P) 2x – y + 2z
+ 3 = 0 là:
2 2 2
( 2) ( 1) ( 3) 16x y z− + − + − =
4) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD với A(1;1;0),
B(1;0;1), C(0;1;1) và D(1;1;1).
Giải :
phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD có dạng:
2 2 2
ax 0x y z by cz d+ + + + + + =
(S) qua A(1;1;0) suy ra
2 2 2
1 1 0 .1 .1 .0 0 2(1)a b c d a b d+ + + + + + = ⇔ + + = −
(S) qua B(1;0;1) suy ra
2 2 2
1 0 1 .1 .0 .1 0 2(2)a b c d a c d+ + + + + + = ⇔ + + = −
(S) qua C(0;1;1) suy ra
2 2 2
0 1 1 .0 .1 .1 0 2(3)a b c d b c d+ + + + + + = ⇔ + + = −
(S) qua D(1;1;1) suy ra
2 2 2
1 1 1 .1 .1 .1 0 3(4)a b c d a b c d+ + + + + + = ⇔ + + + = −
Suy ra

0 (1) - (2) 1
0 (2) - (3) 1
1 (3) - (4) 1
b c a
a b b
a c
− = = −
 
 
− = ⇔ = −
 
 
− = = −
 
thay vào (1): -1 – 1 + d = -2 suy ra d = 0
Vậy phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD là:
IV. Hình chiếu vuông góc:
1) Tìm hình chiếu vuông góc của A(2;-1;-2) lên (P): 2x – y – 2z + 3 = 0
Giải:
d qua A và vuông góc (P)
d vuông góc (P) suy ra
(2; 1; 2)
d p
u n= = − −
uur uur
phương trình đường thẳng d
2 2
1
2 2
x t

y t
z t
= +


= − −


= − −

H là hình chiếu vuông góc của A lên (P) suy ra H là giao điểm của (P) và
d.
Xét phương trình
2(2 2 ) ( 1 ) 2( 2 2 ) 3 0 4 4 1 4 4 3 0
4
9 12 0
3
t t t t t t
t t
+ − − − − − − + = ⇔ + + + + + + =
⇔ + = ⇔ = −
Thay t vào d ta có:
2 1 2
( ; ; )
3 3 3
H −
H(0 ;0 ;4)
2) Tìm hình chiếu vuông góc của A(2;-1;3) lên d
2 2
1

2 2
x t
y t
z t
= +


= − −


= − −

Giải:
(P) qua A và vuông góc d
(P) vuông góc d
( )
(2; 1; 2)
P d
n u⇒ = = − −
uuur uur
(P): 2(x – 2) – (y + 1) - 2(z - 3) = 0
⇔
2x – 4 – y - 1 - 2z + 6 = 0
⇔
2x – y - 2z + 1 = 0
H là hình chiếu vuông góc của A lên (P) suy ra H là giao điểm của (P) và
d.
Xét phương trình
2(2 2 ) ( 1 ) 2( 2 2 ) 1 0 4 4 1 4 4 1 0
10

9 10 0
9
t t t t t t
t t
+ − − − − − − + = ⇔ + + + + + + =
−
⇔ + = ⇔ =
Thay t vào d ta có:
2 1 2
( ; ; )
9 9 9
H −
BÀI TẬP
1.Tính các tích phân :
1 1 1 1
4 3 5 4 4 3 3 2
0 0 0 0
1 1 1 1
6 5 5 4 4 3 3 2
0 0 0 0
1) 1 2) 1 3) 5 4) 1
5) 4 6) 2 1 7) 5 8) 2 1
x x dx x x dx x x dx x x dx
x x dx x x dx x x dx x x dx
+ + + +
+ + − + +
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
2. tính :
4

0
1) 2 1I x dx= +
∫

1
2
0
2) 1I x x dx= +
∫

1
2
0
3) 2 3I x x dx= +
∫
1
2 3
0
4) 3 1I x x dx= +
∫
3.tính
4
2
0
2
1)
1
x
I dx
x

=
+
∫

1
2
3
0
2)
1
x
I dx
x
=
+
∫

1
3
2
0
3)
1
x
I dx
x
=
+
∫

1
5
3
0
4)
1
x
I dx
x
=
+
∫
4. tính
1
2 3
0
1) (1 )I x x dx= +
∫

1
2 3 3
0
2) 3 (1 )I x x dx= +
∫

1
2 3 4
0
3) (3 )I x x dx= +
∫

1
4 5 3
0
4) (2 )I x x dx= +
∫
5. Tính
2
1
x
0
1) e xdx
∫

3
1
x 2
0
2) e x dx
∫

2
sin x
0
3) e cos xdx
π
∫
2
cos x
0
4) e sin x dx

π
∫

2
sin 2x
0
5) e cos2x dx
π
∫

2
1
x 1
0
6) e xdx
+
∫

2
2
cos x
0
7) e sin 2xdx
π
∫
6. Tính
1)
1
0
( 1)

x
I x e dx= +
∫
2)
1
0
x
I xe dx=
∫
3)
1
2
0
( 2)
x
I x e dx= −
∫
4 )
2
1
lnI x xdx
=
∫

5)
2
0
( 1)sinxI x dx
π
= +

∫

1.1 Bài 1 :
Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi :
( )
: ; ; ; 2
x
C y e Ox Oy x= =
.
1.2 Bài 2 :
Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi :
( ) ( )
3
: 3 1& : 2C y x x d y= − + =
.
1.3 Bài 3 :
Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi :
( )
4 2
: &C y x x Ox= −
.
1.4 Bài 4 :
Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi :
( ) ( )
: ; : ; .
x
C y e d y e Ox= =
1.5 Bài 5 :
Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi :
( )

: 1; , 2
x
C y e Ox x= − =
.
6. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi :
( ) ( )
: ln ; : 1; 1C y x d y x= = =
Số phức
Bài 1 : Tìm phần thực, phần ảo và modun của số phức sau :
a/
4 2
3
i
z i
i
+
= − −
; b/
( )
2
7 2 3 2z i i= − − −
;
c/
7
5 4
2
i
z i
i
−

= + −
−
; d/
7 3 1 5
1 3 2
i i
i i
+ − +
−
+ −
2: Giải các phương trình sau :
a/
3 3 2 6 7iz i i+ − = +
; b/
( )
5 2 2 7 3i z i i+ − + = −
;
c/
( )
2
4 2 1 0i i z− − − =
; d/
( ) ( )
3 2 5 2 3i z i i z− + − = + −
;
e/
( )
2
2 6 6 4i z i i+ − − = −
; f/

( )
2 3 1 2i i z i− − + = − −
;
g/
( ) ( )
5 3 7 3 2i z i i z− = − + −
; h/
( ) ( )
3 2 3 8 1 2 3i z i i z− − − = + +
;
i/
( ) ( )
2
2 1 11 2i z i z i+ + − = +
; j/
( ) ( )
2 3 2 2 16i i z i− + = − +
;
k/
1
4 2
i
z i
i
−
= +
; l/
2
1
3

z i
i
= − +
+
;