So Phuc LTDH Cap Toc

<span class='text_page_counter'>(1)</span>LTĐH Cấp Tốc 2014. GV: Đoàn Văn Tính. SỐ PHỨC A:LÝ THUYẾT:. I. SỐ PHỨC VÀ BIỂU DIỄN SỐ PHỨC : 1. Định nghĩa: Số phức là một biểu thức có dạng a  bi , trong đó a, b  ; i 2  1 .  Số phức z  a  bi có a là phần thực, b là phần ảo..   Số phức z  a  bi được biểu diễn bởi điểm M  a; b  hay bởi u   a; b  trong mặt phẳng tọa độ Oxy.  z = a + 0i là số thực  z = 0 + bi là số thuần ảo  z = 0 + 0i vừa là số thực vừa là số ảo. a  c . b  d    Modun của số phức z  a  bi chính là độ dài của OM . Vậy :  z  OM  a 2  b2 .  Hai số phức bằng nhau : a  bi  c  di  .  Số phức liên hợp của số phức z  a  bi là số phức z  a  bi . Chú ý rằng : các điểm biểu diễn z và z đối xứng nhau qua trục hoành. Do đó z là số thực khi và chỉ khi z  z , z là số ảo khi và chỉ khi z   z 2. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN SỐ PHỨC : a. Phép cộng, trừ, nhân hai số phức :.  a  bi    c  di    a  c   b  d  i  a  bi    c  di    a  c   b  d  i  a  bi  c  di    ac  bd    ad  bc  i. Chú ý : Các phép toán : cộng, trừ, nhân hai số phức thực hiện như rút gọn biểu thức đại số quen thuộc với chú ý rằng i 2  1. Các quy tắc đại số đã biết trên tập số thực vẫn được áp dụng trên tập số phức.. i1  i, i 2  1, i3  i, i 4  1 . Tổng quát : i 4n  1, i 4n1  i, i 4n2  1, i 4n3  i .. 1  i . 2.  2i ; 1  i   2i . 2. b. Phép chia hai số phức :. a  bi  a  bi  c  di   a  bi  c  di    . c  di  c  di  c  di  c2  d 2. Như vậy : (LTĐH CT 2014 - Q-Bình Tân,Q11-HCM ). 0946069661. Trang 1.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> LTĐH Cấp Tốc 2014. GV: Đoàn Văn Tính. z z.z z.z   2 z z.z z Chú ý :. 1 i i. 1 i c. Các tính chất của số phức liên hợp và modun :. .  z  z z  z ; z  z  z  z ; zz  z.z ;    z z z  0 với mọi z  , z  0  z  0 .. . z  z ; zz  z z ;. .    . z z  ; z  z  z  z z z. Tính kết hợp: ( z + z/ ) + z// = z + ( z/ + z// ) Tính giao hoán : z + z/ = z/ + z Cộng với 0: z + 0 = 0 + z = z z = a + bi = > - z = - a – bi là số đối của z. II: PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI 1 Căn bậc 2 của số phức:. 1. Định nghĩa : Số phức z là căn bậc hai của số phức w nếu :. z2  w . Như vậy để tìm Số phức z  x  yi  x, y   là căn bậc hai của số phức w  a  bi ta giải hệ phương trình hai ẩn x, y thực sau :.  2 2  x  y a   2 xy b  Chú ý :  Số 0 có đúng một căn bậc hai là 0.  Số thực a  0 có đúng hai căn bậc hai là :  a  Số thực a  0 có hai căn bậc hai là i a  i a . Đặc biệt , số 1 có hai căn bậc hai là i . 2. Phƣơng trình bậc hai : Cho phương trình bậc hai az 2  bz  c  0 ( a, b, c  , a  0 ).. (LTĐH CT 2014 - Q-Bình Tân,Q11-HCM ). 0946069661. Trang 2.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> LTĐH Cấp Tốc 2014. GV: Đoàn Văn Tính.  Nếu   0 , phương trình có một nghiệm kép z  . b . 2a.  Nếu   0 , phương trình có hai nghiệm thực phân biệt : z1,2 . b   , 2a.  Nếu   0 , phương trình có hai nghiệm ảo phân biệt : z1,2 . b . . 2a. ,. a. Định lý Viet : Nếu phương trình bậc hai az 2  bz  c  0 ( a, b, c  , a  0 ) có hai nghiệm z1 , z2 thì :. z1  z2  . b c và z1 z2  . a a. b. Định lý đảo của định lý Viet : Nếu hai số z1 , z2 có tổng z1  z2  S và z1 z2  P thì z1 , z2 là nghiệm của phương trình :. z 2  Sz  P  0 .. III: DẠNG LƢỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC 1. Dạng lƣợng giác của số phức :. Số phức z  a  bi  0 có dạng lượng giác là : z  r  cos  i sin   ; trong đó : r  z  0 ,. a b cos  , sin   ,    Ox, OM  là một acgumen của z . r r Các tính chất của acgumen : Nếu  là một acgumen của z thì  là một acgumen của z . Nếu  là một acgumen của z thì    là một acgumen của  z . 2. Nhân, chia số phức dƣới dạng lƣợng giác :. Nếu z  r  cos  i sin   và z  r  cos   i sin   thì :. zz  rr cos       i sin      , z r  cos       i sin      . z r   3. Lũy thừa số phức dƣới dạng lƣợng giác : Nếu z  r  cos  i sin   thì z n  r n  cos n  i sin n  n  1 và n . 4. Căn bậc hai của số phức dƣới dạng lƣợng giác :. Nếu z  r  cos  i sin   thì các căn bậc hai của z là :. (LTĐH CT 2014 - Q-Bình Tân,Q11-HCM ). 0946069661. Trang 3.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> LTĐH Cấp Tốc 2014. GV: Đoàn Văn Tính.   k 2   k 2  r  cos  i sin 2 2 .   , với k  0 hay k  1 . . B. Bài tập rèn luyện: Bài 1: Rút gọn các biểu thức sau:  1 1  6  11 A     i     4i   i  5 5  5  5. C . 3i 2i. 3 2i  3 3i.  1 i  E    i 1 . 2010. 3 3.  i 1     i 1 . ;. B. 1  i  2  i   1  i  2  i  1  i  2  i  1  i  2  i . ;. D. 1  2008 1   1   2009   i 2010  2011  i 2012  i i i   i  2007.  1 i  F    1 i . 2010. ;. 30.  1  i    2  3i  2  3i   10. G  1  1  i   1  i   1  i   ....  1  i  ; H  1  1  i   1  i   1  i   ....   1  i  2. 3. 20. 2. 3. 20. Bài 2: Giải các phương trình sau trên tập số phức: a. (7+2i)x-4+5i = -2+8i ;b. (3+2i)x-6ix=(1-2i)[x-(1+5i)] c.. 2i 1  3i z 1 i 2i. ; d.  2  i  z  3  i   iz . e.. z  2 z  2  4i. ; f. 3x  3  3i 2 x  i.  . . 2. g. z2+ z =0 k. (1-ix)2 + (3+2i)x-5=0 m. 2x4+3x2+1=0. . 1 0 2i . 1  i  18 x . 3. 1 i. 2. ; i. z2+ z =0. ; h. z 2+ z =0 ; l. x4-x2 -6=0 ; n. 4x4+4x2+1=0. 2 Bài 3: Biết x1 , x2 là hai nghiệm của PT: 2 x  3x  3  0 . Hãy tính:. a. A= x1  x2 2. 2. ; b. B= x1  x2 ; c. C= x1  x2 3. 4. 3. 4. ; d. D=. x1 x2  x2 x1. ; e. E=. 1 1  x12 x22. Bài 4: Tìm các số a, b để có được phân tích sau: a. 2z3-9z2+14z-5=(2z-1)(z2+az+b)=0 rồi giải PT trên tập C: 2z3-9z2+14z-5=0 b. x4-4x2-16x-16=(x2-2x-4)(x2+ax+b) rồi giải PT trên tập C: x4-4x2-16x-16=0 Bài 5: Lập PT bậc hai có nghiệm là: a. 1  i 2 và 1  i 2 ; Bài 6: Tìm số phức z thõa :. b.. 3  2i và 3  2i ;. c.  3  i 2 và  3  i 2. ; 2.(z+1)(z-1)=2+4i ; 3.  z  1   i ; 4. z -2z=1+2i đs:z=-I ;  z 1  2. 1.(z+i)2=1. . 5. 3Z  2 Z  5i  3;  kq : z . . 108  12 161 5   z  2i  1  z  i  17 7   i  ; 6.  kq : z    i 90 3   z  3i  2  z  2 2  . 1 1 1 1   7. z  z  z ;  kq : z  0; z    i; z    i  ;8. 2 2 2 2   2. (LTĐH CT 2014 - Q-Bình Tân,Q11-HCM ).  z  10  ; kq : z  i 10; z  i 10; z  10; z   10  2  z lasothuc. . . 0946069661. Trang 4. . 1 i.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> LTĐH Cấp Tốc 2014. GV: Đoàn Văn Tính.  z  i  z 1 i  2  640 3  16 3  2 640 3  16 2  640 3  16 3  2 640 3  16  9 .   z   i; z   i   20 80 20 80  z.z  2 3    z 1. 4 1 7    10. z +z=3-4i  kq : z    4i  ; 11.  z  i   1 (đs:z=0;z=1;z=-1) ; 12.  z  i  6    z i   z  3i.   z i.  z  2i  z 13.  .   z  i  z 1. ;. 1. (đs: z=1+i); 14. z  3 và z2 là số thuần ảo.  6 6 6 6 6 6 6 6   i; z   i; z   i; z    i   kq : z   2 2 2 2 2 2 2 2  . .  z 3i  2 14.  ; 15. 2 z    z.z  20. 2.  z  z ;16. z  2i  1  5 2 và z2 là số thuần ảo 2. Bài 7:Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z thõa mỗi điều kiện sau:.  1 1  . a. z  1 và phần ảo của z thuộc đoạn   ;  ;b. z  z  3  4 ; c. z  z  1  i  2 2 2 d. (2-z)(i- z ) là số thực tùy ý ; e. (2-z)(i+ z ) là số ảo tùy ý; f. 2 z  i  z  z  2i ; g. z  ( z )  4 2. 2. h. z  4  1 ; i. z  2i  1  z  3  i ; k. z  z  2 ; l. z  z  2  1 ; m. z  z  2  3i  13 n. 2 z  3i  z  z  2i ; p. z  2  3i  14 ; q. z  1  2i  z  3  2i  6 ; r. z+2i là số thực s. z-2+i là số thuần ảo; t. z. z =9 ; v.. z  3i  1 ; u. z  1  i  2 ; x. z  1  z  1  4 z i. II. Các bài trong các đề thi đại học và bài tập làm thêm: 1. ĐH 2009A(CB) Gọi z1 , z2 là hai nghiệm của PT z2+2z+10 = 0. Tính giá trị của biểu thức A= z1  z2 KQ:A=20 2. ĐH 2009B(CB) Tìm số phức z thõa mãn z   2  i   10 và Z .Z =25 KQ: z=3+4i ; z=5 2. 2. 3. ĐH 2009D Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thõa mãn diều kiện z   3  4i   2 KQ: Đường tròn tâm I(3;-4), bán kính R=2 4. CĐ 2009A,B,D (CB) Cho số phức z thõa mãn: (1+i) 2(2-i)z=8+i(1+2i)z. Xác định phần thực và phần ảo của z KQ: phần thực: -2; phần ảo: 5 4 z  3  7i  z  2i trên tập số phức. KQ: z1  1  2i; z2  3  i 5. CĐ 2009A,B,D (NC) Giải PT: z i.  2  i  1  2i  KQ:  2 3i  .Tìm môđun của Z  iZ KQ: 8. 6.. ĐH 2010A(CB) Tìm phần ảo của số phức z, biết: Z . 7.. 1  ĐH 2010A(NC) Cho số phức z thõa mãn: Z . 2. 3. 1 i. 2. 8. ĐH 2010B Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thõa mãn diều kiện z  i  1  i  z KQ: Đường tròn tâm I(0;1), bán kính R= 2 (LTĐH CT 2014 - Q-Bình Tân,Q11-HCM ). 0946069661. Trang 5.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> LTĐH Cấp Tốc 2014. GV: Đoàn Văn Tính. 9. ĐH 2010D Tìm số phức z thõa mãn điều kiện z  2 và z2 là số thuần ảo. KQ: z1  1  i; z2  1  i; z3  1  i; z4  1  i 10. CĐ 2010A,B,D (CB) Cho số phức z thõa mãn:  2  3i  Z   4  i  Z   1  3i  Xác định phần thực và phần ảo của z KQ: phần thực: -2; phần ảo: 5 2 11. CĐ 2010A,B,D (NC) Giải PT: z -(1+i)z+6+3i=0 trên tập số phức. KQ: x1  1  2i; x2  3i 12. TN 2011(CB) Giải PT: (1-i)z+2-i=4-5i trên tập số phức. KQ:z=3-i 13. TN 2011(NC) Giải PT: (z-i)2+4=0 trên tập số phức. KQ: z1  3i; z2  i 2. 14. ĐH 2011D(CB) Tìm số phức z, biế t : z   2  3i  z  1  9i KQ: z=2-i 15. ĐH 2011B(CB) Tìm số phức z, biế t : z . 5i 3  1  0 kq : z1  1  i 3; z2  2  i 3 z. . . 3.  1 i 3  16. ĐH 2011B(NC) Tìm phần thực và phần ảo của số phức sau: z     1 i  (kq: phầ n thực bằ ng 2 và phần ảo bằng 2) 1 1 1 1  2  17. ĐH 2011A(CB) Tìm số phức z, biế t : z 2  z  z;  kq : z1  0; z2    i; z3    i  2 2 2 2  .  2 18. ĐH 2011A(NC) Tính môđun của số phức z, biế t :  2 z  11  i   z  1 1  i   2  2i;  kq : z   3   5( z  i) 19. Cho số phức z thỏa  2  i . Tính môđun của số phức w = 1 + z + z2. ( A 2012-NC) z 1 20. Cho số phức z  1  3i . Viết dạng lượng giác của z. Tìm phần thực và phần ảo của số phức w  (1  i)z5 . ( A 2013 –NC). . 21.. . Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2  2 3iz  4  0 . Viết dạng lượng giác của z1 và z2 B 2012 –NC). 22. Cho số phức z thỏa mãn (2 + i)z +. (. 2(1  2i)  7  8i . Tìm môđun của số phức w = z + 1 + i. 1 i. ( D 2012) 23. Giải phương trình z2 + 3(1 + i)z + 5i = 0 trên tập hợp các số phức. ( D 2012 – NC) 24. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (1  i)(z  i)  2z  2i .Tính môđun của số phức w . z  2z  1 (D z2. 2013). Làm thêm 25. Cho z1, z2 là các nghiệm phức của phương trình 2 z 2  4 z  11  0 . Tính giá trị của biểu thức z1  z2 2. A.  z1  z2 . 2 2. . ĐS: A=11/4. 26. Tìm số phức z thoả mãn: z  2  i  2 . Biết phần ảo nhỏ hơn phần thực 3 đơn vị.. . . . . ĐS: z  2  2  1  2 i, z  2  2  1  2 i .. (LTĐH CT 2014 - Q-Bình Tân,Q11-HCM ). 0946069661. Trang 6.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> LTĐH Cấp Tốc 2014. GV: Đoàn Văn Tính.  z 1  z i 1  27. Tìm số phức z thỏa mãn:   z  3i  1  z  i HD: Gọi z=x+yi; (1)x=y, (2)y=1.. 1 ..  2 ĐS: z=1+i.. 4.  zi 28. Giải phương trình:    1.  z i . ĐS: z{0;1;1} 29. Giải phương trình: z 2  z  0 . HD: Gọi z=x+yi thay vào phương trình  x, y  z. ĐS: z{0;i;i} 2. 30. Giải phương trình: z  z  0 . HD: Gọi z=x+yi thay vào phương trình  x, y  z. ĐS: z=0, z=1, z . 1 3  i 2 2. z2 31. Giải phương trình: z 4  z 3   z  1  0. 2 HD: Chia hai vế phương trình cho z2. 1 1 ĐS: z=1±i, z    i . 2 2. 32. Giải phương trình: z5 + z4 + z3 + z2 + z + 1 =0. HD: Đặt thừa số chung. 1 3 1 3  i, z    i. 2 2 2 2 33. Cho phương trình: (z + i)(z22mz+m22m)=0. Hãy xác định điều kiện của tham số m sao cho phương trình: a. Chỉ có đúng 1 nghiệm phức. b. Chỉ có đúng 1 nghiệm thực. c. Có ba nghiệm phức. ĐS: z  1, z . 34. Giải phương trình sau biết chúng có một nghiệm thuần ảo: a. z3iz22iz2 = 0. b. z3+(i3)z2+(44i)z7+4i = 0. 35. Xác định tập hợp các điểm trên mặt phẳng biểu diễn số phức: 2 z  i  z  z  2i . ĐS: y  36. Tìm phần thực, phần ảo của các số phức sau: 7   (1  i)10  a. . b.  cos  i sin  i5 1  i 3 . 9 3 3  3 i. . . . ĐS: a. Phần thực . . 1 , phần ảo bằng 0, b. Phần thực 0, phần ảo bằng 128. 16. (LTĐH CT 2014 - Q-Bình Tân,Q11-HCM ). 0946069661. Trang 7. x2 . 4.

<span class='text_page_counter'>(8)</span>