CHƯƠNG VII
PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC CHỨA CĂN VÀ PHƯƠNG TRÌNH
LƯNG GIÁC CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
A) PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC CHỨA CĂN
Cách giải : Áp dụng các công thức
A 0B
AB
0
A BA
≥≥
⎧⎧
=⇔ ⇔
⎨⎨
B= =
⎩⎩
2
B0
AB
A B
≥
⎧
=⇔
⎨
=
⎩
Ghi chú : Do theo phương trình chỉnh lý đã bỏ phần bất phương trình lượng
giác nên ta xử lý điều kiện
B
bằng phương pháp thử lại và chúng tôi bỏ
0
≥
các bài toán quá phức tạp.
Bài 138 : Giải phương trình
( )
5cos x cos2x 2sin x 0 *−+=
()
* 5cos x cos2x 2sin x⇔−=−
2
sin x 0
5cos x cos 2x 4 sin x
≤
⎧
⇔
⎨
−=
⎩
()(
22
sin x 0
5cosx 2cos x 1 4 1 cos x
≤
⎧
⎪
⇔
⎨
−−=−
⎪
⎩
)
=
2
sin x 0
2cos x 5cosx 3 0
≤
⎧
⇔
⎨
+−
⎩
()
sin x 0
1
cosx cosx 3 loại
2
≤
⎧
⎪
⇔
⎨
=∨ =−
⎪
⎩
≤
⎧
⎪
⇔
π
⎨
=± + π ∈
⎪
⎩
π
⇔=−+ π∈
sin x 0
xk2,k
3
xk2,k
3
Bài 139 : Giải phương trình
333 3
sinx cosx sinxcotgx cosxtgx 2sin2x++ + =
Điều kiện :
cos x 0
sin 2x 0
sin x 0 sin 2x 0
sin 2x 0
sin 2x 0
≠
⎧
≠
⎧
⎪
≠⇔ ⇔ >
⎨⎨
≥
⎩
⎪
≥
⎩
Lúc đó :
()
332 2
* sinxcosxsinxcosxcosxsinx 2sin2x⇔++ + =
()( )
22
sin x sin x cos x cos x cos x sin x 2sin 2x⇔+++=
( )
()
22
sin x cos x sin x cos x 2sin 2x
⇔+ + =
()
2
sin x cos x 0
sin x cos x 2sin 2x
+≥
⎧
⎪
⇔
⎨
+=
⎪
⎩
()
sin x 0
2sin x 0
4
4
sin2x 1 nhận do sin2x 0
1 sin 2x 2sin 2x
⎧π
⎛⎞
⎧π
⎛⎞
+≥
+≥
⎪⎪
⎜⎟
⎜⎟
⇔⇔
⎝⎠
⎝⎠
⎨⎨
⎪⎪
= >
+=
⎩
⎩
()
⎧π ⎧π
⎛⎞ ⎛⎞
+≥ +≥
⎜⎟ ⎜⎟
⎪⎪
⎪⎪
⎝⎠ ⎝⎠
⇔⇔
⎨⎨
πππ
⎪⎪
=+π∈ =+ π∨= + π ∈
⎪⎪
⎩⎩
sin x 0 sin x 0
44
5
xk,k xm2x m2loại,m
444
π
⇔=+ π ∈xm2,m
4
Bài 140 : Giải phương trình
()
π
⎛⎞
+=
⎜⎟
⎝⎠
2
1 8 sin 2x. cos 2x 2 sin 3x *
4
+
Ta có : (*)
22
sin 3x 0
4
1 8sin 2x cos 2x 4 sin 3x
4
⎧π
⎛⎞
+≥
⎜⎟
⎪
⎪⎝ ⎠
⇔
⎨
π
⎛⎞
⎪
+=
⎜⎟
⎪
⎝⎠
⎩
+
()
⎧π
⎛⎞
+≥
⎜⎟
⎪
⎪⎝ ⎠
⇔
⎨
π
⎡ ⎤
⎪
++=−+
⎢ ⎥
⎪
⎣ ⎦
⎩
sin 3x 0
4
14sin2x1cos4x 21cos(6x )
2
()(
sin 3x 0
4
1 4 sin 2x 2 sin 6x sin 2x 2 1 sin 6x
⎧π
⎛⎞
+≥
⎪
⎜⎟
⇔
⎝⎠
⎨
⎪
++ −=+
⎩
)
⎧π⎧π
⎛⎞ ⎛⎞
+≥ +≥
⎜⎟ ⎜⎟
⎪⎪
⎪⎪
⎝⎠ ⎝⎠
⇔⇔
⎨⎨
ππ
⎪⎪
= = +π∨ = +π ∈
⎪⎪
⎩⎩
sin 3x 0 sin 3x 0
44
15
sin 2x x k x k , k
21212
So lại với điều kiện
sin 3x 0
4
π
⎛⎞
+ ≥
⎜⎟
⎝⎠
Khi x k thì
12
π
•=+π
sin 3x sin 3k cos k
42
ππ
⎛⎞⎛ ⎞
+= +π=
⎜⎟⎜ ⎟
⎝⎠⎝ ⎠
π
()
( )
()
()
⎡
=
⎢
−
⎢
⎣
1 , nếu k chẵn nhận
1, nếu k lẻ loại
π
•=+π
5
Khi x k thì
12
ππ π
⎛⎞⎛ ⎞⎛
+= +π= −+π
⎜⎟⎜ ⎟⎜
⎝⎠⎝ ⎠⎝
3
sin 3x sin 3k sin k
42 2
⎞
⎟
⎠
( )
()
−
⎡
=
⎢
⎢
⎣
1, nếu k chẵn loại
1, nếu k lẻ nhận
Do đó
() ()
ππ
⇔ =+π∨=+ +π∈
5
*x m2x 2m1,m
12 12
Bài 141 : Giải phương trình
()
1sin2x 1sin2x
4cosx *
sin x
−++
=
Lúc đó :
()
* 1 sin 2x 1 sin 2x 2sin 2x⇔− ++ =
( hiển nhiên sinx = 0 không là nghiệm , vì sinx =0 thì VT = 2, VP = 0 )
22
2 2 1 sin 2x 4sin 2x
sin 2x 0
⎧
⎪
+− =
⇔
⎨
≥
⎪
⎩
22
1 sin 2x 2sin 2x 1
sin 2x 0
⎧
⎪
−=
⇔
⎨
≥
⎪
⎩
−
242
2
1 sin 2x 4sin 2x 4sin 2x 1
1
sin 2x
2
sin 2x 0
⎧
−= −
⎪
⎪
⇔≥
⎨
⎪
≥
⎪
⎩
+
()
22
sin 2x 4 sin 2x 3 0
1
sin 2x
2
⎧
−=
⎪
⇔
⎨
≥
⎪
⎩
⎧
−
=∨ =
⎪
⎪
⇔
⎨
⎪
≥
⎪
⎩
33
sin 2x sin 2x
22
2
sin 2x
2
3
sin 2x
2
⇔=
ππ
⇔ =+π∨ = +π∈
2
2x k2 2x k2 , k
33
ππ
⇔ = +π∨ = +π ∈
xkxk,k
63
Chú ý : Có thể đưa về phương trình chứa giá trò tuyệt đối
()
≠
⎧
⎪
⇔
⎨
−++=
⎪
⎩
⇔−++=
sin x 0
*
cosx sinx cosx sinx 2sin2x
cos x sin x cos x sin x 2 sin 2x
Bài 142 : Giải phương trình
()
+++=
sin x 3 cos x sin x 3 cos x 2 *
Đặt
sin
3
tsinx 3cosxsinx cosx
cos
3
π
=+ =+
π
1
tsinx2sinx
33
cos
3
ππ
⎛⎞ ⎛⎞
⇔= + = +
⎜⎟ ⎜⎟
π
⎝⎠ ⎝⎠
()
+=*thành t t 2
⇔=−
−≥ ≤
⎧⎧
⇔⇔
⎨⎨
=− + − +=
⎩⎩
≤
⎧
⇔⇔=
⎨
=∨=
⎩
22
t2t
2t 0 t 2
t44tt t 5t40
t2
t1
t1t4
Do đó
()
*
πππ ππ
⎛⎞
⇔ + =⇔+=+π += +π∈
⎜⎟
⎝⎠
15
sin x x k2 hay x k2 , k
32 36 36
ππ
⇔=−+ π∨=+ π∈
xk2xk2,k
62
Bài 143
: Giải phương trình
()( ) ( )
++=+3 tgx 1 sin x 2 cos x 5 sin x 3 cos x *
Chia hai vế của (*) cho
cos x 0
≠
ta được
() ()( )
* 3 tgx 1 tgx 2 5 tgx 3⇔++=+
Đặt
utgx1vớiu=+ ≥0
x
Thì
2
u1tg
−=
(*) thành
()( )
22
3u u 1 5 u 2
+= +
32
3u 5u 3u 10 0
⇔ − +−=
()
( )
2
u23u u5 0
⇔− ++=
( )
2
u 2 3u u 5 0 vô nghiệm⇔=∨ ++=
Do ủoự
()
* tgx 1 2+=
tgx 1 4
+=
tgx 3 tg vụựi
22
== <<
,xkk
=+
Baứi 144 : Giaỷi phửụng trỡnh
()
()
1
1 cos x cos x cos2x sin 4x *
2
+ =
()
()
* 1 cosx cosx cos2x sin2xcos2x
+ =
+
=
cos x 0
hay 1 cos x cos x sin 2x
cos 2x 0
=
=+
+ =
2
cos x 0
cos x 0
hay sin 2x 0
2x k , k
2
12(1cosx)cosxsin2x
=+
+ =
2
cos x 0
cos x 0
hay sin 2x 0
xk,k
42
12(1cosx)cosxsin2x(VT1VP)
= + = +
=
=
2
cos x 0
cos x 0
sin 2x 0
hay
5
xhhayx h,h
sin 2x 1
44
(1 cosx)cosx 0
=+
==
= = ===
xh,h
4
sin 2x 1 sin 2x 1
hay hay
cosx0( sin2x0) cosx1( sinx0 sin2x0)
=+ xh,h
4
Baứi 145
: Giaỷi phửụng trỡnh
( ) ( ) ( )
33
sin x 1 cot gx cos x 1 tgx 2 sin x cos x *++ +=
()
33
sinx cosx cosx sinx
*sinx cosx 2sinxcos
sin x cos x
++
+=
x
()
()
22
sin x cos x sin x cos x 2 sin x cos x+ + =
sin x cos x 0
1 sin 2x 2sin 2x
+
+=
+
+
=
= +
sin x 0
sin x cos x 0
4
sin 2x 1
xk,k
4