HINH HOC CO DIEN LTDH

<span class='text_page_counter'>(1)</span>TOÁN – LTĐH. GV: PHẠM VĂN LỘC. DẠNG 1: TÍNH THỂ TÍCH CỦA MỘT KHỐI ĐA DIỆN, CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN GÓC, KHOẢNG CÁCH Thể tích của khối hộp chữ nhật:. V  abc. với a, b, c là ba kích thước của khối hộp chữ nhật.. 2. Theå tích cuûa khoái choùp:. 1 V  Sđáy .h với Sđáy là diện tích đáy, h là chiều cao của khối chóp 3 3. Theå tích cuûa khoái laêng truï:. V  Sđáy .h. với Sđáy là diện tích đáy, h là chiều cao của khối lăng trụ. 4. Moät soá phöông phaùp tính theå tích khoái ña dieän a) Tính thể tích bằng công thức  Tính các yếu tố cần thiết: độ dài cạnh, diện tích đáy, chiều cao, …  Sử dụng công thức để tính thể tích. b) Tính theå tích baèng caùch chia nhoû Ta chia khối đa diện thành nhiều khối đa diện nhỏ mà có thể dễ dàng tính được thể tích của chúng. Sau đó, cộng các kết quả ta được thể tích của khối đa diện cần tính. c) Tính theå tích baèng caùch boå sung Ta coù theå gheùp theâm vaøo khoái ña dieän moät khoái ña dieän khaùc sao cho khoái ña dieän theâm vaøo vaø khối đa diện mới tạo thành có thể dễ tính được thể tích. d) Tính thể tích bằng công thức tỉ số thể tích Ta coù theå vaän duïng tính chaát sau: Cho ba tia Ox, Oy, Oz không đồng phẳng. Với bất kì các điểm A, A’ trên Ox; B, B' trên Oy; C, C' trên Oz, ta đều có:. VOABC. VOA ' B 'C '. . OA OB OC . . OA ' OB ' OC '. * Boå sung  Dieän tích xung quanh cuûa hình laêng truï (hình choùp) baèng toång dieän tích caùc maët beân  Diện tích toàn phần của hình lăng trụ (hình chóp) bằng tổng diện tích xung quanh với diện tích các đáy. BÀI MẪU 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SC tạo với mặt đáy một góc bằng 600. Tính thể tích khối chóp S.ABCD. 1 1 a3. 6 VS . ABCD  .S ABCD .SA  .a 2 .a 6  3 3 3 2. Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B, AB = a 3 , BC = a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy ; mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy (ABC) một góc bằng 600 .Tính thể tích khối chóp S.ABC. 1 1 a2. 3 a3. 3 VS . ABC  .S ABC .SA  . .3a  3 3 2 2 3.. Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B, AB = a, ACB  600 , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SB tạo với mặt đáy một góc bằng 450 .Tính thể tích khối chóp S.ABC. 1 1 a2 . 3 a3 . 3 VS . ABC  .S ABC .SA  . .a  3 3 6 18 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SC tạo với mặt đáy một góc bằng 600 .Tính thể tích khối chóp S.ABCD. 1 3. 1 3. * VS . ABCD  .S ABCD .SA  .a 2 .a 6 . Mọi thắc mắc vui lòng liên hệ: 0974477839. a3. 6 3. Trang 1.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> TOÁN – LTĐH. GV: PHẠM VĂN LỘC. 5. Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B, AB = a 3 , BC = a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy ; mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy (ABC) một góc bằng 600 .Tính thể tích khối chóp S.ABC. 1 a2. 3 a3. 3 .3a  3 2 2. 1 3. *: VS . ABC  .S ABC .SA  .. 6. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, cạnh BC = a 2 , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy ; mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy (ABC) một góc bằng 450 .Tính thể tích khối chóp S.ABC 7. Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân tại B, AC = a 2 , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SB = a 3 .Tính thể tích khối chóp S.ABC. 1 a2 a3 .a  3 2 6. 1 3. * VS . ABC  .S ABC .SA  .. 8. Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC đều cạnh 2a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SB = a 5 .Tính thể tích khối chóp S.ABC. 1 3. 1 3. * VS . ABC  .S ABC .SA  .a 2 . 3.a . a3. 3 3. 9. Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC cân tại A, BC = 2a 3 , BAC  1200 ,cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA =2a.Tính thể tích khối chóp S.ABC *. 1 1 a3. 3 VS . ABC  .S ABC .SA  .a 2 . 3.a  3 3 3. 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA= AC = a 2 .Tính thể tích khối chóp S.ABCD 11. Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC đều cạnh 2a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a 3 . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Tính thể tích khối chóp S.AMN Vậy VS . AMN . VS . ABC a3  4 4. 12. ho hình chóp S.ABC có tam giác ABC đều cạnh 2a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a 3 . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB và SC. Tính thể tích khối chóp S.AMN và A.BCNM. VA.BCNM. 3 3a  .VS . ABC  4 4. 3. 13. Cho lăng trụ ABCA’B’C’ có độ dài cạnh bên = 2a, ∆ABC vuông tại A, AB = a, AC = a 3 . Hình chiếu vu«ng gãc cña A’ trªn (ABC) lµ trung ®iÓm BC. TÝnh VA’ABC theo a?. . a 2 3.a 3 . a2 2. . . a3 . a3 36. 1 1 1 VA’ABC = 3 S∆ABC .A’H = 3 2 14. H×nh chãp SABCD cã SA ⊥ (ABC), SA = a. ∆ABC vu«ng c©n cã AB = BC =a. B’ lµ trung ®iÓm SB. C’ lµ ch©n ®-êng cao h¹ tõ A cña ∆SAC a) tÝnh VSABC b) Chøng minh r»ng AB ⊥ (AB’C’). TÝnh VSAB’C’. 1 a2 V∆AB’C’ = 3 24. 15. SABC cã SA = SB = SC = a. ASB = 60o, BSC = 90o, CSA = 120o. a) Chøng minh r»ng ∆ABC vu«ng b) TÝnh VSABC 16. SABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn AB = 2, ACB = 90o. ∆SAC và ∆SBD là các tam giác đều cã c¹nh =. 3 . TÝnh thÓ tÝch khèi chãp SABCD. 6. §¸p sè: VSABCD = 4 17. Cho h×nh chãp SABCD cã ABCD lµ h×nh vu«ng c¹nh 2a, SA = a,. Mọi thắc mắc vui lòng liên hệ: 0974477839. Trang 2.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> TOÁN – LTĐH. GV: PHẠM VĂN LỘC. SB = a 3 , (SAB)  (ABCD). M, N lần lượt là trung ®iÓm AB, BC. TÝnh VSBMDN. 1. 1. VSBMDN = 3 S⋄BMDN.SH = 3. 2a 2 . a 2 3 . a3 3 2. 1. 18. SABCD cã ⋄ABCD lµ h×nh thang víi AB = BC = CD = 2 AD. ∆SBD vu«ng t¹i S vµ n»m trong mÆt phẳng vuông góc với đáy. SB = 8a, SD = 15a. Tính VSABCD. 1. 2 1 289 3a 120 a 12 17 = 170. .. VSABCD = 3 S⋄ABCD.SH = 3. 3 a3. 19. hình chóp SACD có đáy ABCD là hình chữ nhật, ∆SCD cân tại S và nằm trong mặt phẳng  (ABCD). ∆SAB cã SA = a, ASB = 2 α vµ n»m trong mÆt ph¼ng lËp víi (SCD) mét gãc α. TÝnh thÓ tÝch khèi chãp SABCD VSABCD =. 1 3 SH .. S ABCD  23 a 3 sin 2 α. 20. H×nh chãp SABCD cã ∆ABC vu«ng t¹i B, SA b (ABC). ACB =60o, BC = a, SA = a 3 , M lµ trung ®iÓm SB. TÝnh thÓ tÝch MABC 1 3. VMABC =. S ABC .MH  13 . 12 a 2 3. a 2 3 . a3 4. 21. H×nh chãp SABCD cã ABCD lµ h×nh vu«ng t©m O, SA  (ABCD), AB = a, SA = a 2 . H, K lÇn l-ît lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña A trªn SB, SD. Chøng minh r»ng: SC  (AHK) vµ tÝnh thÓ tÝch h×nh chãp OAHK.. 1 V = OE.S AHK  3. 2a 3 2 27. 22. H×nh chãp SABCD cã ABCD lµ h×nh ch÷ nhËt, AB = a, AD = a 2 , SA = a, SA  (ABCD). M, N lÇn l-ît lµ trung ®iÓm AD vµ SC. {I} = BM ∩ AC. TÝnh thÓ tÝch h×nh chãp ANIB. 1 a. 1. VANIB = 3 NO.S∆AIB = 3 . 2 .. a2 2 6. . a3 2 36. 23. Hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, (SAD)  (ABCD), ∆SAD đều. Gọi M, N, P lần l-ợt là trung điểm SB, BC, CD. Tính thể tích hình chóp CMNP. VCMNP =. 1 2. 1 1 S∆NCP.MF = 3 8. a2. a 43 . a3 3 96. 24. Cho lăng trụ tam giác ABCA’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều, cạnh a và A’A = A’B = A’C. Cạnh AA’ tạo với đáy một góc 60o. Tính thể tích lăng trụ ABCA’B’C’. VABCA’B’C’ = S∆ABC.A’O =. a3 3 4. 25.Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là một tam giác vuông tại A, AC = b, C = 60o. (BC’,(AA’C’C)) = 30o. TÝnh thÓ tÝch cña khèi l¨ng trô VABCA’B’C’ = S∆ABC.AA’ = 6 b3 26. Cho h×nh hép ch÷ nhËt ABCDA’B’C’D’ cã AB = a, AD = b , AA ’= c a)TÝnh thÓ tÝch A’C’BD b)Gäi M lµ trung ®iÓm CC’TÝnh thÓ tÝch MA’BD. 27. Cho tø diÖn SABC lÊy M, N thuéc c¹nh SA, SB sao cho. SM 1 SN  ,  2 . MÆt ph¼ng qua MN // SC chia MA 2 NB. tø diÖn thµnh hai phÇn. TÝnh tØ sè thÓ tÝch hai phÇn nµy. V1 V2. Mọi thắc mắc vui lòng liên hệ: 0974477839. . 4 5. Trang 3.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> TOÁN – LTĐH. GV: PHẠM VĂN LỘC. 28. Cho lăng trụ đứng tam giác đều ABCA’B’C’ có cạnh đáy và cạnh bên đều bằng a. M, N, E lần l-ợt là trung ®iÓm cña BC, CC’, C’A’. TÝnh tØ sè thÓ tÝch hai phÇn l¨ng trô do (MNE) t¹o ra. V1 V2 = 1 29. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và SA  (ABC).Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của A trên các đường thẳng SB và SC. Tính thể tích khối chóp A.BCNM. HD:. VSAMN VSABC. 2. 3a3 3 SA SM SN  SA2  16  . .    V   SA SB SC  SB 2  25 50. 30. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, cạnh bên SA = a 5 . Một mặt phẳng (P) đi qua AB và vuông góc với mp(SCD) lần lượt cắt SC và SD tại C và D. Tính thể tích của khoái ña dieän ADD.BCC. HD: Ghép thêm khối S.ABC'D' vào khối ADD'.BCC' thì được khối SABCD. V. 5a3 3 6 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP. Baøi 1.. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và SA  (ABC). Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của A trên các đường thẳng SB, SC. Tính thể tích khối chóp A.BCNM.. Baøi 2.. (A–08) Cho lăng trụ ABC. A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB. = a, AC = a 3 vaø hình chieáu vuoâng goùc cuûa A’ treân (ABC) laø trung ñieåm cuûa BC. Tính theo a theå tích cuûa khoái chóp A’.ABC và cosin của góc giữa 2 đường thẳng AA’ và B’C’. HD:. V. a3 ; 2. cos  . 1 4. Baøi 3.. (B–08): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB = a 3 và (SAB) vuông góc mặt đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB, BC. Tính theo a thể tích của khối chóp S.BMDN và cosin của góc giữa hai đường thẳng SM và DN. HD:. V. a3 3 ; 3. cos  . 5 5. Bài 4. (D–08): Cho lăng trụ đứng ABC. A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a, cạnh bên AA’ = a 2 . Gọi M là trung điềm của BC. Tính theo a thể tích của lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa 2 đường thẳng AM, BC. HD:. 2 a3 V ; 2. d. a 7 7. Baøi 5.. (A–07): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm SB, BC, CD. Chứng minh AM  BP vaø tính theå tích khoái CMNP. HD:. 3a3 V 96. Baøi 6.. (B–07): Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA; M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC. Chứng minh MN  BD và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC. HD:. Baøi 7.. d. a 2 4. (D–07): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với ABC  BAD  900 , BC = BA = a,. Mọi thắc mắc vui lòng liên hệ: 0974477839. Trang 4.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> TOÁN – LTĐH. GV: PHẠM VĂN LỘC. AD = 2a. SA(ABCD), SA  a 2 . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB. Chứng minh tam giác SCD vuông và tính khoảng cách từ H đến (SCD).. d. HD:. a 3. Baøi 8.. (A–06): Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O, bán kính đáy bằng chiều cao và bằng a. Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm B sao cho AB = 2a. Tính thể tích của khối tứ diện OOAB. HD:. 3a3 12. V. Baøi 9.. (B–06): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD  a 2 , SA = a và SA  (ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, SC; I là giao điểm của BM và AC. Chứng minh rằng (SAC)  (SMB). Tính thể tích của khối tứ diện ANIB. HD:. V. a3 2 36. Bài 10. (D–06): Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và SA  (ABC). Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SC. Tính thể tích của hình chóp A.BCMN. HD:. V. 3 3a3 50. Bài 11. (Dự bị 1 A–07): Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có AB = a, AC = 2a, AA1 = 2a 5 và BAC  1200 . Gọi M là trung điểm CC1. Chứng minh MB  MA1 và tính khoảng cách d từ A đến (A1BM). HD:. . d. . a 5 3. Bài 12. (Dự bị 2 A–07): Cho hình chóp SABC có góc (SBC),( ABC)  600 , ABC và SBC là các tam giác đều cạnh a. Tính theo a khoảng cách từ B đến (SAC). HD:. d. 3a 13. Bài 13. (Dự bị 1 B–07): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA  (ABCD). AB = a, SA  a 2 . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SD. Chứng minh SC(AHK) và tính thể tích của tứ diện OAHK. HD:. V. 2 a3 27. Bài 14. (Dự bị 2 B–07): Trong mặt phẳng (P), cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R và điểm C thuộc nửa đường tròn đó sao cho AC = R. Trên đường thẳng vuông góc với (P) tại A lấy điểm S sao cho.  (SAB),(SBC)  600 . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SC. Chứng minh tam giác AHK vuông và. tính thể tích tứ diện SABC. HD:. V. R3 6 12. Bài 15. (Dự bị 1 D–07): Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có đáy ABC là tam giác vuông, AB = AC = a, AA1 = a 2 . Gọi M, N lần lượt là trung điểm đoạn AA1 và BC1. Chứng minh MN là đường vuông góc chung của AA1 và BC1. Tính thể tích của tứ diện MA1BC1.. HD:. V. a3 2 12. Bài 16. (Dự bị 2 D–07): Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có tất cả các cạnh đều bằng a. M là trung điểm của đoạn AA1. Chứng minh BM  B1C và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BM và B1C.. Mọi thắc mắc vui lòng liên hệ: 0974477839. Trang 5.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> TOÁN – LTĐH. GV: PHẠM VĂN LỘC. d. HD:. a 30 10. a 3 vaø 2. Bài 17. (Dự bị 1 A–06): Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có các cạnh AB = AD = a, AA' =. BAD  600 . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh A'D' và A'B'. Chứng minh AC'  (BDMN). Tính thể tích khoái choùp A.BDMN.. V. HD:. 3a3 16. Bài 18. (Dự bị 2 A–06): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a, cạnh SA vuông góc với đáy, cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy một góc 600. Trên cạnh SA lấy điểm M sao cho AM = Maët phaúng (BCM) caét caïnh SD taïi N. Tính theå tích khoái choùp S.BCNM.. V. HD:. a 3 . 3. 10 3 3 a 27. Bài 19. (Dự bị 1 B–06): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, BAD  600 , SA  (ABCD), SA = a. Gọi C' là trung điểm của SC. Mặt phẳng (P) đi qua AC' và song song với BD, cắt các cạnh SB, SD lần lượt tại B', D'. Tính thể tích khối chóp S.AB'C'D'. HD:. V. a3 3 18. Bài 20. (Dự bị 2 B–06): Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có A'ABC là hình chóp tam giác đều, cạnh đáy AB = a,. cạnh bên AA' = b. Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (A'BC). Tính tan và thể tích khối chóp A'.BB'C'C. HD:. tan =. 2 3b2  a2 ; a. V. a2 3b2  a2 6. Bài 21. (Dự bị 1 D–06): Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a. Gọi SH là đường cao của hình chóp. Khoảng cách từ trung điểm I của SH đến mặt phẳng (SBC) bằng b. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.. 2 a3 b V . 3 a 2  16b 2. HD:. Bài 22. (Dự bị 2 D–06): Cho hình lập phương ABCD.ABCD có cạnh bằng a và điểm K thuộc cạnh CC sao 2 cho CK = a . Mặt phẳng () đi qua A, K và song song với BD, chia khối lập phương thành hai khối đa diện. 3 Tính thể tích của hai khối đa diện đó.. HD:. V1 . a3 ; 3. V2 . 2a3 3. Bài 23. (Dự bị 04): Cho hình chóp S.ABC có SA = 3a và SB  (ABC). Tam giác ABC có BA = BC = a, góc ABC bằng 1200. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC).. Bài 24. (Dự bị 03): Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, BC = 2a, cạnh SA vuông góc với đáy và SA = 2a. Gọi M là trung điểm của SC. Chứng minh rằng tam giác AMB cân tại M và tính dieän tích tam giaùc AMB theo a. HD:. S AMB . 2 2 a 2. Bài 25: Cho hình chóp tứ giác đều SABCD, có cạnh đáy bằng a và ASB   . a) Tính dieän tích xung quanh hình choùp.. Mọi thắc mắc vui lòng liên hệ: 0974477839. Trang 6.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> TOÁN – LTĐH b) Chứng minh chiều cao của hình chóp bằng. GV: PHẠM VĂN LỘC a  cot 2  1 2 2. c) Tính theå tích khoái choùp..  HD: a) Sxq = a2 cot. 2. 1 3  a cot 2  1 6 2. c) V =. Bài 26: Trên đường thẳng vuông góc tại A với mặt phẳng của hình vuông ABCD cạnh a ta lấy điểm S với SA = 2a. Goïi B, D laø hình chieáu cuûa A leân SB vaø SD. Maët phaúng (ABD) caét SC taïi C. Tính theå tích khoái choùp SABCD.. VSABC  8 16a3   VSABCD = VSABC 15 45. HD:. Bài 27: Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh bên tạo với đáy một góc 600 và cạnh đáy bằng a. a) Tính theå tích khoái choùp. b) Qua A dựng mặt phẳng (P) vuông góc với SC. Tính diện tích thiết diện tạo bởi (P) và hình chóp. HD:. a) V =. a3 6 6. b) S =. a2 3 3. Bài 28: Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có chiều cao SH = h và góc ở đáy của mặt bên là α a) Tính dieän tích xung quanh vaø theå tích khoái choùp theo α vaø h. b) Cho điểm M di động trên cạnh SC. Tìm tập hợp hình chiếu của S xuống mp(MAB). HD:. a) Sxq =. 4h2 tan  tan2   1. ;. V=. 4h3 3(tan 2   1). Bài 30: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a .Cạnh bên SA =2a và vuông góc với mặt phẳng đáy. a) Tính diện tích toàn phần của hình chóp. b) Hạ AE  SB, AF  SD. Chứng minh SC  (AEF). Bài 31: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là ABCD hình thang vuông tại A và D, AB = AD = a, CD = 2a. Caïnh beân SD  (ABCD) vaø SD = a . a) Chứng minh SBC vuông. Tính diện tích SBC. b) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC). Bài 32: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB = AD = a, CD = 2a. Cạnh bên SD  (ABCD), SD  a 3 . Từ trung điểm E của DC dựng EK  SC (K  SC). Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a và chứng minh SC  (EBK). Bài 33: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D. Biết rằng AB = 2a, AD = CD = a (a > 0). Cạnh bên SA = 3a và vuông góc với đáy. a) Tính dieän tích tam giaùc SBD. b) Tính thể tích của tứ diện SBCD theo a. Bài 34. Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông ở B. Cạnh SA vuông góc với đáy. Từ A kẻ các đoạn thẳng AD  SB và AE  SC. Biết AB = a, BC = b, SA = c. a) Tính theå tích cuûa khoái choùp S.ADE. b) Tính khoảng cách từ điểm E đến mặt phẳng (SAB). Bài 35: Cho lăng trụ đều ABCD.ABCD cạnh đáy bằng a. Góc giữa đường chéo AC và đáy là 600. Tính thể tích vaø dieän tích xung quanh hình laêng truï. HD:. V = a3 6 ;. Sxq = 4a2 6. Bài 36: Cho lăng trụ xiên ABC.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, AB = a, BC = 2a. Mặt bên ABBA là hình thoi, mặt bên BCCB nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, hai mặt này hợp với nhau một góc α. a) Tính khoảng cách từ A đến mp(BCCB). Xác định góc α. b) Tính theå tích laêng truï.. Mọi thắc mắc vui lòng liên hệ: 0974477839. Trang 7.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> TOÁN – LTĐH. GV: PHẠM VĂN LỘC HD:. a). a 3 . Gọi AK là đường cao của ABC; vẽ KH  BB. AHK = . 2 3a3 cot  . b) V = 2. Bài 37; Cho hình hộp ABCD.ABCD’ có đáy là hình thoi ABCD cạnh a, A = 600. Chân đường vuông góc hà từ B xuống đáy ABCD trùng với giao điểm 2 đường chéo của đáy. Cho BB = a. a) Tính góc giữa cạnh bên và đáy. b) Tính theå tích vaø dieän tích xung quanh hình hoäp. HD:. a) 600. b) V =. 3a3 ; Sxq = a2 15 . 4. Bµi 38: Cho h×nh chãp cã ABCD lµ h×nh ch÷ nhËt; AB = a.AD = 2a; SA  (ABCD); (SA, (ABCD) = 60o. §iÓm M thuéc c¹nh SA, AM =. a 3 3. . (BCM) ∩ SD ={ N}. TÝnh thÓ tÝch h×nh chãp S.BCMN 10 3a 3 ĐS: 27. Bài 39: Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có ABC vuông. AB = AC = a; AA1 = a 2 . M là trung điểm AA1. Tính thể tÝch l¨ng trô MA1BC1 a3 2 V = 12 Bài 40: Hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với đáy ABC và SA = a.Điểm M thuộc c¹nh AB. §Æt gãc ACM b»ng  H¹ SH vu«ng gãc víi CM a)T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña thÓ tÝch khèi tø diÖn SAHC b)H¹ AI vu«ng gãc víi SC,AK vu«ng gãc víi SH TÝnh thÓ tÝch khèi tø diÖn SAKI.. a 3 sin 2 b)VSAKI = 24(1  sin 2  ). a3 a)Vmax= 12. Bài 41: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi, AC = 4, BD = 2, AC cắt BD tại O SO  (ABCD), SA = 2 2 . Gäi M lµ trung ®iÓm SC, (ABM) c¾t SD t¹i N. TÝnh thÓ tÝch khèi chãp S.ABMN ĐS: VSABMN = 3 2 SA1. Bài 42: Cho hình chóp tứ gíc đều SABCD trên các cạnh SA, SB, SC ta lấy các điểm A1, B1, C1 sao cho SA. 2 3. ;. ; SC  3 MÆt ph¼ng qua A1, B1, C1 c¾t SD t¹i D1. Chøng minh r»ng SD  5 Bài 43: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với đáy một góc 30o. Tính thể tích mặt cầu ngo¹i tiÕp h×nh chãp. SB1 SB. . . 1 2. SC1. 1. SD1. 2. VMcÇu = 3 a 3 4. 3 2. 2 3. . 8 9. 2 3. a3. Bµi 44.Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, SA vuông góc với mp(ABC). Biết AB = a, BC = 2a, SA = a 3 . Gọi H là trực tâm tam giác SBC a/ Tính thể tích của khối chóp S.ABC ? b/ Chứng minh: AH  (SBC). c/ Tính thể tích khối tứ diện HBCA ? Bµi 46: Cho hình chóp tam giác S.ABC có ABC là tam giác vuông cân tại A, SA vuông góc với mp(ABC). Biết BC = 2a, góc giữa SC và mặt đáy (ABC) là 450 . a/ Tính thể tích của khối chóp S.ABC ? b/ Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SC. Tính tỉ lệ thể tích giữa các khối chóp SAMN và SABC ? c/ Tính khoảng cách từ S đến mp(AMN) ?. Mọi thắc mắc vui lòng liên hệ: 0974477839. Trang 8.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> TOÁN – LTĐH. GV: PHẠM VĂN LỘC. Bµi 47: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, SA vuông góc với mp(ABC). Biết BA = a, góc giữa SC và mp(SBA) là 30 0 . Gọi AH, AK lần lượt là đường cao của tam giác SAB và SAC. a/ Tính thể tích của khối chóp S.ABC ? b/ Chứng minh: SC  HK c/ Tính thể tích của khối chóp A.BCKH ? d/ Gọi E là giao điểm của HK và BC. Tính tỉ lệ thể tích của các khối chóp AECK và A.BCKH ? Bµi 48: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA vuông góc với mp(ABC). Biết BC = a 3 , BA = a, góc giữa mp(SBC) và mặt đáy (ABC) là 60 0 . Gọi AH là đường cao của tam giác SAB a/ Tính thể tích của khối chóp S.ABC ? b/ Chứng minh: AH  (SBC). c/ Tính tỉ lệ thể tích của các khối tứ diện SAHC và HABC ? Bµi 49: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với mp(ABC). Biết góc giữa (SBC) và (ABC) là 600 . Gọi I, H lần lượt là trực tâm tam giác ABC và SBC. a/ Tính thể tích của khối chóp S.ABC ? b/ Chứng minh: IH  (SBC). c/ Tính thể tích khối tứ diện HICB ? Bµi 50: Cho hình chóp tam giác S.ABC có SBC là tam giác đều cạnh 2a, SA vuông góc với mp(ABC). Biết góc BAC là 120 0 . Tính thể tích của khối chóp S.ABC ? Bµi 51: Cho tứ diện SABC có SAC là tam giác đều cạnh a, ABC là tam giác vuông cân tại B. Hai mặt phẳng (SAC) và (ABC) vuông góc với nhau. Gọi H là trung điểm của AC, I là hình chiếu của H trên SC. a/ Tính thể tích của khối tứ diện SABC. b/ Tính tỉ số thể tích của hai khối tứ diện IHBC và SABC. c/ Tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng (IBC). Bµi 52: Cho tứ diện đều ABCD có các cạnh đều bằng 2a. Gọi M là trung điểm của BC, O là tâm tam giác ABC, BH là đường cao của tam giác ABD a/ Tính thể tích của khối tứ diện ABCD. b/ Chứng minh AD vuông góc với (HBC) b/ Tính tỉ lệ thể tích của hai khối tứ diện HABM và ABCD. Bµi 53: . Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật tâm O, AB = a, AD = a 3 , SO vuông góc với mp(ABCD) và SB = a 2 . a/ Tính thể tích của khối chóp S.ABCD ? b/ Gọi M là trung điểm của SA, mặt phẳng (BMC) cắt SD tại N. Tứ giác BCNM là hình gì? c/ Tính tỉ lệ thể tích của hai khối chóp S.BCNM và S.ABCD ? Bµi 54: Cho hình chóp S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng 2a a/ Tính thể tích của khối chóp S.ABCD ? b/ Gọi M là trung điểm của SA, mặt phẳng   chứa CM và song song với BD cắt SB, SD lần lượt tại N, K. Mặt phẳng (CKMN) chia khối chóp S.ABCD thành 2 khối đa diện, tính tỷ lệ thể tích của hai khối đa diện đó ? c/ Tính khoảng cách từ S đền mặt phẳng (CKMN) ? Bµi 55: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là vuông tâm O, SA = 2a 3 , SA vuông góc với (ABCD). Góc giữa SC và mặt đáy là 300 a/ Tính thể tích của khối chóp S.ABCD ? b/ Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SD; I là giao điểm của SC với mp(AHK). Chứng minh AI vuông góc với SC? c/ Tính Tỉ lệ thể tích của hai khối chóp S.AHIK và S.ABCD ? Bµi 56: Cho hình vuông ABCD cạnh 2a và tam giác SAB vuông cân tại S nằm trên hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Gọi I, M lần lượt là trung điểm của AB, BC. a/ Tính thể tích của khối chóp S.ABCD ? b/ Tính tính tỉ lệ thể tích của hai khối chóp S.IMCD và S.ABCD ? Bµi 57: Cho hình vuông ABCD cạnh a và tam giác dều SAB nằm trên hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của SD, SC. a/ Tính thể tích của khối chóp S.ABCD ? b/ Mặt phẳng ABFE chia khối chóp thành 2 đa diện. Tính tính tỉ lệ thể tích của hai khối đa diện đó ? Bµi 58: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật tâm O, DB = 2a, BC = a 3 , SB vuông góc với mp(ABCD) và góc giữa (SCD) và (ABCD) là 450. a/ Tính thể tích của khối chóp S.ABCD ?. Mọi thắc mắc vui lòng liên hệ: 0974477839. Trang 9.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> TOÁN – LTĐH. GV: PHẠM VĂN LỘC. b/ Gọi M là trung điểm của SC. Chứng minh hai mặt phẳng (ABM) và (SCD) vuông góc với nhau ? c/ Mặt phẳng (ABM) cắt SD tại N. Tứ giác ABMN là hình gì ? Tính tỉ lệ thể tích của hai khối chóp S.ABMN và S.ABCD ? Bµi 59: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a. Đường chéo B’C tạo với mặt (ABC) góc 600 a/ Tính thể tích của lăng trụ ABC.A’B’C’ ? b/ Tính tỷ lệ thể tích của khối tứ diện A’BCB’ và khối lăng trụ ABC.A’B’C’ ? Bµi 60: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC vuông tại B. Tam giác B’AC đều và có diện tích là. a2 3 a/ Tính thể tích của lăng trụ ABC.A’B’C’ ? b/ Tính tỷ lệ thể tích của khối tứ diện A’BCB’ và khối lăng trụ ABC.A’B’C’ ? Bµi 61: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. a/ Tính thể tích khối lập phương ? b/ Tính tỉ số thể tích của khối tứ diện BDA’C’ và khối lập phương ? Bµi 62: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a 3 , AD = a, AA’ = a, O là giao điểm của AC và BD. a/ Tính thể tích của khối hộp chữ nhật ? b/ Tính tỷ lệ thể tích của khối chóp OBB’C và khối hộp chữ nhật ? Bµi 63: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có DB = a 3 , AD = a, A’C tạo với mặt đáy góc 60 độ. O là giao điểm của AC và BD, I là giao điểm của DC’ và D’C. a/ Tính thể tích của khối hộp chữ nhật ? b/ Tính tỷ lệ thể tích của hai khối tứ diện IODC và IBDC ? Bµi 64: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có CB = a 3 , AB = 2a, B’D tạo với mặt (DCC’D’) góc 30 độ. O là giao điểm của AB’ và A’B, I là giao điểm của BC’ và B’C. a/ Tính thể tích của khối hộp chữ nhật ? b/ Tính tỷ lệ thể tích của hai khối tứ diện B’BOI và B’BAC ? Bµi 65: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh 2a. Mặt phẳng (C’BA) tạo với (ABC) góc 600 a/ Tính thể tích của lăng trụ ABC.A’B’C’ ? b/ Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của C trên AC’, BC’ . Tính tỷ lệ thể tích của khối tứ diện C’CHK và khối lăng trụ ABC.A’B’C’ ? GIẢI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN: Bước 1: Chọn hệ trục toạ độ Oxyz thích hợp (chú ý đến vị trí của gốc O) Bước 2: Xác định toạ độ các điểm có liên quan (có thể xác định toạ độ tất cả các điểm hoặc một số điểm cần thiết) Khi xác định tọa độ các điểm ta có thể dựa vào :  Ý nghĩa hình học của tọa độ điểm (khi các điểm nằm trên các trục tọa độ, mặt phẳng tọa độ).  Dựa vào các quan hệ hình học như bằng nhau, vuông góc, song song ,cùng phương , thẳng hàng, điểm chia đọan thẳng để tìm tọa độ  Xem điểm cần tìm là giao điểm của đường thẳng, mặt phẳng.  Dưạ vào các quan hệ về góc của đường thẳng, mặt phẳng. Bước 3: Sử dụng các kiến thức về toạ độ để giải quyết bài toán Các dạng toán thường gặp:  Độ dài đọan thẳng  Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng  Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng  Khoảng cách giữa hai đường thẳng  Góc giữa hai đường thẳng  Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng  Góc giữa hai mặt phẳng  Thể tích khối đa diện  Diện tích thiết diện  Chứng minh các quan hệ song song , vuông góc  Bài toán cực trị, quỹ tích. Mọi thắc mắc vui lòng liên hệ: 0974477839. Trang 10.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> TOÁN – LTĐH. GV: PHẠM VĂN LỘC. Bổ sung kiến thức : 1) Nếu một tam giác có diện tích S thì hình chiếu của nó có diện tích S' bằng tích của S với cosin của góc  giữa mặt phẳng của tam giác và mặt phẳng chiếu. S '  S. cos 2) Cho khối chóp S.ABC. Trên ba đường thẳng SA, SB, SC lấy ba điểm A', B', C' khác với S. Ta luôn có:. V. S . A ' B 'C '. V S . ABC. . SA ' SB ' SC ' . . SA SB SC. 1. CÁC BÀI TOÁN VỀ HÌNH CHÓP TAM GIÁC Bài 1 (trích đề thi Đại học khối D – 2002). Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc (ABC), AC = AD = 4cm, AB = 3cm, BC = 5cm. Tính khoảng cách từ đỉnh A đến (BCD). Bài 2. Cho D ABC vuông tại A có đường cao AD và AB = 2, AC = 4. Trên đường thẳng vuông góc với (ABC) tại A lấy điểm S sao cho SA = 6. Gọi E, F là trung điểm của SB, SC và H là hình chiếu của A trên EF. 1. Chứng minh H là trung điểm của SD. 2. Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (ACE). 3. Tính thể tích hình chóp A.BCFE. Bài 3. Cho hình chóp O.ABC có các cạnh OA = OB = OC = 3cm và vuông góc với nhau từng đôi một. Gọi H là hình chiếu của điểm O lên (ABC) và các điểm A’, B’, C’ lần lượt là hình chiếu của H lên (OBC), (OCA), (OAB). 1. Tính thể tích tứ diện HA’B’C’. 2. Gọi S là điểm đối xứng của H qua O. Chứng tỏ S.ABC là tứ diện đều. Bài 4. Cho hình chóp O.ABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc. Gọi a , b, g lần lượt là góc nhị diện cạnh AB, BC, CA. Gọi H là hình chiếu của đỉnh O trên (ABC). 1. Chứng minh H là trực tâm của D ABC .. 1 1 1 1 . 2 = 2 + 2 + OH OA OB OC 2 3. Chứng minh cos2 a + cos2 b + cos2 g = 1. 4. Chứng minh cos a + cos b + cos g £ 3. 2. Chứng minh. Bài 5. Cho hình chóp O.ABC có OA = a, OB = b, OC = c vuông góc với nhau từng đôi một. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm BC, CA, AB. 1. Tính góc j giữa (OMN) và (OAB). 2. Tìm điều kiện a, b, c để hình chiếu của O trên (ABC) là trọng tâm D ANP . 3. Chứng minh rằng góc phẳng nhị diện [N, OM, P] vuông khi và chỉ khi. 1 1 1 . 2 = 2 + a b c2. Bài 6. Cho hình chóp S.ABC có D ABC vuông cân tại A, SA vuông góc với đáy. Biết AB = 2,. · (ABC),(SBC) = 600 .. 1. Tính độ dài SA. 2. Tính khoảng cách từ đỉnh A đến (SBC). 3. Tính góc phẳng nhị diện [A, SB, C]. Bài 7. Cho hình chóp O.ABC có OA = a, OB = b, OC = c vuông góc với nhau từng đôi một. 1. Tính bán kính r của mặt cầu nội tiếp hình chóp. 2. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Bài 8 (trích đề thi Đại học khối D – 2003). Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau, giao tuyến là đường thẳng (d). Trên (d) lấy hai điểm A và B với AB = a. Trong (P) lấy điểm C, trong (Q) lấy điểm D sao cho AC, BD cùng vuông góc với (d) và AC = BD = AB. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD và khoảng cách từ đỉnh A đến (BCD) theo a. Bài 9. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, AB = a, BC = 2a. Cạnh SA vuông góc với đáy và SA = 2a. Gọi M là trung điểm của SC. 1. Tính diện tích DMAB theo a. 2. Tính khoảng cách giữa MB và AC theo a. 3. Tính góc phẳng nhị diện [A, SC, B]. Bài 10. Cho tứ diện S.ABC có D ABC vuông cân tại B, AB = SA = 6. Cạnh SA vuông góc với đáy. Vẽ AH vuông góc với SB tại H, AK vuông góc với SC tại K. 1. Chứng minh HK vuông góc với CS. 2. Gọi I là giao điểm của HK và BC. Chứng minh B là trung điểm của CI. 3. Tính sin của góc giữa SB và (AHK). 4. Xác định tâm J và bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp S.ABC.. Mọi thắc mắc vui lòng liên hệ: 0974477839. Trang 11.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> TOÁN – LTĐH. GV: PHẠM VĂN LỘC. Bài 11. Cho hình chóp S.ABC có D ABC vuông tại C, AC = 2, BC = 4. Cạnh bên SA = 5 và vuông góc với đáy. Gọi D là trung điểm cạnh AB. 1. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng AC và SD. 2. Tính khoảng cách giữa BC và SD. 3. Tính cosin góc phẳng nhị diện [B, SD, C]. Bài 12. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. SA vuông góc với đáy và SA = a 3 . 1. Tính khoảng cách từ đỉnh A đến (SBC). 2. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC. Bài 13. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có độ dài cạnh đáy là a, đường cao SH = h. Mặt phẳng (a ) đi qua AB và vuông góc với SC. 1. Tìm điều kiện của h theo a để (a ) cắt cạnh SC tại K. 2. Tính diện tích D ABK . 3. Tính h theo a để (a ) chia hình chóp thành hai phần có thể tích bằng nhau. Chứng tỏ rằng khi đó tâm mặt cầu nội tiếp và ngoại tiếp trùng nhau. 2. CÁC BÀI TOÁN VỀ HÌNH CHÓP TỨ GIÁC Bài 14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a, SA = a và vuông góc với đáy. Gọi E là trung điểm CD. 1. Tính diện tích D SBE. 2. Tính khoảng cách từ đỉnh C đến (SBE). 3. (SBE) chia hình chóp thành hai phần, tính tỉ số thể tích hai phần đó. Bài 15. Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a 3 . 1. Tính khoảng cách từ đỉnh C đến (SBD). 2. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và AC. 3. Tính góc phẳng nhị diện [B, SC, D]. Bài 16. Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh 3cm. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = 3 2 cm. Mp (a ) đi qua A và vuông góc với SC cắt các cạnh SB, SC, SD lần lượt tại H, M, K. 1. Chứng minh AH vuông góc với SB, AK vuông góc với SD. 2. Chứng minh BD song song với (a ) . 3. Chứng minh HK đi qua trọng tâm G của D SAC . 4. Tính thể tích hình khối ABCDKMH. Bài 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a, AD = b. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = 2a. Gọi M, N là trung điểm cạnh SA, SD. 1. Tính khoảng cách từ A đến (BCN). 2. Tính khoảng cách giữa SB và CN. 3. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (SBC).. 3 . Trong trường hợp đó tính thể tích hình chóp S.BCNM. 3 Bài 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. D SAD đều và vuông góc với (ABCD). Gọi H là · 4. Tìm điều kiện của a và b để cos CMN =. trung điểm của AD. 1. Tính d(D, (SBC)), d(HC, SD). 2. Mặt phẳng (a ) qua H và vuông góc với SC tại I. Chứng tỏ (a ) cắt các cạnh SB, SD. 3. Tính góc phẳng nhị diện [B, SC, D]. Bài 19. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O. SO vuông góc với đáy và SO = 2a 3 , AC = 4a, BD = 2a. Mặt phẳng (a ) qua A vuông góc với SC cắt các cạnh SB, SC, SD tại B ', C', D' . 1. Chứng minh DB'C' D' đều. 2. Tính theo a bán kính mặt cầu nội tiếp S.ABCD. Bài 20. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a. Đường cao SA = 2a. Trên cạnh CD lấy điểm M, đặt MD = m (0 £ m £ a) . 1. Tìm vị trí điểm M để diện tích D SBM lớn nhất, nhỏ nhất. 2. Cho m =. a , gọi K là giao điểm của BM và AD. Tính góc phẳng nhị diện [A, SK, B]. 3. 3. CÁC BÀI TOÁN VỀ HÌNH HỘP – LĂNG TRỤ ĐỨNG Bài 21. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi I, K, M, N lần lượt là trung điểm của A’D’, BB’, CD, BC. 1. Chứng minh I, K, M, N đồng phẳng.. Mọi thắc mắc vui lòng liên hệ: 0974477839. Trang 12.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> TOÁN – LTĐH. GV: PHẠM VĂN LỘC. 2. Tính khoảng cách giữa IK và AD. 3. Tính diện tích tứ giác IKNM. Bài 22 (trích đề thi Đại học khối A – 2003). Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Tính góc phẳng nhị diện [B, A’C, D]. Bài 23. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Tìm điểm M trên cạnh AA’ sao cho (BD’M) cắt hình lập phương theo thiết diện có diện tích nhỏ nhất. Bài 24. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. 1. Chứng minh A’C vuông góc với (AB’D’). 2. Tính góc giữa (DA’C) và (ABB’A’). 3. Trên cạnh AD’, DB lấy lần lượt các điểm M, N thỏa AM = DN = k (0 < k < a 2). a. Chứng minh MN song song (A’D’BC). b. Tìm k để MN nhỏ nhất. Chứng tỏ khi đó MN là đoạn vuông góc chung của AD’ và DB. Bài 26. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có độ dài cạnh là 2cm. Gọi M là trung điểm AB, N là tâm hình vuông ADD’A’. 1. Tính bán kính R của mặt cầu (S) qua C, D’, M, N. 2. Tính bán kính r của đường tròn (C) là giao của (S) và mặt cầu (S’) qua A’, B, C’, D. 3. Tính diện tích thiết diện tạo bởi (CMN) và hình lập phương. Bài 27 (trích đề thi Đại học khối B – 2003) Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình thoi cạnh a, · BAD = 600. Gọi M, N là trung điểm cạnh AA’, CC’. 1. Chứng minh B’, M, D, N cùng thuộc một mặt phẳng. 2. Tính AA’ theo a để B’MDN là hình vuông. Bài 28. Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông tại A. Cho AB = a, AC = b, AA’ = c. Mặt phẳng (a ) qua B và vuông góc với B’C. 1. Tìm điều kiện của a, b, c để (a ) cắt cạnh CC’ tại I (I không trùng với C và C’). 2. Cho (a ) cắt CC’ tại I. a. Xác định và tính diện tích của thiết diện. b. Tính góc phẳng nhị diện giữa thiết diện và đáy. BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: Cho hình chóp SABC có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA= a 3 và vuông góc với đáy 1) Tính khỏang cách từ A đến mặt phẳng (SBC). 2) Tính khỏang cách từ tâm O hình vuông ABCD đến mặt phẳng (SBC). 3) Tính khoảng cách từ trọng tâm của tam giác SAB đến mặt phẳng (SAC). Bài 2: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh bằng a, SO vuông góc với đáy. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm SA và BC. Biết rằng góc giữa MN và (ABCD) bằng 600 1) Tính MN và SO. 2) Tính góc giữa MN và mặt phẳng (SBD) . Bài 3: Cho hình thoi ABCD tâm O, cạnh bằng a và AC=a, Từ trung điểm H của cạnh AB dựng SH  (ABCD) với SH=a 1) Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SCD). 2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC). Bài 4: Cho góc tam diện Oxyz, trên Ox, Oy, Oz lấy các điểm A,B,C 1) Hãy tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) theo OA=a, OB=b, OC=c 2) Giả sử A cố định còn B, C thay đổi nhưng luôn thỏa mãn OA=OB+OC. Hãy xác định vị trí của B và C sao cho thể tích tứ diện OABC là lớn nhất. Bài 5: Cho tứ diện OABC (vuông tại O), biết rằng OA,OB,OC lần lượt hợp với mặt phẳng (ABC) các góc  ,  ,  . Chứng minh rằng: 1) cos2   cos2   cos2   2 2) S 2OAB  S 2OBC  S 2OCA  S 2ABC Bài 6: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, sa vuông góc với đáy. Gọi M, N là hai điểm theo thứ tự thuộc BC,DC sao cho BM . a 3a , DN  . CMR hai mặt phẳng (SAM) và (SMN) 2 4. vuông góc với nhau. Bài 7: Cho tam giác đều ABC cạnh a. Gọi D là điểm đối xứng với A qua BC. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại D lấy điểm S sao cho SD . a 6 , CMR hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) vuông góc với nhau. 2. Mọi thắc mắc vui lòng liên hệ: 0974477839. Trang 13.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> TOÁN – LTĐH. GV: PHẠM VĂN LỘC. Bài 8: Trong không gian cho các điểm A,B,C theo thứ tự thuộc các tia Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một sao cho OA=a , OB= a 2 . OC=c (a,c>0). Gọi D là điểm đối diện với O của hình chữ nhật AOBD và M là trung điểm của đọan BC. (P) là mặt phẳng qua A,M và cắt mặt phẳng (OCD) theo một đường thẳng vuông góc với AM. a) Gọi E là giao điểm của (P) với OC , tính độ dài đọan OE. b) Tính tỉ số thể tích của hai khối đa diện được tạo thành khi cắt khối chóp C.AOBD bởi mặt phẳng (P). c) Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (P). Bài 9: Cho tứ diện SABC có SC=CA=AB= a 2 , SC  (ABC ) ,  ABC vuông tại A, các điểm M thuộc SA và N thuộc BC sao cho AM=CN=t (0<t<2a) 1) Tính độ dài đoạn MN. Tìm giá trị của t để MN ngắn nhất. 2) Khi đoạn MN ngắn nhất, chứng minh MN là đường vuông góc chung của BC và SA. Bài 10: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi có AC=4, BD=2 và tâm O.SO=1 vuông góc với đáy. Tìm điểm M thuộc đoạn SO cách đều hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD). Bài 11: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh bằng a. Gọi M,N theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AD,CD. Lấy P  BB ' sao cho BP=3PB'. Tính diện tích thiết diện do (MNP) cắt hình lập phương . Bài 12: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB=a, AD=2a, AA'=a 1) Tính theo a khoảng cách giữa AD' và B'C. 2) Gọi M là điểm chia đọan AD theo tỷ số. AM  3 . Hãy tính khoảng cách từ M đến (AB'C). MD. 3) Tính thể tích tứ diện AB'D'C. Bài 13: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh bằng a..Gọi M, N là trung điểm của BC và DD' 1) CMR AC '  ( A ' BD) . 2) CMR MN //( A ' BD) . 3) Tính khoảng cách giữa BD nà MN theo a Bài 14: Cho lăng trụ ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh bằng a, góc A=600 . B'O vuông góc với đáy ABCD, cho BB'=a 1) Tính góc giữa cạnh bên và đáy. 2) Tính khoảng cách từ B, B' đến mặt phẳng (ACD'). Bài 15: Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a tâm I . Trên hai tia Ax, By cùng chiều và cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) lần lượt lấy hai điểm M,N . Đặt AM=x, CN=y 1) Tính thể tích hình chóp ABCMN. 2) CMR điều kiện cần và đủ để góc MIN=900 là 2xy=a2 . Bài 16: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân ABC với cạnh huyền AB = 4 2 Cạnh bên SC  (ABC) và SC = 2 .Gọi M là trung điểm của AC, N là trung điểm AB 1) Tính góc của hai đường thẳng SM và CN 2) Tính độ dài đọan vuông góc chung của SM và CN. Bài 17: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng 1 1) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, BB'. Chứng minh rằng A'C  MN . Tính độ dài đọan MN 2) Gọi P là tâm của mặt CDD'C'. Tính diện tích MNP . Bài 18: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC) .. a 6 2 Bài 19: Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA;OB;OC đôi một vuông góc . Gọi ; ;  lần lượt là các góc giữa mặt Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (SBC) theo a, biết rằng SA=. phẳng (ABC) với các mặt phẳng (OBC); (OCA) và (OAB).Chứng minh rằng: cos   cos   cos   3 Bài 20: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA=a. Gọi E là trung điểm của cạnh CD. Tính theo a khoảng cách từ điểm S đến đường thẳng BE. Bài 21: Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác cân với AB=AC=a và góc BAC = 1200, cạnh bên BB' = a. Gọi I là trung điểm CC'. Chứng minh rằng tam giác AB'I vuông ở A. Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB'I). LUYÊN TẬP TỔNG HỢP Bài 1: Cho khối chóp S.ABC có đường cao SA =a ,đáy là tam giác vuông cân có AB =BC =a. Gọi B’ là trung điểm của SB ,C’ là chân đường cao hạ từ A của ABC . 1/ Tính V khối chóp S.ABC.. Mọi thắc mắc vui lòng liên hệ: 0974477839. Trang 14.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> TOÁN – LTĐH. GV: PHẠM VĂN LỘC. 2/C/m : SC  mp(AB'C') . 3/Tính V khối chóp S.AB’C’. 0 Bài 2: Cho khối chóp S.ABC có đường cao SA = 2a , ABC vuông ở C có AB=2a, CAB  30 .Gọi H,K lần lượt là hình chiếu của A trên SC và SB . 1/ Tính V khối chóp H.ABC. 2/C/m : AH  SB và SB  mp(AHK) . 3/ Tính V khối chóp S.AHK. Bài 3: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có mặt đáy là tam giác ABC vuông tại B và AB=a ,BC =2a ,AA’=3a .Một mp(P) đi qua A và vuông góc với CA’ lần lượt cắt các đoạn thẳng CC’ và BB’ tại M và N . 1/ Tính V khối chóp C.A’AB. 2/C/m : AN  A 'B . 3/Tính V khối tứ diện A’AMN.. 4/Tính. S AMN .. Bài 4: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a ,đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB =a,. AC  a 3 và hình chiếu vuông góc của đỉnh A’ trên mp(ABC) là trung điểm của cạnh BC.Tính theo a thể tích khối chóp A’.ABC và tính cosin của góc giữa 2 đường thẳng AA’,B’C’. Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a ,SA=a , SB  a 3 và mp(SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy.Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,BC .Tính theo a thể tích khối chóp S.BMDNvà tính cosin của góc giữa 2 đường thẳng SM,DN. Bài 6: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông ,AB=BC=a, cạnh bên AA '  a 2 .Gọi M là trung điểm của cạnh BC.Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa 2 đường thẳng AM,B’C. Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a ,mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy.Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB,BC,CD.C/m : AM  BP và V khối tứ diện CMNP. Bài 8: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a .Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE ,N là trung điểm của BC. C/m : MN  BD và tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng MN và AC. 0 Bài 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang , ABC  BAD  90 , BA=BC=a ,AD =2a.Cạnh bên SA vuông góc với đáy và. d H;(SCD) .. SA  a 2 .Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB. C/m SCD vuông. và tính. Bài 10: Cho hình trụ có các đáy là 2 hình tròn tâm O và O’, bán kính đáy bằng chiều cao và bằng a .Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường tròn đáy tâm O’ lấy điểm B sao cho AB = 2a .Tính V khối tứ diện OO’AB. Bài 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=a ,. AD  a 2. ,SA= a và. SA  mp(ABCD) .Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AD và SC .I là giao điểm của BM và AC . 1/Cmr: mp(SAC)  mp(SMB). 2/Tính V khối tứ diện ANIB. Bài 12:Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA =2a và SA  mp(ABC) .Gọi M,N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng SB và SC .Tính V khối chóp A.BCMN. Bài 13; Cho hình lăng trụ lục giác đều ABCDE.A’B’C’D’E’ cạnh bên l, mặt chéo đi qua 2 cạnh đáy đối diện nhau 0 hợp với đáy 1 góc 60 .Tính V lăng trụ. Bài 14: Cạnh đáy của 1 hình chóp tam giác đều bằng a; mặt bên của hình chóp tạo với mặt đáy 1 góc  .Tính V khối chóp . Bài 15: Cho 1 hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đường chéo B’D=a tạo thành với mặt phẳng đáy ABCD 1 góc bằng  và tạo thành với mặt bên AA’D’D 1 góc bằng  .Tính V của hình hộp chữ nhật trên. Bài 16: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân ,cạnh huyền BC = a .Mặt bên SBC tạo với đáy góc  .Hai mặt bên còn lại vuông góc với đáy . 1/C/m SA là đường cao của hình chóp . 2/Tính V khối chóp .. Mọi thắc mắc vui lòng liên hệ: 0974477839. Trang 15.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> TOÁN – LTĐH. GV: PHẠM VĂN LỘC. Bài 17: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đáy là 1 hình vuông và chiều cao bằng h .Góc giữa đường chéo và mặt đáy của hình hộp chữ nhật đó bằng.  .Tính Sxq và V của hình hộp đó.. Bài 18: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’có cạnh đáy bằng a và 1 điểm D trên cạnh BB’.Mặt phẳng qua các điểm D,A,C tạo với mặt đáy (ABC) 1 góc  và mp qua các điểm DA’C’ tạo với mặt đáy A’B’C’ 1 góc  .Tính V lăng trụ . 0 Bài 19: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ .Đáy ABC là tam giác cân có AB=AC = 120 .Đường chéo của mặt BB’C’C bằng d và tạo với mặt đáy góc. .. Tính. Sxq và V của hình lăng trụ đó ..   , và chân đường vuông góc hạ từ B’ xuống đáy (ABCD) trùng với giao điểm O các đương chéo của đáy .Cho BB’ =a .Tính V và Sxq của hình Bài 20: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình thoi ABCD cạnh a , A hộp đó .. 0 Bài 21: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a ; (SAC) vuông góc với đáy ; ASC  90 và SA tạo với đáy 1 góc bằng  .Tính V của hình chóp. Bài 22: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh góc với SB tại H cắt SC tại K. Tính SK và. a 3 , đường. cao SA=a.Mặt phẳng qua A và vuông. S AHK .. 2 Bài 23: Cho hình chóp S.ABCD , đáy là hình bình hành ABCD có diện tích bằng a 3 và góc giữa 2 đường 0 0 chéo bằng 60 .Biết rằng các cạnh bên của hình chóp nghiêng đếu trên mặt đáy 1 góc 45 . 1/ Chứng tỏ ABCD là hình chữ nhật. 2/ Tính V của hình chóp đó . Bài 24: Cho hình chóp S.ABCD , đáy là hình thang vuông ABCD vuông tại A và B ,AB=BC=2a ; đường cao của hình chóp là SA =2a . 1/ Xác định và tính đoạn vuông góc chung của AD và SC . 2/ Tính V của hình chóp đó . Bài 25: Cho hình chóp S.ABCD có cạnh SA =x ,còn tất cả các cạnh khác có độ dài bằng 1. 1/C/m: SA  SC 2/Tính V của hình chóp đó . Bài 26: Cho hình chóp S.ABCD .Đáy ABCD là nửa lục giác đều với AB=BC=CD=a và AD= 2a .Hai mặt bên SAB 0 và SAD vuông góc với đáy ,mp(SBD) tạo với mp chứa đáy 1 góc 45 . 1/Tính V của hình chóp đó .. 2/Tính. d C;(SBD) .. Bài 27: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’,trong đó ABC là tam giác đều cạnh c, A’H vuông góc với mp(ABC).(H là trực tâm của tam giác ABC ), cạnh bên AA’ tạo với mp(ABC) 1 góc  . 1/C/mr: AA’  BC 2/Tính V của khối lăng trụ . Bài 28: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. 1/Tính V của hình chóp S.ABCD . 2/Tính khoảng cách từ tâm mặt đáy ABCD đến các mặt bên của hình chóp. 0 Bài 29: Cho lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc nhọn BAD  60 .Biết AB'  BD' . Tính V của khối lăng trụ trên theo a . Bài 30: Trên nửa đường tròn đường kính AB =2R , lấy 1 điểm C tu ý .Dựng CH  AB (H thuộc AB) và gọi I là 0 trung điểm của CH .Trên nửa đường thẳng It vuông góc với mp(ABC) lấy điểm S sao cho ASB  90 . 1/C/m : SHC là tam giác đều . 2/Đặt AH =h .Tính V của tứ diện SABC theo h và R. Bài 31: Cho tứ diện ABCD có 3 cạnh AB,AC,AD,vuông góc với nhau từng đôi một và AB=a, AC=2a ,AD =3a .Hãy tính diện tích tam giác BCD theo a. Bài 32: Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a .I là trung điểm của AB .Qua I dựng đường vuông góc với mp(ABC) và trên đó lấy điểm S sao cho 1/C/m:. SAD. 2IS  a 3 .. là tam giác vuông .. 2/Tính V của hình chóp S.ACD. Suy ra. d C;(SAD) .. Mọi thắc mắc vui lòng liên hệ: 0974477839. Trang 16.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> TOÁN – LTĐH. GV: PHẠM VĂN LỘC. Bài 33: Cho tam giác ABC cân tại A, nội tiếp trong đường tròn tâm Obán kính R và. A  1200 .Trên đường. thẳng vuông góc với mp(ABC) tại A, lấy điểm S sao cho SA= a 3 . 1/Tính V tứ diện SABC theo a và R. 2/Cho R =2a, gọi I là trung điểm của BC.Tính số đo giữa SI và hình chiếu của nó trên mp(ABC). Bài 34: Cho hình chóp S.ABCD ,đáy là hình chữ nhật có AB=2a, BC=a, .Các cạnh bên của hình chóp đều bằng. a 2 .Tính V của hình chóp S.ABCD theo a. Bài 35: Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD lần lượt vuông góc với nhau từng đôi một, AB=a, AC=2a ,AD=3a. d A;(BCD) 2/Tính S BCD . 1/Tính. Bài 36: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh a ,đường cao SO =h. 1/Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp . 2/Tính V của hình chóp S.ABCD . Bài 37: Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 2a. Cạnh bên SA= a 5 . Một mp(P) đi qua AB và vuông góc với mp(SCD) .(P) lần lượt cắt SC và SD tại C’ và D’. 1/Tính S tứ giác ABC’D’ 2/Tính V hình đa diện ABCDD’C’. Bài 38: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a .Cạnh bên SA =2a và vuông góc với mặt phẳng đáy.. STP của hình chóp. 2/Hạ AE  SB , AF  SD . C/m: SC  mp(AEF) . 1/Tính. Bài 39: Cho SABC là 1 tứ diện có ABC là 1 tam giác vuông cân đỉnh B và AC =2a , cạnh SA SA =a.. d A;mp(SBC) .. 1/Tính. 2/Gọi O là trung điểm của AC .Tính.  mp(ABC) và. d O;mp(SBC) .. Bài 40: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình thang ABCD vuông tại A và D , AB=AD =a ,CD=2a .Cạnh bên SD  mp(ABCD) ,SD= a . 1/C/mr: 2/Tính. SBC vuông .Tính S SBC .. d A;(SBC) .. Bài 41: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ,biết AB=2a ,BC =a ,các cạnh bên của hình chóp bằng nhau và bằng a 2 .Tính V hình chóp . Bài 42: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình thang ABCD vuông tại A và D , AB=AD =a ,CD=2a .Cạnh.  mp(ABCD) ,SD  a 3 .Từ trung điểm E của DC dựng EK  SC (K SC) .Tính V hình chóp S.ABCD theo a và SC  mp(EBK) . bên SD. Bài 43: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông . SA A lên SD . 1/C/m : AH  (SBC) 2/Gọi O là giao điểm của AC và BD .Tính.  (ABCD) , SA= a 6 .H là hình chiếu của. d O;(SBC) .. Bài 44: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình thang ABCD vuông tại A và D.Biết rằng AB=2a ,AD=CD =a (a>0). Cạnh bên SA =3a vuông góc với đáy . 1/Tính. S SBD .. 2/Tính V tứ diện SBCD theo a. Bài 45: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác vuông ở B. Cạnh SA vuông góc với đáy .Từ A k các đoạn thẳng AD  SB và AE  Sc. Biết AB =a ,BC =b, SA =c . 1/Tính V của khối chóp S.ADE. 2/Tính. d E;(SAB) .. Bài 46: Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ có cạnh bằng a.. Mọi thắc mắc vui lòng liên hệ: 0974477839. Trang 17.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> TOÁN – LTĐH. GV: PHẠM VĂN LỘC. a) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng A’B và B’D. b) Gọi MNP lần lượt là các trung điểm của các cạnh BB’, CD, A’D’. Tính góc giữa hai đường thẳng MP và C’N. Bài 47: Cho hình hộp lập phương ABCDA1B1C1D1 có cạnh bằng 2. Gọi E, F tương ứng là các trung điểm của các cạnh AB, DD1. a) Chứng minh rằng EF//(BDC1) và tính độ dài đoạn EF. b) Gọi K là trung điểm cạnh C1D1. Tính khoảng cách từ đỉnh C đến (EFK) và xác định góc giữa hai đường thẳng EF và BD. Bài 48: Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC). Cho AC  AD  4cm; AB  3cm; BC  5cm . Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD). Bài 49: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a; đường cao bằng b. Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng đi qua AB và trung điểm M của cạnh SC Bài 50: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, có cạnh bằng a; đường cao SO  mp(ABCD) và SO = a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau SC, AB. Bài 51: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = SA= a; AD = a 2 và SA  mp(ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và SC, I là giao điểm của BM và AC. a) Chứng minh rằng mp(SAC)  (SMB). b) Tính thể tích khối tứ diện ANIB. Bài 52: Cho tứ diện SABC có ABC là tam giác đều cạnh a và cạnh SA  ABC); SA = 2a Gọi ( ) là mặt phẳng đi qua B và vuông góc với SC. Tìm diện tích thiết diện của tứ diện S.ABC tạo bởi mp ( ) . Bài 53: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a, góc A =60o và có đường cao SO bằng a. a) Tính khoảng cách từ O đến mp(SBC). b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SB. Bài 54: Cho hình tam giác đều SABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh SB và SC. Tính theo a diện tích tam giác AMN, biết rằng mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC). Bài 55: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, với AB = a; AD = 2a, cạnh SA  mp(ABCD), cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy một góc 60o. Trên cạnh SA lấy điểm M sao cho AM=. a 3 , mặt phẳng (BCM) cắt SD tại 3. điểm N. Tính thể tích khối chóp SBCNM? Bài 56: Cho hình chóp tam giác SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a, SA vuông góc với mp(ABC). Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên các đường thẳng SB và SC. Tính thể tích của khối chóp ABCNM. Bài 57: Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có AB = AD = a và góc BAD = 600. Gọi M, N là trung điểm các cạnh A’D’ và A’B’. Chứng minh rằng A’C’ vuông góc với mặt phẳng (BDMN). Tính thể tích của khối chóp A.BDMN Bài 58: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B. BA = BC = a, AD = 2a. Cạnh SA vuông góc với đáy và SA = a 2 .H là hình chiếu của A lên SB. Chứng minh rằng tam giác SCD vuông và tính theo a khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD) Bài 59: Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có đáy là hình vuông cạnh a, Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA,M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC.Chứng minh rằng MN vuông góc với BD và tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC. Bài 60: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lược là trung điểm của các cạnh SB, BC, CD. Chứng minh AM vuông góc với BP và tính thể tích khối tứ diện CMNP. Bài 61: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O cạnh a, góc BAD  600 và đường cao SA = a. a) Tính khoảng cách từ O đến mp (SBC) b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SB c) Góc giữa đường thẳng SA và mp (SCD) d) Gọi M, N lần lược là trung điểm của SA,SB.TÍnh tỉ số. VS .MNAB VS . ABCD. Bài 62: Cho hình vuông ABCD và tam giác đều SAD cạnh a nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau.Gọi I là trung điểm của AB. a) Chứng minh rằng CI  SB b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SB. Mọi thắc mắc vui lòng liên hệ: 0974477839. Trang 18.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> TOÁN – LTĐH. GV: PHẠM VĂN LỘC. c) Tính độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng SA và B d) Tính tỉ số. VI .SAB VS . ABCD. Bài 63: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a; các cạnh bên đều bằng a. 6 .Gọi   là mp song 2. song với BC và vuông góc với mp(SBC), gọi I là trung điểm của BC. a) Tính khoảng cách từ I đến mp   b) Tính góc giữa AB và   Bài 64: Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là một hình thoi cạnh a, góc = 600 . gọi M là trung điểm cạnh AA' và N là trung điểm cạnh CC'. Chứng minh rằng bốn điểm B', M, D, N cùng thuộc một mặt phẳng. Hãy tính độ dài cạnh AA' theo a để tứ giác B'MDN là hình vuông. Bài 65: Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau, có giao tuyến là đường thẳng . Trên  lấy hai điểm A, B với AB = a. Trong mặt phẳng (P) lấy điểm C, trong mặt phẳng (Q) lấy điểm D sao cho AC, BD cùng vuông góc với  và AC = BD = AB. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD và tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) theo a. Bài 66: Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, AC cắt BD tại gốc toạ độ O. Biết A(2; 0; 0) B(0; 1; 0) S(0; 0; 2. 2 ). Gọi M là trung điểm của cạnh SC.. a) Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BM. b) Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt SD tại N. Tính thể tích hình chóp S.ABMN. Bài 67: Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của A’D’ và B’B. a) Chứng minh rằng IJ vuông góc với AC’ b) Chứng minh rằng D’B vuông góc với (A’C’D), D’B vuông góc với (ACB’) c) Tính góc giữa hai đường thẳng IJ và A/D. Bài 68: Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ có cạnh bằng a. a) Chứng minh rằng giao điểm của đường chéo A’C và mp (AB’D’) là trọng tâm tam giác AB’D’. b) Tìm khoảng cách giữa hai mp (AB’D’) và mp (C’BD). c) Tìm góc tạo bởi hai mp (DA’C) và mp (ABB’A’). Bài 69: Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’, cạnh bằng a. Giả sử M, N lần lượt là trung điểm của BC và DD’. a) Chứng minh rằng MN// (A’BD). b) Tính khoảng cách giữa 2 đoạn thẳng BD và MN theo a. Bài 70: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a; AD = 2a; AA’ = a. a) Gọi M là điểm nằm trong AD sao cho. AM  3 . Tính khoảng cách từ điểm M đến (AB’C) MD. b) Tính thể tích tứ diện AB’D’C. Bài 71: Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ cạnh a. Điểm M thuộc AD’ và điểm N thuộc BD sao cho AM = DN =k (0  k  a 2) a) Tìm k để đoạn thẳng MN ngắn nhất. b) Chứng minh rằng MN luôn song song với mp(A’D’BC) khi k biến thiên. c) Khi đoạn MN ngắn nhất, chứng minh rằng MN là đường vuông góc chung của AD’ và DB và MN song song với A’C. Bài 72: Tính khoảng cách giữa đường chéo của một hình lập phương và đường chéo của một mặt bên nếu chúng không cắt nhau, biết rằng cạnh của hình lập phương bằng a. Bài 73: Cho tam giác OAB vuông tại O, trên đường thẳng vuông góc với (OAB) tại O lấy điểm C. a) Chứng minh rằng tứ diện OABC có 3 cặp cạnh đối diện vuông góc với nhau. b) Từ O vẽ OH  (ABC) tại H. Chứng minh rằng H là trực tâm tam giác ABC. c) Chứng minh rằng. 1 1 1 1    2 2 2 OH OA OB OC 2. Bài 74: Cho tứ diện OABC có các mặt OAB, OBC, OCA là các tam giác vuông tại đỉnh O. Gọi  ,  ,  là góc lần. Mọi thắc mắc vui lòng liên hệ: 0974477839. Trang 19.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> TOÁN – LTĐH. GV: PHẠM VĂN LỘC. lượt hợp bởi các mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB) với mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằng: a) Tam giác ABC có 3 góc nhọn. b) cos2   cos2   cos2   1 Bài 75: Cho tứ diện ABCD có G là trọng tâm. a) Chứng minh rằng đường thẳng đi qua G và một đỉnh của tứ diện cũng đi qua trọng tâm của mặt đối diện với đỉnh đó. b) Gọi A’ là trọng tâm tam giác BCD. Chứng minh rằng. GA 3 GA '. Bài 76: Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có đáy ABC là tam giác vuông AB  AC  a , AA1 = a 2 . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của đoạn AA1 và BC1. Chứng minh MN là đường vuông góc chung của các đường thẳng AA1 và BC1. Tính VMA 1BC 1 .. Bài 77: Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có tất cả các cạnh đều bằng a. M là trung điểm của đoạn AA1. Chứng minh BM  B1C và tính d(BM, B1C). Bài 78: Trong không gian Oxyz cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có A trùng với gốc của hệ toạ độ, B(a; 0; 0), D(0; a; 0), A'(0; 0; b) (a > 0, b > 0). Gọi M là trung điểm cạnh CC'. a) Tính thể tích khối tứ diện BDA'M theo a và b. b) Xác định tỷ số. a b. để hai mặt phẳng (A'BD) và (MBD) vuông góc với nhau.. Bài 79: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, AC cắt BD tại gốc toạ độ O. Biết A(2; 0; 0), B(0; 1; 0), S(0; 0; 2 2 ). Gọi M là trung điểm của cạnh SC. a) Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BM. b) Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt SD tại N. Tính thể tích hình chóp S.ABMN. Bài 80: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D cạnh a. a) Chứng minh rằng A ' C  ( AB ' D ') b) Chứng minh rằng giao điểm của đường chéo A’C và mp (AB’D’) đi qua trọng tâm của tam giác AB’D’ c) Tính khoảng cách giữa hai mp(AB’D’) và(C’BD) d) Tính góc tạo bởi hai mp(DA’C) và (ABB’A’) e) Tính thể tích của khối đa diện ABCA’B’ Bài 81: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D cạnh a.Các điểm M thuộc AD’ và N thuộc BD sao cho AM=DN=k ,( 0  k  a 2 ) a) Xác định k để đoạn MN ngắn nhất b) Chứng minh rằng MN luôn song song với mp (A’D’BC) khi k biến thiên. c) Khi đoạn MN ngắn nhất chứng minh MN là đường vuông góc chung của AD’ và BD và lúc đó MN song song với AC. Bài 82: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA vuông góc với hình chóp. Cho AB = a, SA = a 2 . Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A lên SB, SD. Chứng minh SC  (AHK) và tính thể tích hình chóp OAHK.. . . Bài 83: Cho hình chóp SABC có góc SBC , ABC  60 , ABC và SBC là các tam giác đều cạnh a. Tính theo a o. khoảng cách từ đỉnh B đến mp(SAC).. . Bài 84: Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có AB  a, AC  2a, AA1  2a 5 và BAC  120o . Gọi M là trung điểm của cạnh CC1. Chứng minh MB  MA1 và tính khoảng cách d từ điểm A tới mặt phẳng (A1BM). -----CÕN NỮA----. MỌI VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN ĐÁP ÁN VUI LÒNG LIÊN HỆ: THẦY PHẠM VĂN LỘC 0974477839 HOẶC EMAIL: Mọi thắc mắc vui lòng liên hệ: 0974477839. Trang 20.

<span class='text_page_counter'>(21)</span> TOÁN – LTĐH. Mọi thắc mắc vui lòng liên hệ: 0974477839. GV: PHẠM VĂN LỘC. Trang 21.

<span class='text_page_counter'>(22)</span>