Tài liệu Công thức toán học pdf

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (132.97 KB, 7 trang )

1
Px!phangiakhue

GÓC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC
0
࣊
૚૛

࣊
ૡ

࣊
૟

࣊
૝

࣊
૜

૜࣊
ૡ

૞࣊
૚૛

࣊
૛

ૠ࣊
૚૛

૞࣊
ૡ

૛࣊
૜

૜࣊
૝

૞࣊
૟

ૠ࣊
ૡ

૚૚࣊
૚૛

࣊
sin
0
√
6−
√
2
4

ඥ
2−

√
2
2

1
2

√
2
2

√
3
2

ඥ
2+
√
2
2

√
6+
√
2
4

1
√
6+

√
2
4

ඥ
2+
√
2
2

√
3
2

√
2
2

1
2

ඥ
2−
√
2
2

√
6−
√

2
4

0
cos
1
√
6+
√
2
4

ඥ
2+
√
2
2

√
3
2

√
2
2

1
2

ඥ

2−
√
2
2

√
6−
√
2
4

0
√
2−
√
6
4

−
ඥ
2−
√
2
2

−
1
2

−

√
2
2

−
√
3
2

−
ඥ
2+
√
2
2

−
√
6+
√
2
4

-1
tan
0
2−
√
3
√

2−1
√
3
3

1
√
3
√
2+1
√
6−
√
2
4

|
−2−
√
3 −
√
2−1 −
√
3
-1
−
√
3
3

1−
√
2
√
3−2
0
cot
|
2+
√
3
√
2+1
√
3
1
√
3
3

√
2−1 2−
√
3
0
√
3−2 1−
√
2
−

√
3
3

-1
−
√
3 −
√
2−1 −2−
√
3
|
Dấu của các giá trị lượng giác:

0 < α <
గ
ଶ

గ
ଶ
< α < π
cosα + -
sinα + +
tanα + -
cotα + -
Các đẳng thức lượng giác cơ bản:
sin
2
ߙ + cos

2
ߙ = 1
tanߙ.cotߙ = 1
1
cos
2
ߙ
=1+
tan
2
ߙ
1
sin
ଶ
ߙ
=1+cot
ଶ
ߙ

Hàm số lượng giác của cung đối nhau
:
sin
ሺ
−ߙ
ሻ
= −sinߙ cos
ሺ
−ߙ
ሻ
= cosߙ tan

ሺ
−ߙ
ሻ
= −tanߙ cot
ሺ
−ߙ
ሻ
= −cotߙ
Hàm số lượng giác của các cung bù nhau:
sinሺߨ−ߙሻ
= sinߙ
cosሺߨ−ߙሻ
=
−cosߙ

tanሺߨ−ߙሻ
=
−tanߙ

cotሺߨ−ߙሻ
=
−cotߙ

Hàm số lượng giác của cung phụ nhau:
sinሺ
ߨ
2
−ߙሻ= cosߙ
cosሺ
ߨ

2
−ߙሻ
=
sin
ߙ
tanሺ
ߨ
2
−ߙሻ
=
cotߙ

cotሺ
ߨ
2
−ߙሻ
=
tanߙ
CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
Công thức cộng:
sin
ሺ
ߙ± ߚ
ሻ
=
sinߙcosߚ± cosߙsinߚ

cos
ሺ
ߙ± ߚ

ሻ
=
cosߙcosߚ∓ sinߙsinߚ

tan
ሺ
ߙ± ߚ
ሻ
=
tanߙ ± tanߚ
1∓tanߙ.tanߚ

cot
ሺ
ߙ±ߚ
ሻ
=
±cotߙcotߚ−1
cotߙ±cotߚ

Công thức nhân đôi:
sin2ߙ =2sinߙ.cosߙ
tan2ߙ =
2tanߙ
1−tan
ଶ
ߙ

cos2ߙ = cos
ଶ

ߙ−sin
ଶ
ߙ =2cos
ଶ
ߙ −1=1−2sin
ଶ
ߙ
Công thức nhân ba:
cos3ߙ =4cos
ଷ
ߙ−3cosߙ
tan3ߙ =
3tanߙ−tan
ଷ
ߙ
1−3tan
ଶ
ߙ

sin3ߙ= 3sinߙ−4sin
ଷ
ߙ
2
Px!phangiakhue

Công thức biến đổi tích thành tổng:
cosߙ.cosߚ=
1
2
ሾ

cos
ሺ
ߙ+ߚ
ሻ
+cos
ሺ
ߙ−ߚ
ሻሿ

sinߙ.sinߚ=
1
2
ሾ
cos
ሺ
ߙ−ߚ
ሻ
−cos
ሺ
ߙ+ߚ
ሻሿ

sinߙ.cosߚ=
1
2
ሾ
sin
ሺ
ߙ+ߚ
ሻ

+sin
ሺ
ߙ−ߚ
ሻሿ

cosߙ.sinߚ=
1
2
ሾ
sin
ሺ
ߙ+ߚ
ሻ
−sin
ሺ
ߙ−ߚ
ሻሿ

Công thức biến đổi tổng thành tích:
cosߙ+cosߚ=2cos
ߙ+ߚ
2
cos
ߙ−ߚ
2

cosߙ−cosߚ=−2sin
ߙ+ߚ
2
sin

ߙ−ߚ
2

sinߙ+sinߚ=2sin
ߙ+ߚ
2
cos
ߙ−ߚ
2

sinߙ−sinߚ=2cos
ߙ+ߚ
2
sin
ߙ−ߚ
2

tanߙ+tanߚ=
sin
ሺ
ߙ+ߚ
ሻ
cosߙ.cosߚ

cotߙ+cotߚ=
sin
ሺ
ߙ+ߚ
ሻ
sinߙ.sinߚ

tanߙ−tanߚ=
sin
ሺ
ߙ−ߚ
ሻ
cosߙ.cosߚ

cotߙ−cotߚ=
sin
ሺ
ߚ−ߙ
ሻ
sinߙ.sinߚ

Công thức hạ bậc:
sin
ଶ
ߙ=
1−cos2ߙ
2

cos
ଶ
ߙ=
1+cos2ߙ
2

sin
ଷ

ߙ=
3sinߙ−sin3ߙ
4

cos
ଷ
ߙ=
3cosߙ+cos3ߙ
4

Công thức rút gọn:
asinݔ+ܾcosݔ=
√
ܽ
ଶ
+ܾ
ଶ
sin
ሺ
ݔ+ߙ
ሻ
ݒớ݅ cotߙ=
௕
௔

=
√
ܽ
ଶ
+ܾ

ଶ
cos
ሺ
ݔ−ߙ
ሻ
ݒớ݅ tanߙ=
௔
௕

asinݔ−ܾcosݔ=
ඥ
ܽ
ଶ
+ܾ
ଶ
sin
ሺ
ݔ−ߙ
ሻ
ݒớ݅ cotߙ=
ܾ
ܽ

=
√
ܽ
ଶ
+ܾ
ଶ
cos

ሺ
ݔ+ߙ
ሻ
ݒớ݅ tanߙ=
௔
௕

Hệ quả:
sinߙ+cosߙ=
√
2sinቀߙ+
ߨ
4
ቁ=
√
2cosቀߙ−
ߨ
4
ቁ
sinߙ−cosߙ=
√
2sinቀߙ−
ߨ
4
ቁ=−
√
2cosቀߙ+
ߨ
4
ቁ

tanߙ+cotߙ=
2
sin2ߙ

tanߙ−cotߙ=−2cot2ߙ
Công thức tính sinα, cosα, tanα theo
࢚=࢚ࢇ࢔
ࢻ
૛

sinߙ=
2ݐ
1+ݐ
ଶ

cosߙ=
1−ݐ
ଶ
1+ݐ
ଶ

tanߙ=
2ݐ
1−ݐ
ଶ

HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
Định lý hàm số cosin:
ܽ
ଶ

=ܾ
ଶ
+ܿ
ଶ
−2ܾܿcosܣ
ܾ
ଶ
=ܽ
ଶ
+ܿ
ଶ
−2ܽܿcosܤ
ܿ
ଶ
=ܽ
ଶ
+ܾ
ଶ
−2ܾܽcosܥ
3
Px!phangiakhue

Định lý hàm số sin:
ܽ
sinܣ
=
ܾ
sinܤ
=
ܿ

sinܥ
=2ܴ
Định lý đường trung tuyến
:

ܾ
ଶ
+ܿ
ଶ
=2݉
௔
ଶ
+
ܽ
ଶ
2

ܽ
ଶ
+ܿ
ଶ
=2݉
௕
ଶ
+
ܾ
ଶ
2

ܽ

ଶ
+ܾ
ଶ
=2݉
௖
ଶ
+
ܿ
ଶ
2

Định lý đường phân giác:
Phân giác trong
݈
஺
=
2ܾܿcos
ܣ
2
ܾ+ܿ
=
2
ඥ
ܾܿ݌ሺ݌−ܽሻ
ܾ+ܿ

݈
஻
=
2ܽܿcos

ܤ
2
ܽ+ܿ
=
2
ඥ
ܽܿ݌ሺ݌−ܾሻ
ܽ+ܿ

݈
஼
=
2ܾܽcos
ܥ
2
ܽ+ܾ
=
2
ඥ
ܾܽ݌ሺ݌−ܿሻ
ܽ+ܾ

Phân giác ngoài
݈′
஺
=
2ܾܿcos
ܣ
2
|ܾ−ܿ|

݈′
஻
=
2ܽܿcos
ܤ
2
|ܽ−ܿ|

݈′
஼
=
2ܾܽcos
ܥ
2
|ܽ−ܾ|

Định lý hình chiếu:
a = b.
cos
C + c.
cos
B
b = c.
cos
A + a.
cos
C
c = a.
cos

B + b.
cos
A

Công thức về diện tích:
ܵ=
ଵ
ଶ
ܾܿsinܣ=
ଵ
ଶ
ܽܿsinܤ=
ଵ
ଶ
ܾܽsinܥ
ܵ=
ܾܽܿ
4ܴ

ܵ=݌ݎ=݌
ሺ
݌−ܽ
ሻ
tan
ܣ
2
=݌
ሺ
݌−ܾ
ሻ

tan
ܤ
2
=݌ሺ݌−ܿሻtan
ܥ
2

ܵ=
ඥ
݌
ሺ
݌−ܽ
ሻሺ
݌−ܾ
ሻ
ሺ݌−ܿሻ
ܵ=
1
2
ܽℎ
௔
=
1
2
ܾℎ
௕
=
1
2
ܿℎ

௖

ܵ=2ܴ
ଶ
sinܣsinܤsinܥ
ܵ=
ܽ
ଶ
sinܤsinܥ
2sinܣ
=
ܾ
ଶ
sinܣsinܥ
2sinܤ
=
ܿ
ଶ
sinܣsinܤ
2sinܥ

ܵ=ݎ
௔
ሺ
݌−ܽ
ሻ
=ݎ
௕
ሺ
݌−ܾ

ሻ
=ݎ
௖
ሺ݌−ܿሻ
ܵ=
3
4
ඥ
݌
ᇱ
ሺ
݌
ᇱ
−݉
௔
ሻሺ
݌
ᇱ
−݉
௕
ሻ
ሺ݌
ᇱ
−݉
௖
ሻ ܸớ݅ ݌
ᇱ
=
1
2

ሺ݉
௔
+݉
௕
+݉
௖
ሻ
ܵ=
ℎ
௔
ଶ
ℎ
௕
ଶ
4
.
1
ට
݌
ᇱ
ሺ
݌
ᇱ
−ℎ
௔
ሻሺ
݌
ᇱ
−ℎ
௕

ሻ
ሺ݌
ᇱ
−
ℎ
௔
ℎ
௕
ℎ
௖
ሻ
ܸớ݅ ݌
ᇱ
=
1
2
൬ℎ
௔
+ℎ
௕
+
ℎ
௔
ℎ
௕
ℎ
௖
൰
Cho A’, B’, C’ là chân các đường phân giác:
ܵ

஺ᇱ஻ᇱ஼ᇱ
=ܵ
2ܾܽܿ
ሺ
ܽ+ܾ
ሻሺ
ܾ+ܿ
ሻ
ሺܿ+ܽሻ

Cho H
A
, H
B
, H
C
là chân các đường cao:
ܵ
ு
ಲ
ு
ಳ
ு
಴
=ܵcosܣcosܤcosܥ
4
Px!phangiakhue

Công thức liên quan đường tròn nội tiếp:
ݎ=

ܵ
݌
=4ܴsin
ܣ
2
sin
ܤ
2
sin
ܥ
2
=
ሺ
݌−ܽ
ሻ
tan
ܣ
2
=
ሺ
݌−ܾ
ሻ
tan
ܤ
2
=ሺ݌−ܿሻtan
ܥ
2

ݎ

௔
=݌tan
ܣ
2

ݎ
௕
=݌tan
ܤ
2

ݎ
௖
=݌tan
ܥ
2

1
ݎ
=
1
ℎ
௔
+
1
ℎ
௕
+
1
ℎ

௖

Công thức về góc:
sin
ܣ
2
=
ඨ
ሺ
݌−ܾ
ሻ
ሺ݌−ܿሻ
ܾܿ
sin
ܤ
2
=
ඨ
ሺ
݌−ܽ
ሻ
ሺ݌−ܿሻ
ܽܿ
sin
ܥ
2
=
ඨ
ሺ
݌−ܽ

ሻ
ሺ݌−ܾሻ
ܾܽ

cos
ܣ
2
=
ඨ
݌ሺ݌−ܽሻ
ܾܿ

cos
ܤ
2
=
ඨ
݌ሺ݌−ܾሻ
ܽܿ

cos
ܥ
2
=
ඨ
݌ሺ݌−ܿሻ
ܾܽ

tan
ܣ

2
=
ඨ
ሺ
݌−ܾ
ሻ
ሺ݌−ܿሻ
݌ሺ݌−ܽሻ

tan
ܤ
2
=
ඨ
ሺ
݌−ܽ
ሻ
ሺ݌−ܿሻ
݌ሺ݌−ܾሻ

tan
ܥ
2
=
ඨ
ሺ
݌−ܽ
ሻ
ሺ݌−ܾሻ
݌ሺ݌−ܿሻ

Một số công thức trong tam giác vuông:
ܽ
ଶ
=ܾ
ଶ
+ܿ
ଶ

1
ℎ
ଶ
=
1
ܾ
ଶ
+
1
ܿ
ଶ

ܾ
ଶ
=ܾ′ܽ

ܿ
ଶ
=ܿ′ܽ

ℎ

ଶ
=ܾ′ܿ′

ܽℎ=ܾܿ

Một số công thức trong tam giác thường:
AI và AJ là phân giác của
ܤܣܥ
෣

thì:
ܫܤ
ܫܥ
=
ܬܤ
ܬܥ
=
ܣܤ
ܣܥ

H
A
là chân đường cao từ A, O
A
là trung điểm BC:
ܣܤ
ଶ
−ܣܥ
ଶ
=2ܤܥ

തതതത
.ܱ
஺
ܪ
஺
തതതതതതത

H’ là trực tâm tam giác, H
A
là chân đường cao từ A:
ܪ
஺
ܪ.ܪ
஺
ܣ=ܪ
஺
ܤ.ܪ
஺
ܥ

Đẳng thức trong tam giác:
sinܣ+sinܤ+sinܥ=4cos
ܣ
2
.cos
ܤ
2
.cos
ܥ
2

cosܣ+cosܤ+cosܥ=4sin
ܣ
2
.sin
ܤ
2
.sin
ܥ
2
+1
tanܣ+tanܤ+tanܥ=tanܣ.tanܤ.tanܥ
cotܣ.cotܤ+cotܤ.cotܥ+cotܣ.cotܥ=1
tan
ܣ
2
.tan
ܤ
2
+tan
ܤ
2
.tan
ܥ
2
+tan
ܣ
2
.tan
ܥ

2
=1
cot
ܣ
2
+cot
ܤ
2
+cot
ܥ
2
=cot
ܣ
2
.cot
ܤ
2
.cot
ܥ
2
Bất đẳng thức trong tam giác:
sinܣ+sinܤ+sinܥ≤
3
√
3
2

1<cosܣ+cosܤ+cosܥ≤
3
2

1<sin
ܣ
2
+sin
ܤ
2
+sin
ܥ
2
≤
3
2

2<cos
ܣ
2
+cos
ܤ
2
+cos
ܥ
2
≤
3
√
3
2

sinܣ.sinܤ.sinܥ≤

3
√
3
8

sin
ܣ
2
.sin
ܤ
2
.sin
ܥ
2
≤
1
8

cosܣ.cosܤ.cosܥ≤
1
8

cos
ܣ
2
.cos
ܤ
2
.cos
ܥ

2
≤
3
√
3
8

5
Px!phangiakhue

sin
ଶ
ܣ+sin
ଶ
ܤ+sin
ଶ
ܥ≤
9
2

tanܽ+tanܤ+tanܥ≥3
√
3
tan
ܣ
2
+tan
ܤ
2
+tan

ܥ
2
≥
√
3
tan
ܣ
2
.tan
ܤ
2
.tan
ܥ
2
≤
1
3
√
3

cotܣ+cotܤ+cotܥ≥
√
3
cot
ܣ
2
+cot
ܤ
2
+cot

ܥ
2
≥3
√
3
HỆ THỨC TRONG TỨ GIÁC
ܵ=
ඨ
ሺ
݌−ܽ
ሻሺ
݌−ܾ
ሻሺ
݌−ܿ
ሻሺ
݌−݀
ሻ
−ܾܽܿ݀cos
ଶ
ܤ+ܦ
2
ܸớ݅ ݌=
ܽ+ܾ+ܿ+݀
2

ܵ=
ܣܥ.ܤܦ.sinߙ
2
ܸớ݅ ߙ ݈à ݃óܿ ݃݅ữܽ ℎܽ݅ đườ݊݃ ܿℎé݋

Nếu tứ giác nội tiếp thì:
Tích hai đường chéo bằng tổng tích hai cạnh đối.

ܵ=
ඥ
ሺ
݌−ܽ
ሻሺ
݌−ܾ
ሻሺ
݌−ܿ
ሻሺ
݌−݀
ሻ

---------®---------
VI PHÂN

Hàm lũy thừa:
݀
ሺ
ݔ
ఈ
ሻ
=ߙݔ
ఈିଵ
݀ݔ
݀
ሺ
ܽݔ+ܾ