Báo cáo bài tập lớn công nghệ nano cấu trúc vùng cấm quang tinh thể quang tử hai chiều
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.24 MB, 32 trang )
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
VIỆN ĐIỆN TỬ - VIỄN THƠNG
**********
BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN
Mơn: Cơng nghệ Nano
Đề tài: cấu trúc vùng cấm quang tinh thể quang tử hai
chiều
Giảng viên hướng dẫn: TS. Nguyễn Việt Hưng
Nhóm 01:
Thành viên trong nhóm:
Trần Hữu Tùng
2015 4281
Trần Quốc Tn
2015 4064
Hồng Đình Nam
2015 2535
Đỗ Tuấn Anh
2015 0043
Nguyễn Hữu Doanh
2015 0571
Nguyễn Trọng Đạo
2015 0808
Hà Nội, tháng 11, năm 2019
CuuDuongThanCong.com
/>
Yêu cầu đề tài
• Lý thuyết về truyền dẫn ánh sáng trong các cấu trúc điện môi 2 chiều: Biểu diễn chi
tiết các phương trình Maxwell theo các trục tọa độ, các nghiệm dạng tổng qt.
• Tính chất của các mode TE và TM.
• Trình bày cơ sở lý thuyết của phương pháp khai triển sóng phẳng (Plane wave
expansion method) sử dụng để tính tốn các vùng cấm quang của tinh thể quang tử.
Viết các phương trình ma trận của phương pháp này cho trường hợp mạng 2 chiều.
• Sử dụng phần mềm OptiFDTD mơ phỏng tính tốn vùng cấm quang của các tinh thể
quang tử 2 chiều có cấu trúc mạng dạng Hình lục giác. Biểu diễn cấu trúc vùng theo
các hướng khác nhau trong mạng, nhận xét về kết quả.
Nhận xét đánh giá
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
2
CuuDuongThanCong.com
/>
Lời giới thiệu
Công nghệ và khoa học vật liệu luôn là động lực của sự thay đổi ở nhiều ngành khoa
học, đặc biệt là những ngành phát triển nhanh và mạnh mẽ, trong đó có ngành học Điện tử
- Viễn thông mà chúng em đang theo học. Đặc biệt, công nghệ nano được ứng dụng mạnh
mẽ trong thông tin quang giúp tăng hiệu suất truyền tin.
Môn học Công nghệ Nano giúp chúng em ôn lại những kiến thức, khái niệm cơ bản về
phương trình Maxwell, đại số tuyến tính, giải tích, vật lý điện tử. Đây là những lý thuyết
cơ bản trong công nghệ nano và với điện tử viễn thông để giải quyết những vấn đề thực tế.
Môn học cịn giúp chúng em có được kiến thức cơ bản về ứng dụng của công nghệ nano
trong viễn thông và đặc biệt là trong thơng tin quang. Chính vì vậy, với sự phân cơng và
hướng dẫn của thầy, nhóm chúng em quyết định tìm hiểu và phát triển đề tài Tính tốn cấu
trúc vùng cấm của các tinh thể quang tử hai chiều. Đề tài gồm có các lý thuyết cơ bản về
truyền sóng và tính tốn, mơ phỏng vùng cấm quang các tinh thể quang tử hai chiều có cấu
trúc mạng hình lục giác (Phần mềm OptiFDTD).
Nhóm chúng em xin trân thành cảm ơn thầy TS.Nguyễn Việt Hưng đã hướng dẫn nhóm
hồn thành đề tài. Do sự giới hạn về kiến thức và kỹ năng trong thực hành nên trong q
trình hồn thành đề tài có gì sai sót nhóm em mong được sự góp ý của thầy để nhóm em có
thể hồn thành đề tài một cách tốt hơn.
3
CuuDuongThanCong.com
/>
Mục lục
Yêu cầu đề tài ...................................................................................................................... 2
Nhận xét đánh giá ............................................................................................................... 2
Lời giới thiệu ....................................................................................................................... 3
Mục lục ................................................................................................................................ 4
Danh mục hình ảnh ............................................................................................................ 5
Danh mục bảng biểu .......................................................................................................... 5
Phân cơng công việc ........................................................................................................... 6
Nội dung .............................................................................................................................. 7
1. Truyền dẫn ánh sáng trong cấu trúc điện môi hai chiều...................................... 7
1.1.
Hệ phương trình Maxwell ................................................................................ 7
1.2.
Tìm nghiệm tổng qt ....................................................................................... 9
2. Tính chất của các mode TE và TM ...................................................................... 12
2.1.
Mode TM .......................................................................................................... 13
2.2.
Mode TE ........................................................................................................... 15
3. Phương pháp khai triển sóng phẳng .................................................................... 16
3.1.
Cơ sở lý thuyết của phương pháp khai triển sóng phẳng ............................ 16
3.2.
Những thuộc tính của tinh thể quang tử hình lục giác ................................ 19
4. Mơ phỏng vùng cấm quang trên OptiFDTD ....................................................... 23
4.1.
Thiết kế ............................................................................................................. 23
4.2.
Phân tích vùng cấm quang ............................................................................. 25
4.3.
Mở rộng các mô phỏng ................................................................................... 26
Danh mục tài liệu tham khảo .......................................................................................... 32
4
CuuDuongThanCong.com
/>
Danh mục hình ảnh
Hình 1. Mơ hình 3D của tinh thể quang tử 2 chiều hình lục giác ...................................... 11
Hình 2. Lát cắt của tinh thể quang tử hai chiều hình lục giác ............................................ 11
Hình 3. TM mode và TE mode ........................................................................................... 13
Hình 4. Vector cơ sở của tinh thể hình lục giác ................................................................. 19
Hình 5. Kích thước mạng tinh thể hai chiều hình lục giác ................................................. 23
Hình 6. Mơ hình mạng tinh thể hai chiều hình lục giác ..................................................... 24
Hình 7. Cấu trúc vùng cấm mode TE ................................................................................. 25
Hình 8. Cấu trúc vùng cấm mode TM ................................................................................ 25
Hình 9. Cấu trúc vùng cấm mode TE tinh thể SiO2 ........................................................... 26
Hình 10. Cấu trúc vùng cấm mode TM tinh thể SiO2 ........................................................ 27
Hình 11. Cấu trúc vùng cấm mode TE với ống trụ bán kính 0.1a...................................... 28
Hình 12. Cấu trúc vùng cấm mode TM với ống trụ bán kính 0.1a .................................... 29
Hình 13. Cấu trúc vùng cấm mode TE với ống trụ bán kính 0.3 ....................................... 29
Hình 14. Cấu trúc vùng cấm mode TM với ống trụ bán kính 0.3a .................................... 30
Hình 15. Cấu trúc vùng cấm quang mode TE với ống trụ bán kính 0.4a ........................... 30
Hình 16. Cấu trúc vùng cấm quang mode TM với ống trụ kích thước 0.4a ...................... 31
Danh mục bảng biểu
Bảng 1. Bảng phân cơng cơng việc ...................................................................................... 6
Bảng 2. Chú thích hệ phương trình Maxwell ....................................................................... 7
Bảng 3. Giá trị các đại lượng là hằng số .............................................................................. 9
Bảng 4. Sư tương quan giữa cơ học lượng tử và điện từ trường ........................................ 10
Bảng 5. Chiết suất vật liệu .................................................................................................. 23
Bảng 6. Thông số nguồn phát sóng điện từ ........................................................................ 24
5
CuuDuongThanCong.com
/>
Phân cơng cơng việc
Nhóm
1
2
3
4
Nhiệm Vụ
Lý thuyết về truyền dẫn ánh sáng trong các cấu trúc
điện môi 2 chiều: Biểu diễn chi tiết các phương trình
Maxwell theo các trục tọa độ, các nghiệm của chúng
dạng tổng quát.
Tính chất của các mode TE và TM.
Trình bày cơ sở lý thuyết của phương pháp khai triển
sóng phẳng (Plane wave expansion method) sử dụng
để tính tốn các vùng cấm quang của tinh thể quang
tử. Viết các phương trình ma trận của phương pháp
này cho trường hợp mạng 2 chiều.
Sử dụng phần mềm OptiFDTD mô phỏng tính tốn
vùng cấm quang của các tinh thể quang tử 2 chiều có
cấu trúc mạng dạng Hình lục giác. Biểu diễn cấu trúc
vùng theo các hướng khác nhau trong mạng, nhận xét
về kết quả.
Người Thực Hiện
Nguyễn Hoàng Nam
Đỗ Tuấn Anh
Trần Hữu Tùng
Nguyễn Hữu Doanh
Nguyễn Quốc Tuân
Nguyễn Trọng Đạo
Bảng 1. Bảng phân công công việc
6
CuuDuongThanCong.com
/>
Nội dung
1. Truyền dẫn ánh sáng trong cấu trúc điện mơi hai chiều
1.1. Hệ phương trình Maxwell
Hệ phương trình Maxwell gồm 4 phương trình đề ra bởi James Clerk Maxwell. Dùng
để mô tả trường điện từ cũng như tương tác của chúng đối với vật chất. Bốn phương trình
Maxwell mơ tả lần lượt:
•
•
•
•
Điện tích tạo ra điện trường như thế nào (định luật Gauss)
Sự không tồn tại của vật chất từ tích (định luật Gauss cho từ trường)
Dịng điện tạo ra từ trường như thế nào (định luật Ampere)
Từ trường tạo ra điện trường như thế nào (định luật Faraday)
Hệ phương trình Maxwell [1]:
⃗⃗ = 𝜌
𝛁𝑫
⃗ =
𝛁×𝐄
(1)
⃗⃗
𝝏𝑩
−
𝝏𝑡
(3)
⃗ =0
𝛁∙𝐁
⃗⃗ = ⃗𝐣 +
𝛁×𝐇
(2)
⃗⃗
𝛛𝑫
𝛛𝐭
(4)
Các đại lượng được bơi đậm là các đại lượng vector, các đại lượng in nghiêng là các đại
lượng vô hướng.
Ký hiệu
Ý nghĩa
Đợn vị trong hệ SI
E
Cường độ điện trường
V/m
H
Cường độ từ trường
A/m
D
B
Độ điện dịch(Điện Cảm)
Vector cảm ứng từ
C/𝑚3
T
𝜌
Mật độ điện tích
C/𝑚3
J
Mật độ dịng điện
A/𝑚2
∇
Tốn tử Nable
Bảng 2. Chú thích hệ phương trình Maxwell
⃗⃗ ,𝑬
⃗ ,𝑯
⃗⃗⃗ :
Ngồi ra cịn có mối quan hệ ⃗𝑩⃗ ,𝑫
⃗ = 𝜀0 ε𝐄
⃗
𝐃
⃗ = μ0 μ𝑯
⃗⃗⃗
𝐁
⃗
𝐉 = σ𝐄
ε là hằng số điện môi của môi trường
μ là hằng số từ môi của môi trường.
Trong điện mơi ta có ρ=0 và J=0 .Hệ phương trình Maxwell trở thành.
7
CuuDuongThanCong.com
/>
⃗ =0
∇∙𝐃
⃗ = −
∇×𝐄
⃗ =0
∇∙𝐁
(5)
⃗⃗
𝛛𝑩
𝛛𝐭
⃗⃗ =
∇×𝐇
(7)
(6)
⃗⃗
𝛛𝑫
𝛛𝐭
(8)
Biểu diễn các phương trình Maxwell thông qua hệ tọa độ đề các:
−𝜇
−𝜇
−𝜇
𝜕𝐻𝑥 𝜕𝐸𝑧
=
𝜕𝑡
𝜕𝑦
𝜕𝐻𝑦
𝜕𝑡
−
𝜕𝐸
= 𝜕𝑧𝑥 −
𝜕𝐻𝑧 𝜕𝐸𝑥
=
𝜕𝑡
𝜕𝑦
−
𝜕𝐸𝑦
𝜀
𝜕𝑧
𝜕𝐸𝑧
𝜕𝑥
𝜀
𝜕𝐸𝑦
𝜀
𝜕𝑥
𝜕𝐸𝑥 𝜕𝐻𝑧
=
𝜕𝑡
𝜕𝑦
𝜕𝐸𝑦
𝜕𝑡
−
𝜕𝐻
= 𝜕𝑧𝑥 −
𝜕𝐸𝑧 𝜕𝐻𝑦
=
𝜕𝑡
𝜕𝑥
−
𝜕𝐻𝑦
𝜕𝑧
𝜕𝐻𝑧
𝜕𝑥
𝜕𝐻𝑧
𝜕𝑦
Để đơn giản, người ta [2] dùng kỹ thuật phân tích tách mode điện – từ trường riêng rẽ
là hàm phụ thuộc tọa độ r và hàm điều hòa theo thời gian t:
⃗⃗ (r, t) = 𝐇
⃗⃗ (r)e−iωt
𝐇
⃗ (r, t) = 𝐄
⃗ (r)e−iωt
𝐄
(9)
(10)
Ta thay phương trình (9) và (10) vào các phương trình (5), (6), (7), (8) ta có:
⃗⃗ (r, t) = 0
∇∙𝐇
⃗ (r, t) = −μ0
∇×𝐄
⃗ (r, t)] = 0
∇ ∙ [ε(r)𝐄
(11)
⃗ (r,t)
∂𝐻
∂t
(12)
⃗⃗ (r, t) = ε0 ε(r) ∂𝐄(r,t) (14)
∇×𝐇
∂t
(13)
Thực hiện biến đổi ta có:
⃗⃗ (r) = 0
∇ ∙𝐇
⃗ (r)] = 0
∇ ∙ [ε(r)𝐄
(15)
⃗ (r) = iωμ0 ⃗H
⃗ (r) (17)
∇ ×𝐄
⃗⃗ (r) = −iωε0 ε(r)𝐄
⃗ (r)
∇×𝐇
(16)
(18)
Thay ∇ × 𝐸 (𝑟) ở phương trình (17) bằng cách biến đổi phương trình (18) rút ra, ta
được phương trình truyền sóng tổng qt trong chất điện mơi có hàm điện mơi biến đổi
ε(r) :
1
⃗⃗ (r)) =
∇ × (ε(r) ∇ × 𝐇
ω2
c2
⃗⃗ (r) (9)
𝐇
8
CuuDuongThanCong.com
/>
Ký hiệu
Tên
Giá trị
Đơn vị trong hệ SI
c
Vận tốc ánh sáng
2.998 x 108
m/s
𝜀0
Độ điện thẩm chân không
8.854 x 10-12
Fara/m
𝜇0
Độ từ thẩm trân không
4π.10-7
Henry/m
Bảng 3. Giá trị các đại lượng là hằng số
Sau khi biết cấu trúc phân bố của chất điện mơi (biết hàm ε(r)) ta giải phương trình trên
tìm H và ω. Việc tìm E dễ dàng được thực hiện được thơng qua việc thay H vào phương
trình (18).
1.2. Tìm nghiệm tổng qt
Để giải phương trình sóng trong chất điện mơi có cấu trúc tuần hồn, ta cần tìm trị riêng
và vector riêng của phương trình (19). Ta đi xem xét một bài tốn tương đương, đó là bài
tốn điện tử chuyển động trong tinh thể có khả năng tuần hồn. Bài tốn được mơ tả bằng
phương trình schrodinger [3]:
[−
ћ2
∆ + 𝑉(𝑟)] 𝛹(𝑟) = 𝐸𝛹(𝑟)
2𝑚
ћ : hằng số Plank
m: khối lượng điện tử
Ψ(r): hàm sóng
⃗⃗⃗ là một hàm thế năng tuần hồn có chu kỳ là vector tịnh tiến 𝑅⃗ = 𝑛1 ⃗⃗⃗⃗
Với 𝑉(𝑟)
𝑎1 +
𝑛2 𝑎2 + 𝑛3 ⃗⃗⃗⃗
𝑎3
Nghĩa là 𝑉(𝑟 + 𝑅⃗) = 𝑉(𝑟). Điểm 𝑟 và điểm 𝑟 + 𝑅⃗ hoàn toàn tương đương về phương diện
vật lý (tính tuần hồn), do đó thay thế 𝑟 + 𝑅⃗ cho 𝑟 thì hàm sóng tại hai điểm chỉ khác nhau
bởi một thừa số 𝐶𝑅 : 𝛹(𝑟 + 𝑅⃗ ) = 𝐶𝑅 𝛹(𝑟) [4].
Điều đó có nghĩa là khi dịch chuyển vector tịnh tiến của mạng, do tính tuần hồn của
𝑉(𝑟) module của hàm sóng 𝛹(𝑟) khơng đổi, chỉ có pha thay đổi. Đồng thời hàm sóng
𝛹(𝑟 + 𝑅⃗ ) và 𝛹(𝑟) phải thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa.
+∞
+∞
∫−∞ 𝛹 ∗ ( 𝑟 + 𝑅⃗ ). 𝛹(𝑟 + 𝑅⃗ )𝑑𝑉 = |𝐶𝑅 |2 ∫−∞ 𝛹 ∗ ( 𝑟). 𝛹(𝑟) 𝑑𝑉 = 1
Do đó, |𝐶𝑅 |2 = 1. Như vậy, 𝐶𝑅 phải bằng 1 hoặc bằng hàm mũ với số mũ ảo. Vì hàm
sóng biểu thị cho chuyển động của điện tử trong tinh thể, nên ở đây ta lấy 𝐶𝑅 là hàm số mũ.
9
CuuDuongThanCong.com
/>
Số mũ phải là một đại lượng khơng có thứ nguyên, và vector 𝑅⃗ có thứ nguyên là độ dài. Kết
hợp các điều kiện ta có, 𝐶𝑅 = 𝑒 𝑖𝑘⃗𝑅⃗ trong đó 𝑘⃗ là vector sóng có thứ nguyên 𝑐𝑚−1 .
Ta có: 𝛹(𝑟 + 𝑅⃗ ) = 𝑒 𝑖𝑘⃗𝑅⃗ 𝛹(𝑟) (*)
Phương trình (*) được gọi là tính chất tịnh tiến của hàm sóng:
Nhân hai vế của (*) với 𝑒 −𝑖𝑘⃗(𝑟+𝑅⃗) được:
⃗
⃗
⃗
⃗
𝑒 −𝑖𝑘(𝑟+𝑅⃗) . 𝛹(𝑟 + 𝑅⃗ ) = 𝑒 −𝑖𝑘(𝑟+𝑅⃗) 𝑒 𝑖𝑘𝑅⃗ 𝛹(𝑟) = 𝑒 −𝑖𝑘𝑅⃗ 𝛹(𝑟) (**)
Nếu đặt 𝑢𝑘⃗ (𝑟) = 𝑒 −𝑖𝑘⃗𝑅⃗ 𝛹(𝑟) thì phương trình (**) ta có:
𝑢⃗𝑘 (𝑟 + 𝑅⃗) = 𝑢⃗𝑘 (𝑟) (∗∗∗)
Từ (***) ta có 𝛹(𝑟) = 𝑒 𝑖𝑘⃗𝑅⃗ 𝑢⃗𝑘 (𝑟).
Như vậy điện tử chuyển động trong tinh thể được mơ tả bởi sóng phẳng có biên độ biến
đổi tuần hồn. Phương trình (***) gọi là hàm Block.
Ta xét sự tương quang giữa cơ học lượng tử và điện từ trường [2].
Quantum Mechanics
Field
Eigenvalue problem
Hermitian operator
𝛹(𝑟, 𝑡) = 𝛹(𝑟)𝑒
−𝑖𝐸𝑡
ћ
Ĥ𝛹 = 𝐸𝛹
Ĥ=−
ћ2 2
𝛻 + 𝑉(𝑟)
2𝑚
Electrodynamics
𝐻(𝑟, 𝑡) = 𝐻(𝑟)𝑒 −𝑖𝜔𝑡
𝜔2
𝐻
𝑐2
1
𝛩=𝛻×
𝛻×
𝜀(𝑟)
𝛩𝐻 =
Bảng 4. Sư tương quan giữa cơ học lượng tử và điện từ trường
Những nghiệm riêng nào của trường điện từ ứng với năng lượng trường lớn hơn thì các
vector trường sẽ tập trung định xứ ở các vùng có chiết suất bé hơn.
Đối với vật liệu điện mơi có cấu trúc tuần hồn 𝜀(𝑟) = 𝜀(𝑟 + 𝑚𝑎). Với m là số nguyên
⃗ là chu kỳ (ơ cơ sở). Tương tự với bài tốn chuyển động của điện
(các tinh thể quang tử), 𝒂
tử trong tinh thể, 𝐻(𝑟), 𝐸(𝑟) là các hàm Block [3]:
⃗
⃗⃗ (r) = 𝑒 𝑖𝑘𝑟 . 𝑢
H
⃗ 𝑘⃗ (𝑟)
{
⃗
⃗E(r) = 𝑒 𝑖𝑘𝑟 . 𝑣⃗ (𝑟)
𝑘
10
CuuDuongThanCong.com
/>
z
y
x
Hình 1. Mơ hình 3D của tinh thể quang tử 2 chiều hình lục giác
Hình 1.2: cấu trúc 3 chiều của …
Với 𝑢⃗⃗𝑘 (𝑟) = 𝑢⃗⃗𝑘 (𝑟 + 𝑚𝑎),
⃗⃗⃗
𝑘 : là vetor sóng
Tần số riêng phụ thuộc vào vector sóng 𝑤(𝑘⃗⃗⃗ ).
Hình 2. Lát cắt của tinh thể quang tử hai chiều hình lục giác
Điện mơi hai chiều: là sự sắp xếp tuần hoàn theo 2 trục (x, y) và đồng nhất theo trục
thứ 3 (z).
Ở mạng này chúng ta tưởng tượng rằng các cột trụ điện môi sắp xếp tuần hoàn theo 2
phương x và y. Các cột trụ điện môi được mở rộng đồng nhất theo hướng z tới vô hạn. Với
cấu trúc mạng như vậy sẽ ngăn cản ánh sáng tới từ bất cứ phương truyền nào trong mặt
(xy). Áp dụng lý thuyết bloch để khảo sát, mode điện tử trong cấu trúc này có dạng như
sau:
𝐻(𝑛,𝑘𝑧,𝑘|| )(r)= 𝑒 𝑖𝑘|| 𝜌 𝑒 𝑖𝑘𝑧𝑧 . 𝑢(𝑛,𝑘𝑧,𝑘|| ) (𝑟)
Trong đó ta có:
11
CuuDuongThanCong.com
/>
H: là cường độ điện trường
𝑢 là hàm tuần hoàn có dạng 𝑢(𝑟) = 𝑢(𝑟 + 𝑅), 𝑅 bội số nguyên lần của hằng số mạng a
𝜌 là hình chiếu của vector 𝑟 xuống mặt xy
𝑘|| vector sóng truyền trong mặt xy. 𝑘||2 = 𝑘𝑥2 + 𝑘𝑦2
𝜔2
𝑘𝑧 vector sóng truyền theo hướng z. 𝑘𝑧 = √ 𝑐 2 𝜀 − 𝑘||2
2. Tính chất của các mode TE và TM
Ta có phương trình cách một sóng đi vào ống dẫn sóng (chất điện môi):
⃗ (x,y,z) = 𝐸 0 (x,y)𝑒 −𝛾𝑧
E
⃗H
⃗ (x,y,z) = 𝐻 0 (x,y)𝑒 −𝛾𝑧
Theo định luật của Ampere và Faraday cho vùng sóng tự do:
∇ x ⃗H⃗ = j𝜔𝜀 E⃗
∇ x ⃗E = -j𝜔𝜇 ⃗H
Biến đổi theo 3 chiều x, y, z ta có phương trình:
𝜕𝐸𝑧
𝜕𝑦
𝜕𝐸𝑧
𝜕𝑥
𝜕𝐸𝑦
𝜕𝑥
𝜕𝐻𝑧
𝜕𝑦
𝜕𝐻𝑧
𝜕𝑥
𝜕𝐻𝑦
𝜕𝑥
+ 𝛾𝐸𝑦 = -j𝜔𝜇𝐻𝑥
(2.1)
+ 𝛾𝐸𝑥 = j𝜔𝜇𝐻𝑦
(2.2)
-
𝜕𝐸𝑥
𝜕𝑦
= -j𝜔𝜇𝐻𝑧
(2.3)
+ 𝛾𝐻𝑦 = j𝜔𝜇𝐸𝑥
(2.4)
+ 𝛾𝐻𝑥 = -j𝜔𝜇𝐸𝑦
(2.5)
-
𝜕𝐻𝑥
𝜕𝑦
= j𝜔𝜇𝐻𝑧
(2.6)
Kết hợp (2.1) với (2.5) và (2.2) với (2.4) để ra được phương trình cho 𝐻𝑥 và 𝐸𝑥 được
phương trình (2.7) và (2.9). Biến đổi phương trình (2.3) và (2.6) ta có phương trình 𝐻𝑦 và
𝐸𝑦 như phương trình (2.8) và (2.10):
𝐻𝑥 =
−𝛾 𝜕𝐻𝑧
ℎ 2 𝜕𝑥
+
𝑗𝜔𝜀 𝜕𝐸𝑧
ℎ 2 𝜕𝑦
(2.7)
12
CuuDuongThanCong.com
/>
−𝛾 𝜕𝐻𝑧
𝐻𝑦 =
−𝛾 𝜕𝐸𝑧
𝐸𝑥 =
𝐸𝑦 =
ℎ 2 𝜕𝑥
ℎ 2 𝜕𝑥
−𝛾 𝜕𝐸𝑧
ℎ 2 𝜕𝑦
-
+
𝑗𝜔𝜀 𝜕𝐸𝑧
(2.8)
ℎ 2 𝜕𝑥
𝑗𝜔𝜇 𝜕𝐻𝑧
(2.9)
ℎ 2 𝜕𝑦
𝑗𝜔𝜇 𝜕𝐻𝑧
(2.10)
ℎ 2 𝜕𝑥
Trong đó ℎ2 = 𝛾 2 + 𝛽2 khi 𝛽= 𝜔√𝜇𝜀:
Các thành phần ngang 𝐸𝑥 , 𝐸𝑦 , 𝐻𝑥 , 𝐻𝑦 , được mô tả trong các điều kiện của thành phần
dọc 𝐸𝑧 và 𝐻𝑧 . Và từ đó chúng ta có 3 trường hợp sau:
Mode điện ngang TE (Transverse Electric): khi 𝐸𝑧 = 0 và 𝐻𝑧 ≠ 0.
Mode từ ngang TM (Transverse Electric): khi 𝐸𝑧 ≠ 0 và 𝐻𝑧 = 0.
Mode điện từ ngang TEM (Transverse Electromagnetic): khi 𝐸𝑧 = 𝐻𝑧 = 0.
Hình 3. TM mode và TE mode
2.1. Mode TM
Điện trường theo chiều dọc của các chế độ TM trong hình chữ nhật ống dẫn sóng phải
(hình 1) thỏa mãn phương trình sóng:
∇2 ⃗E𝑧𝑇𝑀 + 𝑘 2 ⃗E𝑧𝑇𝑀 = 0
(2.11)
Trong đó mở rộng tọa độ vng góc là:
⃗ 𝑇𝑀
𝜕2 E
𝑧
𝜕𝑥 2
+
⃗ 𝑇𝑀
𝜕2 E
𝑧
𝜕𝑦 2
+
⃗ 𝑇𝑀
𝜕2 E
𝑧
𝜕𝑧 2
⃗ 𝑧𝑇𝑀 = 0
+ 𝑘2E
(2.12)
Các chức năng điện trường có thể được xác định bằng cách sử dụng kỹ thuật phân tách
các biến bằng cách giả sử một giải pháp của các hình thức:
𝑇𝑀
⃗𝑧
E
= X(x) Y(y)𝑒 −𝑗𝛽𝑧
(2.13)
13
CuuDuongThanCong.com
/>
Chèn các giải pháp giả định vào các phương trình vi phân cho:
Y(y)
𝑑2 𝑋(𝑥)
𝑑𝑥 2
Y(y)
𝑒 −𝑗𝛽𝑧 +
𝑑2 𝑋(𝑥)
𝑑𝑥 2
1
𝑑2 𝑋(𝑥)
𝑋(𝑥)
𝑑𝑥 2
X(x)
𝑒 −𝑗𝛽𝑧 +
+
1
𝑑2 𝑌(𝑦)
𝑑𝑦 2
X(x)
𝑑2 𝑌(𝑦)
𝑌(𝑦) 𝑑𝑦 2
𝑒 −𝑗𝛽𝑧 + (𝑘 2 − 𝛽2 )X(x)Y(y)𝑒 −𝑗𝛽𝑧 = 0
𝑑2 𝑌(𝑦)
𝑑𝑦 2
𝑒 −𝑗𝛽𝑧 + ℎ2 X(x)Y(y)𝑒 −𝑗𝛽𝑧 = 0
+ ℎ2 = 0
(2.14)
Kết quả là điện trường theo chiều dọc cho một ống dẫn sóng hình chữ nhật TM mode:
𝑇𝑀
⃗ 𝑧 (x,y,z) = (Asin𝑘𝑥 𝑥 + 𝐵𝑐𝑜𝑠𝑘𝑥 𝑥)(Csin𝑘𝑦 𝑦 + 𝐷𝑐𝑜𝑠𝑘𝑦 𝑦)𝑒 −𝑗𝛽𝑧 (2.15)
E
Các điều kiện biên TM cho hình chữ nhật ống dẫn sóng là:
𝑇𝑀
𝑇𝑀
⃗ 𝑧 (0,y,z) = ⃗E𝑧 (a,y,z) = 0
E
𝑇𝑀
𝑇𝑀
⃗E𝑧 (x,0,z) = ⃗E𝑧 (x,b,z) = 0
(2.16)
Áp dụng các điều kiện trên có:
𝑇𝑀
⃗ 𝑧 (0,y,z) = 0 → B = 0
E
𝑇𝑀
⃗ 𝑧 (a,y,z) = 0 → 𝑘𝑥 a = m𝜋 (m= 1,2,3..) → 𝑘𝑥 =
E
𝑚𝜋
𝑎
𝑇𝑀
⃗ 𝑧 (x,0,z) = 0 → D = 0
E
𝑇𝑀
𝑛𝜋
⃗ 𝑧 (x,b,z) = 0 → 𝑘𝑦 b = n𝜋 (n =1,2,3..) → 𝑘𝑦 =
E
𝑏
(2.17)
Với A và C được coi như là hằng số. Các TM mode rời rạc là vô hạn phụ thuộc vào các
giá trị của m và n. Một TM mode được ký hiệu là TM mn mode.
𝑇𝑀
⃗ 𝑧 (x,y,z) = 𝐸0 sin
E
𝑚𝜋𝑥
𝑎
𝑛𝜋𝑦
sin
𝑏
𝑒 −𝑗𝛽𝑧
(2.18)
(m= 1,2,3,...)
(n= 1,2,3,...)
Các thành phần trường ngang của TM mn mode được tìm thấy bằng cách phân biệt
điện trường dọc theo định nghĩa của TM chuẩn phương trình :
𝑇𝑀𝑚𝑛
⃗E𝑥
(x,y,z) =
𝑇𝑀𝑚𝑛
−𝑗𝛽 𝜕 ⃗E𝑧
ℎ2
𝜕𝑥
=
−𝑗𝛽 𝑚𝜋
ℎ2
(
𝑎
𝑚𝜋𝑥
)𝐸0 cos
𝑎
sin
𝑛𝜋𝑦
𝑏
𝑒 −𝑗𝛽𝑧
14
CuuDuongThanCong.com
/>
𝑇𝑀𝑚𝑛
𝑇𝑀
⃗ 𝑦 𝑚𝑛 (x,y,z)
E
𝑇𝑀𝑚𝑛
⃗H𝑥
𝑇𝑀𝑚𝑛
⃗𝑦
H
⃗𝑧
−𝑗𝛽 𝜕E
=
ℎ2
𝑇𝑀𝑚𝑛
𝑗𝜔𝜀 𝜕⃗E𝑧
(x,y,z) =
(x,y,z) =
=
𝜕𝑦
ℎ2
𝜕𝑦
𝑇𝑀𝑚𝑛
−𝑗𝜔𝜀 𝜕⃗E𝑧
ℎ2
𝜕𝑥
−𝑗𝛽 𝑛𝜋
=
=
ℎ2
𝑚𝜋𝑥
( )𝐸0 sin
𝑏
𝑗𝜔𝜀 𝑛𝜋
ℎ2
𝑚𝜋𝑥
( )𝐸0 sin
𝑏
−𝑗𝜔𝜀 𝑚𝜋
ℎ2
(
𝑎
𝑎
𝑎
cos
cos
𝑚𝜋𝑥
)𝐸0 cos
𝑎
𝑛𝜋𝑦
𝑏
𝑛𝜋𝑦
𝑏
sin
𝑒 −𝑗𝛽𝑧
𝑒 −𝑗𝛽𝑧
𝑛𝜋𝑦
𝑏
𝑒 −𝑗𝛽𝑧 (2.19)
Với:
2 − 𝑘 2 = √(𝑘 2 + 𝑘 2 ) − 𝑘 2
𝛾𝑚𝑛 = √ℎ𝑚𝑛
𝑥
𝑦
ℎ𝑚𝑛 = √𝑘𝑥2 + 𝑘𝑦2 = √(
𝛾𝑚𝑛 = √(
𝑚𝜋 2
)
𝑎
𝑚𝜋 2
)
𝑎
𝑛𝜋
𝑛𝜋
+ ( )2
𝑏
+ ( )2 − 𝑘 2 = √(
𝑏
𝑚𝜋 2
)
𝑎
𝑛𝜋
+ ( )2 − 𝜔 2 𝜇𝜀
𝑏
2.2. Mode TE
Từ trường theo chiều dọc của TE mode trong ống dẫn sóng hình chữ nhật phải thỏa
mãn phương trình sóng giống như điện trường theo chiều dọc của các TM mode:
∇2 𝐻𝑧𝑇𝐸 + 𝑘 2 𝐻𝑧𝑇𝐸 = 0
(2.20)
trong đó mở rộng trong tọa độ vng góc là
𝜕2 𝐻𝑧𝑇𝐸
𝜕𝑥 2
+
𝜕2 𝐻𝑧𝑇𝐸
𝜕𝑦 2
+
𝜕2 𝐻𝑧𝑇𝐸
𝜕𝑧 2
+ 𝑘 2 𝐻𝑧𝑇𝐸 = 0
(2.21)
Biến đổi tương tự các thành như TM mode ta có phương trình các thành phần:
𝑇𝐸
⃗ 𝑥 (x,0,z) = 0 → C = 0
E
𝑇𝐸
⃗E𝑥 (x,b,z) = 0 → 𝑘𝑦 b = n𝜋 (m= 0,1,2,..) → 𝑘𝑦 =
𝑛𝜋
𝑏
𝑇𝐸
⃗ 𝑦 (0,y,z) = 0 → A = 0
E
𝑇𝐸
⃗E𝑦 (a,y,z) = 0 → 𝑘𝑥 a = m𝜋 (n = 0,1,2,..) → 𝑘𝑥 =
𝑚𝜋
𝑎
(2.22)
Kết hợp các hằng số B và D vào H0 , có kết quả từ trường theo chiều dọc của mode:
𝑇𝐸𝑚𝑛
⃗𝑧
H
(x,y,z) = 𝐻0 cos
(m= 0,1,2,...)
𝑚𝜋𝑥
𝑎
𝑛𝜋𝑦
cos
𝑏
𝑒 −𝑗𝛽𝑧
(2.23)
(m≠ 𝑛 ≠ 0)
(n= 0,1,2,...)
15
CuuDuongThanCong.com
/>
Các thành phần của TE mode:
𝑇𝐸𝑚𝑛
⃗𝑥
E
𝑇𝐸𝑚𝑛
(x,y,z) =
𝑇𝐸
⃗ 𝑦 𝑚𝑛 (x,y,z)
E
𝑇𝐸𝑚𝑛
⃗𝑥
H
𝑇𝐸𝑚𝑛
⃗𝑦
H
⃗𝑧
−𝑗𝜔𝜇 𝜕 H
ℎ2
𝜕𝑦
𝑇𝐸𝑚𝑛
=
⃗𝑧
𝑗𝜔𝜇 𝜕H
ℎ2
𝜕𝑥
=
𝑇𝐸𝑚𝑛
(x,y,z) =
⃗𝑧
−𝑗𝛽 𝜕 H
𝑘𝑐
2
𝜕𝑥
=
𝑇𝐸𝑚𝑛
(x,y,z) =
⃗𝑧
−𝑗𝛽 𝜕H
𝑘𝑐
2
𝜕𝑦
𝑗𝜔𝜇 𝑛𝜋
=
=
ℎ2
( )𝐻0 cos
𝑏
−𝑗𝜔𝜇 𝑚𝜋
(
ℎ2
𝑎
𝑗𝛽 𝑚𝜋
𝑘𝑐
2
(
𝑎
𝑗𝛽 𝑛𝜋
𝑘𝑐
2
𝑚𝜋𝑥
𝑚𝜋𝑥
)𝐻0 sin
𝑎
𝑚𝜋𝑥
)𝐻0 sin
𝑎
𝑚𝜋𝑥
( )𝐻0 cos
𝑏
𝑎
𝑎
𝑛𝜋𝑦
sin
cos
cos
sin
𝑏
𝑛𝜋𝑦
𝑏
𝑛𝜋𝑦
𝑏
𝑛𝜋𝑦
𝑏
𝑒 −𝑗𝛽𝑧
𝑒 −𝑗𝛽𝑧
𝑒 −𝑗𝛽𝑧
𝑒 −𝑗𝛽𝑧
(2.24)
Như ta thấy khi m=n=0 thì tất cả các thành phần từ trường trừ H_z đều bằng 0. Do đó
m và n có thể lấy giá trị bất kì 0,1,2,3 nhưng không được đồng thời bằng 0. Như vậy trong
ống dẫn sóng hình chữ nhật có thể tồn tại vô số kiểu trường điện ngang khác nhau. Phân bố
trường theo các cạnh a, b có dạng sóng đứng, đồng thời m xác định số nửa sóng trong
khoảng (0,a) cịn n là số nửa sóng trong khoảng (0,b).
3. Phương pháp khai triển sóng phẳng
3.1. Cơ sở lý thuyết của phương pháp khai triển sóng phẳng
Để thiết kế các tinh thể quang tử tận dụng các tính chất độc đáo của chúng, chúng ta cần
một phương pháp tính tốn cần thiết để xác định cách mà ánh sáng sẽ truyền qua một cấu
trúc tinh thể. Cụ thể, với bất kỳ cấu trúc điện mơi định kỳ nào, chúng ta phải tìm tần số cho
phép (tần số riêng) để truyền ánh sáng theo mọi hướng của tinh thể và có thể tính toán phân
bố trường trong tinh thể cho bất kỳ tần số nào. Có nhiều phương pháp cho phép, nhưng một
trong những phương pháp được nghiên cứu và đáng tin cậy nhất là phương pháp khai triển
sóng phẳng (Plane Wave Expansion). Nó được sử dụng trong các nghiên cứu sớm nhất về
tinh thể quang tử và tương đối đơn giản để dễ dàng thực hiện. Phương pháp này cho phép
tính tốn các tần số riêng cho một tinh thể quang tử với bất kỳ độ chính xác theo giới hạn
định trước nào, tương ứng với thời gian tính tốn.
Đối với các ứng dụng tinh thể quang tử trong các chất bán dẫn như GaAs hoặc
dielectrics, phương trình Maxwell, sẽ chi phối tất cả các mô phỏng trường ,ta lấy các dạng
⃗ , 𝐸⃗ , 𝐷
⃗ ,𝐻
⃗ là các vector trường, 𝑗 là mật độ hiện tại, t là thời gian và ρ là mật
sau, trong đó 𝐵
độ điện tích.
Giả sử các vật liệu điện mơi hồn hảo (tính thấm tương đối) trong vùng khơng có nguồn
(𝑗 = 0 và ρ = 0), các phương trình Maxwell có thể được giảm xuống thành bốn phương
trình, mỗi phương trình chỉ liên quan đến một loại trường. Việc tách rời các trường này có
16
CuuDuongThanCong.com
/>
thể được thực hiện bằng cách lấy độ cong của cả hai mặt của phương trình thứ (2) và thay
thế từ phương trình (4) để đưa ra hai phương trình điện trường. Một q trình tương đương
có thể được thực hiện theo thứ tự ngược lại để đưa ra hai phương trình từ trường. Nếu giả
sử rằng các trường là hài hịa thời gian, thì
𝜕2
𝜕𝑡 2
→ −𝜔2 các phương trình có thể được biểu
diển như sau:
Về cơ bản có ba lựa chọn khác nhau về cách giải quyết tại thời điểm này. Tất cả bốn
phương trình, được đưa ra một hàm điện môi, sẽ mang lại một bộ phân phối trường. (Mở
⃗ và 𝐵
⃗ cho kết quả giống hệt nhau). Sau đó, các trường khác có thể được suy ra từ
rộng 𝐻
các phương trình Maxwell. Câu hỏi về phương trình nào cần giải quyết phụ thuộc vào một
số yếu tố. Đầu tiên, các phương trình cho từ trường.
Nói đúng ra, tốn tử ∇ ×
riêng
𝜔2
𝑐2
1
𝜀𝛾
∆ × là Hermiti. Ma trận Hermali xác định rằng các giá trị
là có thật và các phân phối trường có cùng tần số riêng phải là trực giao.
Mỗi phương trình tách rời ở trên sẽ mang lại ba phương trình thành phần nếu các hoạt
động vector được thực hiện. Trong tọa độ Descartes, chúng có thể được biểu thị như sau
⃗ và 𝐻
⃗ tương ứng. Mở rộng cho 𝐷
⃗ khơng được đơn giản hóa vì nó phải
cho các mở rộng 𝐸⃗ , 𝐷
ở dạng đầy đủ của chúng, các thuật ngữ bổ sung được tạo bởi
1
𝜀𝛾
bên trong làm cho biểu
thức rất dài (như đã thấy ở các phương trình bên dưới) từ đó ta biến đổi ra được hệ phương
trình sau:
17
CuuDuongThanCong.com
/>
Các phương trình trên khi giải sẽ cho trị riêng
𝜔2
𝑐2
ứng với tần số riêng và vector riêng là
⃗ trong tinh thể. Phương pháp khai triển sóng phẳng sẽ được áp
phân bố của các trường 𝐸⃗ , 𝐻
dụng tại đây. Các trường và giá trị điện mơi có thể khai triển Fourier dọc theo hướng mà
chúng có tính tuần hồn. Phép khai triển Fourier này sẽ được rút ngắn trong một chiều dài
chuỗi giới hạn với độ chính xác yêu cầu. Tiếp đến, thay trở lại kết quả khai triển vào các
phương trình sóng và qua một số bước biến đổi, phương trình sóng trở thành dạng:
𝐴𝑢 = 𝜆𝑢
Với A là một ma trận, u là vector riêng của ma trận A và λ là trị riêng của ma trận A.
Việc tính tốn trị riêng, vector riêng lúc này trở thành bài tốn đại số thơng thường đã có
sẵn phương pháp giải. Sau khi tìm được trị riêng và vector riêng, biểu diễn chúng, ta có thể
tìm được các khoảng tần số mà tại đó, sóng ánh sáng khơng thể truyền được vào tinh thể.
Đó là các vùng cấm quang (photonic band gap). Vùng cấm quang của mode TE và mode
TM có thể hồn tồn khác nhau. Khi xuất hiện vùng cấm quang mà cả mode TE và TM đều
không thể truyền, vùng cấm ấy được gọi là vùng cấm quang hoàn toàn (complete photonic
band gap).
18
CuuDuongThanCong.com
/>
3.2. Những thuộc tính của tinh thể quang tử hình lục giác
3.2.1. Vector mạng đảo
Giả sử tinh thể quang phân bố trên mặt phẳng vơ vùng lớn cùng với tính tuần hồn của
nó => áp dụng phép biến đổi Fourier. Đối với biến đổi Fourier chúng ta cần Vector mạng
đảo:
𝐺 = 𝑚𝑏⃗1 + 𝑛𝑏⃗2
(m, n ϵ Z)
Vector cơ sở của mạng lục giác:
𝑎1 =
⃗⃗⃗⃗
√3𝑎
2
𝑎
𝑥̂ + 𝑦̂ ;
𝑎2 = −
⃗⃗⃗⃗
2
√3𝑎
2
𝑎
𝑥̂ + 𝑦̂ ;
𝑎3 = 𝑐. 𝑧̂
⃗⃗⃗⃗
2
Tính:
√3𝑎
2
−√3𝑎
𝑉𝑐 = (𝑎1 × 𝑎2 ). 𝑎3 = |
2
𝑎
2
|.c
𝑎
=
√3𝑎2 𝑐
2
2
Vector cơ sở đảo:
⃗⃗⃗⃗⃗
𝑎 ×⃗⃗⃗𝑎3
⃗⃗⃗
𝑏1 = 2𝜋 (𝑎⃗ 2 ⃗ )⋅𝑎
=
⃗
1 𝑥 𝑎2
3
2𝜋
√3𝑎
⃗⃗⃗⃗⃗
𝑎 ×⃗⃗⃗𝑎3
⃗⃗⃗
𝑏2 = 2𝜋 (𝑎⃗ 1 ⃗ )⋅𝑎
=−
⃗
1 𝑥 𝑎2
3
𝑥̂ +
2𝜋
√3𝑎
2𝜋
𝑎
𝑥̂ +
𝑦̂
2𝜋
𝑎
𝑦̂
Hình 4. Vector cơ sở của tinh thể hình lục giác
19
CuuDuongThanCong.com
/>
3.2.2. Áp dụng phương pháp khai triển sóng phẳng
a. Bắt đầu từ phương trình Maxwell
Bằng 2 phương trình Maxwell mơ tả sự lan truyền của sóng điện từ, biến đổi thành tập
các phương trình có thể được lấy xấp xỉ bằng phường phương pháp triển khai sóng phẳng:
⃗
𝜕𝐵
𝛻 × 𝐸⃗ = −
=>
⃗
⃗ = 𝜇0 𝜀(𝑟) 𝜕𝐸 (3b)
𝛻×𝐵
(3a)
𝜕𝑡
𝛻 × (𝛻 × 𝐸⃗ ) = 𝛻 × (
𝜕𝑡
⃗
−𝜕𝐵
𝜕𝑡
−𝜕
)=
𝜕𝑡
⃗)
(𝛻 × 𝐵
(4)
Xét các mode TE và TM ta có:
⃗
𝐸⃗𝑇𝑀 = 𝑒𝑧 𝐸 (𝑟)𝑒 𝑖(𝑘⋅𝑟−𝑤𝑡)
(5a)
⃗ 𝑇𝐸 = 𝑒𝑧 𝐵(𝑟)𝑒 𝑖(𝑘⃗⋅𝑟−𝑤𝑡)
𝐵
(5b)
Đặt 𝜇0 𝜀 (𝑟) = 𝑐 (𝑟)−2 , Từ (3a), (3b), (4) ta có:
𝑐 (𝑟)2 𝛻 × 𝛻 × 𝐸⃗𝑇𝑀 = 𝜔2 𝐸⃗𝑇𝑀
(6a)
⃗ 𝑇𝐸 ) = 𝜔2 𝐵
⃗ 𝑇𝐸
𝛻 × (𝑐 (𝑟)2 𝛻 × 𝐵
(6b)
- Biến đổi (6a):
+ Ta có: 𝛻𝑥 𝛻 × 𝐸⃗ = 𝛻(𝛻𝐸⃗ ) − 𝛻 2 𝐸⃗
𝜕𝐸𝑦
𝜕𝐸
𝜕𝐸
𝛻(𝛻𝐸⃗ )= 𝛻 ( 𝑥 +
+ 𝑧)
𝜕𝑥
= 𝑖(
𝜕𝑦
𝜕2 𝐸𝑥
+
𝜕𝑥 2
𝜕𝑧
𝜕2 𝐸𝑦
𝜕𝑥𝜕𝑦
𝜕
+ 𝑘⃗ (
2𝐸
𝑥
𝜕𝑥𝜕𝑧
𝛻 2 𝐸⃗ = 𝛻𝛻𝐸⃗ = (
𝜕2
𝜕𝑥 2
+
+
+
𝜕2
𝜕𝑦 2
𝜕2 𝐸𝑧
𝜕𝑥𝜕𝑧
) + 𝑗(
𝜕2 𝐸𝑦
𝜕𝑦𝜕𝑧
+
+
𝜕2
𝜕𝑧 2
𝜕2 𝐸𝑥
𝜕𝑥𝜕𝑦
𝜕2 𝐸𝑧
𝜕𝑧 2
+
𝜕2 𝐸𝑦
𝜕𝑦 2
+
𝜕2 𝐸𝑧
𝜕𝑦𝜕𝑧
)
)
) (𝑖𝐸𝑥 + 𝑗𝐸𝑦 + 𝑘⃗ 𝐸𝑧 )
Mà ta có chỉ những thành phần ứng với z khác 0 vậy suy ra (6a) trở thành:
𝑐 (𝑟)2 [−
𝜕2
𝜕2
𝜕𝑥
𝜕𝑦 2
−
2
] 𝐸 (𝑟)𝑒 𝑖(𝑘⃗⋅𝑟−𝑤𝑡) = 𝜔2 𝐸 (𝑟)𝑒 𝑖(𝑘⃗⋅𝑟−𝑤𝑡)
(7a)
Tương tự ta có (6b) trở thành:
[−
𝜕𝑐(𝑟 )2 𝜕
𝜕𝑥
𝜕𝑦
−
𝜕𝑐(𝑟 )2 𝜕
𝜕𝑦
𝜕𝑥
𝜕2
𝜕2
𝜕𝑥
𝜕𝑦 2
− 𝑐 (𝑟 )2 [
−
2
]] 𝐵(𝑟)𝑒 𝑖(𝑘⃗⋅𝑟−𝑤𝑡)
= 𝜔2 𝐵(𝑟)𝑒 𝑖(𝑘⃗⋅𝑟−𝑤𝑡)
(7b)
20
CuuDuongThanCong.com
/>
b. Khai triển Fourier
Giả sử tinh thể quang phân bố trên mặt phẳng hai chiều vô cùng lớn => áp dụng khai
triển chuỗi Fourier ta có:
𝑐 (𝑟)2 = ∑ 𝑐𝐺2 . 𝑒 𝑖(𝐺⋅𝑟)
(8a)
𝐸 (𝑟) = ∑𝐺 𝐸𝐺 . 𝑒 𝑖(𝐺⋅𝑟)
(8b)
𝐵(𝑟) = ∑𝐺 𝐵𝐺 . 𝑒 𝑖(𝐺⋅𝑟)
(8c)
𝐺
Với 𝐺 là vector mạng đảo được xác định bởi hai thành phần m và n
-
𝐺 = 𝐺𝑚𝑛 = 𝑚𝑏⃗1 + 𝑛𝑏⃗2 == 𝐺𝑥𝑚𝑛 𝑒𝑥 + 𝐺𝑦𝑚𝑛 𝑒𝑦
(9)
2
Biến đổi Fourier 𝑐 (𝑟)2 với các hệ số l và m (𝑐𝐺2 = 𝑐𝑙𝑚
)
Biến đổi Fourier 𝐸 (𝑟), 𝐵(𝑟) với các hệ số n và o
-
Từ đó (7a) và (7b) trở thành:
Từ hệ số mũ của vế trái và vế phải của phương trình ta có:
-
l+n=p
và
m+o=q
Từ đó ta có:
(𝑝−𝑙)(𝑞−𝑚)
∑
𝑙𝑚
[(𝐺𝑥
(𝑝−𝑙)(𝑞−𝑚)
+ 𝑘𝑥 ) + (𝐺𝑦
2
+ 𝑘𝑦 )] 𝑐𝑙𝑚
𝐸(𝑝 − 𝑙)(𝑞 − 𝑚) = 𝜔2 𝐸𝑝𝑞 (10a)
21
CuuDuongThanCong.com
/>
∑
𝑙𝑚
(𝑝−𝑙)(𝑞−𝑚)
[𝐺𝑥𝑙𝑚 (𝐺𝑥
(𝑝−𝑙)(𝑞−𝑚)
(𝐺𝑦
(𝑝−𝑙)(𝑞−𝑚)
+ 𝑘𝑥 ) + 𝐺𝑦𝑙𝑚 (𝐺𝑦
(𝑝−𝑙)(𝑞−𝑚)
+ 𝑘𝑦 ) + (𝐺𝑥
2
+ 𝑘𝑥 ) +
2
+ 𝑘𝑦 )] 𝑐𝑙𝑚
𝐵(𝑝 − 𝑙)(𝑞 − 𝑚) = 𝜔2 𝐵𝑝𝑞 (10b)
Hai phương trình trên chúng ta có thể giải quyết bằng số nếu chúng ta giới hạn số lượng
vector mạng đảo 𝐺 :
𝑝𝑞
(𝑝 − 𝑙)(𝑞 − 𝑚)
Đặt 𝛯𝑚𝑙 = [(𝐺𝑥
2
+ 𝑘𝑥 ) + . . . ] và giả sử giới hạn trên của p và q là 1 => ta có
phương trình ma trận (11):
Với:
• Ma trận A là phương trình sóng phẳng của từ trường hoặc điện trường
2
• 𝐶𝑙𝑚
là hệ số Fourier của vận tốc pha được tính theo cơng thức:
2
𝐶𝑙𝑚
=
1
∫ 𝐶 (𝑟)2 𝑒 −𝑖(𝑙𝑏⃗1+𝑚𝑏⃗2)⋅𝑟 𝑑 2 𝑟
𝑐𝑒𝑙𝑙
𝑐𝑒𝑙𝑙
Cell: là diện tích chọn trước
𝐶 (𝑟 )2 = {
𝐶𝑀2 , 𝑟 ≥ 𝑅 𝑣ậ𝑛 𝑡ố𝑐 𝑝ℎ𝑎 𝑡𝑟𝑜𝑛𝑔 đ𝑖ệ𝑛 𝑚ô𝑖
𝑐 2 , 𝑟 < 𝑅 𝑣ậ𝑛 𝑡ố𝑐 𝑝ℎ𝑎 𝑡𝑟𝑜𝑛𝑔 𝑐ℎâ𝑛 𝑘ℎơ𝑛𝑔
R là bán kính lỗ
Từ phương trình ma trận (11) tìm tần số riêng ω cho tinh thể đưa ta về bài tốn tím trị
riêng trong đại số và giải tích.
𝐿̂ . 𝑣𝑛 = 𝐸𝑛 . 𝑉𝑛 với 𝐸𝑛 là trị riêng
22
CuuDuongThanCong.com
/>
4. Mô phỏng vùng cấm quang trên OptiFDTD
4.1. Thiết kế
Dựa trên gợi ý từ tài liệu OptiFDTD Tutorial [7], tinh thể quang tử gồm các ống trụ là
các chất điện mơi đặt trong mạng hình vng. Các thơng số thể hiện như bên dưới:
Tên đối tượng
Ống trụ
Giá trị chiết suất 𝑛
2.983287
Khơng khí
1
Loại vật liệu
AlAs
Bảng 5. Chiết suất vật liệu
Về dạng mạng, các ống trụ cách nhau khoảng cách a = 1µm. Bán kính mỗi ống trụ r =
0.2 x a. Số lượng ống trụ là 8x8, chiều dài ống trụ là 1 µm.
Hình 5. Kích thước mạng tinh thể hai chiều hình lục giác
23
CuuDuongThanCong.com
/>
Hình 6. Mơ hình mạng tinh thể hai chiều hình lục giác
Sau khi xây dựng dạng mạng, tiến hành cài đặt nguồn phát sóng điện từ. Lựa chọn loại
Vertical Input Plane và cài đặt các thơng số:
Thơng số
Giá Trị
Loại sóng
Gaussian Modulated Continuous Wave
Time Offset
5.5 × 10−14 giây
Halfwidth
1 × 10−14 giây
Bảng 6. Thơng số nguồn phát sóng điện từ
Các thơng số khác để mặc định
24
CuuDuongThanCong.com
/>
4.2. Phân tích vùng cấm quang
Sau khi thiết kế tinh thể hai chiều, tiến hành phân tích vùng cấm quang của các mode
TE và TM
Hình 7. Cấu trúc vùng cấm mode TE
Vùng cấm quang mode TE tìm được có ba vùng, vùng đầu tiên có dải giá trị (0.199621,
0.212758) µm, vùng thứ hai có dải giá trị
Hình 8. Cấu trúc vùng cấm mode TM
25
CuuDuongThanCong.com
/>
