Báo cáo môn công nghệ nano tính toán cấu trúc vùng cấm quang của các tinh thể quang tử hai chiều

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
VIỆN ĐIỆN TỬ VIỄN THƠNG

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN
CƠNG NGHỆ NANO
Đề tài:

TÍNH TỐN CẤU TRÚC VÙNG CẤM QUANG
CỦA CÁC TINH THỂ QUANG TỬ HAI CHIỀU
Giảng viên hướng dẫn

TS. Nguyễn Việt Hưng
ThS. Nguyễn Bích Huyền

Nhóm sinh viên thực hiện

Nhóm 2

Hà Nội, 12-2019

CuuDuongThanCong.com

/>

MỤC LỤC
LỜI NĨI ĐẦU ............................................................................................................................... 1
PHÂN CƠNG CƠNG VIỆC TRONG NHÓM........................................................................... 2
CHƯƠNG I: LÝ THUYẾT VỀ TRUYỀN DẪN ÁNH SÁNG TRONG CẤU TRÚC ĐIỆN
MƠI HAI CHIỀU ......................................................................................................................... 3
CHƯƠNG II: TÍNH CHẤT CỦA CÁC MODE TE VÀ TM .................................................... 9
2.1 Mode TM ......................................................................................................................................... 10

2.2 Mode TE .......................................................................................................................................... 12

CHƯƠNG III: TRÌNH BÀY CƠ SỞ LÝ THUYẾT CỦA PHƯƠNG PHÁP KHAI TRIỂN
SÓNG PHẲNG (PLANE WAVE EXPANSION METHOD) ................................................. 14
3.1 Giới thiệu về tinh thể quang tử ...................................................................................................... 14
3.2 Tinh thể photonic band gap (PBG)................................................................................................ 15
3.3 Sợi tinh thể quang tử và kĩ thuật truyền dẫn trong sợi tinh thể quang tử ................................. 16
3.4 Phương pháp khai triển sóng phẳng (Plane wave expansion method)....................................... 17

CHƯƠNG IV: MÔ PHỎNG BẰNG PHẦN MỀM OPTIFDTD ............................................ 21
4.1 Thiết kế ............................................................................................................................................ 21
4.2 Phân tích vùng cấm quang ............................................................................................................. 23

CHƯƠNG V: KẾT LUẬN ......................................................................................................... 30
TÀI LIỆU THAM KHẢO .......................................................................................................... 31

CuuDuongThanCong.com

/>

LỜI NĨI ĐẦU
Khoa học cơng nghệ trên thế giới đang phát triển một cách nhanh chóng nhất là các
nước đang phát triển như Mỹ, Nhật Bản... Sự phát triển của khoa học công nghệ đã đem
lại những diện mạo mới cho cuộc sống con người và công nghệ điện tử viễn thơng. Hiện
nay trên thế giới đang hình thành một ngành khoa học và cơng nghệ mới, có nhiều triển
vọng và dự đốn sẽ có tác động mạnh mẽ đến tất cả các lĩnh vực khoa học công nghệ, kĩ
thuật cũng như đời sống kinh tế xã hội của thế kỉ XXI - đó chính là cơng nghệ nano. Với
cơng nghệ nano cho phép chúng ta có thêm những ý tưởng mới trong nhiều lĩnh vực của
đời sống xã hội. Trong công nghệ nano việc nghiên cứu về tinh thể quang tử và vùng cấn
quang của tính thể quang tử là việc vơ cùng quan trọng. Chính vì lí do đó trong bản báo

cáo này chúng em xin trình bày nội dung nghiên cứu về đề tài: "Tính tốn cấu trúc vùng
cấm quang của các tinh thể quang tử hai chiều".
Đề tài gồm những nội dung sau:
Chương I: Lí thuyết về truyền dẫn ánh sáng trong cấu trúc điện môi hai chiều.
Chương II: Tính chất của các mode TE và TM.
Chương III: Trình bày cơ sở lí thuyết của phương pháp khai triển sóng phẳng
(Plane wave expansion method) sử dụng để tính tốn vùng cấm quang tử.
Chương IV: Mơ phỏng lí thuyết trên phần mềm optiFDTD.
Chương V: Kết luận.

Báo cáo bài tập lớn nhóm 2

CuuDuongThanCong.com

Page 1

/>

PHÂN CƠNG CƠNG VIỆC TRONG NHĨM
Họ tên

Lớp

MSSV

Cơng việc

Nguyễn Văn Trọng

Điện tử 06- K60

20153946

Mô phỏng và làm báo cáo

Đàm Văn Cường

Điện tử 10- K60

20150477

Mô phỏng và làm báo cáo

Nguyễn Đức Quang

Điện tử 01- K60

20152960

Chương II

Bùi Đăng Quang

Điện tử 09- K60

20152936

Chương III

Nguyễn Văn Quyết

Điện tử 01- K60

20153074

Chương I

Chrat Sambath

Điên tử 01- K60

20154462

Chương I

Báo cáo bài tập lớn nhóm 2

CuuDuongThanCong.com

Page 2

/>

CHƯƠNG I: LÝ THUYẾT VỀ TRUYỀN DẪN ÁNH SÁNG
TRONG CẤU TRÚC ĐIỆN MƠI HAI CHIỀU
Hệ phương trình Maxwell là một tập các phương trình vi phân cơ sở cho điện động
lực học cổ điển, quang học cổ điển và lý thuyết mạch điện - những lĩnh vực đặt nền móng
cho các cơng nghệ hiện đại. Hệ phương trình Maxwell mơ tả mối quan hệ tác động qua
lại lẫn nhau giữa điện trường và từ trường.
Hệ phương trình Maxwell được tổng hợp từ định luật Gauss cho điện trường và từ

trường, định luật Ampere và định luật Faraday:
𝛻 ∙ 𝐵 = 0 (1.1)
𝛻∙𝐷 =𝜌

𝛻×𝐸+

𝜕𝐵

𝛻×𝐻−

(1.2)

𝜕𝑡

=0

𝜕𝐷
𝜕𝑡

(1.3)

= 𝐽 (1.4)

Các đại lượng được bơi đậm đều là những đại lượng vector, các đại lượng in nghiêng
là các đại lượng vô hướng.
Bảng 1.1 Bảng khái niệm các đại lượng trong các phương trình:

Kí hiệu

Ý nghĩa

Đơn vị trong hệ SI

E

Cường độ điện trường

Volt / mét

H

Cường độ từ trường

Ampere / mét

D

Độ điện dịch

coulomb / mét vuông

B

Vector cảm ứng từ

tesla,weber / mét vng

𝜌

Mật độ điện tích

coulomb / mét khối

J

Mật độ dịng điện

Ampere / mét vng

𝛻.

Tốn tử 𝑑𝑖𝑣, tính suất tiêu tán

Trên mét

Báo cáo bài tập lớn nhóm 2

CuuDuongThanCong.com

Page 3

/>

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , tính độ xốy cuộn của
Tốn tử 𝑟𝑜𝑡

𝛻×

Trên mét

trường vector

Trong hệ tọa độ Descartes 3 chiều, các toán tử trên có thể được biểu diễn như sau:
Nếu gọi A là một trường vector, trong không gian 3 chiều trường vector này có thể được
biểu diễn dưới dạng 𝐴 = 𝐴𝑥 𝑥̂ + 𝐴𝑦 𝑦̂ + 𝐴𝑧 𝑧̂ với 𝑥̂, 𝑦̂, 𝑧̂ lần lượt là các vector đơn vị của hệ
trục tọa độ tham chiếu
𝛻∙𝐴=
𝛻×𝐴 =(

𝜕𝐴𝑧
𝜕𝑦

−

𝜕𝐴𝑦
𝜕𝑧

𝜕𝐴𝑥
𝜕𝑥

+

) 𝑥̂ + (

𝜕𝐴𝑦
𝜕𝑦

𝜕𝐴𝑥
𝜕𝑧

−

+

𝜕𝐴𝑧
𝜕𝑧

𝜕𝐴𝑧
𝜕𝑥

) 𝑦̂ + (

(1.5)
𝜕𝐴𝑦
𝜕𝑥

−

𝜕𝐴𝑥
𝜕𝑦

) 𝑧̂

(1.6)

Giả sử trong một môi trường chỉ bao gồm các tấm điện môi đồng nhất thay đổi theo vị
trí phụ thuộc vào vector vị trí r (r là vector nối vị trí trục tọa độ tham chiếu với điểm đang
xét). Vì trong mơi trường này khơng có nguồn nên ta có thể thay 𝜌 = 0, 𝐽 = 0 vào hệ
phương trình Maxwell.

Hình 1.1 Vùng chứa các điện mơi đồng nhất hỗn hợp, khơng có dịng và hạt mang điện

Ở đây ta giả sử 3 điều sau:

Báo cáo bài tập lớn nhóm 2

CuuDuongThanCong.com

Page 4

/>

• Vật liệu trên là vĩ mô và đồng nhất, vì vậy 𝐸 (𝑟, 𝜔) và 𝐷 (𝑟, 𝜔) liên hệ với nhau
qua 𝜀0 nhân với một hàm điện môi vơ hướng 𝜀(𝑟, 𝜔) (cịn được gọi là hằng số điện
mơi tương đối).
• Bỏ qua phụ thuộc của hằng số điện môi tương đối vào tần số (bỏ qua tán sắc vật
liệu) , vì vậy 𝜀(𝑟, 𝜔) = 𝜀(𝑟).
• Ta chỉ tập trung vào các vật liệu trong suốt, vì vậy 𝜀 (𝑟) ln là số dương thực.
Vậy ta có mối quan hệ giữa B và H, D và E như sau:
𝐷 (𝑟) = 𝜀0 𝜀 (𝑟)𝐸 (𝑟)

(1.7)

𝐵(𝑟) = 𝜇0 𝜇 (𝑟)𝐻 (𝑟)

(1.8)

(với 𝜇0 = 4𝜋. 10−7 Henry/met)
Tuy nhiên, trong các vật liệu điện môi đề cập sắp tới, 𝜇(𝑟) có thể được coi như xấp xỉ
bằng 1. Khi đó chiết suất 𝑛 = √𝜀𝜇 (Định luật Snell). Với các giả thiết trên, hệ phương

trình Maxwell trở thành:
𝛻 ∙ 𝐻 (𝑟, 𝑡 ) = 0

(1.9)

𝛻 ∙ [𝜀(𝑟)𝐸 (𝑟, 𝑡 )] = 0 (1.10)

𝛻 × 𝐸 (𝑟, 𝑡 ) + 𝜇0

𝜕𝐻(𝑟,𝑡)
𝜕𝑡

𝛻 × 𝐻 (𝑟, 𝑡 ) − 𝜀0 𝜀 (𝑟)

= 0 (1.11)

𝜕𝐸(𝑟,𝑡)
𝜕𝑡

= 0 (1.12)

Nhìn chung, cả E và H đều là các hàm phức tạp của cả không gian và thời gian. Tuy
nhiên, vì hệ phương trình Maxwell có tính chất tuyến tính do bản thân các tốn tử ∇ ∙ ,
𝛻 × cũng có tính chất tuyến tính:
𝛻 ∙ (𝐵1 + 𝐵2 ) = 𝛻 ∙ 𝐵1 + 𝛻 ∙ 𝐵2

(1.13)

𝛻 × (𝐵1 + 𝐵2 ) = 𝛻 × 𝐵1 + 𝛻 × 𝐵2 (1.14)

Báo cáo bài tập lớn nhóm 2

CuuDuongThanCong.com

Page 5

/>

Nghĩa là nếu 𝐵1 và 𝐵2 thỏa mãn hệ phương trình Maxwell thì tổng của chúng cũng
vậy, và ta có thể dựa vào nguyên lý xếp chồng để xây dựng nên trường phức tạp bằng
cách xây dựng các trường đơn giản.
Dựa trên tính chất này ta có thể biểu diễn E và H bằng cách khai triển trường thành
một tập các mode điều hòa (harmonic modes – thường được gọi đơn giản là các mode).
Các nghiệm của phương trình, hay nói cách khác là các mode có thể được viết dưới dạng
sau, với H(r) là một cấu trúc không gian (cịn được gọi là "mode profile"). Phần thực của
mode chính là trường vật lý tương ứng:
𝐻 (𝑟, 𝑡 ) = 𝐻 (𝑟). 𝑒 −𝑖𝜔𝑡

(1.15)

𝐸 (𝑟, 𝑡 ) = 𝐸 (𝑟). 𝑒 −𝑖𝜔𝑡

(1.16)

Thay giả thiết này vào 2 công thức 𝛻 ∙ của hệ phương trình Maxwell ta có:
𝛻 ∙ 𝐻 (𝑟 ) = 0

(1.17)

𝛻 ∙ [𝜀 (𝑟)𝐸 (𝑟)] = 0

(1.18)

Để có được hai đẳng thức trên, ta cần có điều kiện là trường phải được tạo nên từ các
sóng ngang. Nếu chúng ta có một sóng phẳng (sóng có mặt đồng pha là các mặt phẳng)
𝐻 (𝑟) = 𝑎. 𝑒 −𝑖𝑘.𝑟 với k là một vector sóng (vector mơ tả sóng) nào đó thì:
𝛻 ∙ 𝐻 (𝑟) = 𝛻 ∙ [𝑎. 𝑒 −𝑖𝑘.𝑟 ] = −𝑖. 𝑘. 𝑎 = 0

(1.19)

tức là 𝑘. 𝑎 = 0.
2 công thức liên quan đến 𝛻 × trong hệ phương trình Maxwell với các điều kiện điều hịa
đã nêu ở trên sẽ dẫn đến:
𝛻 × 𝐸 (𝑟) − 𝑖𝜔𝜇0 𝐻(𝑟) = 0
𝛻 × 𝐻 (𝑟) + 𝑖𝜔𝜀0 𝜀 (𝑟)𝐸 (𝑟) = 0

Báo cáo bài tập lớn nhóm 2

CuuDuongThanCong.com

(1.20)

Page 6

/>

Thế phương trình trên vào phương trình dưới, thay vận tốc ánh sáng trong chân
không là 𝑐 = 1/√𝜀0 𝜇0 ta có:
𝛻×(

1
𝜀(𝑟)

𝜔 2

𝛻 × 𝐻 (𝑟 ) ) = ( ) 𝐻 (𝑟 )

(1.21)

𝑐

Phương trình trên được gọi là phương trình Master, cùng với phương trình (1.20), nó
cho ta biết mọi thứ cần thiết về H(r). Với mỗi cấu trúc 𝜀 (𝑟) biết trước, chúng ta sẽ giải
phương trình Master, tìm ra các mode 𝐻 (𝑟) thỏa mãn điều kiện sóng ngang và các tần số
tương ứng của chúng. Sau đó sử dụng cơng thức thứ 2 của (1.20) để suy ra E(r):
𝐸 (𝑟 ) =

𝑖
𝛻 × 𝐻 (𝑟 )
𝜔𝜀0 𝜀 (𝑟)

(1.22)

Cách làm này cũng đảm bảo tính ngang của 𝐸 (𝑟), hay nói cách khác là đảm bảo 𝛻 ∙
𝜀 (𝑟)𝐸 (𝑟) = 0 vì 𝛻 ∙ (𝛻 ×) = 0, ngồi ra chúng ta cũng có thể tìm H từ E thông qua công
thức thứ nhất của (1.20)
𝐻(𝑟) =

−𝑖
𝛻 × 𝐸 (𝑟 )

𝜔𝜇0

(1.23)

Báo cáo bài tập lớn nhóm 2

CuuDuongThanCong.com

Page 7

/>

Hình 1.2 Mơ hình tinh thể hai chiều mạng hình vng

Báo cáo bài tập lớn nhóm 2

CuuDuongThanCong.com

Page 8

/>

CHƯƠNG II: TÍNH CHẤT CỦA CÁC MODE TE VÀ TM
Ta có phương trình cách một sóng đi vào ống dẫn sóng (chất điện mơi):
E(x,y,z) = 𝐸 0 (x,y)𝑒 −𝛾𝑧
H(x,y,z) = 𝐻 0 (x,y)𝑒 −𝛾𝑧
Theo định luật của Ampere và Faraday cho vùng sóng tự do:
∇ x H = j𝜔𝜀E
∇ x E = -j𝜔𝜇H
Biến đổi theo 3 chiều x,y,z ta có các phương trình:

𝜕𝐸𝑧
𝜕𝑦
𝜕𝐸𝑧
𝜕𝑥
𝜕𝐸𝑦
𝜕𝑥

+ 𝛾𝐸𝑦 = -j𝜔𝜇𝐻𝑥

(2.1)

+ 𝛾𝐸𝑥 = j𝜔𝜇𝐻𝑦

(2.2)

-

𝜕𝐻𝑧
𝜕𝑦
𝜕𝐻𝑧
𝜕𝑥
𝜕𝐻𝑦
𝜕𝑥

𝜕𝐸𝑥
𝜕𝑦

= -j𝜔𝜇𝐻𝑧

(2.3)

+ 𝛾𝐻𝑦 = j𝜔𝜀𝐸𝑥

(2.4)

+ 𝛾𝐻𝑥 = -j𝜔𝜀𝐸𝑦

(2.5)

-

𝜕𝐻𝑥
𝜕𝑦

= j𝜔𝜀𝐸𝑧

(2.6)

Chúng ta có thể kết hợp (2.1) với (2.5) và (2.2) với (2.4) để ra được phương trình cho
𝐻𝑥 và 𝐸𝑥 để được như phương trình (2.7) và (2.9). Chúng ta cũng có thể biến đổi phương
trình (2.3) và (2.6) để có phương trình của 𝐻𝑦 và 𝐸𝑦 như phương trình (2.8) và (2.10).
𝐻𝑥 =

−𝛾 𝜕𝐻𝑧
ℎ 2 𝜕𝑥

+

𝑗𝜔𝜀 𝜕𝐸𝑧
ℎ 2 𝜕𝑦

(2.7)

Báo cáo bài tập lớn nhóm 2

CuuDuongThanCong.com

Page 9

/>

−𝛾 𝜕𝐻𝑧

𝐻𝑦 =
𝐸𝑥 =
𝐸𝑦 =

−𝛾 𝜕𝐸𝑧
ℎ 2 𝜕𝑥
−𝛾 𝜕𝐸𝑧
ℎ 2 𝜕𝑦

𝑗𝜔𝜀 𝜕𝐸𝑧

-

ℎ 2 𝜕𝑥

+

(2.8)

ℎ 2 𝜕𝑥

𝑗𝜔𝜇 𝜕𝐻𝑧

(2.9)

ℎ 2 𝜕𝑦
𝑗𝜔𝜇 𝜕𝐻𝑧

(2.10)

ℎ 2 𝜕𝑥

Trong đó ℎ2 = 𝛾 2 + 𝛽2 khi 𝛽= 𝜔√𝜇𝜀.
Các thành phần ngang 𝐸𝑥 , 𝐸𝑦 , 𝐻𝑥 , 𝐻𝑦 , được mô tả trong các điều kiện của thành phần dọc
𝐸𝑧 và 𝐻𝑧 . Và từ đó chúng ta có 3 trường hợp sau:
• Mode điện ngang TE(Transverse Electric): khi 𝐸𝑧 = 0 và 𝐻𝑧 ≠ 0.
• Mode từ ngang TM (Transverse Magnetic): khi 𝐸𝑧 ≠ 0 và 𝐻𝑧 = 0.
• Mode điện từ ngang TEM(Transverse Electromagnetic): khi 𝐸𝑧 = 𝐻𝑧 = 0
2.1 Mode TM
Điện trường theo chiều dọc của các chế độ TM trong hình chữ nhật ống dẫn sóng
phải thỏa mãn phương trình sóng:
∇2 𝐸̃𝑧𝑇𝑀 + 𝑘 2 𝐸̃𝑧𝑇𝑀 = 0

(2.11)

trong đó mở rộng trong tọa độ vng góc là:
𝜕2 𝐸̃𝑧𝑇𝑀

𝜕𝑥 2

+

𝜕2 𝐸̃𝑧𝑇𝑀
𝜕𝑦 2

+

𝜕2 𝐸̃𝑧𝑇𝑀
𝜕𝑧 2

+ 𝑘 2 𝐸̃𝑧𝑇𝑀 = 0

(2.12)

Các chức năng điện trường có thể được xác định bằng cách sử dụng kỹ thuật phân tách
các biến bằng cách giả sử một giải pháp của các hình thức:
𝐸̃𝑧𝑇𝑀 = X(x) Y(y)𝑒 −𝑗𝛽𝑧

(2.13)

Chèn các giải pháp giả định vào các phương trình vi phân cho
Y(y)

𝑑2 𝑋(𝑥)
𝑑𝑥 2

𝑒 −𝑗𝛽𝑧 +

X(x)

𝑑2 𝑌(𝑦)
𝑑𝑦 2

𝑒 −𝑗𝛽𝑧 + (𝑘 2 − 𝛽2 )X(x)Y(y)𝑒 −𝑗𝛽𝑧 = 0

Báo cáo bài tập lớn nhóm 2

CuuDuongThanCong.com

Page 10

/>

Y(y)
1

𝑑2 𝑋(𝑥)
𝑑𝑥 2

𝑑2 𝑋(𝑥)

𝑋(𝑥) 𝑑𝑥 2

+

𝑒 −𝑗𝛽𝑧 +
1

𝑑2 𝑌(𝑦)

𝑌(𝑦) 𝑑𝑦 2

X(x)

𝑑2 𝑌(𝑦)
𝑑𝑦 2

𝑒 −𝑗𝛽𝑧 + ℎ2 X(x)Y(y)𝑒 −𝑗𝛽𝑧 = 0

+ ℎ2 = 0

(2.14)

Kết quả là điện trường theo chiều dọc cho một ống dẫn sóng hình chữ nhật TM mode
𝐸̃𝑧𝑇𝑀 (x,y,z) = (Asin𝑘𝑥 𝑥 + 𝐵𝑐𝑜𝑠𝑘𝑥 𝑥)(Csin𝑘𝑦 𝑦 + 𝐷𝑐𝑜𝑠𝑘𝑦 𝑦)𝑒 −𝑗𝛽𝑧 (2.15)
Các điều kiện biên TM cho hình chữ nhật ống dẫn sóng là:
𝐸̃𝑧𝑇𝑀 (0,y,z) = 𝐸̃𝑧𝑇𝑀 (a,y,z) = 0
𝐸̃𝑧𝑇𝑀 (x,0,z) = 𝐸̃𝑧𝑇𝑀 (x,b,z) = 0

(2.16)

Áp dụng các điều kiện trên có
𝐸̃𝑧𝑇𝑀 (0,y,z) = 0 → B = 0
𝑚𝜋
𝐸̃𝑧𝑇𝑀 (a,y,z) = 0 → 𝑘𝑥 a = m𝜋 (m= 1,2,3..) → 𝑘𝑥 =
𝑎

𝐸̃𝑧𝑇𝑀 (x,0,z) = 0 → D = 0

𝑛𝜋
𝐸̃𝑧𝑇𝑀 (x,b,z) = 0 → 𝑘𝑦 b = n𝜋 (n =1,2,3..) → 𝑘𝑦 =
𝑏

(2.17)

Với A và C được coi như là hằng số. Các TM mode rời rạc là vô hạn phụ thuộc vào các
giá trị của m và n. Một TM mode được kí hiệu là TM mn mode.
𝑚𝜋𝑥
𝑛𝜋𝑦 −𝑗𝛽𝑧
𝐸̃𝑧𝑇𝑀 (x,y,z) = 𝐸0 sin
sin
𝑒
𝑎

𝑏

(2.18)

(m= 1,2,3,...)
(n= 1,2,3,...)
Các thành phần trường ngang của TM mn mode được tìm thấy bằng cách phân biệt
điện trường dọc theo định nghĩa của TM chuẩn phương trình :
Báo cáo bài tập lớn nhóm 2

CuuDuongThanCong.com

Page 11

/>

̃ 𝑇𝑀𝑚𝑛

−𝑗𝛽 𝜕𝐸
𝑇𝑀
𝐸̃𝑥 𝑚𝑛 (x,y,z) = 2 𝑧
ℎ

𝜕𝑥

=

̃ 𝑇𝑀𝑚𝑛

−𝑗𝛽 𝜕𝐸
𝑇𝑀
𝐸̃𝑦 𝑚𝑛 (x,y,z) = 2 𝑧
ℎ

𝜕𝑦

̃ 𝑇𝑀𝑚𝑛

𝜕𝐸𝑧
̃𝑥𝑇𝑀𝑚𝑛 (x,y,z) = 𝑗𝜔𝜀
𝐻
2
ℎ

𝜕𝑦

=

ℎ2

̃ 𝑇𝑀𝑚𝑛
𝜕𝑥

(

𝑎

𝑚𝜋𝑥

)𝐸0 cos

−𝑗𝛽 𝑛𝜋
ℎ2

ℎ2

=

𝑏

𝑎

𝑚𝜋𝑥

( )𝐸0 sin

𝑏

−𝑗𝜔𝜀 𝑚𝜋
ℎ2

(

𝑎

𝑚𝜋𝑥

( )𝐸0 sin

𝑗𝜔𝜀 𝑛𝜋

=

𝜕𝐸𝑧
̃𝑦𝑇𝑀𝑚𝑛 (x,y,z) = −𝑗𝜔𝜀
𝐻
2
ℎ

−𝑗𝛽 𝑚𝜋

𝑎

𝑎

)𝐸0 cos

sin

cos

cos

𝑚𝜋𝑥
𝑎

𝑛𝜋𝑦
𝑏

𝑛𝜋𝑦
𝑏

𝑛𝜋𝑦
𝑏

sin

𝑒 −𝑗𝛽𝑧
𝑒 −𝑗𝛽𝑧

𝑒 −𝑗𝛽𝑧

𝑛𝜋𝑦
𝑏

𝑒 −𝑗𝛽𝑧

(2.19)

Với
2 − 𝑘 2 = √(𝑘 2 + 𝑘 2 ) − 𝑘 2
𝛾𝑚𝑛 = √ℎ𝑚𝑛
𝑥
𝑦

ℎ𝑚𝑛 = √𝑘𝑥2 + 𝑘𝑦2 = √(
𝛾𝑚𝑛 = √(

𝑚𝜋 2
)
𝑎

𝑚𝜋 2
)
𝑎

𝑛𝜋

+ ( )2
𝑏

𝑛𝜋

+ ( )2 − 𝑘 2 = √(
𝑏

𝑚𝜋 2
)
𝑎

𝑛𝜋

+ ( )2 − 𝜔 2 𝜇𝜀
𝑏

2.2 Mode TE
Từ trường theo chiều dọc của TE mode trong ống dẫn sóng hình chữ nhật phải thỏa
mãn phương trình sóng giống như điện trường theo chiều dọc của các TM mode :
∇2 𝐻𝑧𝑇𝐸 + 𝑘 2 𝐻𝑧𝑇𝐸 = 0

(2.20)

trong đó mở rộng trong tọa độ vng góc là
𝜕2 𝐻𝑧𝑇𝐸
𝜕𝑥 2

+

𝜕2 𝐻𝑧𝑇𝐸
𝜕𝑦 2

+

𝜕2 𝐻𝑧𝑇𝐸
𝜕𝑧 2

+ 𝑘 2 𝐻𝑧𝑇𝐸 = 0

(2.21)

Biến đổi tương tự các thành như TM mode ta có phương trình các thành phần
𝐸̃𝑥𝑇𝐸 (x,0,z) = 0 → C = 0
𝑛𝜋
𝐸̃𝑥𝑇𝐸 (x,b,z) = 0 → 𝑘𝑦 b = n𝜋 (m= 0,1,2,..) → 𝑘𝑦 =
𝑏

𝐸̃𝑦𝑇𝐸 (0,y,z) = 0 → A = 0
𝑚𝜋
𝐸̃𝑦𝑇𝐸 (a,y,z) = 0 → 𝑘𝑥 a = m𝜋 (n = 0,1,2,..) → 𝑘𝑥 =
𝑎

(2.22)

Báo cáo bài tập lớn nhóm 2

CuuDuongThanCong.com

Page 12

/>

Kết hợp các hằng số B và D vào H 0 , có kết quả từ trường theo chiều dọc của mode
̃𝑧𝑇𝐸𝑚𝑛 (x,y,z) = 𝐻0 cos𝑚𝜋𝑥cos𝑛𝜋𝑦 𝑒 −𝑗𝛽𝑧
𝐻
𝑎

(m= 0,1,2,...)

𝑏

(2.23)

(m≠ 𝑛 ≠ 0)

(n= 0,1,2,...)
Các thành phần của TE mode
̃ 𝑇𝐸𝑚𝑛

−𝑗𝜔𝜇 𝜕𝐻𝑧
𝑇𝐸
𝐸̃𝑥 𝑚𝑛 (x,y,z) = 2
ℎ

𝜕𝑦

̃ 𝑇𝐸𝑚𝑛

𝑗𝜔𝜇 𝜕𝐻
𝑇𝐸
𝐸̃𝑦 𝑚𝑛 (x,y,z) = 2 𝑧
ℎ

𝜕𝑥

̃ 𝑇𝐸𝑚𝑛

̃𝑥𝑇𝐸𝑚𝑛 (x,y,z) = −𝑗𝛽2 𝜕𝐻𝑧
𝐻
𝑘𝑐

𝜕𝑥

̃ 𝑇𝐸𝑚𝑛

̃𝑦𝑇𝐸𝑚𝑛 (x,y,z) = −𝑗𝛽2 𝜕𝐻𝑧
𝐻
𝑘𝑐

𝜕𝑦

=
=

=

𝑗𝜔𝜇 𝑛𝜋

=

( )𝐻0 cos

ℎ2

−𝑗𝜔𝜇 𝑚𝜋

(

ℎ2

𝑎

𝑗𝛽 𝑚𝜋

(

𝑘𝑐 2 𝑎
𝑗𝛽 𝑛𝜋
𝑘𝑐

2

𝑚𝜋𝑥

𝑏

𝑚𝜋𝑥

)𝐻0 sin

𝑎

𝑚𝜋𝑥

)𝐻0 sin

𝑎

𝑚𝜋𝑥

( )𝐻0 cos
𝑏

𝑎

𝑎

𝑛𝜋𝑦

sin

cos

cos

sin

𝑏
𝑛𝜋𝑦
𝑏

𝑛𝜋𝑦
𝑏

𝑛𝜋𝑦
𝑏

𝑒 −𝑗𝛽𝑧
𝑒 −𝑗𝛽𝑧

𝑒 −𝑗𝛽𝑧

𝑒 −𝑗𝛽𝑧

(2.24)

Như ta thấy khi m=n=0 thì tất cả các thành phần từ trường trừ 𝐻𝑧 đều bằng 0. Do đó
m và n có thể lấy giá trị bất kì 0,1,2,3 nhưng khơng được đồng thời bằng 0. Như vậy
trong ống dẫn sóng hình chữ nhật có thể tồn tại vơ số kiểu trường điện ngang khác nhau.
Phân bố trường theo các cạnh a, b có dạng sóng đứng, đồng thời m xác định số nửa sóng
trong khoảng (0,a) cịn n là số nửa sóng trong khoảng (0,b).

Báo cáo bài tập lớn nhóm 2

CuuDuongThanCong.com

Page 13

/>

CHƯƠNG III: TRÌNH BÀY CƠ SỞ LÝ THUYẾT CỦA
PHƯƠNG PHÁP KHAI TRIỂN SÓNG PHẲNG (PLANE
WAVE EXPANSION METHOD)
3.1 Giới thiệu về tinh thể quang tử
Thế giới ngày nay có nhu cầu ngày càng tăng về các máy tính và thơng tin liên lạc,
nên chúng ta ngày càng chú ý hơn tới các linh kiện quang mà độ rộng phổ và tốc độ làm
việc của nó có thể đóng góp cho rất nhiều ứng dụng to lớn khác nhau. Ta biết rằng sự

thay đổi cấu trúc sẽ dẫn đến sự thay đổi tính chất. Đây chính là quan điểm đã dẫn
Yablomovitch tới giả thiết rằng chúng ta có thể thực hiện với photon những gì mà ta đã
làm với điện tử.
Các tinh thể quang tử cũng được biết đến như là các cấu trúc micro hoặc là các cấu
trúc có vùng cấm quang, là các vật liệu với cấu trúc tuần hoàn về các hằng số điện môi
khác nhau. Các tinh thể quang tử là 1D, 2D, 3D tùy theo sự tuần hồn về hằng số điện
mơi, theo khơng gian 1 chiều, 2 chiều hay 3 chiều. Các tinh thể quang tử 3D thì tương tự
với các tinh thể chất rắn. Ý tưởng tổng quát là các tinh thể photonic có thể làm những
việc với photon như là các tinh thể bán dẫn có thể làm với các điện tử, có nghĩa là chúng
có thể tạo ra tình trạng mà ở đó các photon ở một dãy năng lượng nào đó thì không thể đi
qua tinh thể được và chúng bị phản xạ khi chạm vào tinh thể hoặc là không được phép
truyền qua tất cả các hướng ở bên trong nó. Điều sau này rất quan trọng, vì ví dụ ánh
sáng có thể được phát ra từ một nguồn sáng, được phát xạ lại bởi tinh thể, hiển nhiên là
được tái hấp thụ, rồi lại tái phát xạ.

Báo cáo bài tập lớn nhóm 2

CuuDuongThanCong.com

Page 14

/>

Hình 3.1. Tinh thể quang tử 1D, 2D và 3D

3.2 Tinh thể photonic band gap (PBG)
Một tinh thể PBG là một cấu trúc có thể điều khiển chùm ánh sáng giống như điều
khiển dòng điện trong các chất bán dẫn. Một chất bán dẫn không thể hỗ trợ các điện tử có
năng lượng nằm trong vùng cấm điện tử. Tương tự như vậy, một tinh thể quang tử không
thể hỗ trợ các photon nằm trong khe hở lượng tử ánh sáng. Bằng cách ngăn chặn hoặc

cho phép ánh sáng truyền qua một tinh thể, xử lí ánh sáng có thể được thực hiện. Điều
này sẽ tạo ra cuộc cách mạng hóa lượng tử ánh sáng, cách mạng hóa các bóng bán dẫn
điện tử.
Tinh thể quang tử thường bao gồm vật liệu điện mơi, đó là một vật liệu đóng vai trị
là vật liệu cách điện hoặc trong đó có một trường điện từ có thể được lan truyền với tổn
hao thấp. Các lỗ trong thứ tự của các bước sóng liên quan được khoan vào điện môi trong
một cấu trúc mạng tinh thể tương tự nhau và được lặp đi lặp lại. Nếu được xây dựng đủ
chính xác kết quả các tinh thể sẽ như một PBG, một loạt các tần số mà trong đó một bước
sóng riêng của ánh sáng sẽ bị chặn.
Sự hình thành PBG có thể được coi là sự tương tác hiệp lực giữa hai cơ chế cộng
hưởng tán xạ khác nhau. Đầu tiên là cộng hưởng Bragg vĩ mơ từ một mảng tuần hồn của
tán xạ. Điều này dẫn đến khoảng cách dừng điện tử khi sóng lan truyền theo hướng điều
chế định kì theo một số nguyên lần nửa bước sóng. Thứ hai là một tán xạ cộng hưởng vi
mô từ một tế bào đơn vị duy nhất của vật liệu. Sự hình thành PBG được tăng cường bằng

Báo cáo bài tập lớn nhóm 2

CuuDuongThanCong.com

Page 15

/>

cách chọn những vật liệu có các thơng số sao cho cả hai cộng hưởng vĩ mô và vi mô xảy
ra tại cùng một tần số.
3.3 Sợi tinh thể quang tử và kĩ thuật truyền dẫn trong sợi tinh thể quang tử
Sợi tinh thể quang tử (PCFs) là sợi có cấu trúc tuần hoàn được làm bằng các ống nhỏ.
Những lỗ trống được chứa đầy khơng khí và nó có hình dạng giống mạng lục giác.Ánh
sáng có thể truyền dọc theo sợi bên trong những lỗ khuyết của cấu trúc tinh thể. Một lỗ
khuyết được tạo ra là do có sự dịch chuyển của một hay nhiều tâm của ống nhỏ. Sợi tinh

thể quang tử là một loại mới của sợi quang học.
Nếu lỗ khuyết của cấu trúc thực sự do dịch chuyển tâm của các ống nhỏ thì sự truyền
dẫn sóng điện từ trong sợi tinh thể quang tử có thể được chú ý tới như sự biến đổi của
tổng những phản xạ nội. Sự biến đổi là do hệ thống của những ống nhỏ chứa khơng khí
làm dị rỉ những mode cao hơn vì vậy chỉ có một mode cơ bản được truyền đi. Đây là
mode có đường kính nhỏ nhất gần kích thước của lỗ khuyết, hằng số mạng của cấu trúc
tuần hoàn.
Trong mạng của những sợi nhỏ chứa khơng khí, tâm của nó được thay bằng một
thanh. Nếu tâm của lỗ khuyết được chèn bằng tâm của sợi nhỏ chứa khơng khí, mà có
đường kính khác so với những sợi nhỏ khác. Khi đó chúng ta có được dải vùng cấm
quang tử (PBG). Sự định hướng ánh sáng được xem như cách dẫn electron trong vật lí
chất rắn với cấu trúc giải năng lượng.
Những lõi khơng khí phân bố khơng tuần hồn có thể có cấu trúc như một tinh thể
quang tử hai chiều có hằng số mạng tương đương với bước sóng ánh sáng. Trong cấu trúc
tinh thể quang tử hai chiều tồn tại dải vùng cấm có thể ngăn cản ánh sáng truyền trong
một dải tần số xác định nào đó. Nếu cấu trúc tuần hoàn bị lỗi với một lỗ khuyết một vung
đặc biệt với những đặc điểm quang học khác nhau được tạo ra từ tinh thể quang tử. Vùng
lỗ khuyết có thể tạo ta nhưng mode với tần số nằm trong dải vùng cấm quang tử nó có thể
ngăn cản những sóng này xuyên sâu vào trong tinh thể quang tử. Khi dải vùng cấm được
Báo cáo bài tập lớn nhóm 2

CuuDuongThanCong.com

Page 16

/>

sử dụng để giam hãm ánh sáng trong lõi, đòi hỏi miền lỗ khuyết phải có chiết suất lớn
hơn miền xung quanh.
3.4 Phương pháp khai triển sóng phẳng (Plane wave expansion method)

Bằng 2 phương trình Maxwell mơ tả sự lan truyền của sóng điện từ, biến đổi thành
tập các phương trình có thể được lấy xấp xỉ bằng phường phương pháp triển khai sóng
phẳng
𝛻 × 𝐸⃗ = −
=>

⃗
𝜕𝐵

⃗ = 𝜇0 𝜀(𝑟)
𝛻×𝐵

(3a)

𝜕𝑡

⃗

−𝜕𝐵
−𝜕
⃗)
𝛻 × (𝛻 × 𝐸⃗ ) = 𝛻 × ( ) = (𝛻 × 𝐵
𝜕𝑡

𝜕𝐸⃗
𝜕𝑡

(3b)

(4)

𝜕𝑡

Xét các mode TE và TM ta có:
𝐸⃗𝑇𝑀 = 𝑒𝑧 𝐸 (𝑟)𝑒 𝑖(𝑘⃗⋅𝑟−𝑤𝑡)

(5a)

⃗ 𝑇𝐸 = 𝑒𝑧 𝐵(𝑟)𝑒 𝑖(𝑘⃗⋅𝑟−𝑤𝑡)
𝐵

(5b)

Đặt 𝜇0 𝜀 (𝑟) = 𝑐 (𝑟)−2 , Từ (3a), (3b), (4) ta có:
𝑐 (𝑟)2 𝛻 × 𝛻 × 𝐸⃗𝑇𝑀 = 𝜔2 𝐸⃗𝑇𝑀

(6a)

⃗ 𝑇𝐸 ) = 𝜔2 𝐵
⃗ 𝑇𝐸
𝛻 × (𝑐 (𝑟)2 𝛻 × 𝐵

(6b)

Biến đổi (6a):
Ta có: 𝛻𝑥 𝛻 × 𝐸⃗ = 𝛻(𝛻𝐸⃗ ) − 𝛻 2 𝐸⃗
2𝐸
𝑥
𝜕𝑥 2

𝜕𝐸𝑦
𝜕𝐸
𝜕𝐸
𝜕
𝛻(𝛻𝐸⃗ ) = 𝛻 ( 𝑥 +
+ 𝑧)= 𝑖 (
𝜕𝑥

𝜕𝑦

𝜕𝑧

+ 𝑘⃗ (
𝛻 2 𝐸⃗ = 𝛻𝛻𝐸⃗ = (

𝜕2
𝜕𝑥 2

+

𝜕2
𝜕𝑦 2

+

𝜕2
𝜕𝑧 2

𝜕2 𝐸𝑥
𝜕𝑥𝜕𝑧

+

+

𝜕2 𝐸𝑦
𝜕𝑥𝜕𝑦

𝜕2 𝐸𝑦
𝜕𝑦𝜕𝑧

+

+

𝜕2 𝐸𝑧
𝜕𝑥𝜕𝑧

𝜕2 𝐸𝑧
𝜕𝑧 2

) + 𝑗(

𝜕2 𝐸𝑥
𝜕𝑥𝜕𝑦

+

𝜕2 𝐸𝑦
𝜕𝑦 2

+

𝜕𝑦𝜕𝑧

)

)

) (𝑖𝐸𝑥 + 𝑗𝐸𝑦 + 𝑘⃗ 𝐸𝑧 )

Báo cáo bài tập lớn nhóm 2

CuuDuongThanCong.com

𝜕2 𝐸𝑧

Page 17

/>

Mà ta có chỉ những thành phần ứng với z khác 0 vậy suy ra (6a) trở thành:
𝑐 (𝑟)2 [−

𝜕2

𝜕2

𝜕𝑥

𝜕𝑦 2

−
2

] 𝐸 (𝑟)𝑒 𝑖(𝑘⃗⋅𝑟−𝑤𝑡) = 𝜔2 𝐸 (𝑟)𝑒 𝑖(𝑘⃗⋅𝑟−𝑤𝑡)

(7a)

Tương tự ta có (6b) trở thành:
[−

𝜕𝑐(𝑟 )2 𝜕
𝜕𝑥

𝜕𝑦

−

𝜕𝑐(𝑟 )2 𝜕
𝜕𝑦

𝜕𝑥

𝜕2

𝜕2

𝜕𝑥

𝜕𝑦 2

− 𝑐 (𝑟 )2 [

−
2

]] 𝐵(𝑟)𝑒 𝑖(𝑘⃗⋅𝑟−𝑤𝑡)

⃗

= 𝜔2 𝐵(𝑟)𝑒 𝑖(𝑘⋅𝑟−𝑤𝑡)

(7b)

b. Khai triển Fourier
Giả sử tinh thể quang phân bố trên mặt phẳng 2 chiều vô cùng lớn => áp dụng khai
triển chuỗi Fourier ta có:
𝑐 (𝑟)2 = ∑ 𝑐𝐺2 . 𝑒 𝑖(𝐺⋅𝑟)

(8a)

𝐸 (𝑟) = ∑𝐺 𝐸𝐺 . 𝑒 𝑖(𝐺⋅𝑟)

(8b)

𝐵(𝑟) = ∑𝐺 𝐵𝐺 . 𝑒 𝑖(𝐺⋅𝑟)

(8c)

𝐺

Với 𝐺 là vector mạng đảo được xác định bởi hai thành phần m và n
𝐺 = 𝐺𝑚𝑛 = 𝑚𝑏⃗1 + 𝑛𝑏⃗2 == 𝐺𝑥𝑚𝑛 𝑒𝑥 + 𝐺𝑦𝑚𝑛 𝑒𝑦

(9)

2
Biến đổi Fourier 𝑐 (𝑟)2 với các hệ số l và m (𝑐𝐺2 = 𝑐𝑙𝑚
)

Biến đổi Fourier 𝐸 (𝑟), 𝐵(𝑟) với các hệ số n và o
Từ đó ta có (7a) và (7b) trở thành:

Báo cáo bài tập lớn nhóm 2

CuuDuongThanCong.com

Page 18

/>

Từ hệ số mũ của vế trái và vế phải của phương trình ta có:
l+n=p

và

(𝑝−𝑙)(𝑞−𝑚)

+ 𝑘𝑥 ) + (𝐺𝑦

m+o=q

Từ đó ta có:
∑
𝑙𝑚

∑
𝑙𝑚

[(𝐺𝑥

(𝑝−𝑙)(𝑞−𝑚)

[𝐺𝑥𝑙𝑚 (𝐺𝑥

(𝑝−𝑙)(𝑞−𝑚)

(𝑝−𝑙)(𝑞−𝑚)

+ 𝑘𝑥 ) + 𝐺𝑦𝑙𝑚 (𝐺𝑦

(𝑝−𝑙)(𝑞−𝑚)

(𝐺𝑦

2
+ 𝑘𝑦 )] 𝑐𝑙𝑚
𝐸(𝑝 − 𝑙)(𝑞 − 𝑚) = 𝜔2 𝐸𝑝𝑞 (10a)

(𝑝−𝑙)(𝑞−𝑚)

+ 𝑘𝑦 ) + (𝐺𝑥

2
+ 𝑘𝑦 )] 𝑐𝑙𝑚
𝐵(𝑝 − 𝑙)(𝑞 − 𝑚) = 𝜔2 𝐵𝑝𝑞

2

+ 𝑘𝑥 ) +

(10b)

Hai phương trình trên có thể giải quyết bằng số nếu chúng ta giới hạn số lượng vector
mạng đảo 𝐺
Đặt

𝑝𝑞

(𝑝 − 𝑙)(𝑞 − 𝑚)

𝛯𝑚𝑙 = [(𝐺𝑥

2

+ 𝑘𝑥 ) + . . . ] và giả sử giới hạn trên của p và q là 1

=> ta có phương trình ma trận (11):
Báo cáo bài tập lớn nhóm 2

CuuDuongThanCong.com

Page 19

/>

Với:
• ma trận A là phương trình sóng phẳng của từ trường hoặc điện trường
2
• 𝐶𝑙𝑚
là hệ số Fourier của vận tốc pha được tính theo cơng thức:
2
𝐶𝑙𝑚
=

1
∫ 𝐶 (𝑟)2 𝑒 −𝑖(𝑙𝑏⃗1+𝑚𝑏⃗2)⋅𝑟 𝑑 2 𝑟
𝑐𝑒𝑙𝑙
𝑐𝑒𝑙𝑙

Cell: là diện tích chọn trước
𝐶 (𝑟

)2

𝐶𝑀2 , 𝑟 ≥ 𝑅 𝑣ậ𝑛 𝑡ố𝑐 𝑝ℎ𝑎 𝑡𝑟𝑜𝑛𝑔 đ𝑖ệ𝑛 𝑚ô𝑖
={ 2
𝑐 , 𝑟 < 𝑅 𝑣ậ𝑛 𝑡ố𝑐 𝑝ℎ𝑎 𝑡𝑟𝑜𝑛𝑔 𝑐ℎâ𝑛 𝑘ℎơ𝑛𝑔

R là bán kính lỗ
Từ phương trình ma trận (11) tìm tần số riêng 𝜔 cho tinh thể đưa ta về bài tốn tím
trị riêng trong đại số và giải tích
𝐿̂ . 𝑣𝑛 = 𝐸𝑛 . 𝑉𝑛

với 𝐸𝑛 là trị riêng

Báo cáo bài tập lớn nhóm 2

CuuDuongThanCong.com

Page 20

/>

CHƯƠNG IV: MÔ PHỎNG BẰNG PHẦN MỀM OPTIFDTD
4.1 Thiết kế
Dựa trên gợi ý từ tài liệu OptiFTDT Tutorial [7], tinh thể quang tử gồm các ống trụ là
chất điện môi đặt trong mạng hình vng. Các thơng số thể hiện như bên dưới:

Bảng 4.1 chiết suất vật liệu
Tên đối tượng

Giá trị chiết suất

Loại vật liệu

Ống trụ

2.983287

AlAs

Khơng khí

1

Về dạng mạng, các ống trụ có trục cách nhau khoảng cách a = 1 𝜇m. Bán kính mỗi ống
trụ r = 0.2 × a
Kích thước mạng 9x9, chiều dài ống trụ 1 𝜇m

Báo cáo bài tập lớn nhóm 2

CuuDuongThanCong.com

Page 21

/>

Hình 4.1 Kích thước mạng tinh thể 2 chiều

Hình 4.2 Mơ hình mạng tinh thể
Báo cáo bài tập lớn nhóm 2

CuuDuongThanCong.com

Page 22

/>

Bảng 4.1 Thơng số nguồn phát sóng điện từ
Thơng số

Giá trị

Loại sóng

Gaussian Modulated Continuous Wave

Time offset

5.5 × 10−14 giây

Halfwidth

1.1 x 10−14giây

4.2 Phân tích vùng cấm quang
Sau khi thiết kế tinh thể hai chiều, tiến hành phân tích vùng cấm quang của các mode
TE, TM.

Hình 4.3 Cấu trúc vùng cấm quang TE
Vùng cấm quang mode TE tìm được gồm 1 vùng có dài giá trị (0,324153;0,441991) (𝜇𝑚)

Báo cáo bài tập lớn nhóm 2

CuuDuongThanCong.com

Page 23

/>