SKKN 2014 Nguyen Van Dung

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (285.05 KB, 34 trang )

(1)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI TRƯỜNG THPT HAI BÀ TRƯNG - THẠCH THẤT ------------------. SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM. ĐỀ TÀI. HƯỚNG DẪN HỌC SINH SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Lĩnh vực/môn: Toán Tên tác giả: Nguyễn Văn Dũng Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn Tổ Toán - Tin. Năm học 2013 - 2014.

(2) Nguyễn Văn Dũng. Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013-2014 Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam Độc lập - Tự do - Hạnh phúc —————————-. SƠ YẾU LÝ LỊCH 1. Họ và tên. : Nguyễn Văn Dũng. 2. Ngày sinh. : 02-11-1978. 3. Nơi sinh. : Lại Thượng - Thạch Thất - Hà Nội. 4. Trình độ chuyên môn. : Thạc sĩ. 5. Môn giảng dạy. : Toán học. 6. Đơn vị công tác. : Trường THPT Hai Bà Trưng - Thạch Thất. 7. Chức vụ. : Tổ trưởng chuyên môn Tổ Toán - Tin. 8. Năm vào ngành. : 2001. 9. Ngoại ngữ. : Tiếng anh B1. 10. Khen thưởng. :- 8 SKKN xếp loại cấp ngành - 6 lần chiến sĩ thi đua cấp cơ sở - Giấy khen của công đoàn ngành.. Sử dụng bất đẳng thức Cô-si để chứng minh bất đẳng thức.. Trang 1.

(3) Mục lục Phần thứ nhất: Đặt vấn đề. 3. Phần thứ hai: Nội dung của đề tài. 3. 1 Kiến thức cơ bản 1.1 Định nghĩa bất đẳng thức . 1.2 Bất đẳng thức hệ quả và bất 1.3 Tính chất của bất đẳng thức 1.4 Bất đẳng thức Cô-si . . . .. . . . .. 5 5 5 5 6. . . . .. 7 7 11 22 25. . . . . . . đẳng thức . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . tương đương . . . . . . . . . . . . . . . .. 2 Sử dụng bất đẳng thức Cô-si để chứng minh bất 2.1 Một số ví dụ cơ sở và hệ quả . . . . . . . . . . . . 2.2 Kỹ thuật ghép cặp trong bất đẳng thức Cô-si . . 2.3 Kỹ thuật Cô-si ngược dấu . . . . . . . . . . . . . 2.4 Bài tập tự luyện . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. Phần thứ ba: Thực nghiệm sư phạm. 29. Phần thứ tư: Kết luận và đề xuất. 30. Tài liệu tham khảo. 31. Ý kiến đánh giá và xếp loại của Hội đồng khoa học cơ sở. 32. Ý kiến đánh giá và xếp loại của Hội đồng khoa học cấp trên. 33. 2.

(4) Nguyễn Văn Dũng. Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013-2014. PHẦN THỨ NHẤT: ĐẶT VẤN ĐỀ 1. Tên đề tài HƯỚNG DẪN HỌC SINH SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 2. Lý do chọn đề tài Việc dạy cho học sinh hiểu được phương pháp giải bài tập là một trong những thành công, nhưng thành công hơn cả là việc định hướng được cho học sinh biết phán đoán về phương pháp giải bài tập. Từ đó khẳng định phương pháp đã dự đoán là hoàn toàn đúng đắn và biết tự sáng tạo ra các bài tập khác nhờ khái quát hoá, đặc biệt hoá, tương tự hoá... Trong quá trình giảng dạy ở trường THPT, tôi nhận thấy bài toán về bất đẳng thức là một trong những nội dung hấp dẫn của toán sơ cấp. Có nhiều phương pháp để giải và ta phải căn cứ vào đặc thù của mỗi loại bài toán mà sử dụng phương pháp cho phù hợp. Đối với học sinh bậc trung học loại toán về chứng minh bất đẳng thức làm đa số các em rất ngại nhưng nó lại thường được sử dụng trong các kỳ thi HSG. Hơn nữa đa số các em khá giỏi lại rất có hứng thú với loại toán này, bởi nó giúp các em khả năng phân tích, dự đoán, tính lập luận lô rích, khả năng tổng hợp, khái quát một vấn đề. Bất đẳng thức Cô-si được các em học sinh tiếp cận trong chương trình của Toán lớp 10 (chương trình chuẩn học 3 tiết), với thời lượng ít nên khả năng áp dụng của học sinh rất yếu. Mặt khác các bài toán dạng này thường gặp rất nhiều trong các kỳ thi Tuyển sinh Đại học, thi học sinh giỏi cấp tỉnh và là các bài toán khó, nên đại đa số học sinh đều không làm được. Với tất cả các lý do trên cùng với kinh nghiệm của bản thân sau một thời gian dạy đội tuyển học sinh giỏi và luyện thi đại học, tôi mạnh dạn viết đề tài "Hướng dẫn học sinh sử dụng bất đẳng thức Cô-si để chứng minh bất đẳng thức" để trao đổi với các bạn đồng nghiệp và làm tài liệu tham khảo cho các em học sinh. 3. Mục đích nghiên cứu Xây dựng một hệ thống bài tập theo độ khó tăng dần nhằm cung cấp cho học sinh cách sử dụng bất đẳng thức Cô-si vào chứng minh bất đẳng thức. 4. Phương pháp nghiên cứu • Nghiên cứu lí luận: nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo, các tài liệu liên quan khác. • Thực nghiệm sư phạm: tổ chức một số tiết dạy thực nghiệm, cho kiểm tra thử với lớp đối chứng. • Phương pháp quan sát: quan sát học sinh học và làm bài tại trường THPT Hai Bà Trưng. 5. Phạm vi và thời gian thực hiện đề tài. Sử dụng bất đẳng thức Cô-si để chứng minh bất đẳng thức.. Trang 3.

(5) Nguyễn Văn Dũng. Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013-2014. • Phạm vi: Nội dung của đề tài đề cập đến phương pháp sử dụng bất đẳng thức Cô-si để chứng minh bất đẳng thức. Do vậy đây là tài liệu có thể dùng để giảng dạy và bồi dưỡng chuyên đề cho các em học sinh khối 10, 11 cũng như các em học sinh khối 12 ôn thi tuyển sinh vào Đại học cao đẳng. • Thời gian: Đề tài đã được sử dụng trong năm hoc 2013-2014 và các năm học trước.. Sử dụng bất đẳng thức Cô-si để chứng minh bất đẳng thức.. Trang 4.

(6) Chương 1 Kiến thức cơ bản. 1.1. Định nghĩa bất đẳng thức. Định nghĩa 1.1. Bất đẳng thức là một mệnh đề chứa biến thuộc một trong bốn dạng sau a > b;. a<b. (1.1). a ≥ b;. a≤b. (1.2). Nhận xét 1.1. Bất đẳng thức dạng (1.1) là các bất đẳng thức ngặt, còn các bất đẳng thức dạng (1.2) là các bất đẳng thức không ngặt.. 1.2. Bất đẳng thức hệ quả và bất đẳng thức tương đương. Định nghĩa 1.2. Nếu mệnh đề ”a > b ⇒ c > d” đúng thì ta nói bất đẳng thức c > d là hệ quả của bất đẳng thức a > b và cũng viết là: a > b ⇒ c > d. Định nghĩa 1.3. Nếu bất đẳng thức a > b là hệ quả của bất đẳng thức c > d và ngược lại thì ta nói hai bất đẳng thức tương đương với nhau và viết là a > b ⇔ c > d.. 1.3. Tính chất của bất đẳng thức. • Cộng hai vế của bất đẳng thức với một số a>b⇔a+c>b+c • Nhân hai vế của bất đẳng thức với một số a > b ⇔ a.c > b.c. (nếu c > 0). a > b ⇔ a.c < b.c. (nếu c < 0). 5.

(7) Nguyễn Văn Dũng. Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013-2014. • Cộng hai bất đẳng thức cùng chiều a>b ⇒a+c>b+d c>d • Nhân hai bất đẳng thức cùng chiều a>b>0 ⇒ a.c > b.d c>d>0 • Nâng lũy thừa một bất đẳng thức a > b ⇔ a2n+1 > b2n+1 (n ∈ Z+ ) a > b > 0 ⇒ a2n > b2n (n ∈ Z+ ). 1.4. Bất đẳng thức Cô-si. Định lí 1.1. Nếu a, b là hai số không âm thì ta có a+b √ ≥ ab. 2. (1.3). Dấu bằng trong bất đẳng thức (1.3) xẩy ra khi và chỉ khi a = b. Định lí 1.2. Nếu a1 , a2 , ..., an là các số không âm thì ta có √ a1 + a2 + ... + an ≥ n a1 .a2 ...an . n. (1.4). Dấu bằng trong bất đẳng thức (1.4) xẩy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = ... = an .. Sử dụng bất đẳng thức Cô-si để chứng minh bất đẳng thức.. Trang 6.

(8) Chương 2 Sử dụng bất đẳng thức Cô-si để chứng minh bất đẳng thức 2.1. Một số ví dụ cơ sở và hệ quả. Bài toán 2.1. Cho a, b là các số dương, chứng minh rằng 1 1 (a + b)( + ) ≥ 4. a b. (2.1). 1 1 Chứng minh. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương a và b; và , ta có: a b √ a + b ≥ 2 ab. (2.1a) r 1 1 1 + ≥2 . (2.1b) a b ab Nhân vế với vế hai bất đẳng thức (2.1a), (2.1b) ta được bất đẳng thức (2.1) Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi a = b. Nhận xét 2.1. Từ bất đẳng thức (2.1) ta rút ra được hai bất đẳng thức hệ quả quan trọng sau đây: 4 1 1 + ≥ . (2.2) a b a+b 1 1 1 1 ≤ ( + ). (2.3) a+b 4 a b Dấu bằng trong các bất đẳng thức (2.2), (2.3) xẩy ra khi và chỉ khi a = b. Bài toán 2.2. Cho a, b, c là các số dương, chứng minh rằng 1 1 1 (a + b + c)( + + + ) ≥ 9. a b c. (2.4). 1 1 1 Chứng minh. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương a, b, c và , , , ta có: a b c √ 3 a + b + c ≥ 3 abc. (2.4a) r 1 1 1 1 3 + + ≥3 . (2.4b) a b c abc Nhân vế với vế hai bất đẳng thức (2.4a), (2.4b) ta được bất đẳng thức (2.4) Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi a = b = c. 7.

(9) Nguyễn Văn Dũng. Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013-2014. Nhận xét 2.2. Từ bất đẳng thức (2.4) ta rút ra được hai bất đẳng thức hệ quả quan trọng sau đây: 1 1 1 9 + + ≥ . (2.5) a b c a+b+c 1 1 1 1 1 ≤ ( + + ). (2.6) a+b+c 9 a b c Dấu bằng trong các bất đẳng thức (2.5), (2.6) xẩy ra khi và chỉ khi a = b = c. Nhận xét 2.3. Một cách tổng quát ta có kết quả sau Cho a1 , a2 , ..., an . là các số thực dương, khi đó 1 1 n2 1 + + ... + ≥ . a1 a2 an a1 + a2 + ... + an. (2.7). Đẳng thức xẩy ra khi a1 = a2 = ... = an . Nhận xét 2.4. Các bất đẳng thức (2.2), (2.3), (2.5), (2.6), (2.7) là những bất đẳng thức rất cơ bản, là cơ sở để chứng minh được số bất đẳng thức khác. Sau đây là một số ví dụ Bài toán 2.3. (Đại học khối A năm 2005) 1 1 1 Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn + + = 4. Chứng minh rằng x y z 1 1 1 + + ≤ 1. 2x + y + z x + 2y + z x + y + 2z. (2.8). Chứng minh. Áp dụng bất đẳng thức (2.3) ta được kết quả sau 1 1 1 1 1 = ≤ ( + )≤ 2x + y + z (x + y) + (x + z) 4 x+y x+z 1 tương tự ta cũng có ≤ x + 2y + z 1 và ≤ x + y + 2z. 1 2 1 1 ( + + ). 16 x y z 1 1 2 1 ( + + ). 16 x y z 1 1 1 2 ( + + ). 16 x y z. Cộng vế với vế các bất đẳng thức (2.8a), (2.8b), (2.8c) và sử dụng giả thiết. (2.8a) (2.8b) (2.8c). 1 1 1 + + =4 x y z. , ta được điều phải chứng minh. Dấu bằng trong bất đẳng thức (2.8) xẩy ra khi và chỉ khi   x=y=z 3 1 1 1 ⇔x=y=z= .  + + =4 4 x y z. Nhận xét 2.5. Từ bài toán trên ta có bài toán mở rộng hơn như sau. Sử dụng bất đẳng thức Cô-si để chứng minh bất đẳng thức.. Trang 8.

(10) Nguyễn Văn Dũng. Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013-2014. Bài toán 2.4. Cho n là số nguyên dương và a1 , a2 , ..., an là các số thực dương, thỏa 1 1 1 1 + + ... + = , k>0. Chứng minh rằng điều kiện a1 a2 an k 1 1 + + m1 a1 + m2 a2 + ... + mn an m2 a1 + m3 a2 + ... + m1 an 1 k ≤ . mn a1 + m1 a2 + ... + mn−1 an m1 + m2 + ... + mn. (2.9). Bài toán 2.5. Cho a, b, c là ba cạnh của tam giác và p là chu vi. Chứng minh rằng 1 1 1 1 1 1 + + ≥ 2( + + ).. p−a p−b p−c a b c. (2.10). Chứng minh. Áp dụng bất đẳng thức (2.2), ta có 1 4 4 1 + ≥ = . p−a p−b p−a+p−b c. (2.10a). 1 1 4 4 + ≥ = . p−b p−c p−b+p−c a. (2.10b). Tương tự ta cũng có. và. 1 1 4 4 + ≥ = . p−c p−a p−c+p−a b. (2.10c). Cộng vế với vế 3 bất đẳng thức (2.10a),(2.10b), (2.10c) ta có điều phải chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a = b = c. Bài toán 2.6. Cho a, b > 0 và a + b = 1. Chứng minh rằng a2 b2 1 + ≥ . a+1 b+1 3. (2.11). b2 1 1 a2 + = −1 + + . a+1 b+1 a+1 b+1. (2.11a). Chứng minh. Ta có. Mặt khác áp dụng bất đẳng thức (2.2) ta có Ta có 1 1 4 4 + ≥ = . a+1 b+1 a+b+2 3. (2.11b). Từ hai bất đẳng thức (2.11a), (2.11b) ta suy ra điều phải chứng minh. 1 Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a = b = . 2 Bài toán 2.7. (Bất đẳng thức Nesbit) Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng a b c 3 + + ≥ . b+c c+a a+b 2 Sử dụng bất đẳng thức Cô-si để chứng minh bất đẳng thức.. (2.12) Trang 9.

(11) Nguyễn Văn Dũng. Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013-2014. Chứng minh. Ta có a b c a b c + + =( + 1) + ( + 1) + ( + 1) − 3 b+c c+a a+b b+c c+a a+b 1 1 1 = (a + b + c)( + + ) − 3. b+c c+a a+b. (2.12a). Áp dụng bất đẳng thức (2.5), ta có 1 1 1 9 + + ≥ . b+c c+a a+b 2(a + b + c). (2.12b). Từ hai bất đẳng thức (2.12a), (2.12b) ta suy ra điều phải chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a = b = c. Bài toán 2.8. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng 1 1 1 1 1 1 + + ≥ 3( + + ). a b c a + 2b b + 2c c + 2a. (2.13). Chứng minh. Áp dụng bất đẳng thức (2.5) ta có: 1 1 1 9 1 2 + = + + ≥ . a b a b b a + 2b. (2.13a). Hoàn toàn tương tự ta cũng có: 1 2 9 + ≥ . b c b + 2c. (2.13b). 9 1 2 + ≥ . c a c + 2a. (2.13c). Cộng vế với vế các bất đẳng thức (2.13a), (2.13b), (2.13c) ta được bất đẳng thức (2.13). Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a = b = c. Bài toán 2.9. (Đại học khối D năm 2005) Cho các số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện xyz = 1. Chứng minh rằng p p √ √ 1 + x3 + y 3 1 + y3 + z3 1 + z 3 + x3 + + ≥ 3 3. xy yz zx. (2.14). Chứng minh. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 3 số 1, x, y ta được: 1 + x3 + y 3 ≥ 3xy p √ 1 + x3 + y 3 3 Khi đó ≥√ . (2.14a) xy xy Tương tự ta cũng có các kết quả sau p √ 1 + y3 + z3 3 ≥√ . xy yz Sử dụng bất đẳng thức Cô-si để chứng minh bất đẳng thức.. (2.14b). Trang 10.

(12) Nguyễn Văn Dũng. Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013-2014 √. √ 1 + z 3 + x3 3 ≥√ . xy zx. (2.14c). Cộng vế với vế các bất đẳng thức (2.14a),(2.14b),(2.14c) ta được: p p √ 1 + x3 + y 3 1 + y3 + z3 1 1 1 + z 3 + x3 √ 1 + + ≥ 3( √ + √ + √ ). (2.14d) xy yz zx xy yz zx Áp dụng bất đẳng thức Cô-si và sử dụng giả thiết xyz = 1, ta được 1 1 1 √ + √ + √ ≥ 3. xy yz zx. (2.14e). Từ hai bất đẳng thức (2.14d) và (2.14e) ta suy ra bất đẳng thức (2.14). Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1. Bài toán 2.10. (Olympic 30-4 năm 2007) Cho x, y, z là các số thực dương. Chứng minh rằng 25y 4z x + + > 2. y+z z+x x+y. (2.15). Chứng minh. Đặt a = y + z, b = z + x, c = x + y. b+c−a a+c−b a+b−c Ta có: x = ,y = ,z = (a, b, c > 0). 2 2 2 Khi đó ta có: 25y 4z b + c − a 25(a + c − b) 4(a + b − c) x + + = + + y+z z+x x+y 2a 2b 2c b 25a c 2a 25c 2b =( + )+( + )+( + ) − 15 2ar 2b 2a c 2b c r r b 25a c 2a 25c 2b ≥2 . +2 . +2 . − 15 2a 2b 2a c 2b c Hay 25y 4z 5 x + + ≥ 2. + 2.1 + 2.5 − 15 = 2 y+z z+x x+y 2. (2.16). Dấu bằng trong bất đẳng thức (2.16) xẩy ra khi và chỉ khi b = 5a, c = 2a. a+c−b Khi đó y = < 0 (điều này trái giả thiết). 2 Do đó dấu bằng trong (2.16) không xẩy ra. Vậy (2.15)được chứng minh.. 2.2. Kỹ thuật ghép cặp trong bất đẳng thức Cô-si. Trong phần này sẽ giới thiệu một kỹ thuật trong việc áp dụng bất đẳng thức Cô-si để chứng minh bất đẳng thức, đó chính là kỹ thuật ghép cặp phù hợp. Chúng ta sẽ hình thành phương pháp qua ví dụ mở đầu sau đây.. Sử dụng bất đẳng thức Cô-si để chứng minh bất đẳng thức.. Trang 11.

(13) Nguyễn Văn Dũng. Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013-2014. Bài toán 2.11. Cho a là số thực thỏa điều kiện a ≥ 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 P =a+ . (2.17) a Nhận xét 2.6. Một số học sinh đã sử dụng ngay bất đẳng thức Cô-si nên được kết quả như sau r 1 1 P = a + ≥ 2 a. = 2. (2.17a) a a Từ đây khẳng định rằng minP = 2. Khẳng định trên là sai vì dấu bằng trong bất đẳng thức (2.17a) xẩy ra khi và chỉ khi 1 a = ⇔ a = 1, điều này là trái với giả thiết a ≥ 3. a Sau đây là lời giải đúng cho bài toán 2.9 Lời giải Ta có 1 a 1 8a P =a+ =( + )+ . (2.17b) a 9 a 9 a 1 Bây giờ áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số và ta được 9 a r a 1 a 1 2 + ≥2 . = . (2.17c) 9 a 9 a 3 Kết hợp (2.17b),(2.17c) và sử dụng giả thiết a ≥ 3, ta được: P =a+ Vậy minP =. 1 2 8.3 10 ≥ + = . a 3 9 3. (2.18). a 1 10 , đạt được khi = ⇔ a = 3. 3 9 a. Nhận xét 2.7. Qua bài toán trên ta thấy rằng để áp dụng bất đẳng thức Cô-si để 1 a giải toán ta cần phải tiến hành ghép cặp phù hợp , không phải a và mà phải là a 9 1 và . Một số câu hỏi đặt ra như sau: a • Tại sao lại ghép • Số. a 1 với mà không phải là số khác? a 9. a được xác định như thế nào? 9. • Có cách ghép cặp nào khác không? Nhận xét 2.8. Khi sử dụng phương pháp ghép cặp trong việc sử dụng bất đẳng thức Cô-si để chứng minh bất đẳng thức, chúng ta nên tiến hành theo các bước sau đây: • Giả sử dấu bằng của bất đẳng thức cần chứng minh xẩy ra khi các biến (đối xứng) bằng nhau. • Kết hợp với điều kiện biên của bài toán để xác định các đối số. Sử dụng bất đẳng thức Cô-si để chứng minh bất đẳng thức.. Trang 12.

(14) Nguyễn Văn Dũng. Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013-2014. • Với giá trị của đối số tìm được, tính giá trị của các biểu thức có mặt trong bất đẳng thức. • Xác định số biểu thức cần ghép cặp với từng biểu thức có mặt trong bất đẳng thức. • Sử dụng bất đẳng thức Cô-si để tìm lời giải tiếp theo. Bài toán 2.12. Cho a, b là các số thực dương và thỏa điều kiện a + b = 1. Chứng minh rằng 1 1 a + b + 2 + 2 ≥ 9. (2.19) a b Nhận xét 2.9. Ta có một số nhận xét trước khi giải như sau 1 • Dấu bằng của giả thiết xẩy ra khi và chỉ khi a = b = . 2 • Ta không thể ghép a và • Để ý rằng khi a =. 1 vì khi đó dấu bằng xẩy ra khi a = 1. a2. 1 1 1 1 thì 2 = 4, do đó ta có 8a = 2 hay a = 2 . 2 a a 8a. • Do vậy để giải bài toán trên ta sẽ đi ghép cặp 8a với • Ta phải sử dụng Cô-si cho 3 số 8a, 8a,. 1 1 và 8b với . a2 b2. 1 để làm triệt tiêu biến a. a2. Chứng minh. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: r 1 1 3 8a + 8a + 2 ≥ 3 8a.8a. 2 = 12. a a r 1 1 3 và 8b + 8b + 2 ≥ 3 8b.8b. 2 = 12. b b. (2.19a). (2.19b). Cộng vế với vế hai bất đẳng thức (2.19a), (2.19b) ta được [a + b +. 1 1 + 2 ] + 15(a + b) ≥ 24 2 a b. Suy ra 1 1 + 2 ≥ 24 − 15(a + b) = 9. 2 a b 1 Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a = b = . 2 a+b+. Bài toán 2.13. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng ab bc ca + + ≥ a + b + c. c a b. (2.20). Nhận xét 2.10. Ta có một số nhận xét trước khi giải như sau Sử dụng bất đẳng thức Cô-si để chứng minh bất đẳng thức.. Trang 13.

(15) Nguyễn Văn Dũng. Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013-2014. • Vai trò của a, b, c như nhau trong bất đẳng thức nên dự đoán dấu bằng xẩy ra khi a = b = c. • Khi a = b = c thì • Ta ghép cặp. bc ca ab = = = a = b = c. c a b. ab bc và để xuất hiện b, tương tự cho các cặp còn lại c a. Chứng minh. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có ab bc + ≥ 2b. c a. (2.20a). bc ca + ≥ 2c. a b. (2.20b). ca ab + ≥ 2a. b c. (2.20c). Cộng vế với vế các bất đẳng thức (2.20a), (2.20b), (2.20c) và rút gọn ta được điều phải chứng minh. 3 Bài toán 2.14. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa điều kiện a + b + c = . Chứng 2 minh rằng 1 1 1 27 a+b+c+ 2 + 2 + 2 ≥ . (2.21) a b c 2 Nhận xét 2.11. Ta có một số nhận xét trước khi giải như sau 1 • Dấu bằng của giả thiết xẩy ra khi và chỉ khi a = b = c = . 2 • Ta không thể ghép a và • Để ý rằng khi a =. 1 vì khi đó dấu bằng xẩy ra khi a = 1. a2. 1 1 1 1 thì 2 = 4, do đó ta có 8a = 2 hay a = 2 . 2 a a 8a. • Do vậy để giải bài toán trên ta sẽ đi ghép cặp 8a với • Ta phải sử dụng Cô-si cho 3 số 8a, 8a,. 1 1 1 và 8b với 2 , 8c với 2 . 2 a b c. 1 để làm triệt tiêu biến a. a2. Chứng minh. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: r 1 1 3 8a + 8a + 2 ≥ 3 8a.8a. 2 = 12. a a r 1 1 3 8b + 8b + 2 ≥ 3 8b.8b. 2 = 12. b b Sử dụng bất đẳng thức Cô-si để chứng minh bất đẳng thức.. (2.21a). (2.21b). Trang 14.

(16) Nguyễn Văn Dũng. Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013-2014 r 1 1 3 8c + 8c + 2 ≥ 3 8c.8c. 2 = 12. c c. (2.21c). Cộng vế với vế hai bất đẳng thức (2.21a), (2.21b), (2.21c) ta được [a + b + c +. 1 1 1 + 2 + 2 ] + 15(a + b + c) ≥ 36 2 a b c. Suy ra 1 1 1 27 (đpcm). + 2 + 2 ≥ 36 − 15(a + b + c) = 2 a b c 2 1 Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a = b = c = . 2 a+b+c+. Từ hai bài toán trên ta có bài toán tổng quát sau đây Bài toán 2.15. (Bài toán tổng quát) n Cho a1 , a2 , .., an là các số thực dương thỏa điều kiện a1 + a2 + ... + an = . Chứng minh 2 rằng 1 1 1 9n a1 + a2 + ... + an + 2 + 2 + ... + 2 ≥ . (2.22) a1 a2 an 2 Bài toán 2.16. Cho a, b, c > 0 và thỏa điều kiện ab + bc + ca = 1. Chứng minh rằng 1 a3 + b 3 + c 3 ≥ √ . 3. (2.23). Nhận xét 2.12. Ta có một số nhận xét trước khi giải như sau 1 • Dấu bằng của giả thiết xẩy ra khi và chỉ khi a = b = c = √ . 3 1 • Ta phải sử dụng Cô-si cho 3 số a3 , b3 , √ để làm xuất hiện tích ab của giả thiết. 3 3 Chứng minh. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có √ 1 a3 + b3 + √ ≥ ab 3. 3 3. (2.23a). √ 1 b3 + c3 + √ ≥ bc 3. 3 3. (2.23b). √ 1 c3 + a3 + √ ≥ ca 3. 3 3. (2.23c). Cộng vế với vế 3 bất đẳng thức (2.23a), (2.23b), (2.23c) ta có √ 1 2(a3 + b3 + c3 ) + √ ≥ 3(ab + bc + ca) 3 Suy ra 1 a3 + b3 + c3 ≥ √ (đpcm). 3 1 Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a = b = c = √ . 3 Sử dụng bất đẳng thức Cô-si để chứng minh bất đẳng thức.. Trang 15.

(17) Nguyễn Văn Dũng. Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013-2014. Bài toán 2.17. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa điều kiện a + b + c = 3abc. Chứng minh rằng 1 1 1 + 5 + 5 ≥ 3. (2.24) 5 a b c Nhận xét 2.13. Ta có một số nhận xét trước khi giải như sau • Nếu a = b = c thì từ giả thiết của bài toán ta có a = b = c = 1. • Ta nên viết lại giả thiết để một vế là hằng số như sau. 1 1 1 + + = 3. ab bc ca. 1 1 • Bây giờ ta nên áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 5 số 5 , 5 , 1, 1, 1 để xuất hiện a b 1 tích . ab Chứng minh. Ta có a + b + c = 3abc ⇔ Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 5 số. 1 1 1 + + = 3. ab bc ca. (2.24a). 1 1 , , 1, 1, 1, ta được a5 b 5. 1 5 1 + + 1 + 1 + 1 ≥ . a5 b 5 ab Hay 1 5 ≥ − 3. b5 ab. (2.24b). b5 +. 1 5 ≥ − 3. 5 c bc. (2.24c). c5 +. 1 5 ≥ − 3. 5 a ca. (2.24d). a5 + Hoàn toàn tương tự ta có các kết quả. Cộng vế với vế các bất đẳng thức (2.24b),(2.24c),(2.24d) và sử dụng giả thiết (2.24a) ta có bất đẳng thức (2.24). Dấu bằng trong bất đẳng thức (2.24) xẩy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1. Bài toán 2.18. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng a2 b2 c2 a+b+c + + ≥ . b+c c+a a+b 2. (2.25). Nhận xét 2.14. Ta có một số nhận xét trước khi giải như sau • Bất đẳng thức đã cho là đối xứng với a, b, c nên dấu bằng xẩy ra khi a = b = c. • Khi a = b = c thì ta có. a2 b2 c2 a = = = = ... b+c c+a a+b 2. Sử dụng bất đẳng thức Cô-si để chứng minh bất đẳng thức.. Trang 16.

(18) Nguyễn Văn Dũng. Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013-2014. • Để xuất hiện hạng tử b+c ? 4. a2 a thì ta nên áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho và 2 b+c. Chứng minh. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số. a2 b+c và ta được b+c 4. s a2 b+c a2 b + c + ≥2 . = a. b+c 4 b+c 4. (2.25a). Hoàn toàn tương tự ta có các kết quả sau b2 c+a + ≥ b. c+a 4. (2.25b). c2 c+a + ≥ c. c+a 4. (2.25c). Bây giờ cộng vế với vế 3 bất đẳng thức (2.25a), (2.25b), (2.25c) và rút gọn ta được bất đẳng thức (2.25). Dấu bằng trong bất đẳng thức (2.25) xẩy ra khi và chỉ khi a = b = c. Nhận xét 2.15. Ta có bài toán tổng quát hơn cho bài toán trên như sau Bài toán 2.19. (Bài toán tổng quát) Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng bn cn an−1 + bn−1 + cn−1 an + + ≥ . (2.26) b+c c+a a+b 2 Bài toán 2.20. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa điều kiện abc = 1. Chứng minh rằng b3 c3 3 a3 + + ≥ . (2.27) (a + 1)(b + 1) (b + 1)(c + 1) (c + 1)(a + 1) 4 Nhận xét 2.16. Ta có một số nhận xét trước khi giải như sau • Từ giả thiết nếu cho a = b = c thì suy ra a = b = c = 1 • Khi a = b = c = 1 thì mỗi số hạng bằng. a3 b3 c3 , , (a + 1)(b + 1) (b + 1)(c + 1) (c + 1)(a + 1). 1 . 4. a3 và 1 số nào đấy (a + 1)(b + 1) để mất tích (a + 1)(b + 1) và khử được lũy thừa 3 của a.. • Như vậy ta nên áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho. • Chọn 2 hạng tử. a+1 b+1 a3 , để ghép với . 8 8 (a + 1)(b + 1). Sử dụng bất đẳng thức Cô-si để chứng minh bất đẳng thức.. Trang 17.

(19) Nguyễn Văn Dũng. Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013-2014. Chứng minh. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 3 số. a3 a+1 b+1 , , ta 8 8 (a + 1)(b + 1). được a3 a+1 b+1 3a + + ≥ . (a + 1)(b + 1) 8 8 4 Hay a3 5a b 1 ≥ − − . (a + 1)(b + 1) 8 8 4. (2.27a). Hoàn toàn tương tự ta có các kết quả 5b c 1 b3 ≥ − − . (b + 1)(c + 1) 8 8 4. (2.27b). c3 5c a 1 ≥ − − . (c + 1)(a + 1) 8 8 4. (2.27c). Cộng vế với vế các bất đẳng thức (2.27a), (2.27b), (2.27c) ta được a3 b3 c3 1 3 + + ≥ (a + b + c) − . (a + 1)(b + 1) (b + 1)(c + 1) (c + 1)(a + 1) 2 4. (2.27d). Áp dụng bất đẳng thức Cô-si và sử dụng giả thiết ta có a + b + c ≥ 3.. (2.27e). Từ (2.27d), (2.27e) ta suy ra điều phải chứng minh. Dấu bằng trong bất đẳng thức (2.27) xẩy ra khi a = b = c = 1. Bài toán 2.21. Cho a, b, c, d là các số thực không âm thỏa điều kiện ab+bc+cd+da = 1. Chứng minh rằng b3 c3 d3 1 a3 + + + ≥ . b+c+d c+d+a d+a+b a+b+c 3. (2.28). Nhận xét 2.17. Ta có một số nhận xét trước khi giải như sau 1 • Từ giả thiết nếu cho a = b = c = d thì ta có a = b = c = d = . 2 1 a3 b3 c3 d3 thì mỗi hạng tử , , , 2 b+c+d c+d+a d+a+b a+b+c 1 đều bằng nhau và bằng . 12. • Khi a = b = c = d =. • Để khử được mũ 3 của a ta cần phải áp dụng Cô-si cho 3 số, số được chọn phải làm triệt tiêu được mẫu số của các phân số.. Sử dụng bất đẳng thức Cô-si để chứng minh bất đẳng thức.. Trang 18.

(20) Nguyễn Văn Dũng. Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013-2014. Chứng minh. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 3 số. b+c+d 1 a3 , , ta được b+c+d 18 12. a3 b+c+d 1 a + + ≥ . b+c+d 18 12 2 Hay a3 1 1 ≥ (9a − b − c − d) − . b+c+d 18 12. (2.28a). Hoàn toàn tương tự ta có 1 1 b3 ≥ (9b − c − d − a) − . c+d+a 18 12. (2.28b). c3 1 1 ≥ (9c − d − a − b) − . d+a+b 18 12. (2.28c). d3 1 1 ≥ (9d − a − b − c) − . a+b+c 18 12. (2.28d). Cộng vế với vế các bất đẳng thức (2.28a), (2.28b), (2.28c), (2.28d) ta được b3 c3 d3 1 1 a3 + + + ≥ (a + b + c + d) − . b+c+d c+d+a d+a+b a+b+c 3 3. (2.28e). Áp dụng bất đẳng thức Cô-si và sử dụng giả thiết ab + bc + cd + da = 1 ta có p a + b + c + d = (a + c)(b + d) ≥ 2 (a + c)(b + d) = 2. (2.28f) Từ (2.28e), (2.28f) ta suy ra điều phải chứng minh. 1 Dấu bằng trong bất đẳng thức (2.28) xẩy ra khi và chỉ khi a = b = c = d = . 2 Bài toán 2.22. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa điều kiện a + b + c = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = a2 + b 2 + c 3 . (2.29) Nhận xét 2.18. Ta có một số nhận xét trước khi giải như sau • Trước hết ta thấy rằng, bài toán này chỉ có a, b có vai trò đối xứng, nên dự đoán minP đạt được khi a = b. • Giả sử a = b = x > 0, c = y > 0 khi đó giả thiết trở thành 2x + y = 3. • Ta cũng có P = (a2 + x2 ) + (b2 + x2 ) + (c3 + y 3 + y 3 ) − 2(x2 + y 2 ) hay P ≥ [2x(a + b) + 3y 2 c] − 2(x2 + y 2 ) (theo Cô-si) • Để sử dụng được giả thiết a + b + c = 3 thì 2x = 3y 2 .. Sử dụng bất đẳng thức Cô-si để chứng minh bất đẳng thức.. Trang 19.

(21) Nguyễn Văn Dũng. Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013-2014. • Do đó x, y được xác định từ hệ phương trình √  19 − 37   x= 2x + y = 3 √ 12 ⇒ 2x = 3y 2   y = 37 − 1 6 √ √ 19 − 37 37 − 1 Chứng minh. Đặt x = , ⇒ 2x = 3y 2 12 6 Ta có P = (a2 + x2 ) + (b2 + x2 ) + (c3 + y 3 + y 3 ) − 2(x2 + y 2 ) ≥ [2x(a + b) + 3y 2 c] − 2(x2 + y 2 ) = 2x(a + b + c) − 2(x2 + y 2 ) √ 541 − 37 37 = 6x − 2(x2 + y 2 ) = 108 √ 541 − 37 37 Vậy minP = 108 √ √ 19 − 37 37 − 1 Đạt được khi a = b = x = ;c = y = . 12 6. (2.30). Bài toán 2.23. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện a + b2 + c3 =. 325 . 9. Chứng minh rằng a2 + b 3 + c 4 ≥. 2807 . 27. (2.31). Nhận xét 2.19. Ta có một số nhận xét trước khi giải như sau • Trước hết ta thấy rằng, bài toán này a, b, c không có vai trò đối xứng. • Giả sử dấu bằng đạt được khi a = x > 0, b = y > 0, c = z > 0 khi đó giả thiết 325 trở thành x + y 2 + z 3 = . 9 • Theo Cô-si ta có a2 + x2 ≥ 2ax ⇒ a2 ≥ 2ax − x2 3b2 y y 3 b + b + y ≥ 3b y ⇒ b = − 2 2 3 4c z z 4 c4 + c4 + c4 + z 4 ≥ 4c3 z ⇒ c4 ≥ − 3 3 3. 3. 3. 2. 3. 3 4 y3 z4 • Khi đó P = a2 + b3 + c4 ≥ (2xa + yb2 + zc3 ) − x2 − − 2 3 2 3 • Để sử dụng được giả thiết a + b2 + c3 =. 3y 4z 325 thì 2x = = . 9 2 3. Sử dụng bất đẳng thức Cô-si để chứng minh bất đẳng thức.. Trang 20.

(22) Nguyễn Văn Dũng. Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013-2014. • Do đó x, y, z được xác định từ hệ phương trình   325   2 3  x=2  a+b +c = 8 9 ⇒ y= 4z 3y   3   2x = = z=3 2 3 Chứng minh. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có a2 + 4 ≥ 4a ⇒ a2 ≥ 4a − 4.. (2.31a). 8 1 8 b3 + b3 + ( )3 ≥ 8b2 ⇒ b3 ≥ 4b2 − ( )3 3 2 3. (2.31b). c4 + c4 + c4 + 81 ≥ 12c3 ⇒ c4 ≥ 4c3 − 27. (2.31c). Từ (2.31a), (2.31b), (2.31c) ta suy ra 1 8 a2 + b3 + c4 ≥ 4(a + b+ c3 ) − 4 − ( )3 − 27. 2 3 Hay 2807 . (đpcm) 27 8 Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a = 2; b = , c = 3. 3 a2 + b 3 + c 4 ≥. Bài toán 2.24. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa điều kiện 4a + 3b + 4c = 22. Chứng minh rằng 2 3 25 1 + + ≥ . (2.32) a+b+c+ 3a b c 3 Nhận xét 2.20. Ta có một số nhận xét trước khi giải như sau • Trước hết ta thấy rằng, bài toán này a, b, c không có vai trò đối xứng. • Giả sử dấu bằng đạt được khi a = x > 0, b = y > 0, c = z > 0 khi đó giả thiết trở thành 4x + 3y + 4z = 22. • Theo Cô-si ta có r 1 2 2 a 1 a 1 1 + 2 ≥2 . 2 = ⇒ ≥ − 2a + 3a 3x 3z 3x 3x 3a 3x 3x s 2 2b 2 2b 4 2 2b 4 + 2 ≥2 . 2 = ⇒ ≥− 2 + b y b y y b y y r 3 3c 3 3c 6 3 3c 6 + 2 ≥2 . 2 = ⇒ ≥− 2 + c z c z z c z z. Sử dụng bất đẳng thức Cô-si để chứng minh bất đẳng thức.. Trang 21.

(23) Nguyễn Văn Dũng. Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013-2014. • Khi đó V T ≥ a + b + c + (− = (1 −. 1 2b 4 3c 6 2 a + ) + (− 2 + ) + (− 2 + ) 2 3x 3x y y z z. 4 6 1 2 3 2 + + )a + (1 − )b + (1 − )c + 3x2 y2 z2 3x y z 2 1 3 1− 2 1− 2 2 y 3x = z . = 4 3 4. 1− • Để sử dụng được giả thiết 4a + 3b + 4c = 22 thì • Do đó x, y, z được xác định từ hệ phương trình    4a + 3b + 4c = 22 2 1 3 1− 2 1− 2 1 −  y 3x = z2  = 4 3 4.   x=2 y=2 ⇒  z=3. Chứng minh. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có 1 a 2 1 1 2 + ≥ ⇒ ≥− a+ . 3a 3 3 3a 3 3. (2.32a). 2 b 2 b + ≥ 2 ⇒ ≥ − + 2. b 2 b 2. (2.32b). 3 c 3 c + ≥ 2 ⇒ ≥ − + 2. c 3 c 3. (2.32c). Từ (2.32a), (2.32b), (2.32c) ta có a+b+c+. 1 2 3 2 1 2 14 4a + 3b + 4c 14 25 + + ≥ a+ b+ c+ = + = (đpcm.) 3a b c 3 2 3 3 6 3 3. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a = 1, b = 2, c = 3.. 2.3. Kỹ thuật Cô-si ngược dấu. Đây là một kỹ thuật đặc biệt trong việc áp dụng bất đẳng thức Cô-si để chứng minh bất đẳng thức, chúng ta sẽ hình dung phương pháp qua một số bài toán sau đây Bài toán 2.25. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa điều kiện a + b + c = 3. Chứng minh rằng a b c 3 + + ≥ . (2.33) 2 2 2 1+b 1+c 1+a 2 Nhận xét 2.21. Ta có một số nhận xét sau trước khi giải • Ta không thể sử dụng trực tiếp bất đẳng thức Cô-si cho mẫu số được vì khi đó bất đẳng thức sẽ đổi chiều. • Do tính đối xứng của các biến a, b, c nên đẳng thức xẩy ra khi a = b = c = 1. Sử dụng bất đẳng thức Cô-si để chứng minh bất đẳng thức.. Trang 22.

(24) Nguyễn Văn Dũng. Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013-2014. • Sử dụng phân tích số. a ab2 = a − và đi đánh giá Cô-si cho mẫu số của phân 1 + b2 1 + b2. ab2 ta sẽ được bất đẳng thức cùng chiều... 1 + b2. Chứng minh. Ta viết lại vế trái của bất đẳng thức (2.33) như sau V T = (a + b + c) − (. ab2 bc2 ca2 + + ). 1 + b 2 1 + c 2 1 + a2. (2.33a). Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có ab2 ab ab2 = . ≤ 1 + b2 2b 2. (2.33b). bc2 bc bc2 = . ≤ 2 1+c 2c 2. (2.33c). ca2 ca ca2 ≤ = . 1 + a2 2a 2. (2.33d). Từ các bất đẳng thức (2.33b), (2.33c), (2.33d) ta suy ra ab2 bc2 ca2 ab + bc + a + + ≤ . 1 + b 2 1 + c 2 1 + a2 2 Khi đó V T = (a + b + c) − (. ab2 bc2 ca2 ab + bc + a 3 + + ) ≥ (a + b + c) − ≥ .(đpcm) 2 2 2 1+b 1+c 1+a 2 2. (Do (a + b + c)2 = (a2 + b2 + c2 ) + 2(ab + bc + ca) ≥ 3(ab + bc + ca) ⇒ ab + bc + ca ≤ 3.) Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1. Bài toán 2.26. Cho a, b, c, d là các số dương thỏa mãn điều kiện a + b + c + d = 1. Chứng minh rằng a b c d + + + ≥ 2. 2 2 2 1 + b c 1 + c d 1 + d a 1 + a2 b. (2.34). Nhận xét 2.22. Ta có một số nhận xét sau trước khi giải • Ta không thể áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho cả vế trái được vì khi đó không sử dụng được giả thiết của bài toán. • Ta không thể áp dụng bất đẳng thức Cô-si mẫu số của từng phân số được vì khi đó bất đẳng thức sẽ đổi chiều. a ab2 c = a − và sử dụng bất đẳng thức Cô-si cho 1 + b2 c 1 + b2 c mẫu số thì ta giữ được chiều của bất đẳng thức.. • Ta sử dụng phân tích. • Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a = b = c = d = 1. Sử dụng bất đẳng thức Cô-si để chứng minh bất đẳng thức.. Trang 23.

(25) Nguyễn Văn Dũng. Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013-2014. Chứng minh. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có √ a ab2 c ab2 c ab c =a− ≥a− √ =a− 1 + b2 c 1 + b2 c 2 2b c √ b(a + ac) b a.a.c ≥a− . ≥a− 2 4. (2.34a). Hoàn toàn tương tự ta có các bất đẳng thức sau b c(b + bd) ≥b− . 2 1+c d 4. (2.34b). c d(c + ca) ≥c− . 2 1+d a 4. (2.34c). d a(d + db) . ≥d− 2 1+d a 4. (2.34d). Cộng vế với vế các bất đẳng thức (2.34a), (2.34b), (2.34c), (2.34d), ta được a b c d 1 + + + ≥ (a + b + c + d) − (ab + bc + cd + da) 2 2 2 2 1+b c 1+c d 1+d a 1+a b 4 1 − (abc + bcd + cda + dab). 4 (2.34e) Từ bất đẳng thức Cô-si ta cũng dễ dàng suy ra các bất đẳng thức sau 1 ab + bc + cd + da ≤ (a + b + c + d)2 = 4. 4 abc + bcd + cda + dab ≤. (2.34f). 1 (a + b + c + d)3 = 4. 16. (2.34g). Từ các bất đẳng thức (2.34e), (2.34f), (2.34g) ta suy ra điều phải chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a = b = c = d = 1. Bài toán 2.27. Cho a, b, c là các số dương thỏa điều kiện a + b + c = 1. Chứng minh rằng a+1 b+1 c+1 + 2 + 2 ≥ 3. (2.35) 2 b +1 c +1 a +1 Chứng minh. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có a+1 (a + 1)b2 (a + 1)b2 ab + b = a + 1 − ≥ a + 1 − =a+1− . 2 2 b +1 b +1 2b 2. (2.35a). Tương tự ta có b+1 bc + c ≥b+1− . 2 c +1 2 Sử dụng bất đẳng thức Cô-si để chứng minh bất đẳng thức.. (2.35b) Trang 24.

(26) Nguyễn Văn Dũng. Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013-2014. c+1 ca + a ≥c+1− . 2 a +1 2. (2.35c). Cộng vế với vế các bất đẳng thức (2.35a), (2.35b), (2.35c) ta được a+1 b+1 c+1 a + b + c ab + bc + ca + 2 + 2 ≥3+ − . 2 b +1 c +1 a +1 2 2. (2.35d). Mặt khác ta có (a + b + c)2 = (a2 + b2 + c2 ) + 2(ab + bc + ca) ≥ 3(ab + bc + ca) ⇒ ab + bc + ca ≤ 3. (2.35e) Từ 2 bất đẳng thức (2.35d), (2.35e) ta có bất đẳng thức cần chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.. 2.4. Bài tập tự luyện. Hãy sử dụng bất đẳng thức Cô-si để chứng minh các bất đẳng thức dưới đây. Bài tập 2.1. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng 1 1 1 (a + )(b + )(c + ) ≥ 8. b c a Bài tập 2.2. Cho a, b, c, d là các số thực không âm. Chứng minh rằng b c a a + + + ≥ 2. b+c c+d d+a a+b Bài tập 2.3. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa điều kiện abc = 1. Chứng minh rằng b3 c3 3 a3 + + ≥ . (b + 1)(c + 1) (c + 1)(a + 1) (a + 1)(b + 1) 4 Bài tập 2.4. Cho a, b, c, d là các số thực dương. Chứng minh rằng 1 1 1 27 + + ≥ . a(a + b) b(b + c) c(c + a) 2(a + b + c)2 Bài tập 2.5. Cho a, b, c, d là các số thực dương. Chứng minh rằng a3 b3 c3 d3 a+b+c+d + + + ≥ . 2 2 2 2 2 2 2 2 a +b b +c c +d d +a 2 Bài tập 2.6. Cho a, b, c, d là các số thực dương thỏa điều kiện a + b + c + d = 4. Chứng minh rằng 1 1 1 1 + + + ≥ 2. a2 + 1 b2 + 1 c2 + 12 d2 + 1. Sử dụng bất đẳng thức Cô-si để chứng minh bất đẳng thức.. Trang 25.

(27) Nguyễn Văn Dũng. Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013-2014. Bài tập 2.7. (Đề thi vào 10 THPT chuyên KHTN 2000) Cho x, y > 0 thỏa điều kiện x + y = 1. Chứng minh rằng (x2 +. 1 1 289 . )(y 2 + 2 ) ≥ 2 y x 16. Bài tập 2.8. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác ABC. Chứng minh rằng a2 b2 c2 + + ≥ a + b + c. b+c−a c+a−b a+b−c Bài tập 2.9. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác ABC. Chứng minh rằng b c a + + ≥ 3. b+c−a c+a−b a+b−c Bài tập 2.10. Cho x, y, z > 0, Chứng minh rằng (x + y)2 (y + z)2 (z + x)2 + + ≥ 4(x + y + z). z x y Bài tập 2.11. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng √ √ √ a2 + 1 + b2 + 1 + c2 + 1 ≤ 2(a + b + c). Bài tập 2.12. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng a3 b 3 c 3 + + ≥ ab + bc + ca. b c a Bài tập 2.13. Cho x, y > 0 và thỏa điều kiện xy = 1. Chứng minh rằng x4. x y + 4 ≤ 1. 2 +y y + x2. Bài tập 2.14. Cho x, y, z > 0. Chứng minh rằng x6. 2y 2z 1 1 1 2x + 6 + 6 ≤ 4 + 4 + 4. 4 4 4 +y y +z z +x x y z. Bài tập 2.15. Cho x, y là hai số thực khác không. Chứng minh rằng 4x2 y 2 x2 y 2 + + ≥ 3. (x2 + y 2 )2 y 2 x2 Bài tập 2.16. Cho a, b, c > 0 thỏa điều kiện a2 + b2 + c2 = 3. Chứng minh rằng a b c √ + √ + √ ≥ a + b + c. c a b Bài tập 2.17. Cho x, y, z > 0. Chứng minh rằng √ √ √ y+z z+x x+y 4(x + y + z) + + ≥p . x y z (y + z)(z + x)(x + y) Sử dụng bất đẳng thức Cô-si để chứng minh bất đẳng thức.. Trang 26.

(28) Nguyễn Văn Dũng. Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013-2014. Bài tập 2.18. (Cao đẳng khối D-2010.) Cho x, y > 0 và thỏa điều kiện 3x + y ≤ 1. Chứng minh rằng 1 1 + √ ≥ 8. x xy Bài tập 2.19. (Đại học khối A-2007.) Cho x, y, z là các số thực dương thỏa điều kiện xyz = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x2 (y + z) y 2 (z + x) z 2 (x + y) √ + √ √ + √ P = √ √ . y y + 2z z z z + 2x x x x + 2y y Bài tập 2.20. (Đại học khối B-2007.) Cho x, y, z là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 y 1 z 1 x P = x( + ) + y( + ) + z( + ). 2 yz 2 zx 2 xy Bài tập 2.21. (Đại học khối B-2005.) Chứng minh rằng với mọi x thuộc R, ta có: (. 12 x 15 20 ) + ( )x + ( )x ≥ 3x + 4x + 5x . 5 4 3. Bài tập 2.22. Cho x, y, z > 0 và thỏa điều kiện x + y + z ≤ 1. Chứng minh rằng r r r √ 1 1 1 x2 + 2 + y 2 + 2 + z 2 + 2 ≥ 82. x y z Bài tập 2.23. Cho x, y, z > 0 và thỏa điều kiện xyz = 1. Chứng minh rằng x4 y y4z z4x 3 + + ≥ . 2 2 2 x +1 y +1 z +1 2 Bài tập 2.24. Cho x, y, z > 0 và thỏa điều kiện xyz = 1. Chứng minh rằng x+y+z ≥. 1+x 1+y 1+z + + . 1+y 1+z 1+x. Bài tập 2.25. Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh rằng a−d d−b b−c c−a + + + ≥ 0. b+d c+b c+a d+a Bài tập 2.26. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa điều kiện abc = 1. Chứng minh rằng 1 1 1 3 + 2 + 2 ≥ . 2 a (b + c) b (c + a) c (a + b) 2 Bài tập 2.27. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng 1 4 9 36 + + ≥ . a b c a+b+c Sử dụng bất đẳng thức Cô-si để chứng minh bất đẳng thức.. Trang 27.

(29) Nguyễn Văn Dũng. Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013-2014. Bài tập 2.28. Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh rằng 1 1 4 16 64 + + + ≥ . a b c d a+b+c+d Bài tập 2.29. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng 4 5 3 3 2 1 + + ≥ 4( + + ). a b c a+b b+c c+a Bài tập 2.30. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng a + 3c c + 3a 4b + + ≥ 6. a+b b+c c+a Bài tập 2.31. Cho a, b, c là độ dài bai cạnh của một tam giác có chu vi là p. Chứng minh rằng 1 1 1 1 1 1 + + ≥ 2( + + ). p−a p−b p−c a b c Bài tập 2.32. Cho a, b, c > 0 thỏa điều kiện ab + bc + ca = 3. Chứng minh rằng 2a2. a b c + 2 + 2 ≥ abc. + bc 2b + ca 2c + ab. Bài tập 2.33. Cho a, b, c > 0 và thỏa điều kiện a4 + b4 + c4 = 48. Chứng minh rằng ab2 + bc2 + ca2 ≤ 24. Bài tập 2.34. Cho a, b, c > 0 và thỏa điều kiện a + b + c = 3. Chứng minh rằng a6 b6 c6 + + ≥ 3. b 2 c 2 c 2 a2 a2 b 2 Bài tập 2.35. Cho a, b, c > 0 và thỏa điều kiện a + b + c = 3. Chứng minh rằng √ √ √ √ 3 3 3 3 a9 + 2 + b9 + 2 + c9 + 2 ≥ 3 3. 1 4 9 Bài tập 2.36. Cho a, b, c > 0 và thỏa điều kiện + + = 1. Chứng minh rằng a b c a + b + c ≥ 36. Bài tập 2.37. Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng 4a 9b 16c + + ≥ 26. b+c−a c+a−b a+b−c Bài tập 2.38. Cho a, b, c > 0 và thỏa điều kiện a2 + b2 + c2 = 1. Chứng minh rằng √ 1 1 1 ( + + ) − (a + b + c) ≥ 2 3. a b c Bài tập 2.39. Cho a, b, c > 0 và thỏa điều kiện a2 + b2 + c2 = 1. Chứng minh rằng √ a b c 3 3 + + ≥ . b 2 + c 2 c 2 + a2 a2 + b 2 2 Bài tập 2.40. Cho a, b, c, d > 0 và thỏa điều kiện a3 + b3 + c3 + d3 = 1. Chứng minh rằng √ a2 b2 c2 d2 434 + + + ≥ . b 3 + c 3 + d 3 c 3 + d 3 + a3 d 3 + a3 + b 3 a3 + b 3 + c 3 3 ——————————— Sử dụng bất đẳng thức Cô-si để chứng minh bất đẳng thức.. Trang 28.

(30) Nguyễn Văn Dũng. Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013-2014. PHẦN THỨ BA: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 1. Mục đích thực nghiệm Mục đích thực nghiệm là để kiểm chứng tính hiệu quả của phương pháp “Sử dụng bất đẳng thức Cô-si trong chứng minh bất đẳng thức”. 2. Đối tượng thực nghiệm Chọn lớp thực nghiệm: Chọn 20 em học sinh lớp 10A1 (nhóm thực nghiệm) và 20 em học sinh lớp 10A2 (nhóm đối chứng) năm học 2013 - 2014 của trường THPT Hai Bà Trưng – Thạch Thất. Chọn học sinh ở hai nhóm này có lực học toán khá và tương đương nhau. 3. Nội dung thực nghiệm Dạy thực nghiệm bao gồm các nội dung: Sử dụng bất đẳng thức Cô-si để chứng minh bất đẳng thức. Đề kiểm tra thực nghiệm Bài 1. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng 1 1 1 (a + )(b + )(c + ) ≥ 8. b c a Bài 2. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác ABC. Chứng minh rằng a2 b2 c2 + + ≥ a + b + c. b+c−a c+a−b a+b−c 4. Kết quả thực nghiệm Điểm Lớp 10A1 Lớp 10A2. 0 0 0. 1 0 0. 2 0 0. 3 0 0. 4 0 2. 5 4 8. 6 1 4. 7 2 4. 8 4 2. 9 5 0. 10 4 0. Số bài 20 20. Điểm TB 7,85 5,75. Dựa trên kết quả thực nghiệm thấy rằng kết quả của nhóm thực nghiệm cao hơn lớp đối chứng. Số học sinh đạt điểm cao ở nhóm thực nghiệm cũng vượt trội so với nhóm đối chứng. ——————————–. Sử dụng bất đẳng thức Cô-si để chứng minh bất đẳng thức.. Trang 29.

(31) Nguyễn Văn Dũng. Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013-2014. PHẦN THỨ TƯ: KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT Đề tài này ra đời là kết quả của quá trình nghiên cứu, tìm tòi và sáng tạo về bất đẳng thức. Đó còn là sự động viên, góp ý của các bạn đồng nghiệp trong tổ Toán-Tin, Trường THPT Hai Bà Trưng-Thạch Thất. Hy vọng rằng đề tài này sẽ giúp các em học sinh cùng các bạn đồng nghiệp có được một cái nhìn toàn diện về việc vận dụng bất đẳng thức Cô-si để chứng minh bất đẳng thức, với mỗi dạng toán tôi đã đưa ra phương pháp giải cụ thể và sau mỗi phần đều có những bài tập tự luyện giúp bạn đọc có thể tự rèn luyện kỹ năng giải các dạng toán tương đương. Mặc dù đã có sự đầu tư cả về thời gian và công sức của bản thân trong đề tài, xong do trình độ chuyên môn còn hạn chế, kinh nghiệm chưa nhiều nên phần thiếu sót là không thể tránh khỏi. Tôi rất mong nhận được sự góp ý và chỉ bảo chân thành từ các bạn đọc nói chung và các bạn đồng nghiệp nói riêng. Để nâng cao chất lượng dạy và học môn Toán nói chung và bộ môn Đại số nói riêng nhất là với học sinh trường THPT Hai Bà Trưng-Thạch Thất, tôi xin mạnh dạn đưa ra một số ý kiến đề xuất như sau: • Đối với nhà trường: Tổ chức các buổi hội thảo chuyên đề về nội dung, phương pháp mới để phục vụ cho công tác giảng dạy của từng bộ môn, tổ chức các buổi ngoại khoá về các phương pháp học tập mới, phương pháp tự học từ đó giúp các em học sinh chủ động, sáng tạo hơn trong học tập. • Đối với giáo viên: Cần thường xuyên nghiên cứu và tham gia các lớp bồi dưỡng về chuyên môn, nghiệp vụ cũng như tích cực học hỏi từ các bạn đồng nghiệp để có những phương pháp mới phù hợp hơn với từng đối tượng học sinh. Tích cực tìm hiểu mức độ tiếp thu của từng đối tượng học sinh, từ đó có những điều chỉnh phù hợp trong công tác giảng dạy. • Đối với học sinh: Cần tích cực học tập, không ngại khó và luôn phải phấn đấu hơn nữa. Ngoài giờ học trên lớp các em có thể tổ chức các buổi học nhóm. Cần phải tìm hiểu các phương pháp tự học, từ đó nhất thiết phải hình thành thói quen tự học, rèn tính chủ động trong học tập. Cần phải tích cực làm và tham khảo các dạng bài tập khác nhau, tìm tòi các hướng giải khác nhau với từng bài tập cụ thể. XÁC NHẬN. Hà nội, ngày 26 tháng 5 năm 2014. CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ. Tôi xin cam đoan đây là sáng kiến kinh nghiệm của mình viết, không sao chép nội dung của người khác.. Nguyễn Văn Dũng. Sử dụng bất đẳng thức Cô-si để chứng minh bất đẳng thức.. Trang 30.

(32) Tài liệu tham khảo [1] Ban tổ chức kỳ thi (2012), Tổng tập Đề thi Olympic 30 tháng 4 - Toán học 10, NXB Đại học Sư phạm. [2] Ban tổ chức kỳ thi (2012), Tổng tập Đề thi Olympic 30 tháng 4 - Toán học 11, NXB Đại học Sư phạm. [3] Nguyễn Vũ Lương, Phạm Kim Hùng, Nguyễn Ngọc Thắng (2006), Các bài giảng về bất đẳng thức Cô-si, NXB Đại học quốc gia Hà nội. [4] Nguyễn Văn Mậu (2006),Bất đẳng thức - Định lý và áp dụng, NXB Giáo Dục. [5] Đoàn Quỳnh, Doãn Minh Cường, Trần Nam Dũng, Đặng Hùng Thắng (2012), Tài liệu chuyên toán Đại số 10, NXB Giáo Dục Việt Nam. [6] Đoàn Quỳnh, Doãn Minh Cường, Trần Nam Dũng, Đặng Hùng Thắng (2012), Tài liệu chuyên toán Bài tập Đại số 10, NXB Giáo Dục Việt Nam. [7] Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Doãn Minh Cường, Đỗ Mạnh Hùng, Nguyễn Tiến Tài (2006), Đại số 10, NXB Giáo Dục. [8] Phạm Kim Hùng (2006), Sáng tạo bất đẳng thức, NXB Tri thức. [9] Vũ Tuấn, Doãn Minh Cường, Trần Văn Hạo, Đỗ Mạnh Hùng, Phạm Phu, Nguyễn Tiến Tài (2006), Bài tập Đại số 10, NXB Giáo Dục. [10] Tạp chí toán học tuổi trẻ, NXB Giáo Dục Việt Nam.. 31.

(33) Nguyễn Văn Dũng. Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013-2014. Ý KIẾN NHẬN XÉT ĐÁNH GIÁ VÀ XẾP LOẠI CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC CƠ SỞ .................................................................................................................................. ....................................................................................................................................... ....................................................................................................................................... ....................................................................................................................................... ....................................................................................................................................... ....................................................................................................................................... ....................................................................................................................................... ....................................................................................................................................... ....................................................................................................................................... ....................................................................................................................................... ....................................................................................................................................... ....................................................................................................................................... ....................................................................................................................................... ....................................................................................................................................... ....................................................................................................................................... ....................................................................................................................................... ........................,Ngày.......tháng.......năm............. CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG. Sử dụng bất đẳng thức Cô-si để chứng minh bất đẳng thức.. Trang 32.

(34) Nguyễn Văn Dũng. Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2013-2014. Ý KIẾN NHẬN XÉT ĐÁNH GIÁ VÀ XẾP LOẠI CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC CẤP TRÊN .................................................................................................................................. ....................................................................................................................................... ....................................................................................................................................... ....................................................................................................................................... ....................................................................................................................................... ....................................................................................................................................... ....................................................................................................................................... ....................................................................................................................................... ....................................................................................................................................... ....................................................................................................................................... ....................................................................................................................................... ....................................................................................................................................... ....................................................................................................................................... ....................................................................................................................................... ....................................................................................................................................... ....................................................................................................................................... ........................,Ngày.......tháng.......năm............ CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG. Sử dụng bất đẳng thức Cô-si để chứng minh bất đẳng thức.. Trang 33.

(35)

SKKN 2014 Nguyen Van Dung

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về