Cac dang PT bac cao

<span class='text_page_counter'>(1)</span>I. Nh÷ng kiÕn thøc c¬ b¶n trong gi¶i ph¬ng tr×nh:. 1 - Các định nghĩa: 1.1 §Þnh nghÜa ph¬ng tr×nh: Gi¶ sö A(x) = B(x) lµ hai biÓu thøc chøa biÕn x. Khi nãi A(x) = B(x) lµ mét ph ¬ng trình, ta hiểu rằng phải tìm giá trị của x để các giá trị tơng ứng của hai biểu thức này bằng nhau. Biến x đợc gọi là ẩn. Giá trị tìm đợc gọi là nghiệm. ViÖc t×m nghiÖm gäi lµ gi¶i ph¬ng tr×nh. Mỗi biểu thức đợc gọi là một vế của phơng trình. 1.2 §Þnh nghÜa ph¬ng tr×nh bËc nhÊt mét Èn sè: Phơng trình có dạng ax + b = 0, với a, b là những hằng số; a # 0 đợc gọi là phơng trình bËc nhÊt mét Èn sè, b gäi lµ h¹ng tö tù do. 1.3 Tập xác định của phơng trình: Lµ tËp hîp c¸c gi¸ trÞ cña Èn lµm cho mäi biÓu thøc trong ph¬ng tr×nh cã nghi·. 1.4 Định nghĩa hai phơng trình tơng đơng: Hai phơng trình đợc gọi là tơng đơng nếu chúng có cùng tập hợp nghiệm. 1.5 Các phép biến đổi tơng đơng: Khi giải phơng trình ta phải biến đổi phơng trình đã cho thành phơng trình tơng đơng với nó (nhng đơn giản hơn). Phép biến đổi nh vậy gọi là phép biến đổi tơng đơng. 1.6 §Þnh nghÜa ph¬ng tr×nh bËc hai mét Èn: Phơng trình bậc hai một ẩn số là phơng trình có dạng ax2 + bx + c = 0 ; trong đó x là ẩn số a,b,c là các hệ số đã cho; a # 0. 1.7 §Þnh nghÜa ph¬ng tr×nh bËc cao: Ta gọi phơng trình đại số bậc n trên trờng số thực là các dạng phơng trình đa về dạng: anxn + an-1xn-1 + ... + a1 + a0 = 0 Trong đó n là số nguyên dơng; x là ẩn số; a1, a2 ,...an là các số thực xác định (an # 0). 2 - Các định lý biến đổi tơng đơng của phơng trình: a) §Þnh lý 1: Nếu cộng cùng một đa thức của ẩn vào hai vế của cùng một phơng trình thì ta đợc một phơng trình mới tơng đơng với phơng trình đã cho. VÝ dô: 2x = 7 <=> 2x + 5x = 7 + 5x *Chó ý: NÕu céng cïng mét biÓu thøc chøa Èn ë mÉu vµo hai vÕ cña mét ph¬ng tr×nh th× ph¬ng trình mới có thể không tơng đơng với phơng trình đã cho. VÝ dô: x - 2 = 0 (1) Không tơng đơng với phơng trình x − 2+. 1 1 = x − 2 x −2. (2). V× x = 2 lµ nghiÖm cña (1) nhng kh«ng lµ nghiÖm cña (2) * HÖ qu¶ 1:.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Nếu chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia của cùng một phơng trình thì ta đợc một phơng trình mới tơng đơng với phơng trình đã cho. VÝ dô: 8x-7=2x+3 <=> 8x-2x = 7+3 * HÖ qu¶ 2: Nếu xoá hai hạng tử giống nhau ở hai vế của một phơng trình thì ta đợc một phơng trình mới tơng đơng với phơng trình đã cho. VÝ dô: -9 - 7x = 5(x+3)-7x <=> -9 = 5(x+3) * Chó ý: Nếu nhân hai vế của một phơng trình với một đa thức của ẩn thì đợc phơng trình mới có thể không tơng với phơng trình đã cho. III. Mét sè c¸ch gi¶i ph¬ng tr×nh bËc cao. A - Ph¬ng híng ë phæ th«ng kh«ng häc phÐp gi¶i tæng qu¸t cho ph¬ng tr×nh bËc ba, bËc 4 cßn ph¬ng trình bậc 5 không có phép giải tổng quát. Tuy nhiên trong một số trờng hợp đặc biệt có thể đa phơng trình cần giải về phơng trình bậc một, bậc hai. Ta phải dựa vào đặc thù của phơng trình cần giải để có phơng pháp thích hợp. Gi¶i vµ gi¶ng d¹y c¸c bµi to¸n vÒ gi¶i ph¬ng tr×nh bËc cao quy vÒ bËc nhÊt mét Èn sè hoÆc bËc hai n»m trong qu¸ tr×nh gi¶i ph¬ng tr×nh bËc nhÊt, bËc hai. Nãi chung lµ bao gåm nhiều dạng và phong phú đợc các nhà toán học và s phạm quan tâm và đề cập tới nhều trong tài liệu, tập san toán học....Căn cứ vào mục đích ý nghĩa kết quả điều tra và thực tế giảng dạy chơng phơng trình. Trong quá trình giảng dạy bản thân tôi đã nghiên cứu áp dụng lý luận trong quá trình dạy học, các phơng pháp đặc trng bộ môn, áp dụng các kiến thức đã học để đa các phơng trình bậc cao về phơng trình bậc nhất, bậc hai bằng nhiều cách. B - C¸c bµi to¸n vµ ph¬ng ph¸p gi¶i: 1 - Ph¬ng ph¸p ®a vÒ ph¬ng tr×nh tÝch:. 1.1 ¸p dông ph¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö. §Ó gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh d¹ng nµy tríc hÕt ta ph¶i n¾m v÷ng ph¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö b»ng mäi c¸ch ®a ph¬ng tr×nh ®a cho vÒ ph¬ng tr×nh d¹ng tÝch.. f(x). g(x)...h(x)=0. <=>. f ( x) = 0 ¿ g (x)=0 ¿ .. . =0 ¿ h( x)= 0 ¿ ¿ ¿ ¿. V× mét tÝch b»ng 0 khi vµ chØ khi Ýt nhÊt mét phÇn tö b»ng 0. NghiÖm cña ph¬ng tr×nh d· cho chÝnh lµ tËp hîp nghiÖm cña c¸c ph¬ng tr×nh. f(x) = 0; g(x) = 0; ... ;h(x) = 0 * Bµi to¸n: Gi¶i ph¬ng tr×nh: (x-1)3+x3+(x+1)3=(x+2)3 (1) Gi¶i (x-1)3+x3+(x+1)3=(x+2)3 <=> x3 - 3x2 + 3x - 1 + x3 + x3 + 3x2 + 3x + 1 = x3 + 6x2 + 12x + 8.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> <=> x3 - 3x2 - 3x - 4 = 0 <=> x3 - 1 - 3x2 - 3x - 3 = 0 <=> (x-1)(x2 + x + 1) - 3 (x2 + x + 1) = 0 <=> (x2 + x + 1)(x-4) = 0 (2) Víi häc sinh líp 8 ta lµm nh sau: Do x2 + x + 1 # 0 nªn ph¬ng tr×nh cã mét nghiÖm x-4 =0 <=> x=4 Víi häc sinh líp 9: 2. x + x + 1=0 (∗) ¿ x-4 =0 (**) (2) <=> ¿ ¿ ¿ ¿ Gi¶i ph¬ng tr×nh (*) Δ=1− 4=− 3<0 nªn (* )v« nghiÖm. Gi¶i (**): x =4 Vậy phơng trình đã cho có 1 nghiệm là x = 4 * Lợc đồ hoócne: NÕu f(x) cã nghiÖm x = x0 th× f(x) chøa nh©n tö (x-x0) tøc lµ: f(x) = (x-x0). g(x) Trong đó: f(x) = anxn + an-1xn-1 +... + a1x+a0 = 0 g(x) = bnxn + bn-2xn-2+... + b1x+b0 = 0 Víi : bn-1= an bn-2= x0bn-1+ an-1 ........................... bi-1 = x0b1+ ai b0 = x0b1+ a1 Ta có bảng sau: (lợc đồ hoócne).. xi. an. x = x0. bn-1= an. an-1 x0bn-1 bn-2. .............. .............. ............... a1 x0b1 b0. a0 x0b1 0. ViÖc nhÈm nghiÖm c¸c ph¬ng tr×nh dùa trªn c¸c c¬ së sau: 1.2.1. NÕu ®a thøc cã tæng c¸c hÖ sè b»ng 0 th× 1 lµ nghiÖm cña ®a thøc, ®a thøc chøa thõa sè x-1. 1.2.2. NÕu ®a thøc cã tæng c¸c hÖ sè cña mét sè h¹ng bËc ch½n b»ng tæng c¸c hÖ sè cña sè h¹ng bËc lÎ th× -1 lµ nghiÖm cña ®a thøc, ®a thøc chøa thõa sè (x+1). 1.2.3. Mọi nghiệm nguyên của đa thức đều là ớc của hệ số tự do là a0. 1.2.4. Mäi nghiÖm h÷u tû cña ®a thøc víi hÖ sè nguyªn: xn + an-1xn-1 + .... + a1x+a0 = 0 đều là số nguyên * Bµi to¸n 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh: x4 + x3 -x - 1 = 0 (2) NhËn thÊy: a4 + a3 + a2 + a1 + a0 = 1 +1 + 0 +(-1) + (-1) = 0 vµ a4 + a2 + a0 = 1 +0 + (-1) = a3 + a1 = 1+ (-1).

<span class='text_page_counter'>(4)</span> ¸p dông môc 1.2.1 vµ môc 1.2.2 ta cã hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (2) lµ: x1 = 1 vµ x2 = -1 ¸p dông lîc då hoãcne ta cã: xi a4 = 1 a3 = 1 a2 = 0 a1 = -1 a0 = -1 x=1 1 2 2 1 0 x = -1 1 1 1 0 Ph¬ng tr×nh (2) cã d¹ng ph©n tÝch nh sau: (x - 1) (x + 1)( x2 + x + 1) = 0 Ta dÔ dµng nhËn thÊy ph¬ng tr×nh (2) cã hai nghiÖm : x1 = 1vµ x2 = -1 *Bµi to¸n 3 Gi¶i ph¬ng tr×nh: x3 - 5x2 + 8x - 16 = 0 (3) ë bµi to¸n nµy ta kh«ng thÓ ¸p dông viÖc nhÈm nghiÖm theo nh©n xÐt ë 1.2.1 vµ 1.2.2 . ¸p dông nhËn xÐt môc 1.2.3 vµ 1.2.4 ta cã: U(4) ( ±1 ; ± 2; ± 3 ; ± 4 ; ± 8 ; ±16 ) KiÓm tra thÊy x = 4 lµ 1 nghiÖm áp dụng lợc đồ hoócne ta đa phơng trình (3) về dạng (x - 4) (x2 - x + 4) = 0. <=>. x − 4=0(∗) ¿ x 2 − x + 4=0(**) ¿ ¿ ¿ ¿. (*) <=> x - 4 = 0 <=> x = 4 (**) <=> x2 - x + 4 = 0 Δ=1− 4 . 4=1−16=− 15<0 =>(**) v« nghiÖm. VËy nghiÖm cña PT(3) lµ x = 4 Bµi to¸n 4: Gi¶i ph¬ng tr×nh : 2x3 - 5x2 + 8x - 3 = 0 Việc áp dụng nhận xét các mục 1.2.1, 1.2.2, 1.2.3 không thể giải quyết đợc vấn đề (vì ở phơng trình này không có nghiệm nguyên). Ta nghĩ đến cơ hội cuối cùng nếu phơng trình cã nghÖm lµ h÷u tû vµ ¸p dông nhËn xÐt o môc 1.2.4. (4) <=> 8x3 - 20x2 + 32x - 12 = 0 <=> (2x)3 - 5(2x)2 + 16(2x) - 12 = 0 §Æt y = 2x ta cã: 3 2 y - 5y + 16y - 12 = 0 NhËn thÊy a3 + a2 + a1 + a0 = 1+(-5) + 16 +(-12) = 0 ¸p dông môc 1.2.1 ta cã y = 1 áp dụng lợc đồ hoócne (4’) về dạng (y - 1)(y2 - 4y + 12) = 0.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> <=>. y − 1=0(∗) ¿ y 2 − 4 y +12=0(**) ¿ ¿ ¿ ¿. (*) <=> y -1 = 0 <=> y = 1 => x = 1/2 (**) y2 - 4y + 12 = 0 v« nghiÖm v× (y -2)2 + 8 > 0 víi  y VËy ph¬ng tr×nh (4) cã nghiÖm lµ x = 1/2 1.2.5. ViÖc nhÈm nghiÖm nh ë trªn sÏ gÆp rÊt nhiÒu khã kh¨n nÕu sè h¹ng tù do lµ a 0 lớn và có nhiều ớc số. Trong trờng hợp này ta sẽ áp dụng nhận xét sau để đi loại trừ bớt các ớc không là nghiệm của phơng trình một cách nhanh chóng. - NÕu x0 lµ nghiÖm nguyªn cña ®a thøc f(x) vµ f(1) # 0; f(-1) # 0 th× f (1) f (− 1) vµ x 0 −1 x 0 +1. đều là các giá trị nguyên.. Bµi to¸n 5: Gi¶i ph¬ng tr×nh: 4x3 - 13x2 + 9x - 18 = 0 (0) Gi¶i: U(18) ( ±1 ; ± 2; ± 3 ; ± 6 ; ±9 ; ± 18 ) HiÓn nhiªn -1,1 kh«ng lµ nghiÖm cña (5) => f(1) # 0, f(-1) # 0 Ta thÊy. f (1) −18 = =−9 ∈ Z 3−1 2. f (1) − 44 = =−11 ∈ Z 3+1 4. => Ph¬ng tr×nh (5) cã kh¼ n¨ng cã nghiÖm lµ x1 = 3 áp dụng lợc đồ Hoócne ta đa phơng trình (5) về dạng sau: (x - 3)(4x2 -x + 6) = 0 <=> x - 3 = 0 (*) 2 4x -x + 6 = 0(**) (*) <=> x = 3 (**) <=> 4x2 - x + 6 = 0  = (-1)2 - 4.4.6 <0  (**) v« nghiÖm Nªn ph¬ng tr×nh (5) cã mét nghiÖm lµ: x = 3 Chó ý: - ViÖc nhÈm nghiÖm ph¬ng tr×nh cã thÓ nhÈm miÖng råi dïng thuËt chia ®a thøc cho đa thức để hạ bậc rồi đa phơng trình về dạng tích. - Có thể dùng lợc đồ Hoócne để xác định ớc số nào của a0 là nghiệm, ớc số nào không lµ nghiÖm vµ ®a ra ngay d¹ng ph©n tÝch. VD xÐt ph¬ng tr×nh: x3 - 5x2 - 8x - 4 = 0 (*) U(4) ( ±1 ; ± 2; ± 4 ) áp dụng lợc đồ Hoócne ta có X0 a3 = 1 a2 = -5 a1 = 8 a0 = -4 x=1 1 -4 4 0 x = -1 1 -6 14 -18 x=2 1 -3 2 0.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> x = -2 1 -7 22 -48 x=4 1 -1 4 12 x = -4 1 -9 44 172 Nhận thấy x =1 và x = 2 là nghiệm của phơng trình (*) lúc đó (*) viết dới dạng phơng tr×nh tÝch nh sau: (x - 1) (x - 2) (x - 2) = 0 2. Phơng pháp đặt ẩn phụ. - Phơng trình này thờng đợc sử dụng với các dạng phơng trình * D¹ng 1: Ph¬ng tr×nh cã d¹ng ax4 + bx2 + c = 0 (a ≠ 0) gäi lµ ph¬ng tr×nh trïng ph¬ng. - Các giải: Đặt ẩn phụ y = x2 (y ≥ 0) đa về phơng trình bậc hai đối với y nh sau: ay2 + by + c = 0 * Bµi to¸n 7: Gi¶i ph¬ng tr×nh x4 - 5x2 + 4 = 0 (1) Gi¶i: §Æt y = x2 (y ≥ 0) y −1=0 ¿ y − 4=0 ¿ y=1 ¿ y=4 ¿ x 2=1 ⇔ x1 =1; x 2=− 1 x 2=4 ⇔ x 3=2 , x 4=− 2 (1) ¿ ⇔¿ ¿ ¿ ⇔ y 2 −5 y +4=0 ¿ ⇔( y − 1)( y − 4)=0 ¿ ⇔. Vậy phơng trình đã cho có 4 nghiệm: x = 1; x = -1; x = 2; x = -2 * D¹ng 2: Ph¬ng tr×nh cã d¹ng (x + a) (x + b) (x + c) (x + d) = m Víi a + b = c + d hoÆc a + c = b + d hoÆc a + d = b + c. * Bµi to¸n 8: Gi¶i ph¬ng tr×nh (x-1) (x+1) (x+3) (x+5) = 9 (1) Gi¶i:.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> ⇔. (1). (x-1) (x+1) (x+3) (x+5) = 9 ⇔ (x2 + 4x - 5) (x2 + 4x + 3) = 9 §Æt y = x2 + 4x - 5 Ta đợc phơng trình: y (y+8) = 9 y −1=0 ¿ y+ 9=0 ¿ y=1 ¿ y=−9 ¿ x 2+ 4 x − 5=1 ⇔ x 2 +4 x −6=0 ⇔ x 1,2=− 2 ± √ 10 x2 + 4 x − 5=− 9 ⇔ x 2+ 4 x +4=0 ⇔ x3,4 =− 2 ¿ ⇔¿ ¿ ¿ y ( y +8)= 9 2 ¿ ⇔ y +8 y − 9=0 ¿ ⇔ ( y −1)( y+ 9)=0 ⇔. VËy ph¬ng tr×nh (1) cã 3 nghiÖm: x 1=− 2+ √10 x 2=−2 − √ 10 x3 =−2. D¹ng 3: Ph¬ng tr×nh d¹ng (x + a)4 + (x + b)4 = c + Cách giải: Ta đa phơng trình trên về dạng phơng trình trùng phơng bằng cách đặt y = x+ (a+b)/2 * Bµi to¸n 9: Gi¶i ph¬ng tr×nh (x+1)4 + (x+3) = 16 Gi¶i: Đặt y = x + 2 ta đợc phơng trình (y-1)4 + (y+1)4 = 16  2y4 + 12y2 + 2 = 16  y4 + 6y2 - 7 = 0 (ph¬ng tr×nh trïng ph¬ng) Đặt m = y2 (m ≥ 0) ta đợc phơng trình m2 + 6m - 7 = 0 (8) Dïng ph¬ng ph¸p nhÈm nghiÖm (a+b+c = 0) (*)  m1 = 1 (tho¶ m·n); m2 = -7 (lo¹i) y 2=1 ⇒ y 1=1 ; y 2=−1 x+ 2=1 ⇒ x=−1 x +2=−1 ⇒ x=−3. VËy ph¬ng tr×nh (1) cã 2 nghiÖm lµ: x = -1; x = -3 Dạng 4: Phơng trình đối xứng bậc chẵn có dạng: 2n. a0 x + a1 x. 2 n −1. n. +. ..+ an −1 x + an x. n −1. +. ..+ a1 x +a 0=0.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> C¸ch gi¶i: V× 0 kh«ng lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh nªn chia c¶ hai vÕ cña ph¬ng tr×nh cho x2 rồi đa về phơng trình bậc n bằng cách đặt y = x + 1/x. * Bµi to¸n 10: Gi¶i ph¬ng tr×nh 2x4 + 3x3 - 3x2 + 3x + 2 = 0 (1) Gi¶i: x = 0 kh«ng lµ nghiÖm cña (1) Với x ≠ 0 chia 2 vế của (1) cho x2 ta đợc phơng trình tơng đơng 3 2 2 x 2+3 x − 3+ + 2 =0 x x 1 1 ⇔ 2(x 2 +2+ 2 )+3 ( x+ )− 5=0 x x 1 1 ⇔ 2(x+ )+3( x + )−5=0 x x y=x +. §Æt. 1 x. ®a ph¬ng tr×nh vÒ 2y2 + 3y - 5 = 0. (2).  = 9 + 40 = 49 > 0 => ph¬ng tr×nh (2) cã 2 nghiÖm y 1=. −3+7 −3 −7 − 5 =1 ; y 2= = 4 4 2. 1 x+ =1 (Nh©n 2 vÕ víi x≠0) x 2. ⇔ x − x+1=0(∗).  = 1-4 = -3 <0 => ph¬ng tr×nh (*) v« nghiÖm. 1 −5 x+ = x 2. (nh©n hai vÕ víi 2x ≠ 0). 2. ⇔ 2 x +5 x +2=0(**) Δ=25 −16=9>0. => ph¬ng tr×nh (**) cã 2 nghiÖm: − 5+3 −1 = 4 2 − 5 −3 x 2= =− 2 4 x 1=. VËy ph¬ng tr×nh (1) cã 2 nghiÖm: x 1=. −1 ; x 2=−2 2. * Dạng 5: Phơng trình đối xứng bậc lẻ có dạng: a0 x. 2 n− 1. 2n. + an −1 x +. . .+ an x. n− 1. n. + an x +. . .+ a1 x +a 0=0. C¸ch gi¶i: ph¬ng tr×nh nµy bao giê còng cã nghiÖm x 0 = -1 vµ khi chia hai vÕ cña ph¬ng tr×nh cho (x + 1) ta đợc phơng trình đối xứng bậc chẵn 2n. Bµi to¸n 11: Gi¶i ph¬ng tr×nh 2x5 + 5x4 - 13x3-13x2 + 5x + 2 = 0 (1) Gi¶i: Ta cã : 2 + (-13) + 5 = 5 + (-13) + 2 => a5 + a3 + a1 = a4 + a2 + a0.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> => x0 = -1 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh. Víi x # - 1 chia cho c¶ 2 vÕ cña ph¬ng tr×nh (1) cho (x + 1) ta cã ph¬ng tr×nh 2x4 + 3x3 - 16x2 + 3x + 2 = 0 (3) DÔ dµng thÊy r»ng x = 0 kh«ng lµ nghiÖm cña (3) Chia cả 2 vế của (3) cho x2 # 0, ta có phơng trình tơng đơng 2x2 + 3x - 16 + 3. <=> 2(x +. 1 x. + 2.. 1 2 ) + 3(x + x. §Æt y = x +. 1 x. 1 x2. =0. 1 ) - 20 = 0 x. ta đợc phơng trình. 2y2 + 3y - 20 = 0 (4)  = 9 + 160 = 190 > 0 => ph¬ng tr×nh (4) cã 2 nghiÖm ph©n biÖt y1 =. − 3+13 5 = ; 4 2. y2 =. − 3+13 =-4 4. Từ đó giải 2 phơng trình x+. 1 = -4 (Nh©n 2 vÕ víi x # 0) x. <=> x2 + 4x + 1 = 0 (*) ’ = 4 - 1 = 3 > 0 => ph¬ng tr×nh (*) cã 2 nghiÖm: x1 = -2 + √ 3 ; x2 = -2 - √ 3 . x+. 1 5 = x 2. (nh©n 2 vÕ víi 2x # 0). <=> 2x2 - 5x + 2 = 0 (**)  = 25 - 16 = 9 > 0 => Ph¬ng tr×nh (**) cã 2 nghiÖm x1 =. 5+ 3 5 −3 1 =3 x2 = = 4 4 2. VËy ph¬ng tr×nh (1) cã 4 nghiÖm: 1. x1 = -2 + √ 3 , x2 = -2 - √ 3 , x3 = 3, x4 = 2 * NhËn xÐt Bài tập này tơng đối khó với học sinh nên khi dạy giáo viên cần lu ý khai thác hết các giả thiết, nhận xét có thể sử dụng phơng pháp nào, hằng đẳng thức nào phân tích cho thích hợp. Mỗi bài tập giải xong giáo viên nên chốt lại vấn đề và các kiến thức cần sử dụng trong quá trình giải bài tổng quát, bài tơng tự, đặc biệt dùng để bồi dỡng học sinh giỏi nhằm phát triÓn t duy. * D¹ng 6: Ph¬ng tr×nh cã d¹ng: (x + a) (x + b) (x + c) (x + d) = mx2.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> C¸ch gi¶i: §Æt Èn phô y = x +. ad 2. hoÆc y = (x + a) (x + b). Bµi to¸n 12: Gi¶i ph¬ng tr×nh: 4(x + 5)(x + 6)(x + 10)(x + 12) = 3x2 Gi¶i: * C¸ch1: <=> 4(x2 + 17x + 60) (x2 + 16x + 60) = 3x2 <=>4(x+17+ §Æt y = (x+16+ (2). (1). 60 60 )(x+16+ ) = 3 ( v× x # 0) x x. (2). 60 ) x. <=> 4y(y + 1) = 3 <=> 4y2 + 4y - 3 = 0 <=> y1 =. víi y1 =. 1 2. 1 2. y2 = -. ta cã : 2x2 + 31x + 120 = 0 <=> x1 = -8. víi y2 = -. 3 2. 3 2. x2 = -. 15 2. ta cã : 2x2 + 35x + 120 = 0 <=> x3 = − 35+ √ 265 ; x4 = − 35 − √ 265 4. 4. * Cách 2: Đặt y = x2 + 16x +60, ta đợc phơng trình: 4y (y + x) - 3x2 = 0 (3) <=> (2y - x)(2y + 3x) = 0. <=>. x1=2 y ¿ x 2=−2 y /3 ¿ ¿ ¿ ¿. Thay vào (3) ta tìm đợc 4 nghiệm * Bµi to¸n 13: Gi¶i ph¬ng tr×nh (x - 3)(x + 2)(x - 4)(x + 6) = 14x2 (1) Gi¶i: * C¸ch 1: Khai triÓn, thu gän vÒ ph¬ng tr×nh f(x) = 0 víi vÕ tr¸i lµ ®a thøc bËc bèn * C¸ch 2: NhËn thÊy (-3)(-4) = 12 2.6 = 12 (1) <=> (x - 3)(x - 4)(x + 2)(x + 6) = -14x2 <=> (x2 - 7x + 12)(x2 - 8x + 12) = - 14x2 (2) DÔ thÊy x = 0 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm cña (1) nªn chia 2 vÕ cho x2.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> (2). 12 12 )(x + 8 + ) = -14(3) x x. <=> (x - 7 +. §Æt t = x - 7 +. 12 x. => x + 8 +. 12 x. = t + 15. (3) trë thµnh: <=> <=>. t(t + 15) = -14 t2 + 15t + 14 = 0 t1 = -1; t2 = -14. Víi t = -1; x - 7 +. 12 x. = -1. <=> x2 - 6x + 12 = 0 (*) (v× x # 0) ’ = 9 - 12 = -3 <0 => (*) v« nghiÖm Víi t = -14; x - 7 +. 12 x. = -14. <=> x2 + 7x + 12 = 0 (**) (v× x # 0)  = 49 - 48 = 1 > 0 => (**) cã 2 nghiÖm x1 = 3; x2 = 4 VËy ph¬ng tr×nh (1) cã 2 nghiÖm : x = 3; x = 4 * D¹ng 7: Ph¬ng tr×nh cã d¹ng d(x + a)(x + b)(x + c) = mx Trong đó: d =. a+b+ c ; m = (d - a)(d - b)(d - c) 2. * C¸ch gi¶i: §Æt Èn phô y = x + d, mét nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ y = 0 * Nhận xét: Một thiếu sót thờng mắc khi biến đổi phơng trình: - Khi chia 2 vÕ cho mét ®a thøc cña ph¬ng tr×nh f1(x)g(x) = f2(x)g(x) (1) thµnh f1(x) = f2(x) - Khö luü thõa bËc ch½n ë 2 vÕ cña ph¬ng tr×nh f2n(x) = g2n(x) (2) thµnh f(x) = g(x). Hai phép biến đổi này có thể làm mất nghiệm. - Đối với phơng trình đầu nên chuyển vế để đa về phơng trình tích hoặc giải phơng trình f1(x) = f2(x). - §èi víi ph¬ng tr×nh (2) gi¶i 2 ph¬ng tr×nh f(x) = g(x) vµ f(x) = -g(x). * D¹ng 8: x3 + ax2 + bx + c = 0 (Phơng pháp này có thể giải đợc với phơng trình không có nghiệm hữu tỉ) + C¸ch gi¶i: - Bớc 1 : Quy về dạng y3 + py + q = 0 bằng cách đặt y = a/3 + x - Bíc 2: §Æt y = u + v (u + v)3 + p(u + v) + q = 0 <=> u3 + v3 + (u + v)(3uv + p)+q = 0 ¿ u +v 3 =−q Nªn u vµ v tho¶ m·n hÖ ph¬ng tr×nh: 3 uv=− p ¿{ ¿ 3.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> ¿ u3 +v 3=− q <=> u3 v 3=− q3 /27 ¿{ ¿. Sau đó áp dụng hệ thức Viét để tìm nghiệm u, v. *Bµi to¸n 14: Gi¶i ph¬ng tr×nh: x3 + 9x2 + 18x + 28 = 0 (*) §Æt y = x + a/3 = x + 3 => x = y - 3 (*) <=> y3 - 9y + 28 = 0 (**) §Æt y = u + v (**) <=> (u + v )3 - 9(u + v) + 28 = 0 <=> u3 + v3 + (u + v) (3uv - 9) + 28 = 0 (***) NÕu u, v tho¶ m·n ph¬ng tr×nh (***) th× u, v lµ nghiÖm cña hÖ ¿ u3 +v 3 =−28 uv =3 ¿{ ¿. <=>. ¿ u3 +v 3 =−28 u3 v 3=27 ¿{ ¿. => u3, v3 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: X2 + 28X + 27 = 0 => u3 = -1; v3 = -27 => u = -1; v = -3 => y = u + v = - 1 - 3 = -4 mµ x = y - 3 => x = -7 VËy ph¬ng tr×nh (*) cã cã mét nghiÖm lµ x = 7 3. Ph¬ng ph¸p ®a vÒ 2 luü thõa cïng bËc:. * Cách giải: Ta thêm bớt hạng tử để xuất hiện hằng đẳng thức thích hợp rồi từ đó đa về hai vế của phơng trình về luỹ thừa cùng bậc. Sau đó vận dụng các hằng đẳng thức đã học để gi¶i ph¬ng tr×nh. * Chó ý: A2n = B2n <=> A = + B A2n - 1 = B2n - 1 <=> A = B * Bµi to¸n 15: Gi¶i ph¬ng tr×nh: x4 = 24 x + 32 (1) Gi¶i: Thªm 4x2 + 4 vµo 2 vÕ cña (1) x4 + 4x2 + 4 = 4x2 + 24x + 36 <=> (x2 + 2)2 = (2x + 6)2 2. <=>. x +2=2 x +6(2) ¿ x 2+2=−(2 x +6)(3) ¿ ¿ ¿ ¿. Gi¶i (2): <=>. x2 + 2 = 2x + 6 x2 - 2x - 4 = 0.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> ’ = 1 + 4 = 5 > 0 ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm x1 = -1 + √ 5 ; x2 = -1 - √ 5 Gi¶i (3): x2 + 2 = - 2x - 6 <=> x2 + 2x + 8 = 0 ’ = 1 - 8 = -7 < 0 ph¬ng tr×nh v« nghiÖm. VËy ph¬ng tr×nh (1) cã 2 nghiÖm : x1 = -1 + √ 5 ; x2 = -1 - √ 5 * Bµi to¸n 15*: Gi¶i ph¬ng tr×nh: x3 + 3x2 - 3x +1 = 0 (1) Gi¶i: x3 = -3x2 + 3x -1 2x3 = x3 - 3x2 + 3x -1  ( x √3 2)3=(x −1)3  x √3 2❑=x −1  x=. 1 1− √3 2. . Vậy phơng trình đã có nghiệm x=. * Bµi to¸n 16: Gi¶i ph¬ng tr×nh x4 + 8x2 - 8x + 17 = 0 (1) Gi¶i: (1) <=> x4 - 8x2+ 16 + 16x2 - 8x + 1 = 0 <=> (x2 - 4)2 + (4x - 1)2 = 0 (2) 2. V×:. 2. x −4¿ ≥0 ¿ 4 x −1 ¿2 ≥0 ¿ ¿{ ¿ ¿. ¿ x − 4=0 Nªn (2) <=> 4 x −1=0 ¿{ ¿ 2. <=>. VËy ph¬ng tr×nh (1) v« nghiÖm * Bµi to¸n 17: Gi¶i ph¬ng tr×nh x3 - x2 - x = 1/3 Gi¶i: Nh©n 2 vÕ cña (1) víi 3 (1). <=> 3x3 - 3x2 - 3x = 1 <=> 4x3 = x3 + 3x2 + 3x + 1 <=> ( √3 4 x )3 = (x + 1)3 <=> √3 4 x = x + 1. ¿ x=± 2 1 x= 4 ¿{ ¿. (1). 1 1− √3 2.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> <=> ( √3 4 − 1 ).x = 1 1 √ 4 −1. => x =. 3. 1 √ 4 −1. VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) lµ : x =. 3. 4. Phơng pháp dùng bất đẳng thức:. * Cách giải: Dùng tính chất đơn điệu của hàm số trên từng khoảng * Bµi to¸n 18: Gi¶i ph¬ng tr×nh: 5. 6. (1). |x − 8| +|x −9| =1 Gi¶i: ViÕt ph¬ng tr×nh díi d¹ng 5 6 (1) |x − 8| +|9− x| =1 Dễ thấy x = 8; x = 9 đều là nghiệm của (1) XÐt c¸c gi¸ trÞ cßn l¹i cña x 6. |9 − x|>1 ⇒|9− x| > 1. + Víi x < 8 th× 5. |x − 8| >0 Nªn vÕ tr¸i cña (1) > 1, (1) v« nghiÖm 5. |x − 8|>1 ⇒|x −8| >1. + Víi x > 9 th× 6. |9 − x| > 0 Nªn vÕ tr¸i cña (1) > 1, (1) v« nghiÖm + Víi 8 < x < 9 th× 0 < x - 8 < 1 => |x − 8|5 <|x −8|=x − 8 0 < 9 - x < 1 => |9 − x|6<|9 − x|=9− x Nªn vÕ tr¸i cña (1) nhá h¬n : x - 8 + 9 - x = 1; (1) V« nghiÖm VËy (1) cã 2 nghiÖm: x = 8; x = 9 5. Phơng pháp dùng điều kiện dấu “=” ở bất kỳ đẳng thức không chặt:. * Bµi to¸n 19: Gi¶i ph¬ng tr×nh. |x 2 − x +1|+| x2 − x −2|=3(1) Gi¶i: Ta cã: x2 - x + 1=(x-1/2)2 +3/4 > 0 nªn (1). <=> x2 - x + 1 + |2 − x 2+ x|=3. <=> |2 − x 2+ x|=2 − x 2+ x áp dụng bất đẳng thức | A| ≥ A xảy ra dấu “=” với A ≥ 0 ta có: 2 - x2 + x ≥ 0 <=> (x + 1)(x - 2) ≤ 0 <=> - 1 ≤ x ≤ 2 VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh tr×nh lµ c¸c gi¸ trÞ x tho¶ m·n: - 1 ≤ x ≤ 2. 6. Phơng pháp dùng hệ số bất định:. Gi¶ sö ph¬ng tr×nh tr×nh bËc 4: x4 + ax3 + bx2 + cx + d = 0 vµ cã ph©n tÝch thµnh (x2 + a1x + b1)(x2 + a2x + b2) = 0 lúc đó ta có:.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> ¿ a1+a2=a a1 a2 +b 1+ b2=b a1 b2 +a 2 b1 =c b1 b2=d ¿ { {{ ¿. TiÕp theo tiÕn hµnh nhÈm t×m c¸c hÖ sè a1; b1; a2; b2. B¾t ®Çu tõ b1b2 = d vµ chØ thö víi c¸c gi¸ trÞ nguyªn. * Bµi to¸n 20: Gi¶i ph¬ng tr×nh: x4 - 4x3 - 10x2 + 37x - 14 = 0 (1) Giả sử phơng trình trên phân tích đợc thành dạng: (x2 + a1x + b1)(x2 + a2x + b2) = 0 ¿ a1 + a2=− 4 a1 a2 +b 1+ b2=−10 Ta cã: a1 b2 +a2 b1=37 <=> b1 = -2; b2 = -7; a1 = -5; a2 = 1 b1 b2 =−14 ¿ { {{ ¿. Ph¬ng tr×nh (1) cã d¹ng (x2 - 5x + 2)(x2 + x - 7) = 0 TiÕp tôc gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh bËc hai: x2 - 5x + 2 = 0 vµ x2 + x - 7 = 0 ta cã nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) lµ: x1 = 5+ √ 17 ; 2. x2 = 5 − √ 17 ; 2. x3 = − 1+ √29 ; 2. x4 = − 1− √29 2. * Chú ý: Với phơng pháp này có thể giải đợc với phơng trình không có nghiệm hữu tỷ..

<span class='text_page_counter'>(16)</span>