bai tap mu va logarit

<span class='text_page_counter'>(1)</span>PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT   . I - Phương trình cơ bản a) Phương trình mũ cơ bản có dạng: a x m , trong đó a  0, a 1 và m > 0.. x + a m ⇔ x log a m hoặc a x =a m ⇔ x=m. + Điều kiện phương trình: x > 0 ( a  0, a 1 ). + Với mọi m ∊ R, phương trình log a x m. b) Phương trình lôgarit cơ bản có dạng: log a x m , trong đó m là số đã cho.. m ⇔ x a hoặc log a x=log a m ⇔ x=m.  Ví dụ : Giải các phương trình mũ và logarit sau. x 1 2 x 1 2 x1 3 a) 9 27 b) 5 c) log 2 ( x  2)( x  5) 2 d) log x ( x  5) log x (8  x) II – Các phương pháp giải phương trình mũ và logarit. Dạng 1: Phương pháp biến đổi cùng cơ số:  Bài 1: Phương trình mũ: + Tìm điều kiện của phương trình (nếu có) + Nếu phương trình có một cơ số thì cộng các hệ số của cơ số với nhau. + Biến đổi phương trình về cùng cơ số và + Nếu phương trình có hai cơ số thì chia hai vế cùng chung số mũ. cho một cơ số bất kì. x 1 x 1 x a) 2.3  6.3  3 9 22 x  1.4 x 1 64 x 1 d) 8 e). x c) 2. x x 1 x 2 b) 2 .3 .5 12. 2 3. x 2 5 x 1.  2. 3. 2. 1. 2.  3x 3x. 2. 1.  2x. 2. 2. x 2  7 x  16 log 2 x  5log2 x 1 5log2 x  1  13.3log 2 x  1 f) 3 39 1  31 log 40 x x=2 2 e, f, 3 5. ĐS: a, x = 1 b, x = 2 c, x  3 d, x = 2  Bài 2: Phương trình logarit : + Tìm điều kiện để phương trình có nghĩa. + Biến đổi phương trình về cùng cơ số. + Nếu phương trình cùng chung một log a x thì cộng các hệ số log a x của với nhau. + Nếu phương trình có log a b và log a c thì cộng (trừ) bằng công thức. b  •  log a b log a b • log a b+log a c=log a bc • log a b − log a c=log a c a) log 27 x  log9 x  log 3 x 11 b) log 9 ( x  8)  log 3 ( x  26)  2 0 c) ln (4 x +2)− ln( x − 1)=ln x ĐS: a, x = 36 d). log 4 ( x  1) 2  2 log. e) log 2 ( x  f) (KD -11). 2. c, x=. b, x = 1, x = 28. 4  x  log8 ( x  4)3. x 2  1).log 3 ( x  x 2  1) log 6 ( x  log 2 (8  x 2 )  log 1 2. 2log 2 x  log 1 (1 . . 5+ √33 2. ĐS: d, x 2, x 2  2 6 22log6 3  1 x  1log6 3 2 ĐS: e, x = 1,. x 2  1). . x  1  1  x  2 0 ĐS: f, x = 0. 1 x )  log 2 ( x  2 x  2) 2. 2 g) (KD-13)  Bài tập tương tự. 1) Giải các phương trình mũ sau: x 1 x 2x x 2x x a) 2 .5 200 b) 5  7  35.5  35.7 0 log x log x 1 3.5log x 1  13.7log x  1 e) 7  5 2) Giải các phương trình mũ sau: a) log16 x  log 4 x  log 2 x 7. ĐS: a, x = 2. ĐS: g,. x=¿. x 1 x  x x 1 c) 5 10 .2 .5. b, x = 0. c, x = - 2. 4 − 2 √3. log9 log x d) x  9 6 d, x  10 e, x = 100. b) 2 log 25 (3 x  11)  log 5 ( x  27) 3  log 5 8 ĐS: a, x = 16 b, x = 37.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> log 2 ( x  1)  log. c) log 2 x  log 3 x  log 4 x log 20 x d) 2 3 x−4 ¿ 6 3 x − 4 ¿ . log 2 x 3=8 log 22 √ x +log 22 ¿ e) ĐS c, x = 1 1 log 2 ¿ 3 Dạng 2: Phương pháp đặt ẩn phụ:  Bài 1: Phương trình mũ: a. A2 x  b. A x  c 0   x b a. A  x  c 0 A 1. Phương trình dạng: . 2. Phương trình dạng:. 2. x  3 log8 ( x  5)3  log 1 ( x  3) 2. d, x = 9. e,x = 1, x = 2, x =. 16 9. x Đặt: u  A (u  0). B 2 ¿ x =0 ¿ 3 x B ¿ =0 ¿ ¿{ 2 x AB ¿ +d . ¿ A 2 B ¿ x+ c . ¿ A 3 ¿x +b . ¿ AB ¿ x +c . ¿ A 2 ¿x +b . ¿ ¿ a.¿ x.  A u   (u  0)  B Chia hai vế phương trình cho cơ số lớn nhất hoặc nhỏ nhất. Đặt: x x 3. Phương trình dạng: a ( A  B )  b( A  B )  c 0 mà ( A  B )( A  B ) 1 1 b  A B   pt : a( A  B ) x   c 0 A B ( A  B )x x Đặt: u = ( A  B ) ( u > 0 ) 4. Nếu phương trình có chứa ẩn x thì đặt: t=log a x ⇒ x =at 49 x 6.(0, 7) x  7 x x x1 2x 1) 27 9  3  3 2) 10 2. 2. ( x 2x x 2 x 2 254 x 4) 2  2 5) 4 2 2 2 x  x 2 1  92 x  x 1 34.152 x  x 7) 25. x2  5 ).  12.2( x  1. x2  5 ). thay vào phương trình khử x. 2. 2. 2sin x  32cos x 10 3) 3 1 12 4 x  6.2 x  x  1  x  1 0 4 2 6).  8 0. x x x x 8) 3.8  4.12  18  2.27 0 x 11) (3  5)  16.(3 . 1ln x  6ln x 2.32ln x 9) 4 5) x 2 x3. 2. t anx t anx 10) (5  2 6)  (5  2 6) 10 √ 2− 1¿ x − 3=0 log 2 2 x  x log2 6 2.32 2log 2 x 12) 3+2 √ 2 ¿ x − 2¿ 13) 4 14) 6 . 9log x +6 x 2=13. x log 6 ¿ 1 k 9 x 0, x  x x x=1 ± 3 √ x  log 7 0,7 2 2 4,x=3 ĐS: 1, 2, 3, 4, 5, 5  33 x 1, x log 2 2 2 6, 7, x = 0, x = 2, x 1  3 8, x =1 9, x e  1 x log 3 5 4 x   k x=log √2+ 1 2 x= 2 4 4 10, 11, 12, 13, 14, x = 1, x = 1  Bài tập tương tự. Giải các phương trình sau: 2. 2.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> 1. 3. x x x 4) 27  12 2.8. 7). x. . 7. 48.  . 7  48. . 3 |x− 1|. 6). 5 .2. −3 . 2. 5 −3 x. +7=0. x. 14. x x 8) ( 2  1)  ( 2  1)  2 2 0. log x − 3 log x − 5=0 10) 2 x +2 x 2. 2 x 1 x 1 x x 1 3) 5.3  7.3  1  6.3  9 0. 3 2cos x  7.41cos x  2 0 2) 4 1   3x 8   x  2  3 x   6  2  x 1  1 2  2   5) . x x 1) 64  5.2  6 0. 23  2.  4 5 2 x  2 5 2 x 1 5 3 x log3 , x  log 3 5 5 3, 4, x = 0 8, x = 1, x = - 1 5 1 17 x  , x  (5  log 22 ) 2 4 5 11,. 11). 8. ĐS: 1, x = 3, x = log38 5, x = 1 6, x = 1 log 3 3. log 2 x  1 6log2 x  x 2 9) 2.9.  x   k 3 2, 7, x = 2, x= - 2 1 x= , x=2 2 10,. 5 2 x 1. 2 9, x 2, x 2  Bài 2: Phương trình logarit : + Tìm điều kiện để phương trình có nghĩa. + Biến đổi phương trình về cùng cơ số và biến đổi về một trong hai dạng sau: b a.log m    c 0 2 a.log m   b.log m   c 0 hoặc log m  Đặt: u log m . 2 2 3 1) log 2 ( x  1)  log 2 ( x  1) 7 1  log3 x 1  log 27 x  1  log x 1  log81 x 9 4). 4 log 4 x  log 2 x  3 0. x x1 3) log 3 (3  1).log 3 (3  3) 6 4  3 (2  log 3 x ) log 9 x 3  1 log 3 x    log 32 x 1 1  log 3 x  x 5) 6) x log x 2.log 2 x 2  log16 x 2 log 1 4 x  log 2  5 2 2 8 2 7) 8) log 2 x  1 (2 x  x  1)  log x 1 (2 x  1) 4  7/4 ĐS: 1. x = 3, x = 1 + 2 2. x = 4, x = 49 3. x log3 10, x log 3 28 / 27 4. x = 1, x = 1/243. 2). 1 1 1 5 x  , x 81 x 1, x 3, x  x 4, x  x 2, x  3 9 4 4 5. 6. 7. 8.  Bài tập tương tự. Giải các phương trình sau: (log 27 x ) x 1 x log x2 16  log 2 x 64 3  10log 27 x  3 0 1) 3log 27 x 2) log 2 (4  4).log 2 (4  1) 3 3) log 2( x 1) 4( x  1)  2 log x 1 ( x  1) 5 log 3 x 7 (4 x 2  12 x  9)  log 2 x 3 (6 x 2  23 x  21) 4 2 4) 5) . 9. 1 3. ĐS: 1. x 3, x 3 2. x 0 3. x 4, x 2 Dạng 3: Phương pháp logarit hóa.   + Biến đổi phương trình về dạng: a b (1). 4. x 2. 3 33 4. 1. 5. x = - 1/4.   + Lấy logarit (1) theo cơ số a hoặc b hai vế  log a a log a b    log a b + Nếu phương trình chứa log c x thì lấy cơ số c hai vế. x. 1) 5 .8. x 1 x. 500. 2) 4.9. x 1. 3. 2. 2 x 1. 2   3  3log x  log x  3 .  3) x. 100 3 10. 2. log 25 (5 x )  1  x log5 7 4) 7. 3 x 1 1 3 x  3, x  log 2 5 2 ĐS: 1. 2. 3. x 10, x 10 4. x 5 , x 5  Bài tập tương tự. Giải các phương trình sau: 1 (log x −log x −3 ) x 3 x 2  5 x 6 log x 7 = 104(log x1) 1) 2 5 2) x 3) x 4) x 2x +3 − 3x +2 x− 6=3 x +2 x− 5 −2 x 4 ĐS: 1. x 3, x 2  log 5 2 2. x 10, x 10 3. x 1, x 2, x 4 4. x = 2, x = - 4 + log32 Dạng 4: Phương pháp đơn điệu hàm số để chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất. B1: Đặt điều kiện phương trình (nếu có). Biến đổi phương trình về dạng f(x) = g(x) 3. 2. 2. 2. 2 2.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> B2: Xét hàm số y = f(x) và y = g(x). chứng minh f(x) luôn đồng biến và g(x) là hằng số hoặc nghịch biến hoăc ngược lại. B3: Tìm x0 sao cho f(x0) = g(x0), nên x0 là nghiệm duy nhất của phương trình. Chú ý: + Nếu 0 < a < 1 thì lna < 0. + nếu a > 1 thì lna > 0 ¿ t =log a f ( x) t=log b g(x ) ⇔ + Nếu phương trình có dạng: log a x=log b y ta đặt: ¿ f ( x)=at g ( x)=bt ¿{ ¿ x.  1   x  1 log 3 4 x x x  x 2 .2log3 x  x log3 2 1)  3  2) log3 x  x  11 3) 6  8 10 4) 4 x x − 1¿ 2 2 log 6 ( 4 x  8 x ) log 4 x 5) x −1 x − x 6) log 5 x log 7 ( x  2) 7) 2 −2 =¿ ĐS: 1. x = 0 2. x = 9 3. x = 2 4. x = 3 5. x = 1 6. x = 5 7. x = 28  Bài tập tương tự. Giải các phương trình sau: log 2 3 x x /2 log 3 x log 5 ( x  3 x  95)  x log2 5 1) log 4 x 4 / x 2) 2 1  3 3) x  x 4) 2. ĐS: 1. x = 4 2. x = 2 3. x = 2 Dạng 5: Phương trình không mẫu mực. Bài 1: Phương trình biến đổi về tích P(x).Q(x) = 0 x 1) 2. 2. x.  4.2 x 2. 2. x. 4. x = 27. 2 2) x .2.  22 x  4 0. 2  log 9 x  log 3 x.log 3. . 2 x 1 1.  2 x 2. 2 x 1 1. . 2x 1  1.  x 2 .2 x  2. 3. 3. 2 x  x 2  2 x 42 x  2  2 x 4 x  4 4) (KD-10) 4 ĐS: 1. x = 0, x =1 2. x = 2, x = - 2, x = 4 3. x = 1, x = 4 4. x = 1, x = 2 Bài 2: Đặt ẩn phụ - hệ số vẫn chứa ẩn (Lưu ý: Phương pháp này chỉ sử dụng khi  là số chính phương). 2 x 2 x 2 1) 3.25  (3 x  10).5  3  x 0 2) ( x  2) log 3 ( x  1)  4( x  1) log 3 ( x  1) 16. 3). ĐS : 1. x 2, x 2  log 5 1/ 3  Bài tập tương tự. Giải các phương trình sau: x x x x 1) 12. 3  3.3 .5  5 .5  20 0. 2). x (9. 2. x = 3, x = 80/81 x2  3. 3. x2  3. ) 32. x2  3 1. 2 2x x x 3) log 2 x  ( x  1) log 2 x 6  2 x 4) 3  2 x(3  1)  4.3  5 0 ĐS : 1. x log 3 5  1 2. x = 9, x = -2, x = 2 3. x = 2, x = 1/4 Dạng 6: Phương trình chứa tham số. Cách 1: Sử dụng tam thức bậc hai : Ax2 + Bx + C = 0 (1) + (1) có hai nghiệm phân biệt  A 0,   0. + (1) có hai nghiệm trái dấu. 3. x2  3 1.  6 x  18. 4. x = 1..  P 0.  A 0,   0  + (1) có hai nghiệm dương phân biệt   S  0, P  0  A 0,   0   S  0, P  0 + (1) có hai nghiệm âm phân biệt Chú ý: So sánh hai nghiệm với  + Nếu x1 <  < x2  (x1 -  )(x2 -  ) < 0 ( x   )( x2   )  0 ( x   )( x2   )  0  1  1 S / 2   S / 2   + Nếu x1 < x2 <  + nếu  < x1 < x2 Cách 2: Sử dụng hàm số. Ta biến đổi phương trình về dạng m = f(x), phương trình có nghiệm  đường thẳng y = m cắt hàm số y = f(x).

<span class='text_page_counter'>(5)</span> + Tính f/(x) và tìm nghiệm f/(x) = 0 + Lập bảng biến thiên và tìm tham số m x x 1) Cho phương trình 4  4m.2  2m  2 0 . Giải và biện luận phương trình theo tham số m. 1 1 m  1  m  m  1 ( 1ng) 2 (vn), 2 (2ng), ĐS: sin 2 x. 2. 2) Tìm m để phương trình sau có nghiệm 81.  81cos x m.  3) Tìm a để pt sau có nghiệm duy nhất :. . x. 5 1  a. x. . ĐS: 18 ≤ m ≤ 82. . x. 5  1 2 x. ĐS :. a 0  a . x. 4) Tìm m để phương trình : (m  3).16  (2 m  1).4  m 1 0 có hai nghiệm trái dấu. ĐS:. 1 4..  1 m  . 2 2 5) Cho phương trình log3 x  log 3 x  1  2m  1 0 (m là tham số). Tìm m để phương trình có ít nhất 3. 1;3 . một nghiệm thuộc đoạn  ĐS: 0  m  2 3 2 log 2 (mx  6 x )  2 log 1 (  14 x  29 x  2) 0 2 6) Tìm m để phương trình : có 3 nghiệm phân biệt. ĐS : 19  m  39 / 2 . . log 22 x  log 1 x 2  3 m(log 4 x 2  3) 7) Tìm m để phương trình. có nghiệm thuộc. 2. [32; ) .. ĐS: 1 < m  3 Phương trình chứa tham số x x 1) Cho phương trình 4  4m.2  2m  2 0 . Giải và biện luận phương trình theo tham số m. 1 1 m  1  m  m  1 ( 1ng) 2 (vn), 2 (2ng), ĐS: Giải Cách 1: ' 2 Đặt: t = 2x, t > 0, ta có : t2 + 4mt + 2m + 2 = 0 (1);  4m  2m  2 1  '  0  4m 2  2m  2  0   m 1 2 + Nếu thì pt (1) vô nghiệm 1  m  '   0  2 (*)   m 1 + Nếu thì pt có nghiệm..   2m  0 m  0    m0 m  1  0 m   1   + Phương trình (1) có hai nghiệm âm Kết hợp điều kiện (*) ta có m  1 thì phương trình vô nghiệm   2m  0    1 m  0 m  1  0  + Phương trình (1) có hai nghiệm đều dương 1 2 thì phương trình có hai nghiệm. Kết hợp điều kiện (*) ta có: + Phương trình (1) có hai nghiêm trái dấu hoặc có 1ng t = 0  2m  2 0  m  1 Kết hợp điều kiện (*) ta có: m  1 Cách 2: Sử dụng khảo sát hàm số.  1  m . 2. 2. sin x  81cos x m 2) Tìm m để phương trình sau có nghiệm 81. Hdẫn:. 3 4.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> sin 2 x. t 81.  t  1;81.   . Phương trình trở thành: Đặt Khảo sát hàm số ta được kết quả 18≤ m ≤82. . x. x. 5 1  a. 3 : Tìm a để pt sau có nghiệm duy nhất : Hdẫn :.  5 1   5     2    2. . t. 81 m t. . . x. 5  1 2 x. x. 1  1 . x.  5 1  a 2   t   1  t  t  a 0 2   t Đặt t= (t>0) phương trình trở thành : 1 a 0  a  4. ĐS : x x 4) Tìm m để phương trình : (m  3).16  (2 m  1).4  m 1 0 có hai nghiệm trái dấu. ĐS : 3  1 m   4 HD Đặt: t = 4x, t > 0 . Ta có : (m + 3)t2 + (2m – 1)t + m + 1 = 0 (1) Yêu cầu bài toán  (1) có hai nghiệm dương thõa mãn t1 < 1 < t2   0, S  0, P  0 3 3 11  (t1  1)(t2  1)  0     1 m   − < m<− P  S  1  0 4 4 20  hoặc. 2 2 5) Cho phương trình log3 x  log 3 x  1  2m  1 0 (m là tham số). Tìm m để phương trình có ít nhất một 3. 1;3 . nghiệm thuộc đoạn  . . ĐS:. .0m2. HD 2 3. 2 3. 2. log x  1  log x t  1. 1  x 3 3  1 t 2. + Đặt: t = + Phương trình đã cho trở thành : t2 + t = 2m + 2 (1) 3. 1;3  khi và chỉ khi (1) có nghiệm 1 t 2 . + Phương trình đã cho có nghiệm trên  2 + Xét hàm số f(t) = t + t với 1 t 2 , ta thấy f(t) là hàm đồng biến trên đoạn [1;2]. Suy ra: 2 = f(1)  f (t )  f (2) 5, t  [1; 2]. . .  2 2m  2 5  0 m . 3 2. Vậy phương trình có nghiệm log 2 (mx  6 x 3 )  2 log 1 (  14 x 2  29 x  2) 0 2 6) Tìm m để pt có 3 nghiệm phân biệt. 19  m  39 / 2 Giải 3 2 + PT  log 2 (mx  6 x ) log 2 ( 14 x  29 x  2). ĐS :. 1/14  x  2   2 2  m 6 x  14 x  29  x (*) + Phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt khi (*) có hai nghiệm phân biệt x thuộc (1/14; 2).  14 x 2  29 x  2  0   3 2 mx  6 x  14 x  29 x  2.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Xét hàm số:. f ( x) 6 x 2  14 x  29 . f ' ( x) 12 x  14  + Ta có : + Bảng biến thiên: x. 2 1 ,  x2 x 14. 2 12 x 3  14 x 2  2   f ' ( x) 0  2 2 x x 1 14. ’. f (x) f(x). 1 2 0. +. -. 1 0.  x 1/ 2  x 1 . 2 +. 39 2. 24. 3 98. 19 Dựa và bảng biến thiên, suy ra (*) có ba nghiệm phân biệt khi 19  m  39 / 2. log 22 x  log 1 x 2  3 m(log 4 x 2  3) 7) Tìm m để phương trình ĐK: x>0. 2. Đặt t log 2 x; x  [32; )  t  [5; ) . Phương trình trở thành: +t=3 không là nghiệm +t≠3 ta có. t 2  2t  3 m  f (t )  ; t  [5; ) t 3  2t lim f (t ) 1; f '(t )  0 2 t   (t  3) t  2t  3  HSNB trên [5;+∞) Lập BBT ta có 1<m  3. có nghiệm thuộc [32; ) .. t 2  2t  3 m(t  3).

<span class='text_page_counter'>(8)</span>