Tài liệu Đề thi có đáp án học sinh toán giỏi Hậu Giang đề 1 ppt

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO HẬU GIANG

ĐỀ THI HS GIỎI ĐBSCL MÔN TOÁN
(ĐỀ NGHỊ)

BÀI 1 (số học )
Cho
,a b Z
. Chứng minh rằng :
Nếu 24a
2
+ 1 = b
2
thì một và chỉ một trong các số a và b chia hết cho 5.

BÀI 2 (Đại số)
Tìm giá trò nhỏ nhất của hàm số :
f(x) = 20x
144
– 1.x
120
+ 2006, xIR.

BÀI 3 (Hình học phẳng)
Cho tam giác ABC. Trên cạnh AB lấy điểm M di động, trên cạnh AC lấy
điểm N di động sao cho
1 1 1
AM AN l

(không đổi).
Chứng minh rằng đường thẳng MN đi qua một điểm cố đònh.

BÀI 4 (Hình học không gian)
Trong mặt phẳng (P) cho tam giác ABC nhọn. Trên đường thẳng d vuông
góc với mặt phẳng (P) tại A lấy điểm S di động, gọi K và H lần lượt là
hình chiếu vuông góc của B lên AC và SC, đường thẳng l đi qua K và H
cắt đường thẳng d tại N. Đònh điểm S trên d sao cho đoạn SN ngắn nhất.

BÀI 5 (dãy số)
Cho dãy
 
*
n
nN
u

và
(1). (3)... (2 1)
, 1;2;3;...
(2). (4)... (2 )
n
f f f n
un
f f f n



Trong đó : f(n) = (n
2
+ n + 1)
2

+ 1
Chứng minh rằng :
2
lim
2
n
n
nu













ĐÁP ÁN
Bài 1 :
 Nếu
5
5
a
b






,
khi đó từ đẳng thức : 24a
2
+ 1 = b
2

 1 = b
2
- 24a
2
chia hết cho 5 =>
1 chia hết cho 5, vô lý.
 Nếu
5 ( ,5) 1
5 ( ,5) 1
aa
bb











Khi đó : a
4
 1 (mod 5) (Đònh lý Fermat)
b
4
 1 (mod 5)
=> a
4
- b
4
 0 (mod 5)
22
22
0(mod5)
0(mod5)
ab
ab







- Xét a
2
+ b
2
 0 (mod 5)

Từ đẳng thức
2 2 2 2 2 2
24a + 1 = b 25a + 1 = (a + b ) 5 (25a + 1) 5ÛÞ
vô
lý.
- Xét a
2
- b
2
 0 (mod 5)
Từ đẳng thức
2 2 2 2 2 2
24a + 1 = b 23a + 1 = (b - a ) 5 (23a + 1) 5ÛÞ

2
23a + 1 0(mod5)
, vô lý.
(Vì do (a,5)=1 => a  ± 1 ; ± 2 (mod 5))
 a
2
 1 ; 4 (mod 5) => 23a
2
+ 1  3 hoặc 4 (mod 5)
Vậy Nếu a,b  Z thỏa đẳng thức 24a
2
+ 1 = b
2
thì một và chỉ một trong
các số a và b sẽ chia hết cho 5.

BÀI 2
f(x) = 20x
144
– 1.x
120
+ 2006
144 144 144 120
5 6 5 6 4 6
1 1 1
= 2.x + 2.x +...+2.x + + 2006
2 .12 2 .12 2 .12
x- + -


10 số hạng

12 số hạng
10 10.144 120
12
10 12 4 6
120 120
4 6 4 6
11
( ) 12 2 . . 2006
2 .12 2 .12
11
( ) 2006 2006
2 .12 2 .12
f x x x
f x x x


   



     


(Cosi)
144
4 6 5 6
144
6
24
11
( ) 2006 2.
2 .12 2 .12
11
()
24
24
f x x
x x do x R
    
     


BÀI 3 :

Kẻ đường phân giác trong của BÂC là

At. Do A,B,C cố đònh => At cố đònh.
Gọi I là giao điểm của At với MN.
Ta có : S
AMN
= S
AMI
+ S
ANI
1 1 1
. .sin . . sin
2 2 2 2 2
AA
AM AN A AM AIsin AN AI  


1 1 1 1
2 cos .
2
A
AI AM AN l

   


(không đổi)
2 cos
2
A
AI l
(không đổi)

=> I cố đònh và I  MN
Vậy đường thẳng MN qua 1 điểûm cố đònh I.

BÀI 4 :

Trong SCN có AC là đường cao thứ
nhất.
Mặt khác ta có :
()
SC BK
SC BHK
SC BH







SC KH NH  
là đường cao thứ hai
=> K là trực tâm của SCN.
Ta có
ANK . .D D Þ = Û =
AN AK
ACS AS AN AK AC
AC AS
(không đổi)

Vì
2 . 2 .SN SA AN SA AN AK AC   
(không đổi)
min
2.
.
SN AK AC
SA AN AK AC

  

Vậy điểm S nằm trên d (cố đònh) cách A (cố đònh) bằng :
.SA AK AC


BÀI 5 : Ta có :

   
  
22
2
2
2
2 2 2
22
( ) ( 1) 1
( 1) 1
1 2 1 1
1 2 2
f n n n

nn
n n n n
n n n
   

   

     
   

Khi đó :
( )( )
( )( )
( )
( )
2
22
2
22
4 4 2 4 1
2 1 1
(2 1)
(2 )
4 4 2 4 1
2 1 1
- + +
-+
-
==
+ + +

++
i i i
i
fi
fi
i i i
i