Tài liệu Đề thi học sinh giỏi Chuyên,Trà Vinh docx

SỞ GD & ĐT TRÀ VINH
TRƯỜNG TRUNG HỌC CHUYÊN.

ĐỀ THI ĐỀ NGHỊ KÌ THI HỌC SINH GIỎI
ĐỒNG BẰNG SÔNG CỬU LONG
MÔN : TOÁN


Bài 1 (đại số)
Cho 0 <
i
a
 R thỏa :
7n3,Nn,
2
n
a
1
n
1i
i



(1).
Chứng minh rằng :
8
)19n(n
a
aa
1

a
1
n
1i
i
1n
k
n
1ki
ik
n
1i
i











 



(2).

Bài 2 (số học)
Cho 2005 số c
i
Z

. Chứng minh bất đẳng thức :
4010
c
2006c
c
2005c
c
1)2006c(2
c
)2005c(2
2005
1i
i
i
2005
1i
i
i
2005
1i
i
i
2005
1i
i

i



































(1).

Bài 3 (giải tích)
Xét dãy số (u
n
) đònh bởi :






Nn,)1(2u535u
au
n
uu
1n
1
nn
.
Tuỳ theo a 







;
2
1
xét tính hội tụ của (u
n
) và tìm lim u
n
(nếu có).

Bài 4 (hình học phẳng)
Cho tam giác ABC, có độ dài hai đường cao là những số tự nhiên và có bán
kính vòng tròn nội tiếp bằng 1. Tính độ dài các đường cao của tam giác đó

Bài 5 (hình học không gian)
Trong không gian cho nửa mặt phẳng  và mặt phẳng  cố đònh cắt nhau theo
giao tuyến u; SA, SB là 2 tia cố đònh trong mặt phẳng  (A , B thuộc u) sao cho số
đo của nhò diện (S,AB, ) bằng 60
0
. (w) là một mặt cầu tâm I luôn tiếp xúc với  ,
 về phía không chứa điểm S (đối với ). Tìm tập hợp các điểm C trong  sao cho
(w) ở phía trong tam diện SABC và tiếp xúc với mặt (SAC) , (SBC). Biết rằng
hình chiếu của điểm K trên IP là trung điểm của nó .Trong đó K , P là tiếp điểm
của (w) với các mặt (SAC) và  .

Bài 5’(giải tích hàm)
Tìm các hàm f(x) liên tục trên R và thỏa : f(x) + f
2006
x2005

2005
x2004







, xR.

Đáp án
Bài 1 (đại số)
Cho 0 <
i
a
 R thỏa :
7n3,Nn,
2
n
a
1
n
1i
i



(1).
Điểm

Chứng minh rằng :
8
)19n(n
a
aa
1
a
1
n
1i
i
1n
k
n
1ki
ik
n
1i
i












 



(2).

Đáp án

p dụng bđt Côsi cho n số ta có :
2
1
a
1
0
a
n
a
1
2
n
n
n
1i
i
n
n
1i
i
n
1i

i





.
0,5đ
Đặt t =
n
n
1i
i
a
1


(0 < t
2
1

).
Lại theo bất đẳng thức Côsi cho n số ta có :










n
1i
n
n
1i
ii
n
n
1i
i
n
1i
i
ana;
a
n
a
1
.
0,5đ
Và theo bất đẳng thức Côsi cho
2
)1n(n 
số ta có :










 


1n
k
n
1ki
ik
aa
1














2

)1n(n
1n
n
1i
i
a
1
2
)1n(n
2
n
n
1i
i
a
1
2
)1n(n


















. 0,5đ
Vậy để chứng minh (2) ta cần chứng minh :
8
19n
t
2
1n
t
1
t
2




.
0,5đ
Xét hàm f(t) =
t
1
t
2
1n
t
2




, (0 < t
2
1

).
Ta có f ’(t) = (n -1)t + 1 –
2
23
2
t
1tt)1n(
t
1 


0,5đ
Để xét dấu f’(t) , ta xét hàm g(t) =
1tt)1n(
23

, có g’(t) =
t2t)1n(3
2

,
)
2

1
;0(t 
.
0,5đ
Ta có g
7n3,01
4
1
8
1n
2
1










0,5đ



Bbt
Vậy f(t)  f(
2
1

) =
8
19n 
(đpcm).
0,5đ

t 0
2
1

g’(t) +
g(t) 
f ’(t) 
f(t)






Bài 2 (số học)
Cho 2005 số c
i
Z

. Chứng minh bất đẳng thức :
4010
c
2006c
c

2005c
c
1)2006c(2
c
)2005c(2
2005
1i
i
i
2005
1i
i
i
2005
1i
i
i
2005
1i
i
i



































(1).

Đáp án
1) Trước hết ta chứng minh mệnh đề sau:
Cho a, b, c Z và c > 0 thì






































c
1ba
c
b
c
a
c
1b2
c
a2
(2).
0,5đ
Chứng minh :
Theo đònh lý cơ bản thì luôn tồn tại (m,r) ; (n,s) Z
2
sao cho :





sncb
rmca
, trong đó 0  r, s < c.

0,5đ
Ta xét hai trường hợp
˙Nếu s  r  2s + 1  r + s + 1




















c
1sr
c
1s2
c
1sr
c

1s2
(3).
0,5đ
˙Nếu s < r  2r > r + s + 1
0
c
1sr
c
r2
c
1sr
c
r2



















(4). 0,5đ
Từ (3) và (4) ta có





































c
1sr
c
s
c
r
c
1s2
c
r2
. 0,5đ
Khi đó Vt(1) =














































c
1ba
c
b
c
a
c
1sr
nm
c
s
n
c
r
m

(mệnh đề được chứng minh)
0,5đ
2) p dụng mệnh đề (2) cho lần lượt 2005 bộ số : a = c
i
+ 2005 , b = c
i
- 2006 và
c = c
i

, rồi cộng vế theo vế cho ta điều cần chứng minh .
1,0đ
Bài 3 (giải tích dãy)
Xét dãy số (u
n
) đònh bởi :






Nn,)1(2u535u
au
n
uu
1n
1
nn
.
Tuỳ theo a 






;
2
1

xét tính hội tụ của (u
n
) và tìm lim u
n
(nếu có).
Đáp án
1) Tìm điểm bất động :
Xét phương trình x =
2x535
xx

(2).
Ta thấy x = 0 , x = 1 là hai nghiệm của (2) trên R .
0,5đ
Mặt khác xét hàm g(x) =
2x635
xx

.
Ta có g’(x) =
63ln35ln5
xx


03ln35ln5)x(''g
2x2x

, x R (3).
Vậy x = 1 là nghiệm duy nhất của (2) trên







;
2
1
.
0,5đ
2) Xét tính đơn điệu :
˙ Xét hàm : f(x) =
535)x('f2x535
xxxx

.
Ta có thì f ’’(x) = g’’(x) > 0 xR nên f’(x) đồng biến
vì vậy f’(x) có nghiệm duy nhất x = b .
0,5đ
˙ Mà ta có
053ln35ln5
2
1
'f 







 f(
2
1
) > f(b) 
2
1
> b.
0,5đ
Đặt f(
2
1
) = k , ta thấy f(1) = 1