TIỂU LUẬN TOÁN RỜI RẠC HÃY TRÌNH BÀY PHƯƠNG PHÁP CAYLEY DÙNG CÂY ĐỂ TÍNH SỐ ĐỒNG PHÂN HIDROCACBON

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ,
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
------ oOo -----Họ và tên: Lê Minh Đức
Mã số sinh viên: 20020291
Lớp: Tốn rời rạc INT1050_25
Giáo viên: Lê Phê Đơ

TIỂU LUẬN MƠN:
TỐN RỜI RẠC

ĐỀ TÀI:
HÃY TRÌNH BÀY PHƯƠNG PHÁP CAYLEY DÙNG
CÂY ĐỂ TÍNH SỐ ĐỒNG PHÂN HIDROCACBON

TP. Hà Nội, Ngày 21,Tháng 5, Năm 2021


Nhận xét của giáo viên :
………………………………………………………………
………………………………………………………………
………………………………………………………………
………………………………………………………………
………………………………………………………………
………………………………………………………………
………………………………………………………………
………………………………………………………………
………………………………………………………………
………………………………………………………………
………………………………………………………………
………………………………………………………………
………………………………………………………………

………………………………………………………………
………………………………………………………………
………………………………………………………………
………………………………………………………………
………………………………………………………………
………………………………………………………………
………………………………………………………………
………………………………………………………………
………………………………………………………………
………………………………………………………………
………………………………………………………………
………………………………………………………………
………………………………………………………………
………………………………………………………………
………………………………………………………………
………………………………………………………………


LỜI MỞ ĐẦU

Các nhà hóa học có truyền thống lâu đời trong
việc sử dụng các hóa trị nguyên tử để tìm các cấu trúc
phân tử bằng đồ thị. Hóa học dựa vào quy trình đơn
giản này để đạt được tiến bộ; tuy nhiên, bản vẽ không
tạo ra cấu trúc một cách có hệ thống, tức là khơng có
tính hồn chỉnh hoặc tính duy nhất được đảm bảo. Có
phải tất cả các cấu trúc được tạo ra khơng? Một cấu
trúc có được tạo nhiều lần khơng? Lấy ví dụ phân tử
butan (C4H10). Có thể thấy (Hình 1) rằng một cấu
trúc chuỗi thẳng và một cấu trúc phân nhánh là đủ.

Nhưng khi kích thước phân tử ngày càng lớn,
việc tìm kiếm các cấu trúc một cách tồn diện và độc
đáo có thể trở thành một cơng việc khó khăn. Bài báo
này đề cập đến cách chúng ta tạo ra các cấu trúc hóa
học từ các nguyên tắc đầu tiên. So với phương pháp
thực nghiệm dựa vào máy tính, 1 thế hệ cấu trúc
thơng qua ngun lý đầu tiên đã có một q khứ lâu
dài và quanh co.


Hình 1.Cấu trúc của butanes
Khoảng thời gian Darwin cơng bố Nguồn gốc
các lồi của mình, hai nhà tốn học đã nỗ lực tạo cấu
trúc các hợp chất hóa học. Họ được gọi là 'cặp song
sinh bất biến,' 2 Sylvester và Cayley. Ý tưởng của họ
là bắt đầu từ hai lần quan sát.
Đầu tiên, một số phương trình đại số nhất định
khơng thay đổi theo các phép biến đổi hình học (ví
dụ, một đường trịn khơng thay đổi khi quay quanh
một trục qua tâm của nó). Thứ hai, cấu trúc hóa học
và tính chất phân tử cũng khơng thay đổi trong cùng
một sự biến đổi. Kết nối là gì? Sylvester liên quan
đến cấu trúc hóa học, như được hiểu vào thời của
ông, với các dạng đại số bất biến. Kết quả được công
bố 3 vào năm 1878 nhưng không dẫn đến quá xa.
Cayley4 ghi nhận nỗ lực của Sylvester và tập trung
vào các cấu trúc mạch vòng đơn giản. Cayley phát
minh ra một dạng phân tích được gọi là cây đã được
chứng minh là công cụ phù hợp để tạo ra các cấu trúc
hóa học, mặc dù ơng chỉ sử dụng phép phân tích này

để đếm các cấu trúc.


I. SƠ LƯỢC PHƯƠNG PHÁP CAYLEY
Năm 1875, Cayley đã cố gắng liệt kê các ankan
CnH2n+2, hoặc tương đương n-node cây khơng có nhãn trong
đó mỗi nút có mức độ tối đa là 4 và xuất bản một ghi
chú ngắn [Cay75] chứa bảng:
N.
Trung tâm
bicentered
tất cả

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
1 0 1 1 2 2 6 9 20 37 86 183 419 (1)
0 1 0 1 1 3 3 9 15 38 73 174 380 (2)
1 1 1 2 3 5 9 18 35 75 159 357 799 (3)

(Các thuật ngữ "trung tâm" và "bicentered" được định
nghĩa phía dưới.) Bảng này được Busacker và Saaty tái bản
vào năm 1965 [BuS65]và ba chuỗi được bao gồm
trong [HIS].
Trên thực tế, hai cột cuối cùng là do nhầm lẫn, như đã
được Herrmann chỉ ra vào năm 1880 [Her80]. Herrmann sử
dụng một phương pháp khác với Cayley, và đưa ra các giá
trị chính xác 355 (cho n= 12) và 802 (cho n= 13) cho chuỗi
(3). Tuy nhiên, cả trong [Her80] cũng như trong hai ghi chú
sau này của ông [Her97], [Her98] ông không đề cập đến
các chuỗi (1) và (2). Trình tự alkane (3) cũng được thảo
luận trong các tác phẩm của [Los97a], Henze và

Blaire [HeB31],Perry [Per32], Polya [Polya36], [Polya37],
Harary và Norman [HaN60], Lederberg [Led69], Schiff
Losanitsch [Los97], Đọc [Rea76], Harary và Balaban
[RoHB76], và Bergeron, Labelle và
Leroux [BeLL98]. Hàm tạo đơn giản nhất là do Harary và


Norman (xem Phần 4 của [Rea76] hoặc tr. 289 của
[BeLL98]). Tuy nhiên, không ai trong số các tác giả này sử
dụng phương pháp của Cayley, và theo như chúng ta có thể
nói, khơng ai trong số họ thảo luận về các chuỗi (1) và (2).
Năm 1988, R. K. Guy đã viết thư cho N.J.A.S., chỉ ra
rằng có lỗi trong ba chuỗi này, và đề nghị rằng lý thuyết
đếm Polya được sử dụng để mở rộng (1) và (2). (Phiên bản
chính xác của (3), trình tự A602, đã có mặt
trong [HIS].) Để làm như vậy là mục tiêu của ghi chú hiện
tại.
Các trình tự trong cơ sở dữ liệu [EIS] được đánh số
(A1, A2, A3, ...), và một số người đã gợi ý rằng trình tự
"chéo", nên được thêm vào [EIS]. Thực tế là (1) là trình
tự A22 cung cấp thêm động lực để mở rộng nó đến ít nhất
là nhiệm kỳ thứ 22! (Trình tự "chéo" hiện nằm trong cơ sở
dữ liệu, trình tự A31135, cũng như A37181 thậm chí cịn ít
được xác định rõ hơn có thuậtngữ thứ n là 1 + n thuậtngữ
thứ của An.)
Phần khó khăn là xác định chính xác những gì Cayley
đang cố gắng đếm, vì [Cay75] có phần khơng rõ ràng, và
chứa nhiều lỗi đánh máy. Một khi vấn đề đã được xác định,
hóa ra khá dễ dàng để tính tốn các chuỗi này - vì vậy trên
thực tế rất có khả năng điều này đã được thực hiện trong

124 năm kể từ khi [Cay75] xuất hiện. Nhưng chúng tơi đã
khơng thể tìm thấy bất kỳ hồ sơ nào về nó trong tài liệu.


II. PHƯƠNG PHÁP CAYLEY
Một cây có đường kính 2m có một nút độc đáo được gọi
là trung tâm, ở điểm giữa của bất kỳ con đường nào có
chiều dài 2m. Một cây có đường kính 2m+ 1 có một cặp nút
độc đáo được gọi là bicenters, ở giữa bất kỳ con đường nào
có chiều dài 2m+ 1. Các thuật ngữ này được Jordan giới
thiệu vào khoảng năm 1869([Har69],tr. 35).
Cách tiếp cận của Cayley [Cay75] để đếm ankan sử dụng
các khái niệm về trung tâm và trung tâm để giảm vấn đề
cho các câu hỏi đơn giản hơn về cây rễ. Điều này hóa ra là
một cách khó xử để tấn cơng vấn đề (vì khái niệm đường
kính khơng liên quan) và có thể giải thích tại sao khơng ai
khác sử dụng phương pháp này.
Đơn giản hơn là sử dụng khái niệm "centroid" và
"bicentroid", cũng do Jordan (xem Harary [Har69], tr. 36,
để định nghĩa). Năm 1881, Cayley [Cay81] đã tìm thấy sự
tái phát đối với số lượng cây n-node với một centroid (trình
tự A676) và với một bicentroid (A677), cho ơng một cách
đơn giản hơn để liệt kê các cây chưa được trồng (A55). Tuy
nhiên, theo như chúng ta biết Cayley đã không sử dụng
phương pháp centroid / bicentroid để liệt kê ankan
(A602). Điều này dường như lần đầu tiên được thực hiện
bởi Polya [Polya36], [Polya37] vào năm 1936.


Tuy nhiên, mối quan tâm của chúng tôi ở đây là với những

cây tập trung và hai trung tâm.
Chúng tôi sẽ nói rằng một cái cây là k-valent nếu mức
độ của mỗi nút là nhiều nhất k. Ankan chính xác là những
cây 4 giá trị.
Chúng tôi cũng xem xét cây có rễ và xác định một cây
có rễ b-ary là cây trống hoặc cây rễ trong đó mức độ ngồi
của mọi nút (hóa trị khơng bao gồm cạnh kết nối nó với
gốc) nhiều nhất là b. Điều này khái quát hóa khái niệm
về một cây có rễ nhị phân, trường hợp b= 2, đó là cây trống
hoặc cây rễ trong đó mỗi nút có 0, 1 hoặc 2 con trai. (Tài
liệu chứa một số định nghĩa khác về cây nhị phân và bary. Những thuật ngữ này đôi khi đề cập cụ thể đến cây
planar. Cây của chúng tôi không phải là ván, và đặc biệt
khơng có khái niệm về bên phải hay bên trái.)
Chúng tơi sẽ tìm thấy các chức năng tạo cho cây kvalent trung tâm và haitrung tâm.
Sửa chữa k,và để Th,n là số lượng (k-1) -ary rễ cây với n nút
và chiều cao nhiều nhất h. (Chiều cao của một nút trong
cây đã root là số cạnh nối nút với gốc.) Theo quy ước, cây
trống có chiều cao -1. Hãy để Th(z) = SUM n > = 0 T h,
n
n z . Sau đó T-1 (z ) = 1, T0 (z) = 1 + zvà đối với h>1,
Th+1(z) = 1 +zSk-1( Th(z)), (4)
trong đó Sm ( f(z)) biểu thị kết quả thay thế f(z) vào chỉ số
chu kỳ cho nhóm đối xứng của thứ tự m!. Ví dụ,
S3(f(z) = (f(z)3+3f(z)f(z2) + 2f(z3)) / 3!.


Phương trình (4) giữ bởi vì nếu chúng ta loại bỏ gốc
và các cạnh liền kề khỏi một cây rễ có chiều cao h+1,
chúng ta sẽ bị bỏ lại với một cây khơng có thứ tự(k-1) tuple của cây có chiều cao h.
Hãy để C2h,n là số cây k-valent trung tâm với n nút và

đường kính 2hvà để C2h(z) = SUM n > = 0 C2h, n zn. Bằng cách
xóa nút trung tâm và các cạnh liền kề, chúng ta thấy rằng
bất kỳ cây nào như vậy tương ứng với một k-tuplekhơngcó
thứ tự có chiều cao tối đa h-1, ít nhất hai trong số đó có
chiều cao chính xác h-1. do đó
C2h= ( 1 +zSk( Th-1(z))) - (1 +zSk( Th-2(z))) - (Th-1(z)-Th-2(z))
(Th-1(z) - 1 ).(5)
Ba biểu thức trong (5) chiếm k-tuples của cây rễ có
chiều cao tối đa h-1, k-tuples của cây có chiều cao tối đa h2, và rễ cây với chính xác một cây con ở gốc với chiều cao
h-1, tương ứng.
Cuối cùng, hãy để Cn biểu thị số lượng cây k-valent
trung tâm với n nút và C(z) = SUM n > = 0 C nzn. sau đó
C(z) = SUMh >=0C2h(z) .
Đối với k = 4 chúng tôi có được
C(z) = z + z3+ z4+ 2z5+ 2z6+ 6 z7+ 9 z8+ 20 z9+ 37 z10+ 86
z11+ 181 z12+ 422 z13+ ...
đó là phiên bản sửa chữa của chuỗi Cayley (1), A22. (Xem
bảng dưới đây.)
Cây hai trung tâm dễ xử lý hơn. Để B2h+1,n là số cây k valent haitrung tâm có n nút và đường kính 2h+1, để
B2h+1 (z) = SUM n > = 0 B2h+1,n zn, hãy b n là tổng số cây k-


valent hai trung tâm với n nút và để B(z) = SUM n >
= 0 B n zn. Vì một cây hai trung tâm tương ứng với một cặp
cây có rễ khơng có thứ tự (k-1) - cây có chiều cao chính
xác h, chúng tơi có
B2h+1(z) =S2( Th(z) -Th-1(z)) ,
và sau đó
B(z) = SUMh> = 0B2h+1(z) .
Đối với k = 4 chúng tơi có được

B(z) =z2+z4+z5+ 3z6+ 3 z7+ 9 z8+ 15 z9+ 38 z10+ 73 z11+ 174
z12+ 380 z13+ ...
Trình tự của Cayley (2), A200 (hóa ra là chính xác).
Hàm tạo cho alkenes (A602) sau đó là
C(z) +B(z) =z+z2+z3+ 2z4+ 3z5+ 5z6+ 9 z7+ 18 z8+ 35 z9+ 75
z10+ 159 z11+ 355 z12+ 802 z13+ ...
đồng ý với Henze và Blair [HeB31] (ngoại trừ giá trị họ
đưa ra cho n = 19, 147284, là khơng chính xác: nó phải là
148284). Các thuật ngữ khác được hiển thị trong bảng sau:
Bảng:Số lượng cây 4 giá trungtâm, haitrung tâm và không
hạn chế với n nút
N.
Trung tâm
bicentered
tất cả
(A22)
(A200)
(A602)
1
1
0
1
2
0
1
1
3
1
0
1

4
1
1
2
5
2
1
3


6
2
7
6
8
9
9
20
10 37
11 86
12 181
13 422
14 943
15 2223
16 5225
17 12613
18 30513
19 74883
20 184484
21 458561

22 1145406
......................

3
3
9
15
38
73
174
380
915
2124
5134
12281
30010
73401
181835
452165
1133252
...

5
9
18
35
75
159
355
802

1858
4347
10359
24894
60523
148284
366319
910726
2278658
...

Nếu chúng ta đặt k = 3 trong công thức trên (tương
ứng với cây 3 giá trị trung tâm, hai trung tâm và không hạn
chế), chúng ta sẽ có được các chuỗi A675, A673 và A672,
trong đó các thuật ngữ ban đầu được Cayley xuất bản
(chính xác) trong một bài báo năm 1875 khác [Cay75a], và
các thuật ngữ khác đã được tính tốn bởi R. W. Robinson
vào năm 1975 [Rob75].


Đối với k = 5 và 6 trình tự kết quả
(A36648, A36649, A36650, A36651, A36652, A36653)
dường như là mới.

III.
TIÊU CHÍ VÀ TIỀM NĂNG CỦA
PHƯƠNG
PHÁP
CAYLEY
Kết quả của Cayley(5) đã gây ra nhiều sửa đổi ngay

sau đó,(6),(7) một phần vì một số lỗi được tìm thấy trong
bài báo của mình, vì ơng đã sử dụng một phương pháp có
thể quản lý và nhưng tốn nhiều công sức để tách cây (bao
gồm các dòng và nút) thành những cái trung tâm và hai tâm
(Hình 2). Tuy nhiên, những gì Cayley thiết lập nên được
coi là một cơng cụ phân tích hơn là một phép tính. Khoảng
70 năm sau, phương pháp của ơng đã được Otter(8) chứng
minh một cách nghiêm ngặt và được tổng quát hóa bởi
Harary và Norman9 (xem Phần IV). Những tác giả này đã
cải thiện phương pháp của Cayley bằng cách bỏ qua các
cây trung tâm và hai trung tâm. Kết quả là, phương pháp
này trở nên khó thực hiện thủ cơng hơn, nhưng dễ viết mã
hơn (vì các bước lặp đi lặp lại hơn; xem Yeh(10) về mã
hóa). Bài báo hiện tại chỉ ra rằng Cayley và các tác giả nói
trên đã vơ tình (hoặc khơng được báo cáo) đã phát hiện ra
một cơng cụ tốn học để tổng hợp một phần tốt của 10-20
triệu hợp chất hóa học được biết đến ngày nay.


Hình 2. Ví dụ về (a) cây trung tâm và (b) cây hai tâm.
Lấy cảm hứng từ cơng trình của Sylvester về việc trao
đổi các biến trong tính tốn vi phân, Cayley4 bắt đầu khái
niệm cây toán học. Theo thuật ngữ hiện đại, cây có rễ được
liệt kê bởi sự mở rộng chuỗi của một hàm f(x) của một biến
độc lập x như được thể hiện trong phương trình ( ) .
f(x) = xe^f(x) (1)
Sau đó, cơng thức của Otter(8): F(x) = f(x)1/2{[f(x)]^2 –f(x^2)} được sử dụng để chiết xuất cây
khơng có rễ (xem Hình 3). Cayley khơng giới hạn số lượng
các dòng kết nối với một nút trong cây đến bốn, nhưng bốn
tình cờ là hóa trị của một nguyên tử carbon trong tất cả các

hợp chất hữu cơ. Chúng tơi có thể áp dụng sơ đồ của
Cayley trong các hợp chất hữu cơ và bao gồm các nguyên
tử thiết yếu khác như nitơ, oxy và halogen. Trong Phần III
và IV, chúng ta sẽ sử dụng sơ đồ của Cayley trên lớp phân
tử hữu cơ đơn giản nhất, chuỗi alkane (CnH2n +2), để
minh họa hai điểm. Một là cho thấy kế hoạch của ông tuân
thủ khái niệm cấu trúc hóa học như thế nào, mặc dù bản
thân ơng đã đối xử với loạt alkane khác nhau như thế nào bằng cách đếm 4 cây trung tâm và hai tâm. Vấn đề khác là
vấn đề trung tâm của bài báo này: Các nguyên tố hóa học


có thể đóng vai trị là các biến tốn học và phương trình là
nguồn tạo ra các cơng thức hóa học.

Hình 3. Ví dụ về rễ trên cây: (a) rễ; (b) khơng có root.
Về bản chất, bản năng vẽ của chúng ta khơng hồn
tồn hoạt động trên các cấu trúc hóa học. Chiến lược đúng
đắn là lùi lại một bước và tìm tất cả các cấu trúc đã root (có
nhãn) trước tiên, như được hiển thị trong Phần III, và sau
đó bỏ gắn nhãn chúng, như trong Phần IV.

Tham khảo
A. Cayley, Rep. Br. Assoc. Adv. Sci., 257-304 (1875).
6. H.R. Henze and C.M. Blair, J. Am. Chem. Soc. 53,
3077-3085 (1931); 55, 680-686 (1933). 12
7. N. Trinajstić, Chemical Graph Theory, CRC Press, Boca
Raton, FL, 1983.
8. R. Otter, Ann. Math. 49, 583-599 (1948).
[BeLL98] F. Bergeron, G. Labelle và P. Leroux, Các loài tổ
hợp và cấu trúc giống như cây,Camb. Univ. Press, 1998,

xem tr. 290.


R. G. Busacker và T. L. Saaty, Finite Graphs and
Networks, McGraw-Hill, NY, 1965, xem tr. 201.
[Cay75] A. Cayley, Ueber chết analytischen Figuren,
welche in der Mathematik Bäume genannt werden und ihre
Anwendung auf die Theorie chemischer
Verbindungen, Ber. deutsch. chem. Ges., 8 (1875), 10561059.
[Cay75a] A. Cayley, Trên các dạng phân tích được gọi là
cây, với các ứng dụng cho lý thuyết kết hợp hóa học, Báo
cáo Assoc. Anh Adv. Sci., 45 (1875), 257-305 = Toán,Tập
9, tr. 427-460 (xem tr. 451).
[Cay81] A. Cayley, Trên các hình thức phân tích được gọi
là cây, Amer. J. Math., 4 (1881), 266-268.
[Har69] F. Harary, Lý thuyết đồ thị,Addison-Wesley,
Reading, MA, 1969.
[HaN60] F. Harary và R. Z. Norman, Định lý đặc trưng
khác nhau cho đồ thị, Proc. Amer. Math. Soc., 54 (1960),
332-334.
[HeB31] H. R. Henze và C.M. Blair, Số lượng hydrocarbon
đồng phân của loạt mêtan, J. Amer. Chem. Soc., 53 (1931),
3077-3085.
[Her80] F. Hermann, Ueber das Problem, chết Anzahl der
isomeren Paraffine der Formel CnH2n+2 zu bestimmen, Ber.
deutsch. chem. Ges., 13 (1880), 792. [Cả tên tác giả và
cơng thức hóa học đều khơng chính xác.]
[Her97] F. Herrmann, Ueber das Problem, chết Anzahl der
isomeren Paraffine von der Formel CnH2n+2 zu
bestimmen, Ber. deutsch. chem. Ges., 30 (1897), 24232426.

[Her98] F. Herrmann, Entgegnung, Ber. deutsch. chem.
Ges., 31 (1898), 91.


[Led69] J. Lederberg, Topology of molecules, tr. 37-51
of The Mathematical Sciences, M.I.T. Press, Cambridge,
MA, 1969.
[Los97] S.M. Losanitsch, Die Isomerie-Arten bei den
Homologen der Paraffin-Reihe, Ber. deutsch. chem.
Ges., 30 (1897), 1917-1926.
[Los97a] S.M. Losanitsch, Bemerkungen zu der
Hermannschen Mittheilung: Die Anzahl der isomeren
Paraffine, Ber. deutsch. chem. Ges., 30 (1897), 3059-3060.
[Per32] D. Perry, Số lượng đồng phân cấu trúc của một số
đồng phân của một số đồng phân của metan và
methanol, J. Amer. Chem. Soc., 54 (1932), 2918-2920.
[Polya36] G. Polya, Đại số Berechnung der Anzahl der
Isomeren einiger organischer Verbindungen, Zeit. f.
Kristall., 93 (1936), 415-443.
[Polya37] G. Polya, Kombinatorische
Abzahlbestimmungen für Gruppen, Graphen und
chemische Verbindungen, Acta Math. 68 (1937), 145254. Dịch là G. Polya và R.C. Đọc, Liệt kê tổ hợp các
nhóm, đồ thị và hợp chất hóa học,Springer-Verlag, NY,
1987.
[Rea76] R.C. Read, Liệt kê các hợp chất hóa học tuần hoàn,
các trang 25-61 của A. T. Balaban, chủ đề, Ứng dụng hóa
học của lý thuyết đồ thị,Báo chí học thuật, NY, 1976.
[Rob75] R. W. Robinson, giao tiếp cá nhân, 1975.
[RoHB76] R. W. Robinson, F. Harary và A. T. Balaban, Số
lượng ankan chiral và achiral và ankan thay thế

đơn, Tứdiện , 32 (1976), 355-361.
[Sch75] H. Schiff, Zur Statistik chemischer
Verbindungen, Ber. deutsch. chem. Ber., 8 (1875), 15421547.


[HIS] N. J. A. Sloane, Cẩm nang trình tự số nguyên,Báo chí
học thuật, NY, 1973.
[EIS] N. J. A. Sloane, Bách khoa tồn thưtrực tuyến về
trình tự số ngun , được xuất bản điện tử tại
www.research.att.com/~njas/sequences/.