LTDH Cap Toc Luong Giac GV Doan Van Tinh

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Chuyên đề. LƢỢNG GIÁC Phần 1: CÔNG THỨC 1. Hệ thức LG cơ bản sin 2   cos 2   1. tan  . sin  cos . tan  .cot   1.        k  2  . cot  . 1     tan 2   1    k  2 2 cos    2. Công thức LG thường gặp sin  a  b   sinacosb  sinbcosa. cos  sin .   k  . 1  cot 2   1   k  2 sin . Công thức cộng: cos  a  b   cos a cos b  sinasinb tan  a  b  . tana  tanb 1  tanatanb. sin 2a  2sin a.cos a cos 2a  cos 2 a  sin 2 a  2 cos 2 a  1  1  2sin 2 a Công thức nhân:. cos 3a  4 cos3 a  3cos a sin 3a  3sin a  4sin 3 a tan 3a =. Tích thành tổng:. Tổng thành tích:. Công thức hạ bậc:. 3 tan a  tan 3 a 1  3 tan 2 a. 1 cosa.cosb = [cos(ab)+cos(a+b)] 2 1 sina.sinb = [cos(ab)cos(a+b)] 2 1 sina.cosb = [sin(ab)+sin(a+b)] 2 ab a b sin a  sin b  2sin cos 2 2 ab a b sin a  sin b  2cos sin 2 2 ab a b cos a  cos b  2cos cos 2 2 ab a b cos a  cos b  2sin sin 2 2 sin(a  b) tan a  tan b  cos a.cos b 1 cos2a = (1+cos2a) 2 1 sin2a = (1cos2a) 2. LTĐH Cấp Tôc 2014 Q Bình Tân & Q11 Hồ Chí Minh. 1. GV: Đoàn Văn Tính(0946069661).

<span class='text_page_counter'>(2)</span> \ Biểu diễn các hàm số LG theo t  tan. sin a . a 2. 2t 1- t 2 2t ; cos a  ; tan a  . 2 2 1 t 1 t 1 t2. 3. Phương trìng LG cơ bản u  v  k 2 * sinu=sinv   u    v  k 2. * cosu=cosvu=v+k2. * tanu=tanv  u=v+k * cotu=cotv  u=v+k  k  Z  . 4. Một số phương trình LG thường gặp 1. Phƣơng trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lƣợng giác: a. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác: để giải các phương trình này ta dùng các công thức LG để đưa phương trình về phương trình LG cơ bản. b. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác: là những phương trình có dạng a.sin2x+b.sinx+c=0 (hoặc a.cos2x+b.cosx+c=0, a.tan2x+b.tanx+c=0, a.cot2x+b.cotx+c=0) để giải các phương trình này ta đặt t bằng hàm số LG.. 2. Phƣơng trình bậc nhất đối với sinx và cosx: Dạng: asinx+bcosx=c. Điều kiện để phương trình có nghiệm là a 2  b2  c2 . b c Cách 1: Chia hai vế phương trình cho a rồi đặt  tan  , ta được: sinx+tancosx= cos  a a ñaë t c c  sinx cos  + sin  cosx= cos   sin(x+  )= cos   sin  . a a Cách 2: Chia hai vế phương trình cho a 2  b2 , ta được: a b c sin x  cos x  a 2  b2 a 2  b2 a 2  b2 a b Đặt:  cos  ;  sin  . Khi đó phương trình tương đương: 2 2 2 a b a  b2 ñaët c c hay sin  x     cos  sin x  sin  cos x   sin  . a 2  b2 a 2  b2 x Cách 3: Đặt t  tan . 2 3. Phƣơng trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx: Dạng: asin2x+bsinxcosx+ccos2x=0 (*).. .  k . 2 + Giả sử cosx0: chia hai vế phương trình cho cos2x ta được: atan2x+btanx+c=0. 1     tan 2 x  1  x   k  Chú ý: 2 2 cos x   Cách 2: Áp dụng công thức hạ bậc. 4. Phƣơng trình đối xứng đối với sinx và cosx: Dạng: a(sinx cosx)+ bsinxcosx=c. Cách giải: Đặt t= sinx cosx. Điều kiện  t   2 .. Cách 1: + Kiểm tra nghiệm với x .     Lưu ýcác công thức : sin x  cos x  2 sin  x    2 cos  x   4 4       sin x  cos x  2 sin  x     2 cos  x   4 4    LTĐH Cấp Tôc 2014 Q Bình Tân & Q11 Hồ Chí Minh. 2. GV: Đoàn Văn Tính(0946069661).

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Phần 2: VẬN DỤNG CÁC PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÔNG MẪU MỰC. Ví dụ 1: Giải phương trình : sin 2 x(cot x  tan 2 x)  4cos2 x (1).   x  k  sin x  0  Điều kiện:     cos 2 x  0 x   k   4 2  cos x sin 2 x cos 2 x cos x  sin 2 x sin x cos x    Ta có: cot x  tan 2 x  sin x cos 2 x sin x cos 2 x sin x cos 2 x cos x (1)  2sin x cos x  4cos 2 x sin x cos 2 x cos2 x   2cos2 x  cos2 x(1  2cos 2 x)  0 cos 2 x   x   k   cos x  0 2   cos 2 x  1 / 2   x     k  6 Vậy,phương trình có nghiệm: x . Ví dụ 2: Giải phương trình:. .  k , x  . . 6 2 sin 4 2 x  cos4 2 x. . .  k.  cos4 4 x. (1). tan(  x) tan(  x) 4 4      sin( 4  x)cos( 4  x)  0 sin( 4  2 x)  0 Điều kiện:    cos 2 x  0    sin(  x)cos(  x)  0 sin(  2 x)  0   4 4 4   1  tan x 1  tan x tan(  x) tan(  x)  . 1 4 4 1  tan x 1  tan x (1)  sin 4 2 x  cos4 2 x  cos4 4 x  1  2sin 2 2 x cos2 2 x  cos4 4 x. 1 1  1  sin 2 4 x  cos4 4 x  1  (1  cos2 4 x)  cos 4 4 x 2 2  2cos4 4 x  cos2 4 x  1  0  cos2 4 x  1   1  cos2 4 x  0  sin 4 x  0  x  k 4 Vậy,phương trình có nghiệm: x  k. LTĐH Cấp Tôc 2014 Q Bình Tân & Q11 Hồ Chí Minh. . 2 3. GV: Đoàn Văn Tính(0946069661).

<span class='text_page_counter'>(4)</span> 5 Ví dụ 3: Giải phương trình : sin8 x  cos8 x  2(sin10 x  cos10 x)  cos 2 x 4 5  sin8 x(1  2sin 2 x)  cos8 x(2cos2 x  1)  cos 2 x 4 5  sin8 x cos 2 x  cos8 x cos 2 x  cos 2 x 4  4cos 2 x(cos8 x  sin8 x)  5cos 2 x  0  4cos 2 x(cos4 x  sin 4 x)(cos4 x  sin 4 x)  5cos 2 x  0  4cos2 x(cos2 x  sin 2 x)(cos2 x  sin 2 x)(cos4 x  sin 4 x)  5cos2 x  0. 1  4cos 2 x(cos2 x  sin 2 x)(1  sin 2 2 x)  5cos 2 x  0 2 1  4cos2 2 x(1  sin 2 2 x)  5cos 2 x  0 2  4cos 2 x(4cos 2 x  2cos 2 x sin 2 2 x  5)  0  4cos 2 x[4cos 2 x  2cos 2 x(1  cos2 2 x)  5]  0.    4cos 2 x(2cos3 2 x  2cos 2 x  5)  0  cos2 x  0  x   k 4 2. Ví dụ 4. Giải phương trình: sin2x + sin23x = cos22x + cos24x (1). Giải 1  cos 2 x 1  cos 6 x 1  cos 4 x 1  cos8 x Phương trình (1) tương đương với:    2 2 2 2  cos2x+cos4x+cos6x+cos8x = 0  2cos5xcosx+2cos5xcos3x = 0  2cos5x(cos3x+cosx) = 0  4cos5x.cos2x.cosx = 0 π kπ π    x  10  5 5 x  2  kπ cos 5 x  0   π π lπ    cos 2 x  0  2 x   kπ   x   , ( k , l , n  )   2 4 2 cos x  0    x  π  nπ  x  π  kπ   2 2 6 6 8 8 Ví dụ 5. Giải phương trình: cos x+sin x = 2 ( cos x+sin x) (2). Giải Ta có (2)  cos6x(2cos2x1) = sin6x(12sin2 x)  cos2x(sin6x–cos6x) = 0  cos2x(sin2x–cos2x)(1+sin2x.cos2x) = 0  cos2x = 0  2x . π π kπ  kπ  x   , (k ) 2 4 2. Ví dụ 6: Giải phương trình: 8 2 cos6 x  2 2 sin3 x sin 3x  6 2 cos 4 x 1  0 (3). Giải LTĐH Cấp Tôc 2014 Q Bình Tân & Q11 Hồ Chí Minh. 4. GV: Đoàn Văn Tính(0946069661).

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Ta có: (3)  2 2 cos3 x(4 cos3 x  3cos x)  2 2 sin 3 x sin 3 x  1  0.  2 cos 2 x.2 cos x cos 3x  2sin 2 x.2sin x sin x3 x  2  (1  cos 2 x)(cos 2 x  cos 4 x)  (1  cos 2 x)(cos 2 x  cos 4 x)  2  2(cos 2 x  cos 2 x cos 4 x)  2  cos 2 x(1  cos 4 x)   cos 2 x.cos 2 2 x   cos 2 x . 2 2. 2 4. 2 π  x    kπ , (k  ) 2 8. Ví dụ 7. Giải phương trình lượng giác: sin8 x  cos8 x . 17 32. (4).. Giải Ta có (4) 4. 4. 1 17  1  cos 2 x   1  cos 2 x  17 4 2      32  8 (cos 2 x  6 cos 2 x  1)  32 2 2    .  1 t  2 17 13 2 2 Đặt cos 2x = t, với t[0; 1], ta có t  6t  1   t  6t   0   4 4 t   13  2 1 1 cos 4 x 1 1 Vì t[0;1], nên t   cos 2 2 x    2 2 2 2 π π π cos4x = 0  4 x   kπ  x   k , (k ) 2 8 4 2. Ví dụ 8. Giải phương trình lương giác: 2sin3x – cos2x + cosx = 0 (5) Giải Ta có (5)  2(1 cos2x)sinx + 2 – 2 cos2x + cosx – 1 = 0  (1 cosx )[2(1 + cosx)sinx + 2(1 + cosx)  1] = 0  (1 – cosx)(2sinx+ 2cosx + 2sinxcosx+1) = 0 cos x  1  x  k 2π, (k  )   2sin x  2cos x  2sin x cos x  1  0 (*). Giải (*): Đặt sinx + cosx = t, điều kiện | t | 2 , khi đó phương trình (*) trở thành: t  0 π 2t + t2 – 1 + 1 = 0  t2 + 2t = 0    sin x  -cos x  x    nπ , (n  ) 4 t  2 (lo¹i) π Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x    nπ ; x  k 2π, ( n, k ) 4 BÀI TẬP Giải các phƣơng trình sau: 1. cos3x+cos2x+2sinx–2 = 0. ĐS: x  k 2 ; x . . 2.  n2. 2. tanx.sin2x2sin2x=3(cos2x+sinx.cosx) ĐS: x  . HD: Chia hai vế cho sin2x.  4.  k ; x  .  3.  n2. 3. 2sin3x(1/sinx)=2cos3x+ (1/cosx) LTĐH Cấp Tôc 2014 Q Bình Tân & Q11 Hồ Chí Minh. 5. GV: Đoàn Văn Tính(0946069661).

<span class='text_page_counter'>(6)</span> ĐS: x   ĐS: x  k. 4. |sinxcosx| + |sinx+cosx|=2 5. 4(sin3xcos2x)=5(sinx1). ĐS: x .  2.  4. ;x  .  12.  n ; x . 7  m . 12. .. 1  k 2 ; x    n2 ; x      l 2 ; với sin    . 2 4. ĐS: x .     7. sin  3x    sin 2 x.sin  x   4 4   3 3 3 8. sin x.cos3x+cos x.sin3x=sin 4x. ĐS: x . . 4. . 4.  k .. k.  2. . ĐS: x  k. HD: sin2x.sinx.cos3x+cos2x. cosx.sin3x=sin34x. 1  sin x. 4. k. . 6. sinx4sin3x+cosx =0. 9.. . . 12    x  4  k   ĐS:  x   k  8   x  5  k  8.  7   4 sin   x 3    4  sin  x   2   1. 10. sin3 x  3 cos3 x  sin x cos2 x  3 sin 2 x cos x ĐS: x = . HD: Chia hai vế cho cos3x 11. 2sinx(1+cos2x)+sin2x=1+2cosx ĐS: x . HD: Đưa về cung x đặt thừa số.  4. .  k  x  . 3.  k , x  .  4.  k. 2  k 2 (k  ) 3. 12. sin2x+cos2x=1+sinx–3cosx (1). 13. 2sinx+cotx=2sin2x+1. 14. 1+sinx+cosx+sin2x+2cos2x=0.. 2  cos x  sin x  1   ĐS : x    k 2  k   tan x  cot 2 x cot x  1 4 4 4 sin x  cos x 1   tan x  cot x  ĐS:vô nghiệm. 16. Giải phƣơng trình: sin 2 x 2   17. Giải phƣơng trình: 2sin 2  x    2sin 2 x  tan x . 15. Giải phƣơng trình lƣợng giác:. . HD  (1–sin2x)(cosx–sinx) = 0.. 4. 18. Giải phƣơng trình: sin 2 x  cos x  3  2 3cos3 x  3 3cos2 x  8. . . 3 cos x  sinx  3 3  0 ..   x   k  ,k  ĐS: 3   x  k 2.   19. Giải phƣơng trình: cosx=8sin3  x   ĐS: x  k 6  2  cos x  sin x  1   20. Giải phƣơng trình lƣợng giác: ĐS: x    k 2  k    tan x  cot 2 x cot x  1 4 21. Giải phƣơng trình: cos 2 x  5  2(2  cos x)(sin x  cos x) LTĐH Cấp Tôc 2014 Q Bình Tân & Q11 Hồ Chí Minh. 6. GV: Đoàn Văn Tính(0946069661).

<span class='text_page_counter'>(7)</span>  x    k 2 ĐS:  2 (k  Z )  x    k 2  22. Giải phƣơng trình: 2cos3x +  k ĐS: x =  (kZ) 3 2. 3 sinx + cosx = 0. 23. Giải phƣơng trình cos3xcos3x – sin3xsin3x =. 23 2 8. ĐS: x  .  16. k.  2. ,k Z .. : PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC TRONG CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ 2002 ĐẾN 2009 KHỐI A cos 3x  sin 3x   1. Tìm nghiệm thuộc khoảng (0;2) của phương trình: 5  sin x    cos 2 x  3 1  2sin 2 x    5 ĐS: x  ; x  . 3 3 cos 2 x 1 2. Giải phương trình: cot x  1   sin 2 x  sin 2 x 1  tan x 2. . . ĐS: x  .  4.  k , x .  2. . . . . 1  sin x. ĐS: x  .  18. 1. k. 2 ,  k   3 (1  sinx  cos 2 x) s in( x . 8. Giải phương trình. ( A_2005). ( A_2006). ( A_2007).  k 2 , x  k 2  k  .  7   4 sin   x 3    4  sin  x   2     5 ĐS: x   k , x   k , x   k ,  k   4 8 8 1  2 sin x  cos x 7. Giải phương trình:  3. 1  2 sin x 1  sin x . 6.. ( A_2003). .  k  k   4 3. Giải phương trình: cos2 3x cos 2 x  cos2 x  0 k ĐS: x   k   2 2 cos6 x  sin 6 x  sin x cos x 0 4. Giải phương trình: 2  2sin x 5 ĐS: x   k 2  k   4 5. Giải phương trình: 1  sin 2 x cos x  1  cos2 x sin x  1  sin 2 x. ĐS: x . ( A_2002).. 1  t anx. ( A_2008). ( A_2009). . ) 4  1 cos x 2. 1  sin 2 x  cos2 x  2 sin x sin 2 x 1  cot 2 x 10. Giải phương trình 3 sin2x+cos2x=2cosx-1   11. Giải phương trình 1  tan x  2 2 sin  x   4  9. Giải phương trình. LTĐH Cấp Tôc 2014 Q Bình Tân & Q11 Hồ Chí Minh. 7. (A-2010). (A-2011) (A-2012) (A-2013). GV: Đoàn Văn Tính(0946069661).

<span class='text_page_counter'>(8)</span> KHỐI B 12. Giải phương trình sin 2 3x  cos2 4 x  sin 2 5x  cos2 6 x ĐS: x  k. . ;x k. 9. . 2. ,  k  . 13. Giải phương trình cot x  tan x  4sin 2 x . . 2 sin 2 x. ( B_2003).  k ,  k   3 14. Giải phương trình 5sin x  2  3 1  sin x  tan 2 x. ĐS: x  . . ( B_2004). 5  k 2 ,  k   6 6 15. Giải phương trình 1  sin x  cos x  sin 2x  cos 2x  0. ĐS: x .  k 2 ; x . x  16. Giải phương trình: cot x  sin x 1  tan x tan   4 2   5 ĐS: x   k ; x   k ,  k   12 12 17. Giải phương trình: 2sin 2 2 x  sin 7 x  1  sin x  2 5 2 ĐS: x   k ;x  k ,  k   18 3 18 3 18. Giải phương trình sin3 x  3 cos3 x  sin x cos2 x  3 sin 2 x cos x. . . k. . ;x . 2k   , x    2k ,  k   7 6 20. Giải phương trình (sin 2x  cos2x) cos x  cos2x  sinx=0 21. Giải phương trình sin2x cos x+sinxcosx=cos2x+sinx  cos x 42. ( B_2007). ( B_2008). ( B_2009). . 22. Giải phương trình 2(cos x  3 sin x) cos x  cos x  3 sin x  1. 23. Giải phương trình sin 5x  2cos2 x  1 KHỐI D 24. Tìm x[0;14] cos3x4cos2x+3cosx4=0  3 5 7 ĐS: x  ; x  ;x  ;x  2 2 2 2 x x  25. sin 2    tan 2 x  cos 2  0 2 4 2  .  3. (B-2010) (B-2011) (B-2012) (B-2013). (D_2002). ( D_2003). .  k ,  k   4 26. Giải phương trình  2cos x  1 2sin x  cos x   sin 2 x  sin x. ĐS: x    k 2 , x  . ĐS: x  . ( B_2006). .  k ,  k   4 2 3 19. Giải phương trình: sin x  cos xsin 2 x  3 cos3 x 2 cos 4 x sin 3 x  .. ĐS: x . ( B_2005). 2  k 2  k   3. ĐS: x  . ĐS: x . ( B_2002).  k 2 , x  .  4. ( D_2004).  k ,  k  .    3  27. Giải phương trình: cos4 x  sin 4 x  cos  x   sin  3x     0 4 4 2    LTĐH Cấp Tôc 2014 Q Bình Tân & Q11 Hồ Chí Minh. 8. ( D_2005) GV: Đoàn Văn Tính(0946069661).

<span class='text_page_counter'>(9)</span> .  k ,  k   4 28. Giải phương trình: cos3x+cos2xcosx1=0 2 ĐS: x    k 2 ,  k   3 2 x x  29. Giải phương trình  sin  cos   3 cos x  2 2 2 . ĐS: x . . ( D_2006). (D_2007). .  k 2 ,  k   2 6 30. Giải phương trình 2sinx(1+cos2x)+sin2x=1+2cosx 2  ĐS: x    k 2 , x   k ,  k   3 4 31. Giải phương trình 3 cos 5x  2sin 3x cos 2 x  sin x  0. ĐS: x . .  k 2 , x  . . . 18. k. 3. ,x. k. ( D_2009). . ,  k   6 2 32. Giải phương trình sin2x  cos2 x  3sin x  cos x  1  0 sin2x  2cos x  s in x  1 33. Giải phương trình 0 3  t anx. ĐS: x . (D_2008). 34. Giải phương trình sin3x + cos3x – sinx + cosx =. 2 cos2x. (D-2010) (D-2011) (D-2012). 35. Giải phương trình sin 3x  3 cos 3x  2sin 2 x  4 2 ĐS: x   k 2 , x  k ,  k   3 15 5 36. Giải phương trình (1+2sinx)2cosx=1+sinx+cosx  5 ĐS: x   k , x   k ,  k   12 12 Hết “Chúc các em thành công “. LTĐH Cấp Tôc 2014 Q Bình Tân & Q11 Hồ Chí Minh. 9. GV: Đoàn Văn Tính(0946069661).

<span class='text_page_counter'>(10)</span>