Lớp liên hợp và ứng dụng vào quan hệ đồng chất trên các p nhóm

1
B GIÁO D C VÀ ĐÀO T O
Đ I H C ĐÀ N NG

NGUY N TH NG C HUY N

L P LIÊN H P VÀ NG D NG
VÀO QUAN H Đ NG CH T TRÊN
CÁC p-NHĨM

Chun ngành: Phương pháp tốn sơ c p
Mã s : 60.46.40

TÓM T T LU N VĂN TH C SĨ KHOA H C

Đà N ng – Năm 2011


2
Cơng trình đư c hồn thành t i
Đ I H C ĐÀ N NG

Ngư i hư ng d n khoa h c: Ti n sĩ Nguy n Ng c Châu

Ph n bi n 1: TS. Lê HồngTrí
Ph n bi n 2: PGS. TS Huỳnh Th Phùng

Lu n văn ñư c b o v trư c H i ñ ng ch m Lu n văn t t
nghi p th c sĩ khoa h c h p t i Đ i h c Đà N ng vào
ngày 26 tháng 11 năm 2011

Có th tìm hi u lu n văn t i:
- Trung tâm Thông tin – H c li u, Đ i h c Đà N ng
- Thư vi n trư ng Đ i h c Sư Ph m, Đ i h c Đà N ng


3

M

Đ U

1. Lý do ch n đ tài
Bài tốn t ng quát c a nhóm h u h n, là xác đ nh các nhóm
có c p cho trư c, ñã ñư c ñ ra b i A.Cayley năm 1878. Đây là bài
tốn khó và cho đ n nay v n chưa có l i gi i đ y đ . Năm 1939,
P.Hall ñã ñ xu t m t quan đi m phân lo i nhóm, thơ hơn phân lo i
đ ng c u, như sau:
Hai nhóm G và H ñư c g i là ñ ng ch t n u t n t i hai
ñ ng c u
ϕ : G / Z (G ) → H / Z ( H ) và ψ : [G , G ] → [H , H ] sao cho bi u ñ
sau giao hốn
ϕ ×ϕ
G / Z (G ) × G / Z (G )

H / Z (H ) × H / Z (H )

∂G

[G, G ]

∂H

ψ

[H , H ]

trong đó Z(G) và [G, G ] l n lư t là nhóm con tâm và nhóm con
giao hốn t c a G ; ∂ G ho c ∂ H là hai ánh x ñư c cho b i

(x, y ) a [x, y ]; v i x, y thu c G ho c H.

Cho a, b là hai ph n t c a m t nhóm G. Ta nói ph n t
liên h p v i ph n t

b

a n u ∃ x ∈ G sao cho b = xax . Quan h
−1

liên h p này là m t quan h tương ñương trên nhóm G, và có vai trị
nh t đ nh ñ i v i bài toán phân lo i ñ ng ch t các nhóm h u h n.


4
Nh m tìm hi u quan h liên h p trong m t nhóm và ng
d ng c a nó vào quan h ñ ng ch t gi a các nhóm, tơi ch n đ tài
lu n văn th c s c a mình là “L p liên h p và ng d ng vào quan
h ñ ng ch t trên các p - nhóm”.
2. M c đích nghiên c u
- Nghiên c u c u trúc nhóm và quan h liên h p trên m t

nhóm.
- Nghiên c u quan h đ ng ch t gi a các nhóm và ng d ng
c a quan h liên h p vào quan h ñ ng ch t.
3. Đ i tư ng và ph m vi nghiên c u
- Nhóm và p - nhóm h u h n
- Quan h liên h p trong m t nhóm
- Quan h đ ng ch t gi a các nhóm
- L p liên h p c a nh ng nhóm quen bi t
-

ng d ng c a quan h liên h p vào quan h ñ ng ch t

gi a m t vài l p p – nhóm.
4. Phương pháp nghiên c u
- Nghiên c u các tài li u v lý thuy t nhóm có liên quan đ n
n i dung lu n văn, ñ c bi t là quan h liên h p và quan h ñ ng ch t
trên t p các nhóm.
- Nghiên c u tính b t bi n c a s l p liên h p có cùng ñ
dài ñ i v i quan h ñ ng ch t, t đó s đưa ra ng d ng c th c a
l p liên h p.
- Trao ñ i, th o lu n v i ngư i hư ng d n.


5
5. C u trúc lu n văn
M ñ u
Chương 1. C u trúc nhóm và quan h liên h p trong m t nhóm
Chương 2. Quan h đ ng ch t trên t p các nhóm và ng d ng
c a l p liên h p vào quan h ñ ng ch t
K t lu n.

6

Chương I
C U TRÚC NHÓM VÀ QUAN H LIÊN H P
TRONG M T NHĨM
Ph n đ u chương này nh c l i m t cách sơ lư c nh ng ki n
th c cơ b n v v c u trúc nhóm. Ph n th hai c a chương trình bày
quan h liên h p trong m t nhóm cùng nh ng tính ch t c a nó.
1.1. C U TRÚC NHĨM
1.1.1. Đ nh nghĩa nhóm, nhóm con, nhóm thương
1.1.1.1. Đ nh nghĩa phép tốn hai ngơi
Cho m t t p X ≠ ∅ . M t phép toán hai ngôi trên t p X là
m t ánh x t bình phương Đ các X x X đ n t p X
f: XxX → X
( x, y ) a f( x, y
Ph n t
t

)

f( x, y ) ñư c g i là h p thành c a ph n t

x v i ph n

y c a phép tốn đó, và đư c kí hi u b ng cách vi t x, y theo th

t này và ñ t vào gi a x, y m t d u ñ c trưng cho phép toán, ch ng
h n xTy, x ⊥ y, x 0 y…

1.1.1.2. M t s tính ch t c a phép tốn hai ngơi
i) Tính k t h p.
M t phép tốn hai ngơi, kí hi u * , trên t p X g i là có tính
k t h p n u b t kì ba ph n t

x, y, z ∈ X, (x * y) * z = x * (y * z).

ii) Tính giao hốn.
M t phép tốn hai ngơi * trên X đư c g i là có tính giao
hốn n u v i m i x, y ∈ X, x * y = y * x .
iii) Ph n t trung l p.


7
Gi s trên t p X có m t phép tốn hai ngơi ký hi u *. M t
ph n t c a X, kí hi u e, g i là ph n t trung l p bên trái (tương ng
trung l p bên ph i) ñ i v i phép toán * n u ∀ x ∈ X, e * x = x
( tương ng x * e = x ).
N u e v a là trung l p bên trái, v a là trung l p bên ph i thì
ta nói e là ph n t trung l p đ i v i phép tốn *.
N u phép tốn trên X đư c ký hi u là phép nhân (tương ng
phép tốn c ng) thì ph n t trung l p ñư c g i là ph n t đơn v
(tương ng ph n t khơng) và đư c ký hi u là 1X hay 1 (tương ng
0X hay 0).
iv) Ph n t ñ i x ng.
Gi s trên t p X có phép tốn * v i ph n t trung l p e
và x là m t ph n t c a X. Ph n t

x’ ∈ X ñư c g i là ph n t ñ i

x ng bên trái (tương ng bên ph i) c a ph n t

x ñ i v i phép toán

* n u x’ * x = e (tương ng x * x’ = e).
N u ph n t

x’ v a là ph n t ñ i x ng bên trái, v a là

ph n t ñ i x ng bên ph i c a ph n t

x thì ta nói x’ là ph n t đ i

x ng c a x đ i v i phép tốn *.
T đ nh nghĩa trên ta th y n u x’ là ph n t ñ i x ng c a
x ñ i v i phép tốn * thì x cũng là ph n t ñ i x ng c a x’ đ i
v i phép tốn đó, do đó ta cũng nói x và x’ đ i x ng v i nhau đ i
v i phép tốn *.
N u phép tốn trên X ñư c ký hi u là phép nhân (tương
ng phép c ng) thì ph n t đ i x ng c a x ñư c g i là ph n t
ngh ch ñ o (tương ng ph n t ñ i) và ñư c ký hi u là x - 1 (tương
ng –x ).


8
Đ nh nghĩa 1.1.
Cho X là m t t p h p trên đó có xác đ nh m t phép tốn hai
ngơi ký hi u * ; c p ( X, * ) ñư c g i là m t nhóm n u:
i) Phép tốn * có tính k t h p .
ii) Phép tốn * có ph n t trung l p.

iii) M i ph n t thu c X đ u có ph n t đ i x ng đ i v i phép
tốn *.
N u X là t p vơ h n ta nói X là nhóm vơ h n, n u t p X là
h u h n thì ta nói X là nhóm h u h n. S ph n t c a t p X ký
hi u là: X và g i là c p c a nhóm X.
N u phép tốn hai ngơi trong nhóm X có tính giao hốn thi ta
nói X là m t nhóm giao hốn hay nhóm aben.
M nh đ 1.1.
Gi s

( X, ) là m t nhóm. Khi đó:

i) Ph n t trung l p cúa X là duy nh t.
ii) V i m i x thu c X, ph n t ngh ch ñ o c a x là duy nh t.
Đ nh lý 1.1.
Trong m t nhóm, ta có:
i) xy = xz ( yx = zx ) ⇒ y = z.
ii) Phương trình ax = b ( hay xa = b ) có nghi m duy nh t
x = a-1b ( hay x = ba-1 ).
iii) ( xy )-1 = y-1x-1 , v i x, y là hai ph n t b t kỳ c a nhóm.
Đ nh nghĩa 1.2.
Gi s

p là m t s nguyên t . M t nhóm có c p là m t lũy

th a c a p ñư c g i là m t p – nhóm.


9
1.1.1.3. T p con n ñ nh

Gi s trên t p X có phép tốn hai ngơi ký hi u * , và A là
m t t p con c a X. T p A g i là t p con n ñ nh c a X ñ i v i
phép toán * n u : ∀ a, b ∈ A, a * b ∈ A.
Khi A là m t t p con n đ nh c a X thì trên A có phép tốn

∀ a, b ∈ A, a * b ∈ A; g i là phép toán c m sinh t phép toán
trong X.
Đ nh nghĩa 1.3.
M t t p con n ñ nh A c a m t nhóm X đư c g i là m t
nhóm con c a X n u A cùng v i phép tốn c m sinh là m t nhóm,
và ký hi u A ≤ X.
Đ nh lý 1.2.
Gi s

A là m t t p con khác r ng c a m t nhóm X. Các đi u

ki n sau tương ñương:
i) A là m t nhóm con c a X.
ii) ∀ x, y ∈ A; xy ∈ A và x-1 ∈ A .
iii) ∀ x, y ∈ A; xy-1 ∈ A.
Đ nh lý 1.3.
Giao c a m t h b t kỳ nh ng nhóm con c a m t nhóm X là
m t nhóm con c a X .
Đ nh nghĩa 1.4.
Gi s

U là m t t p con c a m t nhóm X. Nhóm con bé nh t

c a X ch a U g i là nhóm con sinh b i U. Ký hi u < U >.
N u U = { a1, a2,…, an-1, an } thì nhóm sinh ra b i U và đư c

ký hi u < a1, a2,…, an-1, an >.


10
N u < U > = X, thì U đư c g i là m t h sinh c a X , hay
cịn nói X đư c sinh ra b i U.
Đ nh nghĩa 1.5.
M t nhóm X g i là nhóm xyclic n u X đư c sinh ra b i ch
a ∈ X. Ph n t

m t ph n t

a g i là m t ph n t sinh c a X.

Nhóm xyclic c p n đư c ký hi u là Cn.
1.1.1.4. C p c a m t ph n t trong m t nhóm
Gi s

a là m t ph n t b t kỳ c a nhóm X và A là nhóm

con c a X sinh b i a.
Ph n t

a có c p vơ h n n u A vô h n, trong trư ng h p này

khơng có m t s ngun dương n nào sao cho an = e. Ph n t

a

m

có c p m , n u m là s nguyên dương bé nh t sao cho a = e. Ta
ký hi u c p c a ph n t
0

1

a là ord ( a ). N u ord ( a ) = m, thì

2

< a > = { a = 1, a , a , … , am-1 }, và ta còn vi t < a / am = 1 > ,
ord ( a ) = 1 khi và ch khi a = e.
1.1.1.5. Đ nh lý Lagrange
C p c a m t nhóm X h u h n là b i c a c p c a m i nhóm
con c a nó.
H qu 1.1.
C p c a m t ph n t tùy ý c a m t nhóm h u h n X là ư c
c a c p c a nhóm X.
M nh đ 1.2.
M i nhóm xyclic đ u là nhóm giao hốn.
M nh đ 1.3.
Gi s

X là nhóm xyclic c p n sinh b i ph n t

a và


11

b = ak ∈ X. Khi đó c p c a ph n t

b b ng n , trong đó d là ư c
d

chung l n nh t c a k và n.
Đ nh nghĩa 1.6.
Gi s

S là m t nhóm con c a X. V i m i a thu c X, các t p

h p aS = { as : s ∈ S } , Sa = { sa : s ∈ S } l n lư t ñư c g i
là l p k trái, và l p k ph i c a nhóm con S.
T p g m t t c các l p k trái c a S trong nhóm X, đư c ký
hi u X/S và g i là t p thương c a X trên nhóm con S.
Đ nh nghĩa 1.7.
S các l p k trái c a S trong X ñư c g i là ch s c a S
trong X , ký hi u [ X : S ] = X / S
Nh n xét: N u X là nhóm h u h n, S ≤ X, thì

X = S.X

S

= S .[ X : S ] .

Đ nh nghĩa 1.8.
Cho ( X,

) là m t nhóm, m t nhóm con S c a X đư c g i

là nhóm con chu n t c c a X n u aS = Sa, v i m i a ∈ X, ký hi u
S < X.
Đ nh lý 1.4.
Gi s

S là m t nhóm con c a X. Các đi u ki n sau tương

ñương
i) S là chu n t c.
ii) x-1 sx ∈ S v i m i x ∈ X và s ∈ S.
1.1.1.6. Nhóm con tâm
Gi s

X là m t nhóm, ký hi u


12
Z(X) = { x ∈ X / xg = gx, ∀ g ∈ X }. Khi đó Z(X) là m t nhóm
con chu n t c c a X. Ta g i Z ( X ) là nhóm con tâm hay là tâm
c a nhóm X.
Rõ ràng Z( X ) là nhóm con giao hốn c a X và m i nhóm
con c a Z( X ) đ u là nhóm con chu n t c c a X.
Đ nh lý 1.5.
N u S < X thì
i) Quy t c cho tương ng c p ( aS, bS ) v i l p k trái abS là
X/S × X/S đ n X/S

m t ánh x t

ii) X/S cùng v i phép tốn hai ngơi ( aS, bS ) a abS là
m t nhóm, g i là nhóm thương c a X trên S.
1.1.1.7. Nhóm tâm hóa
Cho m t nhóm X và a ∈ X. Khi đó t p con
CX (a) = { ∀x ∈ X / x−1ax = a, ∀a ∈ X } là m t nhóm con c a nhóm

X và đư c g i là nhóm tâm hóa c a ph n t
Rõ ràng Z ( X ) ≤ C X ( a ) .

a trong nhóm X.

Đ nh nghĩa 1.9.
Cho X là m t nhóm. V i m i x, y ∈ X , ph n t
[ x, y ] = x-1y-1xy ñư c g i là giao hoán t c a c p ph n t

x, y.

Nhóm con c a X đư c sinh ra b i t t c các giao hoán t
[x, y], ∀ x, y ∈ X đư c g i là nhóm con giao hốn t (hay nhóm
d n xu t ) c a X, ký hi u [ X, X ].
M nh đ 1.4.
Cho nhóm X. Ta có: [ X, X ] < X.
Đ nh lý 1.6.
Gi s

X là m t nhóm và A ≤ Z ( X ) . N u X/A là nhóm


13
cyclic thì X là m t nhóm Aben.

Ch ng minh
Vì X/A là nhóm cyclic nên ∃ a ∈ X sao cho X/A = [aA]
Lúc đó,
∀ x ∈ X , xA ∈ X ⇒ ∃ m ∈ Z : xA = a m A . Suy ra t n t i
A
h1 ∈ A : x = a m h1
∀ y ∈ X , yA ∈ X

A

⇒ ∃ k ∈ Z : yA = a k A . Suy ra t n t i

h2 ∈ A : y = a k h2

Vì A ≤ Z ( X ) = { x ∈ X / xg = gx, ∀ g ∈ X } do đó
xy = a m h1a k h2 = a m+k h1h2 = a k h2 a m h1 = yx
V y X là m t nhóm Aben.
1.1.2. Đ ng c u nhóm
Đ nh nghĩa 1.10.
Gi s

X và Y là hai nhóm. M t ánh x f : X → Y ñư c

g i là m t ñ ng c u nhóm n u f ( xy ) = f( x )f( y ), ∀ x, y ∈ X.
N u X = Y thì đ ng c u f g i là m t t ñ ng c u c a nhóm
X.
M t đ ng c u nhóm f v i f là m t đơn ánh, (tương ng tồn
ánh, song ánh) thì đư c g i là m t ñơn c u, (tương ng toàn c u,
ñ ng c u). M t t ñ ng c u mà song ánh g i là m t t ñ ng c u. N u
có m t đ ng c u t nhóm X đ n nhóm Y thì ta nói hai nhóm X và

Y đ ng c u nhau, ký hi u X ≅ Y.
Đ nh nghĩa 1.11.
Gi s

f : X → Y là m t ñ ng c u t nhóm X đ n nhóm Y,

các ph n t trung l p c a X và Y đư c kí hi u theo th t là eX và
eY . Ta kí hi u


14
Im f = f ( X )
Kerf = { x ∈ X / f ( x) = eY } = f −1 (eY )

và g i Imf là nh c a ñ ng c u f, Kerf là h t nhân c a đ ng c u f.
Đ nh lí 1.7.
X, Y, Z là nh ng nhóm và f : X → Y và g : Y → X
là nh ng đ ng c u. Th thì ánh x tích gf : X → Z cũng là m t ñ ng
Gi s

c u.
Đ nh lý 1.8.
N u f : X → Y là m t đ ng c u nhóm, ta có:
i) f( eX ) = eY
ii) f( x-1 ) = [ f( x ) ]-1 , v i m i x ∈ X.
1.2. QUAN H LIÊN H P
1.2.1. Đ nh nghĩa quan h liên h p trong m t nhóm
Cho nhóm X và a, x thu c X. Ph n t
là liên h p c a a b i ph n t

xax-1 ∈ X, ñư c g i

x, và ký hi u ax = xax-1 .

Trong nhóm X ta xác đ nh m t quan h hai ngơi R như sau:
a, b ∈ X, a R b n u ∃ x ∈ X sao cho b = ax.
1.2.2. Nh ng tính ch t c a quan h liên h p
M nh ñ 1.5.
Quan h liên h p ñư c xác ñ nh như trên là m t quan h tương
đương trên nhóm X.
M nh đ 1.6.
Cho m t nhóm X, a ∈ X . L p tương ñương ch a ph n t

a,

theo quan h liên h p, ký hi u Ca . Ta có a ∈ Z ( X ) ⇔ Ca = {a}.


15
B đ
Cho X là m t nhóm, và a ∈ X khi đó
i) T n t i m t song ánh X/CX( a ) → Ca
ii) Z( X ) ≤ CX( a ).
N u X là nhóm khơng giao hốn thì Z( X ) ≤ CX( a )
M nh đ 1.7.
Cho m t nhóm X h u h n. V i m i a ∈ X, ta có:
Ca = [ X : C X (a )]

i)

Ca ≤ [ X , X ]
iii) Ca ≤ X / Z( X ) .

ii)

N u nhóm X khơng giao hốn thì

Ca < X / Z ( X ) .

H qu 1.2.
Gi s

X là p – nhóm h u h n, a ∈ X ,

k
Ca = p ,

h
t
X / Z( X ) = p , [ X,X ] = p . Lúc đó, ta có  k ≤ h .


k ≤ t

Khi X là m t p – nhóm h u h n khơng giao hoán, ta ký hi u
jk là s l p liên h p g m pk ph n t .
N u X / Z ( X ) = ph và [X, X] = pt , ta có k < h, k ≤ t và
j0 = Z ( X ) .

1.2.3. L p liên h p c a m t s nhóm quen bi t

Như m t ví d minh h a, ph n này s tính l p liên h p c a m t
s nhóm quen bi t.
n−1

1/ D 2n = < x, y / x 2 = y2 = 1 , y-1xy = x-1 > ; n ≥ 4
2/ Q2n = < x, y / x

2 n −2
n−1

= y2 ; y-1xy = x −1 > ; n ≥ 4

3/ M 2 = < x, y / x 2 = y2 = 1 ; y-1xy = x1+ 2
n

n−2

>; n ≥ 4


16
n−1

4/ S 2n = < x, y / x 2 = y2 = 1 ; y-1xy = x 2

n−2

−1

>; n ≥ 4

5/ (C1) = < x, y  x4 = y4 = 1, y-1xy = x3 >
= { xs yt  0 ≤ s, t < 4 }
6/ (C2 ) = < x, u, v  x2 = v2 = u4 = [ x, v ] = [ u, v ] = 1,
ux = uv >

= { xs vtuh  0 ≤ s, t ≤ 1, 0 ≤ h < 4 }

B n nhóm D 2n , Q2n , M 2n , S 2n là nhóm khơng giao hốn có
c p 2n, hai nhóm (C1) và (C2) là nhóm khơng giao hốn c p 16.
M nh đ 1.8.
Nhóm D 2n , n ≥ 4, ñư c chia thành 2n-2 + 3 l p liên h p
như sau
•

Ce = { e } ,

•

Cy =

2k

•

Cxy

2k + 1

•

•

j0 = 2 ;

= { x2 }
n-2

C x j = { x j , x2

{x
= {x

C

x

2n-2

}
− 1}

y / k = 0; 2n-2 − 1
y / k = 0; 2n-2
n−1

−j

} ; j = 1; 2n-2 −1

j1 = 2n − 2 − 1 ;

jn − 2 = 2

M nh đ 1.9.
Nhóm Q 2 , n ≥ 4 đư c chia thành 2n-2 + 3 l p liên h p như
n

sau

= { x2 }
n-2

•

Ce = { e } , C

•

Cxj = { x j, x2

•

C y = { x 2k y / k = 0; 2n-2 − 1 }

•

Cxy = { x 2k + 1 y / k = 0; 2n-2 − 1 }

x

2n-2
n −1

−j

}, j = 1; 2 n-2 − 1


17
j1 = 2n − 2 − 1 ;

j0 = 2 ;

•

jn− 2 = 2

M nh đ 1.10.
Nhóm M 2 , n ≥ 4 có Z ( M 2n ) = x 2 và ñư c chia thành
n

5.2n-3 l p liên h p như sau
•

Cx 2t = { x 2t }, t = 0, 2n-2 − 1

•

C x 2k + 1 =

•

C x k y = { x k y , x k + 2 y / k = 0; 2n-2 − 1}

•

j0 = 2n −2 ;

{x

2k + 1

, x2k

+ 1+ 2n-2

}

/ k = 0, 2 n-3 − 1

n− 2

j1 = 2 n − 2 + 2n −3 = 3.2n −3

M nh đ 1.11.
Nhóm S 2n , n ≥ 4 đư c chia thành 2n-2 + 3 l p liên h p như
sau
•

Ce = { e } , C

•

C x 2k = { x 2 k , x 2

•

C x 2k+1 =

•

C 2n-2+ 2k +1 = x2

•

Cy =

•

C xy

•

j0 = 2 ;

{x

{

x

{x
= {x

2k

= { x2 }
n-2

x

2n-2

n −1

2 k +1

n-2

−2k

, x2

+ 2k +1

}

y , k = 1; 2n - 3 − 1
n−2

− ( 2 k +1)

n−1

, x2

k = 0; 2 n -3 − 1

},
−1} .

−(2k+1)

y / k = 0; 2n-2

2k + 1

},

y / k = 0; 2n-2 − 1

j1 = 2n− 2 − 1 ;

k = 0; 2n-4 −1

}

jn− 2 = 2

18
M nh đ 1.12.
Nhóm (C1) = < x, y  x4 = y4 = 1, y-1xy = x3 >
= { xs yt  0 ≤ s, t < 4 } , ñư c chia thành 10
l p liên h p như sau
• Ce = { e };

C x 2 = { x 2 };

C y 2 = { y 2 };

•

C x2 y 2 = { x 2 y 2 }

Cx = { x, x 3 }; C y3 = { y 3 , x 2 y 3 };

Cxy = { xy , x3 y }

C xy 2 = { xy 2 , x 3 y 2 }; C xy 3 = { xy 3 , x 3 y 3 }; C y = { y , x 2 y }

•

j0 = 4,

j1 = 6 .

M nh đ 1.13.
Nhóm (C2 ) = < x, u, v  x2 = v2 = u4 = [ x, v ]
= [ u, v ] = 1, ux = uv >

= { xs vtuh  0 ≤ s, t ≤ 1, 0 ≤ h < 4 }, có 10
l p liên h p trong đó
•

Ce ={e}; Cu2 = { u2 }; Cv ={v};

•

Cx = { x, xv } ;

Cu = {u, vu } ;

Cvu2 = { vu2 }
Cu3 = {u3 , vu3}

Cxu = {xv, xvu}; Cxu2 = {xu2 , xvu2}; Cxu3 = {xu3, xvu3}
•

j0 = 4,

j1 = 6


19

Chương II
QUAN H Đ NG CH T TRÊN T P CÁC NHÓM
VÀ

NG D NG C A L P LIÊN H P VÀO QUAN

H Đ NG CH T
Chương này trình bày quan h ñ ng ch t trên t p các nhóm,

tính b t bi n c a s l p liên h p có cùng đ dài đ i v i quan h
ñ ng ch t. Ph n cu i c a chương minh h a m t ng d ng c a l p
liên h p vào quan h ñ ng ch t.
2.1. QUAN H Đ NG CH T TRÊN T P CÁC NHĨM
Đ nh nghĩa quan h đ ng ch t
Cho X là m t nhóm, ký hi u X’ = [ X, X ], X = X/Z( X )
Đ nh nghĩa ánh x

∂X: X × X → [ X, X ]
( x , y ) a [ x, y ]

Hai nhóm X và Y đư c g i là ñ ng ch t n u t n t i hai ñ ng
c u:
ϕ:

X →Y ,

ψ: X’ → Y’

sao cho bi u đ sau giao hốn

ϕ ×ϕ

X ×X

Y ×Y

∂X

[ X, X ]

∂Y

ψ

[ Y, Y ]


20
nghĩa là ∂Y o (ϕ × ϕ ) = ψ o ∂ X .
M nh ñ 2.1.
Quan h ñ ng ch t trên t p các nhóm là m t quan h tương đương
Xét ba nhóm khơng giao hốn sau (xem 1.2.3)
D16 = < x, y  x8 = y2 = 1, y-1xy = x-1 >
= { xs yt  0 ≤ s ≤ 7, 0 ≤ t ≤ 1 }
S16 = < x, y  x8 = y2 = 1, y-1xy = x3 >
= { xs yt  0 ≤ s ≤ 7, 0 ≤ t ≤ 1 }
Q16 = < x, y  x4 = y2 , y-1xy = x-1 >
= { xs yt  0 ≤ s < 8, 0 ≤ t ≤ 1 }
M nh ñ 2.2.
Ba nhóm S16 , Q16 , D16 quan h đ ng ch t v i nhau.
Ch ng minh
T quan h cơ b n trong 3 nhóm S16, Q16, D16 . Ta tính đư c,
Z ( S16 ) ≅ Z ( Q16 ) ≅ Z ( D16 ) = < x 4 > ≅ C2
S16 /Z( S16 ) ≅ Q16 /Z( Q16 ) ≅ D16 / Z( D16 )
4

2

= < x, y | x = y = [ x, y ] = 1 > ≅ D8
[ S16, S16 ] = < [ x, y ] > = < x2 > ≅ C4
[ D16, D16 ] = < [ x, y ] > = < x6 > ≅ C4
[ Q16, Q16 ] = < [ x, y ] > = < x6 > ≅ C4
V i X và Y là hai trong ba nhóm trên ta d dàng ki m ch ng
đư c bi u đ sau giao hốn
ϕ ×ϕ

Y ×Y

X×X
∂X

[ X, X ]

∂Y

ψ

[ Y, Y ]


21
nghĩa là ∂Y o (ϕ × ϕ ) = ψ o ∂ X .
Ch ng h n, ta xét X = D16 = < x, y x8 = y2 = 1, y-1xy = x-1 >
= { xs yt  0 ≤ s ≤ 7, 0 ≤ t ≤ 1 } ,
và Y = Q16 = < a, b  a4 = b2 , b-1ab = a-1 >
= { as bt  0 ≤ s < 8, 0 ≤ t ≤ 1 }

Ta có:

Q16 /Z ( Q16 ) ≅ D16 / Z ( D16 ) ≅ D8

và

[D16, D16] ≅ [Q16, Q16]

Ta xét hai ñ ng c u như sau
ϕ : D16 / Z ( D16 ) → Q16 / Z (Q16 )
x
y

ψ:

a a
a b

[ D16 , D16 ]
[ x, y ]

(

 ∂ o (ϕ × ϕ )  x, y



(ψ o ∂ ) ( x,

→

a

)

)

[ Q16 , Q16 ]
[ a, b ]

(

)

( )

= ∂ (ϕ × ϕ ) x, y  = ∂ a, b = [ a, b ]



(

)

y = ψ  ∂ x, y  = ψ ( [ x, y ] ) = [ a , b ]



⇒ ∂ o (ϕ × ϕ ) = ψ o ∂

nghĩa là bi u đ sau giao hốn

ϕ ×ϕ
D16 Z ( D16 ) × D16 Z ( D16 )

Q16 Z ( Q16 ) × Q16 Z ( Q16 )

∂

[ D16, D16 ]

∂

ψ

[ Q16, Q16]


22
V y hai nhóm D16 và Q16 đ ng ch t v i nhau.
Đ nh lý (Tính b t bi n c a s l p liên h p ñ i v i quan h ñ ng
ch t)
X và Y là hai p-nhóm h u h n có cùng c p, và đ ng

Gi s

ch t v i nhau. Kí hi u jk (X) là s l p liên h p có pk ph n t c a
nhóm X. Khi ñó jk( X ) = jk( Y ), k = 0, 1, 2, …
Ch ng minh
Gi s

X và Y là hai p-nhóm h u h n đ ng ch t v i nhau,

khi đó t n t i hai đ ng c u ϕ : X → Y , ψ : X ' → Y ' sao cho
ϕ ×ϕ

Y ×Y

X×X

∂X

∂Y
X’

Y’

ψ

, ta có C X ( x) ≤ X
∀x ∈ X , ký hi u C X ( x) = C X ( x )
Z (X )
a ∈ X , ñ t b = ϕ ( a ) ∈ Y , b ∈ Y . ∀x ∈ C X ( a ) , y =

và Y ñ ng ch t nên

[ x, a ]

= 1X ⇒

[ y, b ]

)

= 1 ⇒ y ∈ CY (b) ⇒ ϕ C X (a) ⊂ CY (b) .

Ngư c l i, v i v ∈ CY (b) . Khi đó ∀u ∈ ϕ
sao cho ϕ (u ) = v

(

ϕ ( x ) . Do X

−1

(v )

⇒ u ∈ CX ( a )


23

(

Suy ra CY (b) ⊂ ϕ (CX (a)) . V y
⇒ C X (a ) = CY (b)

⇒ CX (a) = CY (b)

)

ϕ C X (a) = CY (b)

vì X, Y h u h n và ϕ là song ánh
vì Z ( X ) = Z (Y ) ⇒ Ca = Cb

Do X và Y là p-nhóm h u h n nên jk( X ) = jk( Y ), k = 0,1,2,…
2.2.

NG D NG C A CÁC L P LIÊN H P Đ I V I QUAN

H Đ NG CH T TRÊN T P CÁC p-NHÓM H U H N
Xét hai nhóm khơng giao hốn c p 26 sau đây ( xem [4] )
X1 = < x1, x2, x3 , x4 / xi2 = 1, i = 1, 4 , [ x1, x2 ] = a,
[ x3, x4 ] = b, a2 = b2 = 1, [ b, xi ] = [ a, xi ] = 1,
i = 1, 4 , [ xi, xj ] = 1, ∀(i, j ) ≠ (1, 2), (3, 4) >

= { as bt x1i x2j x3k x4h / 0 ≤ s, t, i, j, k, h ≤ 1 }
X2 = < x1, x2, x3 , x4 / xi2 = 1, i = 1, 4 , [ x1, x2 ] = a,
[ x1, x3 ] = [ x2, x4 ] = b, a2 = b2 = 1, [ b, xi ] = [a, xi] = 1,
i = 1, 4 , [ xi, xj ] = 1, ∀(i , j ) ≠ (1, 2), (1, 3), (2, 4) >

= { as bt x1i x2j x3k x4h / 0 ≤ s, t, i, j, k, h ≤ 1 }.
M nh đ 2.4.
i) Nhóm X1 đư c chia thành 25 l p liên h p như sau
• Ce = { e }, Ca = { a }, Cb = { b }, Cab = { ab }

• C xm = { xm , axm }, m = 1, 2 , C xn = { xn , bxn }, n = 3, 4 ,

C x1x2 = { x1 x2 , ax1 x2 } , C x x = { x3 x4 , bx3 x4 } ,
3 4

Cax3 x4 = { ax3 x4 , abx3 x4 } , Cbx1 x2 = { bx1 x2 , abx1 x2 } ,


24
Caxn = { axn , abxn } , Cbxm = { bxm , abxm }

• Cxm xn = { xm xn , axm xn , bxm xn , abxm xn } , ∀( m, n) ≠ (1, 2), (3, 4)

Cxu xv x j = {xu xv x j , axu xv x j , bxu xv x j , abxu xv x j };

C x1 x2 x3 x4

1 ≤ u, v, j ≤ 4, u ≠ v ≠ j.
= { x1 x2 x3 x4 , ax1 x2 x3 x4 , bx1 x2 x3 x4 , abx1 x2 x3 x4 }

• j0 = 4 , j1 = 12 , j2 = 9
ii) Nhóm X2 đư c chia thành 22 l p liên h p như sau
• Ce = { e }, Ca = { a }, Cb = { b }, Cab = { ab }
• C xn = { xn , bxn }, n = 3, 4 , Cx3x4 = { x3 x4 , bx3 x4 } ,
Cax3 x4 = { ax3 x4 , abx3 x4 } , Caxn = { axn , abxn }

• C xm = { xm , axm , bxm , abxm }, m = 1, 2
• C x x = { xu xv , axu xv , bxu xv , abxu xv } u = 1, 2 , v = 2, 4 , u ≠ v
u v

Cxu xv x j = { xu xv x j , axu xv x j , bxu xv x j , abxu xv x j },
1 ≤ u, v, j ≤ 4, u ≠ v ≠ j

Cx1x2 x3 x4 = { x1 x2 x3 x4 , ax1 x2 x3 x4 , bx1 x2 x3 x4 , abx1 x2 x3 x4 }
• j0 = 4,

j1 = 6,

j2 = 12

T M nh ñ trên ta th y j0(X1) = j0(X2) = 4,
j1(X1) = 12 ≠ j1(X2) = 6 , j2(X1) = 9 ≠ j2(X2) = 12 do đó theo
Đ nh lý 2.1.2 ta có h qu sau
H qu
Hai nhóm X1 và X2 khơng đ ng ch t v i nhau.


25
K T LU N
----

----

Lu n văn “L p liên h p và ng d ng vào quan h ñ ng ch t trên
các p - nhóm” đã th c hi n ñư c các n i dung sau:
1. Kh o sát các tính ch t c a quan h liên h p trong m t
nhóm, và xác đ nh đư c l p liên h p c a m t s p-nhóm, c th là
các nhóm: D 2n , Q2n , M 2n , S 2n , ( C1 ) và ( C2 )
2. Kh o sát quan h ñ ng ch t trên t p các nhóm, và cho m t
s ví d minh h a.
3. Ch ng minh tính b t bi n c a s l p liên h p có cùng đ
dài đ i v i quan h ñ ng ch t trên t p các p-nhóm h u h n.
4. Đưa ra m t ví d th hi n ng d ng c a quan h liên h p
ñ i v i quan h ñ ng ch t trên t p các p-nhóm h u h n.
Hy v ng r ng n i dung c a đ tài cịn ti p t c đư c hoàn

thi n và m r ng nhi u hơn n a, nh m gi i quy t bài toán phân lo i
đ ng ch t các p-nhóm h u h n.