Mở rộng mô hình hồi quy tuyến tính hai biến

1

2

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Cơng trình ñược hoàn thành tại
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

HUỲNH NGỌC TUẤN

MỞ RỘNG MƠ HÌNH HỒI QUY

Người hướng dẫn khoa học: TS. CAO VĂN NI

Phản biện 1: TS. NGUYỄN DUY THÁI SƠN

TUYẾN TÍNH HAI BIẾN
Phản biện 2: GS.TS. LÊ VĂN THUYẾT

Chuyên ngành : PHƯƠNG PHÁP TỐN SƠ CẤP
Mã số:

60.46.40

Luận văn được bảo vệ tại Hội ñồng chấm luận văn tốt nghiệp
Thạc sĩ khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 02
tháng 02 năm 2012.

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

* Có thể tìm hiểu luận văn tại:
- Trung tâm Thơng tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng
- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng
Đà Nẵng - Năm 2012


3

4

cách có hệ thống với các ví dụ minh họa ñầy ñủ cho phần lý thuyết

MỞ ĐẦU
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Việc xác ñịnh một cách ñịnh lượng trong kinh tế được khảo sát khá
kỹ trong bộ mơn kinh tế lượng. Bộ mơn này, ra đời vào những năm
1930 của thế kỷ XX, cho đến nay mơn khoa học này ñã ñem lại cho
các nhà kinh tế một công cụ sắc bén, nhất là trong ước lượng, kiểm
ñịnh các quan hệ kinh tế, dự báo các thay ñổi kinh tế vĩ mô quan
trọng như lãi suất, tỉ lệ lạm phát, GDP…các mơ hình kinh tế như:
Hồi quy tuyến tính, mơ hình log tuyến tính, mơ hình nửa log
(semilog),....
Hiện nay giáo trình và tài liệu trình bày một cách có hệ thống kiến
thức về mở rộng mơ hình hồi quy tuyến tính tổng qt trong kinh tế
lượng bằng ngơn ngữ tốn học vẫn cịn hạn chế. Vì vậy, tơi chọn đề
tài “MỞ RỘNG MƠ HÌNH HỒI QUY TUYẾN TÍNH HAI
BIẾN” để làm luận văn tốt nghiệp của mình.
2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Tác giả rất hi vọng ñây sẽ là tài liệu tham khảo bổ ích về mở rộng

mơ hình hồi quy tuyến tính hai biến và áp dụng của nó trong thực tế.
3. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU
3.1. Đối tượng: Áp dụng mơ hình hồi quy trong kinh tế lượng.
3.2. Phạm vi nghiên cứu: Mơ hình hồi quy tuyến tính hai biến và
mở rộng mơ hình hồi quy tuyến tính hai biến.
4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Tham khảo, phân tích, tổng hợp, hệ thống các tài liệu chuyên khảo
và các bài báo trên internet khác nhau có liên quan đến hồi quy tuyến
tính và ứng dụng trong một số vấn đề kinh tế. Từ đó trình bày một

đã trình bày.
5. Ý NGHĨA KHOA HỌC VÀ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI
5.1. Ý nghĩa khoa học: Hệ thống kiến thức về “mở rộng mơ hình hồi
quy tuyến tính hai biến” và ứng dụng vào giải một số bài toán kinh tế
lượng dựa trên số liệu thực tế.
5.2. Ý nghĩa thực tiễn: Đề tài hoàn thành trở thành tài liệu tham
khảo cho giáo viên, sinh viên ở các trường ñại học và cao ñẳng, các
bạn yêu toán và các ứng dụng của toán trong kinh tế, ñặc biệt là kinh
tế lượng.
6. CẤU TRÚC LUẬN VĂN
Luận văn gồm 3 chương:
CHƯƠNG 1. MƠ HÌNH HỒI QUY TUYẾN TÍNH CỔ ĐIỂN
Định nghĩa mơ hình hồi quy tuyến tính cơ bản và các tích chất liên
quan.
CHƯƠNG 2. CÁC MỞ RỘNG CỦA HỒI QUY TUYẾN TÍNH
HAI BIẾN
Trình bày sự mở rộng về hồi quy tuyến tính hai biến.
CHƯƠNG 3. MỘT SỐ ÁP DỤNG CỦA CÁC MƠ HÌNH MỞ
RỘNG TỪ MƠ HÌNH HỒI QUY TUYẾN TÍNH HAI BIẾN
Trình bày một số áp dụng của mơ hình hồi quy tuyến tính hai biến

mở rộng.


5

6

CHƯƠNG 1. MƠ HÌNH HỒI QUY TUYẾN TÍNH
CỔ ĐIỂN
1.1. KHÁI NIỆM HÀM HỒI QUY ĐÁM ĐƠNG

Từ bảng trên ta tính ñược:
Bảng 1.2. Các thông số về xác suất và trung bình
X→

Giả thiết rằng một cụm dân cư có 60 hộ dân. Giả sử rằng chúng ta
chỉ quan tâm ñến việc nghiên cứu mối quan hệ giữa ñại lượng Y tiêu

p (Y | X i ) ↓

dùng hàng tuần và ñại lượng X khả năng thu nhập khả dụng của mỗi
gia đình.

Xác suất có

Giả sử chúng ta chia 60 gia đình này thành 10 nhóm có thu nhập xấp
xỉ nhau và ñánh giá thu chi của các gia ñình này trong từng nhóm thu
nhập. Số liệu được cho bởi bảng sau:

điều

kiện

p (Y | X i )

Bảng 1.1. Số liệu thu nhập của 60 gia đình
X→

80

100

120

140

160

180

200

220

240

260

1/5

1/6

1/5

1/7

1/6

1/6

1/5

1/7

1/6

1/7

1/5

1/6

1/5

1/7

1/6

1/6

1/5

1/7

1/6

1/7

1/5

1/6

1/5

1/7

1/6

1/6

1/5

1/7

1/6

1/7

1/5

1/6

1/5

1/7

1/6

1/6

1/5

1/7

1/6

1/7

-

1/6

-

1/7

1/6

1/6

-

1/7

1/6

1/7

-

-

-

1/7

-

-

-

1/7

-

1/7

77

89

101

113

125

137

149

161

173

Trung bình

Y↓

80

100

120

140

160

180

200

220

240

260

Chi tiêu

55

65

79

102

102

110

120

135

137

150

của Y

tiêu

60

70

84

93

107

115

136

137

145

152

Bảng 1.2 được thể hiện qua các hình sau:

dùng

65

74

90

95

110

120

140

140

155

175

gia đình

70

80

94

103

116

135

145

157

175

180

hàng

-

88

--

113

125

140

-

160

189

185

-

-

-

115

-

-

-

162

-

191

325

462

445

707

678

750

685

1043

966

1211

có điều kiện 65

tuần Y,
$
Tổng
cộng

Bảng 1.1, các giá trị trung bình của Y tăng khi X tăng. Nếu chúng
ta tập trung vào các điểm có kích thước lớn để thể hiện các giá trị
trung bình của Y thì các trung bình có điều kiện này nằm trên một

Hình 1.1. Phân phối có điều kiện của chi tiêu ñối với

ñường thẳng với một ñộ dốc dương. Đường thẳng này ñược gọi là

mức ñộ thu nhập khác nhau của Bảng 1.1

ñường hồi quy tổng thể.


7

8

1.2.2. Sự tuyến tính theo các tham số
Đó là kỳ vọng có điều kiện của Y, E (Y | X i ) là một hàm tuyến
tính theo các tham số β của nó. Theo các hiểu này thì nó có thể
tuyến tính hoặc khơng tuyến tính theo biến X.
1.3. SAI SỐ NGẪU NHIÊN
Từ hình 1.1, nhận thấy rằng với một mức thu nhập X i , mức chi
tiêu của một hộ gia đình có thể nằm xung quanh giá trị trung bình của
các hộ gia đình có thu nhập X i . Điều này ta có thể diễn tả độ lệch của

Yi xung quanh giá trị kỳ vọng của nó:
Yi = E (T | X i ) + ui

Hình 1.2. Đường hồi quy tổng thể của Bảng 1.2
Từ hình 1.1 và 1.2, ta nhận thấy rằng mỗi trung bình có ñiều kiện

trong ñó, ñộ lệch ui là biến số ngẫu nhiên không thể quan sát.
Về thuật ngữ chuyên môn, ta gọi ui là số hạng nhiễu ngẫu nhiên hay

E(Y|Xi) là một hàm của X i . Kí hiệu:

E (Y | X i ) = f ( X i ) , i = 1, n

(1.3)

(1.1)

trong đó, f ( X i ) là hàm của biến giải thích X i , phương trình (1.1)

số hạng sai số ngẫu nhiên. Cơng thức (1.3) có thể cho chúng ta biết
rằng chi tiêu của một gia đình khi biết mức thu nhập của họ:

được gọi là hàm hồi quy tổng thể hai biến (Population Regression

(1) E (T | X i ) chi tiêu trung bình của tất cả các gia đình có cùng thu

Function - PRF) hay ngắn gọn hơn là hồi quy tổng thể (Population

nhập (yếu tố này tất yếu).

Regression - PR). Theo Keynes, hàm tiêu dùng Y theo thu nhập X

(2) ui yếu tố ngẫu nhiên hay không hệ thống.

như sau:

1.4. HÀM HỒI QUY MẪU
E (Y | X i ) = β1 + β 2 X i

(1.2)

Chúng ta cần phải tính PRF trên cơ sở thơng tin mẫu. Giả thiết

trong đó, β1 , β 2 gọi là hệ số hồi quy.

rằng ta không có thơng tin gì về Bảng 1.1 và ta chỉ có thơng tin ngẫu

Phương trình (1.2) được gọi là hàm hồi quy tổng thể tuyến tính.

nhiên tương ứng các giá trị Y với X (ñược cho ở bảng sau).

1.2. Ý NGHĨA CỦA THUẬT NGỮ “TUYẾN TÍNH”

Bảng 1.3. Mẫu ngẫu nhiên từ tổng thể bảng 1.1 (1)
Y

X

Y

X

Đó là kỳ vọng có ñiều kiện của Y là một hàm tuyến tính của X i .

70

80

115

180

Về mặt hình học, đường cong tuyến tính trong trường hợp này là

65

100

120

200

đường thẳng.

90

120

140

220

95

140

155

140

110

160

150

260

1.2.1. Sự tuyến tính theo các biến số


9

10

Từ Bảng 1.3 ta có thể dự đốn được chi tiêu trung bình hàng tuần Y

Tóm lại, mục tiêu chính của ta trong phân tích hồi quy là tính PRF

trong tổng thể tương ứng X được chọn khơng? Hay ta có thể tính

Yi = β1 + β 2 X i + ui

(1.4)

được PRF từ bảng dữ liệu mẫu hay khơng? Việc tính này cũng đặt ra

Trên cơ sở của SRF
Yˆi = βˆ1 + βˆ2 X i + uˆi

(1.9)

nghi vấn không tính chính xác được PRF bởi vì có sự dao ñộng trong

việc lấy mẫu. Giả sử ta lấy ngẫu nhiên một mẫu ngẫu nhiên khác từ
bảng 1.1.
Bảng 1.4. Mẫu ngẫu nhiên từ tổng thể bảng 1.1 (2)
Y

X

Y

X

55

80

120

180

88

100

145

200

90

120

125

220

80

140

145

240

118

160

175

260

1.5. MƠ HÌNH HỒI QUY TUYẾN TÍNH CỔ ĐIỂN
1.5.1. Ước lượng các hệ số của mơ hình hồi quy bằng phương
pháp bình phương tối thiểu thơng thường OLS (Ordinary Least
Square)

1.5.1.1. Các giả định của mơ hình hồi quy tuyến tính cổ điển
1.5.1.2. Phương pháp bình phương tối thiểu thơng thường
Từ hàm hồi quy (1.9): ui = Yi − βˆ1 − βˆ2 X i
n

vậy

∑

ui2

i =1

Từ bảng 1.3 và 1.4, chúng ta ñược ñồ thị phân tán như sau:

=

∑(
n

Yi − βˆ1 − βˆ2 X i

i =1

)

2

(1.10)

Điều kiện ñể (1.10) ñạt cực trị là:

βˆ 1 = Y − βˆ 2 X

(1.15)

n

βˆ2 =

∑y x

i i

i =1
n

∑

(1.17)
xi2

i =1

với x i = X i − X và y i = Yi − Y .

1.5.1.3. Tính chất của hàm hồi quy mẫu theo OLS
Tính chất của ước lượng tham số:
(1) βˆ 1 và βˆ 2 là duy nhất ứng với một mẫu xác ñịnh gồm n quan sát
(Xi,Yi).
(2) βˆ 1 và βˆ 2 là các ước lượng ñiểm của β1 và β2. Giá trị của βˆ 1 và

Hình 1.3. Đường hồi quy mẫu của 2 mẫu bảng 1.3 và 1.4
Biểu thức tương ứng với (1.2) có thể được viết lại:

Yˆ = βˆ + βˆ X
i

1

2

i

βˆ 2 thay ñổi theo mẫu dùng ñể ước lượng.
(1.8)


11

12

Tính chất của hàm hồi quy mẫu:
(1) Hàm hồi quy mẫu đi qua giá trị trung bình của dữ liệu.
(2) Giá trị trung bình của ước lượng bằng giá trị trung bình của quan
^
sát đối với biến phụ thuộc E  Y  = Y .
 
(3) Giá trị trung bình của phần dư bằng 0: E ( ui ) = 0 .

βˆ 1 − t ( n −2,1−α / 2) se(βˆ 1 ) ≤ β1 ≤ βˆ 1 + t ( n −2,1−α / 2) se(βˆ 1 )
βˆ 2 − t ( n −2,1−α / 2) se(βˆ 2 ) ≤ β 2 ≤ βˆ 2 + t ( n − 2,1−α / 2 ) se(βˆ 2 )
1.5.2.2. Kiểm ñịnh giả thiết về hệ số hồi quy
H 0 : β 2 = β*2

Giả thiết:

∑u Y = 0 .
i i

i =1
n

(5) Các phần dư ui và X i không tương quan với nhau:

∑u X
i

i

=0.

i =1

1.5.1.4. Phân phối của βˆ 1 và βˆ 2
βˆ

( )

( )

E βˆ 1 = β1

Kỳ vọng

E βˆ 2 = β 2

n

Phương
sai

( )

var βˆ 1 =

∑X
i =1
n

2
i

n∑ x
i =1

σ

2

2
i

( )

chuẩn

σ βˆ =
1

∑X
i =1
n

phối

βˆ 2 − β*2
βˆ − β*2
< t ( n −2,α / 2) hoặc 2
> t ( n −2,1−α / 2) thì bác bỏ H 0 .
se(βˆ 2 )
se(βˆ 2 )
βˆ 2 − β*2
≤ t ( n −2,1−α / 2) thì ta khơng thể bác bỏ H 0
se(βˆ )
2

1.5.3. Độ thích hợp của hàm hồi quy - R 2
1.5.3.1 Hệ số xác ñịnh R 2

i =1

2

2

i

n ∑ x i2

σ

i =1

Phân


βˆ 2 − β 2
≤ t ( n − 2,1−α / 2)  = 1 − α

se(βˆ 2 )


ñiều kiện quyết ñịnh:

(1) Nếu t ( n − 2,α / 2 ) ≤

σ2
var βˆ 2 = n
∑ x i2

n

Sai số






mệnh ñề xác suất: P t ( n − 2 ,α / 2 ) ≤

(1)Nếu

βˆ 2

1

(1.25)

H1 : β 2 ≠ β*2

n

(4) Các phần dư ui và Yi không tương quan với nhau:

(1.24)

n


X i2


∑
2
ˆβ ~ N β , i =1

σ
1
 1 n 2

 n∑ x i

i =1



σ βˆ =
2

 n

 ∑ x i yi 
R 2 = ni =1 n  = rX2 ,Y
∑ x i2 ∑ y i2

σ
n

∑ x i2
i =1



2
ˆβ ~ N β , σ
2

 2 n 2
xi

∑
i =1


i =1








1.5.2. Khoản tin cậy và kiểm ñịnh giả thiết các hệ số hồi quy

(1.35)

i =1

1.5.3.2 Ý nghĩa của hệ số xác ñịnh R 2
(1) Đo tỷ lệ hay số phần trăm của toàn bộ sai lệch của Y với giá trị
trung bình của chúng được giải thích bằng mơ hình.
(2) Hệ số R 2 ñược sử dụng ñể ño mức ñộ phù hợp của hàm hồi quy.
1.5.3.3 Tính chất của hệ số xác ñịnh R 2

1.5.2.1. Khoản tin cậy của các hệ số hồi quy

(1) 0 ≤ R 2 ≤ 1 . Với R 2 = 0 thể hiện X và Y ñộc lập thống kê. R 2 = 1

Ước lượng khoảng cho hệ số hồi quy với mức ý nghĩa α như sau:

thể hiện X và Y phụ thuộc tuyến tính hồn hảo.


13

14

Nếu R 2 → 1 thì mơ hình hồi quy càng thích hợp.

n

Nếu R 2 → 0 thì mơ hình hồi quy ít thích hợp.

βˆ2 =

(2) R 2 khơng xét ñến quan hệ nhân quả.

∑X Y

i i

i =1
n

∑

(2.6)
X i2

i =1

1.5.4. Dự báo bằng mơ hình hồi quy hai biến

ˆ ±t
ˆ
Khoảng tin cậy cho dự báo: Y
o
( n − 2 ,1− α / 2 ) se( Yo )

σ2
var βˆ2 = n
X i2

( )

Nhận xét: X 0 càng lệch ra khỏi giá trị trung bình thì sai số dự báo
càng lớn.

(2.7)

∑
i =1

1.6. ĐỊNH LÝ GAUSS – MARKOV

So sánh các công thức với các cơng thức khi có tung độ gốc trong mơ

Nội dung của ñịnh lý này ñược phát biểu: “Cho trước các giả

hình:

thuyết của mơ hình hồi quy tuyến tính cổ điển, các hàm ước lượng

n

n

bình phương tối thiểu, trong nhóm các hàm ước lượng tuyến tính

βˆ2 =

khơng chệch, có phương sai nhỏ nhất, chúng là các hàm ước lượng

∑x y

i i

i =1
n

∑x

σ
; var βˆ2 = n

2

i

khơng chệch tuyến tính tốt nhất”.

( )

2

∑x

2
i

; σˆ 2 =

∑ uˆ

2
i

i =1

n−2

i =1

i =1

Sự khác biệt giữa các công thức rất rõ ràng:

CHƯƠNG 2. CÁC MỞ RỘNG CỦA HỒI QUY
TUYẾN TÍNH HAI BIẾN
2.1. HỒI QUY QUA GỐC

phương và tích chéo thơ nhưng trong mơ hình có tung độ gốc, ta sử
dụng tổng bình phương và tích chéo hiệu chỉnh.
(2) Số bậc tự do để tính σˆ 2 trong hai trường hợp lần lượt là ( n − 1) và

Xét hàm hồi quy tổng thể (PRF) hai biến có dạng sau:
Yi = β 2 X + ui

(1) Trong mơ hình khơng có tung độ gốc, ta sử dụng tổng bình

(2.1)

( n − 2)

Trong mơ hình này, tung độ gốc khơng có hay bằng 0 và được gọi là

Mặc dù trong mơ hình khơng có tung độ gốc hay tung độ gốc bằng

mơ hình hồi quy qua gốc.

khơng có thể thích hợp trong một số trường hợp, tuy nhiên khi sử

Làm sao chúng ta ước lượng các mơ hình như (2.1) và mơ hình này

dụng mơ hình này ta cần chú ý:

ñưa ra các vấn ñề ñặc biệt như thế nào? Để trả lời câu hỏi này, ta viết

mơ hình hồi quy mẫu (SRF) của (2.1) là:
Yi = βˆ2 X i + uˆi

n

(a)

∑ uˆ , luôn bằng 0 trong mơ hình có tung độ gốc (mơ hình quy
i

i =1

(2.5)

ước) nhưng không cần phải bằng 0 trong trường hợp khơng có tung
n

độ gốc. Nói một cách ngắn gọn,

∑ uˆ

i

i =1

mơ hình hồi quy qua gốc.

khơng nhất thiết bằng 0 với

15

16

(b) r 2 , hệ số xác định ln khơng âm với mơ hình quy ước

lượng bằng hồi quy OLS. Do tính chất tuyến tính này, các mơ hình

Do các đặc điểm của mơ hình, ta cần rất cẩn thận khi sử dụng mơ

như thế được gọi là mơ hình log-log, log kép, hay tuyến tính log.

hình hồi quy qua gốc tọa độ bằng 0. Trừ khi chúng ta có một tiên

Trong mơ hình hai biến, cách đơn giản nhất ñể quyết ñịnh xem mô

nghiệm rất mạnh, ta cần phải sử dụng mơ hình quy ước có tung độ

hình tuyến tính lơgarit có thích hợp với số liệu hay khơng là vẽ lên ñồ

gốc.

thị phân tán biểu diễn lnYi theo lnXi và xem xem nếu các điểm phân

Điều này có lợi thế kép:

tán nằm gần ñúng theo một ñường thẳng.

(1) Thứ nhất: Nếu số hạng tung ñộ gốc ñưa vào mơ hình nhưng nó trở

2.4. MƠ HÌNH NỬA LOG

nên khơng có ý nghĩa về mặt thống kê, ta có một mơ hình hồi quy

2.4.1. Mơ hình log – lin

(3)

qua gốc tọa độ .

Ta có bảng số liệu sau:

(2) Thứ hai: nếu thật sự có tung độ gốc nhưng ta khẳng định rằng đó

Bảng 2.2.(6) Tổng sản phẩm nội địa tính theo giá năm 1987

là hồi quy qua gốc tọa ñộ thì ta sẽ phạm sai số đặc trưng, và như vậy

của Hoa Kỳ, 1972 – 1991

ta sẽ vi phạm giả thuyết của mơ hình hồi quy tuyến tính cổ điển.

Năm

GDP

Năm

GDP

Năm

GDP

2.2. TỶ LỆ VÀ ĐƠN VỊ ĐO

1972

3107.1

1979

3796.8

1986

4404.5

Việc chuyển ñổi tỉ lệ khơng tác động tới những tính chất của ước

1973

3268.6

1980

3776.3

1987

4539.9

lượng OLS.

1974

3248.1

1981

3843.1

1988

4718.6

2.3. MƠ HÌNH LOG TUYẾN TÍNH

1975

3221.7

1982

3760.3

1989

4838

1976

3380.8

1983

3906.6

1990

4877.5

1977

3533.3

1984

4148.5

1991

4821

1978

3703.5

1985

4279.8

--

--

Xem xét mơ hình sau với tên gọi là mơ hình hồi quy mũ:
Yi = β1 X iβ2 eui

(2.34)

Phương trình có thể được biểu diễn dưới dạng sau:
ln Yi = ln β1 + β 2 ln X i + ui

(2.35)

với ln là logarit tự nhiên nghĩa là logarit với cơ số e ( e = 2,718 )
Nếu ta viết (2.34) dưới dạng:
ln Yi = α + β 2 ln X i + ui

(2.36)

với α = ln β1 , mơ hình này tuyến tính theo các thơng số α và β 2 ,
tuyến tính theo lơgarit của các biến Y và X. Mơ hình có thể được ước
(3)
Henri Theil chỉ ra rằng nếu tung ñộ gốc thật sự khơng có, hệ số độ dốc có thể
được ước lượng với độ chính xác lớn hơn rất nhiều so với trường hợp có tung độ
gốc. Xem Introduction to Economertrics của Henri Theil, Prentice – Hall,
Englewood Cliffs, N.J., 1978, trang 76.

Giả sử ta muốn tìm tốc độ tăng trưởng GDP thực trong giai ñoạn
này. Đặt Yt = GDP thực (RGDP) vào thời ñiểm t và Y0 = giá trị ban
ñầu (năm 1972) của GDP thực. Bây giờ nhớ lại công thức tính lãi
suất gộp nổi tiếng về tiền tệ, tài chính và ngân hàng.
Yt = Y0 (1 + r )t

(6)

(2.38)

Nguồn: Báo cáo của Tổng thống, tháng 1 năm 1993, bảng B-1 và B-2 trang 348 349


17

18

với r là tốc ñộ tăng trưởng gộp (theo thời gian) của Y. Lấy lôgarit tự
nhiên (ln) của (2.38), ta có:
ln Yt = ln Y0 + t ln(1 + r )

(2.39)

bây giờ ñặt:

β1 = lnY0
β 2 = ln(1 + r )

(2.40)
(2.41)

ta có thể viết (2.39) dưới dạng:
ln Yt = β1 + β 2t

(2.42)

cộng thêm yếu tố nhiễu vào (2.42), ta có:(7)
ln Yt = β1 + β 2t + ut

(2.43)

Mơ hình này giống mọi mơ hình tuyến tính khác ở chỗ các thơng
số β1 và β 2 là tuyến tính. Sự khác nhau duy nhất là biến hồi quy phụ
thuộc vào lơgarit của Y và biến hồi quy độc lập là “thời gian”, lấy giá
trị 1,2,3,...
Các mơ hình như (2.43) được gọi là mơ hình bán lơgarit (semilog)
do chỉ có một biến (trong trường hợp này là biến hồi quy phụ thuộc)
xuất hiện dưới dạng lơgarit. Đối với các mục đích mơ tả, một mơ
hình trong đó biến hồi quy phụ thuộc được lơgarit hóa sẽ được gọi là
mơ hình log-lin.
2.4.2. Mơ hình Lin – log
Ta có bảng số liệu sau:
Bảng 2.3.(9) GNP và lượng cung tiền Hoa Kỳ năm 1973 – 1987
GNP
GNP
Năm
M2
Năm
M2
( tỷ USD)

( tỷ USD)
1973 1359.3
861.0
1981 3052.6
1795.5
1974 1472.8
908.5
1982 3166.0
1954.0
1975 1598.4
1023.2 1983 3405.7
2185.2
(7)

Ta đưa thêm sai số vào vì cơng thức lãi suất gộp sẽ khơng thảo mãn chính xác.
Nguồn báo cáo kinh tế của Tổng thống, 1989, số liệu GNP lấy từ bảng B-1 trang
308 và M2 từ bảng B-67 trang 385

(9)

1976
1977
1978
1979
1980

1782.8
1990.5
2249.7
2508.2

2723.0

1163.7
1286.7
1389.0
1500.2
1633.1

1984
1985
1986
1987
--

3772.2
4014.9
4240.3
4526.7
--

2363.6
2562.6
2807.7
2901.0
--

Lưu ý: Các số liệu GNP là số liệu hàng quý trên cơ sở tốc ñộ hàng
năm ñã hiệu chỉnh theo mùa.
M2 =

tiền mặt + tiền gửi không kỳ hạn + séc du lịch + các loại tiền

gửi ñược rút séc khác + hợp ñồng mua lại chứng khốn (RP) 1 ngày
đêm và Eurodollar + số dư MMMF (quỹ hỗ tương trên thị trường tiền
tệ) + MMDAs (các tài khoản tiền gửi trên thị trường tiền tệ) + tiết
kiệm và tiền gửi nhỏ.
Giả sử ta có số liệu như trong bảng 2.3, với Y là GNP và X là lượng
cung tiền. Tiếp theo, giả sử ta quan tâm ñến việc tìm xem GNP tăng
lên bao nhiêu (về giá trị tuyệt đối) nếu lượng cung tiền tăng lên 1%.
Khơng giống mơ hình tăng trưởng vừa thảo luận trong đó ta quan
tâm đến việc tìm xem gia tăng phần trăm của Y khi X tăng lên 1 ñơn
vị, bây giờ ta quan tâm đến việc tìm sự thay đổi tuyệt ñối của Y khi X
thay ñổi ñi 1%. Một mô hình phục vụ mục tiêu này có thể được viết
như sau:
Yi = β1 + β 2 ln X i + ui

(2.45)

Với các mục đích mơ tả, mơ hình như vậy là mơ hình lin – log.
2.5. MƠ HÌNH NGHỊCH ĐẢO
Các mơ hình có dạng sau được gọi là mơ hình nghịch ñảo.
 1 
Yi = β1 + β 2 
(2.48)
 + ui
 Xi 


19

20

Mặc dù mơ hình này là phi tuyến theo biến X bởi vì biến X có dạng

CHƯƠNG 3. MỘT SỐ ÁP DỤNG CỦA CÁC
MƠ HÌNH MỞ RỘNG TỪ MƠ HÌNH HỒI QUY
TUYẾN TÍNH

nghịch đảo, mơ hình có dạng tuyến tính theo β1 và β 2 và do vậy mơ
hình là mơ hình hồi quy tuyến tính.(11)
Mơ hình này có các ñặc ñiểm: khi X tiến dần tới vô cùng, số hạng

3.1. MỘT ÁP DỤNG CỦA MƠ HÌNH HỒI QUY TUYẾN TÍNH

β 2 (1 / X ) dần tới khơng (lưu ý: β 2 khơng đổi) và Y tiến tới giá trị giới

CỔ ĐIỂN: ĐƯỜNG ĐẶC TÍNH CỦA LÝ THUYẾT CƠ CẤU

hạn hay tiệm cận β1 . Do vậy, các mô hình như (2.48) tạo nên một giá

ĐẦU TƯ CHỨNG KHỐN

trị tiệm cận hay giới hạn mà biến phụ thuộc sẽ nhận khi giá trị của

Ta có bảng số liệu về suất sinh lợi hàng năm (%) của Afuture Fund:

biến X dần tới vơ cùng.

Bảng 3.1. Suất sinh lợi trung bình của Afuture Fund

Bảng tóm tắt các đặc trưng nổi bật các mơ hình vừa trình bày ở trên:
Bảng 2.4. Tóm tắt các hệ số co giãn cho các mơ hình
Mơ hình
Phương trình
Độ dốc
Độ co giãn
X
Y = β1 + β 2 X
β2
β2   *
Tuyến tính
Y 
Tuyến tính
log

hay

LnY = β1 + β 2 ln X

Y 

X

β2 

β2

log-log
Log-lin

lnY = β1 + β 2 X

Lin-log

Y = β1 + β 2 ln X
1
Y = β1 + β 2  
X

Nghịch
ñảo

β 2 (Y )

β2 ( X ) *

1

X

1
 

β2 

 1 
−β2  2 
X 

β2   *

Y
 1 
−β2 
*
 XY 

và của chỉ số Fisher (cơ cấu chứng khoán thị trường), 1971 – 1980(14)
Suất sinh lợi dựa trên
Năm
Suất sinh lợi của
Afuture Fund (%)
chỉ số Fisher (%)
Y
X
1971
37.5
19.5
1972
19.2
8.5
1973
-35.2
-29.3
1974
-42.0
-26.5
1975
63.7
62.9
1976

19.3
45.5
1977
3.6
9.5
1978
20.0
14.0
1979
40.3
35.3
1980
37.5
31.0
Đường đặc tính của phân tích đầu tư có thể biểu diễn như sau:
Yi = α i + βi X i + ui

(3.1)

Trong một số kết quả thực nghiệm đã cho thấy α i dương và có ý
nghĩa thống kê và một số khác lại cho thấy nó khơng khác 0 và
trường hợp sau có thể viết lại mơ hình dưới dạng:
Yi = βi X i + ui
(14)

(11)

Nếu ta gọi

tính.

X i*

= (1 / X i ) (2.48) có các thơng số và các biến Yi và

X i*

tuyến

(3.2)

Nguồn: Haim Levy & Marshall Sarnat, Portfolio and Investment Selection:
Theory and Practive, Prentice – Hall, Engwood Cliffs, N.J., 1984, trang 730 & 738.
Số liệu này ñược thu thập bởi các tác giả từ Weisenberg Investment Sevice,
Investment Companies, lần xuất bản 1981.


21

22

1975
1976
1977
1978
1979
1980

Nếu quyết định sử dụng mơ hình (2.1), ta có kết quả hồi quy sau(15):
Yˆ i = 1.0899 X i

r 2 thơ = 0.7825
t = ( 5.6884 )

(3.3)

2.20
2.11
1.94
1.97
2.06
2.02

0.75
1.08
1.81
1.39
1.20
1.17

Chạy mơ hình hồi quy (3.1) và sử dụng bảng số liệu 2.1, ta có kết quả

Sau đó ta dùng mơ hình tuyến tính hai biến để làm thích hợp với dữ

sau:

liệu đã cho trong bảng 3.2, ta thu ñược các kết quả như sau(17):
Yˆt = 2.6911 − 0.4795 X t

Yˆi = 1.2797

+ 1.0691X 1

t = ( 0.1664 ) +

( 4.4860 )

r 2 = 0.7155

(3.4)

Từ những kết quả này ta không thể bác bỏ giả thuyết cho rằng giá trị
ñúng của tung ñộ gốc bằng 0, do vậy ta xác nhận việc sử dụng (3.2),
tức là hồi quy qua gốc tọa ñộ.

( )
( )
var ( βˆ ) = 0.0129; se ( βˆ ) = 0.01140;σˆ
var βˆ1 = 0.0148; se βˆ1 = 0.1216
2

2

(3.5)
2

= 0.01656

r 2 = 0.6628

3.2. MỘT ÁP DỤNG CỦA MƠ HÌNH LOG TUYẾN TÍNH: SỰ

Thực hiện tính tốn, ta thu được các kết quả sau:

TIÊU THỤ CAFÉ (CÀ PHÊ) Ở HOA KỲ NĂM 1970 – 1980

lnY =

Xét dữ liệu ñã cho trong bảng 3.2
Bảng 3.2. Tiêu thụ Coffee ở Hoa Kỳ (Y) trong tương quan
với giá bán lẻ thực tế trung bình (X), 1970 – 1980(16).
Y
X
Năm
(Số ly 01 người
(Giá bán lẽ trung
uống mỗi ngày)
bình mỗi ly)
1970
2.57
0.77
1971
2.50
0.74
1972
2.35
0.72
1973
2.30
0.73
1974

2.25
0.76

0,7774

– 0,2530 lnXt

2

r = 0,7448

(3.6)

F1,9 = 26,27
Với Yt = tiêu dùng cà phê, ly/người/ngày, và Xt = giá thực của cà phê,
USD/pao.
Từ các kết quả này, ta thấy hệ số co giãn giá cả là -0,25, có nghĩa là
với 1% gia tăng mức giá thực của 1 pao cà phê, mức cầu cà phê (tính
bằng số ly cà phê tiêu dùng một ngày) bình qn giảm đi 0,25%. Do
giá trị hệ số co giãn giá cả là 0,25 nhỏ hơn 1 về giá trị tuyệt ñối, ta có
thể nói rằng cầu cà phê khơng có tính co giãn về giá cả.
Bây giờ, một cách để ta có thể so sánh hai mơ hình là tính một đại

(15)

Kết quả in ra của SAS trong phụ lục 3A, mục 3A.1
Lưu ý: giá danh nghĩa ñược lấy từ chỉ số tiêu dùng (CPI) cho thực phẩm và ñồ
uống, 1967 = 100
Nguồn: Dữ liệu Y lấy từ tóm lược của cơng trình nghiên cứu Quốc gia về uống Café,
Nhóm dữ liệu Elkins Park, Peen., 1981 và dữ liệu về X danh nghĩa (nghĩa là X tính

theo giá hiện tại) lấy từ Niealsen Food Index A.C.Nielsen, New York, 1981.
(16)

lượng gần ñúng của hệ số co giãn giá cả cho mơ hình (3.5). Điều đó
có thể được thực hiện như sau:

(17)

Kết quả in ra của SAS trong phụ lục 3A, mục 3A.2


23

24

Hệ số co giãn E của biến Y (ví dụ lượng cầu) ñối với một biến khác X

Yˆt

= −16329.0 + 2584.8 X t

ñược ñịnh nghĩa là:

t

= ( −23.494 )

Giá tri p =

( 27.549 )

*
( 0.0000 ) ( 0.0000 )*

r 2 = 0.9832

% Thay ñổi của Y
E=

* là giá trị rất nhỏ.
% Thay ñổi của X

=

=

(∆Y / Y ) ⋅ 100
(∆X / X ) ⋅ 100

Giải thích theo cách vừa trình bày, hệ số độ dốc khoảng 2585 có
(3.7)

∆Y X
⋅
∆X Y

= (hệ số ñộ dốc)(X/Y)
Với ∆ biểu thị thay ñổi (nhỏ). Nếu ∆ đủ nhỏ, ta có thể thay thế
∆Y / ∆X bởi dạng ñạo hàm, dY/dX. Bây giờ ñối với mơ hình tuyến

tính (3.6), ước lượng của hệ số độ dốc được tính bởi hệ số ước lượng

β 2 , trong hàm cầu cà phê là -0,4795. Như (3.7) biểu thị, để tính độ
co giãn, ta phải nhân hệ số ñộ dốc này với tỷ lệ (X/Y), tức là giá cả
chia cho số lượng. Nhưng ta chọn giá trị nào của X và Y? Như Bảng

nghĩa là trong khoảng thời gian của mẫu, lượng cung tiền tăng lên
1%, bình quân, kéo theo sự gia tăng GNP khoảng 25,85 tỷ USD.
Trước khi tiếp tục, lưu ý rằng nếu muốn tính hệ số co giãn cho các
mơ hình log-lin hay lin-log, ta có thể thực hiện từ định nghĩa hệ số co
giãn ở trên, cụ thể, (dY/dX)(X/Y). Trên thực tế, khi biết dạng hàm số
của mơ hình, ta có thể tính các hệ số co giãn bằng cách áp dụng ñịnh
nghĩa ở trên.
3.4. MỘT ÁP DỤNG CỦA MƠ HÌNH NGHỊCH ĐẢO: ĐƯỜNG
CONG PHILLIPS CỦA ANH QUỐC, 1950-1966
Ta có bảng số liệu sau:
Bảng 3.3. Tỷ lệ tăng lương hàng năm và tỷ lệ thất nghiệp,

1950

Anh Quốc, 1950-1966
Tăng lương hàng
năm, %
Y
1,8

1951
1952
1953
1954
1955

1956
1957
1958
1959

8,5
8,4
4,5
4,3
6,9
8,0
5,0
3,6
2,6

3.2 biểu thị, có 11 cặp giá trị giá cả (X) và số lượng (Y). Nếu ta sử
dụng tất cả các giá trị này, ta sẽ có 11 ước lượng của độ co giãn giá
cả.
Tuy nhiên trên thực tế, hệ số co giãn ñược tính bằng giá trị trung bình
hay bình qn của Y và X. Tức là, ta có một ước lượng về hệ số co
giãn trung bình.
3.3. MỘT ÁP DỤNG CỦA MƠ HÌNH NỬA LOG
Quay lại với số liệu trong Bảng 2.3, ta có các kết quả hồi quy như
sau:

Năm

Thất nghiệp, %
X
1,4

1,1
1,5
1,5
1,2
1,0
1,1
1,3
1,8
1,9


25

1960
1961
1962
1963
1964
1965
1966

26

2,6
4,2
3,6
3,7
4,8
4,3
4,6

1,5
1,4
1,8
2,1
1,5
1,3
1,4

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
Sau gần một năm nghiên cứu đề tài “Mở rộng mơ hình hồi quy
tuyến tính hai biến”, tác giả nhân thấy ñây là ñề tài rất hay, rất bổ ích.
Hiện chưa có giáo trình, tài liệu chính thức nào bằng tiếng việt để
mọi người tham khảo. Điểm hạn chế của ñề tài này là tác giả mới tiếp

Việc xây dựng một mơ hình nghịch đảo (2.48) thích hợp với chuỗi số
liệu cho ta các kết quả sau:

cận với các mơ hình thơng qua hai biến việc này dẫn đến các mơ hình
nhiều hơn hai biến chưa ñược nghiên cứu hết. Nếu có ñiều kiện tác

(19)

Yt = −1, 4282 + 8,2743 (1 / X t ) r = 0,3849
2

(3.8)

giả sẽ tiếp tục nghiên cứu và bổ sung để luận văn được hồn chỉnh
hơn.

Hình 3.1. Đường cong Philips của Anh Quốc, 1950 – 1966
Đường hồi quy ước lượng ñược biểu diễn trong Hình 3.1. Từ hình
này ta thấy rõ rằng giới hạn bên dưới của tốc ñộ thay ñổi mức lương
là -1,43, tức là khi X tăng lên vô hạn, tỷ lệ phần trăm giảm sút của
mức lương sẽ không lớn hơn 1,43%/năm.

(19)

Kết quả in ra của SAS trong phụ lục 3A, mục 3A.3