Bai tap hinh hoc 11

<span class='text_page_counter'>(1)</span>PHƯƠNG PHÁP VÀ BÀI TẬP QUAN HỆ VUÔNG GÓC . Để chứng minh đường thẳng vuông góc với đường thẳng ta có thể theo các định lí , hệ quả sau : .   . . . a  b  a ; b  900. .. b / / c  a b  a  c  .     a  b  a b 0 .Nếu a , b lần lượt là các vectơ chỉ phương của hai đường thẳng a và b Khi hai đường thẳng cắt nhau ta có thể dùng các kết luận đã có trong hình học phẳng như : tính chất đường trung trực , định lí Pitago đảo … để chứng minh chúng vuông góc .. a ' hch  a   a ' hch  a     b    b  a ' b    b  a a / /   ba b  a  b  a '  b  . . a  ( )   a b b  ( ) . . ABC ; a  AB    a  BC a  AC . ;. Để chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ta có thể sử dụng một trong các định lí , hệ quả sau :. a    a  b  . a  b    a  c    a   b  c O . a / /b    a  .  / /  a  a  . AB      M | MA MB (  là mặt phẳng trung trực của AB).  P   Q   P   R  ABC         a   P   a   Q MA MB MC   MO      Q   R   a   R   OA OB OC  a  c  P    Q   P    Q  a   . . . Để chứng minh hai mặt phẳng vuông góc với nhau ta có thể sử dụng một trong các định lí , hệ quả sau :. . .  P    Q    P  ,  Q   900.  P   a     P   Q a   Q  . Tính góc giữa hai đường thẳng Phương pháp : Có thể sử dụng một trong các cách sau:  Cách 1: (theo phương pháp hình học)  Lấy điểm O tùy ý (ta có thể lấy O thuộc một trong hai đường thẳng) qua đó vẽ các đường thẳng lần lượt song song (hoặc trùng) với hai đường thẳng đã cho  Tính một góc trong các góc được tạo bởi giữa hai đường thẳng cắt nhau tại O .  Nếu góc đó nhọn thì đó là góc cần tìm , nếu góc đó tù thì góc cần tính là góc bù với góc đã tính .  Cách 2 : (theo phương pháp véc tơ). . .  u , u2 lần lượt là các vectơ chỉ phương của hai đường thẳng  1  và   2  Tìm 1    u1 u2 cos  1 ,  2   cos u1 , u2    u1  u2. . .  R    Q      P   Q  P  / /  R  .  Khi đó Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng Phương pháp :.  . a      a ,  90 0 . ;. . ..

<span class='text_page_counter'>(2)</span> .  a / / 0   a     a ,   0  ; a          a ,  a , a ' a ' hch a .  . . a ' hch a ta lấy tùy ý điểm M  a , dựng MH     tại H , suy ra   hch a a '  AH ,  A a       a , MAH. o Để tìm.  . . Xác định góc giữa hai mặt phẳng Phương pháp :  Cách 1 : Dùng định nghĩa :.  . a   P    P  ,  Q   a , b b   Q   trong đó :.   . Cách 2 : Dùng nhận xét :.  R       P    Q     R    P   p    P  ,  Q    p , q   R    Q  q  . . Cách 3 : Dùng hệ quả :. M  Q.     H hch P  M    P  ,  Q  MNH  HN  m  P    Q   .. . . . Tính các khoảng cách giữa một điểm và mặt phẳng Phương pháp : Để tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng , ta phải đi tìm đoạn vuông góc vẽ từ điểm đó đến mặt phẳng , ta hay dùng một trong hai cách sau :  Cách 1 :  Tìm một mặt phẳng (Q) chứa M và vuông góc với (P) .  Xác định  Dựng. m  P    Q  .. MH  m  P    Q  ,.  MH   P  suy ra MH là đoạn cần tìm . Cách 2: Dựng o Chú ý : . . MA / /     d  M ,     d  A ,    . MA   I. . d  M ,    d  A,   . . IM IA. ..   Nếu Khoảng cách từ một đường thẳng đến một mặt phẳng: . . Nếu. MH / /  d     .  .  a   P  d  a ,  P   0  a  P   Khi  . a / /  P Khi.

<span class='text_page_counter'>(3)</span>  d  a ,  P   d  A ,  P  . . A P.  . với Khoảng cách từ một mặt phẳng đến một mặt phẳng :  .   P   Q  d   P  ,  Q   0  P  Q      Khi  . P // Q Khi      d   P  ,  Q   d  M ,  Q  . A P. .   . với Khoảng cách giữa hai đường thẳng  . .        '  d     ,   '  0     '     Khi  .    / /   '  d     ,   '  d  M ,   '  d  N ,     Khi Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau :  Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau. với. M     , N    ' ..    và   ' là đường thẳng  a  cắt    ở M và cắt   ' ở N đồng thời vuông góc với cả    và   ' .. . Đoạn MN được gọi là đoạn vuông góc chung của hai đường. '. thẳng chéo nhau   và   .  Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đườngthẳng đó . Phương pháp :  Cách 1 : Dựng mặt phẳng (P) chứa đường thẳng a và song song với b .Tính khoảng cách từ b đến mp(P) .  Cách 2 : Dựng hai mặt phẳng song song và lần lượt chứa hai đường thẳng . Khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó là khoảng cách cần tìm .  Cách 3 : Dựng đoạn vuông góc chung và tính độ dài đoạn đó . Cách dựng đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau :  Cách 1: Khi a  b. . mp P  b , P  a.     tại H . Dựng một Trong (P) dựng HK  b tại K . Đoạn HK là đoạn vuông góc chung của a và b . Cách 2:   . . . Dựng.  P  b, P / /a .. . Dựng. a ' hch P  a. , bằng cách lấy M  a. MN  . .   , lúc đó a’ là dựng đoạn đường thẳng đi qua N và song song a . Gọi H a ' b , dựng HK / / MN  HK là đoạn vuông góc chung cần tìm ..

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Một số bài tập ôn tập chương Bài 1. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B , AB BC a , AD 2a , các mặt phẳng  SAB  và. (Thi Học kì 2 Trường chuyên Lê Hồng Phong HCM) . Bài 4. (*) Cho hình chóp S.ABC có đáy là ABC đều cạnh a . I là trung điểm của BC, SA vuông góc với (ABC) . a) Chứng minh (SAI) vuông góc với (SBC) . b) Gọi M, N lần lượt là trung điểm AC, AB . BE, CF lần lượt là đường cao của SBC. Chứng minh (MBE) vuông góc với (SAC) và (NFC) vuông góc với (SBC) . c) Gọi H, O lần lượt là trực tâm của SBC và ABC . Chứng minh OH vuông góc với (SBC) . d) Cho () qua A và song song với BC và () vuông góc với (SBC). Tính diện tích của thiết diện S.ABC bởi () khi SA = 2a . e) Gọi K là giao điểm của SA và OH .Chứng minh AK.AS không đổi . Tìm vị trí của S để SK ngắn nhất .. a. Khi SA = a 3 . Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) , (SAC) và (SBC) . Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông SAB đều cạnh a, (SAB) vuông góc với (ABCD) . a) Chứng minh SCD cân . c) Chứng minh các mặt bên của hình chóp S . ABCD đều b) Tính số đo góc của hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) . là các tam giác vuông . c) Tính đoạn vuông góc với chung giữa AB và SC . SA  a 6 Bài 6. Cho OAB cân tại O . OA = OB = d) Khi . Tính góc giữa SD với mặt phẳng.  SAD .  ABCD  . cùng vuông góc với mặt phẳng SA   ABCD  a) Chứng minh .  SAC    ABCD  . b) Chứng minh.  ABCD   SCD  .. và góc giữa hai mặt phẳng.  ABCD . và. . 0. a , AOB 120 . Trên hai nửa đường thẳng Ax , By vuông góc với (OAB) về cùng một phía , lấy M , N sao cho. AM  x , BN  y .. d) Tính các khoảng cách :. d  A ,  SCD   ; d  CD ,  SAB   ; d  SD , AC . . Bài 2. Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy là a , tâm O, cạnh bên bằng a. a) Tính đường cao của hình chóp . b) Tính góc giữa các cạnh bên và các mặt bên với mặt đáy . c) Tính d(O, (SCD)) . d) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của BD và SC . e) Gọi () là mặt phẳng chứa AB và () vuông góc với (SCD) , () cắt SC, SD lần lượt C’ và D’. Tứ giác ABC’D’ là hình gì? Tính diện tích của thiết diện .. Bài 3. Cho hình chữ nhật ABCD có AD 6, AB 3 3 . Lấy điểm M trên cạnh AB sao cho MB 2MB và N là trung điểm của AD . Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ABCD tại M lấy điểm S sao cho SM 2 6 . a) Chứng minh. AD   SAB  ;  SBC    SAB . b) Chứng minh.  SBN    SMC . ;. ;. a) Tính các cạnh của OMN theo a, x, y . Tìm hệ thức giữa x, y để OMN vuông tại O .. 3a b) Cho OMN vuông tại O và x + y = 2 . Tính x, y ( x < y )..  OMN , OAB   c) Với kết quả câu b) . Tính góc . d) Giả sử M , N lưu động sao cho y 2 x . Chứng minh (OMN) quay quanh một đường thẳng cố định. Bài 7. (*) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a . Gọi I là điểm thuộc cạnh AB ; đặt. AI  x ,  0  x  a  a) Chứng minh khi. .. . . x  4  15 a. thì góc giữa DI và AC’. 0. bằng 60 . b) Xác định và tính diện tích thiết diện của hình lập phương khi cắt bởi mặt phẳng (B’DI) . Tìm x để diện tích ấy nhỏ nhất . c) Tính khoảng cách từ điểm C đến mp(B’DI) theo a và x . Bài 8. Cho hình chóp tứ giác đều. S.ABCD có AB a , SA a 2 . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của các cạnh SA , SB , CD . Chứng minh rằng.  SMC  c) Tính góc giữa đường thẳng SN và mặt phẳng đường thẳng MN vuông góc với đường thẳng SP . Tính : d) Xác định vị trí điểm P  SM sao cho.  PNC  ,  SMC   60. 0. ..  SAB  khoảng cáh từ P đến (CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2009) ..

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Bài 9. Cho hình lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại B , AB a , AA ' 2a , A ' C 3a . Gọi M là trung điểm của. khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a .. Bài 15. Cho hình lăng trụ đứng ABC . A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông , AB  BC a , AA ' a 2 . Gọi M là trung điểm của đoạn. đoạn thẳng A ' C ' , I là giao điểm của AM và A ' C . Tính.  IBC  . theo a khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (KHỐI D NĂM 2009) . Bài 10. Cho hình lăng trụ tam giác ABC. A ' B ' C ' có BB ' a , góc giữa đường thẳng BB ' và mặt phẳng.  ABC  bằng 600 ;. thẳng BC . Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B ' C . (KHỐI D NĂM 2008). ABC là tam giác vuông tại.  C và BAC 600 . Hình chiếu vuông góc của điểm B’ lên  ABC  ABC. mặt phẳng. trùng với trọng tâm của tam giác. Tính khoảng cách ttừ A ' đến mặt phẳng tích của tam giác ABC ..  ABC . .. và diện. (KHỐI B NĂM 2009).. Bài 11. Cho hình choùp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D , AB  AD 2a , CD a , ; góc giữa hai mặt phẳng.  SBC  vaø  ABCD  baèng 600. Goïi I laø trung ñieåm cuûa  SBI  vaø  SCI  cuøng caïnh AD . Bieát hai maët phaúng  ABCD  , tính khoảng cách từ vuông góc với mặt phẳng S đến mặt phẳng  ABCD  và diện tích của hình thang ABCD .. (KHỐI A NĂM 2009). Bài 12. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = a ; hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H. AH . AC 4 . Gọi CM là đường cao của tam. thuộc đoạn AC, giác SAC. Chứng minh M là trung điểm của SA và tính.  SBC  theo a. khoảng cách từ M đến mặt phẳng (KHỐI D NĂM 2010) .. Bài 13. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. A ' B ' C ' có AB a , góc giữa hai mặt phẳng.  A ' BC .  ABC  bằng 600. Gọi G là trọng tâm tam giác A ' BC . Tính koảng cách giữa hai mặt phẳng  ABC  và  A ' B ' C ' . Tìm điểm M cách đều bốn điểm G , A , B , C và. tính khoảng cách từ M đến các điểm đó theo a . Bài 14. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD ; H là giao điểm của CN và DM . Biết SH vuông góc với mặt phẳng.  ABCD . và SH a 3 . Tính diện tích của CDNM và.  P. Bài 16.. Trong mặt phẳng cho nửa đường tròn đường kính AB 2 R và điểm C thuộc nửa đường tròn đó sao cho AC  R . Trên đường thẳng vuông.  P  tại A lấy điểm S sao cho góc với SAB ,  SBC  600 . Gọi H , K lần lượt là hình chiếu. . . của A trên SB , SC .Chứng minh tam giác AHK vuông và tính diện ABC và khoảng cách từ S đến.  P .. Bài 17. Bài 1 : Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật , AB = a , AD = 2a . SA = a và SA vuông góc (ABCD) . 1) Chứng minh (SBC) vuông góc (SAB) và (SCD) vuông góc (SAD) 2) Tính góc giữa (SCD) và (ABCD) Bài 2 : Hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C , mặt bên SAC là tam giác đều và vuông góc (ABC) . 1) Xác định chân đường cao H kẻ từ S của hình chóp . 2) Chứng minh (SBC) vuông góc (SAC) . 3) Gọi I là trung điểm SC , chứng minh (ABI) vuông góc (SBC) Bài 3 : Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy là a . Gọi I là trung điểm BC .1) Chứng minh (SBC) vuông góc (SAI) . 2) Biết góc giữa (SBC) và (ABC)là a. Tính chiều cao SH cua hình chóp . Bài 4 : Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên và cạnh đáy cùng bằng a . 1) Tính độ dài đường cao hình chóp . 1) M là trung điểm SC . Chứng minh (MBD) vuông góc (SAC) . 2) Tính góc giữa mặt bên và mặt đáy của hình chóp . Bài 5 : Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và. Có SA = SB = SD = a.1) Chứng minh (SAC) vuông góc (ABCD) và SB vuông góc BC .2) Tính tang của góc giữa (SBD) và (ABCD) . Bài 6 : Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D , AB = 2a , AD = CD =a , cạnh SA vuông góc với đáy và SA = a . 1) Chứng minh (SAD) vuông góc (SCD) và (SAC) vuông góc (SBC) . 2) Gọi a là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) . Tính tan.a Bài 7: Tứ diện ABCD, AD  (BCD) Gọi E là chân đường cao DE của tam giác BCD a/Chứng minh (ADE)  (ABC).

<span class='text_page_counter'>(6)</span> b/Kẻ đường cao BF của tam giác ABC, đường cao BK của (BCD) Chứng minh (BFK)  (ABC) Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a,SA=SB=SC=SD=a Gọi I,J lần lượt là trung điểm của AD và BC a/Chứng minh (SIJ)  (SBC) b/ Tính khoảng cách giữa AD và SB Bài9: Tứ diện S.ABC có ABC là tam giác vuông cân đỉnh B ; AC=2a. Cạnh SA vuông góc với (ABC) và SA=a a/Chứng minh (SAB)  (SBC) b/Tính khảng cách từ A đến (SBC) c/Gọi O là trung điểm AC .Tính khoảng cách từ O đến (SBC). B10/ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vu«ng c¹nh a, SA  (ABCD), SA = h. Gäi O lµ t©m h×nh vu«ng ABCD. TÝnh kho¶ng c¸ch: a) Từ B đến (SCD) b) Từ O đến (SCD) B11) Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông vạnh a, mặt bên (SAB)  đáy và SA = SB = b. Tính khoảng c¸ch: a) Từ S đến (ABCD) b) Từ AD đến (SBC). c) Từ trung điểm I của CD đến (SHC), H là trung điểm cña AB. B12) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vu«ng c¹nh a, SA  (ABCD), SA = a. TÝnh kho¶ng c¸ch giữa hai đờng thẳng: a) SA vµ BD. b) SC vµ BD. c) AC vµ SD. B13) Cho hai tam giác cân không đồng phẳng ABC và ABD có đáy chung AB. a) CM: AB  CD. b) Xác định đoạn vuông góc chung cña AB vµ CD. Bài14: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,cạnh SA  (ABCD) ; SA=2a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC. Bài15: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a,SA (ABCD) và SA=a Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng : a/ SC và BD b/ AC và SD Bài 16:Cho tứ diện OABC, trong đó OA ,OB,OC đôi một vuông góc và OA=OB=OC=a. Gọi I là trung điểm BC.Hãy xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của các cặp đường thẳng : a/ OA và BC b/AI và OC.

<span class='text_page_counter'>(7)</span>