Sach dien tu cua ham mot bien

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.12 MB, 75 trang )

(1)ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ------------------. Vũ Thanh Hiếu. SÁCH ĐIỆN TỬ MÔN GIẢI TÍCH HÀM SỐ MỘT BIẾN. LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC. Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.40. Người hướng dẫn khoa học PGS. TS. TẠ DUY PHƯỢNG. THÁI NGUYÊN - NĂM 2011.

(2) 1 ..

(3) 2. Mục lục Mở đầu 1 Dãy số và chuỗi số 1.1 Dãy số và giới hạn của dãy số . . . . . . . . . . . 1.1.1 Một số khái niệm . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Một số tính chất của dãy hội tụ . . . . . . 1.1.3 Một số phép toán trên giới hạn . . . . . . . 1.2 Hai nguyên lý cơ bản về giới hạn và ứng dụng . . . 1.2.1 Hai nguyên lý cơ bản về giới hạn . . . . . . 1.2.2 Một số giới hạn quan trọng . . . . . . . . . 1.2.3 Sự tồn tại điểm tụ trong dãy bị chặn . . . . 1.2.4 Tiêu chuẩn Cauchy . . . . . . . . . . . . . 1.3 Chuỗi số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Một số khái niệm . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Tiêu chuẩn Cauchy . . . . . . . . . . . . . 1.3.3 Dấu hiệu so sánh . . . . . . . . . . . . . . 1.3.4 Dấu hiệu hội tụ của chuỗi số dương . . . . 1.3.5 Chuỗi đan dấu và dấu hiệu Leibniz . . . . . 1.3.6 Dấu hiệu Dirichlet và Abel . . . . . . . . . 1.4 Ứng dụng Maple trong thực hành tính toán chương 1.4.1 Giới thiệu về phần mềm Maple . . . . . . . 1.4.2 Minh họa dãy số bằng lệnh vẽ dãy điểm . . 1.4.3 Tìm quy luật của một dãy số . . . . . . . . 1.4.4 Tính tổng hữu hạn . . . . . . . . . . . . . 1.4.5 Tính tổng vô hạn . . . . . . . . . . . . . . 1.4.6 Tính tích của hữu hạn hoặc vô hạn thừa số 1.4.7 Tính giới hạn của dãy số . . . . . . . . . . 1.5 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 6 . . . . . . . . . . . . . . . . 1 . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 9 9 9 10 11 11 11 12 12 12 13 13 13 14 14 14 15 15 15 19 20 21 22 22 23 23.

(4) 3. 2 Hàm số 2.1 Các khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Khái niệm hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Đồ thị của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 Một số hàm có cấu trúc đặc biệt . . . . . . . . . 2.1.4 Các phép toán trên hàm số . . . . . . . . . . . . 2.2 Các hàm số cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Các hàm sơ cấp cơ bản . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Các hàm sơ cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Ứng dụng Maple trong thực hành tính toán chương 2 . . 2.3.1 Định nghĩa hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Tìm tập xác định của hàm số . . . . . . . . . . . 2.3.3 Vẽ đồ thị của hàm số trong không gian hai chiều 2.4 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. 24 24 24 24 25 26 27 27 27 27 27 29 29 30. 3 Giới hạn và tính liên tục của hàm số 3.1 Một số khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Giới hạn tại một điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 Giới hạn một phía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.3 Mở rộng khái niệm giới hạn . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Một số tính chất của giới hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Tiêu chuẩn tồn tại giới hạn . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Định lý về tính duy nhất của giới hạn . . . . . . . . 3.2.3 Định lý về tính bảo toàn thứ tự . . . . . . . . . . . 3.3 Các phép toán trên giới hạn hàm số . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Các phép toán số học . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2 Giới hạn của hàm hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Hai nguyên lý cơ bản về giới hạn và ứng dụng . . . . . . . . 3.4.1 Nguyên lý về giới hạn của hàm đơn điệu bị chặn . . 3.4.2 Nguyên lý về giới hạn của hàm bị kẹp . . . . . . . . 3.4.3 Áp dụng trong việc tính giới hạn của các hàm cơ bản 3.5 Tính liên tục của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.1 Khái niệm liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.2 Khái niệm gián đoạn . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Các định lý cơ bản về hàm liên tục . . . . . . . . . . . . . . 3.6.1 Các định lý về giá trị trung gian . . . . . . . . . . . 3.6.2 Các phép toán trên các hàm liên tục . . . . . . . . . 3.6.3 Hàm số liên tục đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.4 Hàm liên tục trên tập compact . . . . . . . . . . . .. 31 31 31 31 32 32 32 33 33 33 33 34 34 34 34 34 35 35 35 35 35 36 36 36. . . . . . . . . . . . . ..

(5) 4. 3.7. 3.8. Ứng dụng Maple trong thực hành tính toán chương 3 . . . 3.7.1 Tính giới hạn của hàm số . . . . . . . . . . . . . . 3.7.2 Tìm điểm gián đoạn của hàm số . . . . . . . . . . 3.7.3 Tính giới hạn của hàm số khi đối số dần đến một điểm nào đó . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.4 Tính giới hạn của hàm số theo từng bước . . . . . Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4 Đạo hàm 4.1 Khái niệm đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Định nghĩa đạo hàm . . . . . . . . . . . . . 4.2 Các phép toán trên đạo hàm . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Các phép toán số học trên đạo hàm . . . . 4.2.2 Đạo hàm của hàm hợp và hàm ngược . . . 4.2.3 Đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản . . 4.3 Các định lý quan trọng về hàm khả vi . . . . . . . 4.3.1 Định lý Fermat về điều kiện cực trị . . . . 4.3.2 Các định lý về giá trị trung bình . . . . . . 4.4 Một số ứng dụng của đạo hàm . . . . . . . . . . . 4.4.1 Tính giới hạn dạng không xác định . . . . . 4.4.2 Tìm cực trị của hàm số . . . . . . . . . . . 4.4.3 Khảo sát các tính chất của hàm số . . . . . 4.5 Ứng dụng Maple trong thực hành tính toán chương 4.5.1 Tính đạo hàm của hàm số . . . . . . . . . 4.5.2 Tính đạo hàm của hàm số theo từng bước . 4.5.3 Khảo sát hàm số . . . . . . . . . . . . . . . 4.6 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 4 . . . .. 5 Phép tính tích phân 5.1 Tích phân bất định . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1 Khái niệm nguyên hàm và tích phân bất định 5.1.2 Các tính chất và quy tắc cơ bản . . . . . . . 5.1.3 Bảng các tích phân bất định cơ bản . . . . . 5.2 Tích phân xác định Riemann . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Khái niệm tích phân xác định . . . . . . . . 5.2.2 Một số tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.3 Một số phương pháp tính tích phân xác định 5.2.4 Một số ứng dụng của tích phân . . . . . . . . 5.3 Ứng dụng Maple trong thực hành tính toán chương 5 5.3.1 Minh họa và tính tổng Riemann . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 37 . 37 . 38 . 39 . 40 . 42 . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 43 43 43 44 44 45 45 46 46 47 47 47 48 48 49 49 50 52 53. . . . . . . . . . . .. 54 54 54 55 55 56 56 57 58 59 61 61.

(6) 5. 5.4. 5.3.2 Tính tích phân xác định . 5.3.3 Tính tích phân từng bước 5.3.4 Tính diện tích và thể tích 5.3.5 Tính nguyên hàm . . . . Bài tập . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. 64 66 68 71 72. Kết luận. 73. Tài liệu tham khảo. 74.

(7) 6. Mở đầu Phần mềm Maple được xây dựng bởi một nhóm các nhà khoa học thuộc trường Đại học Waterloo – Canada, và được tiếp tục phát triển tại những phòng thí nghiệm ở các trường đại học, bao gồm: Phòng thí nghiệm Tính toán hình thức tại Đại học Waterloo; Trung tâm nghiên cứu Tính toán hình thức Ontario tại Đại học Tây Ontario; và những phòng thí nghiệm khắp nơi trên thế giới. Maple có cách cài đặt đơn giản, chạy được trên nhiều hệ điều hành, có cấu trúc linh hoạt để tận dụng tối ưu cấu hình máy và có trình trợ giúp rất dễ sử dụng. Maple có môi trường tính toán rất phong phú, hỗ trợ hầu hết các lĩnh vực của toán học với khả năng tính toán trên các kí hiệu (symbolic). Từ version 7, Maple cung cấp ngày càng nhiều các công cụ trực quan, các gói lệnh tự học gắn liền với toán học phổ thông và đại học. Về lập trình tính toán, Maple vượt xa các ngôn ngữ thông thường khác trên cả hai phương diện: mạnh và đơn giản. Ngoài ra, sử dụng Maple, ta có thể dễ dàng biên soạn các sách giáo khoa điện tử với chức năng Hyperlink tạo các siêu văn bản rất đơn giản mà không cần đến sự hỗ trợ của bất kỳ một phần mềm nào khác. Với những ưu điểm đó, Maple đã được nhiều người trên thế giới lựa chọn và là một trong những bộ phần mềm toán học được sử dụng rộng rãi nhất hiện nay. Maple có thể trợ giúp hữu hiệu cho việc dạy và học toán. Rất nhiều công việc như giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, tính đạo hàm, tích phân, vẽ đồ thị . . . được thực hiện bằng những câu lệnh rất đơn giản chứ không phải lập trình tính toán phức tạp như trước kia. Nếu biết khai thác một cách hiệu quả, Maple sẽ là công cụ minh họa hoàn hảo, hỗ trợ cho giáo viên trong việc dạy những kiến thức khó và trừu tượng (chẳng hạn như khái niệm tích phân), giúp giáo viên nâng cao chất lượng giảng dạy và giảm thiểu thời gian đứng lớp; giúp học sinh hiểu sâu hơn.

(8) 7. bài giảng, nâng cao kỹ năng tính toán và phát triển khả năng sáng tạo . . . Luận văn ”Sách điện tử môn giải tích Hàm số một biến” có mục đích hệ thống một số lệnh thông dụng bổ trợ cho phần giải tích Hàm số một biến. Chúng tôi sử dụng Maple version 13 và đã cố gắng tận dụng những tính năng ưu việt của Maple như chức năng đóng gói, bookmark, hyperlink . . . để giúp người sử dụng dễ dàng tra cứu; và viết các câu lệnh thông dụng thành nhóm lệnh, để những người chưa từng làm quen với Maple vẫn có thể thực hiện những lệnh đó chỉ bằng thao tác ấn phím Enter, đồng thời cung cấp mẫu cho người sử dụng có thể tự thực hiện với bài toán của mình và phát triển thêm. Hy vọng điều này sẽ tạo được hứng thú và giúp người sử dụng làm quen, khai thác Maple để làm toán một cách dễ dàng, nhanh chóng hơn. Luận văn gồm 5 chương: Chương 1. Dãy số và chuỗi số Chương 2. Hàm số Chương 3. Giới hạn và tính liên tục của hàm số Chương 4. Đạo hàm Chương 5. Phép tính tích phân Cấu trúc của mỗi chương gồm ba phần - Kiến thức lý thuyết: Các kiến thức cơ bản (các định nghĩa, định lý. . .) được đưa vào, với khả năng đóng gói và hyperlink của Maple giúp người sử dụng có thể dễ dàng tra cứu, tham khảo để ôn lại kiến thức khi cần thiết. - Ứng dụng Maple: Tương ứng với các kiến thức được nêu trong chương, chúng tôi giới thiệu các lệnh thông dụng của Maple dùng để hỗ trợ thực hành tính toán. Ngoài các câu lệnh riêng lẻ, còn có một số chương trình (gồm nhiều câu lệnh được viết thành nhóm) thực hiện những công việc phổ biến như khảo sát hàm số, tính tích phân theo từng bước . . . giúp người sử dụng có thể dùng Maple giải quyết bài toán của mình mà không phải trực tiếp gõ các lệnh, đồng thời có mẫu để tham khảo tự viết chương trình khi đã quen với Maple. - Bài tập: Chúng tôi đưa vào một số bài tập nhằm giúp người sử dụng nắm được cách gõ các biểu thức toán học theo quy định của Maple, minh.

(9) 8. họa cho khả năng tính toán của Maple. Một số bài tập được nêu cả cách giải ”truyền thống” và cách giải bằng Maple để người sử dụng có thể tham khảo và so sánh. Kèm theo luận văn này là một đĩa CD chứa nội dung sách điện tử được biên soạn trên Maple. Luận văn được thực hiện dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Tạ Duy Phượng (Viện Toán học - Viện Khoa học Việt Nam). Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy về sự tận tình hướng dẫn trong quá trình làm luận văn. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo, Khoa Toán - Tin trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, các thầy cô giảng dạy lớp Cao học Toán K3 đã tạo mọi điều kiện thuận lợi và truyền thụ kiến thức cho tôi trong suốt quá trình học tập. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo, các thầy cô tổ Toán - Tin trường Phổ thông Vùng cao Việt Bắc, bạn bè đồng nghiệp cùng gia đình đã tạo điều kiện giúp đỡ, khích lệ tôi hoàn thành bản luận văn này. Thái Nguyên 2011 Vũ Thanh Hiếu.

(10) 9. Chương 1 Dãy số và chuỗi số 1.1 1.1.1. Dãy số và giới hạn của dãy số Một số khái niệm. Định nghĩa 1.1 (Dãy số). Dãy số là một tập đếm được các số thực, được đánh số và sắp xếp theo thứ tự chỉ số tăng dần. Dãy số thường được ký hiệu là (an ). Ta gọi an là số hạng tổng quát của dãy số, dãy số được hoàn toàn xác định khi biết công thức biểu diễn số hạng tổng quát an . Chú ý 1.1. Có nhiều phương pháp cho dãy số: cho công thức biểu diễn số hạng tổng quát, liệt kê, mô tả tính chất, truy hồi, . . . Định nghĩa 1.2 (Dãy số bị chặn - giới nội). Dãy số (an ) được gọi là bị chặn trên (bị chặn dưới) nếu tồn tại số c sao cho an 6 c (c 6 an ) với mọi. n. Khi dãy số vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới ta nói nó là bị chặn (hay còn gọi là giới nội). Định nghĩa 1.3 (Giới hạn của dãy số). Số a được gọi là giới hạn của dãy số (an ) nếu với mỗi số dương ε bất kỳ ta có thể tìm được một số tự nhiên. N (phụ thuộc vào ε) sao cho an ∈ (a − ε; a + ε), (tức là |an − a| < ε) với mọi n ≥ N . Khi đó ta viết lim an = a. n→∞. hay. an → a, khi n → ∞. và nói rằng dãy số (an ) là hội tụ (tới a). Dãy không hội tụ thì được gọi là dãy phân kỳ..

(11) 10. Chú ý 1.2. Trong kí hiệu trên, nếu không sợ nhầm lẫn ta có thể bỏ. n → ∞, tức là, viết lim an thay cho lim an . n→∞. Mệnh đề 1.1. Nếu (an ) hội tụ thì giới hạn của nó là duy nhất. Định nghĩa 1.4 (Dãy con). Giả sử (an ) là dãy số và n1 < n2 < . . . là một tập con những số tự nhiên xếp theo thứ tự tăng dần. Khi đó dãy (ank ) được gọi là dãy con của dãy (an ). Mệnh đề 1.2. Nếu (an ) hội tụ tới a thì mọi dãy con vô hạn của nó cũng hội tụ tới a. Định nghĩa 1.5 (Giới hạn trên và giới hạn dưới). Giả sử (ank ) là một dãy con của (an ) và lim ank = a thì a được gọi là một giới hạn riêng của (an ). k→∞. Kí hiệu A là tập tất cả các giới hạn riêng. sup A được gọi là giới hạn trên của (an ), ký hiệu lim sup an ; inf A được gọi là giới hạn dưới của (an ), ký n→∞. hiệu lim inf an . n→∞. Mệnh đề 1.3. Dãy số (an ) hội tụ khi và chỉ khi. lim sup an = lim inf an .. n→∞. n→∞. Ta nhớ lại, với tập con A ⊂ R, một điểm x ∈ R được gọi là điểm tụ của. A nếu tồn tại một dãy các phần tử của A hội tụ về x. Như vậy, một giới hạn riêng của một dãy chính là một điểm tụ của dãy đó. Ta có mệnh đề Mệnh đề 1.4. Điểm a là một điểm tụ của dãy số (an ) khi và chỉ khi có dãy con (ank ) hội tụ tới a.. 1.1.2. Một số tính chất của dãy hội tụ. Mệnh đề 1.5 (Tính giới nội). Mọi dãy hội tụ đều giới nội. Mệnh đề 1.6 (Tính bảo toàn thứ tự). Giả sử a = lim an , b = lim bn . n→∞. n→∞. Khi đó i) Nếu tồn tại n0 sao cho an ≥ bn với mọi n ≥ n0 thì a ≥ b. ii) Nếu a > b thì tồn tại n0 sao cho với mọi n ≥ n0 , ta có an > bn ..

(12) 11. 1.1.3. Một số phép toán trên giới hạn. Định nghĩa 1.6 (Dãy vô cùng bé). Ta nói (an ) là dãy vô cùng bé nếu. lim an = 0. Mệnh đề 1.7. i) Nếu (an ) và (bn ) là các dãy vô cùng bé thì (an + bn ) cũng là dãy vô cùng bé. ii) Nếu (an ) là dãy vô cùng bé và (bn ) giới nội thì (an · bn ) là dãy vô cùng bé. Hệ quả 1.1. Nếu (an ) là dãy vô cùng bé và (bn ) hội tụ thì (an · bn ) là dãy vô cùng bé. Mệnh đề 1.8. Cho lim an = a, lim bn = b. Khi đó. • • • •. lim(an + bn ) = a + b, lim(an − bn ) = a − b, lim(a a · b, an · bn ) = a n lim = (khi b 6= 0). bn b. 1.2 1.2.1. Hai nguyên lý cơ bản về giới hạn và ứng dụng Hai nguyên lý cơ bản về giới hạn. Định nghĩa 1.7 (Dãy đơn điệu). Ta gọi (an ) là dãy không giảm nếu. an+1 ≥ an với mọi n ∈ N. Nếu bất đẳng thức là chặt ta sẽ có dãy đơn điệu tăng. Tương tự như vậy ta có khái niệm về dãy không tăng và dãy đơn điệu giảm. Định lý 1.1 (Weierstrass). Mọi dãy không giảm và bị chặn trên (hay không tăng và bị chặn dưới) đều hội tụ. Chú ý 1.3. Nếu (an ) không giảm (không tăng) và không bị chặn trên (dưới) thì lim an = +∞ (lim an = −∞). Định nghĩa 1.8. Ta nói rằng dãy số (cn ) bị kẹp giữa hai dãy số (an ) và. (bn ) nếu như tồn tại chỉ số n0 sao cho khi n > n0 thì an ≤ cn ≤ bn ..

(13) 12. Định lý 1.2 (Nguyên lý về dãy bị kẹp). Giả sử hai dãy (an ), (bn ) cùng có giới hạn a. Khi đó mọi dãy số (cn ) bị kẹp giữa hai dãy (an ), (bn ) cũng có giới hạn là a.. 1.2.2 1. 2. 3. 4. 5.. Một số giới hạn quan trọng 1 n lim 1 + = e. n→∞ n n c lim 1 + 2 = 1. n→∞ n n x lim 1 + = ex với mọi số thực x. n→∞ n a b n a n lim 1 + + 2 = lim 1 + với mọi số thực a, b. n→∞ n→∞ n nn n x n x+y y n = lim 1 + lim 1 + · lim 1 + . n→∞ n→∞ n→∞ n n n. 1.2.3. Sự tồn tại điểm tụ trong dãy bị chặn. Định lý 1.3 (Bolzano - Weierstrass). Mọi dãy giới nội đều có điểm tụ.. 1.2.4. Tiêu chuẩn Cauchy. Định nghĩa 1.9 (Dãy cơ bản). Dãy (an ) được gọi là dãy cơ bản (hay dãy Cauchy) nếu với mỗi ε > 0 tồn tại n0 ∈ N∗ sao cho |an − am | < ε với mọi. n, m ≥ n0 . Định lý 1.4 (Tiêu chuẩn hội tụ Cauchy). Dãy (an ) hội tụ khi và chỉ khi nó là dãy cơ bản..

(14) 13. 1.3 1.3.1. Chuỗi số Một số khái niệm. Định nghĩa 1.10. Cho dãy số (an ). Tổng hình thức ∞ X. an. (1.1). n=1. gọi là một chuỗi số, an được gọi là số hạng tổng quát, số. Sn = a1 + a2 + · · · + an gọi là tổng riêng thứ n của dãy. Nếu dãy (Sn ) hội tụ tới S (hữu hạn) thì ta nói chuỗi số (1.1) hội tụ, có tổng bằng S . Ký hiệu. S=. ∞ X. an .. n=1. Nếu dãy (Sn ) không hội tụ, ta nói chuỗi là phân kỳ. Nếu an > 0 với mọi n ∈ N∗ thì chuỗi (1.1) được gọi là chuỗi số dương. Định nghĩa 1.11. Chuỗi hội tụ. Nếu chuỗi ∞ P. ∞ P. ∞ P. an gọi là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi. n=1. an hội tụ mà chuỗi. n=1. ∞ P. ∞ P. |an |. n=1. |an | phân kỳ thì ta nói chuỗi. n=1. an bán hội tụ hay hội tụ có điều kiện.. n=1. 1.3.2. Tiêu chuẩn Cauchy. Mệnh đề 1.9 (Tiêu chuẩn Cauchy). Chuỗi số. ∞ P. an là hội tụ khi và chỉ. n=1. khi, với mỗi số ε > 0 (nhỏ bao nhiêu tùy ý), tồn tại số N ∈ N sao cho với mọi số tự nhiên n > N và mọi m ∈ N ta luôn có Snn+m < ε, trong đó. Snn+m = an+1 + · · · + an+m . Hệ quả 1.2. Nếu. ∞ P n=1. an hội tụ thì lim an = 0. n→∞.

(15) 14. 1.3.3. Dấu hiệu so sánh ∞ ∞ P P Mệnh đề 1.10. Nếu an hội tụ và | bn |≤ an với mọi n thì chuỗi bn n=1. n=1. hội tụ. Mệnh đề 1.11. Cho hai chuỗi bất kỳ i) Nếu. ∞ P. ii) Nếu. n=1 ∞ P. ∞ P. an và. n=1 |an | n→∞ bn. bn hội tụ và lim. n=1. < ∞ thì. |an | n→∞ bn. bn phân kỳ và lim. ∞ P. ∞ P. bn với bn > 0. Khi đó. n=1. an hội tụ.. n=1 ∞ P. > 0 thì. an phân kỳ.. n=1. 1.3.4. Dấu hiệu hội tụ của chuỗi số dương ∞ P Cho an là chuỗi số dương. n=1. Mệnh đề 1.12 (Dấu hiệu Cauchy). Giả sử tồn tại lim. √ n. n→∞. an = c. Khi đó. nếu c > 1 thì chuỗi phân kỳ, c < 1 thì chuỗi hội tụ.. an+1 = d. Khi n→∞ an đó nếu d > 1 thì chuỗi phân kỳ, d < 1 thì chuỗi hội tụ. an Mệnh đề 1.14 (Dấu hiệu Raabe). Giả sử tồn tại lim n − 1 = r. n→∞ an+1 Khi đó nếu r > 1 thì chuỗi hội tụ, r < 1 thì chuỗi phân kỳ.. Mệnh đề 1.13 (Dấu hiệu D0 lambert). Giả sử tồn tại lim. 1.3.5. Chuỗi đan dấu và dấu hiệu Leibniz. Chuỗi có dạng ∞ X (−1)n an ,. (1.2). n=1. trong đó an > 0 với mọi n được gọi là chuỗi đan dấu. Mệnh đề 1.15 (Dấu hiệu Leibniz). Nếu dãy (an ) là đơn điệu giảm, hội tụ về 0 thì chuỗi đan dấu (1.2) hội tụ..

(16) 15. 1.3.6. Dấu hiệu Dirichlet và Abel. Mệnh đề 1.16 (Dấu hiệu Dirichlet). Giả sử rằng ∞ P i) Dãy tổng riêng (Sn ) của chuỗi an là bị chặn; n=1. ii) Dãy (bn ) là dãy đơn điệu giảm dần về 0. ∞ P Khi đó chuỗi an bn là hội tụ. n=1. Mệnh đề 1.17 (Dấu hiệu Abel). Giả sử rằng ∞ P an là hội tụ; i) Dãy tổng riêng (Sn ) của chuỗi n=1. ii) Dãy (bn ) là đơn điệu và bị chặn. ∞ P Khi đó chuỗi an bn là hội tụ. n=1. 1.4 1.4.1. Ứng dụng Maple trong thực hành tính toán chương 1 Giới thiệu về phần mềm Maple. Việc cài đặt Maple 13 được thực hiện đơn giản bằng cách cho chạy file Setup.exe có sẵn trong bộ chương trình cài đặt và thực hiện các khai báo theo đúng trình tự. Khi Maple đã được cài đặt đúng quy trình, việc khởi động Maple cũng đơn giản giống như khởi động các chương trình ứng dụng khác trên Windows: ta có thể chọn Start → Programs → Maple 13 → Maple 13 hoặc nháy đúp chuột vào biểu tượng của Maple 13 trên màn hình:. Hình 1.1: Biểu tượng chương trình Maple 13..

(17) 16. Khi đó màn hình làm việc của Maple sẽ xuất hiện. Giao diện của Maple 13 gồm các thành phần cơ bản như sau:. Hình 1.2: Giao diện của Maple 13.. Những thao tác cơ bản như quản lý các file hay định dạng các đối tượng. . . trong Maple 13 hoàn toàn tương tự các phần mềm quen thuộc: Word, Excell. Để tìm hiểu đầy đủ, chi tiết hơn về giao diện, môi trường làm việc cũng như các lệnh của Maple có thể xem trong [2] hoặc [4]. Cụm xử lý (Execution Group) Cụm xử lý là thành phần tính toán cơ bản trong môi trường làm việc của Maple, có thể bao gồm các đối tượng cơ bản của Maple như lệnh, kết quả tính toán, đồ thị . . . . Có thể dễ dàng nhận biết một cụm xử lý bằng dấu ngoặc vuông bên trái dấu nhắc lệnh của Maple. Để tạo một cụm xử lý mới, ta kích chuột vào biểu tượng ”[> ” trên thanh công cụ hoặc chọn Insert → Execution Group → After Cursor (Ctrl+J)..

(18) 17. Lệnh và kết quả của Maple Lệnh của Maple (Maple Input) là những từ tựa tiếng Anh (gọi là từ khóa lệnh) được sử dụng theo một nghĩa nhất định và phải tuân theo cú pháp của Maple. Lệnh được nhập sau dấu nhắc lệnh ”[> ” và kết thúc bởi dấu ” : ” hoặc dấu ”; ”. Lệnh được thực hiện nếu ta ấn phím Enter khi con trỏ ở trong dòng lệnh. Nếu kết thúc lệnh bằng dấu ”; ” kết quả sẽ hiển thị ngay ra màn hình, còn nếu kết thúc bằng dấu ” : ” thì Maple vẫn tiến hành tính toán bình thường nhưng kết quả không hiển thị ra màn hình. Maple có hai dạng lệnh: lệnh trơ và lệnh trực tiếp, hai dạng lệnh này luôn đi theo cặp và cú pháp của chúng chỉ khác nhau ở chỗ chữ cái đầu tiên trong tên lệnh của lệnh trơ viết in hoa. Lệnh trực tiếp cho ta kết quả tính toán, còn lệnh trơ chỉ cho ta biểu thức tượng trưng. Kết quả của việc tính toán (Maple Output) hiện trên màn hình được ngầm định có màu xanh.. Hình 1.3: Ví dụ về lệnh trơ, lệnh trực tiếp và kết quả.. Mục (Section) Một trang làm việc (worksheet) trong Maple thường bao gồm nhiều mục, mỗi mục có thể chứa những đoạn (paragraph) và những mục con (subsection). Một mục trong trang làm việc của Maple cũng tương tự như một mục trong các văn bản thông thường. Tuy nhiên điều đặc biệt là Maple có khả năng đóng gói: ta có thể mở một mục ra đọc hoặc gói lại khi đã đọc xong bằng cách kích chuột vào nút chỉ mục đứng ở đầu mục..

(19) 18. Hình 1.4: Hình ảnh các mục đóng, mở trong Maple 13.. Muốn đưa thêm một mục mới vào trang văn bản ta sử dụng chức năng Insert → Section. Muốn thêm một mục con trong một mục ta chọn Insert. → Subsection. Siêu liên kết (Hyperlink) Một siêu liên kết là một đối tượng mà nếu ta kích hoạt vào đó thì con trỏ sẽ được di chuyển đến một đoạn, một mục hay một trang làm việc khác. Để tạo siêu liên kết ta đưa con trỏ đến vị trí đặt siêu liên kết rồi chọn Insert → Hyperlink. Trong hộp thoại Hyperlink Properties, nhập nhóm kí tự đại diện vào ô Link Text hoặc chọn nút check box Image rồi kích chuột vào nút lệnh Choose Image . . .để chọn hình ảnh đại diện cho Hyperlink; Tại hộp cuốn Type, chọn Worksheet sau đó nhập tên file cần liên kết tới vào ô Target, hoặc chọn nút lệnh Browse. . . để duyệt tìm file. Nhập tên của bookmark (nếu có) vào ô Bookmark..

(20) 19. Một số quy ước, kí hiệu trong Maple. • Các phép toán số học: phép cộng (+), phép trừ (−), phép nhân (∗), phép chia (/), phép lũy thừa (∧) được viết trực tiếp vào dòng lệnh và thực hiện theo thứ tự quen biết. • Cách viết các hàm toán học: tên hàm(đối số), ví dụ sin(x), cos(x), . . . • Căn bậc hai của x: kí hiệu sqrt(x). • Hàm ex : kí hiệu exp(x). • Số π có thể dùng kí hiệu P i, số e được xem là một giá trị của hàm mũ exp(x) tại x = 1, tức là ta có thể viết exp(1) để biểu diễn hằng số e. Chú ý 1.4. Các lệnh của Maple rất phong phú, tuy nhiên ở đây chúng tôi chỉ giới thiệu một số lệnh cơ bản trong phạm vi ứng dụng khi làm việc với hàm số một biến. Nếu muốn tìm hiểu sâu hơn về một lệnh nào đó, trên màn hình làm việc của Maple, ở chế độ gõ công thức toán (Math) hoặc sau dấu nhắc lệnh, ta chỉ cần gõ ?<tên lệnh> rồi ấn phím Enter, khi đó cú pháp đầy đủ của lệnh này sẽ được hiển thị. Ví dụ, khi muốn tìm hiểu về lệnh tính tích phân, ta gõ ?int rồi ấn phím Enter, hướng dẫn về lệnh sẽ hiển thị để trợ giúp cho người sử dụng.. 1.4.2. Minh họa dãy số bằng lệnh vẽ dãy điểm. Lệnh vẽ m phần tử đầu tiên của dãy số có số hạng tổng quát là an , mỗi phần tử được biểu diễn bởi dấu + (cross) có cú pháp như sau. [> pointplot([seq([n, an ], n = 1..m)], symbol = cross); Chú ý 1.5. - Các tính toán với đồ họa thường yêu cầu bộ nhớ lớn, vì vậy trước tiên ta nên khởi tạo lại bộ nhớ bằng lệnh. [> restart : - Trước khi dùng lệnh vẽ cần nạp gói chức năng chuyên dụng cho vẽ đồ thị bằng lệnh [> with(plots) :.

(21) 20. Ví dụ 1.1. Đoạn lệnh sau vẽ 200 phần tử đầu tiên của dãy số. n + sin2 (n) an = , n + cos(n) mỗi phần tử được biểu diễn bởi một dấu + màu tím. [> restart : with(plots) : n + sin2 (n) pointplot([seq([n, ], n = 1..200)], symbol = cross, color = n + cos(n) magenta);. Hình 1.5: Minh họa dãy số bằng lệnh vẽ dãy điểm.. Nhận xét 1.1. Maple thực hiện rất dễ dàng và nhanh chóng công việc mà chúng ta khó có thể làm bằng tay. Chúng ta có thể sử dụng phương pháp này để minh họa cho khái niệm giới hạn của dãy số, hay dự đoán dãy hội tụ, dãy phân kỳ. . .. 1.4.3. Tìm quy luật của một dãy số. Để tìm số hạng tổng quát của một dãy số được cho bởi các điều kiện đk1, đk2,. . ., đki, ta thực hiện lệnh sau. [> rsolve({đk1,đk2,. . .,đki }, a(n)); (rsolve: recurrence equation solver : giải phương trình truy hồi)..

(22) 21. Ví dụ 1.2. Tìm số hạng tổng quát của dãy số (an ) biết. a1 = 1, a2 = 2, an+1 = n · (an + an−1 ) [> rsolve({a(1) = 1, a(2) = 2, a(n + 1) = n · (a(n) + a(n − 1))}, a(n)); Kết quả hiển thị: Γ(n + 1), trong đó Γ là ký hiệu của hàm Gamma được xác định như sau Γ(1) = 1 Γ(n + 1) = n! 1.4.4. Tính tổng hữu hạn. Để hiển thị biểu thức biểu diễn tổng dãy số cần tính, sử dụng dòng lệnh có cú pháp như sau:. [> Sum(an , n = k..m); trong đó an là số hạng tổng quát của dãy, n chạy từ k đến m. Để hiển thị giá trị của tổng cần tính, sử dụng dòng lệnh: [> sum(an , n = k..m); n P f rồi nhập các giá trị thích hợp vào vị trí của hoặc chọn nút công thức i=k. i, k, n và f. Hai lệnh trên chính là hai dạng lệnh: lệnh trơ và lệnh trực tiếp đã được nhắc tới trước đó. Tùy theo nhu cầu, chúng ta sử dụng linh hoạt các lệnh này, dùng riêng lẻ hay kết hợp với nhau để hiển thị được kết quả như ý muốn. n P Ví dụ 1.3. Tính tổng i2 2. i=k. [> Sum(i , i = 1..n) = sum(i2 , i = 1..n); n P 1 Ví dụ 1.4. Tính tổng i=1 i · (i + 1) · (i + 2) 1 [> sum , i = 1..n ; i · (i + 1) · (i + 2).

(23) 22. 1.4.5. Tính tổng vô hạn. Thao tác giống như tính tổng hữu hạn, chỉ cần thay chỉ số m bằng chữ infinity hoặc kí hiệu ∞. ∞ P 1 Ví dụ 1.5. Tính tổng i=1 n · (n + 1) 1 1 [> Sum , n = 1..∞ = sum , n = 1..∞ ; n · (n + 1) n · (n + 1). 1.4.6. Tính tích của hữu hạn hoặc vô hạn thừa số. Thao tác giống như đối với tính tổng hữu hạn hoặc vô hạn, chỉ thay n Q tên lệnh Sum bằng P roduct, hoặc sử dụng nút công thức f rồi nhập i=k. các giá trị thích hợp vào vị trí của i, k, n và f.. Ví dụ 1.6. Tính tích hữu hạn. n 2k − 1 Q 2k k=1. 2·k−1 : 2·k n Q P roduct(f, k = 1..n) = simplif y( f );. [> f :=. k=1. Chú ý 1.6. Ở trên ta sử dụng thêm hai lệnh: lệnh gán tên cho biểu thức, cú pháp <Tên>:=<Biểu thức>; và lệnh đơn giản hóa biểu thức, cú pháp simplify<Biểu thức>; Lệnh gán tên cho biểu thức thường được dùng khi biểu thức cồng kềnh hoặc được dùng nhiều lần, việc gán tên sẽ giúp ta đỡ bị nhầm lẫn và mất công viết lại biểu thức. Lệnh simplify (đơn giản hóa) giúp thu gọn biểu thức. Ví dụ 1.7. Tính tích vô hạn. ∞ Q. 1+. n=1. [> f := 1 +. 1 n · (n + 2). 1 : n · (n + 2). P roduct(f, n = 1..∞) = simplif y(. ∞ Q. n=1. f );. !.

(24) 23. 1.4.7. Tính giới hạn của dãy số. Dãy số cần tính giới hạn có số hạng tổng quát là an . Gõ dòng lệnh có cú pháp. [> Limit(an , n = ∞); để hiển thị biểu thức biểu thị giới hạn của dãy. Gõ dòng lệnh [> limit(an , n = ∞); hoặc chọn nút công thức lim f , sau đó thay x bởi n, thay a bởi ∞ và x→a. nhập an vào vị trí f để hiển thị kết quả tính giới hạn của dãy.. n + sin(n)2 n→∞ n + cos(n) !. Ví dụ 1.8. Tính giới hạn lim 2. [> Limit. n + sin(n) ,n = ∞ n + cos(n). = limit. 2. !. n + sin(n) ,n = ∞ ; n + cos(n). Hình 1.6: Ví dụ về tính giới hạn của dãy.. 1.5. Bài tập. Phần Bài tập chúng tôi không đưa vào đây mà được lưu trên file của Maple..

(25) 24. Chương 2 Hàm số 2.1 2.1.1. Các khái niệm Khái niệm hàm số. Giả sử D ⊂ R là tập hợp các số và giả sử theo một quy luật hoàn toàn xác định nào đó, mỗi số x ∈ D đều tương ứng với số duy nhất y ∈ R thì ta nói rằng trên D đã cho hàm (đơn trị) và ký hiệu là y = f (x), x ∈ D hay x → f (x), x ∈ D. Đại lượng biến thiên x được gọi là đối số hay biến độc lập. Tập hợp D gọi là miền xác định của hàm. Đại lượng biến thiên y gọi là hàm số hay đại lượng phụ thuộc. Tập hợp. D∗ = {y ∈ R| ∃x ∈ D : y = f (x)} gọi là miền giá trị của hàm số.. 2.1.2. Đồ thị của hàm số. Đồ thị của hàm số f trong mặt phẳng tọa độ Descartes là tập. Gf := {(x; y) ∈ R × R| x ∈ Df ,. y = f (x)},. trong đó Df là ký hiệu miền xác định của hàm số f ..

(26) 25. 2.1.3. Một số hàm có cấu trúc đặc biệt. Định nghĩa 2.1 (Hàm đơn điệu). Hàm f xác định trên tập X được gọi là không giảm (không tăng) trên X nếu với mọi x1 , x2 ∈ X, x1 < x2 , ta có. f (x1 ) ≤ f (x2 ) (f (x1 ) ≥ f (x2 )). Hàm f được gọi là tăng chặt (giảm chặt) trên X nếu với mọi x1 , x2 ∈. X, x1 < x2 , ta có f (x1 ) < f (x2 ) (f (x1 ) > f (x2 )). Hàm không tăng hay không giảm được gọi chung là đơn điệu. Hàm tăng chặt hay giảm chặt được gọi chung là đơn điệu chặt. Hàm đơn điệu tăng (giảm) còn được gọi là hàm đồng biến (nghịch biến). Định nghĩa 2.2 (Hàm tuần hoàn). Hàm f được gọi là tuần hoàn nếu tồn tại số T > 0 sao cho f (x + T ) = f (x) với mọi x sao cho x, x + T cùng thuộc miền xác định của hàm số. Dễ thấy, nếu f là hàm tuần hoàn thì tồn tại nhiều giá trị T > 0 sao cho f (x + T ) = f (x). Số T > 0 bé nhất (nếu có) thỏa mãn tính chất này được gọi là chu kỳ của f . Định nghĩa 2.3 (Hàm bị chặn). Ta nói rằng hàm f bị chặn trên trong tập X nếu tồn tại số M sao cho f (x) ≤ M với mọi x ∈ X. Tương tự như vậy, ta nói rằng hàm f bị chặn dưới trong tập X nếu tồn tại số m sao cho f (x) ≥ m với mọi x ∈ X. Nếu f vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới trong tập X thì ta nói rằng. f bị chặn (hay giới nội) trên X . Dễ dàng nhận thấy f giới nội trên X khi và chỉ khi tồn tại số dương M sao cho |f (x)| ≤ M, ∀x ∈ X. Định nghĩa 2.4 (Hàm chẵn, lẻ). Cho hàm số f xác định trên tập X . Hàm. f (x) được gọi là hàm số chẵn (tương ứng hàm số lẻ) nếu nó thỏa mãn hai điều kiện.

(27) 26. 1) Với mọi x ∈ X thì −x ∈ X . 2) f (−x) = f (x) (tương ứng f (−x) = −f (x)), với mọi x ∈ X . Định nghĩa 2.5 (Hàm lồi, lõm). Hàm f xác định trên tập X được gọi là hàm lồi nếu, với mọi x1 , x2 ∈ X và mọi α ∈ [0; 1], ta luôn có. f (αx1 + (1 − α)x2 ) ≤ αf (x1 ) + (1 − α)f (x2 ). Hàm f được gọi là hàm lõm trên tập X nếu −f là hàm lồi trên X .. 2.1.4. Các phép toán trên hàm số. So sánh hàm số Với hai hàm số f, g cùng xác định trên tập X , ta nói rằng chúng bằng nhau nếu như f (x) = g(x) với mọi x ∈ X và ta nói rằng chúng khác nhau nếu tồn tại một giá trị x0 ∈ X mà f (x0 ) 6= g(x0 ). Ta nói rằng f lớn hơn hay bằng g trên X nếu như f (x) ≥ g(x) với mọi. x ∈ X. Khi không tồn tại x để dấu bằng xảy ra thì ta nói f lớn hơn g . Các phép toán số học Với hai hàm số f, g cùng xác định trên tập X , ta có thể xác định được f các hàm f, f + g, f − g, f · g, theo các công thức tương ứng như sau: g • (f + g)(x) := f (x) + g(x). • (f − g)(x) := f (x) − g(x) • (f · g)(x) := f (x) · g(x) f f (x) • (x) := (khi g(x) 6= 0) g g(x) và gọi chúng lần lượt là tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số f , g trên X. Hàm hợp Cho hàm số u = f (x) xác định trên X ⊆ R và hàm số y = g(u) xác định trên U ⊆ R sao cho miền giá trị của f nằm trong miền xác định của. g. Hàm hợp của f và g (ký hiệu là g ◦ f ) được xác định theo công thức (g ◦ f )(x) := g(f (x)), với mọi x ∈ X..

(28) 27. Hàm ngược Cho hàm số f : X → Y . Nếu ta xác định được hàm số f −1 : Y → X theo quy tắc tương ứng như sau: với mỗi y ∈ Y được ứng với x thỏa mãn. f (x) = y , nghĩa là f −1 (y) = x ⇔ f (x) = y, thì hàm số f −1 được gọi là hàm ngược của f. Rõ ràng, miền xác định của. f −1 cũng chính là miền giá trị của f.. 2.2 2.2.1. Các hàm số cơ bản Các hàm sơ cấp cơ bản. Bao gồm các hàm luỹ thừa, mũ, logarithm, lượng giác, lượng giác ngược, hyperbolic.. 2.2.2. Các hàm sơ cấp. Bao gồm các hàm sơ cấp cơ bản, hàm hằng; các hàm được lập từ các hàm sơ cấp cơ bản, hàm hằng bằng các phép toán số học (tổng, hiệu, tích thương), phép lấy hàm hợp.. 2.3 2.3.1. Ứng dụng Maple trong thực hành tính toán chương 2 Định nghĩa hàm số. Hàm số thông thường Để định nghĩa (xác định) một hàm số (cho bằng biểu thức giải tích), ta sử dụng dòng lệnh:. [> f := x →< Biểu thức >; Sau khi đã định nghĩa, ta có thể tính giá trị của hàm f tại các điểm tùy ý..

(29) 28. Ví dụ 2.1. Định nghĩa hàm f (x) = x3 − 1. [> f := x → x3 − 1; Hàm từng khúc Hàm từng khúc được xác định bởi câu lệnh có cú pháp:. [> f := piecewise(đk 1, f1 , đk2, f2 , . . . , đk n, fn , f0 ); trong đó đk i là các biểu thức so sánh hoặc biểu thức quan hệ của x, fi là các biểu thức biểu diễn hàm f tương ứng với đk i, f0 là biểu thức hàm f sẽ nhận nếu x không thỏa mãn các đk i. Ví dụ 2.2. Xác định hàm số  2 x −1    1 − |x| f (x) = x2    x − 1 x. x≤1 0≤x≤1 x=2 x trong các trường hợp còn lại.. [> f := piecewise(x ≤ −1, x2 − 1, 0 ≤ x ≤ 1, 1 − |x|, x = 2, x2 ,. Hình 2.1: Lệnh xác định hàm từng khúc.. x−1 ); x.

(30) 29. 2.3.2. Tìm tập xác định của hàm số. Việc tìm tập xác định của hàm số thực chất là việc giải phương trình, bất phương trình hoặc hệ phương trình, hệ bất phương trình. Ta dùng lệnh:. [> solve({danh sách }, {biến}); trong đó {danh sách} chứa các phương trình hoặc bất phương trình cần giải. √ Ví dụ 2.3. Để tìm tập xác định của hàm số f (x) = 4x2 − 5x − 6, ta dùng lệnh [> solve(4 · x2 − 5 · x − 6 ≥ 0, {x}); 3 Kết quả hiển thị: {x ≤ − }, {2 ≤ x}. 4 2.3.3. Vẽ đồ thị của hàm số trong không gian hai chiều. Vẽ đồ thị hàm thông thường Trước tiên ta cần khởi động gói chương trình vẽ đồ thị bằng lệnh. [> with(plots) : Cú pháp của lệnh vẽ đồ thị hàm số y = f (x) trên miền y = [c; d] với x ∈ [a; b] [> plot(f (x), x = a..b, y = c..d, {các tùy chọn }); Có thể vẽ đồ thị của nhiều hàm trên cùng một miền xác định và miền giá trị với các màu khác nhau. Một số tùy chọn thông dụng: - Đặt màu cho đồ thị: color = [color1, color2,. . .] - Đặt độ dày k cho nét vẽ: thickness = k. - Đặt số điểm vẽ: tăng độ chính xác để hình vẽ trung thực hơn bằng tùy chọn đặt số điểm vẽ nhiều hơn (tuy nhiên thời gian tính toán sẽ lâu hơn): numpoints = n. - Đặt tiêu đề cho đồ thị: title = ‘y = f(x)‘. - Khi vẽ đồ thị của hàm số có điểm gián đoạn, phải có thêm tùy chọn discont =true để đồ thị được vẽ chính xác hơn..

(31) 30. Ví dụ 2.4. Vẽ đồ thị của hai hàm f (x) = x4 −5x3 +2x+5, g(x) = −7x+3 trên đoạn [−4; 4]. [> restart : with(plots :) plot([x4 − 5 · x3 + 2 · x + 5, −7 · x + 3], x = −4..4, color = [red, green]);. Hình 2.2: Đồ thị hai hàm số.. Vẽ đồ thị hàm ẩn Có những hàm số mà ta không có được công thức tường minh y = f (x), khi đó để vẽ đồ thị của chúng ta dùng lệnh implicitplot với cú pháp hoàn toàn tương tự như lệnh plot.. x2 y 2 + = 1. Ví dụ 2.5. Vẽ đồ thị elip có phương trình 7 3 x2 y 2 [>implicitplot ( + = 1, x = −5..5, y = −5..5,color = blue ). 7 3. 2.4. Bài tập.

(32) 31. Chương 3 Giới hạn và tính liên tục của hàm số 3.1 3.1.1. Một số khái niệm Giới hạn tại một điểm. Giả sử f là một hàm số xác định trên tập X ⊂ R và a là một điểm tụ của tập X . Ta nói hàm số f có giới hạn là số L khi x dần tới a nếu với mỗi ε > 0 bất kỳ, có thể tìm được số δ > 0 sao cho với x ∈ X thỏa mãn. 0 < |x − a| < δ thì ta có |f (x) − L| < ε. Khi ấy ta cũng nói L là giới hạn của hàm f tại a và ký hiệu lim f (x) = L,. x→a. hay viết: f (x) → L khi x → a.. 3.1.2. Giới hạn một phía. Số L được gọi là giới hạn phải của hàm f khi x tiến tới a từ bên phải nếu với mỗi ε > 0 bất kỳ, tồn tại số δ > 0 sao cho |f (x) − L| < ε với mọi. x ∈ X thỏa mãn 0 < x − a < δ . Giới hạn phải của f tại a được ký hiệu là lim f (x) = f (a+). x→+a. Khái niệm giới hạn trái được định nghĩa tương tự. Giới hạn trái của f tại a được ký hiệu là lim f (x) = f (a−). x→−a. Dễ thấy f có giới hạn tại a khi và chỉ khi nó có giới hạn trái, giới hạn phải tại a và chúng bằng nhau..

(33) 32. 3.1.3. Mở rộng khái niệm giới hạn. Định nghĩa 3.1 (Giới hạn vô cùng). Cho hàm số y = f (x) xác định trên tập X và a là một điểm tụ của X . Nếu với mỗi số E > 0 tồn tại số δ > 0 sao cho f (x) > E (f (x) < −E) với mọi x thỏa mãn bất đẳng thức 0 < |x − a| < δ thì ta nói f có giới hạn bằng +∞ (tương ứng giới hạn bằng −∞) khi x dần tới a và ký hiệu là lim f (x) = +∞ (tương ứng x→a. lim f (x) = −∞).. x→a. Định nghĩa 3.2 (Giới hạn tại điểm vô cùng). Giả sử hàm f xác định trên tập không bị chặn. Khi ấy, số L được gọi là giới hạn của hàm f khi x dần tới +∞ nếu với mỗi ε > 0 tồn tại số M > 0 sao cho với mọi x ∈ X thỏa mãn x > M ta có |f (x) − L| < ε, ký hiệu lim f (x) = L. x→+∞. Tương tự, ta cũng có khái niệm về giới hạn của f khi x dần tới −∞, ký hiệu lim f (x) = L. x→−∞. Định nghĩa 3.3 (Giới hạn vô cùng tại điểm vô cùng). Nếu với mỗi số. E > 0, tồn tại số M > 0 sao cho f (x) > E với mọi x ∈ X thỏa mãn x > M thì ta nói hàm f có giới hạn bằng +∞ khi x dần tới +∞ và ký hiệu lim f (x) = +∞. x→+∞. Tương tự, ta có các khái niệm lim f (x) = +∞, lim f (x) = −∞, x→−∞. x→+∞. lim f (x) = −∞.. x→−∞. 3.2 3.2.1. Một số tính chất của giới hạn Tiêu chuẩn tồn tại giới hạn. Định lý 3.1 (Tiêu chuẩn Cauchy). Giới hạn của f tại a tồn tại và hữu hạn khi và chỉ khi với mỗi ε > 0 tồn tại số δ > 0 sao cho. |f (x1 ) − f (x2 )| < ε với mọi x1 , x2 ∈ X thỏa mãn x1 , x2 ∈ (a − δ; a + δ)..

(34) 33. 3.2.2. Định lý về tính duy nhất của giới hạn. Định lý 3.2 (Tính duy nhất của giới hạn). Nếu hàm số f có giới hạn tại. a thì giới hạn đó là duy nhất. 3.2.3. Định lý về tính bảo toàn thứ tự. Định lý 3.3 (Tính bảo toàn thứ tự). Nếu f (x) ≥ g(x) trong lân cận nào đó của điểm a và nếu tồn tại các giới hạn lim f (x), lim g(x) thì x→a. x→a. lim f (x) ≥ lim g(x). Đảo lại, nếu tồn tại các giới hạn lim f (x), lim g(x). x→a. x→a. x→a. x→a. và lim f (x) < lim g(x) thì tồn tại số δ > 0 sao cho f (x) < g(x) với mọi x→a. x→a. x ∈ X , |x − a| < δ. Hệ quả 3.1. Nếu có hai số A và B thỏa mãn A < f (x) 0 x→a. sao cho A < f (x) < B với mọi x ∈ X, |x − a| < δ.. 3.3. Các phép toán trên giới hạn hàm số. 3.3.1. Các phép toán số học. Định lý 3.4. Giả sử tồn tại các giới hạn hữu hạn lim f (x) = L và x→a. lim g(x) = M. Khi đó • lim (f (x) + g(x)) = L + M , x→a • lim (f (x) − g(x)) = L − M, x→a • lim (f (x) · g(x)) = L · M,. x→a. x→a. Đặc biệt, nếu c là một hằng số thì lim c · f (x) = c · L, x→a. f (x) L • Nếu M = 6 0 thì lim = . x→a g(x) M Mệnh đề 3.1. Giả sử lim f (x) = L. Khi đó x→a. • lim |f (x)| = |L|, x→a p √ • lim 3 f (x) = 3 L, x→a.

(35) 34. • Nếu f (x) ≥ 0 với mọi x ∈ J \ {a}, trong đó J là một khoảng nào √ p đó chứa a, thì L ≥ 0 và lim f (x) = L. x→a. 3.3.2. Giới hạn của hàm hợp. Định lý 3.5. Cho f và g là hai hàm số sao cho miền giá trị của f nằm trong miền xác định của g . Ngoài ra, lim f (x) = A, lim g(y) = L. Khi đó x→a. y→A. lim g(f (x)) = L.. x→a. 3.4. Hai nguyên lý cơ bản về giới hạn và ứng dụng. 3.4.1. Nguyên lý về giới hạn của hàm đơn điệu bị chặn. Định lý 3.6. Giả sử f là một hàm đơn điệu trên khoảng (a; b) và c là một điểm nằm trong khoảng đó. Nếu f bị chặn thì các giới hạn từng phía. lim f (x), lim f (x) tồn tại (và hữu hạn).. x→c−. x→c+. 3.4.2. Nguyên lý về giới hạn của hàm bị kẹp. Ta nói rằng hàm f bị kẹp giữa hai hàm g, h trên tập X nếu như g(x) ≤. f (x) ≤ h(x) với mọi x ∈ X . Định lý 3.7. Giả sử tồn tại δ > 0 sao cho với mọi x ∈ X thỏa mãn. 0 < |x − a| < δ , hàm f (x) bị kẹp giữa hai hàm g(x), h(x) có cùng giới hạn tại a là lim g(x) = lim h(x) = L. x→a. x→a. Khi đó hàm f cũng có giới hạn khi x dần tới a và lim f (x) = L. x→a. 3.4.3. Áp dụng trong việc tính giới hạn của các hàm cơ bản. Giới hạn của các hàm lượng giác. • lim sin x = sin a. x→a • lim cos x = cos a. x→a.

(36) 35. • lim tan x = tan a. x→a • lim cot x = cot a. x→a sin x • lim = 1. x→0 x Giới hạn của các hàm số mũ. • lim ex = ea . x→a ex − 1 = 1. • lim x→0 x. 3.5 3.5.1. Tính liên tục của hàm số Khái niệm liên tục. Giả sử hàm f xác định trên một khoảng chứa x0 . Ta nói rằng hàm f là liên tục tại điểm x0 nếu thỏa mãn hai điều kiện sau i) Tồn tại giới hạn hữu hạn lim f (x); x→x0. ii) f (x0 ) = lim f (x). x→x0. 3.5.2. Khái niệm gián đoạn. Những điểm mà tại đó hàm số f không liên tục được gọi là điểm gián đoạn của f.. 3.6 3.6.1. Các định lý cơ bản về hàm liên tục Các định lý về giá trị trung gian. Định lý 3.8 (Bolzano - Cauchy I). Nếu f liên tục trên [a; b] và. f (a) · f (b) < 0 thì tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a; b) sao cho f (c) = 0. Định lý 3.9 (Bolzano - Cauchy II). Giả sử f liên tục trên [a; b] và f (a) =. A 6= B = f (b). Khi đó f nhận mọi giá trị trung gian giữa A và B . (Ta nói: f lấp đầy [A; B])..

(37) 36. 3.6.2. Các phép toán trên các hàm liên tục. Các phép toán số học Mệnh đề 3.2. Cho f, g là hai hàm liên tục tại x0 . Khi đó i) f ± g, f · g cũng là những hàm liên tục tại x0 . f ii) với g(x0 ) 6= 0 là hàm liên tục tại x0 . g Tính liên tục của hàm hợp Mệnh đề 3.3. Nếu f liên tục tại điểm x0 và g liên tục tại điểm y0 = f (x0 ) thì g ◦ f cũng liên tục tại điểm x0 . Tính liên tục của hàm ngược Mệnh đề 3.4. Giả sử hàm y = f (x) xác định và liên tục trên khoảng. X, đơn điệu tăng (giảm) chặt trên X. Khi đó tồn tại hàm ngược đơn trị x = f −1 (y) liên tục và đơn điệu tăng (giảm) trên Y = f (X). 3.6.3. Hàm số liên tục đều. Định nghĩa 3.4. Hàm số f được gọi là liên tục đều trên tập X ⊂ R nếu như với mỗi số dương ε, ta tìm được số dương δ sao cho. ∀x, y ∈ X, |x − y| ≤ δ, ta có |f (x) − f (y)| ≤ ε. Nhận xét 3.1. Nếu hàm là liên tục đều trên tập X thì liên tục tại mọi điểm trên tập đó. Điều ngược lại nói chung là không đúng.. 3.6.4. Hàm liên tục trên tập compact. Một tập con đóng và bị chặn trên R được gọi là tậpcompact. Ta có các kết quả sau đây về tính chất của hàm số liên tục trên tập compact. Định lý 3.10 (Cantor). Hàm liên tục trên tập compact K thì cũng liên tục đều trên tập đó..

(38) 37. Hệ quả 3.2. Hàm liên tục trên một đoạn thì cũng liên tục đều trên đoạn đó. Định nghĩa 3.5. Ký hiệu dao động của f trên tập X là. ω = sup {f (x) − f (x0 )}. x,x0 ∈X. Hệ quả 3.3. Nếu f là liên tục trên [a; b] thì với mỗi ε > 0 tồn tại δ > 0 sao cho trên mỗi đoạn con của [a; b] có độ dài δ , dao động của f không vượt quá ε. Định lý 3.11 (Weierstrass). Hàm liên tục trên tập compact K thì bị chặn trên tập đó. Định lý 3.12 (Weierstrass). Hàm liên tục trên tập compact K thì đạt được các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên tập đó.. 3.7 3.7.1. Ứng dụng Maple trong thực hành tính toán chương 3 Tính giới hạn của hàm số. Để tính giới hạn của hàm f (x) tại điểm a, (a cũng có thể là +∞ hoặc. −∞), gõ câu lệnh [> Limit(f (x), x = a, {dir}); nếu cần hiển thị biểu thức biểu thị giới hạn; gõ câu lệnh [> limit(f (x), x = a, {dir}); (hoặc chọn nút lim f rồi nhập giá trị của a và f ) để hiển thị giá trị giới x→a hạn. - dir (direction): hướng lấy giới hạn (left, right). Tùy chọn này được bao bởi hai dấu ”{” và ”}” để biểu thị rằng nó có thể có hoặc không..

(39) 38. Ví dụ 3.1. (ĐH Quốc gia Hà nội, 1998). Tính giới hạn lim. x3 −. x→1. .. x3 − [> Limit. √. √. 3·x−2 x−1. √. x3 − 3 · x − 2 3·x−2 , x = 1 = lim ; x→1 x−1 x−1. 1 − cosx · cos3x · cos4x Ví dụ 3.2. Tính giới hạn lim+ 2 x→0 1 − cos(x) · cos(3 · x) · cos(4 · x)x [> Limit , x = 0, right 2 x 1 − cos(x) · cos(3 · x) · cos(4 · x) = limit , x = 0, right ; x2. Hình 3.1: Ví dụ về lệnh tính giới hạn.. 3.7.2. Tìm điểm gián đoạn của hàm số. Việc khảo sát tính liên tục của một hàm số tương đương với việc tìm các điểm gián đoạn của hàm số đó. Để tìm điểm gián đoạn của hàm số. f (x), ta sử dụng nhóm lệnh [> readlib(discont); discont(f (x), x);.

(40) 39. 1+ √. Ví dụ 3.3. Tìm điểm gián đoạn của hàm số y = e 1 1+ √ 2−1 x [> readlib(discont); discont e ,x ;. 1 x2 − 1. Kết quả hiển thị: {−1; 1}.. 3.7.3. Tính giới hạn của hàm số khi đối số dần đến một điểm nào đó. Maple 13 xây dựng sẵn một số giao diện cho phép ta minh họa các thao tác tính giới hạn, đạo hàm hay tích phân. . . Giao diện này cho thấy hình ảnh trực quan hàm số dần tới giới hạn khi đối số dần tới một điểm nào đó. Có hai cách để gọi thủ tục mở giao diện này:. • Chọn Tools → Tutors → Precalculus → Limits. . . • Gõ hai câu lệnh: lệnh mở gói công cụ và lệnh gọi thủ tục [> Student[Precalculus][LimitTutor](); LimitTutor(f, a, dir); (Hoặc LimitTutor(f , x=a, dir);) trong đó: - f là một hàm số một biến; x: tên biến của f ; a: một điểm tùy chọn. - dir (direction): hướng lấy giới hạn (left, right.) Để thuận tiện cho người sử dụng, nhất là với những người mới làm quen với Maple, chúng tôi đã viết sẵn nhóm lệnh bao gồm lệnh khởi tạo Restart, lệnh gọi thủ tục đã có sẵn một hàm ví dụ để tính giới hạn, ta chỉ cần kích chuột vào liên kết để chuyển tới chương trình rồi gõ Enter để thực hiện nhóm lệnh này. Hộp thoại sẽ xuất hiện (xem Hình 3.2). - Nhập hàm cần tính giới hạn vào ô f (x) =. - Nhập giá trị điểm giới hạn vào ô x =. - Trong mục Direction of Limit, chọn nút left, 2-sided hay right nếu muốn tính giới hạn trái, giới hạn hai phía hay giới hạn phải. - Kích chuột vào nút Display để xem kết quả: đồ thị hàm số cùng hình ảnh dần tới giới hạn sẽ hiển thị ở khung bên trái, bảng một số giá trị của đối số và một số giá trị tương ứng của hàm số dần tới giới hạn hiển thị ở.

(41) 40. khung bên phải của hộp thoại. - Kích chuột vào nút Plot Options nếu muốn thay đổi các tùy chọn về đồ thị, chẳng hạn miền vẽ đồ thị (kích chuột vào nút check box Enable user-defined ranges rồi nhập các giá trị min, max trên dòng X axis, Y axis để thay đổi miền vẽ đồ thị), kiểu trục tọa độ , nhãn của trục tọa độ hay màu sắc. . . - Hai ô dưới cùng của cửa sổ thông báo giá trị giới hạn hàm số khi x tiến tới a, và câu lệnh Maple tương ứng.. Hình 3.2: Hộp thoại chương trình tính giới hạn của hàm số khi đối số dần đến một điểm nào đó.. 3.7.4. Tính giới hạn của hàm số theo từng bước. Thủ tục này là một sự hỗ trợ thú vị cho học sinh trong việc luyện tập tính giới hạn của hàm số, với những gợi ý tường tận từng bước tính giới hạn, vận dụng các quy tắc tính. Để gọi thủ tục, chọn một trong hai cách:. • Chọn Tools → Tutors → Calculus - Single Variable → Limit Methods. . . • Gõ câu lệnh [> Student[Calculus1][LimitTutor](); Chúng tôi đã viết sẵn nhóm lệnh bao gồm lệnh khởi tạo Restart, lệnh gọi thủ tục đã có sẵn một hàm ví dụ để tính giới hạn, người sử dụng chỉ.

(42) 41. cần kích chuột vào liên kết để chuyển tới chương trình rồi gõ Enter để thực hiện nhóm lệnh này. Hộp thoại sẽ xuất hiện (xem Hình 3.3).. Hình 3.3: Hộp thoại chương trình tính giới hạn của hàm số theo từng bước.. - Nhập hàm cần tính giới hạn vào ô Function. - Nhập tên biến vào ô Variable (ngầm định là x.) - Nhập giá trị điểm giới hạn vào ô at. - Chọn tính giới hạn theo hướng (trái - left, phải - right) tại ô Direction. - Chọn ô check box Show Hints để hiển thị các gợi ý. Kích chuột vào nút Get Hint khi cần xin gợi ý. - Phần bên phải hộp thoại có các nút để lựa chọn các quy tắc tính giới hạn mà ta muốn áp dụng, chẳng hạn Constant (giới hạn của hằng số:. lim(c) = c), Identity (tính giới hạn theo định nghĩa), Constant Multiple (lim(c · f (x)) = c · lim(f (x)), Sum (giới hạn của tổng), Difference (giới hạn của hiệu), Product (giới hạn của tích), Quotient (giới hạn của thương), Power (giới hạn của hàm mũ), Change (quy tắc đổi biến), l’Hopital’s Rule (quy tắc l’Hopital), Rewrite (viết lại biểu thức theo cách khác, ví dụ tan(x) = sin(x)/ cos(x)), Exponential (giới hạn của.

(43) 42. hàm mũ cơ số e), Natural Logarithm (giới hạn của hàm ln), hay giới hạn của các hàm lượng giác. . . Khi ta kích chuột vào một nút để lựa chọn quy tắc nào đó, Maple sẽ thực hiện quy tắc đó nếu áp dụng được, còn nếu không sẽ đưa ra thông báo: không thể áp dụng quy tắc đó, đồng thời đưa ra gợi ý áp dụng một quy tắc khác. - Chọn nút Next Step để thực hiện lần lượt các bước, hoặc All Steps để xem toàn bộ các bước tính. - Nút Undo dùng để loại bỏ thao tác vừa thực hiện. - Kết quả sẽ được hiển thị ở ô trống bên trái hộp thoại.. 3.8. Bài tập.

(44) 43. Chương 4 Đạo hàm 4.1 4.1.1. Khái niệm đạo hàm Định nghĩa đạo hàm. Đạo hàm bậc nhất Định nghĩa 4.1. Cho hàm số y = f (x) xác định trong miền X và điểm f (x) − f (x0 ) x0 ∈ X . Giới hạn hữu hạn (nếu có) của tỉ số khi x dần đến x − x0 x0 được gọi là đạo hàm của hàm số đã cho tại điểm x0 , kí hiệu là f 0 (x0 ) hoặc y 0 (x0 ), nghĩa là. f (x) − f (x0 ) . x→x0 x − x0. f 0 (x0 ) = lim. Khi đó ta nói hàm f có đạo hàm hay khả vi tại x0 . Trong định nghĩa trên, nếu đặt ∆x = x − x0 và ∆y = f (x0 + ∆x) − f (x0 ) thì ta có. f (x0 + ∆x) − f (x0 ) ∆y = lim . ∆x→0 ∆x→0 ∆x ∆x. f 0 (x0 ) = lim. Số ∆x = x − x0 được gọi là số gia của biến số tại điểm x0 ; số ∆y =. f (x0 + ∆x) − f (x0 ) được gọi là số gia của hàm số ứng với số gia ∆x tại điểm x0 . Nếu hàm số khả vi tại x0 thì biểu thức df = f 0 (x0 )∆x = f 0 (x0 )dx được gọi là vi phân của hàm số tại x0 ..

(45) 44. Đạo hàm bậc cao Định nghĩa 4.2. Cho y = f (x) là hàm số có đạo hàm tại mọi điểm x. Khi ấy phép ứng mỗi điểm x với giá trị đạo hàm của f tại x (tức là f 0 (x)) cũng là một hàm số. Hàm này được ký hiệu là f 0 . Nếu hàm số f 0 có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp hai của hàm số y = f (x), ký hiệu là f 00 . Đạo hàm của đạo hàm cấp hai (nếu tồn tại) được gọi là đạo hàm cấp ba của hàm số và được ký hiệu là f 000 . Tổng quát, ta định nghĩa: đạo hàm của đạo hàm cấp n − 1 của hàm số. y = f (x) được gọi là đạo hàm cấp n của hàm số y , và được ký hiệu bằng một trong các biểu thức f (n) , y (n) . Mệnh đề 4.1 (Tính liên tục của hàm số có đạo hàm). Nếu f có đạo hàm tại điểm x0 thì nó liên tục tại x0 .. 4.2 4.2.1. Các phép toán trên đạo hàm Các phép toán số học trên đạo hàm. Mệnh đề 4.2. Nếu f và g có đạo hàm tại x0 , thì f ± g, f · g cũng có đạo hàm tại đó và i) (f ± g)0 (x0 ) = f 0 (x0 ) ± g 0 (x0 ); ii) (f · g)0 (x0 ) = f 0 (x0 ) · g(x0 ) + f (x0 ) · g 0 (x0 ); f iii) Nếu g(x0 ) 6= 0 thì cũng có đạo hàm tại x0 và g f 0 g(x0 ) · f 0 (x0 ) − f (x0 ) · g 0 (x0 ) (x0 ) = . g g 2 (x0 ) Hệ quả 4.1. Nếu f có đạo hàm tại x0 và c là hằng số, thì cf có đạo hàm tại x0 và. (cf )0 (x0 ) = cf 0 (x0 )..

(46) 45. Nếu g có đạo hàm tại x0 và g(x0 ) 6= 0, thì. 1 cũng có đạo hàm tại x0 và g. g 0 (x0 ) (x0 ) = 2 . g g (x0 ). 1 0. 4.2.2. Đạo hàm của hàm hợp và hàm ngược. Mệnh đề 4.3 (Đạo hàm của hàm hợp). Nếu u = f (x) có đạo hàm tại x0 và y = g(u) có đạo hàm tại u0 = f (x0 ), thì g ◦ f cũng có đạo hàm tại x0 và. (g ◦ f )0 (x0 ) = (g(f (x0 )))0 = g 0 (u0 ) · f 0 (x0 ). Mệnh đề 4.4 (Đạo hàm của hàm ngược). Giả sử x = f (y) có đạo hàm tại y0 ∈ (a; b) và f 0 (y0 ) 6= 0. Nếu tồn tại hàm ngược y = g(x) liên tục tại. x0 = f (y0 ) thì tồn tại đạo hàm g 0 (x0 ) và g 0 (x0 ) =. 4.2.3. 1 . f 0 (y0 ). Đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản. y = c = const, y = x, y = xn , n ∈ N, 1 y= , x √ y = x, y = ex , y = ax , 0 < a 6= 1, y = ln x, y = loga x,. y 0 = 0, ∀x. y 0 = 1, ∀x. y 0 = nxn−1 . 1 y 0 = − 2 , x 6= 0. x 1 0 y = √ , x > 0. 2 x y 0 = ex , ∀x. y 0 = ax ln a, ∀x. 1 y 0 = , x > 0. x 1 0 y = , x > 0. x ln a.

(47) 46. y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = cot x, y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x, y = arccotx,. 4.3 4.3.1. y 0 = cos x, ∀x. y 0 = − sin x, ∀x. 1 π y0 = , x = 6 (2k + 1) , k nguyên. cos2 x 2 1 y 0 = − 2 , x 6= kπ, k nguyên. sin x 1 0 y =√ , −1 < x < 1. 1 − x2 1 , −1 < x < 1. y0 = − √ 1 − x2 1 y0 = , ∀x. 1 + x2 1 , ∀x. y0 = − 1 + x2. Các định lý quan trọng về hàm khả vi Định lý Fermat về điều kiện cực trị. Định nghĩa 4.3. Giả sử hàm số f xác định trên tập hợp D : D ⊂ R và. x0 ∈ D. a) x0 được gọi là một điểm cực đại (địa phương) của hàm số f nếu tồn tại một khoảng (a; b) chứa điểm x0 sao cho f (x) 6 f (x0 ) với mọi x ∈ (a; b) ∩ D. Khi đó f (x0 ) được gọi là giá trị cực đại của hàm số f. b) x0 được gọi là một điểm cực tiểu (địa phương) của hàm số f nếu tồn tại một khoảng (a; b) chứa điểm x0 sao cho f (x) > f (x0 ) với mọi x ∈ (a; b) ∩ D. Khi đó f (x0 ) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f. Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là cực trị. Định lý 4.1 (Định lý Fermat về điều kiện cực trị). Cho f xác định trên khoảng (a; b). Nếu f đạt cực trị tại điểm c ∈ (a; b) và f 0 (c) tồn tại, thì. f 0 (c) = 0..

(48) 47. 4.3.2. Các định lý về giá trị trung bình. Định lý 4.2 (Định lý Rolle). Cho f là hàm liên tục trên đoạn [a; b] và có đạo hàm tại mọi điểm trên khoảng (a; b). Nếu f (a) = f (b) thì tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a; b) để f 0 (c) = 0. Định lý 4.3 (Định lý Lagrange). Cho hàm f liên tục trên đoạn [a; b] và có đạo hàm tại mọi điểm trên khoảng (a; b). Khi đó tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a; b) để. f (b) − f (a) . b−a Định lý 4.4 (Định lý Cauchy). Cho các hàm f và g liên tục trên đoạn [a; b] và có đạo hàm tại mọi điểm của khoảng (a; b), ngoài ra g 0 (x) 6= 0 với mọi x ∈ (a; b). Khi đó tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a; b) để f (b) − f (a) f 0 (c) = 0 . g(b) − g(a) g (c) f 0 (c) =. 4.4. Một số ứng dụng của đạo hàm. 4.4.1. Tính giới hạn dạng không xác định. 0 0 Định lý 4.5 (Định lý L’Hospital). Giả sử f, g là các hàm khả vi liên tục trong lân cận điểm a thỏa mãn điều kiện f (a) = g(a) = 0. Nếu tồn tại f 0 (x) f (x) = L thì cũng tồn tại giới hạn lim = L. giới hạn lim 0 x→a g(x) x→a g (x) Giới hạn dạng không xác định. ∞ ∞ Định lý 4.6 (Định lý L’Hospital). Giả sử f, g là các hàm khả vi liên tục trong lân cận điểm a và thỏa mãn điều kiện lim f (x) = lim g(x) = ∞. x→a x→a 0 f (x) Khi đó nếu tồn tại giới hạn lim 0 = L thì cũng tồn tại giới hạn x→a g (x) f (x) lim = L. x→a g(x) Giới hạn dạng không xác định.

(49) 48. 4.4.2. Tìm cực trị của hàm số. Định lý 4.7 (Điều kiện đủ bậc nhất). Cho hàm f liên tục và khả vi trong lân cận của điểm x0 . Khi đó i) Nếu đạo hàm của hàm số đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua x0 thì hàm số đạt cực đại tại x0 . ii) Nếu đạo hàm của hàm số đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua x0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x0 . iii) Nếu đạo hàm của hàm số không đổi dấu khi đi qua x0 thì điểm này không phải là điểm cực trị. Định lý 4.8 (Điều kiện cực trị bậc hai). Cho hàm f khả vi liên tục trên. (a; b) và có đạo hàm bậc hai liên tục tại điểm c ∈ (a; b). Khi đó i) Nếu f đạt cực tiểu địa phương tại c thì f 0 (c) = 0 và f 00 (c) ≥ 0. Ngược lại, nếu f 0 (c) = 0 và f 00 (c) > 0 thì f có cực tiểu địa phương tại c. ii) Nếu f đạt cực đại địa phương tại c thì f 0 (c) = 0 và f 00 (c) ≤ 0. Ngược lại, nếu f 0 (c) = 0 và f 00 (c) < 0 thì f có cực đại địa phương tại c. 4.4.3. Khảo sát các tính chất của hàm số. Khảo sát tính đơn điệu của hàm số Định lý 4.9. Hàm khả vi là đơn điệu không giảm khi và chỉ khi đạo hàm của nó không âm. Khảo sát tính lồi lõm của hàm số Định lý 4.10. Hàm khả vi là lồi khi và chỉ khi đạo hàm của nó là đơn điệu tăng. Tìm điểm uốn của đồ thị Định nghĩa 4.4. Cho f là một hàm số liên tục trên một miền X và. x0 ∈ X . Giả sử tồn tại δ > 0 sao cho f (x) lồi trên (x0 − δ; x0 ) và lõm trên (x0 ; x0 + δ), hoặc lõm trên (x0 − δ; x0 ) và lồi trên (x0 ; x0 + δ), thì x0 được gọi là điểm uốn của đồ thị hàm số f ..

(50) 49. Mệnh đề 4.5. Giả sử tồn tại một số δ > 0 sao cho hàm số y = f (x) có đạo hàm bậc hai trên khoảng (c − δ; c + δ). Khi đó i) Nếu f 00 đổi dấu khi x đi qua c thì M (c; f (c)) là điểm uốn của đồ thị. ii) Nếu f 00 không đổi dấu khi x đi qua c thì M (c; f (c)) không phải là điểm uốn của đồ thị hàm số.. 4.5 4.5.1. Ứng dụng Maple trong thực hành tính toán chương 4 Tính đạo hàm của hàm số. Gõ câu lệnh có cú pháp. [> Dif f (f (x), x); để hiển thị biểu thức biểu thị đạo hàm bậc nhất của hàm f (x). Gõ câu lệnh [> dif f (f (x), x); d hoặc chọn nút công thức f rồi nhập hàm vào vị trí f để hiển thị kết dx quả tính đạo hàm bậc nhất của hàm f (x). Gõ câu lệnh có cú pháp [> Dif f (f (x), x$ n); để hiển thị biểu thức biểu thị đạo hàm bậc n của hàm f (x). Gõ câu lệnh [> dif f (f (x), x$ n); d hoặc chọn nút công thức f rồi thay d bởi dn , thay dx bởi dxn và nhập dx hàm vào vị trí f để hiển thị kết quả tính đạo hàm bậc n của hàm f (x). 2x + 5 Ví dụ 4.1. Tính đạo hàm bậc nhất của √ . 2−7 x ! !! 2·x+5 2·x+5 [> Dif f √ , x = simplif y dif f √ ,x ; x2 − 7 x2 − 7.

(51) 50. Hình 4.1: Ví dụ về lệnh tính đạo hàm.. 4.5.2. Tính đạo hàm của hàm số theo từng bước. Câu lệnh tính đạo hàm được giới thiệu ở trên sẽ cho kết quả ngay, chỉ có tác dụng khi người sử dụng muốn kiểm tra kết quả tính toán của mình, hoặc muốn có kết quả mà không cần phải tự tính. Còn thủ tục Tính đạo hàm của hàm số theo từng bước sẽ giúp người sử dụng luyện tập tính đạo hàm của hàm số, cho phép áp dụng các quy tắc tính đạo hàm và xem kết quả sau mỗi bước tính. Để gọi thủ tục, chọn một trong hai cách:. • Chọn Tools → Tutors → Calculus - Single Variable → Differentiation Methods. . . • Gõ câu lệnh [> Student[Calculus1][DiffTutor](); Chúng tôi đã viết sẵn nhóm lệnh bao gồm lệnh khởi tạo Restart, lệnh gọi thủ tục đã có sẵn một hàm ví dụ để tính đạo hàm, người sử dụng chỉ cần kích chuột vào liên kết để chuyển tới chương trình rồi gõ Enter để thực hiện nhóm lệnh này. Hộp thoại sẽ xuất hiện (xem Hình 4.2). Trong mục Enter a function: - Nhập hàm cần tính đạo hàm vào ô Function. (Nếu sử dụng hàm chúng tôi đã nhập sẵn thì bỏ qua bước này) . - Nhập tên biến vào ô Variable (ngầm định là x). - Kích chuột vào nút Start để bắt đầu quá trình tính. - Chọn ô check box Show Hints để hiển thị các gợi ý. Kích chuột vào nút Get Hint khi cần xin gợi ý. - Phần bên phải hộp thoại có các nút để lựa chọn các quy tắc tính.

(52) 51. đạo hàm ta có thể áp dụng, chẳng hạn Constant (đạo hàm của hằng số: c0 = 0), Identity (x0 = 1), Constant Multiple (đạo hàm của tích một hằng số với một hàm), Sum (đạo hàm của tổng hai hàm), Difference (đạo hàm của hiệu), Product (đạo hàm của tích), Quotient (đạo hàm của thương), Power (đạo hàm của hàm mũ), Chain Rule (đạo hàm của hàm hợp), Integral (đạo hàm của tích phân: (Int(f (t), t = c..x))0 = f (x)), Rewrite (viết lại biểu thức theo cách khác, ví dụ tan(x) = sin(x)/ cos(x)), Exponential (đạo hàm của hàm mũ cơ số e), Natural Logarithm (đạo hàm của hàm ln), hay đạo hàm của các hàm lượng giác. . . Khi ta kích chuột vào một nút để lựa chọn quy tắc nào đó, Maple sẽ thực hiện quy tắc đó nếu áp dụng được, còn nếu không sẽ đưa ra thông báo: không thể áp dụng quy tắc đó, đồng thời đưa ra gợi ý áp dụng một quy tắc khác. - Chọn nút Next Step để thực hiện lần lượt các bước, hoặc All Steps để xem toàn bộ các bước tính. - Nút Undo dùng để loại bỏ thao tác vừa thực hiện. - Kết quả sẽ được hiển thị ở ô trống bên trái hộp thoại.. Hình 4.2: Hộp thoại tính đạo hàm theo từng bước..

(53) 52. 4.5.3. Khảo sát hàm số. Dựa vào các kiến thức lý thuyết về đạo hàm của hàm số được nêu trong Chương 4, chúng tôi đã vận dụng một số câu lệnh Maple để thực hiện các công việc khảo sát hàm số, và viết thành chương trình khảo sát bốn dạng hàm số thường gặp trong các đề thi tốt nghiệp phổ thông hay thi đại học, cao đẳng: hàm bậc ba, hàm trùng phương, hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất và hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất. Dưới đây chúng tôi giới thiệu khái quát các câu lệnh được sử dụng trong chương trình, việc vận dụng các câu lệnh đó vào khảo sát bốn dạng hàm số nêu trên xin tham khảo cụ thể trong file Maple. Lệnh gán giá trị. [>Tên:= Giá trị; Dùng để nhập giá trị cho các hệ số. Lệnh in ra màn hình. [>print({danh sách}); hoặc [>({danh sách}); trong đó {danh sách } có thể chứa các chuỗi kí tự hay biểu thức. Lệnh điều kiện if Câu lệnh if có cú pháp if<điều kiện 1> then<nhóm lệnh 1>. { elif<điều kiện i> then<nhóm lệnh i>} { else<nhóm lệnh >} end if; trong đó các điều kiện là các biểu thức logic (các biểu thức đại số được liên kết với nhau bởi các phép toán quan hệ hay các phép toán logic; các hàm mà giá trị trả lại thuộc kiểu logic). Chức năng của câu lệnh if: - Nếu <điều kiện 1> đúng thì <nhóm lệnh 1> được thực hiện, ngược lại thì <điều kiện i> sau từ elif sẽ được kiểm tra, nếu đúng thì <nhóm lệnh i> sẽ được thực hiện, cứ tiếp tục cho đến khi các <điều kiện i> đều.

(54) 53. không thỏa mãn, thì <nhóm lệnh > sau từ else sẽ được thực hiện. Chú ý 4.1. Các tùy chọn được viết giữa hai dấu ”{” và ”}” biểu thị rằng chúng có thể có hoặc không. Cấu trúc elif . . . then được lặp với số lần tùy ý. Sự biến thiên của hàm số - Tính đạo hàm bậc nhất f 0 (x) của hàm số bằng lệnh. [> dif f (f (x), x); . - Xác định khoảng đồng biến của hàm số bằng lệnh giải bất phương trình [> solve(f 0 (x) ≥ 0, {x}); - Tương tự, xác định khoảng nghịch biến của hàm số bằng lệnh giải bất phương trình [> solve(f 0 (x) ≤ 0, {x}); Giới hạn và tiệm cận - Sử dụng câu lệnh tính giới hạn diff(). Tìm điểm cực trị của hàm số - Tìm đạo hàm bậc nhất f 0 (x) của hàm số. - Giải phương trình f 0 (x) = 0 để tìm các điểm nghi ngờ là cực trị; nếu tại đó f 0 (x) đổi dấu từ dương sang âm thì đó là điểm cực đại, nếu f 0 (x) đổi dấu từ âm sang dương thì đó là điểm cực tiểu. Vẽ đồ thị - Sử dụng câu lệnh giải phương trình solve() để xác định các giao điểm của đồ thị với hai trục tọa độ. - Sử dụng câu lệnh plot() để vẽ đồ thị hàm số.. 4.6. Bài tập.

(55) 54. Chương 5 Phép tính tích phân 5.1 5.1.1. Tích phân bất định Khái niệm nguyên hàm và tích phân bất định. Định nghĩa 5.1 (Nguyên hàm và tích phân bất định). Hàm F (x) được gọi là nguyên hàm của hàm f (x) trên khoảng (a; b) nếu hàm F (x) khả vi trên (a; b) và. F 0 (x) = f (x), ∀x ∈ (a; b). Định lý 5.1. Nếu hàm f liên tục trên khoảng (a; b) thì trên khoảng đó nó có nguyên hàm. Định lý 5.2. Giả sử F là một nguyên hàm của f trên khoảng (a; b). Hàm. Φ(x) là nguyên hàm của f trên (a; b) khi và chỉ khi Φ(x) − F (x) = c, ∀x ∈ (a; b), trong đó c là một hằng số thực nào đó. Hệ quả 5.1. Nếu F là một nguyên hàm nào đó của f trên khoảng (a; b) thì tập hợp mọi nguyên hàm của hàm f trên khoảng (a; b) trùng với tập hợp hàm {F (x) + c}, trong đó c là hằng số thực tùy ý. Định nghĩa 5.2. Tập hợp mọi nguyên hàm của hàm f (x) cho trên khoảng. (a; b) được gọi là tích phân bất định của hàm f trên (a; b), ký hiệu là R f (x)dx..

(56) 55. Trong ký hiệu này hàm f được gọi là hàm dưới dấu tích phân, biểu thức R f (x)dx gọi là biểu thức dưới dấu tích phân, dấu gọi là dấu tích phân. Như vậy, nếu F là một nguyên hàm nào đó của f trên (a; b) thì ta có Z f (x)dx = F (x) + c, trong đó c là một hằng số thực tùy ý.. 5.1.2. Các tính chất và quy tắc cơ bản. Mệnh đề 5.1 (Tính chất tuyến tính). Nếu f và g là các hàm số có nguyên hàm trên khoảng U ⊂ R, thì hàm f + g và hàm αf (với α ∈ R) cũng có nguyên hàm, và R R R i) (f (x) + g(x))dx = f (x)dx + g(x)dx; R R ii) αf (x)dx = α f (x)dx. Mệnh đề 5.2 (Quy tắc tích phân từng phần). Nếu f và g là các hàm khả vi liên tục thì Z. 0. f (x)g (x)dx = f (x)g(x) −. Z. g(x)f 0 (x)dx.. Mệnh đề 5.3 (Quy tắc đổi biến trong tích phân bất định). Nếu f có nguyên hàm là F và u = g(x) là hàm khả vi liên tục thì Z Z 0 f (g(x))g (x)dx = f (u)du = F (u(x)) + c.. 5.1.3. Bảng các tích phân bất định cơ bản. Z. 1.. xα + 1 + c, x > 0, α 6= 1; α+1. Z. xα dx =. Z. dx = ln |x| + c, ( trên khoảng bất kỳ mà x 6= 0); x. 2. 3.. 0 · dx = c;.

(57) 56. Z ax 4. a dx = + c (a > 0, a 6= 1); ex dx = ex + c; ln a Z 5. sin xdx = − cos x + c; Z 6. cos x = sin x + c; Z π dx 7. = tan x + c, x 6= + kπ, k ∈ Z; 2 2 Z cos x dx 8. = − cot x + c, x 6= kπ, k ∈ Z; 2 sin x Z dx arcsin x + c = 9. √ − 1 < x < 1; 2 − arccos x + c, 1 − x Z dx arccotx + c = 10. arctan x + c; 1 + x2 Z dx 1 1+x 11. = ln + c, |x| = 6 1; 1 − x2 2 1−x Z √ dx = |x + x2 + 1| + c; 12. √ x2 + 1 Z p dx 13. √ = ln(x + x2 − 1) + c, |x| > 1; x2 − 1  x Z  arcsin +c dx a x = a > 0. 14. √ a2 − x2 − arccos + c, a Z. 5.2 5.2.1. x. Tích phân xác định Riemann Khái niệm tích phân xác định. Định nghĩa 5.3. Phân hoạch ΠN của đoạn [a; b] ⊂ R là một dãy hữu hạn số x0 , x1 , . . . , xN thỏa mãn. a = x0 < x1 < . . . < xN = b. Đường kính của phân hoạch ΠN , kí hiệu là d(ΠN ), là khoảng cách lớn nhất giữa hai điểm chia kế tiếp nhau, tức là. d(ΠN ) = max{|xi − xi−1 | : i = 1, 2, . . . , N }..

(58) 57. Định nghĩa 5.4. Nếu f là hàm số xác định trên [a; b] và ΠN là một phân hoạch của [a; b] thì tổng Riemann của f ứng với phân hoạch ΠN , kí hiệu là S(ΠN ), được xác định như sau. S(ΠN ) =. N X. f (ci )(xi − xi−1 ),. i=1. trong đó ci ∈ [xi−1 ; xi ], i = 1, 2, . . . , N. Định nghĩa 5.5. Hàm số f được gọi là khả tích Riemann trên [a; b] nếu tồn tại số A ∈ R sao cho với mỗi số ε > 0 tìm được số δ > 0 để mọi tổng Riemann S của f ứng với phân hoạch bất kỳ có đường kính nhỏ hơn δ đều nằm trong lân cận của điểm A với bán kính ε (nghĩa là |S − A| < ε, hay S nằm trong ε−lân cận của A). Khi đó, số A được gọi là tích phân Rb Riemann của hàm f trên đoạn [a; b] và được ký hiệu là f (x)dx. Các số a. a và b được gọi là cận của tích phân (trong đó a là cận dưới và b là cận trên), f (x) gọi là hàm dưới dấu tích phân. Như vậy Zb. f (x)dx = A. a. 5.2.2. Một số tính chất. Mệnh đề 5.4 (Tính toán trên các hàm khả tích). Nếu f, g là những hàm khả tích trên đoạn [a; b] thì các hàm cf (c ∈ R) và f + g là khả tích trên đoạn [a; b]. Hơn nữa Zb. Zb. (f (x) + g(x))dx = a. và. Zb. f (x)dx + a. Zb. a. Zb. cf (x)dx = c a. g(x)dx. f (x)dx. a.

(59) 58. Mệnh đề 5.5 (Tính đơn điệu và tính bị chặn của tích phân). Nếu f là Rb hàm khả tích và không âm thì f (x)dx ≥ 0. Suy ra, nếu f (x) ≥ g(x) với a. mọi x ∈ [a; b] thì Zb. f (x)dx ≥. Zb. a. g(x)dx. a. Mệnh đề 5.6 (Định lý trung bình). Nếu f là hàm khả tích trên đoạn [a; b] và m ≤ f (x) ≤ M , với mọi x ∈ [a; b] thì. m(b − a) ≤. Zb. f (x)dx ≤ M (b − a).. a. Định lý 5.3. Hàm số liên tục trên đoạn [a; b] thì khả tích trên đoạn đó. Định lý 5.4. Khi f : U → R là một hàm liên tục thì hàm số F (x) xác Rx định theo công thức x 7→ F (x) = f (t)dt là khả vi trên U và là một a. nguyên hàm của hàm f , nghĩa là F 0 (x) = f (x), với mọi x ∈ U. Mệnh đề 5.7. Nếu f là hàm liên tục trên một khoảng thì nó có nguyên hàm F xác định trên khoảng đó và nguyên hàm này được tính theo công thức:. Zx. F (x) =. f (t)dt. a. 5.2.3. Một số phương pháp tính tích phân xác định. Định lý 5.5 (Newton - Leibniz). Nếu F là hàm số xác định trên khoảng. U ⊂ R và có đạo hàm là f thì Zb a. f (x)dx = F (b) − F (a)..

(60) 59. Định lý 5.6 (Phương pháp đổi biến). Giả sử g là hàm khả vi trên [a; b] và f là hàm liên tục trên miền giá trị của g. Khi đó Zb. Zg(b) f (g(x))g 0 (x)dx = f (u)du.. a. g(a). Định lý 5.7 (Đổi biến ngược). Giả sử phải tính. Rb. f (x)dx, ta đổi biến. a. x = g(t) thì −1 gZ (b). Zb. f (g(t))g 0 (t)dt.. f (x)dx = a. g −1 (a). Định lý 5.8 (Phương pháp tích phân từng phần). Giả sử u(x) và v(x) là hai hàm khả vi trên [a; b]. Nếu v(x)u0 (x) có nguyên hàm thì u(x)v 0 (x) cũng có nguyên hàm và Zb Zb u(x)v 0 (x)dx = u(x)v(x) − v(x)u0 (x)dx. a. 5.2.4. a. Một số ứng dụng của tích phân. Tính diện tích hình phẳng. • Diện tích giữa các đường cong Xét miền S giới hạn bởi hai đường cong y = f (x), y = g(x) và các đường thẳng x = a, x = b, trong đó f, g là các hàm liên tục (xem Hình 5.1). Diện tích của miền S là: Zb A = |f (x) − g(x)|dx. (5.1) a. Nếu f (x) ≥ g(x) với mọi x thuộc [a; b] thì Zb. A= a. (f (x) − g(x))dx.. (5.2).

(61) 60. Hình 5.1: Diện tích giữa các đường cong. • Diện tích bị chặn bởi các đường cong tham số Ta biết rằng diện tích dưới đường cong y = F (x) từ a tới b là A = b R F (x)dx, trong đó F (x) ≥ 0. Nếu đường cong được tạo vết một lần bởi a. phương trình tham số x = f (t), y = g(t), α ≤ t ≤ β , thì ta có thể đưa ra công thức diện tích dựa trên quy tắc thế vào định nghĩa tích phân : Zβ. Zb. A=. ydx = a. g(t)f 0 (t)dt (hoặc. α. Zα. g(t)f 0 (t)dt).. (5.3). β. Tính độ dài đường cong Độ dài của đường cong y = f (x), a ≤ x ≤ b nếu f 0 (x) liên tục trên. [a; b] là : L=. Zb q. 1 + (f 0 (x))2 dx.. (5.4). a. Tính thể tích. • Gọi S là một vật thể nằm giữa x = a và x = b. Nếu diện tích lát cắt của S trong mặt phẳng P đi qua x và vuông góc với trục hoành là A(x),.

(62) 61. trong đó A là hàm liên tục thì thể tích của S là : Zb n X V = lim A(x∗i )∆x = A(x)dx. n→+∞. i=1. (5.5). a. Hình 5.2: Thể tích vật thể.. • Cho f (x) là hàm liên tục trên [a; b]. Thể tích khối tròn xoay do hình giới hạn bởi các đường x = a, x = b, y = 0, y = f (x) quay quanh trục Ox tạo nên được tính theo công thức Zb V = π f 2 (x)dx. (5.6) a. quay quanh trục Oy tạo nên được tính theo công thức Zb V = 2π xf (x)dx.. (5.7). a. 5.3 5.3.1. Ứng dụng Maple trong thực hành tính toán chương 5 Minh họa và tính tổng Riemann. Để minh họa và tính tổng Riemann, ta sử dụng một trong hai cách sau:.

(63) 62. • Gõ các câu lệnh: Lệnh mở gói công cụ Student [> with[student] : Lệnh minh họa tổng Riemann của hàm f (x) trên đoạn [a; b], với phân hoạch gồm n điểm (cách đều nhau) và điểm trung gian được chọn là điểm giữa của mỗi đoạn nhỏ trong phân hoạch [> middlebox(f (x), x = a..b, n); (nếu muốn chọn các điểm trung gian không phải là điểm giữa mà là điểm "biên trái" hoặc "biên phải" của các đoạn nhỏ thì thay từ khóa middlebox bởi leftbox hoặc rightbox ). Khi n càng lớn thì hình ảnh minh họa tổng Riemann càng gần với diện tích hình thang cong (giá trị của tích phân). Ví dụ 5.1. Minh họa tổng Riemann của hàm. f (x) = sin(x2 + x − 1) − cos(x2 − x + 1) + 3 trên đoạn [−3; 3], với số điểm phân hoạch lần lượt là 20, 50 và 100.. Hình 5.3: Ví dụ minh họa tổng Riemann.. Để tính tổng Riemann ứng với cách phân hoạch đều và chọn điểm trung gian như trên, trong câu lệnh ta chỉ cần thay từ khóa middlebox (leftbox,.

(64) 63. rightbox ) bởi từ khóa middlesum (leftsum, rightsum). Sau khi thực hiện lệnh ta sẽ được công thức biểu diễn tổng, muốn biết giá trị số của tổng này ta dùng lệnh đánh giá xấp xỉ dưới dạng thập phân. [> evalf (%);. Hình 5.4: Ví dụ tính tổng Riemann.. • Chọn Tools → Tutors → Calculus - Single Variable → Riemann Sums. . . Khi đó sẽ xuất hiện hộp thoại (xem hình 5.5) cho phép tính và minh họa xấp xỉ tích phân theo tổng Riemann và theo công thức Newton. - Nhập hàm f (x), giá trị của a, b và số điểm chia n vào các ô tương ứng. - Để tính và minh họa tổng Riemann, chọn một trong số các nút check box upper, lower, random, left, midpoint hay right rồi kích chuột vào nút Display để xem kết quả. Hình ảnh minh họa cùng giá trị xấp xỉ và giá trị thực tế của tích phân sẽ hiển thị ở bên trái hộp thoại. - Kích chuột vào nút Animate, ta sẽ được hình ảnh động minh họa tổng tích phân khi số điểm chia thay đổi (kích chuột vào nút +, - hoặc Pause ở bên dưới hình ảnh để tăng, giảm tốc độ hoặc ngừng chuyển động)..

(65) 64. Hình 5.5: Hộp thoại Approximate Integration.. Nhận xét 5.1. Việc sử dụng Maple để minh họa, tính tổng Riemann có thể trợ giúp giáo viên trong việc hình thành khái niệm tích phân xác định cho học sinh và mô tả một số tích phân không biểu diễn được nguyên hàm qua các hàm cơ bản (xem [6]).. 5.3.2. Tính tích phân xác định. Câu lệnh tính tích phân xác định Để tính tích phân xác định của hàm f (x) trên đoạn [a; b], sử dụng các câu lệnh. [> Int(f (x), x = a..b); [> int(f (x), x = a..b); (hoặc kích chuột vào nút. Rb. f dx rồi nhập các giá trị của a, b và f (x) vào. a. các vị trí tương ứng, cách này có tác dụng tương đương với câu lệnh. [> int(f (x), x = a..b);)..

(66) 65. Ví dụ 5.2. (Đề thi ĐH khối D, 2011). Tính tích phân Z4. I=. √. 4x − 1 dx. 2x + 1 + 2. 0. Z4 4·x−1 4·x−1 [> Int √ , x = 0..4 = √ dx; 2·x+1+2 2·x+1+2 . 0. Hình 5.6: Ví dụ lệnh tính tích phân xác định..

(67) 66. Chương trình tính tích phân xác định Đây là chương trình sử dụng các lệnh của Maple để đưa ra giao diện tính tích phân xác định đồng thời vẽ đồ thị của hàm được tính tích phân (xem [4]). Kích chuột vào liên kết để mở chương trình và gõ Enter để chạy chương trình, xuất hiện hộp thoại. Hình 5.7: Hộp thoại chương trình tính tích phân xác định. Nhập các thông tin được yêu cầu, chọn nút TÍCH PHÂN để xem kết quả tính, nút ĐỒ THỊ để xem đồ thị.. 5.3.3. Tính tích phân từng bước. Thủ tục Tính tích phân từng bước là một công cụ tốt để luyện tập tính tích phân. Để gọi thủ tục này, ta sử dụng một trong hai cách sau:. • Chọn Tools → Tutors → Calculus - Single Variable → Integration Methods. . . • Gõ nhóm lệnh [> with(Student[Calculus1]); IntT utor(y, x);.

(68) 67. Chúng tôi đã viết sẵn nhóm lệnh bao gồm lệnh khởi tạo Restart, lệnh gọi thủ tục đã có sẵn một hàm ví dụ để tính tích phân, người sử dụng chỉ cần kích chuột vào liên kết rồi gõ Enter để thực hiện nhóm lệnh này. Hộp thoại Tính tích phân từng bước sẽ xuất hiện như hình dưới đây:. Hình 5.8: Hộp thoại chương trình tính tích phân từng bước. Hộp thoại này có nhiều điểm tương đồng với giao diện Tính giới hạn theo từng bước hay Tính đạo hàm theo từng bước đã được giới thiệu trước đó (xem mục 3.7.4, 4.5.2). Ta sẽ tìm hiểu thêm những chỗ khác biệt. - Nhập giá trị cận dưới vào ô from., nhập giá trị cận trên vào ô to. - Phần bên phải hộp thoại có các nút để lựa chọn các quy tắc tính tích phân mà ta muốn áp dụng, chẳng hạn Constant (tích phân của hằng số), Sum (tích phân của tổng), Product (tích phân của tích), Change (quy tắc đổi biến), Rewrite (viết lại biểu thức theo cách khác). . ..

(69) 68. 5.3.4. Tính diện tích và thể tích. Vận dụng các kiến thức lý thuyết về ứng dụng tích phân vào tính diện tích, thể tích, xét một số ví dụ áp dụng sau Ví dụ 5.3. (Đề thi ĐH - CĐ khối A, 2002). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y = |x2 − 4x + 3|, y = x + 3.. Hình 5.9: Ví dụ về tính diện tích hình phẳng.. Giải thích các lệnh đã được sử dụng: - Lệnh solve() để giải phương trình |x2 − 4x + 3| = x + 3, tìm hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số. - Lệnh plot() vẽ đồ thị hai hàm số trên cùng hệ trục tọa độ. Ta thấy. x + 3 ≥ |x2 − 4x + 3| với mọi x ∈ [0; 5]. Vậy theo công thức (5.2), diện tích cần tính là Z5 (x + 3 − |x2 − 4x + 3|)dx. 0. - Lệnh int() để tính tích phân..

(70) 69. Ví dụ 5.4. (Đề thi ĐH khối A, 2007). Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường: y = x ln x, y = 0, x = e . Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình H quanh trục Ox . Sử dụng lệnh solve() giải phương trình x ln x = 0, ta tìm được hoành độ giao điểm của các đường y = x ln x và y = 0 là x = 1. Áp dụng công Re thức (5.6), ta có thể tích cần tính là π (x ln x)2 dx. Dùng lệnh int() để 1. tính tích phân này.. Hình 5.10: Ví dụ về tính thể tích.. Maple cũng cung cấp cho chúng ta các thủ tục tính diện tích mặt tròn xoay và thể tích khối tròn xoay. Diện tích mặt tròn xoay. Thủ tục Tính diện tích mặt tròn xoay cho phép tính diện tích đồng thời minh họa bằng hình ảnh động. Để gọi thủ tục này, sử dụng một trong hai cách sau. • Chọn Tools → Tutors → Calculus - Single Variable → Surface of Revolution. . . • Gõ lệnh [> Student[Calculus1][Surf aceOf RevolutionT utor](); Hộp thoại sẽ xuất hiện (xem Hình 5.11). Sau khi nhập các giá trị theo yêu cầu, kích chuột vào nút Display ta sẽ xem được kết quả..

(71) 70. Hình 5.11: Hộp thoại Tính diện tích mặt tròn xoay.. Thể tích khối tròn xoay. Chọn một trong hai cách. • Chọn Tools → Tutors → Calculus - Single Variable → Volume of Revolution. . . • Gõ lệnh [> Student[Calculus1][V olumeOf RevolutionT utor](); hộp thoại Tính Thể tích khối tròn xoay sẽ xuất hiện.. Hình 5.12: Hộp thoại Tính thể tích khối tròn xoay..

(72) 71. Người sử dụng cần nhập các hàm f (x), g(x), giá trị của a, b và kích chuột vào nút Display để xem kết quả.. 5.3.5. Tính nguyên hàm. Lệnh tính nguyên hàm Để tìm nguyên hàm của hàm số f (x) theo biến x, gõ câu lệnh. [> Int(f (x), x); [> int(f (x), x); Chú ý 5.1. Maple chỉ đưa ra một nguyên hàm trong lớp các nguyên hàm, người sử dụng cần tự thêm hằng số c vào để kết quả hiển thị chính xác hơn. Ví dụ 5.5. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) =. 1+x √ . 1+ x. Hình 5.13: Ví dụ về lệnh tính nguyên hàm.. Chương trình tính nguyên hàm Chương trình bao gồm các lệnh Maple tạo giao diện cho phép tính nguyên hàm và vẽ đồ thị của hàm số cùng nguyên hàm của nó trên cùng một hệ trục tọa độ (xem [5]). Kích chuột vào liên kết để mở chương trình và gõ Enter để chạy chương trình, xuất hiện hộp thoại (xem Hình 5.14) Nhập hàm cần tính nguyên hàm và biến xác định trong nguyên hàm rồi chọn nút NGUYÊN HÀM để tính nguyên hàm, chọn nút ĐỒ THỊ ta sẽ xem được đồ thị của hàm và nguyên hàm của nó..

(73) 72. Hình 5.14: Hộp thoại chương trình tính nguyên hàm. 5.4. Bài tập.

(74) 73. Kết luận Maple là một công cụ rất mạnh trong thực hành tính toán, nhưng không phải ai cũng có sẵn một số yếu tố cần thiết: tài liệu, một ít vốn từ tiếng Anh chuyên ngành hay hứng thú, sự kiên nhẫn khi làm quen với một phần mềm mới . . . để tiếp cận với Maple, nếu chưa thấy được rõ ràng những ưu điểm nổi bật của nó. Trong luận văn này, ngoài việc tổng hợp những kiến thức giải tích phần Hàm số một biến, chúng tôi còn cung cấp những thao tác ban đầu giúp người sử dụng dễ dàng tiếp cận hơn với Maple, để khai thác Maple trong công việc giảng dạy, học tập và nghiên cứu toán học. Những nội dung giải tích chúng tôi đã tổng hợp thành 5 chương. Sau mỗi chương, chúng tôi đưa vào các hướng dẫn sử dụng Maple để thực hành tính toán, giải các bài tập trong phần kiến thức đó. Ngoài ra chúng tôi cũng đưa thêm một số bài tập khó mà việc tính toán thủ công mất nhiều thời gian nhưng nếu sử dụng Maple sẽ rất đơn giản, nhanh chóng và chính xác, với mục đích minh họa thêm cho những tính năng mạnh mẽ của Maple. Tuy đã nỗ lực làm việc nghiêm túc nhưng do sự hạn chế về khả năng và thời gian nên chắc hẳn luận văn vẫn còn nhiều thiếu sót. Tác giả rất mong đợi những ý kiến chỉ dẫn quý báu của các thầy cô và sự góp ý của bạn bè đồng nghiệp để luận văn được hoàn thiện hơn..

(75) 74. Tài liệu tham khảo [1] Trần Bình, Bài tập giải sẵn Giải tích I, NXB Khoa học và Kỹ thuật, 2005. [2] Phạm Huy Điển, Nguyễn Cảnh Dương, Tạ Duy Phượng, Tính toán, lập trình và giảng dạy toán học trên Maple, NXB Khoa học và Kỹ thuật, 2002. [3] Phạm Huy Điển, Phan Huy Khải, Tạ Duy Phượng, Cơ sở giải tích phổ thông, NXB Khoa học và Kỹ thuật, 2002. [4] Phạm Huy Điển, Đinh Thế Lục, Tạ Duy Phượng, Hướng dẫn thực hành tính toán trên chương trình Maple V, NXB Giáo dục, 1998. [5] Trịnh Thanh Hải, Giáo trình sử dụng phần mềm hỗ trợ dạy học toán, NXB Đại học Quốc gia Hà nội, 2010. [6] Vũ Thanh Hiếu, Phạm Thị Nhàn, Tạ Duy Phượng, (2010), ”Sử dụng phần mềm tính toán Maple trong việc hình thành khái niệm tích phân xác định ở lớp 12”, Kỷ yếu hội thảo Các chuyên đề chuyên toán bồi dưỡng HSG THPT. [7] Vũ Thanh Hiếu, Tạ Duy Phượng, Học và thực hành theo chuẩn kiến thức, kĩ năng Đại số và Giải tích 11, NXB Giáo dục Việt Nam, 2011. [8] Đinh Thế Lục, Phạm Huy Điển, Tạ Duy Phượng, Giải tích toán học Hàm số một biến, NXB Đại học Quốc gia Hà nội, 2005. [9] Các website , ..

(76)

Sach dien tu cua ham mot bien

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về