ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM CỦA HÀM MỘT BIẾN HAY NHIỀU BIẾN TRONG BÀI TOÁN KINH TẾ

CHUÛ ÑEÀ:
CHUÛ ÑEÀ:
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM CỦA HÀM MỘT BIẾN
HAY NHIỀU BIẾN TRONG BÀI TOÁN KINH TẾ
Mã Môn Học: MAT101
Nhóm: 03
DANH SÁCH THÀNH VIÊN
DQT103387 Hà Bảo Anh
DQT103388 Huỳnh Ngọc Lan Anh
DQT103389 Huỳnh Thị Xuân Anh
DQT103390 Nguyễn Lê Minh Anh
DQT103391 Nguyễn Cao Duy Ân
DQT103392 Phan Bảo Ân
DQT103393 Lê Thị Ngọc Bích
DQT103395 Đỗ Minh Chánh
DQT103396 Phan Thị Minh Châu
DQT103397 Trần Thị Chi
DQT103398 Lê Thiện Chí
DQT103399 Ngô Văn Công
DQT103400 Nguyễn Hoàng Cung
DQT103402 Trần Võ Quốc Cường
DQT103403 Hồ Thị Mỹ Danh
DQT103404 Lưu Văn Dợn
DQT103405 Đặng Thị Thúy Duy
DQT103406 Trình Ngọc Duy
DQT103407 Phạm Thị Thanh Duyên
DQT103408 Huỳnh Anh Dũng
DQT103409 Nguyễn Phước Dư
DQT103410 Nguyễn Thị Thùy Dương
DQT103411 Nguyễn Thị Thùy Dương

DQT103413 Võ Thanh Đào
DQT103414 Nguyễn Thanh Đạt
DQT103416 Vũ Trường Giang
DQT103417 Nguyễn Hồ Hải
DQT103419 Lou Anh Hào
DQT103421 Dương Thị Thanh Hằng
DQT103423 Trần Thị Kim Hằng
DQT103631 Nguyễn Thị Gọn
M
M
0
(T)
ϕ ϕ
A. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM CỦA HÀM MỘT BIẾN
I. Cơ sở lý thuyết
1. Một số kết quả trong toán cao cấp
a.Định nghĩa đạo hàm:
Cho hàm số y = f(x), xác định trên (a,b)
)()(
:),(),,(
o
oo
xfxffy
xxxbaxbax
−=∆=∆
−=∆∈∀∈
Đạo hàm của f tại x
o
là:
o

o
xxox
o
o
xx
xfxf
x
y
dx
xdf
xf
o
−
−
=
∆
∆
==
→→∆
)()()(
)('
limlim
b.Đạo hàm và độ dốc của đường cong:
y

(C)
y
0
+
y

∆

y
0

N
0 x
0
x
0
+
x
∆
x
Cho y = f(x) có đồ thị là đường cong (C), x
o
∈
D: miền xác định của hàm số
- Gọi
ϕ
là góc nghiêng của đường thẳng M
o
M so với trục Ox
- Gọi
α
là góc nghiêng của tiếp tuyến M
o
T so với trục Ox
Ta có:
x

y
NM
MN
tg
o
∆
∆
==
ϕ
Khi
⇒→⇒→∆
0
0 MMx
đường thẳng (M
o
M) đến vị trí tiếp tuyến MT
αϕ
→⇒
ααϕ
αϕ
=⇔==
∆
∆
→→∆
)('
0
0
limlim
xftgtg
x

y
x
Ta kết luận: Đạo hàm của y = f(x) tại x
o
là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M
o
(x
o,
y
o
)
Và
)('
o
xf
là số đo độ dốc của đường cong y = f(x) tại M
o
(x
o,
y
o
)
c. Vi phân của hàm số
y = f(x) là dy = df =
dxxf )('
α
d. Đạo hàm và xu hướng biến thiên của hàm số
Cho y = f(x) có đạo hàm trong (a,b)
⊂
R, khi đó:

⇒∈∀>
),(,0)(' baxxf
hàm số tăng
⇒∈∀<
),(,0)(' baxxf
hàm số giảm
⇒∈∀=
),(,0)(' baxxf
f là hàm hằng
e. Cực trị của hàm số
Cho y = f(x), xác định trên (a,b)
- Điểm cực trị địa phương x
0
∈
(a,b) của hàm f là điểm mà tại đó hàm số đạt trị lớn nhất (cực đại),
hoặc trị nhỏ nhất (cực tiểu).
- Điều kiện cần: f đạt cực đại hoặc cực tiểu tại x
0
∈
(a,b) và tại x
0
hàm f có đạo hàm. Thì
0)('
0
=
xf
- Điều kiện đủ: cho y = f(x), có
)(' xf
trên (a,b)
⊂

R. Giải
0)('
=
xf
, ta tìm được các nghiệm
x
0
, x
1
,… gọi là các điểm tới hạn.
Nếu:
+ Tại x
0,
)(' xf

đổi dấu từ + sang – thì f có cực đại
+ Tại x
0,
)(' xf

đổi dấu từ - sang + thì f có cực tiểu
+ Nếu
)(' xf

không

đổi dấu thì hàm f không có cực trị
- Điều kiện đủ theo đạo hàm cấp 2:
+ Hàm số y = f(x), có đạo hàm đến cấp 2
+ Nếu tại x

0
ta có
)('
0
xf
=0 và
0)(''
≠
xf

thì hàm số đạt cực trị tại x
0
 x
0
là điểm mà f đạt cực đại nếu
0)(''
0
<
xf
 x
0
là điểm mà f đạt cực tiểu nếu
0)(''
0
>
xf
2. Ý nghĩa của đạo hàm trong kinh tế
Đạo hàm và giá trị biên tế trong kinh tế
Cho mô hình hàm số y = f(x), x và y là các biến kinh tế
x: biến độc lập hay biến đầu vào

y: biến phụ thuộc hay biến đầu ra
Trong quản trị kinh doanh, chúng ta quan tâm đến xu hướng thay đổi của y, khi x thay đổi một lượng nhỏ
Với định nghĩa đạo hàm trong toán cơ bản, ta có:
x
y
xf
x
∆
∆
=
→∆
lim
0
0
)('
khi
x
∆
đủ nhỏ, ta có thể viết:
xxfxfxxfy
xf
x
xfxxf
x
y
∆=−∆+=∆⇔
=
∆
−∆+
=

∆
∆
).(')()(
)('
)()(
000
0
00
Khi
)('1
0
xfyx
=∆⇒=∆
Vậy đạo hàm biểu diễn xấp xỉ lượng thay đổi của biến số y khi biến số x tăng thêm một đơn vị
Với quan hệ hàm y = f(x), để mô tả sự thay đổi của biến kinh tế y, khi biến kinh tế x thay đổi, ta gọi
)('
0
xf
là giá trị biên tế y tại x
0
(còn gọi là biên tế)
Với mỗi hàm kinh tế, ta có một tên gọi riêng:
Thí dụ:
a. Với hàm doanh thu: TR = p.Q thì
dQ
dTR
được gọi là doanh thu biên tế
b. Với hàm chi phí: TC = f(x), x: sản lượng thì
dx
df

dx
dTC
=
:chi phí biên tế
c. Với hàm sản xuất: Q = f(L), L: lao động thì
dL
df
dL
dQ
=
sản lượng biên tế
II. Một số bài toán ứng dụng trong sản xuất kinh doanh
1. Bài toán giá trị biên
a. Sản lượng biên (Marginal quantity), kí hiệu MQ:
Là số đo đại lượng thay đổi của sản lượng khi lao động ha vốn tăng lên 1 đơn vị.
Thí dụ 1: Giả sử hàm sản xuất của một doang nghiệp là:
Q = f(L) = 5
L
L: số công nhân
Ở mức L = 100 đơn vị lao động = 100 công nhân thì Q = 5
100
= 50 đơn vị sản phẩm.
Sản phẩm biên tế của lao động tại L = 100 là:
5
2 100
dQ
dL
= f’(L) =
5
2 L

=
5
2 100
= 0.25 khi L = 100
Điều này có nghĩa là: khi tăng mức sử dụng lao đông từ 100  101 thì sản lượng sẽ tăng thêm 0.25 đơn
vị sản phẩm.
Thử xét:
Nhận xét:
MQ là một hàm số giảm dần, đến một số lượng công nhân nhất định nào đó, việc tuyển thêm
công nhân không còn hiệu quả, chỉ tăng thêm chi phí.
MQ
Thí dụ 2 : Giả sử hàm sản xuất của 1 doanh nghiệp may mặc:
Q= f(L) = 5 + 7 L:số công nhân
L 100 110 120 150 200 400 1.000
MQ 0.25 0.23 0.22 0.2 0.17 0.125 0.079
0.25
0.17
0.12
100
200
400
Ở mức L=2500 dơn vị lao động = 2500 công nhân thì Q= 355 dơn vị sản phẩm.
Sản phẩm biên tế của lao động tại L=2500 là:
= f’(L) = = = 0.07 khi L= 2500
Điều này có nghĩa là : khi tăng mức sử dụng lao động từ 2500 đến 2501 thì sản lượng tăng 0.07 đơn vị
sản phẩm .
b. Sự thay đổi của giá theo cầu:
Là số đo sự thay đổi của giá khi mức sản lượng tăng lên đơn vị.
Thí dụ 1: Hàm cầu của một sản phẩm: P = 10 – Q
2

, Q là sản lượng, P là giá bán.
Sự thay đổi cuả giá bán theo lượng cầu là: P’ = -2Q. Gỉa sử ở mức Q = 5 đơn vị thì
P’(5) = -10: Nghĩa là khi tăng sản lượng lên 1 đơn vị (từ 5 lên 6), giá giảm 10 đơn vị tiền tệ.
Thí dụ 2: Giả sử 1 shop cửa hàng quần áo có hàm cầu một cái áo :P= 8 -2Q
2
, Q là sản lượng , P
là giá bán.
Sự thay đổi của giá theo lượng cầu :P’ = -4Q.
Giả sử ở mức Q= 10 đơn vị thì P’(10) =-40 nghĩa là khi tăng sản lượng một đơn vị thì giá giảm 40 đơn vị
tiền tệ .
c. Chi phí biên (Marginal cost), kí hiệu MC:
Hàm chi phí: TC = TC(Q)
Chi phí biên là đại lượng đo sự thay đổi của chi phí khi sản lượng Q tăng lên 1đơn vị.
Thí dụ 1: Hàm chi phí một sản phẩm được cho là:
TC = 0.0001Q
3
– 0.02Q
2
+ 5Q + 100
Tìm MC và MC là bao nhiêu khi Q = 50 đơn vị sản lượng ?

dTC
dQ
=
d
dQ
(0.0001Q
3
– 0.02Q
2

+ 5Q + 500)
=0.0003Q
2
– 0.04Q + 5
Khi Q = 50, thì MC = 3.75
Điều này có nghĩa là: Khi sản xuất tăng thêm 1 đơn vị sản lượng (từ 50 lên 51) thì chi phí tăng
thêm 3.75 đơn vị tiền tệ.
Chúng ta tính MC ở một số mức sản lượng khác nhau:
Q 30 40 50 60 70 80 90
MC 4.07 3.88 3.75 3.68 3.67 3.72 3.83
Q 100 120 150 180 200 300 500
MC 4 4.52 5.75 7.52 9 20 60
Nhận xét:
-Chi phí biên là một hàm tăng
-Sản lượng sản xuất càng lớn thì chi phí biên càng lớn.
d. Doanh thu biên (Marginal revenue), kí hiệu MR:
Xét hàm doanh thu: TR = P.Q; P: giá; Q: sản lượng
30 200 300
4.07
9
2
0
Nếu: Q do thị trường quyết định, giá do doanh nghiệp quyết định, thì MR hay giá trị cận biên của
doanh thu là đại lượng đo sự thay đổi của doanh thu khi sản lượng tăng thêm một đơn vị.
Nếu: Q do doanh nghiệp quyết định, P do thị trường quyết định thì MR hay giá trị cận biên cảu
doanh thu là đại lượng đo sự thay đổi cảu doanh thu khi giá tăng 1 đơn vị.
Ví dụ1:
Cho hàm chi phí C =C(Q). giá trị biên của chi phí MC(Q) là đại lượng đo sự thay đổi của chi phí Ckhi Q
tăng lên một đơn vị.
Cho hàm chi phí trung bình để san xuất ra một chiếc máy tính là:

C
= 0.0003Q
2
- 0.001Q + 3 +
200
Q
Tìm giá trị cận biên của chi phí đối với mức sản xuất Q.giá trị cận biên của chi phí là bao nhiêu nếu mức
sản xuất Q =70.
Giải:
Hàm tổng chi phí sản xuất Q đơn vị sản phẩm là:
C =Q.
C
=0.0003Q
3
-0.001Q
2
+3Q+200
Gía trị cận biên của chi phí là:
MC(Q) =
dC
dQ
=0.0009Q
2
-0.002Q +3
Khi Q =70 thì MC(70) =7,72.Như vậy, nếu tăng Q lên một đơn vị từ 70 lên 71 thì chi phí tăng lên
khoảng 7,72 đơn vị.
Ví dụ 2:
Một sản phẩm có hàm cầu là Q=1000-14P, Q là sản lương, P là giá bán.tìm doanh thu biên khi P=10,50.
Ta có hàm doanh thu: TR = PQ =P(1000-14P) =1000P – 14P
2

Có : MR= 1000 – 28P
Với P=10, ta có MR=720 nghĩa là khi tăng giá bán lên từ 10 đến 11 (tăng một đơn vị tiền tệ) thì doanh
thu sẽ tăng 720 đơn vị tiền tệ.
Với P=50, ta có MR=-400 nghĩa là khi tăng giá bán lên mức từ 50 đến 51 thì doanh thu sẽ giảm một mức
400 đơn vị tiền tệ.
Thí dụ 3: Một sản phẩm trên thị trường có hàm cầu là:
Q= 1.000 - 14P, Q là sản lượng, P là giá bán.
Tìm MR khi P = 40 và P = 30
Hàm doanh thu là: TR = PQ = P(1.000 – 14P) = 1.000P – 14P
2
MR = 1.000 – 28 P
*Khi P = 40, MR = 1000 – 28(40) = -120
Nghĩa là khi doanh nghiệp tăng giá từ 40 lên 41 (tăng 1 đơn vị tiền tệ), thì doanh thu sẽ giảm 120
đơn vị tiền tệ.
*Khi P = 30, MR = 1.000 – 28(40) = 160
Nghĩa là khi doanh nghiệp tăng giá từ 30 lên 31 (tăng 1 đơn vị tiền tệ), thì doanh thu sẽ tăng 160
đơn vị tiền tệ.
Ta tính MR ở một số mức khác nhau:
P 30 32 34 35 35.5 36 38 40
MR 120 104 48 20 6 -8 -64 -120
Nhận xét:
- MR là một hàm số giảm,
- Có một mức giá MR = 0.

0

Cũng với thí dụ này Q = 1000 – 14P, chúng ta có thể tính một cách khác
14P = 1.000 – Q  P =
1.000
14

Q−
, khi đó doanh thu là
TR = PQ =
1.000
14
Q
Q
−
 
 ÷
 
=
2
1.000
14
Q Q−
MR =
2
2
d TC
dP
dTR
dQ
=
1.000 2
14
Q Q−
 
 ÷
 

đo lượng thay đổi của
doanh thu khi sản lượng tăng thêm 1 đơn vị.
MR ở một số mức sản lượng như sau:
Q 200 300 400 500 600 700 800
MR 42.8 28.5 14.9 0 -14.9 -28.5 -42.8
Nhận xét:
- MR là một hàm số giảm,
- Có một mức sản lượng MR = 0
MR
-120
30
40
P
120
42.8
MR
-42.8
800
Q
200
500
e. Lợi nhuận biên
Xét hàm lợi nhuận của sản phẩm A:
π
= TR – TC = PQ – (FC + VC(Q)),
Trong đó:
- TR là hàm doach thu;
- TC là hàm chi phí;
- FC là định phí, VC(Q) là biến phí.
Lợi nhuận biên hay lợi nhuận cận biên là số đo sự thay đổi của lợi nhuận khi giá tăng thê một đơn

vị tiền tệ hay sản lượng tăng thêm một đơn vị.
Một doanh nghiệp luôn muốn đạt được lợi nhuận tối đa, có hai cách để lựa chọn:
Cách 1: Gía bán P được xách định theo yêu cầu thị trường, doanh nghiệp ấn định mức sản lượng
sản xuất Q.
Giả định
π
là hàm xác định, liên tục, có đạo hàm đến cấp 2.
Muốn có lợi nhuận tối đa phải thỏa 2 điều kiện:
(1)
d
dQ
π
=
d
dQ
(TR-TC) =
dTR
dQ
-
dTC
dQ
= MR – MC = 0
(2)
2
2
d
dQ
π
=
2

2
d
dQ
(TR – TC) < 0
Từ (1)  MR = MC, nghĩa là doanh thu biên = chi phí biên
Từ (2) 
2
2
d TR
dQ
<
2
2
d TC
dQ
.
Đã biết: Doanh thu biên là hàm giảm, chi phí biên là hàm tăng.
Cách 2: Doanh nghiệp ấn định giá bán P, sản lượng Q được xác định theo yêu cầu thị trường.

π
= TR – TC
d
dP
π
=
d
dP
(TR – TC) =
dTR
dP

-
dTC
dP
= 0 
dTR
dP
=
dTC
dP
(1)
2
2
d
dP
π
=
2
2
d
dP
(TR – TC)<0 
2
2
d TR
dP
<
2
2
d TC
dP

Ta có:
π
cực đại tại MR = MC.
f. Đạo hàm cấp 2 và quy luật lợi ích cận biên giảm dần :
Xét hàm mục tiêu y = f(x)