Tài liệu Các chuyên đề về phương trình lượng giác docx

CHƯƠNG 1: CÔNG THỨC LƯNG GIÁC

I. Đònh nghóa
Trên mặt phẳng Oxy cho đường tròn lượng giác tâm O bán kính R=1 và điểm M
trên đường tròn lượng giác mà sđ

AM = β
với
02≤ β≤ π

Đặt
k2 ,k Zα=β+ π ∈
Ta đònh nghóa:
sin OKα=

cos OHα=

sin
tg
cos
α
α=
α
với
co

s 0α≠
cos
cot g
sin
α

α=
α
với
sin 0α≠
II. Bảng giá trò lượng giác của một số cung (hay góc) đặc biệt

Góc
α

Giá trò
()
o
00

()
o
30
6
π

()
o
45
4
π

()
o
60
3

π

()
o
90
2
π

sin α

0
1
2

2
2

3
2

1
cos
α

1
3
2

2
2

1
2

0
tgα

0
3
3

1
3

||
cot gα

||
3

1
3
3

0

III. Hệ thức cơ bản
22
sin cos 1α+ α=

2
2
1
1tg
cos
+α=
α
với
()
kkZ
2
π
α≠ + π ∈

2
2
1
tcotg
sin
+=
α
với
( )
kkZα≠ π ∈

IV. Cung liên kết (Cách nhớ: cos đối, sin bù, tang sai
π
; phụ chéo)
a. Đối nhau: và
−α

α
( )
sin sin−α = − α

( )
cos cos−α = α

( ) ( )
tg tg−α = − α

( ) ( )
cot g cot g−α = − α


b. Buø nhau: vaø
α π−α
( )
()
()
()
sin sin
cos cos
tg tg
cot
g cot g
π−α = α
π−α =− α
π−α =− α
π−α =− α

c. Sai nhau : vaø
π+

π
α α
( )
()
()
()
sin sin
cos cos
tg t g
cot
g cot g
π+α =− α
π+α =− α
π+α = α
π+α = α

d. Phuï nhau: vaø
α
2
π
−α

sin cos
2
cos sin
2

t
g cot g
2
cot
g tg
2
π
⎛⎞
−α = α
⎜⎟
⎝⎠
π
⎛⎞
−α = α
⎜⎟
⎝⎠
π
⎛⎞
−α = α
⎜⎟
⎝⎠
π
⎛⎞
−α = α
⎜⎟
⎝⎠


e.Sai nhau
2

π
:
α
vaø
2
π
+α

sin cos
2
cos sin
2
t
g cot g
2
cot
g tg
2
π
⎛⎞
+α = α
⎜⎟
⎝⎠
π
⎛⎞
+α =− α
⎜⎟
⎝⎠
π
⎛⎞

+α =− α
⎜⎟
⎝⎠
π
⎛⎞
+α =− α
⎜⎟
⎝⎠

f.

()()
()()
()
()
+π=− ∈
+π=− ∈
+π= ∈
+π=
k
k
sin x k 1 sin x, k Z
cos x k 1 cosx,k Z
tg x k tgx, k Z
cot g x k cot gx


V. Công thức cộng
( )
()

()
sin a b sinacos b sin b cosa
cos a b cosa cos b sin asin b
tga tgb
tg a b
1tgatgb
±= ±
±=
±
±=
m
m


VI. Công thức nhân đôi
=
=−=− =
=
−
−
=
22 2 2
2
2
sin 2a 2sin acosa
cos2a cos a sin a 1 2sin a 2cos a 1
2tga
tg2a
1tga
cot g a 1

cotg2a
2cotga
−


VII. Công thức nhân ba:
3
3
sin 3a 3sin a 4sin a
cos3a 4 cos a 3cos a
=−
=−


VIII. Công thức hạ bậc:
()
()
2
2
2
1
sin a 1 cos2a
2
1
cos a 1 cos 2a
2
1cos2a
tg a
1cos2a
=−

=+
−
=
+


IX. Công thức chia đôi
Đặt
a
tt
g
2
=
(với
ak
)
2≠π+ π
2
2
2
2
2t
sin a
1t
1t
cos a
1t
2t
tga
1t

=
+
−
=
+
=
−


X. Công thức biến đổi tổng thành tích
()
()
ab ab
cosa cosb 2 cos cos
22
ab ab
cosa cosb 2sin sin
22
ab ab
sina sinb 2cos sin
22
ab ab
sin a sin b 2 cos sin
22
sin a b
tga tgb
cosacos b
sin b a
cot ga cot gb
sin a.sin b

+−
+=
+−
−=−
+−
+=
+−
−=
±
±=
±
±=


XI. Công thức biển đổi tích thành tổng
() ()
() ()
()()
1
cosa.cos b cos a b cos a b
2
1
sin a.sin b cos a b cos a b
2
1
sin a.cos b sin a b sin a b
2
=⎡ + + −⎤
⎣⎦
−

=⎡ +− −
⎣⎦
=⎡ + + −⎤
⎣⎦
⎤


Bài 1: Chứng minh
44
66
sin a cos a 1 2
sin a cos a 1 3
+−
=
+−

Ta có:
( )
2
44 22 22 2
sin a cos a 1 sin a cos a 2sin a cos a 1 2sin acos a+−= + − −=−
2

Và:
( )( )
()
66 224224
4422
22 22
22

sin a cos a 1 sin a cos a sin a sin acos a cos a 1
sin a cos a sin acos a 1
1 2sinacosa sinacosa 1
3sin acos a
+−= + − +
=+ − −
=− − −
=−
−

Do đó:
44 22
66 22
sin a cos a 1 2sin acos a 2
sin a cos a 1 3sin acos a 3
+−−
==
+−−


Bài 2: Rút gọn biểu thức
()
2
2
1cosx
1cosx
A1
sin x sin x
⎡ ⎤
−

+
==+
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦

Tính giá trò A nếu
1
cosx
2
=−
và
x
2
π
< <π

Ta có:
22
2
1cosxsinx12cosxcosx
A
sin x sin x
⎛⎞
++−+
=
⎜⎟
⎝⎠

( )

2
21 cosx
1cosx
A.
sin x sin x
−
+
⇔=

( )
2
2
33
21 cosx
2sin x 2
A
sin x sin x sinx
−
⇔= = =
(với
sin x 0
≠
)
Ta có:
22
13
sin x 1 cos x 1
44
= −=−=

Do:
x
2
π
<<π
nên
sin

x 0
>
Vậy
3
sin x
2
=

Do đó
244
A
sin x 3
3
===
3


Bài 3: Chứng minh các biểu thức sau đây không phụ thuộc x:
a.
4422
A 2cos x sin x sin x cos x 3sin x=−+ +
2

b.
2cotgx
B
tgx1 cotgx1
+
=+
−−
1


a. Ta có:
4422
A 2cos x sin x sin x cos x 3sin x=−+ +
2

( ) ( ) ( )
()
2
42 22 2
42424
A 2cos x 1 cos x 1 cos x cos x 3 1 cos x
A 2cos x 1 2cos x cos x cos x cos x 3 3cos x
⇔= −− +− + −
⇔= −− + + − +−
2

A2⇔=
(không phụ thuộc x)

b. Với điều kiện

sin x.cosx 0,tgx1≠ ≠

Ta có:
2cotgx
B
tgx1 cotgx1
1
+
=+
−−

1
1
221t
gx
tgx
B
1
t
gx1 tgx11tgx
1
tgx
+
+
⇔= + = +
−−
−
−

( )
21tgx
1tgx
B1
tgx 1 tgx 1
−−
−
⇔= = =−
−−
(không phụ thuộc vào x)

Bài 4: Chứng minh
()
2
22
22
222
1cosa
1cosa cosbsinc
1cot
g bcotg ccotga1
2sina sin a sin bsin c
⎡⎤
−
+−
− +−=
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
−

Ta có:
*
22
22
22
cos b sin c
cot
g b.cot g c
sin b.sin c
−
−

2
22
22
cotg b1
cot
g bcotg c
sin c sin b
=−−

( ) ( )
22 222
cot g b1 cotg c1cotg bcotg bcotg c
=+−+−
1
=−
(1)
*

()
2
2
1cosa
1cosa
1
2sina sin a
⎡⎤
−
+
−
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦

()
2
2
1cosa
1cosa
1
2sina 1 cos a
⎡⎤
−
+
=−
⎢⎥
−
⎢⎥
⎣⎦

1cosa 1cosa
1
2sina 1 cosa
+−
⎡⎤
=−
⎢⎥
+
⎣⎦

1cosa2cosa
.cot
ga
2sina 1 cosa
+
==
+
(2)
Lấy (1) + (2) ta được điều phải chứng minh xong.

Bài 5: Cho tùy ý với ba góc đều là nhọn.
ABC
Δ
Tìm giá trò nhỏ nhất của
PtgA.tgB.tgC=


Ta có:
AB C+=π−

Nên:
( )
tg A B tgC
+=−

tgA tgB
tgC
1 tgA.tgB
+
⇔=
−
−

tgAtgBtgCtgA.tgB.tgC⇔+=−+

Vậy:
PtgA.tgB.tgCtgAtgBtgC==++

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương
tgA,tgB, tgC
ta được
3
tgA tgB tgC 3 tgA.tgB.tgC
++≥

3
P3P⇔≥

32
P3

P33
⇔≥
⇔≥

Dấu “=” xảy ra
==
⎧
π
⎪
⇔⇔=
⎨
π
<<
⎪
⎩
tgA tgB tgC
ABC
3
0A,B,C
2
==

Do đó:
MinP 3 3 A B C
3
π
= ⇔===

Bài 6 : Tìm giá trò lớn nhất và nhỏ nhất của
a/

84
y2sinxcos2x=+
b/
4
ysinxcos=−x

a/ Ta có :
4
4
1cos2x
y2 cos2x
2
−
⎛⎞
=+
⎜⎟
⎝⎠

Đặt với thì
tcos2x= 1t1−≤ ≤
()
4
4
1
y1t
8
=−+t

=>
()

3
3
1
y' 1 t 4t
2
=− − +

Ta có : Ù
()

y' 0
=
3
3
1t 8t−=
⇔
1t

2t−=
⇔

1
t
3
=

Ta có y(1) = 1; y(-1) = 3;
11
y
32

⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠
7

Do đó :
∈
=
x
y3
Max
và
∈
=
x
1
y
Min
27


b/ Do điều kiện :
sin
và
co
nên miền xác đònh
x 0≥ s x 0≥
π
⎡⎤

=π+π
⎢⎥
⎣⎦
Dk2, k2
2
với
∈ k

Đặt
tcos= x
x
với thì
0t1≤≤
42 2
tcosx1sin
==−
Nên
4
sin x 1 t=−

Vậy
8
4
y1t=−−t
trên
[ ]
D' 0,1=

Thì
()

−
=−<
−
3
7
4
8
t
y' 1 0
2. 1 t

[
)
t0;1∀∈

Nên y giảm trên [ 0, 1 ]. Vậy :
( )
∈
= =
xD
max y y 0 1,

( )
∈
= =−
xD
min y y 1 1


Bài 7: Cho hàm số

44
ysinxcosx2msinxcos=+− x

Tìm giá trò m để y xác đònh với mọi x

Xét
44
f (x) sin x cos x 2m sin x cos x=+−
()
()
2
22 2
fx sinx cosx msin2x 2sinxcosx=+ − −
2

()
2
1
f x 1 sin 2x m sin 2x
2
=− −

Đặt : với
tsin2x=
[ ]
t1,∈− 1

y xác đònh
⇔

x∀
()
fx 0x R≥∀∈
⇔

2
1
1tmt0
2
−−≥
[

]
t1,1−∀∈

⇔

()
2
gt t 2mt 2 0=+ −≤
[ ]
t1,∀∈− 1
t

Do nên g(t) có 2 nghiệm phân biệt t
1
, t
2

2

'm 20
Δ= + >
m∀
Lúc đó t t
1
t
2

g(t) + 0 - 0
Do đó : yêu cầu bài toán
⇔

12
t11≤ −< ≤

⇔

⇔

()
()
1g 1 0
1g 1 0
−≤
⎧
⎪
⎨
≤
⎪
⎩

2m 1 0
2m 1 0
−−≤
⎧
⎨
−≤
⎩
⇔

1
m
2
1
m
2
−
⎧
≥
⎪
⎪
⎨
⎪
≤
⎪
⎩

⇔

11
m

22
−≤ ≤

Cách khác :



gt

()
2
t 2mt 2 0=+ −≤
[ ]
t1,1−∀∈


{ }
[,]
max ( ) max ( ), ( )
t
gt g g
∈−
⇔≤

⇔−≤
11
0110

{ }
max ), )mm⇔−−−+≤21210

⇔

1
m
2
1
m
2
−
⎧
≥
⎪
⎪
⎨

⎪
≤
⎪
⎩
m⇔− ≤ ≤
11
22


Bài 8 : Chứng minh
4444
357
A sin sin sin sin
16 16 16 16 2
π πππ

=+++
3
=

Ta có :
7
sin

sin cos
16 2 16 16
πππ π
⎛⎞
=−=
⎜⎟
⎝⎠
πππ
⎛⎞
=−=
⎜⎟
⎝⎠
55
sin cos cos
16 2 16 16
π3

Mặt khác :
( )
2
44 22 22
cos sin cos 2sin cosα+ α= α+ α − α αsin

22
12sin cos
= −αα


2
1
1sin2
2
= −α

Do ủoự :
4444
73
A sin sin sin sin
16 16 16 16

=+++
5


44 44
33
sin cos sin cos
16 16 16 16


=+++

22
11
1sin 1sin
28 2 8


= +


3





22
13
2 sin sin
28 8


= +

22
1
2sincos
28 8


= +




=

3
do sin cos
88




13
2
22
= =

Baứi 9 : Chửựng minh :
oooo
16 sin 10 .sin 30 . sin 50 . sin 70 1
=

Ta coự :
o
o
Acos10 1
A
cos10 cos 10
==
o
(16sin10
o
cos10
o
)sin30
o
.sin50
o
.sin70
o



()
oo
o
11

o
A 8sin20 cos40 .cos20
2
cos10

=





()
0o
o
1
o
A 4sin20 cos20 .cos40
cos10
=



()
oo
o
1
A 2sin40 cos40
cos10
=

o
o
oo
1cos10
A sin 80 1
cos10 cos10
===


Baứi 10 : Cho
ABC
. Chửựng minh :
A BBCCA
tg tg tg tg tg tg 1
22 22 22
+ +=

Ta coự :
A BC
22
+
2
=

Vaọy :
A BC
tg cot g
22

+
=



A B
tg tg
1
22
A BC
1tg .tg tg
22 2
+
=




A BC A
tg tg tg 1 tg tg
222 2

+=


B
2

A CBCAB
tg tg tg tg tg tg 1
22 22 22
++ =


Baứi 11 :
Chửựng minh :
()

++ +=84tg 2tg tg cotg *
81632 32

1
t+
111ABC A B C
tg tg tg cot g co g cot g
sin A sin B sin C 2 2 2 2 2 2 2
⎡⎤
+= +++ + +
⎢⎥
⎣⎦

A BC AB
cotg cotg cotg cotg .cotg .cotg
22222
++=
Ta có :
C
2

(Xem chứng minh bài 19g )
Mặt khác :
sin cos 2
tg cot g
cos sin sin 2
α α
α+ α= + =
α αα

1A B C A B C
tg tg tg cotg cotg cotg
22 2 2 2 2 2
⎡⎤
+++ + +
⎢⎥
⎣⎦
Do đó :
1A B C1 A
cotg
⎡
+
⎢
B C
tg tg tg cotg cotg
2 22 2 2 2
⎡⎤ ⎤
=+++ +
⎢⎥ ⎥
⎣⎦⎣ ⎦

22
1A A1B B1C C
tg cot g tg cot g tg cot g
22 222 222 2
⎡⎤⎡⎤⎡
=+ ++ ++
⎢⎥⎢⎥⎢
⎣⎦⎣⎦⎣

⎤
⎥
⎦
111
sin A sin B sin C
=++


BÀI TẬP

1. Chứng minh :
a/
21
cos cos
55
ππ
−=

2
b/
oo

oo
cos15 sin15
3
cos15 sin15
+
=
−

246
cos cos cos
777
πππ
++=
c/
1
2
−
d/
3
+=
33
sin 2x sin 6x cos 2x.cos 6x cos 4x

oooo
tg20 .tg40 .tg60 .tg80 3=
e/
ππππ
+++=
25 π3
tg tg tg cos

6918339

8
tg
f/
7
2345671
os .cos .cos .cos .cos .cos .cos
15 15 15 15 15 15 15 2
πππ πππ
=

c
π
g/
h/
tgx.tg x .tg
π
⎡⎤
−
⎢⎥
x tg3x
33
π
⎡⎤
+=
⎢⎥
⎣⎦⎣⎦

k/

oo oo
tg20 tg40 3tg20 .tg40 3++ =

ooo
3
sin20 .sin40 .sin80
e/
8
=

m/
oooo
tg5 .tg55 .tg65 .tg75 1=

( )
2. Chứng minh rằng nếu
()
(
xy 2k1 kz
2
π
+≠ + ∈
⎪
⎩
)
x y+

thì
sin x 2sin=⎧
⎪

⎨
sin
()
cos
y
tg x y
y
+=
−
2

3. Cho có 3 góc đều nhọn và
A BC≥≥

ABCΔ
a/ Chứng minh : tgA + tgB + tgC = tgA.tgB.tgC
b/ Đ
Chứng minh (p-1)(q-1)
ặt tgA.tgB = p; tgA.tgC = q
4
4. Chứng minh các biểu thức không phụ thuộc x :
a/
≥
( ) ( )
424222
A sin x 1 sin x cos x 1 cos x 5sin x cos x 1=++++

+
()( )
88 6 6

B 3 sin x cos x 4 cos x 2sin x 6sin x=−+−+
b/
4
c/
() () ( ) ( )(
22
C cos x a sin x b 2 cos x a sin x b sin a b=−+−−−−−

)
5. Cho , chứng minh :
ABCΔ
cosC cos B
cot
a/
gB cot gC
sinBcosA sinCcosA
+=+

b/
333
A BC
C 3 cos cos cos co
3A3B3C
s cos cos
222 2 2 2
= +

sin A sin B sin++
A BC B AC
sin A sin B si

c/
n C scos .co cos .cos
22 22
− −
++ +

=
CA
cos .co
B
22
−
s+

otgAcotgB + cotgBcotgC + cotgC otgA = 1
s C 1 2cos A cos B cos C
=−

in3Asin(B- C)+ sin3Bsin(C- A)+ sin3Csin(A- B) = 0
6. Tìm giá trò nhỏ nhất của :
d/ c c
e/
22
cos A cos B co
++
2
f/ s
11
y
sin x cos x

=+
với
0x
2
π
< <
a/
π
=++
9
y4x sinx
x
với
0x< <∞
b/
2
y2sinx4sinxcosx 5=+ +
c/
7. Tìm giá trò lớn nhất của :
a/
y sin x cos x cos x sin x=+

b/ y = sinx + 3sin2x
c/
2
ycosx 2cosx=+−

TT luyện thi đại học CLC Vĩnh Viễn
Chương 2: PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC CƠ BẢN

=+ π
⎡
=⇔
⎢
=π− + π
⎣
uvk2
sin u sin v
uvk2

cos u cos v u v k2
=⇔=±+π

π
⎧
≠+π
⎪
=⇔
⎨
⎪
=+ π
⎩
uk
tgu tgv
2
uvk'

( )

k, k ' Z∈

uk
cot gu cot gv
uvk'
≠π
⎧
=⇔
⎨
=+ π
⎩


Đặc biệt :
si

n u 0 u k
=⇔=π
π
= ⇔=+πco

s u 0 u k
2
(
sin u 1 u k2 k Z
2
π
=⇔= + π ∈
)

cos u 1 u k2
= ⇔= π

()

kZ∈
sin u 1 u k2
2
π
=− ⇔ =− + π

cos u 1 u k2
= −⇔ =π+ π

Chú ý :
sin u 0 cos u 1
≠⇔ ≠±
cos u 0 sin u 1
≠⇔ ≠±


Bài 28 : (Đề thi tuyển sinh Đại học khối D, năm 2002)
[ ]
x0,14∈
nghiệm đúng phương trình Tìm
( )
cos 3x 4 cos 2x 3 cos x 4 0 *−+−=

Ta có (*) :
⇔

()( )
32
4 cos x 3cos x 4 2 cos x 1 3cos x 4 0
− −−+−=

⇔

32
4cos x 8cos x 0
− =

⇔

( )
2
4cos x cosx 2 0− =

⇔

( )
==cosx 0hay cosx 2 loại vìcosx 1≤

⇔

()
xkk
2
π
=+π∈Z

Ta có :
[]
x0,14 0 k 1
2
4
π
∈⇔≤+π≤

⇔

k14
22
ππ
−≤π≤ −

⇔

1141
0, 5 k 3, 9
22
−=−≤≤−≈
π

Mà
k
nên
Z∈
{ }
k

. Do đó :
0,1,2,3∈
357
x ,,,
2222
π πππ
⎧ ⎫
∈
⎨ ⎬
⎩⎭

Bài 29 : (Đề thi tuyển sinh Đại học khối D, năm 2004)
Giải phương trình :
()( ) ( )
2cos x 1 2sin x cos x sin 2x sin x *−+=−


Ta có (*)
⇔

()( ) ( )
−+=2cos x 1 2 sin x cos x sin x 2 cos x 1−

⇔

()( )
2cos x 1 2sin x cos x sin x 0
− +−
⎡⎤
⎣⎦

=
)

⇔

()(
2cosx 1 sinx cosx 0− +=

⇔

1
cos x sin x cos x
2
=∨ =−

⇔

cos x cos tgx 1 tg
34
ππ
⎛⎞
=∨=−=−
⎜⎟
⎝⎠

⇔

()
ππ
=± + π∨ =− + π ∈xk2xk,k

34
Z


Bài 30 : Giải phương trình
+ ++=
cos x cos2x cos 3x cos 4x 0 (*)

Ta có (*)
⇔
()( )
cos x cos 4x cos 2x cos 3x 0+++=

⇔

5x 3x 5x x
2cos .cos 2 cos .cos 0
22 22
+=

⇔

5x 3x x
2cos cos cos 0
22 2
⎛⎞
+=
⎜⎟
⎝⎠

⇔

5x x
4 cos cos x cos 0
22
=

⇔

5x x
cos 0 cos x 0 cos 0
22
= ∨=∨ =

⇔

ππ π
=+π∨=+π∨=+π
5x x
kx k k
22 2 22

⇔

()
ππ π
=+ ∨=+π∨=π+π ∈
2k
xxkx2,
55 2

kZ


Bài 31: Giải phương trình
( )
22 2 2
sin x sin 3x cos 2x cos 4x *+=+

Ta có (*)
⇔

()()()()
1111
1 cos 2x 1 cos 6x 1 cos4x 1 cos 8x
2222
−+−=+++

⇔

()
cos2x cos6x cos4x cos8x−+ =+
⇔

2cos 4x cos 2x 2 cos 6x cos 2x
−=
⇔

( )
2cos2x cos 6x cos4x 0+=

⇔

4 cos 2x cos5x cos x 0
=

⇔

cos 2x 0 cos5x 0 cos x 0
= ∨=∨=

⇔

ππ π
=+π∨ +π∨=+π∈
2x k 5x k x k , k
22 2

⇔

ππ π π π
=+ ∨= + ∨=+πk
kk
xx x
42 105 2

∈
,k

Bài 32 : Cho phương trình
()

π
⎛⎞
−= −−
⎜⎟
⎝⎠
22
x7
sin x.cos 4x sin 2x 4 sin *
42 2

Tìm các nghiệm của phương trình thỏa:
− <x1 3

Ta có : (*)
⇔

()
17
sin x.cos4x 1 cos4x 2 1 cos x
22
⎡π⎤
⎛⎞
2
− −=−−
⎜⎟
⎢⎥
⎝⎠
⎣⎦
−

⇔

−+ =−−
11 3
sin x cos 4x cos 4x 2 sin x
22 2

⇔

1
sin x cos 4x cos 4x 1 2sin x 0
2
+++=

⇔

⎛⎞⎛⎞
++ +=
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
11
cos 4x sin x 2 sin x 0
22

⇔

()
1
cos 4x 2 sin x 0
2

⎛⎞
+ +=
⎜⎟
⎝⎠

⇔

()
cos 4x 2 loại
1
sin x sin
26
=−⎡
⎢
π
⎛
⎢
=− = −
⎜⎟
⎢
⎝⎠
⎣
⎞

⇔

π
⎡
= −+ π
⎢

⎢
π
⎢
= +π
⎢
⎣
xk
6
7
x2
6
2
h

Ta có :
− <x1 3

⇔

⇔

3x13
−< − <
2x4− <<

Vậy :
2k2
6
π
−<− + π<4

⇔

22k 4
66
ππ
−< π<+

⇔

11 21
k
12 12
−<<+
ππ

Do
k
nên k = 0. Vậy
Z∈
x
6
π
= −

π
−< + π<
7
2h2
6

4


⇔

π π
−− < π< − ⇔− − < < −
π π
77172
2h24 h
6612
7
12

⇒
h = 0
⇒
π
=
7
x
6
.Tóm lại
−ππ
==
7
xhayx
66

Cách khác :

−π
=− ⇔ = − + π ∈

k
1
sin x x ( 1) k , k
26

Vậy :
−π − −
−<− +π< ⇔ <− + <
π π
kk
21
2(1) k 4 (1) k
66
4

⇔
k=0 và k = 1. Tương ứng với
−ππ
==
7
xhayx
66


Bài 33 : Giải phương trình
( )
33 3

sin x cos 3x cos x sin 3x sin 4x *+=

Ta có : (*)
⇔

()( )
33 3 3 3
sin x 4 cos x 3 cos x cos x 3sin x 4 sin x sin 4x−+ − =

⇔

33 3 3 33 3
4 sin x cos x 3sin x cos x 3sin x cos x 4 sin x cos x sin 4x
−+− =
⇔

()
22 3
3sin x cos x cos x sin x sin 4x−=
⇔

3
3
sin 2x cos 2x sin 4x
2
=

⇔

3

3
sin 4x sin 4x
4
=

⇔

3
3sin 4x 4 sin 4x 0
− =

⇔
sin12x = 0
⇔

⇔

12x k
=π
()
k
xk
12
Z
π
=∈

Bài 34 : (Đề thi tuyển sinh Đại học khối B, năm 2002)
Giải phương trình :
( )

22 22
sin 3x cos 4x sin 5x cos 6a *−=−

Ta có : (*)
⇔

()()()()
11 1 1
1 cos 6x 1 cos 8x 1 cos10x 1 cos12x
22 2 2
−−+=− −+

⇔

cos 6x cos8x cos10x cos12x
+= +
⇔

2cos7xcosx 2cos11xcosx
=
⇔

( )
2cos x cos7x cos11x 0−=

⇔

cos x 0 cos7x cos11x
=∨ =
⇔

π
=+π∨ =± + πxk7x11xk
2
2

⇔

πππ
=+π∨=− ∨= ∈

kk
xkx x,k
229

Bài 35 : Giải phương trình
()()
sin x sin 3x sin 2x cos x cos 3x cos 2x++=++

⇔

2sin 2x cos x sin 2x 2cos 2x cos x cos 2x
+= +
⇔

()( )
+= +sin 2x 2 cos x 1 cos 2x 2 cos x 1

⇔

()( )
2cos x 1 sin 2x cos2x 0+ −=

⇔

12
cos x cos sin 2x cos 2x
23
π
=− = ∨ =

⇔

2
xk2tg2x1
34
tg
π π
=± + π∨ = =

⇔

()
π ππ
=± + π∨ = + ∈
2
xk2xk,k
382
Z

Bài 36: Giải phương trình
( )
++ =+
23
cos10x 2 cos 4x 6 cos 3x. cos x cos x 8 cos x.cos 3x *

Ta có : (*)
⇔

( )
( )
3
cos10x 1 cos8x cos x 2cos x 4 cos 3x 3cos 3x++ = + −

⇔

()
cos10x cos 8x 1 cos x 2 cos x.cos 9x++=+
⇔

2cos 9x cos x 1 cos x 2cos x.cos 9x
+= +
⇔

cos x 1
=
⇔

( )

xk2kZ=π∈


Bài 37 : Giải phương trình
( )
33 2
4 sin x 3cos x 3sin x sin x cos x 0 *+−− =

Ta có : (*)
⇔

()( )
22
sin x 4 sin x 3 cos x sin x 3cos x 0
2
− −−=

⇔

() ( )
⎡⎤
−− − − =
⎣⎦
22
sin x 4 sin x 3 cos x sin x 3 1 sin x 0
2
=
=

⇔

()
()
2
4sin x 3 sinx cosx 0−−
⇔

()( )
2 1 cos 2x 3 sin x cos x 0
−− −
⎡⎤
⎣⎦
⇔

12
cos 2x cos
23
sin x cos x
π
⎡
=− =
⎢
⎢
=
⎣

⇔

2
2x k2

3
tgx 1
π
⎡
=± + π
⎢
⎢
=
⎣

⇔

xk
3
xk
4
π
⎡
= ±+π
⎢
⎢
π
⎢
= +π
⎢
⎣

( )
kZ∈

Bài 38 : (Đề thi tuyển sinh Đại học khối B năm 2005)
Giải phương trình :
( )
sin x cos x 1 sin 2x cos 2x 0 *+++ + =

Ta có : (*)
⇔

2
sin x cos x 2sin x cos x 2 cos x 0
++ + =
⇔

( )
sin x cos x 2 cos x sin x cos x 0++ + =

⇔

()(
sin x cos x 1 2 cos x 0++
)
=
⇔

sin x cos x
12
cos 2x cos
23
=−

⎡
⎢
π
⎢
=− =
⎣

⇔

tgx 1
2
xk
3
=−
⎡
⎢
π
⎢
=± + π
⎣
2

⇔

xk
4
2
xk2
3
π

⎡
=− + π
⎢
⎢
π
⎢
=± + π
⎢
⎣
()
kZ∈


Bài 39 : Giải phương trình
()( ) ( )
2
2sinx 1 3cos4x 2sinx 4 4cos x 3 *++−+=

Ta có : (*)
⇔

()( )
( )
2
2sinx 1 3cos4x 2sinx 4 4 1 sin x 3 0
++−+−−=

⇔

()( )( )( )

2sinx 1 3cos4x 2sinx 4 1 2sinx 1 2sinx 0+ +−++ − =

⇔

() ( )
2sinx 1 3cos4x 2sinx 4 1 2sinx 0+ +−+−
⎡⎤
⎣⎦
=
=

⇔

()()
3cos4x 1 2sinx 1 0−+
⇔

1
cos 4x 1 sin x sin
26
π
⎛⎞
=∨ =− = −
⎜⎟
⎝⎠

⇔

ππ
=π∨=−+π∨= +

7
4x k2 x k2 x k2
66
π

⇔

()
ππ π
= ∨=−+π∨= +π ∈
k7
xxk2xk2,k
26 6
Z


Bài 40: Giải phương trình
()
( )
+= +
66 8 8
sin x cos x 2 sin x cos x *

Ta có : (*)
⇔
6868
sin x 2 sin x cos x 2 cos x 0
−+−=

⇔

()( )
6262
sin x 1 2 sin x cos x 2 cos x 1 0
−− −=

⇔

−=
66
sin x cos 2x cos x.cos 2x 0
⇔

()
66
cos 2x sin x cos x 0
−=
⇔

66
cos 2x 0 sin x cos x
=∨ =
⇔

6
cos 2x 0 tg x 1
= ∨=

⇔

()
2x 2k 1 tgx 1
2
π
=+∨=±

⇔

()
x2k1 x k
44
ππ
=+∨=±+π

⇔

k
x
42
ππ
=+
,k
∈



Bài 41 : Giải phương trình
()
1
cosx.cos2x.cos4x.cos8x *

16
=

Ta thấy
xk
= π
không là nghiệm của (*) vì lúc đó
cos x 1, cos 2x cos 4x cos 8x 1
=± = = =

(*) thành :
1
1
16
±=
vô nghiệm
Nhân 2 vế của (*) cho
16sin x 0
≠
ta được
(*)
⇔
và
()
16sinxcosx cos2x.cos4x.cos8x sinx=
sin x 0
≠
⇔
và
()

8sin 2x cos 2x cos4x.cos 8x sin x=
sin x 0
≠

⇔
và
si
()
4sin4xcos4x cos8x sinx=
n x 0
≠

⇔
và
2sin8xcos8x sinx
=
sin x 0
≠

⇔

sin16x sin x
=
và
sin x 0
≠

⇔
()
πππ

=∨=+ ∈
k2 k
xx ,k
15 17 17
Z

Do : không là nghiệm nên
=π
xh
≠
k 15m
và
()
+≠ ∈2k 1 17n n, m Z

Bài 42: Giải phương trình
()
3
8cos x cos 3x *
3
π
+=
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠

Đặt
tx xt
33
ππ

=+⇔=−

Thì
()( )
cos 3x cos 3t cos 3t cos 3t=−π=π−=−

Vậy (*) thành
=−
3
8cos t cos3t
⇔

33
8cos t 4cos t 3cost
=− +
⇔
3
12 cos t 3 cos t 0
− =

⇔

()
2
3cost 4cos t 1 0−=
⇔

()
3 cos t 2 1 cos 2t 1 0
+−

⎡⎤
⎣⎦
=
⇔

()
cos t 2 cos 2t 1 0+=
⇔
12
cos t 0 cos 2t cos
23
π
=∨ =−=

⇔
()
ππ
=+∨=±+
2
t2k1 2t k2
23
π

⇔
ππ
=+π∨=±+πtkt
23
k

Mà

xt
3
π
=−

Vậy (*)
⇔

()
ππ
=+ π∨=π∨= +π ∈
2
xk2xkx k,vớik
63
Z

Ghi chú :
Khi giải các phương trình lượng giác có chứa tgu, cotgu, có ẩn ở mẫu, hay
chứa căn bậc chẵn... ta phải đặt điều kiện để phương trình xác đònh. Ta sẽ
dùng các cách sau đây để kiểm tra điều kiện xem có nhận nghiệm hay
không.
+ Thay các giá trò x tìm được vào điều kiện thử lại xem có thỏa
Hoặc + Biểu diễn các ngọn cung điều kiện và các ngọn cung tìm được trên cùng
một đường tròn lượng giác. Ta sẽ loại bỏ ngọn cung của nghiệm khi có
trùng với ngọn cung của điều kiện.
Hoặc + So vơi các điều kiện trong quá trình giải phương trình.

Bài 43 : Giải phương trình
( )
2

tg x tgx.tg3x 2 *−=

Điều kiện
3
cos x 0
cos 3x 4 cos x 3 cos x 0
≠
⎧
⎨
=−≠
⎩
ππ
⇔≠⇔≠+
h
cos3x 0 x
63

Lúc đó ta có (*)
⇔
()
tgx tgx tg3x 2− =

⇔
sin x sin x sin 3x
2
cos x cos x cos 3x
⎛⎞
−=
⎜⎟
⎝⎠

⇔

()
2
sin x sin x cos 3x cos x sin 3x 2 cos x cos 3x−=
⇔
( )
2
sin x sin 2x 2 cos x. cos 3x−=

⇔

22
2sin xcosx 2cos xcos3x
−=
⇔
(do
cos
2
sin x cos x cos 3x
−=
x 0
≠
)
⇔
()()
11
1cos2x cos4xcos2x
22

−− = +

⇔

cos 4x 1 4x k2
= −⇔ =π+ π






,3
3
1. Tỡm caực nghieọm treõn cuỷa phửụng trỡnh:



+ =+

57
sin 2x 3cos x 1 2 sin x
22





. Tỡm caực nghieọm x treõn

2

2

0,
cuỷa phửụng trỡnh
4x cos 6x sin 10, 5 10x
3. Giaỷi caực phửụng trỡnh sau:
x cos x 2 sin x s x
+= +


sin

()
= +
22
a/
sin co
()
33 55
b/
sin x sin 2x sin 3x
3
cos x cos 2x cos 3x
++
=
++

c/
2
1cosx
tg x
1sinx
+
=


d/
tg2x tg3x tg5x tg2x.tg3x.tg5x
=

e/
2
4
cos x cos x
3
=

f/
11
22sinx
4sinxcosx


+= +

2
i/
2tgx cot g2x 3
sin 2x
+=+

h/
2
3tg3x cot g2x 2tgx
sin 4x
+=+

k/
=
22 2
sin x sin 2x sin 3x 2++

l/
si 2n x
2cosx 0
inx
+
1s
=
+

m/
()
2

25 4x 3sin 2 x 8sin x 0+

=
n/
sin x.cot g5x
1
cos 9x
=

o/
2
3tg6x 2tg2x cot g4x
sin 8x
=

p/
()
2
2sin3x 1 4sin x 1
=

q/
2
1cosx
tg
+
x
1sinx
=

r/
3
c x 3
3
2
os cos 3x sin x sin x
4
+=

s/
44
xx5
sin cos
338

+ =



t/
=
33 2
cos x 4 sin x 3 cos x sin x sin x 0 +

u/
44
xx
sin cos 1 2sin x
22

+=

v/
s 3in x sin 2x.sin x
44
π π
⎛⎞ ⎛⎞
−= +
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠

⎝⎠
w/
()
2
4
4
2 sin x sin 3x
tg x 1
cos x
−
+=

2
x
y/
tgx cos x cos+−x sin x 1 tg tgx
2
⎛⎞
= +

⎠

.
⎜⎟
⎝
4 Cho phương trình:
()( )(
2
)
2s x m 3 4cos x 1++=−

a/ Giải phương trình khi m = 1
2sinx 1 2cos2x in−
[ ]
0, π
b/ Tìm m để (1) có đúng 2 nghiệm trên
m0m 1m3
= ∨<−∨
( ĐS:
>
)

5. Cho phương trình:
( )
5
4cos xs
52
inx 4sin x.cosx sin 4x m 1−=+

Biết rằng

x = π
là một nghiệm của (1). Hãy giải phương trình trong trường
hợp đó.

Th.S Phạm Hồng Danh
TT luyện thi Đại học CLC Vĩnh Viễn

LƯỢNG GIÁC


CHƯƠNG III: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI CÁC HÀM SỐ LƯNG GIÁC

( )
()
()
()
++= ≠
++= ≠
+== ≠
++=
2
2
2
2
asin u bsinu c 0 a 0
acos u bcosu c 0 a 0
atg u btgu c 0 a 0
a cot g u b cot gu c 0 a 0≠

Cách giải:
Đặt : hay với
tsinu
=
tcosu=
t1≤

(điều kiện
ttgu=
uk
2
π
≠ +π
)
(điều kiện
tcotgu=
uk
≠ π
)
Các phương trình trên thành:
2
at bt c 0+ +=

Giải phương trình tìm được t, so với điều kiện để nhận nghiệm t.
Từ đó giải phương trình lượng giác cơ bản tìm được u.


Bài 56: (Đề thi tuyển sinh Đại học khối A, năm 2002)
Tìm các nghiệm trên
(

của phương trình
)
0, 2π
()
cos 3x sin 3x
5sinx 3 cos2x*
12sin2x
+
⎛⎞
+=+
⎜⎟
+
⎝⎠

Điều kiện:
1
sin 2x
2
≠−

Ta có:
( ) ( )
33
sin 3x cos 3x 3sin x 4 sin x 4 cos x 3cos x+= − + −

()
()
()
()
()()

33
22
3cosx sinx 4cos x sin x
cos x sin x 3 4 cos x cos x sin x sin x
cos x sin x 1 2 sin 2x
=− − + −
⎡⎤
=− −+ + +
⎣⎦
=− +

Lúc đó: (*)
( )
( )
2
5 sin x cos x sin x 3 2 cos x 1
⎡⎤
⇔+−=+
⎣⎦
−

1
do sin 2x
2
⎛⎞
≠−
⎜⎟
⎝⎠

2

2cos x 5cosx 2 0⇔−+=

()
1
cos x
2
cos x 2 loại
⎡
=
⎢
⇔
⎢
=
⎢
⎣

x
3
π
⇔=±+ πk2
(nhận do
31
sin 2x
22
= ±≠−
)
Do
( )
x0,2∈π
nên

5
xx
33
π π
=∨=


Bài 57: (Đề thi tuyển sinh Đại học khối A, năm 2005)
Giải phương trình:
( )
22
cos 3x.cos 2x cos x 0 *−=


Ta có: (*)
1cos6x 1cos2x
.cos2x 0
22
++
⇔ −=

cos 6x.cos 2x 1 0
⇔−=
(**)
Cách 1: (**)
()
3
4 cos 2x 3cos2x cos 2x 1 0
⇔− −=
=

42
4 cos 2x 3cos 2x 1 0⇔−−

()
2
2
cos 2x 1
1
cos 2x vô nghiệm
4
⎡
=
⎢
⇔
⎢
=−
⎢
⎣

()
sin 2x 0
k
2x k x k Z
2
⇔=
π
⇔=π⇔= ∈

Cách 2: (**)
()

1
cos 8x cos 4x 1 0
2
⇔+−=

()
2
cos 8x cos 4x 2 0
2cos 4x cos4x 3 0
cos 4x 1
3
cos 4x loại
2
⇔+−=
⇔+−
=
⎡
⎢
⇔
⎢
=−
⎣
=

()
k
4x k2 x k Z
2
π
⇔=π⇔= ∈

Cách 3: phương trình lượng giác không mẫu mực:
(**) ⇔
cos 6x cos 2x 1
cos 6x cos 2x 1
==
⎡
⎢
==−
⎣
Cách 4:
+−=⇔+
cos 8x cos 4x 2 0 cos 8x cos 4x 2
=

⇔ ==
cos 8x cos 4x 1
⇔ =
cos 4x 1


Bài 58:
(Đề thi tuyển sinh Đại học khối D, năm 2005)
Giải phương trình:
44
3
cos x sin x cos x sin 3x 0
44
ππ
⎛⎞⎛ ⎞

++− −−
⎜⎟⎜ ⎟
⎝⎠⎝ ⎠
2
=


Ta có:
(*)
()
2
22 22
13
sin x cos x 2sin x cos x sin 4x sin 2x 0
22
⎡⎤
π
⎛⎞
⇔+ − + −+−
⎜⎟
⎢⎥
⎝⎠
⎣⎦

2
=
[]
2
11 3
1 sin 2x cos 4x sin 2x 0

22 2
⇔− + − + − =

()
22
11 11
sin 2x 1 2sin 2x sin 2x 0
22 22
⇔− − − + − =

2
sin 2x sin 2x 2 0⇔+−

=
()
sin 2x 1
sin 2x 2 loại
=
⎡
⇔
⎢
=−
⎣

π
⇔=+π∈
π
⇔=+π∈



2x k2 , k
2
xk,k
4


Bài 59: (Đề th ïc khối B, năm 2004) i tuyển sinh Đại ho

( )(
−= −
2
5sinx 2 3 1 sinx tg x *

)
Giải phương trình:

Khi đó: (*)
cos x 0 sin x 1
≠⇔ ≠±
Điều kiện:
()
2
2
sin x
5sinx 2 3 1 sinx
cos x
⇔−=−

()
2

2
sin x
5sinx 2 3 1 sinx
1sinx
⇔−=−
−

2
3sin x
5sinx 2
1sinx
⇔−=
+

2
2sin x 3sinx 2 0
⇔+−

=
()
()
1
sin x nhận do sin x 1
2
sin x 2 vô nghiệm
⎡
=≠
⎢
⇔
⎢

=−
⎢
⎣

±
()
5
xk2x k2k
66
ππ
⇔=+ π∨= + π∈

Z


()
11
2sin 3x 2cos 3x *
sin x cos x
−= +
Bài 60: Giải phương trình:

Lúc đó: (*)
Điều kiện:
sin 2x 0
≠

()
11
2sin3x cos3x

sin x cos x
⇔−=+

()
( )
33
11
2 3 sin x cos x 4 sin x cos x
sin x cos x
⎡⎤
⇔+−+=+
⎣⎦

()
( )
22
sin x cos x
2 sin x cos x 3 4 sin x sin x cos x cos x
sin x cos x
+
⎡⎤
⇔+ − − + =
⎣⎦

()
1
sinx cosx 2 8sinxcosx 0
sin x cos x
⎡⎤
⇔+ −+ − =

⎢⎥
⎣⎦

()
2
sin x cos x 4 sin 2x 2 0
sin 2x
⎡⎤
⇔+ − −
⎢⎥
⎣⎦

=
()
2
tgx 1
sin x cos x 0
nhận so với điều kiện
1
sin 2x 1 sin 2x
4sin 2x 2sin2x 2 0
2
=−
⎡
+=
⎡
⎢
⇔⇔
−
⎢

⎢
=∨ =
−−=
⎣
⎣

ππ π π
⇔ =− + π∨ = + π∨ =− + π∨ = + π ∈

7
x k 2x k2 2x k2 2x k2 , k
42 6 6

π ππ
⇔ =± +π∨ =− +π∨ = +π ∈

7
xkxkxk,k
41212



( )
()
+− −
=
+
2
cos x 2 sin x 3 2 2 cos x 1
1*

1sin2x
Bài 61: Giải phương trình:

sin 2x 1 x m
4
π
≠− ⇔ ≠− + π
Điều kiện:
Lúc đó:
(*)
2
2sinxcosx 3 2cosx 2cos x 1 1 sin2x
⇔ + − −=+

2
2cos x 3 2cosx 2 0
⇔− +

=
()
⇔= =
2
cos x hay cos x 2 vô nghiệm
2

()
xk2
4
xk'2loạidiềukiện
4

π
⎡
=+ π
⎢
⇔
⎢
π
⎢
=− + π
⎢
⎣

xk2
4
⇔=+ π

π

Bài 62: Giải phương trình:
()
x3x x3x1
cosx.cos .cos sinxsin sin *
22 222
−=


Ta có: (*)
()()
11
cos x cos2x cos x sin x cos2x cos x

22
1
2
⇔ ++ −=

2
cos x.cos 2x cos x sin x cos 2x sin x cos x 1⇔++−=

cos x⇔+=−+

()
2
cos 2x cos x sin x 1 cos x sin x
()( )
cos 2x cos x sin x sin x sin x cos x⇔+=+

()( )( )
cos x sin x cos 2x sin x 0 * *⇔+ −=

()
()
2
cos x sin x 1 2 sin x sin x 0
⇔+ − −

=
2
cos x sin x
2sin x sinx 1 0
=−

⎡
⇔
⎢
+−=
⎣

tgx 1
sin x 1
1
sin x
2
⎡
⎢
=−
⎢
⇔=
⎢
⎢
=
⎢
⎣
−

()
xk
4
xk2 k
2
5
xk2x k2

66
π
⎡
=− + π
⎢
⎢
π
⎢
⇔=−+π ∈
⎢
⎢
ππ
⎢
=+ π∨= + π
⎢
⎣

Z
Cách khác: (**)
tgx 1 cos 2x sin x cos x
2
π
⎛⎞
⇔=−∨ = = −
⎜⎟
⎝⎠



( )

3
4 cos x 3 2 sin 2x 8cos x *+=
Bài 63: Giải phương trình:

Ta có: (*)
3
4 cos x 6 2 sin x cos x 8 cos x 0⇔ +−

=
()
2
cos x 2cos x 3 2 sin x 4 0
⇔+−

=
( )
2
cos x 2 1 sin x 3 2 sin x 4 0
⎡⎤
⇔−+−
⎣⎦

=
2
cos x 0 2sin x 3 2 sin x 2 0⇔=∨ − +=

()
cos x 0
2
sin x

2
sin x 2 vô nghiệm
=
⎡
⎢
⎢
⇔=
⎢
⎢
=
⎢
⎣

2
x k sin x sin
22
ππ
⇔=+π∨ = =

4
()
3
xkxk2x k2k
24 4
ππ π
⇔=+π∨=+π∨= +π∈

Z
Bài 64

: Giải phương trình:
()
cos 2x cos 2x 4 sin x 2 2 1 sin x *
44
ππ
⎛⎞⎛⎞
++ −+ =+ −
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠

()

(*)
()
2cos 2x.cos 4 sin x 2 2 1 sin x
4
π
⇔+=+−

( )
( )
()
2
2
21 2sin x 4 2sinx 2 2 0
2 2 sin x 4 2 sin x 2 0
⇔− ++ −−=
⇔−++=