De thi hsg toan 9

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Môn: TOÁN 9 Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1: (2,0 điểm) Chứng minh rằng nếu p là số nguyên tố bất kỳ, thì với mọi số tự nhiên n ta luôn có:. n. p.  n  p. Câu 2: (4,0 điểm) a, Giải phương trình: 3  2 4  x 2 x  5. b, Giải hệ phương trình: Câu 3: (3,0 điểm).  x 2  12  y 2 6  2 x  y   2 x y  y 2  2 P  2 x 2  2 x  61 . Tìm GTNN, GTLN của biểu thức: Câu 4: (4,0 điểm) Cho các số thực dương a; b; c . Chứng minh rằng:. 2 x 2  18 x  45. 3 3 3 8 3 3 3  1 1  1 1  1 1   a 2  bc b 2  ca c 2  ab a  b  c             a b  c   b c  a   c a  b   a  b  c  b  c  a  c  a  b  3 81  . Câu 5: (6,0 điểm) O Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) , trực tâm H. Đường tròn  1  đường kính O. AH cắt đường tròn (O) tại K khác A. Đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC cắt  1  tại F khác H. a, Chứng minh rằng: KH, AF, BC đồng quy b, Gọi D là một điểm bất kỳ trên cạnh BC. AD cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là E. Trên các đường thẳng AB, AC thứ tự lấy hai điểm M, N sao cho M, N đối xứng với nhau qua D. Chứng minh rằng  I  đi qua E và tiếp xúc với MN tại D luôn đi qua một điểm cố định khi D thay đổi. Câu 6: (1,0 điểm).  nhỏ hơn 2015. 1008. Trong đó, các ai đôi Cho 4030 số nguyên dương ai ; bi  một khác nhau và các bi đôi một khác nhau . Chứng minh rằng trong 4030 số đã cho tồn tại i 1; 2015. a ; a  a b  b bốn số ax ; y bm ; bn thỏa mãn x y m n .. HẾT./..

<span class='text_page_counter'>(2)</span>