Tai lieu Toan so 5

<span class='text_page_counter'>(1)</span> -1. CHUYÊN ĐỀ 3-. TÍNH ĐỊNH LƯỢNG CỦA THIẾT DIỆN Giới thiệu: Khi cắt hình trụ bởi một mặt phẳng song song mặt phẳng đáy, ta được thiết diện là một hình tròn.Nếu cắt bởi một mặt phẳng không song song với mặt phẳng đáy ta dược một hình Elip, tùy theo góc hợp bởi mặt phẳng cắt và mặt phẳng đáy mà hình Elip đó có thể “lớn” , “nhỏ “. Tương tự như vậy, khi cắt một hình chóp bởi một mặt phẳng song song với mặt phẳng đáy ta được thiết diện là một đa giác đồng dạng với đa giác đáy.Mặt khác , nếu mặt phẳng cắt “ gần” với đỉnh ta được một mặt phẳng tương đối “ nhỏ”, nhưng khi tịnh tiến mặt phẳng cắt đó càng xa đỉnh, ta được một đa giác “ lớn hơn “, xem như “gần bằng” mặt phẳng đáy. Sự thay đổi diện tích của thiết diện như vậy được gọi là “ Tính định lượng của thiết diện” .Người học tất nhiên suy nghĩ rằng: những yếu tố nào đã làm thay đổi diện tích ấy ? .Có thể định trước một giá trị của thiết diện để xác định giá trị của các yếu tố liên quan hay không ? . Ta tìm hiểu điều này qua số số bài toán sau đây I-CÁC BÀI TOÁN. Bài 1-Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật có AB=a ,BC=2a, có SA=SB=SD=SD=2a. Gọi A’.B’,C’,D’ lần lượt là trung điểm của SA,SB,SC,SD. Tính diện tích thiết điện ABCD.. Giải. ( hình -1 và hình 2) -Do các góc A,B,C,D vuông nên các góc A’, B’,C’,D’ vuông . Thiết diện tạo bởi mp(A’B’C’D’) và hình chóp là hình chữ nhật A’B’C’D’ , và.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> -2. 2a   B ' C ' A'D'  2 a   A ' B ' C ' D '  a  2. a a2 S .A ' B 'C ' D ' B ' C '.C ' D ' a.  2 2 -Vậy : SA ' SB ' SC ' SD '    k SA SB SC SD -Tổng quát : Gọi tỉ số 2. -Gọi S’ là diện tích thiết diện, S là diện tích đáy. Khi đó ta có : S ' k .S 1 S ABCD 2a 2 , k  2 , ta được : 1-Vận dụng vào bài toán trên với 2. 1 1  1 S A ' B 'C ' D ' k .S ABCD   .2a 2  .2a 2  a 2 4 2  2 S 2a 2 , k 1 , ta được : 2-Vận dụng vào bài toán trên với ABCD S A ' B 'C ' D ' k .S ABCD 12.2a 2 2a 2 (thiết diện là mp (ABCD)). -------------------------Bài 2- Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh 2a Gọi M , N lần lượt là các giao tuyến của SA và mp (M,BC) , mp(N,BC) , Biết góc hợp bởi mp(M,BC) ,(N,BC) với mp đáy ABC là 600, 300. a)- Tính diện tích thiết diện MBC, NBC. b)-So sánh và nhận xét về sự thay đổi diện tích của các thiết diện ấy? Giải..

<span class='text_page_counter'>(3)</span> -3. a)- Độ dài trung tuyến AI:. AI 2  AB 2  BI 2 (2a )2  a 2 3a 2  AI a 3. 1 1 S ABC  AI .BC  .a 3.2a a 2 3. 2 2 -Diện tích đáy ABC :. (1). *Tính SNBC. Do IA là hình chiếu vuông góc của IN trên mp(ABC) Khi mp(N,BC) hợp với (mp(ABC) một góc 300, thì : 0. S ABC S NBC .cos 30  S NBC. S ABC a2 3   2a 2 . 0 cos 30 3 2. (2). *Tính SMBC. Do IA là hình chiếu vuông góc của IM trên mp(ABC) Khi mp(N,BC) hợp với (mp(ABC) một góc 600, thì : 0. S ABC S MBC .cos 60  S MBC. S ABC a2 3   2a 2 3. 0 1 cos 60 2. (3). b)-So sánh các kết quả (1), (2),(3) ta thấy diện tích của thiết diện tăng dần từ 2 S ABC a 2 3 S  2 a NBC , đến khi góc tạo thành( theo đề bài) là 300,đến. S MBC 2a 2 3. khi góc tạo thành( theo đề bài) là 600……………………... ----------------Bài 3-Cho tứ diện ABCD có AB=AC=2a, CD=a.Góc hợp bởi AB và CD bằng 300.Gọi M là một điểm nằm trên cạnh AC sao cho AM = x .Mặt phẳng (P) đi qua M và song song với AB, CD và cắt BC, BD, AD lần lượt tại N, P, Q. a)-Xác định thiết diện tìm được ? b)-Tính diện tích S của thiết diện theo a và x.? c)-Xác định giá trị của x để S lớn nhất ? Giải..

<span class='text_page_counter'>(4)</span> -4. a)Ta có : ( ABC )  ( ABD)  AB ( P)  ( ABC ) MN  MN / / PQ  ( P )  ( ABD )  PQ Do (P) // AB nên :  Ta có : ( ADC )  ( BDC ) CD ( P )  ( ADC ) MQ  MQ / / NP  ( P )  ( BDC )  NP Do (P) // AB nên :  Tứ giác MNPQ có các cặp cạnh tương ứng song song từng đôi một là hình bình hành MNPQ. Vậy : Thiết diện MNPQ là hình bình hành. b)MN CM CM (2a  x ) CAB   CMN :   MN  . AB  .2a 2a  x (*) AB CA CA 2a *Xét MQ AM AM x x ADC   AMQ :   MQ  .CD  .a  (**) CD AC AC 2a a *Xét 0  (***) *Theo giả thiết : ( AB; CD) ( MN ; MQ)  NMQ 30 Từ (*), (**) và (***) ; được: *Xét. x 1 x S MNPQ MN .MQ.sin 300 (2a  x). .  (2 a  x) 2 2 4 (1) x S MNPQ  (2a  x) 4 Vậy : Thiết diện MNPQ có diện tích là c)-. x (2a  x)  x.(2a  x) 4 Ta biết : S lớn nhất khi tích lớn nhất Do tổng : x  (2a  x ) 2a không đổi, nên S lớn nhất khi x (2a  x)  x a.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> -5. AM a . AC 2 -khi đó M là trung điểm của AC. Hay : Vậy : SMNPQ lớn nhất khi M là trunh điểm của AC. --------------------. Bài 4- Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và SA=SB=SC=SD= a 3 . Gọi E, F lần lượt là trung điểm của SA,SB ; gọi M là một điểm thuộc BC sao cho BM = x .Mặt phẳng (MEF) cắt AD tại N. a)-Xác định thiết diện tạo bởi (MEF) và hình chóp.? b)-Tính của góc hợp bởi BC và SB ? c)-Tính diện tích của thiết diện tìm được (ở câu a)? Giải.. a)- Xác định thiết diện.  EF / / AB   AB a  EF  2  2 *Do E, F là trung điểm của SA,SB nên : Do AB ( SAB )  ( ABCD ) nên : EF / / AB / / MN. Hay : EF// MN. Tứ EFMN giác có một cặp cạnh song song nên EFMN là hình thang.   AN BM  x    A B  SA  AE BF  2 nên : ANE BMF *. Xét ANE và BMF có: .

<span class='text_page_counter'>(6)</span> -6. Suy ra : NE MF Vậy : Thiết diện EFMN là hình thang cân.  b)-Tính góc CBS và FM -Gọi H là chân đường cao qua S và vuông góc với BC. Khi đó SI là đường trung tuyến trong tam giác SBC cân . Ta có : -Xét tam giác BSI vuông tại I, có :. . 0. BI . BC a  2 2.  cos CBS . BI a 3  :a 3  . BS 2 6. '. Hay CBS 73 13 *Tính FM -Áp dụng định lý Cô-sin trong tam giác BMF. 3a 2 a 3 3 2  FM MB  FB  2.MB.FB.cos CBS  x   2. x. . 4 2 6 1  FM  4 x 2  2ax  3a 2 2 . 1 FM  4 x 2  2ax  3a 2 . CBS 73013' 2 Vậy : và 2. 2. 2. c)- Tính diện tích thiết diện EFMN. -Kẻ EH , FK vuông góc với MN.. 1 a NH FK  ( MN  KH )  2 4 Ta có : -Xét tam giác FKM vuông tại K , có:. 1 a2 2 2 FK FM  KM  (4 x  2ax  3a )  4 16 1  KF  16 x 2  8ax  11a 2 . 4 2. 2. 2. Diện tích thiết diện là hình thang cân tính bởi:. 1 1 a 1 S  ( MN  EF ).FK  (a  ). 16 x 2  8ax  11a 2 2 2 2 4 3a S EFMN  16 x 2  8ax  11a 2 16 Vậy :. ---------------------.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> -7. AB . a a 3 BC  2 , 2 , Có. Bài 5-Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật, SA 2a 2 vuông góc với mặt đáy.Gọi M,N,P lần lượt là các điểm thuộc SC , sao 1 1 3 SM  SC , SN  SC , SM  SC. 3 2 4 cho : Gọi (P) là mp chứa BD và lần lượt đi qua M, N,P . a)-Tính diện tích các thiết diện của (P) và hình chóp khi (P) đi qua M,N,P. ? b)-Nhận xét về sự thay đổi diện tích của các thiết diện đó.? Giải.. -Tam giác SAC vuông tại A , ta có : i).   tan C. a 3  3 a.  300 C. 2 2 2 2 2 2 2 2 ii)- SC SA  AC (2a 2)  a 8a  a 9a Tính độ dài các đoạn OM, ON,OP.  SC 3a. 1 3a 1 3a 3 3.3a 9a CM  SC  a , CN  SC  , CP  SC   3 3 2 2 4 4 4 Với : a)-Tính các diện tích của các thiết diện. -Áp dụng Định lý Cô sin trong tam giác OMC: 2 2 a (17  4 3)a 2  2a   a  2 2 2  OM CM  CO  2CM .CO.cos C       2.2a. .cos 300  2 4  3   2 a  OM  17  4 3. 2 +Xét tam giác MBD cân tại N, ta tính diện tích: 1 1 a a2  S MBD  .OM .BD  .  17  4 3  .a  17  4 3 2 2 2 4  (  0,79a2) (1) -Áp dụng Định lý Cô sin trong tam giác ONC:.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> -8 2. 2. 3a a (10  3 3)a 2  3a   a  0  ON CN  CO  2CN .CO.cos C       2. . .cos 30  2 2 4  2   2 a  ON  10  3 3. 2 +Xét tam giác NBD cân tại N, ta tính diện tích: 1 1 a a2  S NBD  .ON .BD  .  10  3 3  .a  10  3 3. 2 2 2 4  (  0,54a2) (2) 2. 2. 2. -Áp dụng Định lý Cô sin trong tam giác OPC: 2 2 a a (5  2 3)a 2 a a 2 2 2  OP CP  CO  2CP.CO.cos C       2. . .cos 30 0  4 2 16  4  2 a  OP  5  2 3. 4 +Xét tam giác PBD cân tại P, ta tính diện tích: 1 1 a a2  S PBD  .OP.BD  .  5  2 3  .a  5  2 3. 2 2 4 8  (  0,15a2) (3) b)- So sánh các kết quả (1), (2),(3) ta thấy diện tích của các thiết diện MBD, NBD,PBD giảm dần khi các điểm M,N,P càng xa đỉnh S.) Bài 6- Hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D; AB=2a , AD=CD=a. Biết SA vuông góc với ABCD và SA= 2a . Gọi E là trung điểm là trung điểm của SA.Mặt phẳng (P) đi qua E và song song với AB. Mặt phẳng (P) cắt cắt SB tại M, cắt BC tại N, cắt AD tại F. Đặt AF = x ( 0 ≤ x ≤ a) . a)-Xác định thiết diện tìm được ? b)-Tính diện tích của EMNF theo a và x.? Giải.. a)- Xác định giao tuyến. ( P)  ( SAB) EF ( P)  ( SBC ) FG   ( P)  (ABCD) GH ( P)  ( SAD) HE. Thiết diện tìm được là tứ giác EFGH.  AB  AS  AB  ( SAD)  AB  AD  *Do.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> -9. *Do EH  ( SAD)  EH  AB.. mp ( P ) / / AB mà EF  mp ( P )  EF  EH mp ( P ) / / AB mà HG  mp ( P )  HG  EH. (*) (**). (***) Do EF / / AB / / GH  EF / /GH Từ (*),(**),(***) suy ra : Tứ giác EFGH là hình thang vuông tại E và H . b)- Tính diện tích EFGH. Để tính SEFGH ta tính EF,GH,EH. EF . AB 2a  a 2 2. .Tính EF -Do (1) .Tính EH. Xét tam giác AEH vuông tại A có :. EH 2  AE 2  AH 2  x 2  a 2  EH  x 2  a 2 . .Tính GH LK  AH x. (2). .cần nhớ : HK  AL a. .Xét tam giác CKG và CBL đồng dạng có:. KG CK CK a   KG  .BL  .(a  x) BL CL CL a .mà GH GK  KH a  (a  x) 2a  x.. (3). Từ (1) , (2) , (3) suy ra:. SEFGH. Vậy :. 1 1 x2  a2 2 2  (EF GH).EH  (a  (2a  x)). x  a (3a  x) . 2 2 2. SEFGH. x2  a2 (3a  x ) . 2 ------------------. Xin cảm ơn qui Thầy, Cô và các em đã quan tâm tìm hiểu vấn đề này..

<span class='text_page_counter'>(10)</span> -10. -------------------.

<span class='text_page_counter'>(11)</span>