De thi hsg 20252016

<span class='text_page_counter'>(1)</span> PHÒNG GD&ĐT THANH OAI TRƯỜNGTHCSTÂN ƯỚC. ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 Năm học 2014 - 2015 Môn thi: Toán Thời gian làm bài :150 phút( Không kể thời gian giao đề). Câu 1 ( 6 điểm) Bài 1 ( 4 điểm) Cho biểu thức P =. ( x √x +2x −1 + x +√√ xx +1 + 1−1√ x ) : √ x2−1. với x > 0, x 1. a, Rút gọn P 2. b, Tìm x để P = 7. c, So sánh P2 với 2P Bài 2. ( 2 điểm) Tìm x, y nguyên dương thỏa mãn : ( x2 - 3)  ( xy + 3) Câu 2. ( 4 điểm) Bài 1. ( 2 điểm) Giải phương trình + + + 3012 = (x + y + z) Bài 2. ( 2 điểm) Cho a + b + c = 0 và a2 + b2 + c2 = 14 Tính giá trị của biểu thức: B = a 4 + b4 + c4 Câu 3:( 3 điểm) Bài 1. (1,5 điểm) Tìm nghiệm nguyên của phương trình x2+ 2y2 + 2xy + 3y- 4 = 0 Bài 2.(1,5 điểm) Cho a, b và c là các số thực không âm thỏa mãn a  b  c 1 . ab bc ca 1    Chứng minh rằng c  1 a  1 b  1 4 .. Câu 4: (6 điểm) Cho đường tròn (O,R) và một điểm A ở ngoài đường tròn, từ một điểm M di động trên đường thẳng d OA tại A, vẽ các tiếp tuyến MB,MC với đường tròn (B,C là tiếp điểm). Dây BC cắt OM và OA lần lượt tại H và K. a) Chứng minh OA.OK không đổi từ đó suy ra BC luôn đi qua một điểm cố định. b) Chứng minh H di động trên một đường tròn cố định. c) Cho biết OA= 2R. Hãy xác định vị trí của M để diện tích tứ giác MBOC nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó. Câu 5 :( 1điểm) Tìm ba số nguyên dương sao cho tổng của chúng bằng tích của chúng ..

<span class='text_page_counter'>(2)</span> HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 9 Câu 1. ( 6 điểm) Bài 1.(4đ) x +2 x 1 x−1 + √ − :√ 2 ( x − 1)( x + √ x+1) x + √ x+1 √ x −1 2 =...= x + √ x+ 1 2 2 2 ⇔ = ⇔ x + √ x −6=0 b, P = 7 x+ √ x +1 7 ⇔ (√ x −2)( √ x+3)=0 ⇔ √ x − 2=0 ( vì √ x+3> 0 ⇔ x=4. a, P =. c, P = P=. (√. 2 > 0 vì x > 0 x + √ x+ 1 2 < 2 vì x+ √ x +1>1 x + √ x+1. Ta có P > 0 và P < 2 nên P ( P - 2 ) < 0 ⇒ P2 - 2P < 0 ⇒ P2 < 2P. ). (0.5đ) (1.5 đ) (1đ) với x > 0). (0.5 đ) ( 0.5 đ). Bài 2.(2đ) ( x2 - 3)  ( xy + 3) (1)  x2y - 3y  xy + 3  x(xy + 3 ) - 3( x+ y)  ( xy + 3 )  3( x+ y)  ( xy + 3 )  3( x+ y) = k ( xy + 3 ) ( k N * ) (0,5đ) (2) - Nếu k  3 thì 3( x+ y) = k ( xy + 3)  3( xy + 3) x + y  xy + 3  ( x - 1)( y - 1) + 2 0 ( vô lí vì x, y nguyên dương ) -Nếu k = 1 thì từ ( 2)  (x - 3 )(y -3 ) = 6  x = 6 và y = 5 hoặc x = 9 và y = 4 (0,5đ) - nếu k = 2 thì từ (2) ta có: 3(x + y) = 2( xy + 3)  xy  3 (*) Mà 3(x + y ) = 2(xy +3)  y( x -3) + x( y- 3) +6 = 0  x > 3 và y > 3 ( vô lí) ( **) (0,5đ) Từ (*) (**) suy ra (x; y) = ( 1; 3) , (3; 1) Thử lại vào (1) ta được : ( x; y) = (3; 1) (0,25đ) Vậy ( x; y) = (6; 5) , (9; 4) , (3; 1) ( 0,25đ) Câu 2: (4đ) Bài 1(2đ).ĐKXĐ: x  2008 ; y  2009 ; z  2010. (0,25đ) ( - 1)2 + ( - 1)2 + ( - 1)2 = 0 (1đ) Tìm được : x = 2009 ; y = 2010 ; z = 2011. (0,5đ) Vậy nghiệm của phương trình là: ( x , y , z) = (2009; 2010; 2011) (0,25đ).

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Bài 2: (2đ) Ta có : a2 + b2 + c2 = 14  (a2 + b2 + c2)2 = 142  a4 + b4 c4 = 196 - 2. (a2b2 + b2c2 + a2c2) (1) (0,75đ) Vì : a + b + c = 0  ( a + b + c)2 = 0  a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ac) = 0  ab + bc + ac = - 7  a2b2 + b2c2 + a2c2 = 49 (2) (0,75đ) Từ (1) và (2)  B = a4 + b4 c4 = 196 - 2. 49 = 98 (0,5đ) Câu 3: Bài 1:(1,5 ®) Biến đổi phơng trình x2+ 2y2 +2xy + 3y- 4 = 0 ⇔ (x2+ 2xy + y2) + y2 +3y - 4= 0 ⇔ (y+4)(y-1) = - (x+y)2 0 (0,5đ) ⇒ -4 y 1 v× y thuéc Z nªn y { − 4 ; −3 ; −2 ; −1 ; 0 ; 1 } (0,5đ) Vậy các cÆp (x;y) tháa m·n ph¬ng tr×nh lµ : (x ; y) = (4;- 4), (1;- 1),(5;-3), (1;3),(2;0), (-2;0) (0,5đ) Bài 2 .Học sinh phát biểu và CM bất đẳng thức phụ sau: -. 1 1 1 1      Với x; y là các số thực dương bất kỳ ta có: x  y 4  x y  (1).. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y. (0,5đ) Thật vậy: Vì x; y là các số thực dương theo BĐT Côsi ta có 1 1 1 1 1 1 1       2 xy .2 4  xy x y 4 x y   x y.  x  y . - Áp dụng BĐT (1) ta có: ab ab ab  1 1       c 1  c  a    c  b  4  c  a c  b . (1’) (0,5đ). bc bc  1 1  ca ca  1 1         ’  Tương tự a 1 4  a  b a  c  (2 ) ; b  1 4  b  a b  c  (3’). Cộng vế với vế của ba đẳng thức trên ta được: ab bc ca 1  ab  ca ab  cb cb  ca  a  b  c 1         c 1 a 1 b 1 4  b  c ca a b  4 4. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi. a b c . 1 3. (0,5đ).

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Câu 4: (6đ) d. - Vẽ hình đúng : (0,5đ). M. a) B. Δ HOK ∞ Δ AOM →OA . OK=OH .OM Δ vBOM có OB2 = OH.. OM →. . .→ OK=. H. đổi). O. K. A. R2 (Không OA. → K là điểm cố định.. (3đ) C. b. H nằm trên đường tròn. đường kính OK cố định. (1đ). 1 c. S OBMC =2 SOBM =OM . BH= 2 OM. BC Smin ↔ OM nhỏ nhất, BC nhỏ nhất ↔ 2 S min =.. . R √ 3 (1,5đ). M ≡ A , BC⊥ OK ↔ H ≡ K ↔ M ≡ A. Câu 5 : Gọi các số nguyên dương phải tìm là : x; y; z .Theo đề bài ta có : x + y + z = xyz (1) Vì các ẩn x , y , z có vai trò bình đẳng trong phương trình nên có thể sắp xếp thứ tự giá trị của các ẩn chẳng hạn : 1  x  y  z .  xyz = x + y + z  3z  Chia hai vế của bất đẳng thức : xyz  3z cho z ta có : xy  3  xy  1; 2; 3 .  Với xy = 1  x = 1 ; y = 1. Thay vào (1) được 2 + z = z (loại)  Với xy = 2  x = 1 ; y = 2. Thay vào (1) được z = 3 (Thỏa mãn)  Với xy = 3  x = 1 ; y = 3. Thay vào (1) được z = 2 ( Loại vì y  z) Vậy ba số phải tìm là : 1; 2 ; 3.. Người ra đề duyệt. Xác nhận của tổ chuyên môn. Ban giám hiệu.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> TRẦN THỊ HUYỀN.

<span class='text_page_counter'>(6)</span>