Tải bản đầy đủ (.docx) (43 trang)

Tong hop de thi hsg toan 9 cuc hay

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (409.32 KB, 43 trang )

(1)§Ò sè 1. C©u 1: (2®) Rót gän biÓu thøc : A = C©u 2: (2®). 62 2 3. 2  12  18  128 2. Gi¶i ph¬ng tr×nh : x2 +3x +1 = (x+3) x  1 C©u 3: (2 ®) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh 2 2   x  y  xy 1  3 3   x  y  x 3 y C©u 4: (2®) Cho PT bËc hai Èn x : X2 - 2 (m-1) x + 2 m2 - 3m + 1 = 0 c/m : PT cã nghiÖm khi vµ chØ khi 0  m  1 Gäi x1 , x2 lµ nghiÖm cña PT . c/m 9 x1  x2  x1 x2  8. 1 2 1 x x2 : Cho parabol y = 4 và đờn thẳng (d) : y = 2. C©u 6: (2®) a/ Vẽ (P) và (d)trên cùng hệ trục toạ độ . b/ Gọi A,B là giao điểm của (P) và (d) trên cùng hệ toạ trục toạ độ Oxy. Tìm M trên AB cña (P) sao cho SMAB lín nhÊt . C©u 7: (2®) a/ c/m : Víi  sè d¬ng a 2. th×. 1 1  1 1  1 2   1  2  a 1  a  a  1 2  a 1. 1 1 1 1 1 1  2  1  2  2  ...  1   2 2 1 2 2 3 2006 2007 2. b/ TÝnh S = C©u 8 ( 4 ®iÓm): Cho ®o¹n th¼ng AB = 2a cã trung ®iÓm O . Trªn cïng mét nöa mÆt ph¼ng bờ AB , dựng nửa đờng tròn (O,AB) và ( O’,AO) , Trên (O’) lấy M ( M ≠ A, M ≠ O ). Tia OM c¾t (O) t¹i C . Gäi D lµ giao ®iÓm thø hai cña CA víi (O’). a/ Chøng minh r»ng tam gi¸c AMD c©n . b/ Tiếp tuyến C của (O) cắt tia OD tại E. Xác định vị trí tơng đối của đơng thẳng EA đối với (O) vµ (O’). c/ Đờng thẳng AM cắt OD tại H, đờng tròn ngoại tiếp tam giác COH cắt (O) tại điểm thứ hai lµ N. Chøng minh ba ®iÓm A, M, N th¼ng hµng. d/ T¹i vÞ trÝ cña M sao cho ME // AB h·y tÝnh OM theo a . Câu 9 ( 1 điểm ): Cho tam giác có số đo các đờng cao là các số nguyên , bán kính đờng tròn nội tiếp tam giác bằng 1. Chứng minh tam giác đó là tam giác đều. Đáp án đề số 1.. C©u 1:( 2 ®iÓm): Rót gän : A= =. 62 2 3 62 2 3. 2  12  18  128 2  12  4  2. =. 62 2 3 42 3.

(2) . 6  2 3  1 62 2 2 3 = = 62 4 2 3 = = 3 1 C©u 2: (2®iÓm). Ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng.  (. x2 1  3. .  x 2  1 3  x 2  1  x 0  2 (0,5®) =>  x  1 x (0,5®) =>. .  x 2  1 9  2 2  x  1  x. => x 2 2 C©u 3: ( 2®iÓm) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh.  (2) <=> <=>. . 2 2  x  y  xy 1(1)  3 3  x  y x  3 y (2). x3  y 3  x  3 y  x 2  y 3  xy. 2. . 2 y x   x  y.  (x,y) = . (0,75®). 2. . 2 2 Do x  y  xy 1. .  2 y 0  0  x 2   x  y  2 0 . (0,5®)  y 0  2 2 (0,5®) 2 x  2 y  y 0.  1, 0  ;   1, 0  . (0,5®) 2. x  2006 2 C©u 4: (2®iÓm) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A = x  2007 x 2  2007  2013 2013 A 1  2 2 x 2  2007 2013 x  2007 x  2007 2 (0,5®)Amin  x  2007 Max Min 2013  2006 1   x = 0 (0,75®)VËy A nhá nhÊt = 2007 2007 (0,75®) Khi x = 0. C©u 5: (2®). Ph¬ng tr×nh :. x 2  2  m  1 x  2m2  3m  1 0 2. * Cã nghiÖm : . '  m  1  2m 2  3m  1. . 0.  m  0    m  1  0  0  m  1  m  0    m  1  0. m 2  m  0  m m  1.  0  b/ Khi 0  m  1 . Theo định ly viét ta có .  x1  x2 2  m  1  2  x1.x2 2m  3m  1. -> Q = 2. m 1 1 9  2 m   2  m    2 2 4  16  2. . x1  x2  x1 x2  2  m  1  2m 2  3m  1  2m 2  m  1. 9 2  16. 2. 1 9  m   2 8 . 2. 1  1 1 3 9 m  4   16 ->V× 0  m 1  4  m - 4  4 => . Do đó Q = C©u 6: (2®iÓm) a/ Vẽ (P) và (d) trên cùng hệ trục toạ độ đúng , chính xác ..

(3) . 1 xm 2. b/ HS. Xác định đợc phơng trình đờng thẳng (d’) có phơng trình : y = (d’) tiÕp xóc víi (P) 1 2 1 x  x  m 2 2 PT : 4 Cã nghiÖm kÐp  x  2 x  4m 0 Cã nghiÖm kÐp 1 1 ' 0  m  4 Hoành độ tiếp điểm x =1  y= 4  Do đó ta có tiếp điểm M( -1 ; 1/4) dễ dàng c/m với vị trí này S MAB là nhỏ nhất C©u 7 : (2 ®iÓm ) 2 1  1  1 1 1 1  1  2     1  a  a  1  1  a 2  2  a a  1 a  a  1    a  1    a/ Ta cã : 1 1 1 1 1 1 1 2       0 1  1 1  1 a a  1 a  a  1 a a  1 a a  1 1   1  2  a  a  1 2  a a 1  Mµ Do đó b/ ¸p dông c/m c©u a ta cã : 1 1 1 1 1 1 1  1   1    .............  1   2007  2 2 3 2006 2007 2007 S= S = C©u 8 : (4®iÓm) Vẽ hình viết giả thiết : cân đối sạch đẹp (0,5đ) a/ Ta cã tam gi¸c OAC c©n t¹i O. c e. d. n m. h   o’ k o A b Cã OD  AC nªn MOD DOA => MD =AD Hay tam gi¸c DAM c©n t¹i D (0,5®) b/ Ta c/m đợc AOE COE (c  g  c) 0   => EAO ECO  90 (0,5®) Hay EA  AB Chøng tá EA lµ tiÕp tuyÕn cña (o) vµ (o’) (0,5®) c/ Gi¶ sö AM c¾t (o) t¹i N’ v× : AOC 2 ANC   nªn COH CN ' A (0,5®). . => CHO ' N lµ néi tiÕp Do đó N’ =N hay A, M, N thẳng hàng (0,5đ) d/ Dùng MK  OA v× EM //AB nªn MEO c©n t¹i M vµ AEMK lµ h×nh ch÷ nhËt (0,5®) §Æt ME = MO = x 2 2 2 2 2 Ta cã MO  AO  AM  AO  AO. AK = AO  AO.ME (0,25®) 1 x 51 2 2 2 x a  ax  (0,25®) C©u 9: (2®iÓm) Gọi x, y, z lần lợt là các đờng cao ứng với các cạnh a,b,c của tam giác Nhận xét : Đờng cao của tam giác luôn lớn hơn đờng kính của đờng tròn nội tiếp tam giác đó : tức là 2< x ; 2 < y ; 2< z (0,25 ®) V× x ,y, z  z nªn x  3 ; y 3 ; z 3 (0,25®) 1 1 1 1 1 1     1 x y z 3 3 3 => (1) (0,5®). . .

(4) 1 1 1 a b c a b c 1        1 MÆt kh¸c : x y z ax by cz 2S ABC r (2) (0,5®) Tõ (1) vµ (2) => x = y= z Hay tam giác ABC đều (0,5®). §Ò Sè 2 C©u1 (6 ®iÓm): a) Chøng minh biÓu thøc:. A=. 6 x  ( x  6) x - 3 2 (x - 4 x + 3) (2 - x ). 3 1 - 10 x - 2x - 12 - 3 x - x - 2. kh«ng phô thuéc vµo x. th×:. b) Chứng minh nếu a, b, c và a', b', c' là độ dài các cạnh của hai tam giác đồng dạng ++=. c) TÝnh: B = 17  4 9  4 5 + 28  16 3 C©u2 (4 ®iÓm): Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh: a) 10 x3 - 17 x2 - 7 x + 2 = 0 b) + = 4 C©u3 (2 ®iÓm): Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác có chu vi bằng 2. Chøng minh: (a + b + c)2 - (a2 + b2 + c2) - 2abc > 2 C©u 4 (2 ®iÓm): Chứng minh khi m thay đổi, các đờng thẳng có phơng trình: (2m - 1) x + my + 3 = 0 luôn đi qua một điểm cố định. C©u 5 (6 ®iÓm): Cho điểm M nằm trên đờng tròn (O), đờng kính AB. Dựng đờng tròn (M) tiếp xúc với AB. Qua A và B, kẻ các tiếp tuyến AC; BD tới đờng tròn (M). a) Chøng minh ba ®iÓm C; M; D th¼ng hµng. b) Chứng minh AC + BD không đổi. c) T×m vÞ trÝ cña ®iÓm M sao cho AC. BD lín nhÊt. 4. đáp án đề số 2 C©u 1 : a3  6a 2  11a  6 a) §Æt = a ta cã A = 2(a  1)(a  3)(a  2) =  BiÓu thøc A kh«ng phô thuéc vµo x.. (2 ®iÓm). b) Vì a; b; c và a'; b'; c' là độ dài các cạnh của hai tam giác đồng dạng.

(5) nªn = = . §Æt = = = k ta cã: a = ka'; b = kb'; c = kc'. Khi đó, + + = (Vì đều bằng (a' + b' + c') ). (2 ®iÓm). c) B = 17  4 9  4 5. 4 + 28  16 3 = 17  4( 5+2) + 4  2 3. = 9 - 4 5 + 4 2 3 = - 2 + - 1 = + - 3 (2 ®iÓm) C©u 2 : a) 10 x3 - 17 x2 - 7 x + 2 = 0  (x - 2) (2x + 1) (5x - 1) = 0 Ph¬ng tr×nh cã ba nghÖm lµ x = 2; x = - 0,5; x = 0,2. b) + = 4. (2 ®iÓm).  2x  1 + 2x  3 = 4. Dïng ph¬ng ph¸p xÐt kho¶ng hoÆc sö dông tÝnh chÊt:. A  B  AB. (DÊu "=" x¶y ra khi vµ chØ khi AB  0) Ta cã tËp nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ: S = {x\ - 1,5  x  0,5} C©u 3 : Do a; b; c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên a < b + c. (2 ®iÓm).  2a < a + b + c, mµ a + b + c = 2 nªn 2a < 2  a < 1.. T¬ng tù, ta cã b < 1; c < 1  (a - 1) (b - 1) (c - 1) < 0  abc - ab - ac - bc + a + b + c - 1 < 0  abc - ab - ac - bc < - 1 (Do a + b + c = 2)  2ab + 2ac + 2bc - 2abc > 2  (a + b + c)2 - (a2 + b2 + c2) - 2abc > 2 (§pcm). (2 ®iÓm). C©u 4: V× (x = 3; y = - 6) tho¶ m·n ph¬ng tr×nh (2m - 1) x + my + 3 = 0 với mọi m nên khi m thay đổi, các đờng thẳng có phơng trình: (2m - 1) x + my + 3 = 0 luôn đi qua một điểm cố định. (2 ®iÓm) C©u 5 :. A. E. B D. M C C + Ghi gỉa thiết, kết luận đầy đủ, đúng, gọn. Vẽ hình chính xác. (0,5 ®iÓm).

(6) a) Gãc CMD = 2. gãc AMB = 1800  ba ®iÓm C; M; D th¼ng hµng. b) Gọi tiếp điểm của đờng tròn (M) với AB là E thì AC + BD = EA + EB = AB mà AB không đổi nên AC + BD không đổi. c) Ta cã AC.BD = AE. EB = EM2.. (2 ®iÓm) (1,5 ®iÓm).  AC. BD lín nhÊt khi EM lín nhÊt.. Khi đó, M là điểm chính giữa của cung AB. §Ò sè 3 Bµi 1: Chøng minh: 3 3. √ √2. -1 =. √ 3. 1 9. -. √ 3. 2 9. +. √ 3. 4 9. Bµi 2: Cho 4 a2 + b2 = 5 ab (2a > b > 0) ab TÝnh sè trÞ biÓu thøc: M = 2 2. (2 ®iÓm) (2 ®iÓm). (2 ®iÓm). 4b −b. Bµi 3: (2 ®iÓm) Chøng minh: nÕu a, b lµ c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: x2 + px + 1 = 0 vµ c,d lµ c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: x2 + qx + 1 = 0 th× ta cã: (a – c) (b – c) (a+d) (b +d) = q2 – p2 Bµi 4: (2 ®iÓm) Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh Tuổi anh và em cộng lại bằng 21. Hiện tại tuổi anh gấp đôi tuổi em lúc anh bằng tuổi em hiÖn nay. TÝnh tuæi cña anh, em. Bµi 5: (2 ®iÓm) 4 2 Gi¶i ph¬ng tr×nh: x + √ x +2006 = 2006 Bµi 6: (2 ®iÓm) 2 Trong cùng một hệ trục toạ độ vuông góc, cho parapol (P): y = - x. (d): y = mx – 2m – 1. 1. VÏ (P) 2. T×m m sao cho (d) tiÕp xóc víi (P) 3. Chứng tỏ (d) luôn đi qua điểm cố định A  (P). 4. và đờng thẳng. Bµi 7: (2 ®iÓm). Cho biÓu thøc A = x – 2 √ xy + 3y - 2 √ x + 1 Tìm giá trị nhỏ nhất mà A có thể đạt đợc. Bµi 8: (4 ®iÓm). Cho hai đờng tròn (O) và (O’) ở ngoài nhau. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài AB và tiếp tuyÕn chung trong EF, A,E  (O); B, F  (O’) a. Gäi M lµ giao ®iÓm cña AB vµ EF. Chøng minh: ∆ AOM ∾ ∆ BMO’ b. Chøng minh: AE BF c. Gäi N lµ giao ®iÓm cña AE vµ BF. Chøng minh: O,N,O’ th¼ng hµng. Bµi 9: (2 ®iÓm). Dựng hình chữ nhật biết hiệu hai kích thớc là d và góc nhọn giữa đờng chéo bằng . Đáp án đề số 3 Bµi 1: (2 ®iÓm) 3 §Æt a = √ 2 th×: √3 √3 2 -1 = 3 1 - 3 2 + 3 4 3. ⇔. √2. √. 9. 9 ¿ - 1 = 13 √¿. √. 9. √3 2 + √3 4. √. 9. (0,5 ®iÓm).

(7) ⇔. 9(a-1) = (1 –a + +a2)3 Biến đổi tơng đơng đợc a3 = 2 (đúng) Suy ra ®iÒu ph¶i chøng minh Bµi 2: + Tõ: 4a2 + b2 = 5ab => 16a4 – 8a2b2 + b4 = 9a2b2 (*). (1 ®iÓm) (0,5 ®iÓm) (2 ®iÓm) (0,5 ®iÓm). kết hợp (*) suy ra đợc: M2 = 1. (0,5 ®iÓm). ab 4 a 2 − b2 ab + Tõ: M = 4 a 2 − b2 Tính đợc: M = 1 3. + Tõ: M =. 9. kÕt hîp (2a > b > 0) suy ra: M > 0. (0,5 ®iÓm) (2 ®iÓm). Bµi 3: Theo hÖ thøc Viet ta cã:. (I). (0,5 ®iÓm). ¿ a+b=− p ab=1 c+ d=− q c . d =1 ¿{{{ ¿. (0,5 ®iÓm). (a – c)(b –c)(a+d)(b+d) (*) KÕt hîp (I) vµ (*) suy ra: (a –c)(b - c)(a + d)(b + d) = q2 – p2 (1,5 ®iÓm) Bµi 4: (2 ®iÓm) Gäi tuæi em hiÖn t¹i lµ (0 < x < 21) (0,25 ®iÓm) Th× tuæi anh hiÖn t¹i lµ 21 – x Thêi ®iÓm anh b»ng tuæi em hiÖn nay th× tuæi anh lµ x, tuæi em lµ 1 (21 - x). (0,75 ®iÓm) 2 Ta cã ph¬ng tr×nh x - 1 (21 - x) = 21 - x – x 2 Giải đợ x = 9 (thoả mãn điều kiện) (0,75 ®iÓm) Tính đợc: Tuổi anh: 21 –9 = 12 12 tuæi (0,25 ®iÓm) §¸p sè: 9 tuæi. Bµi 5: x4 + ⇔ ⇔. (2 ®iÓm) 2. √ x +2006 = 2006 x4 = 2006 - √ x2 +2006. x4 + x2 + 1 = x2 + 2006 -. √ x2 +2006 +. 4 1 2 1 x+ ¿ = ( ⇔ 2 √ x2 +2006 - 2 )2 ¿ 1 = √ x 2+2006 − 1 ⇔ x2 + 2 2 1 1 * x2 + > 0 nªn: x2 + = √ x2 +2006 2 2. 1 4. 2. |. |. (0,5 ®iÓm). - 1 2 * Biến đổi tơng đơng đợc: x4 + x2 – 2005 = 0 (1) §Æt x2 = y ( y 0) . (1) ⇔ y2 + y – 2005 = 0 (2) Giải (2) đợc: y1 = − 1+ √ 8021 : y2 = − 1− √ 8021 (loại) 2. Suy ra: x1 = x2 =. −1+ 8021 2 −1+ √ 8021 −❑ 2. √. √. 2. (0,25 ®iÓm) (0,5 ®iÓm) (0,25 ®iÓm). (0,5 ®iÓm).

(8) Bµi 6: a. Vẽ đồ thị (0.5 đ) b. Khi (d) tiÕp xóc víi (P) ta cã ph¬ng tr×nh:. (2 ®iÓm). 2 - x = mx – 2m – 1. ⇔. 4. x2 + 4mx – 8m – 4 = 0 vµ Δ ' = 0 Tính đợc m = -1. Suy ra: m = - 1 thì (d) tiếp xúc (P) (0,75 ®iÓm) c. Giả xử (d) đi qua điểm cố định A (x0, y0) thuộc (P) thì: y0 = mx0 – 2m –1 đúng với ∀ m x0 = 2 VËy (d) lu«n ®i qua ®iÓm A(2; -1) thuéc (P) (0,75 Tính đợc: Y0 = -1 ®iÓm) Bµi 7: (2 ®iÓm) Điều kiện: x  0; y  0 để √❑ x ; √ y ; √ xy Có nghĩa (0,25 điểm) A = x - 2 √ xy + 3y – 2 √ x + 1 Biến đổi đồng nhất đợc: A = ( √❑ x - √ y - 1)2 + 1 ( 2 √ y - 1)2 - 1 (0,75 ®iÓm) 2 2 x= (tho¶ m·n ®/k) 9 4. Suy ra đợc: min A = - 1 2. ⇔. y=. (tho¶ m·n ®k) (1®iÓm). 1 4. Bµi 8: Vẽ hình đúng, ghi GT, KL sạch, đẹp a. Chỉ ra đợc Δ AOM ∾ BMO’ (g.g) BF  O’M b. Chỉ ra đợc OM  O’M AE  OM BF OM. Chỉ ra đợc. (4 ®iÓm). (0,5 ®iÓm) (0,5 ®iÓm) => BF. (0,5. OM. => AE BF §iÒu ph¶i chøng minh. (0,5 ®iÓm). c, Gäi H lµ giao ®iÓm cña AE vµ OM K lµ giao ®iÓm cña BN vµ MO’ ¸p dông hÖ thøc lîng cho hai tam gi¸c vu«ng AOM vµ BMO’. Ta cã: OA MB. 2. ( ). OA2 = OH . OM => MB2 = MK . MO’. OM = OH . ' MK. (0,5. MO. ®iÓm) Kết hợp: Δ AOM ∾ BMO’(chứng minh câu a) suy ra đợc: OH MK. HN). =. OM ' MO. => OH. OM. =. MK ' MO. => OH. OM. Chỉ ra đợc: Δ OHN ∾ Δ OMO’ (c.g.c) Tính đợc: ONH + HNE +FNO’= 1800 Suy ra: O, N, O’ th¼ng hµng. Bµi 9:. =. HN (Do chứng minh đợc: MK = ' MO. (1,0 ®iÓm) (0,5 ®iÓm) (2 ®iÓm)..

(9) Giả sử hình chữ nhật ABCD đã x E dựng đợc thoả mãn yêu cầu bài toán: A AB – AD = d gãc nhän AOD =  + Thể hiện đợc trên hình vẽ  1. C¸ch dùng: D - Dùng Δ EDB cã EB = d, ❑ O 0; EBD = = 135 BED 2. - Dùng tia BE - LÊy O lµ trung ®iÓm cña BD, dùng DOx. d. B. (0,5 ®iÓm). =  tia BE c¾t Ox t¹i ®iÓm. A.. ( Ox vµ ®iÓm E n»m vÒ 1 phÝa so víi bê BD). - Dựng điểm C đối xứng với A qua O Nối AD, DC, BC đợc hình chữ nhật ABCD 2. Chøng minh: Chỉ ra đợc ABCD là hình chữ nhật Chỉ ra đợc: AB - AD = d DOA =  KÕt luËn: ABCD lµ h×nh ch÷ nhËt cÇn dùng đề số 4 C©u 1(2®) : Gi¶i PT sau : a, x4 - 3x3 + 3x2 - 3x + 2 = 0 b, √ x+2+2 √ x+1+ √ x +2− 2 √ x +1 = 2 C©u 2(2®): a, Thùc hiÖn phÐp tÝnh : √ 13− √100 − √53+ 4 √ 90 b, Rót gän biÓu thøc : 2. B=. 2. (1 ®iÓm). (0,5 ®iÓm). 2. a b c + 2 2 2+ 2 2 2 2 2 2 a − b −c b − c −a c − a − b. Víi a + b + c = 0. C©u 3(3®) : a, Chøng minh r»ng : 1 1 1 <10 √ 2 5 √ 2< 1+ + + .. ..+ √ 2 √ 3 2 √2 50 2 b, T×m GTNN cña P = x + y + z BiÕt x + y + z = 2007 Câu 4(3đ) : Tìm số HS đạt giải nhất, nhì, ba trong kỳ thi HS giỏi toán K9 năm 2007 . Biết : Nếu đa 1 em từ giải nhì lên giải nhất thì số giải nhì gấp đôi giải nhất . NÕu gi¶m sè gi¶i nhÊt xuèng gi¶i nh× 3 gi¶i th× sè gi¶i nhÊt b»ng 1/4 sè gi¶i nh× Số em đạt giải ba bằng 2/7 tổng số giải . C©u 5 (4®): Cho Δ ABC : Gãc A = 900 . Trªn AC lÊy ®iÓm D . VÏ CE BD. a, Chøng minh r»ng : Δ ABD ∞ Δ ECD. b, Chứng minh rằng tứ giác ABCE là tứ giác nội tiếp đợc . c, Chøng minh r»ng FD BC (F = BA CE) d, Góc ABC = 600 ; BC = 2a ; AD = a . Tính AC, đờng cao AH của Δ ABC và bán kính đờng tròn ngoại tiếp tứ giác ADEF. Câu 6 (4đ): Cho đờng tròn (O,R) và điểm F nằm trong đờng tròn (O) . AB và A'B' là 2 dây cung vu«ng gãc víi nhau t¹i F . a, Chøng minh r»ng : AB2 + A'B'2 = 8R2 - 4OF2 b, Chøng minh r»ng : AA'2 + BB'2 = A'B2 + AB'2 = 4R2 c, Gäi I lµ trung ®iÓm cña AA' . TÝnh OI2 + IF2 Đáp án đề số 4 C©u 1(2®) :.

(10) a, PT đã cho <=> (x-1)(x-2)(x2+1) = 0 (0,5®) 2 Do x +1 > 0 víi mäi x => x-1 =0 vµ x-2 = 0 (0,25®) (0,25®) ⇔ x = 1; x = 2 b, |√ x+1+1| + |√ x+1 −1| =2 §KX§ : x -1 (0,25®) ⇔ √ x+1+1 + |√ x+1 −1| =2 (1) NÕu √ x+1 - 1 0 ⇔ x+1 1 ⇔ x 0 th× (1) 2 √ x+1 = 2 ⇔ √ x+1 =1 ⇔ x = 0 (0,25®) Nếu x < 0 thì 2 = 2 (luôn đúng) (0,25®) vËy -1 x 0 lµ nghiÖm cña PT . (0,25®) C©u 2 : (2®) a, √ 13− √100 − √53+ 4 √ 90 (0,25®) = √ 13− 4 √ 10 − √ 53+2 .6 √ 10 (0,25®) 2 2 √ 2− √ 5 ¿ ¿ = 2 √ 2+3 √ 5 ¿2 ¿ ¿ √¿ = 2 √2 - √5 - 2. (0,25®). (0,25®) √ 2 - 3 √ 5 = -4 √ 5 b, V× a + b + c = 0 ⇔ a = - b - c ⇔ a2 = b2 + 2bc + c2 (0,25®) ⇒ a2 - b2 - c2 = 2bc b2 - c2 - a2 = 2ac 2 c - a2 - b2 = 2 ab (0,25®) B=. a2 b2 c 2 a3 +b3 + c3 3 abc 3 + + = = = 2 bc 2 ac 2 ab 2 abc 2 abc 2. C©u 3 :(3®) a, 5 √ 2 < 1 +. 1 + √2. đặt S = 1 + Ta cã S >. 1 + √2. 1 + √ 50. MÆt kh¸c cã : 1 = 1 2 2 = < √ 2 2 √ 2 √ 2+ √ 1. ..... 1 √ 50. 2. 1 √3. 1 √3 1 √50 2. 2 √1. + .... + + .... +. + .... + <. (0,5®). 1 √ 50. 1 √ 50 1 √ 50. < 10 √ 2. =. 1 .50 = 5 √ 50. (0,25®). √2. 2 √1+ √ 0. 2. < = (0,5®) 2 √ 50 √ 50+ √ 49 Cộng 2 vế ta đợc : 2 2 2 + +. . .+ S< √1+ √ 0 √2+ √ 1 √ 50+ √ 49 = 2{( √ 1− √ 0 ¿+( √ 2− √ 1)+. ..+( √ 50− √ 49) } = 2 √ 50 = 10 √ 2 (2) (0,5®) Tõ (1) vµ (2) ⇒ 5 √ 2 < S < 10 √ 2 (®pcm). (0,25®) 2 2 2 b, T×m GTNN P = x + y + z biÕt x + y + z = √ 2007 ¸p dông B§T Bu Nhiacèpxki ta cã : (x + y + z)2 (x2 + y2 +z2) .(12+12+12) (0,5®) 2. ⇔. x 2 + y2 + z 2. x+ y+ z ¿ ¿ ¿ ¿. = 669. (0,25®). VËy GTNN cña P lµ : 669 (0,25®) C©u 4(3®): Gäi sè gi¶i nhÊt, nh×, ba lÇn lît lµ x,y,z Ta cã §K : x,y,z N (0,5®). (0,5®).

(11) Theo đề ra ta có : 2(x+1) = y - 1 4(x-3) = y +3 (0,5®) 2 (x+ y+z) z= 7 2x - y = - 3 (1) <=> 4x - y = 15 (2) (0,5®) 5 2 z= (x+y) (3) 7 7 Lấy (2) - (1) ta đợc 2x = 18 ⇒ x = 9 (0,25đ) Thay x = 9 vµo (1) ⇒ y = 2.9 + 3 = 21 (0,25®) Thay x = 9, y = 21 vµo (3) ⇒ (3) ⇔ 5 z= 2 (9+21) 7. ⇒. VËy :. z=. 2 7 . 30. =12 7 5. x=9. 7. (0,5®). y = 21 z = 12. (0,25®) (0,25®) §¸p sè : Sè gi¶i nhÊt lµ 9 Sè gi¶i nh× lµ 21 Sè gi¶i ba lµ 12 Câu 5(5đ) : Vẽ hình cân đối . GT- KL (0,5đ) E C (1®)a, Δ ABD vµ Δ ECD cã : E = A = 900 K ADB = EDC (đồng dạng) F A B ⇒ Δ ABD ∞ Δ ECD (0,5®)b, Tø gi¸c ABCE néi tiÕp v× BAC = BEC = 1v (1đ)c, Δ FBC có : CA và BE là 2 đờng cao. Giao điểm D của chúng là trực tâm của tam gi¸c . BC t¹i K . ⇒ FD (2®)d, Δ ABC tại A , có B = 600 nên là nửa tam giác đều có BC = 2a . Đờng cao AH và nửa cạnh là AB . Do đó : AC = BC √ 3 = 2 a √ 3 =a √ 3 2 2 1 BC = a 2. AB = tại H có B = 600 nên là nửa tam giác đều có AB = a đờng cao AH, nửa Δ AHB c¹nh BH . AB √ 3 a √ 3 ⇒ AH = = 2 2 t¹i K (chøng minh trªn) cã B = 600 Δ KEB ⇒ KFB = 300. Do đó Δ AFD là nửa tam giác đều .. FD = 2AD = 2a Vì FAD = FED = 1 nên ADEF nội tiếp đờng tròn đờng kính FD = 2a . ⇒ R=a Câu 6 (5đ): Vẽ hình cân đối , viết GT- KL (0,5đ) a, VÏ OH AB ; OK A'B' XÐt 2 Δ vu«ng OHB vµ OKA' cã AB2 = 4R2 - 4 OH2 A'B'2 = 4R2 - 4OK2 (1,5®) ⇒ AB2 + A'B'2 = 8R2 - 4OF2 b, Chøng minh Δ vu«ng FAA' ∞ Δ vu«ng FBB' cã AA' = FA2 + FA'2 2 BB' = FB2 + FB'2 AA'2 + BB'2 = FA2 + FA'2 + FB2 + FB'2 = 4R2 T¬ng tù víi Δ vu«ng FAB' ∞ Δ vu«ng FBA' cã A'B2 + AB'2 = AA'2 + BB'2 = 4R (2®).

(12) c, XÐt Δ vu«ng FAA' cã : IF = AA ' 2 Do đó IO2 + IF2 = R2. (1®). đề số 5 C©u1: Cho hµm sè: y = √ x2 −2 x+1 + √ x2 −6 x +9 a.Vẽ đồ thị hàm số b.T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña y vµ c¸c gi¸ trÞ x t¬ng øng c.Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× y 4 C©u2: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh: a √ 9 −12 x + 4 x 2 = 4 b √ 3 x 2 −18 x+28 + √ 4 x 2 − 24 x +45 = -5 – x2 + 6x c. √ x 2 +2 x −3 + x-1. √ x+3 C©u3: Rót gän biÓu thøc: a A = ( √ 3 -1) √ 6+2 √2 . √ 3 − √ 2+ √12+ √ 18− √ 128 bB=. 1 1 + +....+ 2 √ 1+1 √ 2 3 √ 2+2 √3. 1 1 + 2006 √ 2005+ 2005 √ 2006 2007 √ 2006+2006 √ 2007. C©u4: Cho h×nh vÏ ABCD víi ®iÓm M ë bªn trong h×nh vÏ tho¶ m·n MAB=MBA=150 Vẽ tam giác đều ABN ở bên ngoài hình vẽ. a TÝnh gãc AMN . Chøng minh MD=MN b Chứng minh tam giác MCD đều C©u5: Cho h×nh chãp SABC cã SA SB; SA SC; SB SC. BiÕt SA=a; SB+SC = k.. §Æt SB=x a TÝnh Vhchãptheo a, k, x b Tính SA, SC để thể tích hình chóp lớn nhất. C©u1: ( 4®iÓm) C©u a: (2®). đáp án đề số 5 ¿. 4 – 2x nÕu x ¿ 1 ¿ * Đa đợc về hàm số y= { 2 nÕu 1 x 2x – 4 nÕu x 3 * Vẽ đợc đồ thị hàm số nh hình vẽ : 1 điểm C©u b: 1®iÓm Dùng đồ thị tìm đợc Min y = 2 ⇔ 1 x 3 C©u c: 1 ®iÓm Dùng đồ thị biết y 4 ⇔ x 0; x 4. 3 ( 1® ).

(13) Câu2: Mỗi pt giải đúng: 1,5 điểm a/ √ 9 −12 x + 4 x 2 = 4 3 −2 x ¿2 =4 ⇔ ¿ √¿ ⇔|3 − 2 x| = 4 ( 0,5®) ⇔ 3 –2x = 4 hoÆc 3 – 2x =-4 x = -1/2 hoÆc x= 7/2( 0,75®) ⇔. Tr¶ lêi nghiÖm cña pt (0,25®) b/ √ 3 x 2 −18+28 + √ 4 x 2 − 24 x +45 = -5 –x2+6x 2. Viết đợc:. x − 3¿ +1 = 1 √ 3 x −18+28 3¿ √¿ x − 3¿ 2+ 9 2 √ 4 x − 24 x +45 = 4¿ √¿ 2. -5 –x2+6x= -(x-3)2 + 4. 3. (0,75®). 4. 2. §Ó pt cã nghiÖm th×. x − 3¿ +1 =1 3¿ √¿ 2 x − 3¿ + 9 =3 { 4¿ √¿. ⇔ x=3(1®). -5 –x2+6x = 4. NghiÖm cña pt lµ: x=3 (0,25®). √ x 2 +2 x −3 = x-1. c/. √ x+3. ⇔. √(x −1)( x − 3) =x-1. √ x+ 3 0 do x ⇔ √ x −1 = x-1 ( V× √ x+3 ⇔ √ x −1 (1- √ x −1 ) = 0 ⇔ x =1; x=2 ( Tho¶ m·n ®k) ( 1®). 1. NghiÖm cña pt lµ x=1;x=2 (0,25®) C©u3: (4®iÓm) a Biến đổi đợc A = ( √ 3 -1)( √ 3 +1)=2 (2đ) b Đa ra đợc đẳng thức vận dụng và CM 1 = (k +1) √ k+ k √ k +1. 1 √k. 1 (0,75®) √k + 1. ¸p dông: 1 1 1 1 + +. .. + B= + 2 √ 1+1 √ 2 3 √ 2+2 √ 3 2006 √ 2005+ 2005 √ 2006 2007 √ 2006+2006 √ 2007 1 1 1 1 1 1 = + + ... + √1 √2 √2 √3 √2006 √2007 1 1 2007 −1 √ = = (1,25®) √1 √2007 √ 2007 C©u4: (3,5®iÓm) B C C©u a:(2®) * CM đợc AMN=BMN(c.c.c) §Ó suy ra AMN = 1/2 AMB=1/2 (1800 – 2MAB) N Hay AMN = 1/2(1800-2.150) = 750 (1®) CM đợc AMN=AMD(c.g.c). ( 1®). M A. D.

(14) §Ó suy ra MD =MN C©ub: (1,5®) BMN=BMC(c.g.c) Suy ra : MC = MD ⇒ MCD c©n t¹i M Tính đợc góc MCD = 600 để suy ra MCD đều C©u5: (4®iÓm) C©u a: (2®) V× SA  SB, SA  SC A NÕu SA  mp(SBC)( 1®) SA là đờng cao của hình chóp a ⇒ (1®) ⇒ Ta cã: V = 1/3SA. 1/2SB.SC =1/6ax(k-x) C©u b: ( 2®) S Ta thấy: x + ( k-x) = k không đổi Nªn x( k-x) lín nhÊt khi vµ chØ khi x= k-x ⇔ x= k/2 ( 1®) Khi đó thể tích hình chóp lớn nhất bằng C MaxV = 1/6 . a.k/2.k/2 = 1/24ak2 VËy thÓ tÝch h×nh chãp lín nhÊt khi SB = SC = k/2 ( 1®) Chú ý: Mọi cách giải thích khác đều đợc điểm tối đa đề số 6 C©u 1(2®) 3. B x. 1 √ 7+5 √ 2. Cho x = √ 7+5 √ 2 − 3 TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc : C©u 2(2®) : Cho ph©n thøc :. A = x3 + 3x – 14. 5 4 3 2 B = x −2 x +24 x − 4 x +3 x +6. x +2 x − 8. 1. Tìm các giá trị của x để B = 0. 2. Rót gän B. C©u 3(2®) : Cho ph¬ng tr×nh : x2 + px + 1 = 0 cã hai nghiÖm lµ a vµ b ph¬ng tr×nh : x2 + qx + 2 = 0 cã hai nghiÖm lµ b vµ c Chøng minh hÖ thøc : (b-a)(b-c) = pq – 6 C©u 4(2®) : Cho hÖ ph¬ng tr×nh : mx+4 y=10 −m (1) (m lµ tham sè) x +my =4 (2) 1. Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ theo m. 2. Víi gi¸ trÞ nµo cña sè nguyªn m hÖ cã nghiÖm (x,y) víi x, y lµ c¸c sè nguyªn d¬ng. C©u 5(2®) : Gi¶i ph¬ng tr×nh : √ x+5 − 4 √ x+ 1+ √ x +10 −6 √ x+ 1=1 Câu 6(2đ) : Trong mặt phẳng toạ độ xOy cho tam giác ABC có các đờng cao có phơng trình là : y = -x + 3 và y = 3x + 1. Đỉnh A có toạ độ là (2;4). Hãy lập phơng trình các cạnh của tam gi¸c ABC. Câu 7(2đ) : Với a>0 ; b>0 cho trớc và x,y>0 thay đổi sao cho : a b + =1 . Tìm x,y để x + y đạt giá trị nhỏ nhất. x y Câu 8(2đ) : Cho tam giác vuông ABC (Â= 90 0) có đờng cao AH. Gọi trung điểm của BH là P. Trung ®iÓm cña AH lµ Q. Chøng minh : AP CQ. Câu 9(3đ) : Cho đờng tròn (O) đờng kính AB. Một điểm M thay đổi trên đờng tròn ( M khác A, B). Dựng đờng tròn tâm M tiếp xúc với AB tại H. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến AC, BD đến đờng tròn tâm M. a) Chøng minh CD lµ tiÕp tuyÕn cña (O). b) Chứng minh tổng AC+BD không đổi. Từ đó tính giá trị lớn nhất của AC.BD c) Lờy điểm N có định trên (O) . Gọi I là trung điểm cuả MN, P là hình chiếu của I trên MB. TÝnh quü tÝch cña P. Câu 10(1đ) : Hình chóp tam giác đều S.ABC có các mặt là tam giác đều. Gọi O là trung điểm đờng cao SH của hình chóp.. {.

(15) Chøng minh r»ng : AOB = BOC = COA = 900. đáp án đề số 6. C©u 1: Tõ :. 1 x = √ 7+5 √2 − 3 √ 7+5 √ 2 1 - 3.1.x. ⇒ : x3=7+5 √ 2− 7+5 √ 2 7 − 5 √2 −3 x ⇔ x3 = 7+5 √ 2− (7+5 √ 2)(7 − 5 √2) ⇔ x3 = 7+5 √ 2+ 7 −5 √ 2− 3 x ⇔ x3 = 14 – 3x VËy A = 0 ⇔ x3 + 3x – 14 = 0 3. 1. C©u 2: 1. (1,5®) : * §k X§ : x2 + 2x – 8. 0 ⇔ x 2 vµ x -4 ⇔ (x-2)(x+4) ¿ x 5 −2 x 4 +2 x 3 − 4 x 2 − 3 x +6=0 * §Ó B = 0 th× x2 +2 x − 8 ≠0 ¿{ ¿ xÐt : x5 – 2x4 + 2x3 – 4x2 –3x +6 =0 ⇔ (x-2)(x4+2x2-3) = 0 2 2 (x-2)(x2+3)(x-1)(x+1) = 0 ⇔ (x-2)[(x +1) – 4] = 0 ⇔ ⇒ x = 2 ; x = 1 ; x = -1. KÕt hîp víi ®iÒu kiÖn th× : x = ± 1 Vậy để B = 0 thì x = ± 1. 0. 2. (0,5®) : 2 2 2 2 B = ( x − 2)(x +3)(x −1) = (x + 3)(x −1). ( x − 2)( x + 4). x +4. Câu 3: Theo định lý Vi ét ta có :. ¿ a+b=− p ab=1 ¿{ ¿. vµ. ⇒ (a+b)(b+c) = p.q ⇔ ab + ac + b2 + bc = pq ⇔ b2 – bc – ab + ac = pq – 2ab – 2bc ⇔ (b-c)(b-a) = pq - 6. ¿ b+ c=−q bc=2 ¿{ ¿. C©u 4: (1®) : 1. Ta cã : x = 4 – my. Thay vµo Pt (1) ta cã : (4-m2)y = 10 – 5m. a. Víi m ± 2 Ta cã : y= 5 ; x= 8 −m m+ 2. x+ 2. VËy hÖ cã nghiÖm duy nhÊt : b. Víi m = 2 hÖ trë thµnh : HÖ nµy cã v« sè nghiÖm. c. Víi m = -2 hÖ trë thµnh : HÖ nµy v« nghiÖm. 1. (1®) :. x=. 8− m m+2. ¿ 2 x + 4 y=8 x+ 2 y =4 ¿{ ¿ ¿ −2 x+ 4 y =12 x −2 y=4 ¿{ ¿. ;. y=. 5 m+ 2.

(16) * Khi m≠ ± 2 hÖ cã nghiÖm duy nhÊt : x= 8− m ; y= 5 m+2 m+ 2 §Ó y nguyªn d¬ng th× m+2 lµ íc nguyªn d¬ng cña 5 m+2=1 ¿ m+ 2=5 ¿ ⇔ ¿ m=−1 ¿ m=3 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿. khi m = -1 ⇒ x = 9 vµ y = 5 ( tho¶ m·n ®k) khi m = 3 ⇒ x = 1 vµ y = 1 ( tho¶ m·n ®k ) * Khi m = 2 hÖ cã v« sè nghiÖm tho¶ m·n x + 2y = 4 ⇔ x = 4 – 2y mµ x > 0 ⇒ 4 – 2y > 0 ⇒ y < 2 mµ y nguyªn d¬ng ⇒ y = 1 vµ x = 2 C©u 5: §kX§ : x −1 phơng trình đã cho tơng đơng với : √ x+1 −2 ¿2 ¿. √ x+1 −3 ¿2. §Æt : u = √ x+1 khi đó (1). ¿ ¿ ¿ √¿. (1). §k : u ≥0. 2. u −2 ¿ ¿ u −3 ¿2 ¿ ¿ ¿ ⇔√¿ ⇔ |u −2|+|u− 3|=1. Ta cã b¶ng sau : u. - ∞. (2) 2. 3. +. ∞. -u+2 0 u–2 u-2 -u+3 -u + 3 0 u–3 PT - 2u + 5 = 1 1=1 2u – 5 = 1 NghiÖm NghiÖm cña ph¬ng tr×nhu(2) = 2lµ ∀ u ∈ [ 2; 3 ] tøc 2≤ ulµ≤ 3 ∀ x sao chou = 3 2≤ √ x+ 1≤ 3 |u −2| |u −3|. ⇔ 4 ≤ x +1 ≤ 9 ⇔3 ≤ x ≤ 8. Vậy phơng trình đã cho là : ∀ x ∈ [ 3 ; 8 ] Câu 6: Ta thấy A không thuộc hai đờng cao có phơng trình đã cho vì toạ độ của A không nghiệm đúng hai phơng trình đã cho . Suy ra hai đờng cao này phải kẻ tại B và C. Giả sử đờng cao BH có phơng trình : y = - x + 3 đờng cao CK có phơng trình : y = 3x + 1 * C¹nh AC BH vµ qua A(2;4) nªn ph¬ng tr×nh cã d¹ng : y = ax + b trong đó : a = 1 và 4 = 2a + b suy ra b = 2 ⇒ : (AC) : y = x + 2 AC và CK cắt nhau tại C nên toạ độ điểm C là nghiệm của hệ :.

(17) ¿. 1 2 5 y= 2 1 5 ⇒C ( ; ) 2 2 ¿{ ¿ x=. ¿ y=3 x +1 y=x +2 ⇔ ¿{ ¿. * C¹nh AB. CK vµ qua A(2,4) nªn ph¬ng tr×nh cã d¹ng : 1 3 14 ⇒ b= 3. ⇒ a=−. y = ax + b trong đó : a.3 = -1 vµ 4 = 2a + b. (AB) : y = − 1 x +14 3 3 AB và BH cắt nhau tại B nên toạ độ điểm B là nghiệm của hệ: ⇒. ¿ y=− x +3 1 14 y=− x + 3 3 ⇔ 5 ¿ x=− 2 11 y= 2 5 11 ⇒ B(− ; ) 2 2 ¿{ ¿. * Từ toạ độ điểm B và C ta có phơng trình của BC có dạng : y = ax + b trong đó : a, b thoả mãn :. ⇒. ¿ 11 5 =− a+ b 2 2 5 1 = a+b 2 2 ⇔ ¿ a=−1 b=3 ¿{ ¿. (BC) : y = -x + 3 C©u 7: ¸p dông B§T Bu_ nhi_ a_ cèp_ xki ta cã : 2. x+ y=( √ x + √ y. hay. 2. ). a 2 + x. b y. 2. (√( ) √( ) ) ( √. x+ y ≥ ( √ a+ √ b ). DÊu “=” x¶y ra khi :. ≥. 2. a. b. √x =√ y a x. √ √. b y. x y x+ y = = = √ a+ √ b hay : √ a √ b √ a+ √ b Tøc lµ : khi x=√ a ( √ a+ √ b ) ;. 2. √). √ x. x +√ y . y. y=√ b ( √ a+ √ b ).

(18) VËy min (x+y) = ( √ a+ √ b ) 2 khi : x=√ a ( √ a+√ b ) y=√ b ( √ a+ √ b ) C©u 8: Gäi I lµ giao ®iÓm cña CQ vµ AP Ta cã : CAH = ABH (1) ( 2 gãc cã c¹nh t¬ng øng vu«ng gãc) Hai tam gi¸c vu«ng CAH vµ ABH cã 1 gãc nhän b»ng nhau ⇒ ΔCAH ~ Δ ABH ⇒ AB = BH CA. AH. AB 2 BP AB BP ⇒ = ⇒ = (2) CA 2 AQ CA AQ Tõ (1) vµ (2) ⇒ Δ ABP ~ ΔCAQ (c.g.c) AP BP ⇒ = mµ BP =PH ⇒ AP = PH CQ AQ AQ QH CQ QH ⇒ Δ HCQ ~ ΔHAP (c¹nh gãc vu«ng vµ c¹nh huyÒn t¬ng øng tØ lÖ) ⇒ HAP = HCQ. Xét tam giác IQA và HQC có : Q1 = Q2 (đối đỉnh) HAP = HCQ ( chøng minh trªn) ⇒ Δ IQA ~ Δ HQC⇒ AIQ = CHQ = 900 hay : AI CQ (®pcm). 1. C©u 9: (1®) : 1. Theo tÝnh chÊt cña 2 tiÕp tuyÕn xuÊt ph¸t t¹i mét ®iÓm ta cã : CMA = HMA vµ DMB = HMB Từ đó : CMA + DMB = HMA+HMB = 900 ⇒ CMA + DMB + AMB = 1800 ⇒ C , M , D th¼ng hµng ⇒ AC//BD ( cïng vu«ng gãc víi CD) Trong hình thang ABDC thì OM là đờng trung bình nên : OM//AC ⇒ OM ⊥CD tại M ; OM làbán kính đờng tròn (O) VËy CD tiÕp xóc víi (O) t¹i M 2.(1®) : Ta cã : AC = AH ; BD = BH ⇒ AC + BD = AB không đổi. Ta cã : 4AC.BD = (AC+BD)2 – (AC-BD)2 Bëi vËy tÝch AC.BD lín nhÊt khi vµ chØ khi (AC–BD)2 nhá nhÊt Tức là : AC = BD = OM. Khi đó M là điểm chính giữa của cung AB. 3. (1®) : KÐo dµi PI c¾t AN t¹i K thÕ th× : PK // AM ( cïng vu«ng gãc víi MB) Do I lµ trung ®iÓm cña MN nªn K lµ trung ®iÓm cña AN Bởi vậy K cố định. Suy ra P chạy trên đờng tròn đờng kính KB C©u 10: Gäi a lµ c¹nh cña h×nh chãp. M lµ trung ®iÓm cña AB Ta cã : CH= 2 CM= a √ 3 ; SH = a √ 6 ; OH= a √ 6 3. 3. 2. 3. 2. 2. 6. 2. OC2 = CH2 + OH2 = a + a = a 2. 3. 6. T¬ng tù : OB2 = OA2 = a. 2. 2 2 Tam gi¸c BOC cã OB2 + OC2 = a + a =a2 = BC2 2 2 Suy ra BOC = 900 T¬ng tù : AOB = COA = 900 §Ò sè 7. Bµi 1(2 ®iÓm). TÝnh sè trÞ cña biÓu thøc: A = (1,2345) ❑4 +(0,7655) ❑4 - (1,2345) ❑3 .(0,7655) ❑2 - (1,2345) ❑2 .(0,7655) 3 +4,938.3,062 ❑ Bµi 2(2 ®iÓm) TÝnh:.

(19) Bµi 3(2 ®iÓm) Gi¶i ph¬ng tr×nh: 2. x+ a ¿ −1 ¿ x+1¿2 − − a2 ¿ a+1¿ 2 ¿ a+1¿ 2 x 2 −¿ x 2 −¿ ¿ ¿ 1 ¿. ( a lµ h»ng sè). Bµi 4(2®iÓm) Có 3 thùng đựng nớc. Lần thứ nhất ngời ta đổ ở thùng I sang hai thùng kia một số nớc bằng số nớc ở mỗi thùng có lúc đó. Lần thứ hai ngời ta đổ ở thùng II sang hai thùng kia gấp đôi số nớc ở mỗi thùng có lúc đó. Lần thứ ba ngời ta đổ ở thùng III sang hai thùng kia một số nớc bằng số nớc ở mỗi thùng có lúc đó. Cuối cùng mỗi thùng đều có 24 lít nớc. TÝnh sè lÝt níc ë mçi thïng lóc ®Çu. Bµi 5(2®iÓm) Gi¶i ph¬ng tr×nh: x 3+ x 2 + x - 2 ¿2 ¿ ¿ √¿. Bµi 6(2®iÓm) §å thÞ hµm sè: y = a x 2 ®i qua ®iÓm A( -2; -2). a, Xác định hệ số a. b, Ngoài điểm A, trên parabol y = a x 2 còn có những điểm nào cách đều hai trục toạ độ? Bài 7(2điểm) Tìm các số nguyên x, y, z thoả mãn bất đẳng thức: Bµi 8(2®iÓm) Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ đờng cao AH. Gọi P là trung điểm của BH và Q là trung ®iÓm cña AH. 1, Chứng minh rằng hai tam giác ABP và CAQ đồng dạng. 2, Chøng minh AP vu«ng gãc víi CQ. Bài 9(2điểm) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp trong đờng tròn (O; R). Hai đờng cao BD và CE cắt nhau tại H. Chứng minh rằng: OA vuông góc với DE. Bài 10(2điểm) Một điểm A di động trên nửa đờng tròn đờng kính BC cố định. Đờng thẳng qua C và song song với BA cắt đờng phân giác ngoài của góc BAC của tam giác ABC tại D. Khi A di động trên nửa đờng tròn đờng kính BC thì D chuyển động trên đờng nào? Đáp án đề số 7 Bµi 1(2 ®iÓm) §Æt a = 1,2345; b = 0,7655 ta cã: a + b = 2; 4a = 4,938; 4b = 3,062 vµ A = a4 + b4- a3b2 - a2b3+ 16ab (0,25 ®) = a4 + b4 - a2b2(a+b) + 16ab = a4 + b4 - 2a2b2 + 16ab (0,25 ®) =(a2-b2)2+ 16ab (0,25 ®) =(a+b)2(a-b)2 + 16ab =4(a-b)2+16ab (0,25 ®) a −b ¿ 2+ 4 ab =4 ¿ ¿. =4(a+b)2 = 16 Bµi 2(2 ®iÓm) Ta cã:. (0,5 ®) (0,5 ®).

(20) ¿ 2006 2006 2006 2006 (1+ )(1+ )(1+ ).. .(1+ ) 1 2 3 2007 B= 2007 2007 2007 2007 (1+ )(1+ )(1+ ).. .(1+ ) 1 2 3 2006 ¿ 1+ 2006 2+2006 3+2006 2007+2006 ( )( )( ). ..( ) 1 2 3 2007 = 1+ 2007 2+2007 3+2007 2006+2007 ( )( )( ). ..( ) 1 2 3 2006 2007 .2008 . 2009. . .. . 4013 1 .2 .3 . .. . .2006 = . 2008 .2009 . 2010. .. . 4013 1 .2 .3 . .. . .2007. (0,25 ®) (0,75 ®) (0,5 ®) Bµi. =1 3(2®iÓm) x+ a ¿2 −1 ¿ x+1¿2 − − a2 ¿ a+1¿ 2 ¿ 2 a −1 ¿ 2 x −¿ x 2 −¿ ¿ ¿ 1 ¿ ⇔. (1). 1 1 1 1 + −− + ( x +a+ 1)( x +a −1) ( x+ a+1)( x − a+1) ( x +a+ 1)( x −a −1) (x+ a −1)( x − a+1). §KX§: x - a-1; x - a +1; x - a - 1; x -a+1 (1) ⇒ (x - a + 1)(x - a - 1) + (x - a - 1)(x + a - 1) = (x + a - 1)(x - a + 1) + (x - a - 1)(x + a + 1). (0,25 ®). ⇔ (x - a)2- 1 + (x - 1)2 - a2 = x2- (a - 1) + x ❑2 - (a + 1) ❑2 ⇔ − ax + x = a ❑2 + 1 (2) ⇔ − (a + 1)x = a ❑2 + 1. (0,5 ®). NÕu a = -1 th× ph¬ng tr×nh v« nghiÖm. 2 -1 th× ph¬ng tr×nh (2) cã nghiÖm lµ x = a +1. NÕu a. Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau víi a 2.    . -1:. a+1. (0,25 ®). 2. a+1 ¿ ⇔− a +a+1=0 ⇔ − a∈ −Φ 2 a +1 =− a −1 ⇔− a2 +1=− ¿ a+1 2 a+1 ¿ ⇔ 2 a=0 ⇔−a=0 . 2 a +1 =a+1 ⇔− a2 +1=− ¿ a+1 2 a +1 =−a −1 ⇔ − a2 +1=a2 − 1 ⇔−a ∈ Φ a+1 a2 +1 =1− a ⇔ − a2 +1=1 −a 2 ⇔ − 2 a2=0 ⇔ −a=0 a+1. (0,5 ®). VËy: - NÕu a = 0 hoÆc a= -1 th× ph¬ng tr×nh v« nghiÖm. - NÕu a. -1, a. 2 0 th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt x= a +1. Bµi 4(2 ®iÓm) Gäi : sè níc ë thïng II lóc ®Çu lµ x lÝt,. 2. (0,5 ®).

(21) sè níc ë thïng III lóc ®Çu lµ y lÝt, sè níc ë thïng I lóc ®Çu lµ z lÝt. §iÒu kiÖn: x,y,z >0. Tæng sè níc ë 3 thïng lµ: 24.3= 72 (lÝt) (0,25 ®) Suy ra: lóc ®Çu thïng I cã 72- x - y ( lÝt) Sau lÇn thø nhÊt thïng II cã 2x lÝt, thïng III cã 2y lÝt nªn thïng I cã 72 - 2x - 2y (lÝt) (0,25 ®) Sau lÇn thø hai thïng I cã 3( 72 - 2x - 2y) = 216 - 6x - 6y (lÝt), thïng III cã 2y.3 = 6y (lÝt) nªn thïng II cã 72 - (216 - 6x - 6y) - 6y = 6x - 144 ( lÝt) (0,25 ®) Sau lÇn thø ba thïng II cã 2(6x - 144) = 12x - 288 (lÝt), thïng I cã : 2(216 - 6x - 6y) = 432 - 12x - 12y ( lÝt) Cuèi cïng mçi thïng cã 24 lÝt. (0,25 ®) Theo bµi ra ta cã hÖ ph¬ng tr×nh: { 432 −12 x −12 y=24 12 x −288=24 ¿{. (0,25 ®). Giải hệ phơng trình đợc : {. x=26 y =8. (0,25 ®). Suy ra z = 38 Các giá trị x,y,z tìm đợc đều thoả mãn điều kiện lớn hơn 0 Tr¶ lêi: Lóc ®Çu thïng I cã 38 lÝt níc Lóc ®Çu thïng II cã 26 lÝt níc ¿ ¿ Lóc ®Çu thïng III cã 8 lÝt níc. ¿. (0,25 ®) (0,25 ®). Bµi 5(2 ®iÓm). x 3+ x 2 + x - 2 ¿2 ¿ ¿ √¿ ⇔ −|x 3+ x 2 + x − 2|=x 3 − x 2− − x+ 2 x3 + x 2 + x − 2=x 3 − x 2 − x +2 ⇒ x 3+ x 2 + x − 2=−(x 3 − x 2 − x +2) ¿ 2 2 x +2 x − 4=0 ⇔− 2 x3 =0 ¿ 2 x + x −2=0 ⇔− x=0 ¿ Giải phơng trình x 2+ x −2=0 tìm đợc x1 = 1, x2 = - 2;. Thử các giá trị tìm đợc vào phơng trình ban đầu ta thấy: x1 = 1 tho¶ m·n x2 = -2 kh«ng tho¶ m·n x = 0 tho¶ m·n Vậy phơng trình đã cho có hai nghiệm là x = 1, x = 0. Bµi 6(2 ®iÓm) a) (0,5 ®) Parabol y = ax2 ®i qua ®iÓm A(- 2; - 2) nªn - 2 = a(- 2)2 ⇔− - 2 = 4x ⇔ a = -. (0,25 ®) (0,25 ®). (0,25 ®) (0,5 ®). (0,5 ®) (0,25 ®) (0,25 ®). 1 2. b) (1,5 ®) Tập hợp các điểm cách đều hai trục toạ độ là các đờng thẳng y = x và y = - x. (0,25 ®). (0,25 ®) Toạ độ các điểm nằm trên Parabol và cách đều hai trục toạ độ là nghiệm của các hệ phơng trình:.

(22) {. 1 2 y=− x 2 y=x. (I). vµ. {. 1 2 y=− x 2 y=− x. (II). (0,5 ®). Giải hệ phơng trình (I) tìm đợc: ( x = 0; y = 0) hoặc (x = - 2; y = - 2). (0,25 đ) Giải hệ phơng trình (II) tìm đợc: ( x = 0; y = 0) hoặc (x =2; y = - 2). (0,25 đ) Nh vậy ngoài điểm A( -2; -2) trên parabol còn có các điểm O(0; 0) và B(2; -2) cách đều hai trục toạ độ. (0,25 ®) Bµi 7 (2 ®iÓm) 2 2 2 Ta cã: x + y + z < xy+3 y +2 z −3 2. 2. 2. ⇔ − x + y + z − xy −3 y −2 z+3< 0 ⇔ − x 2+ y 2+ z 2 − xy −3 y −2 z+ 3≤ −1 −−(v × x , y , z ∈ Z)−−− −−− −− −−− −−− −−− −(0,5 ®) y2 y2 ⇔ − x 2 − xy + +3( − y+1)+ z 2 − 2 z +1 ≤0 4 4 2 z − 1¿ ≤ 0 −−− −−− −− −−− −−− −−− −− −−− −−− −−− −−(0,5 ®) ¿ y y ⇔ −(x − =0; − −1=0 ; − z −1=0)− −−− −−− −−− −− −−− −−− −−− −− −−− −−−(0,5 ®) 2 2 ¿ ¿ y − 1¿2 +¿ 2 y x − ¿2+ ¿ 2 ⇔ −¿. VËy (x = 1, y = 1, z = 1) Bµi 8(2 ®iÓm) Học sinh vẽ hình đúng, ghi đủ, gọn GT, KL 1.(1 ®iÓm) Ta cã: Δ ABC  CAH ⇒. ®). (0,5 ®). AB BH = CA AH. (0,25 ®) (0,25. Do BP = 1 BH vµ AQ = 1 AH nªn tõ tØ sè trªn ta suy ra: AB = BP (1) (0,25 ®) 2 2 CA AQ Ta l¹i cã: ∠ ABP = ∠ CAQ (2) Tõ ( 1) vµ (2) suy ra: ABP  CAQ (0,5 ®) 2) (0,75 ®iÓm) Do ABP  CAQ nªn ∠ BAP = ∠ ACQ (0,25 ®) ∠ BAP + ∠ PAC = 900 0. ⇒ −∠ ACQ −+− ∠PAC=90 ⇒ −∠ CIA=90 0 − hay − − AP ⊥ CQ. Bµi 9(2 ®iÓm) Học sinh vẽ hình đúng, ghi đủ, gọn GT, KL CE c¾t (O) t¹i M, BD c¾t (O) t¹i N. ∠ MBA −−∠ MCA ( hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung AM) ∠ ABN=−∠ MCA ( cïng phô víi gãc BAC) Suy ra: ∠ MBA=− ∠ABN −⇒ cung AM b»ng cung AN. (0,5 ®) (0,25 ®). (0,5 ®) (0,25 ®) ⇒ OA ⊥ MN Tam giác BMH có BE vừa là đờng cao vừa là đờng phân giác nên là tam giác cân đỉnh B, suy ra E lµ trung ®iÓm cña MH. Chøng minh t¬ng tù ta còng cã D lµ trung ®iÓm cña HN. Do đó DE là đờng trung bình của tam giác HMN, suy ra DE// MN (0,5 ®) Ta cã DE// MN ,OA MN nªn OA DE. (0,5 ®) Bµi 10(2 ®iÓm) Chứng minh đợc tam giác ACD vuông cân tại C suy ra : ∠ CAD=−∠ CDA=450 (0,5 ®) Gọi I là giao điểm của AD và nửa đờng tròn.

(23) ⇒ −∠CAI=∠ CBI=45 0 ⇒ I là điểm chính giữa của nửa đờng tròn cố định đờng kính BC,I cố định.. (0,5 ®) 0. Mà ∠ CDI=45 , CI cố định . Suy ra D thuéc cung chøa gãc 450 dùng trªn ®o¹n CI. §Ò sè 8 PhÇn I: Tr¾c nghiÖm kh¸ch quan C©u 1: Víi a>0, b>0; biÓu thøc . a− 2 √ ab : √ a b»ng a+2 √ ab √a A: 1 B: a-4b C: √ a −2 √ b D: √ a+2 √ b C©u 2: Cho bất đẳng thức:. (1,0 ®) ( 1.5®). ( 1.5®). (II): 2 √ 3 +4> 3 √ 2 + √ 10 (III): √ 30 > 4 √2 + √6 2 √2 Bất đẳng thức nào đúng A: ChØ I B: ChØ II C: ChØ III D: ChØ I vµ II C©u 3: ( 1.5®) Trong c¸c c©u sau; c©u nµo sai ( I ): 3+ √ 5 <2. 2. Ph©n thøc. 2. x −y 3 3 3 3 ( x − y )( x + y ). b»ng ph©n thøc 2. x+ y ( x + xy + y 2)( x 3 + y 3 ). a/. d/.. b/.. 2. 1 x + x y 2+ y 4 4. x− y ( x − y )(x 2 − xy + y 2 ) 3. 3. 2 2. x +y ¿ 2 2 c/. x y ¿ 1 ¿. 2. PhÇn II: Bµi tËp tù luËn. C©u 4: Cho ph©n thøc: 5 4 3 2 M= x −2 x +22 x − 4 x −3 x +6. x +2 x − 8. a/. Tìm tập xác định của M. b/. Tìm các giá trị cảu x đê M=0 c/. Rót gän M. C©u 5: Gi¶i ph¬ng tr×nh : x+. 2(3 − x) 5. 7 x+2+. (4.0®) 9 −3 x 5. 5 x − 4 (x − 1) 2 (1) = + 14 24 12 3 59 − x 57 − x 55 − x 53 − x 51 − x b/. + + + + =− 5 (2) 41 43 45 47 49. a/.. −. C©u 6: ( 6.0®) Cho hai đờng tròn tâm O và tâm O’ cắt nhau tại A và B. Một cát tuyến kể qua A và cắt đờng tròn (O) ở C và (O’) ở D. gọi M và N lần lợt là trung điểm của AC và AD. a/. Chøng minh : MN= 1 CD 2 b/. Gọi I là trung điểm của MN. chứng minh rằng đờng thẳng vuông góc với CD tại I đi qua 1 điểm cố định khi cát tuyến CAD thay đổi. c/. Trong số những cát tuyến kẻ qua A , cát tuyến nào có độ dài lớn nhất. C©u 7: ( 3.5®) Cho hình chóp tứ giác đều SABCD AB=a; SC=2a a/. TÝnh diÖn tÝch xung quanh vµ diÖn tÝch toµn phÇn cña h×nh chãp b/. TÝnh thÓ tÝch cña h×nh chãp. Đáp án đề số 8 I/. Tr¾c nghiÖm.

(24) C©u 1: A:1 C©u 2: D: ChØ I vµ II C©u 3: 2. ( 1.5®) (1.5®) ( 1.5®). 2 2. x +y ¿ 2 2 c/. x y ¿ 1 ¿. II/. Tù luËn C©u 4: a/. XÐt x2+2x- 8=0 <=> (x+1)1- 9 = 0 <=> (x-2)(x+4) = 0 => x=2; x=4 TX§ : { x/x ( Q; x 2; x ≠− 4 } b/. §Ó M= 0 ta ph¶i cã: x5 – 2x4+2x3- 4x2-3x+6 = 0 Phân tích vế trái thành nhân tử. ta đợc ( x-2)(x4+ 2x2-3) =0 <=> (x-2)(x2+3)(x-1)(x+1) =0 <=> x=2; x= ± 1 theo (c©u a) x 2; x ≠− 4 vËy M=0 khi x= ± 1. ( 1.0®) ( 2.0®). 2 2 c/. M= ( x + 3)(x −1). (1.0®). C©u 5: a/.. ( 4.0®) ( 2.0®). x +4. (1) <=> 5 x +2(3 − x ) − 5 x − 4(x −1) =35 x +10+ 9− 3 x + 2 70 24 60 3 <=> 12( 5x+6-2x)-35(5x-4x+4)=14(35x+19-3x)+560 <=> 36x+72 - 35x-140 = 148x +266+ 560 <=> - 447x= 894 => x= - 2 b/.. ( 2.0®). (2) <=> 59 − x +1 + 57 − x +1 + 55− x + 1 + 53 − x +1 + 51 − x +1 =0 41 43 45 47 49 ¿ 100 − x 100 − x 100 − x 100 − x 100 − x <=> + + + + =0 41 43 45 47 49 1 1 1 1 1 <=>(100 − x).( + + + + )=0 41 43 45 47 49 ¿ 1 1 1 1 1 V× ( + + + + )≠ 0 -> 100- x= 0 -> x= 100 41 43 45 47 49. (. )(. )(. )(. C©u 6: a/. MN= AM+ AN = 1 AC= 2 (1.5®). )(. ). (4.0®). 1 CD= AC+CD 2 2. b/. Tứ giác OO’MN’ làh ình thang. TK là đờng trung bình của nó nên K là trung điểm của OO’ vậy K là cố định M’ M N’ (1.5®) c/. Qua A kÎ c¸t tuyÕn C’ C’D’//OO’ kÎ OM’ C’D’ vµ ON’ C’D’ -> C’D’ = 2M’N’= 2 OO’ vËy C’D’> CD hay c¸t tuyÕ qua A song song OO’ lµ c¸t tuyÕn lín nhÊt C©u 7: a/.. A. D’ D. 0 K. B. N. 0’ ( 2.0®).

(25) ¿. √. +SH= 4 a2 −. a2 a = √ 15 4 2. 2a. 1 a Sxq= . 4 a . √15=a2 √ 15 2 2 ¿ + STP= Sxq + S®. D. C a 2. = a2 √ 15+ a2=a2 ( √ 15+1) A. a. O. B. H. b/.. 1 1 V = Bh= a2 . h(1) 3 3 a 7 mµ h= 4 a2 − =a (2) 2 2 1 2 7 1 3 7 thay (2) vµo(1)− V = a . a = a 3 2 3 2. √. √. √. √. ( 1.5®). §Ò sè 9. Bµi 1 (2®): 1. Cho biÓu thøc:. √ x+1 + √ xy + √ x +1 : 1− √ xy+ √ x − √ x+ 1 √ xy+ 1 1− √ xy √ xy −1 √ xy +1 a. Rót gän biÓu thøc. 1 1 + =6 T×m Max A. b. Cho √x √ y 2. Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn d¬ng n ta cã: A=. (. )(. ). 2. n+1 ¿ ¿ ¿ 1 1 1+ 2 + ¿ n. S=. √. 1+. từ đó tính tổng: 1 1 1 1 1 1 + 2 + 1+ 2 + 2 +. . ..+ 1+ + 2 2 1 2 2 3 2005 20062. √. √. Bµi 2 (2®): Ph©n tÝch thµnh nh©n tö: A = (xy + yz + zx) (x + y+ z) – xyz Bµi 3 (2®): 1. Tìm giá trị của a để phơng trình sau chỉ có 1 nghiệm: − 5 a(2 a+3) x +6 a+ 3 = x + a+1 ( x − a)( x+ a+1). 2. Gi¶ sö x1,x2 lµ 2 nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: x2+ 2kx+ 4 = 4 Tìm tất cả các giá trị của k sao cho có bất đẳng thức: x1 2 x 2 2 + ≥3 x2 x1. ( )( ). Bµi 4: (2®) Cho hÖ ph¬ng tr×nh: ¿ 1 m + =2 x−1 y−2 2 3m − =1 y −2 x −1 ¿{ ¿. 1. Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh víi m = 1 2. Tìm m để hệ đã cho có nghiệm. Bµi 5 (2®) :.

(26) √ 3 x 2 +6 x +7+√ 5 x2 +10 x+ 14=4 − 2 x − x 2. 1. Gi¶i ph¬ng tr×nh:.  y 3  9 x 2  27 x  27 0  3 2  z  9 y  27 y  27 0  x 3  9 z 2  27 z  27 0 . 2. Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: Bài 6 (2đ): Trên mặt phẳng toạ độ cho đờng thẳng (d) có phơng trình: 2kx + (k – 1)y = 2 (k lµ tham sè) 1. Tìm k để đờng thẳng (d) song song với đờng thẳng y = √ 3. x ? Khi đó hãy tính góc tạo bëi (d) vµ tia Ox. 2. Tìm k để khoảng cách từ gốc toạ độ đến đờng thẳng (d) là lớn nhất? Bài 7 (2đ): Giả sử x, y là các số dơng thoả mãn đẳng thức: x+ y=√ 10 Tìm giá trị của x và y để biểu thức: P=( x 4 +1)( y 4 +1) đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất ấy. Bài 8 (2đ): Cho  ABC với BC = 5cm, AC= 6cm; AB = 7cm. Gọi O là giao điểm 3 đờng ph©n gi¸c, G lµ träng t©m cña tam gi¸c. Tính độ dài đoạn OG. Bài 9(2đ) Gọi M là một điểm bất kì trên đờng thẳng AB. Vẽ về một phía của AB các hình vu«ng AMCD, BMEF. a. Chøng minh r»ng AE vu«ng gãc víi BC. b. Gäi H lµ giao ®iÓm cña AE vµ BC. Chøng minh r»ng ba ®iÓm D, H, F th¼ng hµng. c. Chứng minh rằng đờng thẳng DF luôn luôn đi qua một điểm cố định khi M chuyển động trên đoạn thẳng AB cố định. d. Tìm tập hợp các trung điểm K của đoạn nối tâm hai hình vuông khi M chuyển động trên đờng thẳng AB cố định. . Bài 10 (2đ): Cho xOy khác góc bẹt và một điểm M thuộc miền trong của góc. Dựng đờng th¼ng qua M vµ c¾t hai c¹nh cña gãc thµnh mét tam gi¸c cã diÖn tÝch nhá nhÊt. Đáp án đề số 9 C©u 1 1/ a) §k : x  0; y  0; x.y  1. Quy đồng rút gọn ta đợc: 1 A= √x. y 1 1 1 1 + =6 ⇒ A= . ≤9 b) √x √ y √x √ y 1 1 1 = =3 ⇔ x = y=  Max A = 9  9 √x √ y 1 1 2 1 1 2 2 2 1 1 1+ − =1+ 2 + + − − =1+ 2 + 2 n n+1 n ( n+1 ) n n+ 1 n(n+ 1) n ( n+1 )2 1 1 1+ − +¿ 1 2 S= ¿ ¿ 1 4024035 ¿ 2006 − = 2006 2006. 2/. (. ). C©u 2 A= (xy+ yz+ zx) (x+y+ z) – xyz = xy (x+ y+ z)+ yz (x+ y + z) + zx (x+ z) = y (x+ y + z) (x+z)+ zx (x+ z) = (x+ z) [y(x+ y+ z)+ zx] = (x+ z ) [x (y+ z) + y ( y+ z)] = (x+ y) (x+ z) ( y+ z) C©u 3 1/ §k: x  (a+ 1) ; x  a (*) (1)  (x + 6a +3) (x- a) = - 5a (2a+ 3)  x2+ (5a+ 3)x + 4a(a+ 3) = 3 (2) Pt (2) cã nghiÖm: x1= 4a; x2= -(a+3) PT(1) cã 1 nghiÖm  : a) x1 = x2 vµ T/m (*)  4a = - (a+3)  a=1.

(27) Khi đó : x1 = x2 = - 4 T/m (*) b) .x1 kh«ng t/m (*)  4a = - (a+ 1) hoÆc – 4a = a +) 4a = -(a+1)  a= 1 khi đó x2= − 10 T/m (*) 3 3 +) - 4a= a  a = 0. Khi đó : x2 = -3 T/m (*) c) x2 kh«ng tháa m·n (*)  - (a+ 3) = a v× - (a+ 3)  - (a+ 1)  a = − 3 khi đó : x = - 6 thoả mãn (*). 2. KÕt hîp a, b, c ta cã: 4 gi¸ trÞ cña a lµ: 1; 1 ; 0; − 3 3 2 2/ Ta thÊy: x1  0; x2  0. x1 2 x1 x2 x2 2 +2 . . + ≥3+ 2 x2 x2 x1 x1. ( ) Ta cã :. ( ) ). x1 x2 2 ⇔ + ≥5 x2 x1. (. x1 x2 + ≥ √ 5(1) x2 x1 2 2 2 2 x x x +x x + x MÆt kh¸c : 1 + 2 = 1 2 = 1 2 > 0 (2) x2 x1 x1 . x2 4 2 x 1+ x 2 ¿ x1 x2 ¿ Tõ (1) vµ (2) ta suy ra:  + ¿ x2 x1 √5 ⇔ ¿ 2 −2 k ¿ ¿  ¿ ¿ ¿ x ≠1 C©u 4 1/ §k: y ≠ 2 ¿{ ¿ ¿ 1 u= x −1 §Æt §k : u, v  0. 1 v= y −2 ¿{ ¿ ⇔. | |. Ta cã hÖ ph¬ng tr×nh: ¿ u+ mv=2(1) 2 v − 3 mu=1(2) ¿{ ¿. Víi m = 1 ta cã:.

(28) ¿ u+ v=2 2 v − 3 u=1 ⇔ 3 ¿u= 5 7 v= 5 ⇒ 1 3 ¿ = x −1 5 1 7 = y −2 5 ⇔ 8 ¿ x= 3 19 y= 7 ¿{ ¿. ¿. 8 3 19 y= 7 ¿{ ¿ x=. VËy víi m = 1, hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ:. 2/. Tõ (1)  u = 2- mv. ThÕ vµo (2) ta cã:. 2v – 6m + 3m2v = 1  v =  u = 2 – m(. 1+ 6 m )= 3 m2 +2. §Ó hÖ cã nghiÖm th×:. VËy víi C©u 5. ¿ m≠ 4 −1 m≠ 6 ¿{ ¿. 1/. 1+ 6 m 3 m2 +2 4−m 3 m2 +2. víi m  R.. ¿ u≠ 0 v ≠0 ⇔ ¿ 4 − m≠ 0 1+6 m ≠ 0 ⇔ ¿ m≠ 4 −1 m≠ 6 ¿{ ¿. th× hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm.

(29) √ 3 x +6 x +7+ √ 5 x2 +10 x +14=4 − 2 x − x 2 x +1 ¿2 +4 ¿ x+1 ¿2 +9 ¿ x +1 ¿2 5¿ ¿ 3¿ ⇔ √¿. x+ 1¿2 + 4 ¿ ≥ √ 4=2 ¿ x +1¿ 2+ 9 ¿ Ta cã: ≥ √ 9=3 ¿ ⇒ VT ≥5 ¿ 3¿ ¿ √¿ VËy S = { −1 }. 2/ Cộng từng vế 3 phơng trình ta đợc: (x + 3)2 + (y-3)2 + (z- 3)2 = 0 (4) MÆt kh¸c: (1)  9x2- 27x + 27 = y3= 9 ( x − 3 ¿2+ 27 >0 2 4  y> 0; t¬ng tù : x > 0; z > 0. a. XÐt x  3 tõ (3)  9z2 – 27z = x3- 27  0  9z (z – 3)  0  z  3 T¬ng tù y  3 Tõ (4)  x = y= z = 3 b. XÐt 0 < x < 3. Tõ (3)  9z2- 27z = x3 – 27 < 0  9z (z-3) < 0  z < 3 Tõ (4)  hÖ ph¬ng tr×nh v« nghiÖm. VËy hÖ cã nghiÖm duy nhÊt (x= 3; y = 3; z = 3) C©u 6. 1/ Với k = 1 thì (d) là x = 1, (d) không song song với đờng thẳng y = √ 3. x. Víi k  1, ®a ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng : y = − 2 k . x+ 2 k−1. k −1. (*). Điều kiện cần và đủ để (d) song song với đờng thẳng y = √ 3. x là : −2k =√ 3⇒ k= √ 3( 2− √3) k−1 Khi đó góc nhọn  tạo bởi (d) với tia Ox có Tg  = √ 3 nên =600 2/. Với k = 1 thì khoảng cách từ O đến (d) là 1.. Với k = 0 phơng trình đờng thẳng (d) là y = -2, suy ra khoảng cách từ O đến (d) là 2. ¿ k ≠1 Víi k ≠ 0 gäi giao ®iÓm cña (d) víi Ox, Oy t¬ng øng lµ A, B ¿{ ¿ Thay y = 0 vào (*) đợc : x A= 1 ⇒ OA= 1 k k. ||.

(30) 2 2 ⇒OB= ⇒( d) k−1 k −1. | |. Thay x = 0 vào (*) đợc yB=  1.. 1 1 1 = 2+ 2 2 OH OA OB. Trong tam gi¸c vu«ng AOB, ta cã: Từ đó: OH =. 2. √5 k. không đi qua gốc tọa độ với k  0; k. , ta cã:. 2. −2 k +1 5k2 – 2k + 1 = 5( k − 1 ¿ 2+ 4  4 Víi k. ⇒ OH ≤ √5 ,OH=√ 5 ⇔ k = 1 5 5 5 5 1 VËy víi k = thì khoảng cách từ O đến (d) là lớn nhất. 5. C©u 7 P = (x4 + 1) (y4+ 1) = (x4+ y4) + (xy)4 + 1 §Æt: t = xy, ta cã: x2+ y2 = (x +y)2 – 2xy = 10 – 2t x4 + y4 = (x2 + y2)2 – 2(xy)2= (10 – 2t)2 – 2t2 = 2t2- 40t + 100 Khi đó : P = t4 + 2t2- 40 t + 101= (t4 – 8t + 16) + 10 (t2- 4t + 4) + 45 = (t2 – 4)2+ 10 (t – 2)2 + 45 Suy ra P  45. §¼ng thøc x¶y ra khi t = 2 x+y = √ 10 vµ xy = 2 VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P lµ P = 45 khi: (x,y) = √ 10+ √2 ; √ 10− √ 2 hoÆc: √ 10 − √ 2 ; √ 10+ √ 2 2. (. 2. 2. ). 2. C©u 8 1/ BI lµ ph©n gi¸c cña gãc B, nªn: AI AB 7 AI 7 = = ⇒ = IC BC 5 AC 12 Do dã: AI = 7 . AC = 7. 6 =3,5(cm) 12 12. B. O. G. AO lµ ph©n gi¸c cña gãc A trong ABI, Ta l¹i cã: OI = IA = 3,5 = 1 (1) OB. AB. 7. 2. C. GM 1 A = (2) GB 2. MÆt kh¸c, do G lµ träng t©m cña  ABC, nªn. A. I. M. OI GM = , do đó OG//IM OB GB Khi đó ta lại có : OG =BG = 2 , IM BM 3 2 Suy ra: OG = IM= 2 (IA −MA)= 2 (3,5 −3)= 1 (cm) 3 3 3 3 1 ( cm) VËy : OG = 3. Tõ (1) vµ (2) suy ra:. C©u 9 XÐt  CAB, ta cã:. D. C. CM  AB, BE  AC ( v× BE  MF, MF//AC)  AE là đờng cao thứ ba.  AE  BC. A. b. Gäi O lµ giao ®iÓm cña AC vµ DM. Do gãc AHC = 900 (c©u a) nªn: AC DM OH = ⇒ OH= ⇒ gãc MHD = 900 (1) 2. 2. F. O. I’. M. B.

(31) Chøng minh t¬ng tù: gãc MHF = 900 (2) Tõ (1) vµ (2)  D, H, F th¼ng hµng. c. Gäi I lµ giao ®iÓm cña DF vµ AC;  DMF cã DO = OM OI//MF nªn I lµ trung ®iÓm DF. KÎ I I’  AB th× I’ lµ trung ®iÓm cña AB vµ II' = AD+BF =AM+ BM = AB 2 2 2 Do đó điểm I cố định: I nằm trên đờng trung trực của AB và cách AB một khoảng bằng AB 2. d. Tập hợp các điểm K là đờng trung bình của  IAB C©u 10 LÊy A Ox, B Oy, M AB VÏ MH//OA, MK//OB th× SOHMK không đổi §Æt SOHMK = S3; SAKM= S1 SMHB= S2; SABC = S. y. B. a. H. M. §Æt MA = a; MB = b. Ta cã: S3 = S – (S1+ S2) . S3 S +S =1 − 1 2 S S. Các tam giác AKM, MHB, AOB đồng dạng nên :. b x SO1 a = S a+b. 2. ( ). K. A. 2. a+ b ¿ ¿ a+ b ¿2 ¿ ¿ S2 b 2 S3 a2 +b2 = ⇒ =1 − ¿ S a+b S 2 a+b ¿ ¿ ¿   2 (B®t C«si) S =¿ S3. ( ). (a+b)2  4ab dÊu b»ng s¶y ra khi a = b  SAOB nhá nhÊt  a = b  M lµ trung ®iÓm AB. §Ò sè 10 C©u 1( 2®). Ph©n tÝch ®a thøc sau ra thõa sè . a4 + 8a3 + 14a2 – 8a –15 . C©u 2( 2®). Chøng minh r»ng biÓu thøc 10n + 18n - 1 chia hÕt cho 27 víi n lµ sè tù nhiªn . C©u 3( 2®). T×m sè trÞ cña a+ b NÕu 2a2 + 2b2 = 5ab , vµ b > a > 0 . a− b C©u 4( 4®). Gi¶i ph¬ng tr×nh. a) √ 4 y 2 + x=√ 4 y 2 − x − √ x 2+ 2 b) x 4 + √ x2 +2006=2006 C©u 5( 3®). Tæng sè häc sinh giái To¸n , giái V¨n cña hai trêng THCS ®i thi häc sinh Giái lín h¬n 27 ,sè häc sinh ®i thi v¨n cña trêng lµ thø nhÊt lµ 10, sè häc sinh ®i thi to¸n cña trêng thø hai lµ 12. BiÕt r»ng sè häc sinh ®i thi cña trêng thø nhÊt lín h¬n 2 lÇn sè häc sinh thi V¨n cña trêng thø hai vµ sè häc sinh ®i thi cña trêng thø hai lín h¬n 9 lÇn sè häc sinh thi To¸n cña trêng thø nhÊt. TÝnh sè häc sinh ®i thi cña mçi trêng. Câu 6( 3đ). Cho tam giác ABC cân ở A đờng cao AH = 10 cm dờng cao BK = 12 cm . Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC . C©u 7(4®). Cho (O;4cm) vµ (O’;3cm) n»m ngoµi nhau , OO’=10cm. TiÕp tuyÕn chung trong tiếp xúc với đờng tròn tâm O tại E và đờng tròn O’ tại F, OO’ cắt đờng tròn tâm O tại A và B, cắt đờng tròn tâm O’ tại C và D (B,C nằm giữa 2 điểm A và D) AE cắt CF tại M, BE c¾t DF t¹i N.  CMR : MN AD Đáp án đề số 10.

(32) C©u 1:. a4 +8a3 + 14a2 – 8a – 15 = a4 +8a3+16a2 –a2-8a –16-a2 +1 = (a4+8a3 +16)-(a2+8a+16) –(a2-1) = (a2+4)2-(a+4)2-(a2-1) = a2(a+4)2-(a+4)2-(a2-1) =(a2-1)[(a+4)2-1] =(a-1)(a+1)(a+3)(a+5) 99 .. . .. .. 9 ⏟ C©u 2: Ta cã: 10n –1 =. (n ch÷ sè9). n. 99 .. . .. 9 + 9. 2 n ⏟ .. . .. .. 1 +2 n ¿⋮ 9 ⏟ = 9 ( 11 (11 .. . .. 1 +2 n) = (11 .. . .. 1 +2 n) -n +3n ⏟ ⏟. VËy 10n +18n –1 =. n. n. mµ ( n n Sè n vµ sè cã tæng ch÷ sè b»ng n cã cïng sè d trong phÐp chia cho 3( theo dÊu hiÖu ⋮ 3 ) .. . .. 1 +2 n) ⏟ nªn (11 ⋮ 3 n  10n +18n - 1 ⋮ 27 C©u 3: 2a2 +2b2 = 5ab => 2a2 –5ab +2b2 =0 <=> (2a-b)(a- 2b) =0 (1) V× b > a > 0 nªn a 2b (1) tho¶ m·n th× 2a – 2b = 0 => 2a = b VËy a+ b = a+2 a =¿ 3 a = -3 a− b a− 2 a −a C©u 4 a, √ 4 y 2 + x = √ 4 y − x - √ x2 +2 (1)  √ 4 y 2 +x + √ x2 +2 = √ 4 y − x 4y ❑2 +x + 2 √ (4 y 2+ x)(x 2+ 2) + x ❑2 +2 = 4y –x  (4y ❑2 -4y + 1) + (x ❑2 +2x + 1)+ 2 √ (4 y 2+ x)( x 2+ 2) =0 (2y-1) ❑2 +(x+1) ❑2 + 2 √ (4 y 2+ x)( x 2+ 2) =0 (2) VT =0  (2y-1) ❑2 =0 , (x+1) ❑2 =0 , √ (4 y 2+ x)( x 2+ 2) =0  x=-1 , y = 1 ; 2 VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh:. x= -1 y= 1 2. b) ¿ x + √ x +2006=2006 ¿ 4 <=> x = 2006 - √ x2 +2006 <=> x4 + x2 + 1 = x2 +2006 4 1 <=> (x2+ )2 = ( √ x2 +2006 2 <=> x2 + 1 = | √ x2 +2006 2 2 <=> x +1 = √ x2 +2006 4. 2. √ x2 +2006 + 1 2 ) 2 1 |= 2. <=> x4 + 2x2 + 1 = x2 + 2006 <=> x4 + x2 – 2005 = 0 §Æt ,gi¶i theo ph¬ng tr×nh trïng ph¬ng. C©u 5:. 1 4. √ x2 +2006 -. 1 2.

(33) Gäi häc sinh trêng 1 lµ x Gäi häc sinh trêng 2 lµ y Ta cã : x 10 ; y 12 Từ đề bài => x + y > 27 ; x > 2(y – 12) ; y > 9(x – 10) Tøc lµ : x + y > 27 (1) 2y – x < 24 (2) 9x – y < 90 (3) NÕu x = 10 th× tõ (1) => y >10 hay 2y – x > 34 – 10 = 24 ®iÒu nµy m©u thuÉn víi (2) . VËy x> 10 (4) Nhân hai vế của (3) với 2 rồi cộng với (2) đợc 17x < 204 => x < 12 mµ x >10 => x = 11 Thay vµo (1) => y > 16 Thay vµo (2) => 2y < 35 => y < 18. => y = 17. §¸p sè : - Trêng 1: 11 häc sinh - Trêng 2: 17 häc sinh C©u 6: A §Æt AC = x = AB ; BC = y => 12x = 10y => x = y (1) K 5. 6. ( x ¿2=x 2 − 10 y Giải ra ta đợc :. (2). x B C. x = 12,5 ; y = 15. yH. C©u 7 :. M. E2. K2 A. I. D. N Cm : EF lµ tiÕp tuyÕn chung trong OE. F. EF ; O’F. EF => OE // O’F 0. ^ 1= O ^ ' 1 ( so le trong) => OE = OB => => O 0 ^ ^ 1 =180 − O' 1 O’C = O’F => C. ^ 1 =¿ O’C = O’F => C. 2 0 ^1 180 − O 2. ^ ^ 1=180 − O1 B 2. ^ 1= O ^ '1 O. => B^ 1=¿. ^ 1=O ^ '1 ; O. ^1 1800 − O 2. ^1 => B^ 1=C. ^ 1 =C ^2 ; C. (đối đỉnh). ^2 => B^ 1=C. => EN // FM T¬ng tù EM // FN  MENF lµ h×nh b×nh hµnh. ❑ AB là đờng kính => AEB = 900 => MEN = 900 ❑  MENF lµ h×nh ch÷ nhËt ; EF c¾t MN t¹i K  KE = KM => ^ M 1= ^ E2 Sè ®o ^A 1=¿ s®. B^ E 2. => s® ^E1. ^ = s® B E 2. => s® ^A 1 = s® ^E1. Cã ^E1 + ^E2 = 900 => ^A 1 + ^ M 1 = 900 => MN §Ò sè 11 Bµi 1: (4®). Cho biÓu thøc:. AD.

(34) P=. 2( √ x −3) √ x +3 x √ x −3 − + x −2 √ x −3 √ x +1 3 − √ x. a) Rót gän biÓu thøc P. b) TÝnh gi¸ trÞ cña P víi x = 14 - 6 √ 5 c) T×m GTNN cña P. Bµi 2( 4®). Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh. a). 1 1 1 1 1 + 2 + 2 = + 2 x +4 x+3 x +8 x+ 15 x + 12 x +35 x +16 x+63 5 √ x+6 − 4 √ x +2+ √ x+11 − 6 √ x +2=1 2. b) Bài 3: ( 3đ). Cho parabol (P): y = x2 và đờng thẳng (d) có hệ số góc k đi qua điểm M(0;1). a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của k, đờng thẳng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biÖt A vµ B. b) Gọi hoành độ của A và B lần lợt là x1 và x2. Chứng minh rằng : |x1 -x2| 2. c) Chøng minh r»ng :Tam gi¸c OAB lµ tam gi¸c vu«ng. Bµi 4: (3®). Cho 2 sè d¬ng x, y tháa m·n x + y =1 a) T×m GTNN cña biÓu thøc M = ( x2 +. 1 y2. )( y2 +. 1 ) x2. b) Chøng minh r»ng : N = ( x + 1 )2 + ( y + 1 )2  25 x y 2 Bµi 5 ( 2®iÓm). Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A cã AB = 6cm, AC = 8cm. Gäi I lµ giao ®iÓm các đờng phân giác, M là trung điểm của BC. Tính góc BIM. Bµi 6:( 2®). Cho h×nh ch÷ nhËt ABCD, ®iÓm M BC. Các đờng tròn đờng kính AM, BC c¾t nhau t¹i N ( kh¸c B). BN c¾t CD t¹i L. Chøng minh r»ng : ML vu«ng gãc víi AC. Bµi 7 ( 2®iÓm). Cho h×nh lËp ph¬ng ABCD EFGH. Gäi L vµ K lÇn lît lµ trung ®iÓm cña AD và AB. Khoảng cách từ G đến LK là 10. TÝnh thÓ tÝch h×nh lËp ph¬ng. Đáp án đề 11 Bµi 1 ( 4 ®iÓm). C©u a: 2 ®iÓm. Điều kiện để giá trị của biểu thức P xác định : x0; x 9 ( 0,5 đ). Rót gän: 2( √ x −3) √ x +3 x√x−3 P= − − ( √ x+1)( √ x − 3) √ x +1 √ x − 3 √ x −3 ¿2 −( √ x+3)( √ x +1) ¿ = x √ x −3 − 2¿ ¿ x √ x −3 −2 x +12 √ x − 18 − x − 3 √ x − √ x −3 = ( √ x − 3)( √ x +1) √ x (¿ x +8)− 3( x +8) = x √ x −3 x +8 √ x −24 = ( √ x −3)( √ x+1) ( √ x −3)( √ x+ 1) ¿. =. x +8 √ x +1. ( 1,5 ®iÓm). C©u b :1 ®iÓm x = 14 - 6 √ 5 = ( √ 5 )2 - 2.3. √ 5 + 9 = ( √ 5 - 3)2  √ x = 3 - √ 5 Khi đó P = 14 −6 √ 5+8 = 22− 6 √ 5 = 58 −2 √5 11 3 − √ 5+1 4 −√5 C©u c: 1 ®iÓm x +8 x −1+9 9 9 = = √ x −1+ =√ x+1+ − 2 ≥2 √ 9 −2=4 P= √ x +1 √ x +1 √ x +1 √ x+1 9 ( ¸p dông B§T C«Si cho 2 sè d¬ng √ x+1 ; ) √ x +1.

(35) 9. DÊu"=" x¶y ra  √ x+1=  x = 4 ( tháa m·n ®iÒu kiÖn) √ x +1 Vậy minP = 4, đạt đợc khi x = 4. Bµi 2: 4 ®iÓm ( mçi c©u 2 ®iÓm). a) x2 + 4x + 3 = ( x + 1)( x+ 3) x2 + 8x + 15 = ( x +3)(x+5) x2 + 12x + 35 = ( x +5)( x + 7) x2 + 16x + 63 = ( x + 7)( x + 9)  §KX§ : x  -1; x  -3; x  -5; x  -7; x  -9 ( 0,5®) pt.  . 1 1 1 1 1 + + + = 5 ( x+ 1)(x +3) ( x+3)(x +5) (x +5)( x +7) (x +7)( x +9) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( − + − + − + − )= 2 x+1 x+3 x+3 x+5 x+ 5 x+ 7 x +7 x +9 5 1 1 1 1 ( − )= 2 x+1 x+ 9 5.   5( x + 9 - x -1) = 2( x+1)( x+9) 2x2 + 20x + 18 - 40 = 0  x2 + 10x - 11 = 0 Ph¬ng tr×nh cã d¹ng a + b + c = 0  x1 = 1; x2 = -11. x1; x2 tháa m·n §KX§. VËy tËp nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ : S = { −11 ; 1 } b) §KX§: x  -2. ( 0,5 ®iÓm) √ x+2 −2 ¿2 ¿. Pt.   |  |. √ x+2 −3 ¿2. ¿ ¿ ¿ √¿ √ x+2 −2∨¿ √ x+2 −2∨¿. + | √ x+2 -3| = 1 + | 3 - √ x+2 | = 1 ¸p dông B§T |A|+ |B| | A + B| ta cã : | √ x+2 −2∨¿ + | 3 - √ x+2 |  1 DÊu "=" x¶y ra khi : ( √ x+2 −2 )( 3 - √ x+2 )  0  2  √ x+2  3  2 x  7 VËy tËp nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ : S = { x /2≤ x ≤ 7 } Bµi 3: 3 ®iÓm ( mçi c©u 1 ®iÓm) Đờng thẳng (d) có hệ số góc k và đi qua điểm M (0;1) nên (d0 có tung độ gốc là 1.  Phơng trình đờng thẳng (d) là : y = kx+1 a) Phơng trình hoành độ giao điểm của ( P) và (d) là: x2 - kx - 1 = 0 (1)  = k2 + 4 > 0 víi mäi k  Ph¬ng tr×nh (1) cã 2 nghiÖm ph©n biÖt  ®pcm. b) Ta cã : x1 + x2 = k ; x1.x2 = -1  x2 =  | x1 - x2| = | x1 + mµ |x1| +|. 1 x1. 1 1 | = |x1| +| | ( v× x1 vµ x1 x1. 1 |  2. VËy | x1 - x2| 2 x1. 1 x1. cïng dÊu). C¸ch 2: ( x1 - x2)2 = k2 + 4  4  | x1 - x2| 2 c) Gi¶i sö A(x1;y1) vµ B(x2; y2). Gọi phơng trình đờng thẳng OA là y= k1x, ta có : y1 = k1.x1  k1 = Gọi phơng trình đờng thẳng OB là y= k2x, ta có : y2 = k2.x2  k1 = Ta cã : k1.k2 = x1.x2 = -1 . VËy OA  OB  AOB vu«ng. Bµi 4: ( 3 ®iÓm) ( mçi c©u 1,5 ®iÓm). y1 = x1 y2 = x2. x1 =x 1 x1 x2 =x 2 x2 2. 2.

(36) x 2 y 2 +1 ¿2 ¿ 1 1 2 2 a) Ta cã : M = ( x + )( y + 2 ) = xy + 1 ¿ 2 y2 x xy ¿ ¿ 1 1 15 ¿ + MÆt kh¸c : xy + = ( xy + ( 1). xy 16 xy 16 xy 1 ¸p dông B§T C«si : xy + 2 1 = 1 (2). 16 xy 2 16 x+ y 1 =  xy 1 ( 3) √ xy ≤ 2 2 4 15 1 1 17 Tõ (1), (2) vµ (3) ta cã : xy +  +  (xy + 1 )2  ( 17 )2 1 = 16 . xy 2 4 xy 4 4 = 289 16 ¿ 1 xy= 289 16 xy  x = y = 1 VËy minM = , đạt đợc khi x= y 16 2 ¿{ ¿ 2 A+B¿ ¿ b) ¸p dông B§T : A2 + B2  , ta cã : ¿ ¿ x+ y 2 1 x+ y+ ¿ 1+ ¿2 xy xy N = ( x + 1 )2 + ( y + 1 )2  = ¿ ¿ x y ¿ ¿ ¿ ¿ MÆt kh¸c : (x + y)2  4xy ( do ( x -y)2 0)  1  4xy  xy  14 1 1+ ¿2 xy N . VËy N  25 . ¿ 2 ¿ ¿ ¿ A x+ y=1 1 DÊu "=" x¶y ra khi x= y  x = y = 2 C B ¿{. √. '. I. ' Bµi 5: ( 2 ®iÓm). Vẽ hình đúng, ghi GT, KL . ( 0,5 điểm). Tính góc BIM. B( 1,5 điểm) M Tõ gi¶ thiÕt ABC vu«ng t¹i A cã: 2 2 AB = 6cm, AC = 8cm.  BC = √ AB + AC =10( cm)  MC = MB = 5cm ¿. C. Gäi B' lµ giao ®iÓm cña BI vµ AC. Ta cã : AB ' =IB ' =CB '  . AB IB CB AB ' CB ' AB '+CB ' AC 8 1 = = = = = AB CB AB+CB AB+CB 6+10 2 1 AB' = .AB = 3cm CB' = 1 .CB = 5cm  CB' = CM  IMC = IB'C ( c.g.c) 2 2.  gãc IMC = IB'C  gãc AB'B = gãc IMB  Tam giác AB'B đồng dạng với tam giác IBM  góc BIM = góc BAB' mµ gãc BAB' = 900  gãc BIM = 900 Bµi 6: ( 2 ®iÓm). Gäi E lµ giao ®iÓm cña AC vµ ML B.

(37) M Ta cã: gãc NCD = gãcNCB (cïng phô víi goc BCN) N E gãc NBC = gãc NAM ( cïng ch¾n cung MN) L C D  Tam giác NCL đồng dạng với tam giác NAM  NC = NL NA NM MÆt kh¸c : gãc ANC = gãc MNL( cïng b»ng 900 + gãcMNC)  tam giác ANC đồng dạng với tam giác MNL  gãc NAC = gãc NML hay gãc NAE = gãc NME  Tứ giác AMEN nội tiếp  E thuộc đờng tròn đờng kính AM  gãc AEM = 900 hay ML vu«ng gãc víi AC ( ®pcm). Bµi 7: ( 2®iÓm). Vẽ hình đúng, ghi GT, KL : ( 0,5điểm). Gọi I là chân đờng vuông góc kẻ từ G A K đến LK. B Gọi độ dài cạnh hình lập phơng là 2a I L ( a>0), ta cã: Tam gi¸c ALK vu«ng t¹i A  LK = √ AL2 + AK 2 = √ a2 +a2 D C = a √2 Tam gi¸c DHG vu«ng t¹i H.  DG2 =DH2 + HG2 = 8a2 Tam gi¸c LDG vu«ng gãc t¹i D ( V× AD mp(DCGH)  ADDG)  LG2 = LD2 + DG2 =a2 + 8a2 = 9a2 Tõ LDG = KBG (c.g.c) E ( V× cã : gãc LDG = gãc KBG = 900, F LD = KB , DG = BG).  GL = GK  GLK c©n t¹i G.  I lµ trung ®iÓm cña LK  IL =LK : 2 = a √2 H G 2 LIG vu«ng t¹i I nªn ta cã: LG2 = LI2 + IG2 hay 9a2 = 2a2:4 + 100  a2 = 200: 17  a = 10 √ 2 √ 17 20 √2 Vậy độ dài cạnh hình lập phơng là √ 17  Thể tích hình lập phơng là 16000 √2 ( đơn vị diện tích). 17 √17 §Ò sè 12 C©u 1: (4 ®iÓm). Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh: 1) x3 - 3x - 2 = 0 2) √ 7 - x −+ √ x- 5 = x2 - 12x + 38. C©u 2: ( 6 ®iÓm) 1) T×m c¸c sè thùc d¬ng a, b, c biÕt chóng tho¶ m·n abc = 1 vµ a + b + c + ab + bc + ca  6 2) Cho x > 0 ; y > 0 tho· m·n: x + y  6. H·y t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: M = 3x + 2y + 6 + 8 x y C©u 3: (3 ®iÓm) Cho x + y + z + xy + yz + zx = 6 CMR: x2 + y2 + z2  3 Câu 4: (5 điểm) Cho nửa đờng tròn tâm 0 có đờng kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By (Ax và By và nửa đờng tròn cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ AB). Gọi M là một điểm bất kì thuộc nửa đờng tròn. Tiếp tuyến tại M cắt Ax; By theo thứ tự ở C; D. a) CMR: Đờng tròn đờng kính CD tiếp xúc với AB. b) Tìm vị trí của M trên nửa đờng tròn (0) để ABDC có chu vi nhỏ nhất. c) Tìm vị trí của C; D để hình thang ABDC có chu vi 14cm. BiÕt AB = 4cm..

(38) Câu 5: (2 điểm) Cho hình vuông ABCD , hãy xác định hình vuông có 4 đỉnh thuộc 4 cạnh của hình vuông ABCD sao cho hình vuông đó có diện tích nhỏ nhất./. Đáp án đề 12 C©u 1: (4 ®iÓm) 1. (2 ®iÓm) Gi¶i ph¬ng tr×nh: x3 - 3x - 2 = 0  ( x3 - 2x2) + (2x2 - 4x) + (x - 2) = 0 (0,5®)  x2 (x - 2) + 2x (x - 2) + (x - 2) = 0  (x - 2) (x + 1)2 = 0 (0,75®)  x - 2 = 0 => x = 2 HoÆc (x + 1)2 = 0 => x = -1 (0,5®) 2. (2 ®iÓm) Gi¶i PT: √ 7 - x −+ √ x- 5 = x2 - 12x + 38. + §K: 7-x0 x-50 5x7 (0,25®) + ¸p dông B§T C« Si cho 2 sè kh«ng ©m ta cã: VT = √ 7 - x −+ √ x- 5 DÊu b»ng x¶y ra . . 7 − x+1 x −5+1 + 2 2. 7-x=1 x-5=1. =2. x=6. (0,5®). MÆt kh¸c : + VP = (x - 6)2 + 2  2 DÊu b»ng x¶y ra khi vµ chØ khi x = 6. + VËy : √ 7 - x −+ √ x- 5 = x2 - 12x + 38  √ 7 - x −+ √ x- 5 = 2 = x2 - 12x + 38  x = 6 (tho¶ m·n ®iÒu kiÖn) Vậy nghiệm của PT đã cho là : x = 6 C©u 2: (6 ®iÓm) 1. (3 ®iÓm) 1 1 1 ab= ; bc= ; ac= ; Ta cã c. a. (0,5®). (0,5®) (0,25®). b. Thay vào bắt đẳng thức đã cho có : a + b + c + ab + bc + ac  6. ⇔. . (√. 1 1 1 ⇔ a+ b+c + + + ≤ 6 c a b 2 1 1 2 1 2 a+ √b − + √c− ≤0 √a √b √c. )(. ) (. √a −. 1 =0 √a. √b −. 1 =0 ⇔a=b=c=1 √b. √c −. 1 =0 √c. (1,0®). ). (1,0®). (Tho¶ m·n yªu cÇu). (1,0®).

(39) 2. (3®). ( 32 x+ 32 y )+( 32 x+ 6x )+( 2y + 8y )= 32 ( x + y ). ( 32x + 6x )+( 2y + 8y ). Μ=. - Biến đổi :. +. áp dụng bất đẳng thức Cô Si cho các số không âm ta có : 3 x 2 y 8 Μ ≥ . 6+6 . +2 . 2 2 x 2 y. √. √.  M ≥ 9 + 6 + 4 = 19. DÊu b»ng x¶y ra khi x = 2; y = 4 M nhá nhÊt b»ng 19 (khi x = 2; y = 4) (0,5®) C©u 3 : (3®) + Ta cã : x2 + 1 ≥ 2x y2 + 1 ≥ 2y z2 + 1 ≥ 27. (0,5®).  (x2 + y2 + z2) + 3 ≥ 2(x + y + z) MÆt kh¸c ta cã :. (0,5®). 2 (x2 + y2 + z2) ≥ 2 (xy + yz + zx). (0,5®). Do đó : 3 (x2 + y2 + z2) + 3 ≥ 2 (x + y + z + xy + yz + zx)  x2 + y2 + z2 ≥3 DÊu b»ng x¶y ra khi vµ chØ khi : x=y=z=1 X C©u 4 : (5 ®iÓm) + Vẽ hình đúng ghi giả thiết kÕt luËn (0,5®). (1,0®) Y. (0,5®). D. I M. c. C©u a : (1,5®) A O B + OC; OD lµ 2 tia ph©n gi¸c cña 2 gãc kÒ bï  gãc COD = 900 (0,5®) Gäi I lµ trung ®iÓm cña CD th× ta cã : IO = IC = ID  Đờng tròn đờng kính CD là (CI; IO) (0,5®) + Tứ giác ACDB là hình thang, có OI là đờng trung bình; từ đó suy ra IO  AB (t¹i O). VËy AB tiÕp xóc víi (I; IO) (0,5®) C©u b : (1,5®) - Chu vi h×nh thang ABDC b»ng : AB + AC + BD + CD - Chứng minh đợc : AC + BD = CM + MD = CD  CABDC = 2CD + AB (0,5®)  CABDC nhá nhÊt  CD nhá nhÊt..

(40)  CD = AB  CD // AB  OM  AB (0,5®) VËy : M lµ ®iÓm chÝnh gi÷a gãc AB th× chu vi h×nh thang ABDC nhá nhÊt vµ b»ng 3AB. (0,5®) C©u c : (1,5®) + §Æt AC = x BD = y  CABDC = AB + 2CD = 4 + 2 (x + y) CABDC = 14  x + y = 5 (1) (0,5®) 2 Mµ xy = MC.MD = OM  xy = 4 (2) (0,5®) KÕt hîp (1) vµ (2) ta cã : 4 x+ =5 ⇔ x=1 x. hoÆc x=4. VËy : NÕu C  Ax vµ C c¸ch A 1cm hoÆc 4cm th× CABCD = 14 (cm) (0,5®) C©u 5 : (2®) Gọi EFGH là hình vuông cần xác định. + Chứng minh đợc : Δ AHE = Δ CFG (Cạnh huyền,góc nhọn)  EH = CG  AEGC lµ h×nh b×nh hµnh Mµ AE // CG Do đó EG qua trung điểm O của AC. T¬ng tù ta cã : HF qua trung ®iÓm O cña BD  T©m 0 cña h×nh vu«ng ABCD vµ t©m cña h×nh vu«ng EHGF trïng nhau (0,75®) + Ta cã S EHGF = 1 GE. HF= 2 OE .2 OE =2 OE 2 2. 2. SEHGF nhá nhÊt OE nhá nhÊt + Gäi K lµ nhá nhÊt  OE = OK  E = K  SEHGF nhá nhÊt  E, F, G, H lµ trung ®iÓm c¸c c¹nh h×nh vu«ng ABCD §Ò sè13. (0,5®). (0,25®). PhÇn I: Tr¾c nghiÖm (4 ®iÓm) Khoanh tròn vào chữ cái đứng trớc câu trẻ lời đúng 1. NghiÖm nhá trong 2 nghiÖm cña ph¬ng tr×nh 1 2 1 + x+ 2 2 1 − 2. ( ) ( )( x+ 25 )=0 x−. A.. lµ. B. − 2 5. C. 1 2. D.. 2. Đa thừa số vào trong dấu căn của a √ b với b  0 ta đợc A. √ a2 b B − √ a2 b C. √|a|b D. Cả 3 đều sai 3. Gi¸ trÞ cña biÓu thøc √ 5 √ 3+5 √ 48 −10 √ 7+ 4 √ 3 b»ng: A. 4 √3 B. 2 C. 7 √ 3 D. 5 4. Cho h×nh b×nh hµnh ABCD tho¶ m·n. 1 20.

(41) 15. 30. 0. 30. y. A. Tất cả các góc đều nhọn B. Gãc A nhän, gãc B tï C. Góc B và góc C đều nhọn D. ¢ = 900, gãc B nhän 5. Câu nào sau đây đúng A. Cos870 > Sin 470 B. Sin470 < Cos140 C. Cos140 > Sin 780 D. Sin 470 > Sin 780 6. Độ dài x, y trong hình vẽ bên là bao nhiêu. Em hãy khoanh tròn kết quả đúng A. x = 30 √2 ; y=10 √ 3 B. x = 10 √3 ; y =30 √2 C. x = 10 √2 ; y=30 √ 3 D. Một đáp số khác PhÇn II: Tù luËn (6 ®iÓm) C©u 1: (0,5®) Ph©n tÝch ®a thøc sau ra thõa sè a4 + 8a3 - 14a2 - 8a - 15 C©u 2: (1,5®) Chøng minh r»ng biÓu thøc 10n + 18n - 1 chia hÕt cho 27 víi n lµ sè tù nhiªn C©u 3 (1,0®) T×m sè trÞ cña a+ b nÕu 2a2 + 2b2 = 5ab Vµ b > a > 0 x. a− b. C©u 4 (1,5®) Gi¶i ph¬ng tr×nh a. √ 4 y 2 + x + √ 4 y 2 − x − √ x 2 +2 b. x4 + √ x2 +2006=2006 Câu 5 (0,5đ) Cho ABC cân ở A đờng cao AH = 10cm, đờng cao BK = 12cm. Tính độ dài c¸c c¹nh cña ABC C©u 6 (1,0®) Cho (0; 4cm) vµ (0; 3cm) n»m ngoµi nhau. OO’ = 10cm, tiÕp tuyÕn chung trong tiếp xúc với đờng tròn (O) tại E và đờng tròn (O’) tại F. OO’ cắt đờng tròn tâm O tại A và B, cắt đờng tròn tâm (O) tại C và D (B, C nằm giữa 2 điểm A và D) AE cắt CF tại M, BE c¾t DF t¹i N. Chøng minh r»ng: MN  AD. Đáp án đề 13. I. PhÇn tr¾c nghiÖm (4 ®iÓm) 1 1. D. 1 ®iÓm 20 2. D cả 3 đều sai 0,6 ®iÓm 3. D 5 0,6 ®iÓm 4. B gãc A nhän, gãc B tï: 0,6 ®iÓm 5. B sin 470 < Cos140 0,6 ®iÓm 6. B x = 10 √ 3 ; y = 10 √2 0,6 ®iÓm II. PhÇn tù luËn (6 ®iÓm) C©u 1: (0,5 ®iÓm) a4 + 8a3 + 14a2 - 8a - 15 = a4 + 8a3 + 16a2 - a2 - 8a - 16 - a2 + 1 = (a4 + 8a3 + 16) - (a2 + 8a + 16) - (a2 - 1) = (a2 + 4)2 - (a + 4)2 - (a2 - 1) = a2(a + 4)2 - (a + 4)2 - (a2 - 1) = (a2 - 1)[(a + 4)2 - 1] = (a - 1)(a + 1)(a + 3)(a + 5) C©u 2 (1,5 ®iÓm): Ta cã.

(42) .. . .9 (n ch÷ sè 9) VËy 10n + 18n - 1 = 99 .. . .9 + 9 . 2n ⏟ ⏟ 10n - 1 = 99 n. n. .. . 1 +2 n) ⋮ 9 ⏟ = 9 (11. Mµ. n. 11 .. .1+ 2n ¿ ¿ 11 .. . 1+ 2n − n+3 n ⏟ n. ¿. Sè n vµ sè cã tæng c¸c ch÷ sè b»ng n cã cïng sè d trong phÐp chia cho 3 (theo dÊu .. . 1 +2 n)⋮ 3 ⏟ hiÖu chia hÕt cho 3) nªn (11 n C©u 3: (1®iÓm): 2a2 + 2b2 = 5ab ⇒ 2a2 - 5ab + 2b2 = 0 ⇔ ( 2a - b) (a - 2b) = 0 (1) V× b > a > 0 nªn a 2b. (1) tháa m·n th× 2a - 2b = 0 ⇒ 2a = b. VËy a+ b = a+2 b = 3 a =−3 a− b. a −2 a − a √ 4 y 2 + x=√ 4 y − x − √ x 2+ 2 ⇔ √ 4 y 2 + x=√ x 2+ 2=√ 4 y − x ⇔ 4y2 + x +2 √ (4 y 2+ x)(x 2+ 2)+ x 2 +2=4 y − x ⇔ (4y2 - 4y +1) + (x2 + 2x + 1) + 2 √( 4 y 2+ x)(x 2+ 2)=0 (2) ⇔ (2y - 1)2 + ( x+1)2 + 2 √ (4 y 2+ x)(x 2+ 2)=0 VÕ tr¸i =0 ⇔ (2y - 1)2 = 0, (x + 1)2 = 0, √ (4 y 2+ x)(x 2+ 2)=0 ¿ x=−1 1 , VËy nghiÖm cña PT lµ y= 1 ⇒ x = -1; y = 2 2 ¿{ ¿ b. x4 + √ x2 +2006=2006 ⇔ x4 = 2006 - √ x2 +2006. C©u 4 ( 1,5®iÓm). 1 2 1 =x +2006 − x 2+2006+ 4 4. √. ⇔ x4 + x2+. ⇔ (x2 +. √ x2 +2006 − 12 ¿ 2. 1 1 1 = √ x 2 +2006 − =√ x 2+2006 − 2 2 2 2 4 2 2 ⇔ x + 1 = √ x +2006 ⇔ x + 2x + 1 = x2 + 2006 ⇔ x2 +. |. 1 2 ¿ =¿ 2. |. ⇔ x4 + x2 - 2006 = 0 Hàm số đặt ẩn phụ đa về phơng trình trùng phơng đợc kết quả.. A. K x C y H C©u 5 ( 0,5 ®iÓm) §Æt AC = x = AB; BC = y x 7 = (1) ⇒ 12x = 10y ⇒ B. 5. 6.

(43) x 2 2 =x − 10 y. (). (2).. Giải ra đợc: x = 12,5; y = 15 C©u 6 ( 1®iÓm) Chøng minh EF lµ tiÕp tuyÕn trung trong OE O’F.. EF. O’F. EF ⇒ OE //. 1800 −O1 O =O’ ( so le trong) OE = OB B = ⇒ ⇒ ⇒ 1 1 2 2. 0. 0 O1 = O’1 ⇒ B1 = 180 −O1 ,. O’C =O’F ⇒ C1= 180 −O' 1 , O’C = O’F ⇒ C1 =. 2 0 180 −O1 ; O1 = O’1. 2. 2. ⇒ B1 = B2 , C1 = C2 ( Đối đỉnh) ⇒ B2 = C2 ⇒ FN // FM. T¬ng tù EM//FN ⇒ MENF lµ h×nh b×nh hµnh. AB là đờng kính ⇒ AEB = 900 ⇒ MEN = 900 ⇒ MENF lµ h×nh ch÷ nhËt; EF c¾t MN t¹i K ⇒ KE = KM ⇒ M1 = E2 Sè ®o A1 = s® BE ⇒ s® E1 = s® BE ⇒ s® A1 = s® E1 2 2 Cã E1 + E2 = 900 ⇒ A1 + M1 = 900 ⇒. M E. 1 2 1. A. 1. 1. O. 1. 2. B. 2. N. C 1. O ’ 1. D. F. AD. MN.

(44)

×