TỔNG HỢP 21 ĐỀ THI HSG TOÁN 9

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (247.25 KB, 21 trang )

®Ò thi häc sinh giái cÊp huyÖn
m«n to¸n 9
Thời gian làm bài: 150 phút
§Ò sè 1
Câu 1: Cho biểu thức
3
1 1
1 1 1
x x
A
x x x x x
−
= + +
− − − + −
a, Rút gọn A
b, Tìm x để A > 0
c, Tính Giá trị của A khi
3
5
9 2 7
x =
−
Câu 2: Cho (p):
2
y x=
(d):
3 2y x= −
a, Tìm hai toạ độ giao điểm của (p) và (d)
b, Tính diện tích tam giác tạo bởi hai toạ độ giao điểm và gốc toạ độ.
Câu 3: Giải hệ phương trình:
1

2
5
6
2
3
x y
xyz
y z
xyz
x z
xyz

+
=



+
=



+
=


Câu 4: Cho
ABC∆
có ba góc nhọn nội tiếp (O;R). Vẽ AI vuông góc với BC, BE vuông
góc với AC. AI cắt BE tại H.

a, Chứng minh rằng
·
·
CHI CBA=
b, Chứng ming
CO EI⊥
c, Khi
·
0
60ACB =
Chứng minh
CH CO
=
Câu 5: Cho
ABC
∆
có
µ
0
90A =
;
AB BC
<
. AM là đường trung tuyến của tam giác.
·
AMB
β
=
;
·

ACB
α
=
.
Chứng minh
2
1 sin (sin cos )
β α α
+ = +
.....................HÕt...................
1
híng dÉn chÊm ®Ò sè 1
Câu 1: (3đ)
a, Điều kiện: x > 1 0,5đ
2 1A x x= − −
1,5đ
b, A > 0 khi
1 2x< ≠
2,0đ
c, A = 7 2,0đ
Câu 2:
a, A(1;1), B(2;4) 1,0 đ
b,
1
AOB
S
∆
=
(đvdt) 1,0 đ
Câu 3: Hệ phương trình có hai nghiệm:

(x; y; z) = (1; 2; 3) và (x; y; z) = (-1; -2; -3) 2,0đ
Câu 4:
a,
·
·
CHI CBA=
2,0đ
b, Kẽ đường kính CD

·
·
DAB BCD=

·
·
DAB ABE=

·
·
ABE ABF=

·
·
ACE HIE=

⇒

·
·
HIE BCD=
có
AI BC IE CO
⊥ ⇒ ⊥
3,0đ
c,
CH CE
HCE DCB
CD BC
∆ ∞∆ ⇒ =

⇒

1
2
CH BC
=
3,0đ
Câu 5:
1
sin . sin
2
AH AM BC
β β
= =

sin . sin cosAH AC BC
α α α
= =

sin 2sin cos
β α α
⇒ =

2
1 sin (sin cos )
β α α
⇒+ = +
2,0đ

2
H . O

F
E
I
D
A
C
B
A
C
M
H
B
®Ò thi häc sinh giái cÊp huyÖn

m«n to¸n 9
Thời gian làm bài: 150 phút
§Ò sè 2
Câu 1(5,0 điểm): Cho biểu thức P =
(
)
−
− +
− +
− − + −
2 x 3
x x 3 x 3
x 2 x 3 x 1 3 x
a) Rút gọn P
b) Tính giá trị của P khi x =
−14 6 5
c) Tìm GTNN của P
Câu 2(4,0 điểm):
Bằng đồ thị, hãy biện luận số nghiệm của phương trình:
x x 1 m
+ − =
Câu 3 (3,0 điểm):
Tìm số có hai chữ số biết rằng phân số có tử số là số đó, mẫu số là tích của hai
chữ số của nó có phân số tối giản là
16
9
và hiệu của số cần tìm với số có cùng các chữ số
với nó nhưng viết theo thứ tự ngược lại bằng 27.
Câu 4(6,0 điểm): Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A. Gọi AB là đường
kính của đường tròn (O), AC là là đường kính của đường tròn (O’), DE là tiếp tuyến

chung của hai đường tròn, D ∈ (O), E ∈ (O’), K là giao điểm của BD và CE.
a) Tứ giác ADKE là hình gì? Vì sao?
b) Chứng minh AK là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O’)
c) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng MK vuông góc với DE.
Câu 5(2,0 điểm): Giải phương trình :
2 2 2
3x 6x 7 5x 10x 21 5 2x x+ + + + + = − −
.
........................HÕt.........................
3
híng dÉn chÊm ®Ò sè 2
Câu: Nội dung cơ bản: Điểm
1
a) ĐKXĐ:
≥ ≠x 0, x 9
P =
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
− − − − + +
+
=
+

+ −
2
x x 3 2 x 3 x 3 x 1
x 8
x 1
x 1 x 3
b)
(
)
= − = − => = − = −
2
x 14 6 5 5 3 x 5 3 3 5
P =
−58 2 5
11

c)
+ − +
= = = − + = + + −
+ + + +
x 8 x 1 9 9 9
P x 1 x 1 2
x 1 x 1 x 1 x 1

=>
≥ − =P 2 9 2 4
Dấu “=” xảy ra khi
+ = <=> =
+
9

x 1 x 4
x 1

Vậy min P = 4 khi x = 4
0.5
1.0
1.0
1.0
0.5
0.5
0.5
2
*Xét ba trường hợp:
Với x
≤
0 thì y = -x – x +1 = -2x + 1
Với 0 < x < 1 thì y = x – x + 1 = 1
Với x
≥
1 thì y = x + x – 1 = 2x -1
Vậy y =
2x 1 nÕu x 0
1 nÕu 0 < x < 1
2x - 1 nÕu x 1
− + ≤




≥


Đồ thị hàm số : y =
x x 1+ −
là đường nét đậm trên hình vẽ
*Đường thẳng y = m cùng phương
với Ox, cắy Oy trên điểm có tung độ m.
Dựa vào đồ thị ta kết luận:
Nếu m < 1 thì phương trình vô nghiệm.
Nếu m = 1 thì phương trình có nghiệm : 0
x 1≤ ≤
.
Nếu m > 1 thì phương trình có 2 nghiệm .
1.0
1.0
1.0
1.0
4
1
O
-1
1
2
-1
x
y
3
Gọi số cần tìm là
xy
với
, ;1 , 9x y x y∈ ≤ ≤Z

.
Theo giả thiết:
( )
10 16
3
9
90 9 16
10 10 27
x y
x y
xy
x y xy
x y y x
+

=
− =


⇔
 
+ =


+ − + =

Giải hpt ta được:
1 2
3
9;

16
x x= =
(loại). Suy ra
6y =
.
Vậy số cần tìm là :96.
1.0
1.0
0.75
0.25
4
a) Theo tính chất góc ngoài của tam giác : ∠ O
1
= 2∠B, ∠O’
1
= 2∠C
mà ∠O
1
+ ∠O’
1
= 1800 nên ∠B+∠C=90
0
, suy ra K=90
0
. Ta lại có
∠D = ∠E = 90
0
nên tứ giác ADKE là hình chữ nhật.
b) ∠A
1

+∠A
2
=∠D
1
+∠D
2
=90
0
nên KA ⊥ BC. Vậy AK là tiếp tuyến
của (O) và (O’).
c) ∠K
1
+ ∠E
1
= ∠C + ∠EKA = 90
0
nên MK ⊥ DE.
2.0
2.0
2.0
5
Viết lại phương trình dưới dạng :

2 2 2
3(x 1) 4 5(x 1) 16 6 (x 1)+ + + + + = − +
.
Vế trái của phương trình không nhỏ hơn 6, còn vế phải không lớn
hơn 6.
Vậy đẳng thức chỉ xảy ra khi cả hai vế đều bằng 6, suy ra x = -1.
1.0

1.0
5
đề thi học sinh giỏi cấp huyện
môn toán 9
Thi gian lm bi: 150 phỳt
Đề số 3
Bài 1. (3đ)
Cho biểu thức:
1
1
1
1
1
2

++
+
+

+
=
xxx
x
xx
x
A
1. Tìm
x
để biểu thức

A
có nghĩa. Hãy rút gọn
A
2. Tính
A
khi
2833
=
x
3. Chứng minh rằng:
3
1
<
A
Bài 2. (4đ)
Giải các phơng trình, hệ phơng trình sau
1.
1111
423
+=++++
xxxxx
2.

=+

=+
=+
14
14
14
yxz
xzy
zyx
Bài 3. (6,5đ)
1. Cho
, , ,a b c d
là bốn số nguyên dơng bất kì, chứng minh rằng số
a b c d
A
a b c a b d b c d a c d
= + + +
+ + + + + + + +
không phải là một số nguyên
2. Giả sử
yx,
là những số không âm thay đổi thoả mãn điều kiện
1
22
=+
yx
a. Chứng minh rằng
21
+
yx
3. Cho

cba ,,
là ba số dơng. Chứng minh rằng:

+
+
+
+
+
++
accbbacba 2
1
2
1
2
1
3
111
Bài 4. (3,5đ) Cho
ABC

đều cạnh
a
. Điểm
Q
di động trên cạnh

AC
, điểm P di động trên
tia đối của tia
CB
sao cho
2
.AQ BP a=
. Đờng thẳng
AP
cắt đờng thẳng
BQ
tại
M
a. CM tứ giác
ABCM
nội tiếp đợc
b. Tìm giá trị lớn nhất của
MA MC+
theo
a
Bài 5. (3đ) Cho tam giác
ABC
nội tiếp đờng tròn
( )
O
, điểm
M
thuộc cung
BC
không

chứa
A
. Gọi
MKMIMH ,,
theo thứ tự là các đờng vuông góc kẻ từ
M
đến
ACABBC ,,
.
Chứng minh rằng
MK
AC
MI
AB
MH
BC
+=
.....................Hết.....................
6
hớng dẫn chấm đề số 3
Bài 1. (4đ)
1. (2đ)
A
có nghĩa khi và chỉ khi

1
0
01
0
x
x
x
x
(0,5đ)
* Rút gọn
1
1
1
1
1
2

++
+
+

+
=
xxx

x
xx
x
A
=
( )( )
1
1
1
1
11
2

++
+
+
++
+
xxx
x
xxx
x
(0,25đ)
=
( )( ) ( )
( )( )
11
1112
++

+++++
xxx
xxxxx
(0,25đ)
=
( )( )
( )
( )( )
111
1
11
++
=
++

=
++

xx
x
xxx
xx
xxx
xx
(0,75đ)
2.(1đ) Theo giả thiết
( )
1241242833
2
===

xx
(0,5đ)
Do đó
2433
124
11242833
124

=
++

=
A
(0,5đ)
3.(1đ) Ta có
0
3
1
3
1
<<
AA
hay
0
3
1
1
<
++

xx
x
(0,25đ)
( ) ( )
( )
( )
0
13
1
13
12
13
13
2
<
++

=
++
+
=
++

xx
x
xx
xx
xx
xxx

, đúng (0,5đ)
Vì
( ) ( )
01;013
2
>>++
xxx
, vì
1

x
Kết luận: Với
10

x
thì
3
1
<
A
(0,25đ)
Bài 2. (3,5đ)
1.(1,5đ) ĐK:
1
01
01
01
4
23

+++

x
x
xxx
x
(0,5đ)
Đặt
1;1
23
+++==
xxxbxa
với
0,0

ba
Ta có
( )
( )
baxxxxx .111
234
=+++=
Khi đó PT đã cho trở thành:
( )( )

10111
==+=+
abaabba
hoặc
1
=
b
(0,25đ)
* Với
1
=
a
thì
211
==
xx
(thoả mãn) (0,25đ)
* Với
1
=
b
thì
( )
011111
22323
=++=+++=+++
xxxxxxxxx

0

=
x
(loại) hoặc
01
2
=++
xx
(vô nghiệm) (0,25đ)
KL: PT đã cho có nghiệm duy nhất
2
=
x
(0,25đ)
7
2.(2đ) ĐK:

4
1
4
1
4
1
014
014
014
z
y
x
y
x
z
(0, 5đ)
Ta có

=+
=+
=+

=+
=+
=+
14222
14222
14222
14
14
14
yxz
xzy
zyx
yxz
xzy
zyx
(0,25đ)
Cộng theo từng vế ba pt của hệ trên và biến đổi ta đợc:
( ) ( ) ( )
0142414241424