de thi hoc sinh gioi cap huyen mon toan nam 2012 huyn quoc oai 1

<span class='text_page_counter'>(1)</span>đề thi thử học sinh giỏi cấp huyện M«n : To¸n líp 9 N¨m häc 2011-2012 ( Thêi gian lµm bµi 150 phót ) C©u 1: ( 2,5 ®iÓm ) 1. So s¸nh :. 2008 2009 + √ 2009 √ 2008. vµ √ 2008+ √ 2009. 1 1 1 1 2. Cho biÓu thøc B= + + +. ..+ . Chøng minh r»ng B> 86 √1 √2 √3 √ 2010 C©u 2: (1,0 ®iÓm ) 3 2010 Chøng minh biÓu thøc : x − 4 x − 1¿ cã gi¸ trÞ lµ mét sè tù nhiªn víi. P=¿. x=. √3 10+ 6 √3 .(√ 3 −1) √ 6+2 √5 − √5. C©u 3: ( 2,5 ®iÓm ) 1. Gi¶i ph¬ng tr×nh sau: √ 2 x −1+2=x 2. T×m c¸c sè nguyªn x, y tho¶ m·n y=√ x 2+ 4 x +5 C©u 4: (3,0 ®iÓm ) Cho h×nh vu«ng ABCD. Trªn c¹nh BC lÊy ®iÓm M, trªn c¹nh CD lÊy ®iÓm N. Tia AM cắt đờng thẳng CD tại K. Kẻ AI vuông góc với AK cắt CD tại I. 1. Chøng minh :. 1 1 1 + = 2 2 2 AM AK AB. 2. BiÕt gãc MAN cã sè ®o b»ng 450, CM + CN = 7 cm, CM - CN = 1 cm. TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c AMN. 3. Tõ ®iÓm O trong tam gi¸c AIK kÎ OP, OQ, OR lÇn lît vu«ng gãc víi IK, AK, AI ( P IK, Q AK, R AI). Xác định vị trí điểm O để OP 2+OQ 2 +OR 2 nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó. C©u 5: ( 1,0 ®iÓm ) Cho ba sè a, b, c tho¶ m·n 0 ≤ a , b , c ≤ 2 vµ a+b +c=3 . Chøng minh r»ng: a3 +b 3+ c 3 ≤ 9 .. Đáp án đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện M«n : To¸n líp 9 N¨m häc 2011-2012 C©u. C©u 1 2,5 ®. ý. Néi dung. §iÓm. Ta cã: 0,5.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> 1 1,0®. 2 1,5®. C©u 2 1,0®. 1 1,0®. 2008 2009 2009 −1 2008+1 + = + √ 2009 √ 2008 √ 2009 √2008 1 1 ¿( √ 2008+ √ 2009)+( − )>0 √ 2008 √ 2009 2008 2009 + VËy > √ 2008+√ 2009 √ 2009 √ 2008 1 1 1 1 B= + + +. ..+ √1 √2 √ 3 √ 2010 2 2 2 2 B= + + +. . .+ √ 1+ √ 1 √ 2+ √ 2 √ 3+ √ 3 √ 2010+ √ 2010 2 2 2 2 + + +. ..+ √1+ √ 2 √ 2+ √ 3 √ 3+ √ 4 √ 2010+ √ 2011 ¿ 2.( √2011 −1)>2 . 43=86 3 10+ 6 √ 3 .( √ 3 −1) ( √ 3+1) .( √ 3 −1) √ x= = =2 √ 5+1− √ 5 √ 6+2 √5 − √5 23 − 4 . 2 −1 ¿2010 =1∈ Ν ⇒ P=¿ √ 2 x −1+2=x ⇒ √ 2 x −1=x −2 §K : x ≥ 2 x=1 ¿ x =5 ¿ ¿ ¿ ¿ √ 2 x − 1=x −2 ⇔ 2 x −1=x2 − 4 x+ 4 ¿ ⇔ x2 −6 x +5=0 ⇔( x −1)(x − 5)=0 ¿ ⇔ 2 §K : x ∈ R , y >0 y=√ x + 4 x +5. Bình phơng hai vế ta đợc. C©u 4 3,0®. 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 0,5 0,25. 0,5. 0,25 0,25. Do x, y nguyªn vµ y d¬ng nªn ta cã: 2 1,0®. 0,25. 0,25 0,25. x+2 ¿2 +1 ¿ ⇔ ( y + x+ 2)( y − x −2)=1 ¿ 2 y =¿. C©u 3 2,5®. 0,25. ¿ y + x+ 2=1 y − x − 2=1 ⇔ ¿ x=− 2 y =1 ¿{ ¿. A. B M H.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> I. D. N. C. K. Ta cã. 0,25. Δ ABM=Δ ADI ⇒ AM=AI(1). 1 1,0®. 2 1,0®. Trong tam gi¸c AIK vu«ng t¹i A ta cã:. 1 1 1 + = (2) . vµ AB = AD 2 2 2 AI AK AD 1 1 1 + = 2 Tõ (1) vµ (2) ⇒ 2 2 AM AK AB KÎ AH vu«ng gãc víi MN (H ∈MN) . Do CM + CN =7 vµ CM - CN = 1 ⇒ CM = 4; CN = 3 ⇒ MN = 5 Ta cã Δ AMN=Δ AIN ⇒ AH=AD ⇒ IN=MN Δ AMH=Δ AID ⇒ ID=MH mµ ID=BM⇒ MH=BM Ta l¹i cã : DN+ BM=MN=5 vµ CM+BM=CN +DN ⇒ DN −BM=CM −CN=1 ⇒ DN = 3; BM = 2; BC = AD = AH = 6 1 1 S Δ AMN = AH . MN= . 6 . 5=15(cm 2) ⇒ 2 2. 0,5. Tõ gi¶ thiÕt ta cã AQOR lµ h×nh ch÷ nhËt. 0,25 0,5. 2. 3 1,0®. C©u 5 1,0®. OA+ OP ¿. ¿ ¿ OP 2+OQ 2 +OR 2=OA 2 +OP 2 ≥ ¿ 2 2 2 OP +OQ +OR nhá nhÊt khi O lµ trung ®iÓm cña AD.. V× vai trß cña a,b,c nh nhau, kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t gi¶ sử : a ≤ b ≤ c . Khi đó vì 0 ≤ a , b , c ≤ 2 và a+b +c=3 nên ta cã 3 0 ≤ a ≤1 ⇒ a ≤ a . MÆt kh¸c 1≤ c ≤2 ⇒ (c − 1)( c −2)(c +3)≤ 0 ⇒ c3 ≤7 c −6 Ta xÐt hai trêng hîp cña b: Nếu 0 ≤ b ≤1 ⇒ b3 ≤ b . Khi đó 3. 3. 3. a +b + c ≤ a+b +7 c − 6=a+b+ c+ 6 c − 6 ≤3+6 . 2 −6=9 3 3 3 ⇒a + b +c ≤ 9 Nếu 1≤ b ≤ 2⇒ b3 ≤7 b − 6 .Khi đó 3 3 3 a +b + c ≤ a+7 b − 6+7 c −6=7(a+b+ c)− 6 a −12=9 −6 a ≤ 9 VËy a3 +b 3+ c 3 ≤ 9 ( ®pcm). * Chú ý thí sinh làm theo cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa!. 0,25 0,25 0,5. 0,25. 0,25 0,25 0,25. 0,25 0,25.

<span class='text_page_counter'>(4)</span>