De thiDap an hoc sinh gioi Thai Binh09

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Së Gi¸o dôc - §µo t¹o Th¸i B×nh. §Ò thi chän häc sinh giái líp 9 THCS n¨m häc 2008-2009. đề chính thức. M«n: To¸n Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề). Bµi 1. (3 ®iÓm) x 2  1 y2  1  Cho x, y lµ c¸c sè nguyªn kh¸c 1 tháa m·n y  1 x  1 lµ sè nguyªn. Chøng minh r»ng x2y22  1 chia hÕt cho x + 1. Bµi 2. (3 ®iÓm) 7. T×m ®a thøc bËc 7 cã c¸c hÖ sè lµ sè nguyªn nhËn x =. 3 75  5 3 lµ mét nghiÖm.. Bµi 3. (3 ®iÓm) Gi¶i ph¬ng tr×nh sau:.  x  3 .  4  x   12  x   x 28. Bµi 4. (3 ®iÓm)  x  0; y  0; z  0   9  xy  yz  zx  4 Cho: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc sau: A x 2  14y2  10z 2  4 2y. Bµi 5. (3 ®iÓm) Cho tam giác ABC nhọn, ngoại tiếp đờng tròn tâm O. Chứng minh rằng: OA 2 OB2 OC 2   1 AB.AC BA.BC CA.CB Bµi 6. (3 ®iÓm) Cho tam giác ABC đều, có độ dài cạnh là 1. Trên cạnh BC lấy điểm D không trùng với B và C. Gọi r1 là bán kính đờng tròn nội tiếp tam giác ABD; r 2 là bán kính đờng tròn nội tiếp tam giác ACD. Xác định vị trí của điểm D để r1.r2 đạt giá trị lớn nhất. Bµi 7. (2 ®iÓm) Cho 2009 ®iÓm kh¸c nhau n»m bªn trong h×nh ch÷ nhËt cã chiÒu dµi 251cm vµ chiÒu réng 4cm. VÏ 2009 h×nh trßn nhËn c¸c ®iÓm trªn lµm t©m vµ cã cïng b¸n kÝnh lµ 2 cm. Chøng minh r»ng tån t¹i Ýt nhÊt 1 h×nh trßn trong sè chóng chøa Ýt nhÊt 3 ®iÓm trong 2009 ®iÓm nãi trªn. --- HÕt ---. Hä vµ tªn thÝ sinh:.................................................................. Sè b¸o danh:................ Së Gi¸o dôc - §µo t¹o Th¸i B×nh. K× thi chän häc sinh giái N¨m häc 2008-2009 Híng dÉn chÊm vµ biÓu ®iÓm M¤N to¸n.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> (Gåm 06 trang). Bµi Bµi 1 (3 ®). Néi dung x2  1 a  y 1 b. §iÓm.  a; b;c;d  Z; (a; b) 1; (c;d) 1; b  0; d  0     . y2  1 c  §Æt x  1 d x 2  1 y 2  1 a c ad  bc     k y  1 x  1 b d bd XÐt. (k  Z)   ad + bc = bdk  ad + bc : b  ad b  d  b (v× (a; b) = 1) T¬ng tù cã b  d Tõ (1) (2)  b = d a c x 2  1 y2  1     x  1  y  1 m b d y  1 x  1 XÐt (m Z v× x; yZ). 0,25. (1) (2) (3). 0,25 0,25 0,25.  ac = mbd  ac : b  c  b (v× (a;b) = 1) Tõ (3) (4)  c  d Vµ (c ; d) = 1 (5) (6)  d = 1  (y2 - 1)  (x + 1) XÐt x2y22 - 1 = x2 (y22 - 1) + x2 - 1 Cã y22 - 1  y2 - 1 Tõ (7) (8)  y22 - 1  x + 1  x2(y2 - 1)  x + 1. (4). 0,25. (5) (6) (7). 0,25. (8) (9). 0,25. Cã x2 - 1  x + 1. (10). 0,25. 3 §Æt a = 5 , b = a  b x   ab 1 7. 7. 0,25 0,25. 0,25. Tõ (9) (10)  x2y22 - 1  x + 1 Bµi 2 (3 ®). 0,25. 5 3. a3 + b3 = (a + b) (a2 - ab + b2) = (a + b) [(a + b)2 - 3ab] = x (x2 - 3) = x3 - 3x 4 4 2 2 2 2 a + b = (a + b ) - 2(ab) = [(a + b2) - 2ab]2 - 2(ab)2 = (x2 - 2)2 - 2 = x4 - 4x2 + 2 3 5 34  x  x 15 (a3 + b3)(a4 + b4) = a7 + b7 + (ab)3(a + b) = 5 3 (a3 + b3)(a4 + b4) = (x3 - 3x) (x4 - 4x2 + 2) = x7 - 3x5 - 4x5 + 12x3 + 2x3 - 6x = x7 - 7x5 + 14x3 - 6x 34 x (1) (2)  x7 - 7x5 + 14x3 - 6x = 15  15x7 - 105x5 + 210x3 - 90x = 34 + 15x  15x7 - 105x5 + 210x3 - 105x - 34 = 0. 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 (1) (2). 0,25. 0,25.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Bµi. Néi dung. §iÓm. 3 5 7 Ta thÊy 15x7 - 105x5 + 210x3 - 105x - 34 nhËn x = 5 + 3 lµ nghiÖm 15x7 - 105x5 + 210x3 - 105x - 34 cã tÊt c¶ c¸c hÖ sè lµ sè nguyªn  15kx7 - 105 kx5 + 210kx3 - 105kx - 34k (k lµ sè nguyªn kh¸c kh«ng) Là đẳng thức cần tìm 7. Bµi 3 (3 ®).  x  3 .  4  x   12  x   x 28. 0,25 (1) (2). 0,25. 0,25.  x  3  31 (tháa m·n §KX§) XÐt u - v = -1  v = u + 1 (4  x)(12  x) Thay trë l¹i ta cã =x+4  x  4  48  8x  x 2 x 2  8x  16 . 0,25 0,25.  x  4  2  x  4  32. hoÆc.  x  4  4 2. (tháa m·n §KX§). 0,25. 0,25. x  4  4 2. KÕt luËn: Ph¬ng tr×nh cã tËp nghiÖm: S =. 0,25 0,25 0,25. XÐt u - v = 1  v = u - 1 (4  x)(12  x) Thay trë l¹i ta cã =x+2  x  2 0  48  8x  x 2 x 2  4x  4   x  2  2 x  6x  22 0   x  2  2  x  3 31    x  2  x  3  31 hoÆc x  3  31  .  x  4  x  4  4 2  . 0,25. 0,25. (*) §KX§: -12  x  4 §Æt x + 3 = u (4  x)(12  x) =v  u2 + v2 = x2 + 6x + 9 + 48 - 8x - x2 = 57 - 2x  u2 + v2 - 1 = 56 - 2x = 2(28-x) Cã u.v = 28 - x Tõ (1) (2) cã u2 + v2 - 1 = 2uv  (u + v)2 = 1  u  v 1    u  v  1.  x  4   2 x  8x  16 0  . 0,25 0,25.   3. 31;  4  4 2. . 0,25.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Bµi Bµi 4 (3 ®). Néi dung. §iÓm. x2 Cã x > 0  2 > 0 ; y > 0  8y2 > 0 x2 áp dụng bất đẳng thức Co-si cho 2 số dơng 2 và 8y2 ta có: x2  8y 2 2  4 xy. 0,25 (1). 2. x  8z 2 4xz 2 2(y2 + z2)  4yz. T¬ng tù. 0,25 (2) (3). 2y XÐt A = x2 + 14y2 + 10z2 - 4  x2  x2 2 2 2 2 2   8y     8z   2  y  z   4y  4 2y 2   2  =. XÐt 4y2 - 4. 2y. +9 = =.  2y  1. 2. 0 ; 2. .  4y. 2. . (4) 0,25 0,25 (5). .  4y  1  2 2y  2 2y 1  6.  2y  1. . 2. 2. . . 2. 0,25. 2y  1  6. 2. 2y  1 0  4y 2  4 2y  9 6. Cã Tõ (5) vµ (6)  A  6  x  0; y  0; z  0   xy  yz  xz  9 4   x2  8y 2 2  x 2 2  8z 2  y 2 z 2   2y  1 0  2y  1 0   A = 6   1  y 2  1  z  2   x 2   . 0,25. 2y. Tõ (1) (2) (3) vµ (4) cã: A  4(xy + xz + yz) + 4y2 - 4 9 2y Cã xy + xz + yz = 4  A  9 + 4y2 - 4. 0,25. (6) (7). 0,25 0,25. 0,25. 0,25. (8).

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Bµi. Tõ (7) (8) cã Amin = 6  Bµi 5 (3 ®). Néi dung. §iÓm. 1 1 ;  2 2. 0,25.  x; y; z   2; . Gäi E; F; P lÇn lît lµ tiÕp ®iÓm cña (O) víi c¹nh AB; AC; BC A  AEO = AFO = 90o (t/c tiÕp tuyÕn)  A ; E ; F ; O thuộc đờng tròn đờng kính AO Gäi A1 lµ trung ®iÓm AO  A1 là tâm đờng tròn đờng kính AO 1 Cã BAC nhän  BAC = 2 EA1F (hq gãc nt) 1 sin EA1I = 2 EA1F (I lµ giao ®iÓm cña AO vµ EF)  sin BAC = EA1I  sin EF = AO sinBAC T¬ng tù EP = BO sinABC FP = CO sinACB. H. A1 E. F. 0,25. I O. B. P. C C. 0,25 0,25 0,25.  EF.AO + EP.BO + FP.CO = AO2sinBAC + BO2sinABC+CO2sinACB Cã AO  EF (suy ra tõ tÝnh chÊt 2 tiÕp tuyÕn c¾t nhau)  2SAEOF = AE.AO T¬ng tù 2SBEOP = EP.BO 2SCFOP = EP.CO  2SABC = AE.AO + EP.BO + FP.CO (O n»m trong ABC). (3). (4). 0,25 0,25. Tõ (3) (4)  AO2sinBAC + BO2sinABC+CO2sinACB = 2SABC 2SABC BH.AC 2S  sin BAC  ABC  BH ABsin BAC AB.AC KÎ BH  AC   2S 2S sin ABC  ABC sin ACB  ABC BA.BC CA.CB T¬ng tù cã. (5). 0,25. AO 2 .. 0,25. 0,25 0,25 (6). 2SABC 2S 2S  BO 2 . ABC  CO 2 . ABC 2SABC AB.AC BA.BC CA.CB. 0,25. Tõ (5) vµ (6)  AO 2 BO2 CO 2   1 AB.AC BA.BC CA.CB. 0,25. Bµi 6 (3 ®). A. §Æt BD = x  CD = 1 - x (0 < x < 1) KÎ DE  AB XÐt BED vu«ng t¹i E cã EBD = 60o; BD = x x x 3  BE = 2 , DE = 2 DEA vu«ng t¹i E  AD2 = AE2 + DE2. E B. 0,25 D. C 0,25.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Bµi. Néi dung 2  x x 3 1       2    2  2  AD =.  AD =. §iÓm. 2. 0,25. x 2  x 1.  AB  BD  DA 1  x  x 2  x 1 r1. SABD r1.  2 2  DE.AB x 3  SABD  2  4 Cã SABD = 3 x  2  r = 2 1  x  x  x 1. 0,25 0,25 0,25. 1. 3  2 1 1  x . T¬ng tù cã: r2 =. XÐt r1.r2 =. 1 x. 1 x . 2.    1  x  1. 3 1 x  2 2  x  x 2  x 1. 0,25. x 1 x 3  4  1  x   2  x    1  x  2  x  x 2  x 1  x 2  x 1. x 1 x  3  2 2 2 = 4 2  x  x  3 x  x 1  x  x 1 x 1 x 3  4 3 1  x 2  x 1 =. . . . 2 2 1  x  x  1  x  x 1  1 x2  x  1 = 4. . 2 1  3   x    2 4  . 1   1 4   = 2. 0,5. 2. 1 1 3 3    x   0 x    2 2 4 4 Cã    2. . 1 3 3  x    2 4 2  2. 1  2 XÐt r1.r2 =. 3 8. 1 3 3   x    1  2 4 2 . . r1.r2 . 1 1 0 x 2 2    D lµ trung ®iÓm cña BC (tháa m·n). 2. 3 8. 0,25 (1). x. 2 Tõ (1) (2) ta cã: §Ó (r1.r2) max = cña BC.. (2). 0,25. 3 8. th× vÞ trÝ cña D cÇn t×m lµ: D lµ trung ®iÓm. 0,25.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Bµi Bµi 6 (3 ®). Néi dung Chia h×nh ch÷ nhËt cã chiÒu dµi 251cm, chiÒu réng 4cm thµnh 1004 hình vuông có độ dài cạnh là 1cm.. §iÓm 2. 1. 2.  2009 điểm phân biệt nằm bên trong hình chữ nhật chứa 1004 hình vuông có độ dµi c¹nh lµ 1cm.  Tồn tại ít nhất 1 hình vuông có độ dài cạnh là 1cm chứa ít nhất 3 điểm trong 2009 điểm đã cho (Di-rich-le) (1) Hình vuông có độ dài cạnh là 1cm  Khoảng cách lớn giữa 2 điểm thuộc miền của h×nh vu«ng lµ 2 cm. Không mất tính tổng quát, giả sử 3 điểm đó là A, B, C  AB  2 cm AC . 2 cm.  A; B; C thuéc h×nh trßn t©m A b¸n kÝnh 2 cm (2) Tõ (1) (2) chøng tá r»ng tån t¹i Ýt nhÊt 1 h×nh trßn cã t©m lµ mét trong 2009 ®iÓm đã cho, có bán kính 2 cm chứa ít nhất 3 điểm trong 2009 điểm đã cho.. Chó ý: 1. Trªn ®©y chØ lµ c¸c bíc gi¶i vµ khung ®iÓm b¾t buéc cho tõng bíc theo giíi hạn chơng trình đến tuần 25 của lớp 9; yêu cầu thí sinh phải trình bày, lập luận và biến đổi hợp lí mới đợc công nhận cho điểm. 2. Những cách giải khác đúng vẫn cho điểm tối đa theo biểu điểm. 3. ChÊm tõng phÇn. §iÓm toµn bµi lµ tæng c¸c ®iÓm thµnh phÇn kh«ng lµm trßn.. 0,25. 0,25 0,25 0,25. 0,25 0,25 0,25 0,25.

<span class='text_page_counter'>(8)</span>