phuong trinh bac cao va phuong phap giai

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Ph¬ng tr×nh bËc cao ¤N THI VµO LíP I0 Ph¬ng tr×nh a x3 +bx2 +cx+d=0 (1) (a 0) -Biến đổi vế trái về dạng tích bậc nhất với bậc hai để giải -NÕu a+b+c+d=0 th× (1) sÏ cã 1nghiÖm x=1 - Nếu a-b+c-d=0 thì (1) sẽ có 1nghiệm x=-1. Khi đó ta đẽ dàng Biến đổi vế trái về dạng tích -Nếu (1) có các hệ số nguyên , nếu có nghiệm nguyên thì nghiệm nguyên đó là ớc của hạng tử tự do , gi¶ sö 3 nghiÖm lµ x1;x2;x3 th× x1+x2+x3 =-b/a x1.x2.x3 =-d/a x1.x2 +x1x3 + x2.x3 =c/a Bµi 4.1: a) Gi¶i ph¬ng tr×nh 2x3+7x2+7x+2=0 a-b+c-d=0 thì (1) sẽ có 1nghiệm x=-1. Khi đó ta đẽ dàng Biến đổi vế trái về dạng tích b) Gi¶i ph¬ng tr×nh x3+7x2-56 x+48=0 a+b+c+d=0 th× (1) sÏ cã 1nghiÖm x=1 a) Gi¶i ph¬ng tr×nh 2x3+5x2+6x+3=0 e) Gi¶i ph¬ng tr×nh sau : x3+ 4x2 -29+24 =0 (1) <=> (x-1 )( x2+5x-24 )=0 Bµi 4.2 Gi¶i ph¬ng tr×nh sau 4x 4 – 109x2+ 225 =0 (1) Bài 4.3 phơng trình hệ số đối xứng bậc 4 : a x4 + bx 3+ cx2 + dx +e =0 ( x lµ Èn , a, b, c, d, e lµ c¸c hÖ sè ;a 0) (Đặc điểm : vế trái các hệ số của các số hạng cách đều số hạng đầu và số hạng cuối thì bằng nhau ) ph¬ng ph¸p gi¶i gåm 4 bíc -NhËn xÐt x=0 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm cña (1) ta chia c¶ hai vÕ (1) cho x 2 (®k x 0) råi nhãm các số hạng cách đều hai số hạng đầu và cuối thành từng nhóm ta đợc phơng trình mới 1 1 -§Æt Èn phô : (x+ =t2 -2 ta đợc phơng trình ẩn t ¿ =t (3) => x2+ 2 x x -giải phơng trình đó ta đợc t = …. - thay các giá trị của t vào (3) để tìm x và trả lời nghiệm (1) Gi¶i ph¬ng tr×nh sau 10x4- 27x3- 110x2 -27x +10=0 (1) Ta nhËn thÊy x=0 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm cña (1) chia c¶ hai vÕ (1) cho x2 (®k x. 0) 27 10 + ta đợc pt <=>10x2 -27x - 110 =0 x x2 Nhóm các số hạng cách đều hai số hạng đầu và cuối thành từng nhóm ta đợc PT 1 1 )  (x  2 x) ) -110 =0 10( x2 + x (2). 1 =t2 -2 thay vµo (2) ta cã 2 x 5 26 <=> 10t2 -27t -130=0 (4) Giải (4) ta đợc t1=; t 2= 2 5 5 1 5 + Víi t1= (x+  2x2 +5x+2=0 cã nghiÖm lµ x1=-2 ; x2=-1/2 ¿ =2 x 2 26 1 26 +Víi ; t 2=  (x+  5x2-26x+5 =0 cã nghiÖm lµ x3=5 ; x4=1/5 ¿ = 5 x 5 −1 1 VËy ph¬ng tr×nh (1) cã tËp nghiÖm lµ S= ; −2 ; ;5 2 5 Bµi 4.4 Ph¬ng tr×nh håi quy d¹ng tæng qu¸t : a x4 + bx 3+ cx2 + dx +e =0 (1) d 2 ¿ b Trong đó x là ẩn , a, b, c, d, e là các hệ số ; a 0 e 0) vµ ; e =¿ a phơng tình hệ số đối xứng bậc 4 chỉ là 1 trờng hợp đặc biệt của phơng trình hồi quy e Chó ý :Khi =1hay a=e thì d= ± b; lúc đó (1) có dạng a x4 + bx 3+ cx2 ± bx +e =0 a C¸ch gi¶i: -Do x=0 không phải là nghiệm của phơng trình (1)nên chia cả hai vế cho x2 ta đợc §Æt Èn phô. (x+. 1 ¿ x. =t (3) => x2+. {. }.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> a x2 +bx +c +. d c + x x2. =0. (2). c d ¿+ b( x + )+c=0 2 bx ax d d 2 d ¿+2 =t -§æi biÕn đặt x+ =t => x2 +( do (d/b)2 =c/a 2 b bx bx nªn x2+ c/ a x2=t2 -2. d/b d Khi đó ta có phơng trình a (t2 - 2 ) bt +c =0 b Ta đợc phơnmg trình (3) trung gian nh sau : at2+ bt +c=0 (3) -Giải (3) ta đợc nghiệm của phơng trình ban đầu Gi¶i ph¬ng tr×nh : x4-4x3-9x2+8x+4=0 (1) 8 2 NhËn xÐt 4/1= − 4 ¿ ; Nªn ph¬ng tr×nh (1) lµ ph¬ng tr×nh håi quy ¿  x=0 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm cña (1)  Do đó chia cả hai vế phơng trình cho x2 (x 0) ta đợc 8 4 4 + 2 =0  (x2 + ¿ - 4( x - 2 ) -9 =0 (2) x2- -4x -9 + 2 x x x x 4 2 ¿ =t2 +4 thay vµo (2) * §Æt ( x ) =t (3) => .( x2 + 2 x x Ph¬ng tr×nh (1) trë thµnh t2-4t -5 =0 cã nghiÖm lµ t1=-1 ; t2=5 nhận xét : tơng tự nh giải phơng trình bậc 4 hệ số đối xứng , chỉ khác bớc đặt ẩn phụ m m2 2m §Æt x+ =yb => x2 + = y2 − 2 2 bx b b x Bµi 4.5 Phơng trình dạng : (x+a ) ( x+b ) (x+c) (x+d )=m (Trong đó a+d=b+c) cách giải : Nhóm ( x+a) với (x+d) ; (x+b) với (x+c) rồi triển khai các tích đó Khi đó phơng trình có dạng [x2 +( a+d)x +ad ] [ x2 + (b+c )x +bc ] =0 Do a+d=b+c nên ta đặt [x2 +( a+d)x + k ] =t (2) ( k có thể là ad hoặc bc ) Ta cã ph¬ng tr×nh At2 +B t + C =0 (Víi A=1) Giải phơng trình ta tìm đợc t sau đó thay vào (2) rồi giá trị tìm đợc nghiệm x Gi¶i ph¬ng tr×nh (x+1) (x+3) (x+5) (x+7 ) = -15 (1)  nhËn xÐt 1+7 =3+5  Nhãm hîp lý  (x+1) (x+7 ) . (x+3) (x+5 ) +15=0  (x2 +8x +7 ) (x2 + 8x + 15) +15 =0 (2) 2 *§Æt (x +8x +7 ) =t (3) thay vµo (2) ta cã (2)  t( t+ 8) + 15=0 y2 +8y +15 =0 nghiÖm y1=-3 ; y2=-5 Thay vào (3) ta đợc 2 phơng trình 1/x2 +8x +7 = -3  x2+ 8x +10=0 cã nghiÖm x1,2 = -4 ± √ 6 2/ x2 +8x +7 = -5  x2 +8x +12 = 0 cã nghiÖm x3=-2; x4 =-6 VËy tËp nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) lµ S = { −2 ; −6 ; − 4 ± √ 6 } Bài 4.6:Phơng trình dạng; (x+a)4 +(x+b)4 = c (1) (Trong đó x là ẩn số ;a, b, c là các hệ số ) c¸ch gi¶i : Đối với dạng phơng trình này ta đặt ẩn phụ là trung bình cộng của (x+a) và (x+b) a+b a− b a− b §Æt t =x+ => x+a =t+ vµ x+b=t 2 2 2 a+b a+b Khi đó phơng trình (1) trở thành : 2t4 +2 ( )2 t2 + 2( )4 –c =0 2 2 Đây là phơng trình trùng phơng đã biết cách giải Gi¶i ph¬ng tr×nh sau : (x+3)4 +(x-1)4 =626 §Æt t =( x+3+x-1): 2=x+1=>x=t-1 Ta cã ph¬ng tr×nh  (t+2)4 + (t - 2)4 =626  9t4+8t3 +24t2+32t +16) +( 9t4- 8t3 +24t2- 32t +16)=626 t4 +24t2 - 297 =0 => t=-3 vµ t=3 Từ đó tìm đợc x=2 ; và x=-4 là nghiệm của phơng trình đã cho Bµi 4.7/ Ph¬ng tr×nh d¹ng : a[ f(x)]2 +b f(x) +c = 0 Nhãm hîp lÝ. a (x2 +.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> (trong đó x là ẩn ;a 0 ; f(x) lµ ®a thøc mét biÕn ) c¸ch gi¶i: - T×m TX§ cña ph¬ng tr×nh - Đổi biến bằng cách đặt f(x) =t khi ó phơng trình có dạng at2 + bt +c =0 (2) là PT bËc ha +/nÕu (2) cã nghiÖm lµ t=t0 th× ta sÏ gi¶i tiÕp ph¬ng tr×nh f(x) =t +/ nghiệm của phơng trình f(x) =t0 (nếu thoả mãn TXĐ của phơng trình đã cho ) sẽ là nghiệm cña ph¬ng trnh (1) VÝ dô : Gi¶i ph¬ng tr×nh x4+6x3+5x2-12x+3=0 (1) TX§ : ∀ x R Biến đổi vế trái ta có VT= (x2+ 3x)2 -4(x2+3x) +3 VËy ta cã ph¬ng tr×nh <=> (x2+ 3x)2 -4(x2+3x) +3 =0 §Æt x2+ 3x =t (2) Ta cã PT <=> t2 -4t +3 = 0 cã nghiÖm lµ t1=1 ;t2=3 Bài 4.8 Phơng trình đối xứng bậc lẻ ( bậc 5) Gi¶i ph¬ng tr×nh 2x5 +3x4 -5x3 -5x2 + 3x +2=0 Ph¬ng tr×nh cã tæng c¸c hÖ sè cña c¸c sè h¹ng bËc ch½n b»ng tæng c¸c hÖ sè cña c¸c sè h¹ng bËc lẻ , có nghiệm x=- 1 .Nên biến đổi phơng trình về dạng ( x+1) (2x4+x3 -6x2+x+2 )=0 Khi đó phơng trình có dạng [x2 +( a+d)x +ad ] [ x2 + (b+c )x +bc ] =0 Do a+d=b+c nên ta đặt [x2 +( a+d)x + k ] =t (2) ( k có thể là ad hoặc bc ) Ta cã ph¬ng tr×nh At2 +B t + C =0 (Víi A=1) Giải phơng trình ta tìm đợc t sau đó thay vào (2) rồi giá trị tìm đợc nghiệm x Gi¶i ph¬ng tr×nh (x+1) (x+3) (x+5) (x+7 ) = -15 (1)  nhËn xÐt 1+7 =3+5  Nhãm hîp lý  (x+1) (x+7 ) . (x+3) (x+5 ) +15=0  (x2 +8x +7 ) (x2 + 8x + 15) +15 =0 (2) *§Æt (x2 +8x +7 ) =t (3) thay vµo (2) ta cã (2)  t( t+ 8) + 15=0 y2 +8y +15 =0 nghiÖm y1=-3 ; y2=-5 Thay vào (3) ta đợc 2 phơng trình 1/x2 +8x +7 = -3  x2+ 8x +10=0 cã nghiÖm x1,2 = -4 ± √ 6 2/ x2 +8x +7 = -5  x2 +8x +12 = 0 cã nghiÖm x3=-2; x4 =-6 VËy tËp nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) lµ S = { −2 ; −6 ; − 4 ± √ 6 } Bài 4.6:Phơng trình dạng; (x+a)4 +(x+b)4 = c (1) (Trong đó x là ẩn số ;a, b, c là các hệ số ) c¸ch gi¶i : Đối với dạng phơng trình này ta đặt ẩn phụ là trung bình cộng của (x+a) và (x+b) a+b a− b a− b §Æt t =x+ => x+a =t+ vµ x+b=t 2 2 2 a+b 2 2 a+b 4 Khi đó phơng trình (1) trở thành : 2t4 +2 ( ) t + 2( ) –c =0 2 2 Đây là phơng trình trùng phơng đã biết cách giải Gi¶i ph¬ng tr×nh sau : (x+3)4 +(x-1)4 =626 §Æt t =( x+3+x-1): 2=x+1=>x=t-1 Ta cã ph¬ng tr×nh  (t+2)4 + (t - 2)4 =626  9t4+8t3 +24t2+32t +16) +( 9t4- 8t3 +24t2- 32t +16)=626 t4 +24t2 - 297 =0 => t=-3 vµ t=3 Từ đó tìm đợc x=2 ; và x=-4 là nghiệm của phơng trình đã cho Bµi 4.7/ Ph¬ng tr×nh d¹ng : a[ f(x)]2 +b f(x) +c = 0 (trong đó x là ẩn ;a 0 ; f(x) lµ ®a thøc mét biÕn ) c¸ch gi¶i: - T×m TX§ cña ph¬ng tr×nh - Đổi biến bằng cách đặt f(x) =t khi ó phơng trình có dạng at2 + bt +c =0 (2) là PT bËc ha +/nÕu (2) cã nghiÖm lµ t=t0 th× ta sÏ gi¶i tiÕp ph¬ng tr×nh f(x) =t +/ nghiệm của phơng trình f(x) =t0 (nếu thoả mãn TXĐ của phơng trình đã cho ) sẽ là nghiệm cña ph¬ng trnh (1) VÝ dô : Gi¶i ph¬ng tr×nh x4+6x3+5x2-12x+3=0 (1) TX§ : ∀ x R Biến đổi vế trái ta có VT= (x2+ 3x)2 -4(x2+3x) +3 VËy ta cã ph¬ng tr×nh <=> (x2+ 3x)2 -4(x2+3x) +3 =0 §Æt x2+ 3x =t (2) Ta cã PT <=> t2 -4t +3 = 0 cã nghiÖm lµ t1=1 ;t2=3 Bài 4.8 Phơng trình đối xứng bậc lẻ ( bậc 5) Gi¶i ph¬ng tr×nh 2x5 +3x4 -5x3 -5x2 + 3x +2=0.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Ph¬ng tr×nh cã tæng c¸c hÖ sè cña c¸c sè h¹ng bËc ch½n b»ng tæng c¸c hÖ sè cña c¸c sè h¹ng bËc lẻ , có nghiệm x=- 1 .Nên biến đổi phơng trình về dạng ( x+1) (2x4+x3 -6x2+x+2 )=0 Ngoài nghiệm x=-1 , để tìm nghiệm còn lại ta đi giải phơng trình 2x4+x3 -6x2+x+2 =0(2) là phơng trình đối xứng (bậc 4) đã biết cách giải Giải (2) ta đợc x1 =x2=1 ; x3 =-2 ;x4=-0,5 Vậy phơng trình đã cho có nghiệm là x1 =x2=1 ; x3 =-2 ;x4=-0,5 ;x5=-1 Bµi tËp VN : Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau 1) x3 - 4x2- 29x -24 =0 2) 8x3 - 20x2 +28x - 10 =0 4 3 2 3) x - 3x +9x -27 x+81=0 4, x4-10x3+11x2 -10x+1=0 4 3 2 5, x +5x -14x -20x +16 =0 6, x4 +4x3 -10 x2 -28 x-15=0 4, (x+4) (x+5) (x+7) (x+8) =4 h, (x+10) (x+12) (x+15) (x+18) =2x2 7) (x+2) (x+3) (x+8) (x+12) =4x2 nhãm (x+2)(x+12) (x+3) (x+8) råi chia 2 vÕ cho 4x2 và đặt t=x+7/x (đk x 0) 8) 3x5 -10x4 +3x3+3x2-10x+3=0 9) x5 +2x4 +3x3+3x2+2x+1=0 10) 6x5 -29x4 +27x3+27x2-29x+6=0 11) x5 +4x4 +3x3+3x2-4x+1=0 12) (x2-8x+7)(x2-8x+15)=20 13) (x2-3 x+1) (x2+3x+2) (x2-9x+20)=-30 biến đổi <=> (x2-3 x+1) (x2-3x-4) (x2-3x-10)=-30 14) 3(x2+x) -2(x2+x ) -1=0 15) (x2-4x+2)2 +4x2-4x-4=0 2 4 2 2 2 4 16) (x -x+1) -6x (x -x+1) +5x =0 17) (x+6)4+(x+4 )4 =82 2 18) x + x − 5 + 2 3 x + 4=0 19) (x-2,5)4+(x-1,5)4 =17 x x + x −5.

<span class='text_page_counter'>(5)</span>