Tải bản đầy đủ (.docx) (4 trang)

phuong trinh bac cao va phuong phap giai

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (107.79 KB, 4 trang )

(1)Ph¬ng tr×nh bËc cao ¤N THI VµO LíP I0 Ph¬ng tr×nh a x3 +bx2 +cx+d=0 (1) (a 0) -Biến đổi vế trái về dạng tích bậc nhất với bậc hai để giải -NÕu a+b+c+d=0 th× (1) sÏ cã 1nghiÖm x=1 - Nếu a-b+c-d=0 thì (1) sẽ có 1nghiệm x=-1. Khi đó ta đẽ dàng Biến đổi vế trái về dạng tích -Nếu (1) có các hệ số nguyên , nếu có nghiệm nguyên thì nghiệm nguyên đó là ớc của hạng tử tự do , gi¶ sö 3 nghiÖm lµ x1;x2;x3 th× x1+x2+x3 =-b/a x1.x2.x3 =-d/a x1.x2 +x1x3 + x2.x3 =c/a Bµi 4.1: a) Gi¶i ph¬ng tr×nh 2x3+7x2+7x+2=0 a-b+c-d=0 thì (1) sẽ có 1nghiệm x=-1. Khi đó ta đẽ dàng Biến đổi vế trái về dạng tích b) Gi¶i ph¬ng tr×nh x3+7x2-56 x+48=0 a+b+c+d=0 th× (1) sÏ cã 1nghiÖm x=1 a) Gi¶i ph¬ng tr×nh 2x3+5x2+6x+3=0 e) Gi¶i ph¬ng tr×nh sau : x3+ 4x2 -29+24 =0 (1) <=> (x-1 )( x2+5x-24 )=0 Bµi 4.2 Gi¶i ph¬ng tr×nh sau 4x 4 – 109x2+ 225 =0 (1) Bài 4.3 phơng trình hệ số đối xứng bậc 4 : a x4 + bx 3+ cx2 + dx +e =0 ( x lµ Èn , a, b, c, d, e lµ c¸c hÖ sè ;a 0) (Đặc điểm : vế trái các hệ số của các số hạng cách đều số hạng đầu và số hạng cuối thì bằng nhau ) ph¬ng ph¸p gi¶i gåm 4 bíc -NhËn xÐt x=0 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm cña (1) ta chia c¶ hai vÕ (1) cho x 2 (®k x 0) råi nhãm các số hạng cách đều hai số hạng đầu và cuối thành từng nhóm ta đợc phơng trình mới 1 1 -§Æt Èn phô : (x+ =t2 -2 ta đợc phơng trình ẩn t ¿ =t (3) => x2+ 2 x x -giải phơng trình đó ta đợc t = …. - thay các giá trị của t vào (3) để tìm x và trả lời nghiệm (1) Gi¶i ph¬ng tr×nh sau 10x4- 27x3- 110x2 -27x +10=0 (1) Ta nhËn thÊy x=0 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm cña (1) chia c¶ hai vÕ (1) cho x2 (®k x. 0) 27 10 + ta đợc pt <=>10x2 -27x - 110 =0 x x2 Nhóm các số hạng cách đều hai số hạng đầu và cuối thành từng nhóm ta đợc PT 1 1 )  (x  2 x) ) -110 =0 10( x2 + x (2). 1 =t2 -2 thay vµo (2) ta cã 2 x 5 26 <=> 10t2 -27t -130=0 (4) Giải (4) ta đợc t1=; t 2= 2 5 5 1 5 + Víi t1= (x+  2x2 +5x+2=0 cã nghiÖm lµ x1=-2 ; x2=-1/2 ¿ =2 x 2 26 1 26 +Víi ; t 2=  (x+  5x2-26x+5 =0 cã nghiÖm lµ x3=5 ; x4=1/5 ¿ = 5 x 5 −1 1 VËy ph¬ng tr×nh (1) cã tËp nghiÖm lµ S= ; −2 ; ;5 2 5 Bµi 4.4 Ph¬ng tr×nh håi quy d¹ng tæng qu¸t : a x4 + bx 3+ cx2 + dx +e =0 (1) d 2 ¿ b Trong đó x là ẩn , a, b, c, d, e là các hệ số ; a 0 e 0) vµ ; e =¿ a phơng tình hệ số đối xứng bậc 4 chỉ là 1 trờng hợp đặc biệt của phơng trình hồi quy e Chó ý :Khi =1hay a=e thì d= ± b; lúc đó (1) có dạng a x4 + bx 3+ cx2 ± bx +e =0 a C¸ch gi¶i: -Do x=0 không phải là nghiệm của phơng trình (1)nên chia cả hai vế cho x2 ta đợc §Æt Èn phô. (x+. 1 ¿ x. =t (3) => x2+. {. }.

(2) a x2 +bx +c +. d c + x x2. =0. (2). c d ¿+ b( x + )+c=0 2 bx ax d d 2 d ¿+2 =t -§æi biÕn đặt x+ =t => x2 +( do (d/b)2 =c/a 2 b bx bx nªn x2+ c/ a x2=t2 -2. d/b d Khi đó ta có phơng trình a (t2 - 2 ) bt +c =0 b Ta đợc phơnmg trình (3) trung gian nh sau : at2+ bt +c=0 (3) -Giải (3) ta đợc nghiệm của phơng trình ban đầu Gi¶i ph¬ng tr×nh : x4-4x3-9x2+8x+4=0 (1) 8 2 NhËn xÐt 4/1= − 4 ¿ ; Nªn ph¬ng tr×nh (1) lµ ph¬ng tr×nh håi quy ¿  x=0 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm cña (1)  Do đó chia cả hai vế phơng trình cho x2 (x 0) ta đợc 8 4 4 + 2 =0  (x2 + ¿ - 4( x - 2 ) -9 =0 (2) x2- -4x -9 + 2 x x x x 4 2 ¿ =t2 +4 thay vµo (2) * §Æt ( x ) =t (3) => .( x2 + 2 x x Ph¬ng tr×nh (1) trë thµnh t2-4t -5 =0 cã nghiÖm lµ t1=-1 ; t2=5 nhận xét : tơng tự nh giải phơng trình bậc 4 hệ số đối xứng , chỉ khác bớc đặt ẩn phụ m m2 2m §Æt x+ =yb => x2 + = y2 − 2 2 bx b b x Bµi 4.5 Phơng trình dạng : (x+a ) ( x+b ) (x+c) (x+d )=m (Trong đó a+d=b+c) cách giải : Nhóm ( x+a) với (x+d) ; (x+b) với (x+c) rồi triển khai các tích đó Khi đó phơng trình có dạng [x2 +( a+d)x +ad ] [ x2 + (b+c )x +bc ] =0 Do a+d=b+c nên ta đặt [x2 +( a+d)x + k ] =t (2) ( k có thể là ad hoặc bc ) Ta cã ph¬ng tr×nh At2 +B t + C =0 (Víi A=1) Giải phơng trình ta tìm đợc t sau đó thay vào (2) rồi giá trị tìm đợc nghiệm x Gi¶i ph¬ng tr×nh (x+1) (x+3) (x+5) (x+7 ) = -15 (1)  nhËn xÐt 1+7 =3+5  Nhãm hîp lý  (x+1) (x+7 ) . (x+3) (x+5 ) +15=0  (x2 +8x +7 ) (x2 + 8x + 15) +15 =0 (2) 2 *§Æt (x +8x +7 ) =t (3) thay vµo (2) ta cã (2)  t( t+ 8) + 15=0 y2 +8y +15 =0 nghiÖm y1=-3 ; y2=-5 Thay vào (3) ta đợc 2 phơng trình 1/x2 +8x +7 = -3  x2+ 8x +10=0 cã nghiÖm x1,2 = -4 ± √ 6 2/ x2 +8x +7 = -5  x2 +8x +12 = 0 cã nghiÖm x3=-2; x4 =-6 VËy tËp nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) lµ S = { −2 ; −6 ; − 4 ± √ 6 } Bài 4.6:Phơng trình dạng; (x+a)4 +(x+b)4 = c (1) (Trong đó x là ẩn số ;a, b, c là các hệ số ) c¸ch gi¶i : Đối với dạng phơng trình này ta đặt ẩn phụ là trung bình cộng của (x+a) và (x+b) a+b a− b a− b §Æt t =x+ => x+a =t+ vµ x+b=t 2 2 2 a+b a+b Khi đó phơng trình (1) trở thành : 2t4 +2 ( )2 t2 + 2( )4 –c =0 2 2 Đây là phơng trình trùng phơng đã biết cách giải Gi¶i ph¬ng tr×nh sau : (x+3)4 +(x-1)4 =626 §Æt t =( x+3+x-1): 2=x+1=>x=t-1 Ta cã ph¬ng tr×nh  (t+2)4 + (t - 2)4 =626  9t4+8t3 +24t2+32t +16) +( 9t4- 8t3 +24t2- 32t +16)=626 t4 +24t2 - 297 =0 => t=-3 vµ t=3 Từ đó tìm đợc x=2 ; và x=-4 là nghiệm của phơng trình đã cho Bµi 4.7/ Ph¬ng tr×nh d¹ng : a[ f(x)]2 +b f(x) +c = 0 Nhãm hîp lÝ. a (x2 +.

(3) (trong đó x là ẩn ;a 0 ; f(x) lµ ®a thøc mét biÕn ) c¸ch gi¶i: - T×m TX§ cña ph¬ng tr×nh - Đổi biến bằng cách đặt f(x) =t khi ó phơng trình có dạng at2 + bt +c =0 (2) là PT bËc ha +/nÕu (2) cã nghiÖm lµ t=t0 th× ta sÏ gi¶i tiÕp ph¬ng tr×nh f(x) =t +/ nghiệm của phơng trình f(x) =t0 (nếu thoả mãn TXĐ của phơng trình đã cho ) sẽ là nghiệm cña ph¬ng trnh (1) VÝ dô : Gi¶i ph¬ng tr×nh x4+6x3+5x2-12x+3=0 (1) TX§ : ∀ x R Biến đổi vế trái ta có VT= (x2+ 3x)2 -4(x2+3x) +3 VËy ta cã ph¬ng tr×nh <=> (x2+ 3x)2 -4(x2+3x) +3 =0 §Æt x2+ 3x =t (2) Ta cã PT <=> t2 -4t +3 = 0 cã nghiÖm lµ t1=1 ;t2=3 Bài 4.8 Phơng trình đối xứng bậc lẻ ( bậc 5) Gi¶i ph¬ng tr×nh 2x5 +3x4 -5x3 -5x2 + 3x +2=0 Ph¬ng tr×nh cã tæng c¸c hÖ sè cña c¸c sè h¹ng bËc ch½n b»ng tæng c¸c hÖ sè cña c¸c sè h¹ng bËc lẻ , có nghiệm x=- 1 .Nên biến đổi phơng trình về dạng ( x+1) (2x4+x3 -6x2+x+2 )=0 Khi đó phơng trình có dạng [x2 +( a+d)x +ad ] [ x2 + (b+c )x +bc ] =0 Do a+d=b+c nên ta đặt [x2 +( a+d)x + k ] =t (2) ( k có thể là ad hoặc bc ) Ta cã ph¬ng tr×nh At2 +B t + C =0 (Víi A=1) Giải phơng trình ta tìm đợc t sau đó thay vào (2) rồi giá trị tìm đợc nghiệm x Gi¶i ph¬ng tr×nh (x+1) (x+3) (x+5) (x+7 ) = -15 (1)  nhËn xÐt 1+7 =3+5  Nhãm hîp lý  (x+1) (x+7 ) . (x+3) (x+5 ) +15=0  (x2 +8x +7 ) (x2 + 8x + 15) +15 =0 (2) *§Æt (x2 +8x +7 ) =t (3) thay vµo (2) ta cã (2)  t( t+ 8) + 15=0 y2 +8y +15 =0 nghiÖm y1=-3 ; y2=-5 Thay vào (3) ta đợc 2 phơng trình 1/x2 +8x +7 = -3  x2+ 8x +10=0 cã nghiÖm x1,2 = -4 ± √ 6 2/ x2 +8x +7 = -5  x2 +8x +12 = 0 cã nghiÖm x3=-2; x4 =-6 VËy tËp nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) lµ S = { −2 ; −6 ; − 4 ± √ 6 } Bài 4.6:Phơng trình dạng; (x+a)4 +(x+b)4 = c (1) (Trong đó x là ẩn số ;a, b, c là các hệ số ) c¸ch gi¶i : Đối với dạng phơng trình này ta đặt ẩn phụ là trung bình cộng của (x+a) và (x+b) a+b a− b a− b §Æt t =x+ => x+a =t+ vµ x+b=t 2 2 2 a+b 2 2 a+b 4 Khi đó phơng trình (1) trở thành : 2t4 +2 ( ) t + 2( ) –c =0 2 2 Đây là phơng trình trùng phơng đã biết cách giải Gi¶i ph¬ng tr×nh sau : (x+3)4 +(x-1)4 =626 §Æt t =( x+3+x-1): 2=x+1=>x=t-1 Ta cã ph¬ng tr×nh  (t+2)4 + (t - 2)4 =626  9t4+8t3 +24t2+32t +16) +( 9t4- 8t3 +24t2- 32t +16)=626 t4 +24t2 - 297 =0 => t=-3 vµ t=3 Từ đó tìm đợc x=2 ; và x=-4 là nghiệm của phơng trình đã cho Bµi 4.7/ Ph¬ng tr×nh d¹ng : a[ f(x)]2 +b f(x) +c = 0 (trong đó x là ẩn ;a 0 ; f(x) lµ ®a thøc mét biÕn ) c¸ch gi¶i: - T×m TX§ cña ph¬ng tr×nh - Đổi biến bằng cách đặt f(x) =t khi ó phơng trình có dạng at2 + bt +c =0 (2) là PT bËc ha +/nÕu (2) cã nghiÖm lµ t=t0 th× ta sÏ gi¶i tiÕp ph¬ng tr×nh f(x) =t +/ nghiệm của phơng trình f(x) =t0 (nếu thoả mãn TXĐ của phơng trình đã cho ) sẽ là nghiệm cña ph¬ng trnh (1) VÝ dô : Gi¶i ph¬ng tr×nh x4+6x3+5x2-12x+3=0 (1) TX§ : ∀ x R Biến đổi vế trái ta có VT= (x2+ 3x)2 -4(x2+3x) +3 VËy ta cã ph¬ng tr×nh <=> (x2+ 3x)2 -4(x2+3x) +3 =0 §Æt x2+ 3x =t (2) Ta cã PT <=> t2 -4t +3 = 0 cã nghiÖm lµ t1=1 ;t2=3 Bài 4.8 Phơng trình đối xứng bậc lẻ ( bậc 5) Gi¶i ph¬ng tr×nh 2x5 +3x4 -5x3 -5x2 + 3x +2=0.

(4) Ph¬ng tr×nh cã tæng c¸c hÖ sè cña c¸c sè h¹ng bËc ch½n b»ng tæng c¸c hÖ sè cña c¸c sè h¹ng bËc lẻ , có nghiệm x=- 1 .Nên biến đổi phơng trình về dạng ( x+1) (2x4+x3 -6x2+x+2 )=0 Ngoài nghiệm x=-1 , để tìm nghiệm còn lại ta đi giải phơng trình 2x4+x3 -6x2+x+2 =0(2) là phơng trình đối xứng (bậc 4) đã biết cách giải Giải (2) ta đợc x1 =x2=1 ; x3 =-2 ;x4=-0,5 Vậy phơng trình đã cho có nghiệm là x1 =x2=1 ; x3 =-2 ;x4=-0,5 ;x5=-1 Bµi tËp VN : Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau 1) x3 - 4x2- 29x -24 =0 2) 8x3 - 20x2 +28x - 10 =0 4 3 2 3) x - 3x +9x -27 x+81=0 4, x4-10x3+11x2 -10x+1=0 4 3 2 5, x +5x -14x -20x +16 =0 6, x4 +4x3 -10 x2 -28 x-15=0 4, (x+4) (x+5) (x+7) (x+8) =4 h, (x+10) (x+12) (x+15) (x+18) =2x2 7) (x+2) (x+3) (x+8) (x+12) =4x2 nhãm (x+2)(x+12) (x+3) (x+8) råi chia 2 vÕ cho 4x2 và đặt t=x+7/x (đk x 0) 8) 3x5 -10x4 +3x3+3x2-10x+3=0 9) x5 +2x4 +3x3+3x2+2x+1=0 10) 6x5 -29x4 +27x3+27x2-29x+6=0 11) x5 +4x4 +3x3+3x2-4x+1=0 12) (x2-8x+7)(x2-8x+15)=20 13) (x2-3 x+1) (x2+3x+2) (x2-9x+20)=-30 biến đổi <=> (x2-3 x+1) (x2-3x-4) (x2-3x-10)=-30 14) 3(x2+x) -2(x2+x ) -1=0 15) (x2-4x+2)2 +4x2-4x-4=0 2 4 2 2 2 4 16) (x -x+1) -6x (x -x+1) +5x =0 17) (x+6)4+(x+4 )4 =82 2 18) x + x − 5 + 2 3 x + 4=0 19) (x-2,5)4+(x-1,5)4 =17 x x + x −5.

(5)

×