Luật mạnh số lớn cho các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi một cùng phân phối với kỳ vọng vô hạn
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (254.66 KB, 29 trang )
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
NGUYỄN THỊ TRANG
LUẬT MẠNH SỐ LỚN CHO CÁC BIẾN
NGẪU NHIÊN PHỤ THUỘC ÂM ĐÔI MỘT
CÙNG PHÂN PHỐI VỚI KỲ VỌNG VÔ HẠN
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Nghệ An - 2012
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
NGUYỄN THỊ TRANG
LUẬT MẠNH SỐ LỚN CHO CÁC BIẾN
NGẪU NHIÊN PHỤ THUỘC ÂM ĐÔI MỘT
CÙNG PHÂN PHỐI VỚI KỲ VỌNG VÔ HẠN
Chuyên ngành: LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN HỌC
Mã số: 60.46.15
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
PGS. TS. NGUYỄN VĂN QUẢNG
Nghệ An - 2012
MỤC LỤC
Mục lục
1
Lời nói đầu
1
1
Biến ngẫu nhiên và các biến ngẫu nhiên độc lập
1.1. Biến ngẫu nhiên
3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.2. Các biến cố và các biến ngẫu nhiên độc lập . . . . . . . . . . . .
7
1.3. Một số bất đẳng thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2
Luật mạnh số lớn cho các biến ngẫu nhiên phụ
thuộc âm đôi một cùng phân phối với kỳ vọng vô
hạn
10
2.1. Các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi một
. . . . . . . . . . . 10
2.2. Một số dạng luật mạnh số lớn cho các biến ngẫu nhiên phụ thuộc
âm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Kết luận
25
Tài liệu tham khảo
26
1
LỜI NĨI ĐẦU
Luật số lớn đóng một vai trị quan trọng trong lý thuyết xác suất.
Luật số lớn đầu tiên của Bernoulli được công bố năm 1713. Về sau kết quả này
được Chebyshev, Markov, Liapunov,...mở rộng. Luật số lớn còn gắn với tên
tuổi của nhiều nhà toán học nổi tiếng khác như Kolmogorov, Marcinkiewicz,
Kai Lai Chung...Trước đây những kết quả của luật số lớn phần lớn gắn liền
với tính độc lập của các biến ngẫu nhiên. Tuy nhiên do tầm quan trọng của
luật số lớn với khoa học toán và thực tế cuộc sống, phạm vi nghiên cứu không
ngừng được mở rộng. Trong những năm gần đây xuất hiện các nghiên cứu
trên lớp đối tượng mới là các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm và bước đầu
thu được một số kết quả khá quan trọng. Năm 2008 nhà toán học Kruglov
đã thiết lập luật mạnh số lớn cho các biến ngẫu nhiên độc lập đôi một cùng
phân phối với kỳ vọng vô hạn. Câu hỏi đặt ra là nếu ta thay điều kiện độc
lập đôi một bằng điều kiện phụ thuộc âm đơi một thì kết quả trên cịn đúng
nữa hay khơng? Chính vì vậy chúng tơi chọn đề tài:
"Luật mạnh số lớn cho các biến ngẫu nhiên phụ thuộc
âm đôi một cùng phân phối với kỳ vọng vô hạn".
Với đề tài này chúng tôi sẽ thiết lập luật mạnh số lớn cho các biến ngẫu
nhiên phụ thuộc âm đôi một cùng phân phối với kỳ vọng vô hạn.
2
Bố cục của luận văn gồm hai chương:
Chương 1: Biến ngẫu nhiên
Trong chương này chúng tôi sẽ hệ thống lại một số khái niệm đã được
sử dụng như: Định nghĩa biến ngẫu nhiên, các biến cố và các biến ngẫu nhiên
độc lập.
Chương 2: Luật mạnh số lớn cho các biến ngẫu nhiên phụ thuộc
âm đôi một cùng phân phối với kỳ vọng vơ hạn
Nội dung chính của luận văn sẽ được chúng tơi trình bày trong chương
này. Chương 2 gồm 2 mục, mục 2.1 sẽ đưa ra định nghĩa, tính chất, của các
biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi một. Mục 2.2 đề cập đến một số dạng luật
mạnh số lớn cho các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm.
Luận văn được thực hiện tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn
tận tình của thầy giáo, PGS. TS. Nguyễn Văn Quảng. Tác giả xin được bày
tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đến với thầy, người đã chỉ dạy tác giả những
kiến thức, kinh nghiệm trong học tập và nghiên cứu khoa học cùng với đó là
những bài học cũng như những trải nghiệm quý báu trong cuộc sống. Đồng
thời tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cơ giáo trong khoa
Tốn Đại học Vinh đã giúp đỡ tác giả trong q trình hồn thành luận văn.
Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, người thân và tất cả bạn bè đã
động viên giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt q trình
học tập và hồn thiện luận văn.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng vì năng lực cịn hạn chế nên luận
văn chắc chắn khơng thể tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mong nhận
được những lời chỉ bảo quý báu của các thầy cô giáo và góp ý của bạn đọc
để luận văn được hồn thiện hơn.
Vinh, tháng 10 năm 2012
Tác giả
3
CHƯƠNG 1
BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ CÁC BIẾN NGẪU
NHIÊN ĐỘC LẬP
1.1
Biến ngẫu nhiên
1.1.1 Định nghĩa. Cho (Ω, F, P ) là một không gian xác suất, G là σ - đại
số con của σ đại số của F . Khi đó ánh xạ X: Ω −→ R được gọi là biến ngẫu
nhiên G - đo được nếu nó là G / B(R) đo được ( tức là với mọi B∈ B(R) thì
X −1 (B) ∈G).
Nếu biến ngẫu nhiên X chỉ nhận hữu hạn giá trị thì nó được gọi là biến ngẫu
nhiên đơn giản.
Biến ngẫu nhiên còn được gọi là đại lượng ngẫu nhiên.
1.1.2 Ví dụ. A ∈F Đặt:
IA (ω) =
1
0
nếu
nếu
ω∈ A
ω∈
/A
khi đó IA là biến ngẫu nhiên đơn giản.
Thật vậy, với mọi B ∈ B(R) thì B
Ø
¯
A
IA−1 (B) =
A
Ω
⊂R
nếu
nếu
nếu
nếu
0∈
/ B, 1∈
/B
0∈ B, 1∈
/B
1 ∈ B, 0 ∈
/B
0 ∈ B, 1 ∈ B.
4
Từ đó IA−1 (B) ∈ F với mọi B ∈ B(R), suy ra IA là một biến ngẫu nhiên.
1.1.3 Định lý. X là biến ngẫu nhiên khi và chỉ khi một trong các điều kiện
sau đây thỏa mãn:
(i)(X < a) := (ω : X(ω) < a) ∈F với mọi a ∈R.
(ii)(X≤a) := (ω : X(ω)≤a) ∈F với mọi a ∈ R.
(iii)(X > a) := (ω : X(ω) > a) ∈ F với mọi a ∈ R.
(iiii)(X≥a) := (ω : X(ω)≥a) ∈ F với mọi a ∈ R.
1.1.4 Định lý. Giả sử X1 , X2 , . . . , Xn là các biến ngẫu nhiên cùng xác định
trên (Ω, F, P )
f : Rn −→R là hàm đo được (tức f là B (Rn )/ B (R) đo được). Khi đó
Y := f (X1 , X2 , . . . , Xn ) : Ω−→R
ω−→f (X1 (ω), X2 (ω), . . . , Xn (ω))
là biến ngẫu nhiên.
1.1.5 Hệ quả. Giả sử X, Y là các biến ngẫu nhiên cùng xác định trên
(Ω, F, P ) f : R−→R là hàm liên tục, a∈R khi đó: a.X, X±Y, X.Y, |X|, f (X),
X
Y (Y
=0), X + = max(X, 0), X − = max(−X, 0) đều là các biến ngẫu nhiên.
1.1.6 Định lý. Giả sử (Xn , n ≥ 1) là dãy các biến ngẫu nhiên cùng xác định
trên (Ω, F, P ). Khi đó,
nếu inf Xn , sup Xn hữu hạn, thì inf Xn , sup Xn , limXn , limXn , lim Xn
n
n
n
n
n→∞
(nếu tồn tại), đều là biến ngẫu nhiên.
1.1.7 Định lý. Nếu X là biến ngẫu nhiên không âm thì tồn tại dãy biến ngẫu
nhiên đơn giản khơng âm (Xn , n ≥ 1) sao cho Xn ↑ X ( khi n −→ ∞).
5
1.1.8 Định nghĩa. (Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên)
Cho (Ω, F, P ) là một không gian xác suất, X: Ω −→ R là biến ngẫu nhiên
khi đó hàm tập:
PX : B(R) −→ R
B → PX (B) = P (X −1 (B))
được gọi là phân phối xác suất của X.
1.1.9 Định nghĩa. (Kỳ vọng)
Giả sử X: (Ω, F, P ) −→ (R, B(R)), là biến ngẫu nhiên. Khi đó tích phân
Lebesgue của X theo độ đo P (nếu tồn tại) được gọi là kỳ vọng của X và ký
hiệu EX.
Vậy ta có:
EX =
XdP.
Ω
Nếu tồn tại E|X|p < ∞(p > 0) thì ta nói X khả tích bậc p.
Nếu E|X| < ∞, thì X được gọi là biến ngẫu nhiên khả tích.
n
Nếu X là biến ngẫu nhiên đơn giản :X =
n
ai IAi thì EX =
i=1
ai P (Ai ).
i=1
Nếu X là biến ngẫu nhiên khơng âm thì X là giới hạn của một dãy tăng các
biến ngẫu nhiên đơn giản (Xn , n ≥ 1)
n2n
Xn =
k=1
k
k−1 k−1
I( n ≤ X < n ) + nI(X ≥ n).
n
2
2
2
Khi đó:
EX = lim EXn .
n→∞
Nếu X là biến ngẫu nhiên bất kỳ thì X = X + −X − với X + = max(X, 0) ≥ 0;
X − = max(−X, 0) ≥ 0. Khi đó, EX := EX + − EX − (nếu có nghĩa).
6
Các tính chất của kỳ vọng:
1. Nếu X ≥ 0 thì EX ≥ 0.
2. Nếu X = C thì EX = C .
3. Nếu tồn tại EX thì với mọi C ∈ R, ta có E(CX) = CEX .
4. Nếu tồn tại EX và EY thì E(X ± Y ) = EX ± EY .
5.
i x i pi
nếu X rời rạc nhận các giá trị x1 , x2 . . .
với P (X = xi ) = pi .
EX =
+∞
−∞ xp(x)dx nếu X liên tục có hàm mật độ p(x).
Tổng quát: Nếu f : R → R là các hàm đo được Y = f (X) thì:
i f (xi )pi nếu X rời rạc nhận các giá trị x1 , x2 . . .
với P (X = xi ) = pi .
EY =
+∞
−∞ f (x)p(x)dx nếu X liên tục có hàm mật độ p(x).
1.1.10 Định nghĩa. (Phương sai)
Giả sử X là biến ngẫu nhiên. Khi đó, DX := E(X − EX)2 (nếu tồn tại )
được gọi là phương sai của X.
Dó đó phương sai DX của biến ngẫu nhiên X có thể tồn tại hoặc khơng tồn
tại. Nếu tồn tại thì được tính theo cơng thức sau:
DX =
(xi − EX)2 Pi nếu X rời rạc và P (X = xi ) = Pi .
+∞
2
−∞ (x − EX) P (x)dx nếu X liên tục có hàm mật độ là P(x)
Các tính chất của phương sai:
1. DX = EX 2 − (EX)2 .
2. DX ≥ 0.
3. DX = 0 khi và chỉ khi X = EX = hằng số h.c.c.
4. D(CX) = C 2 DX .
1.1.11 Định nghĩa. (Covariance)
Giả sử X và Y là hai biến ngẫu nhiên. Khi đó, Covariance của X và Y kí hiệu
là: Cov(X, Y ) = E[(X − EX).(Y − EY )].
Rõ ràng là nếu X và Y độc lập thì Cov(X, Y ) = 0.
7
1.1.12 Định nghĩa. (Các dạng hội tụ)
Ta nói dãy biến ngẫu nhiên (Xn , n ≥ 1) hội tụ đến biến ngẫu nhiên X ( khi
n→∞)
(1) Hầu chắc chắn nếu P (limn→∞ |Xn − X| = 0) = 1.
h.c.c
Ký hiệu Xn −−→ X.
(2) Theo xác suất nếu với ∀ε > 0 thì:
lim P (|Xn − X| > ε) = 0.
n→∞
p
Ký hiệu Xn →
− X.
(3) Đầy đủ nếu với ∀ε > 0 thì:
∞
P (|Xn − X| > ε) < ∞.
n=1
c
Ký hiệu Xn →
− X.
(4) Theo trung bình cấp p, (p>0), nếu:
lim E|Xn − X|p = 0.
n→∞
Lp
Ký hiệu Xn −→ X .
(5) Hội tụ yếu (theo phân phối) nếu:
lim Fn (x) = F (x)
n→∞
∀x ∈ C(F ).
Với Fn (x); F (x) là hàm phân phối của các biến ngẫu nhiên Xn và X; C(F) là
tập hợp các điểm mà tại đó F(x ) liên tục.
D
Ký hiệu: Xn −
→ X.
1.2
Các biến cố và các biến ngẫu nhiên độc lập
1.2.1 Định nghĩa. Hai biến cố A và B được gọi là độc lập nếu:
P (AB) = P (A)P (B).
8
1.2.2 Định nghĩa. Họ các biến cố (Ai )i∈I được gọi là độc lập toàn cục (độc
lập) nếu đối với mọi họ hữu hạn các biến cố Ai1 , Ai2 , . . . , Ain của họ ta đều
có :
P (Ai1 Ai2 . . . Ain ) = P (Ai1 ).P (Ai2 ) . . . P (Ain ).
1.2.3 Bổ đề. (Bổ đề Borel - Cantelli.)
Giả sử (An , n ≥ 1) là dãy các biến cố. Khi đó:
∞
n=1 P (An )
(i) Nếu
< ∞ thì P (lim sup An ) = 0.
∞
P (An ) = ∞ và (An , n ≥ 1) độc lập thì P (lim sup An ) = 1.
(ii) Nếu
n=1
Trong đó:
∞
∞
Ak .
lim sup An =
n=1 k=n
1.2.4 Định nghĩa. (Các biến ngẫu nhiên độc lập)
Giả sử X là biến ngẫu nhiên khi đó: σ(X) = (X −1 (B) : B ∈ B(R)) được gọi
là σ - đại số sinh bởi X.
1. Họ hữu hạn (Fi , i ∈ I) các σ - đại số con của F được gọi là độc lập nếu:
n
P(
n
Ai ) =
i=1
P (Ai ).
i=1
Đối với mọi Ai ∈ Fi (1 ≤ i ≤ n) bất kỳ.
2. Họ vô hạn (Fi , i ∈ I ) các σ - đại số con của F được gọi là độc lập nếu mọi
họ con hữu hạn của nó độc lập.
3. Họ các biến ngẫu nhiên (Xi , i ∈ I) được gọi là độc lập nếu họ các σ - đại
số sinh bởi chúng (σ(Xi ), i ∈ I) độc lập.
4. Họ các biến ngẫu nhiên (Xi , i ∈ I) được gọi là độc lập đôi một nếu Xi và
Xj độc lập với mọi i = j : i, j ∈ I.
9
1.3
Một số bất đẳng thức cơ bản
• Bất đẳng thức Markov
Giả sử X là biến ngẫu nhiên không âm. Khi đó, với mọi ε > 0, ta có:
P (X ≥ ε) ≤
EX
.
ε
• Bất đẳng thức Chebyshev
Giả sử X là biến ngẫu nhiên bất kỳ. Khi đó nếu tồn tại DX thì với mọi
ε > 0, ta có:
P (|X − EX| ≥ ε) ≤
DX
.
ε2
• Bất đẳng thức Kolmogorov
Giả sử X1 , X2 , . . . , Xn là các biến ngẫu nhiên độc lập EXi = 0; DXi = σi2
với mọi i = 1, 2, . . . , n.
Đặt
k
Sk = X1 + X2 + . . . Xk =
(1 ≤ k ≤ n)
Xi .
i=1
Khi đó với mọi ε > 0 ta có:
(i)
P (max1≤k≤n |Sk | ≥ ε) ≤
1
ε2
n
2
i=1 σi .
(ii) Nếu P (max1≤k≤n |Xk | ≤ c) = 1 thì:
(ε + c)2
P (max1≤k≤n |Sk | ≥ ε) ≥1 − n
2.
i=1 i
ã Bt ng thc Chung-Erdoăs
Gi s (An , n ≥ 1) là dãy các biến cố và P (
N
k=n Ak )
2
N
k=n P (Ak )
N
P(
k=n
Ak ) ≥
N
k,j=n P (Ak Aj )
.
> 0, thì:
10
CHƯƠNG 2
LUẬT MẠNH SỐ LỚN CHO CÁC BIẾN NGẪU
NHIÊN PHỤ THUỘC ÂM ĐÔI MỘT CÙNG
PHÂN PHỐI VỚI KỲ VỌNG VÔ HẠN
2.1
Các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi một
2.1.1 Định nghĩa. Các đại lượng ngẫu nhiên X1 , . . . , Xn được gọi là phụ
thuộc âm đôi một nếu thỏa mãn:
P (Xi ≤ xi , Xj ≤ xj ) ≤ P (Xi ≤ xi )P (Xj ≤ xj ),
(2.1)
P (Xi > xi , Xj > xj ) ≤ P (Xi > xi )P (Xj > xj ),
(2.2)
hoặc
với mọi i, j : 1 ≤ i < j ≤ n.
Dễ thấy (2.1) và (2.2) là tương đương nhau.
2.1.2 Định nghĩa. Các đại lượng ngẫu nhiên X1 , . . . , Xn được gọi là phụ
thuộc âm nếu thỏa mãn:
n
n
X i ≤ xi ) ≤
P(
i=1
i=1
n
n
và
P(
i=1
Xi > xi ) ≤
i=1
P (Xi ≤ xi ),
(2.3)
P (Xi > xi ),
(2.4)
11
với mọi x1 , . . . , xn ∈ R.
Dãy các đại lượng ngẫu nhiên (Xn , n ≥ 1) được gọi là phụ thuộc âm nếu mọi
tập con hữu hạn của nó phụ thuộc âm.
Nhận xét:
Rõ ràng với n > 2 thì (2.3) và (2.4) khơng tương đương. Chẳng hạn với n=3,
trên không gian xác suất (Ω, F, P ) với Ω = {1, 2, 3, 4} và P (A) =
|A|
4
ta lấy
các tập A = {0, 1}, B = {1, 2}, C = {0, 2} khi đó IA , IB , IC thỏa mãn điều
kiện (2.4) nhưng không thỏa mãn điều kiện (2.3).
Tính phụ thuộc âm của các đại lượng ngẫu nhiên suy ra tính phụ thuộc âm
đơi một và tính độc lập là một trường hợp riêng của tính phụ thuộc âm.
Tuy nhiên ví dụ sau đây chứng tỏ rằng tồn tại các đại lượng ngẫu nhiên phụ
thuộc âm nhưng không độc lập.
Xét không gian xác suất (Ω, F, P ) với Ω = {1, 2, 3, 4} và P (A) =
|A|
4
lấy
A = {1, 2}, B = {2, 3, 4}. Khi đó, IA , IB , là các biến phụ thuộc âm nhưng
không độc lập.
Sau đây chúng tơi đưa ra một số tính chất của dãy các biến ngẫu nhiên phụ
thuộc âm và phụ thuộc âm đôi một.
2.1.3 Mệnh đề. Nếu X1 , X2 , . . . Xn là các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm và
f1 , f2 , . . . , fn là các hàm Borel cùng đơn điệu tăng hoặc giảm thì:
(i) f1 (X1 ), f2 (X2 ), . . . , fn (Xn ) cũng là các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm.
(ii) (Xn+ ) và (Xn− ) là các dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm.
(iii) Cov(Xi , Xj ) ≤ 0, ∀i = j .
2.1.4 Bổ đề. Giả sử X1 , X2 , . . . , Xn là các biến ngẫu nhiên khơng âm phụ
thuộc âm. Khi đó
n
Xi ≤
E
i=1
.
n
EXi .
i=1
12
2.1.5 Bổ đề. Cho (Xn , n ≥ 1) là một dãy các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm
đôi một và với mỗi n ≥ 1 cho fn : R −→ R là một hàm số. Nếu dãy hàm
(fn , n ≥ 1) chỉ chứa các hàm không tăng (hoặc khơng giảm), thì (fn (Xn ), n ≥
1) là dãy các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi một.
2.1.6 Bổ đề. Giả sử X1 , . . . , Xn là các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi
một khi đó:
E(Xi , Xj ) ≤ EXi EXj .
2.1.7 Bổ đề. Giả sử (Xn , n ≥ 1) là một dãy các biến ngẫu nhiên phụ thuộc
âm đơi một. Khi đó ta có
n
n
Xk ) ≤
D(
k=1
DXk
k=1
Chứng minh. Thật vậy,
n
D(
n
Xk − (E
Xk ) = E
k=1
n
k=1
n
2
Xk )
k=1
2
(Xk − EXk )
=E
k=1
n
n
n
2
E(Xk − EXk ) +
=
E(Xk − EXk )E(Xi − EXi )
k=1 i=1 (k=i)
n
n
k=1
n
E(Xk − EXk )2 +
=
k=1
n
≤
Cov(Xk , Xi )
k=1 i=1 (k=i)
D(Xk )( vì Cov(Xk , Xi ) < 0 với mọi i, j = 1, 2, . . . , n).
k=1
13
2.2
Một số dạng luật mạnh số lớn cho các biến ngẫu
nhiên phụ thuộc âm
2.2.1 Định lý. Giả sử (Xn ) là dãy các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm không
cùng phân phối, và E(Xn2 ) < ∞. Nếu
n
k=1 E(|Xk
∞ D(Xn )
< ∞,
n=1 n2
(i) supn∈N n1
(ii)
− E(Xk )|) < ∞,
thì
1
lim
n→∞ n
n
(Xk − E(Xk )) = 0
h.c.c.
k=1
Chứng minh. Gọi X + = max(X, 0) và X − = max(−X, 0).
Khi đó : |X| = X + + X − và X = X + − X − .
Giả sử EXn = 0 với n = 1, 2 . . .
Gọi Sn+ = X1+ + . . . + Xn+ và Sn− = X1− + . . . + Xn− .
Ta có
1
sup
n∈N n
n
1
E(|Xk − E(Xk )|) = sup
n∈N n
k=1
n
E(|Xk |) < ∞ (vì EXn = 0).
k=1
Suy ra tồn tại hằng số A thỏa mãn :
1
sup
n∈N n
Do đó
1
0≤
n
Vì |Xk | =
Xk+
+
Xk−
n
E(|Xk |) = A < ∞ với mọi n ∈ N.
k=1
n
E(|Xk |) ≤ A < ∞ với mọi n ∈ N.
k=1
nên Xk+ ≤ |Xk | suy ra EXk+ ≤ E|Xk |.
Suy ra
1
0≤
n
n
EXk+ ≤ A với mọi n ∈ N.
k=1
Do đó
0≤
1
ESn+ ≤ A với mọi n ∈ N.
n
14
Giả sử α > 1; ε > 0 và L = [ Aε ] là phần nguyên của
A
ε.
Với mỗi số nguyên m và s, m ≥ 0; s = 0, . . . , L.
Đặt
m
m+1 1
t−
, t ESt+ ∈ [sε, (s + 1)ε) .
s = inf t : α ≤ t < α
m
m+1 1
t+
, t ESt+ ∈ [sε, (s + 1)ε) .
s = sup t : α ≤ t < α
+
m
Giả sử t−
s (m) = ts (m) = [α ], với mọi n ∈ N.
Ta có
D(Xn ) = EXn2 − (EXn )2 = EXn2 = E(Xn+ − Xn− )2
= E(Xn+ )2 + E(Xn− )2 − 2E(Xn+ ).(EXn− ).
Mà D(Xn+ ) = E(Xn+ )2 − (EXn+ )2 ;D(Xn− ) = E(Xn− )2 − (EXn− )2 .
Suy ra D(Xn+ ) + D(Xn− ) ≤ D(Xn ).
Khi đó
∞
m=0
1
t±
s (m)
∞
2E
St+±s (m) − ESt+±s (m)
2
=
m=0
t±
s (m)
∞
≤
m=0
∞
=
t±
s (m)
1
D(Xj+ )
2
j=1
t±
s (m)
1
2
t±
j=1
s (m)
D(Xj )
1
D(Xj )
j=1
m:t±
s (m)≥j
∞
≤
D(Xj )
j=1
α2
≤ 2
α −1
(m:αm ≥j)
∞
j=1
t±
s (m)
2
1
(αm )2
D(Xj )
j2
< ∞ (theo(ii)).
(2.5)
Do đó
1
St+±s (m) − ESt+±s (m) = 0
±
n→∞ t (m)
s
lim
h.c.c.
(2.6)
15
Với n ∈ N, tồn tại m = m(n); s = s(n) sao cho
1
lim m(n) = ∞; 0 ≤ s(n) ≤ L; αm ≤ n < αm+1 ; ESn+ ∈ [sε, (s + 1)ε).
n→∞
n
Theo định nghĩa của t±
s (m) ta có
+
t−
s ≤ n ≤ ts ,
1
ESt+±s (m)
t±
s (m)
− n1 ESn+ ≤ ε.
Vì
1 1
1
)A + −
St+−s (m) − ESt+−s (m)
α
α ts (m)
1 1
1
1
ESt+−s (m) + −
St+−s (m) − ESt+−s (m)
≤ −ε − (1 − ) −
α ts (m)
α ts (m)
1
1
1
1
1
≤ St+−s (m) − ESn+ ≤ (Sn+ − ESn+ ) ≤ St++s (m) − +
ESt++s (m) + ε
n
n
n
n
ts (m)
α
≤ +
St++s (m) − ESt++s (m) + (α − 1)A + ε.
ts (m)
(2.7)
− ε − (1 −
Từ (2.6) suy ra
1
1
1
−ε−(1− )A ≤ limn→∞ (Sn+ −ESn+ ) ≤ limn→∞ (Sn+ −ESn+ ) ≤ (α−1)A+ε.
α
n
n
Suy ra với mọi α > 1; ε > 0 thì
lim
1 +
(Sn − ESn+ ) = 0
n→∞ n
h.c.c.
lim
1 −
(Sn − ESn− ) = 0
n→∞ n
h.c.c.
1
(Sn − ESn ) = 0
n→∞ n
h.c.c.
Tương tự
Nên
lim
Vậy
1
lim
n→∞ n
n
(Xk − EXk ) = 0
k=1
h.c.c.
16
2.2.2 Hệ quả. Giả sử (Xn ) là một dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm không
cùng phân phối. Nếu E(Xn2 ) < ∞∀n ∈ N và
(i) supn∈N E(Xn ) < ∞,
(ii)
∞ D(Xn )
n=1 n2
< ∞,
thì
1
lim
n→∞ n
n
(Xk − E(Xk )) = 0
h.c.c.
k=1
Chứng minh. Ta có
E(|Xk − EXk |) ≤ E(|Xk | + |EXk |) ≤ 2E(|Xk |) ≤ 2 sup(E|Xn |) < ∞.
n∈N
Do đó
1
sup
n∈N n
Mà
∞ D(Xn )
n=1 n2
n
E(|Xk − EXk |) ≤ 2 sup(E|Xn |) < ∞.
n∈N
k=1
< ∞.
Vậy theo định lý (2.2.1) suy ra
1
lim
n→∞ n
n
(Xk − E(Xk )) = 0
h.c.c.
k=1
2.2.3 Hệ quả. Giả sử (Xn ) là một dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm cùng
phân phối với E(|X1 |) < ∞ thì:
1
lim
n→∞ n
n
(Xk − E|Xk |) = 0
h.c.c.
k=1
Chứng minh. Ta có
1
sup
n∈N n
n
E(|Xk − EXk |) ≤ 2 sup(E|Xn |) = 2(E|X1 |) < ∞.
k=1
n∈N
17
Mặt khác
∞
n=1
∞
D(Xn )
=
n2
n=1
∞
≤
n=1
E(Xn )2 − (EX)2
n2
E(Xn )2
< ∞.
n2
Vậy theo hệ quả (2.2.2) suy ra
1
lim
n→∞ n
n
(Xk − E(Xk )) = 0
h.c.c.
k=1
2.2.4 Định lý. Cho (Ω, F, P ) là không gian xác suất, (An ) là dãy các biến
cố. Khi đó,
(i) Nếu
(ii) Nếu
∞
n=1 P (An ) < ∞ thì P (lim sup An ) = 0.
∞
Aj ) ≤ P (Ak ).P (Aj )
n=1 P (An ) = ∞ và P (Ak
với mọi k, j mà
k = j thì P (lim sup An ) = 1.
Chứng minh. (i) Với (An , n ≥ 1) là dãy các biến cố.
Nếu
Thật
∞
n=1 P (An ) < ∞ thì
vậy, vì ( ∞
k=n Ak )n≥1
P (lim sup An ) = 0.
là dãy giảm nên
∞
∞
∞
P (lim sup An ) = P (
Ak ) = lim P (
n=1 k=n
∞
≤ lim
n→∞
Do đó: nếu
∞
n=1 P (An )
n→∞
Ak )
k=n
∞
P (An ) < ∞).
P (Ak ) = 0 ( do
n=1
k=n
< ∞ thì P (lim sup An ) = 0.
Chứng minh (ii)
Ta có
N
N
P (Ak Aj ) =
k,j=n
N
P (Ak Aj ) +
k,j=n,k=j
P (Ak ).
k=n
(2.8)
18
Đặt
N
N
P (Ak ).
P (Ak Aj ); T2 =
T1 =
k=n
k,j=n,k=j
Từ (2.8 ) suy ra
N
P (Ak Aj ) = T1 + T2 .
(2.9)
k,j=n
Mặt khác
N
N
T1 =
P (Ak Aj ) =
(P (Ak ))2 .
−
P (Ak )
k,j=n,k=j
N
2
k=n
(2.10)
k=n
Từ (2.9) và (2.10) suy ra
N
N
2
T1 + T2 =
−
P (Ak )
k=n
N
2
(P (Ak )) +
k=n
Do đó
N
k=n
N
2
T1 + T2 ≤
P (Ak ).
+
P (Ak )
k=n
P (Ak ).
(2.11)
k=n
T bt ng thc Chung-Erdoăs v (2.11) ta thu được:
2
N
k=n P (Ak )
N
P
Ak
≥
N
k=n P (Ak )
k=n
N
k=n P (Ak )
+
Khi N −→ ∞ và n cố định thì
1+
1
P (Ak )
N
k=n
∞
n=1 P (An )
−→ 1 (vì
Do đó
= ∞).
∞
1≤P
Ak
≤ 1.
k=n
Hay
∞
P
Ak
k=n
1
≥
2
= 1, với mọi n ∈ N.
1+
1
N
k=n P (Ak )
.
19
Suy ra
∞
P (lim sup An ) = lim
n→∞
P
Ak
= 1.
k=n
Vậy : P (lim sup An ) = 1.
2.2.5 Định lý. Cho (an ) là dãy số dương, limn→∞ ( ann ) = ∞ và (Xn ) là biến
ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi một cùng phân phối với EX1− < ∞, EX1+ = ∞.
Khi đó: (Xn ) tuân theo luật mạnh số lớn
1
an
khi và chỉ khi (|Xn |) tuân theo luật mạnh số
h.c.c
n
k=1 Xk −−→ 0 (n → ∞),
h.c.c
lớn a1n nk=1 |Xk | −−→ 0 (n
→
∞).
Chứng minh. Giả sử (|Xn |) tuân theo luật mạnh số lớn ta chứng minh (Xn )
tuân theo luật mạnh số lớn.
Ta có
−|Xk | ≤ Xk ≤ |Xk | với k = 1, 2, . . . n.
Suy ra
1
−
an
n
1
|Xk | ≤
an
k=1
n
1
Xk ≤
an
k=1
n
|Xk |
k=1
(|Xn |) tuân theo luật mạnh số lớn nên
1
lim
n→∞ an
n
|Xk | = 0
h.c.c.
k=1
Và
n
1
lim −( )
|Xk | = 0
n→∞
an k=1
Do đó
1
lim
n→∞ an
h.c.c.
n
Xk = 0
k=1
Vậy: (Xn ) tuân theo luật mạnh số lớn.
h.c.c.
20
Giả sử (Xn ) tuân theo luật mạnh số lớn ta chứng minh (|Xn |) tuân theo
luật mạnh số lớn.
Vì (Xn ) tuân theo luật mạnh số lớn suy ra
1
lim
n→∞ an
n
Xk = 0
h.c.c.
(2.12)
Xk− = 0
h.c.c.
(2.13)
k=1
Ta cần chứng minh
1
lim
n→∞ an
n
k=1
(Xn ) là dãy biến ngẫu nhiên cùng phân phối suy ra (Xn+ ), ; (Xn− ) là các dãy
biến ngẫu nhiên cùng phân phối. Từ X1− là các biến phụ thuộc âm
nên theo hệ quả (2.2.3) nếu EX1− = EX2− = . . . = EX1− < ∞ thì
1
lim
n→∞ n
n
Xk− = EX1−
h.c.c.
(2.14)
k=1
Lại có
1
lim
n→∞ an
n
Xk−
k=1
n 1
= lim ( .
n→∞ an n
n
Xk− )
k=1
n
1
= lim
. lim
n→∞ an n→∞ n
=0
n
Xk−
(2.15)
k=1
an
= ∞).
n→∞ n
h.c.c (vì lim
Theo (2.12), (2.15) và Xk = Xk+ − Xk− .
Suy ra
1
lim
n→∞ an
Lại có
1
lim
n→∞ an
n
n
Xk+ = 0
h.c.c.
(2.16)
(Xk+ + Xk− ).
(2.17)
k=1
1
|Xk | = lim
n→∞ an
k=1
n
k=1
21
Vậy
1
lim
n→∞ an
n
|Xk | = 0
h.c.c.
k=1
2.2.6 Định lý. Cho (an ) > 0; ( ann ) = , là dãy tăng (Xn ) là các biến ngẫu
nhiên phụ thuộc âm đôi một cùng phân phối với EX1− < ∞; EX1+ = ∞. Khi
đó:
(i) Nếu
(ii) Nếu
∞
n=1 P (Xn
∞
n=1 P (Xn
> an ) < ∞ thì (|Xn |) tuân theo luật mạnh số lớn.
> an ) = ∞ thì P (lim sup(Xn > an )) = 1.
Chứng minh. Chứng minh(i) Giả sử
∞
n=1 P (Xn
> an ) < ∞, ta chứng minh
(|Xn |) tuân theo luật mạnh số lớn.
Vì
∞
n=1 P (Xn
> an ) < ∞ nên theo Kruglov [5] suy ra limn→∞ ( ann ) = ∞.
Kết hợp điều kiện EX1− < ∞ theo chứng minh ở định lý (2.2.5) ta suy ra
n
1
lim
n→∞ an
Xk− = 0
h.c.c.
(2.18)
k=1
Vậy để chứng minh (|Xn |) tuân theo luật mạnh số lớn ta cần chứng minh
n
1
lim
n→∞ an
Xk+ = 0
h.c.c.
(2.19)
k=1
Đặt
Yn =
+
n
+
an Xn I(Xn
≤ 2an ); Zn = 2nI(Xn+ > 2an ), Wn = Yn + Zn ,
với I là hàm chỉ tiêu .
Kruglov [5] chỉ ra rằng :
∞
k=1
n
sup
n∈N k=1
D(Yn )
< ∞.
n2
E(|Yk − EYk |) < ∞.
(2.20)
(2.21)
22
Và nếu có
1
E(Yk − EYk ) < ∞.
n→∞ n
lim
Thì
1
lim
n→∞ an
(2.22)
n
Xk+ = 0
h.c.c.
k=1
Đặt
fn (t) =
n
an (tI(t
≤ 2an )) + 2an I(t > 2an ), gn (t) = 2nI(t > 2an ).
với fn ; gn là hàm tăng và Wn = fn (Xn+ ); Zn = gn (Xn+ ).
Theo mệnh đề (2.1.3) thì Wn và Zn là dãy biến phụ thuộc âm đôi một.
Ta chỉ ra
1
n
n
1
(Yk − EYk ) +
n
k=1
n
1
(Zk − EZk ) =
n
k=1
n
h.c.c
(Wk − EWk ) −−→ 0 (2.23)
k=1
Như vậy ta cần chứng minh
1
sup
n∈N n
n
1
E(|Wk − EWk |) ≤ sup
n∈N an
k=1
1
+ sup
n∈N n
Và
∞
n=1
n
E(|Yk − EYk |)
k=1
n
(2.24)
E(|Zk − EZk |) < ∞.
k=1
D(Wn )
< ∞.
n2
(2.25)
