Vận dụng nguyên lý về mối liên hệ phổ biến của triết học duy vật biện chứng vào việc xác định và luyện tập một số hoạt động trong dạy học giải bài tập toán cấp trung học cơ sở

1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN QUANG TRUNG

VẬN DỤNG NGUYÊN L Ý VỀ MỐI L IÊN HỆ PHỔ
BIẾN CỦA TR IẾT HỌC D

Ậ

Ệ

VÀO VIỆC XÁC ĐỊNH VÀ LU YỆN TẬP MỘT SỐ
HOẠT ĐỘ NG TRONG DẠ Y H ỌC GIẢI BÀI TẬP
TOÁN
CẤ P T

Ọ

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Nghệ An, 2012


2

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN QUANG TRUNG

Ậ
Ế

Ụ

Ê

Ủ

Ế

Ề
Ọ

Ố

Ê

Ậ

Ệ

Ệ

Ổ

VÀO VIỆC XÁC ĐỊNH VÀ LU YỆN TẬP MỘT SỐ
HOẠT ĐỘ NG TRONG DẠ Y H ỌC GIẢI BÀI TẬP

TOÁN
Ấ

Ọ

CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PPDH BỘ MƠN TỐN
MÃ SỐ: 60 14 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC
Ngƣời hƣớng dẫn khoa học:

GS-TS Đào Tam

Nghệ An, 2012


3
Lời cảm ơn
Trong thời gian qua, ngoài sự nỗ lực của bản thân, đề tài nghiên cứu
đƣợc hoàn thành với sự hƣớng dẫn tận tình, chu đáo của GS.TS Đào Tam. Em
xin trân trọng gửi tới thầy lời biết ơn chân thành và sâu sắc.
Em xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cơ giáo trong khoa Tốn, đặc
biệt là các thầy cô giáo trực tiếp giảng dạy trong chuyên ngành Lý luận và
Phƣơng pháp dạy học mơn Tốn Trƣờng Đại học Vinh và Trƣờng Đại học
Đồng Tháp đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ em trong quá trình học tập và
thực hiện luận văn.
Em cũng xin bày tỏ lịng cám ơn tới Ban giám hiệu, Tổ Tốn Trƣờng
THCS thị trấn Tràm Chim, đã tạo điều kiện trong quá trình em thực hiện đề
tài.
Gia đình, bạn bè, đồng nghiệp luôn là nguồn cổ vũ động viên để em

thêm nghị lực hồn thành đề tài này.
Tuy đã có nhiều cố gắng, tuy nhiên đề tài này chắc chắn không tránh
khỏi những thiếu sót cần đƣợc góp ý, sửa chữa. Em rất mong nhận đƣợc
những ý kiến đóng góp của các thầy cô giáo và bạn đọc.
Tác giả
Nguyễn Quang Trung


4
Mục lục
Lời cảm ơn............................................................................................................ 1
Bảng ký hiệu các chữ viết tắt ............................................................................. 6
Danh mục bảng .................................................................................................... 7
Danh mục biểu đồ ............................................................................................... 8
MỞ ĐẦU ............................................................................................................... 9
Chƣơng 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TRẠNG ................................. 14
1.1. Khái niệm bài tập, bài tốn ................................................................. 14
1.2. Vị trí, chức năng của bài tập Tốn trong q trình dạy học.............. 15
1.3. Một số dạng hoạt động trong dạy học giải bài tập Toán ................... 20
1.4. Yêu cầu đối với lời giải bài toán......................................................... 24
1.5. Phƣơng pháp tìm tịi lời giải bài tốn ................................................. 25
1.6. Quan niệm về tiến trình giải tốn ....................................................... 26
1.7. Các yêu cầu cần đạt đƣợc đối với việc giảng dạy bài tập ................. 27
1.8. Nguyên lý về mối liên hệ phổ biến - cơ sở lý luận của quan điểm
toàn diện ..................................................................................................... 28
1.9. Quan điểm toàn diện đƣợc rút ra từ nguyên lý về mối liên hệ phổ
biến............................................................................................................... 30
1.10. Khảo sát thực trạng............................................................................ 32
Kết luận chƣơng 1 ....................................................................................... 37
Chƣơng 2. XÂY DỰNG VÀ LUYỆN TẬP MỘT SỐ DẠNG HOẠT

ĐỘNG DẠY HỌC GIẢI BÀI TẬP HÌNH HỌC CẤP THCS THEO
HƢỚNG VẬN DỤNG NGUYÊN LÝ VỀ MỐI LIÊN HỆ PHỔ BIẾN 39
2.1. Mơn Hình học ở trƣờng Trung học cơ sở .......................................... 39
2.2. Những đặc điểm có liên quan đến việc vận dụng nguyên lý về mối
liên hệ phổ biến của triết học DVBC và quan điểm toàn diện đƣợc rút ra
từ nguyên lý trên .......................................................................................... 44


5
2.3. Các dạng hoạt động dạy học giải bài tập Hình học dựa theo nguyên
lý về mối liên hệ phổ biến .......................................................................... 44
Kết luận chƣơng 2 ..................................................................................... 113
Chƣơng 3. THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM ................................................ 115
3.1. Mục đích thực nghiệm sƣ phạm ....................................................... 115
3.2. Nội dung thực nghiệm ....................................................................... 115
3.3. Tổ chức thực nghiệm sƣ phạm.......................................................... 115
3.4. Đánh giá thực nghiệm ....................................................................... 117
Kết luận chƣơng 3 ..................................................................................... 123
KẾT LUẬN ...................................................................................................... 124
TÀI LIỆU THAM KHẢO.............................................................................. 126
PHỤ LỤC ......................................................................................................... 130
Phụ lục số 1. Phiếu điều tra giáo viên...................................................... 130
Phụ lục số 2. Phiếu điều tra học sinh ....................................................... 139
Phụ lục số 3. Giáo án thực nghiệm .......................................................... 141
Phụ lục số 4. Đề kiểm tra ......................................................................... 145
Phụ lục số 5 ............................................................................................... 148
Phụ lục số 6 ............................................................................................... 149


6

Bảng ký hiệu các chữ viết tắt
Viết tắt

Viết đầy đủ

BĐTD

Bản đồ tƣ duy

c.g.c

Cạnh - góc - cạnh

CMR

Chứng minh rằng

DH

Dạy học

DTB

Dƣới trung bình

DVBC

Duy vật biện chứng

ĐC

Đối chứng

ĐHSP

Đại học sƣ phạm

đpcm

Điều phải chứng minh

GV

Giáo viên

HH

Hình học

HS

Học sinh

KT

Kiểm tra

NXB

Nhà xuất bản

PPCT

Phân phối chƣơng trình

PPDH

Phƣơng pháp dạy học

SBT

Sách bài tập

SGK

Sách giáo khoa

TB

Trung bình

THCS

Trung học cơ sở

TN

Thực nghiệm

7
Danh mục bảng
Bảng 3.1. Bố trí các lớp thực nghiệm và đối chứng .......................................119
Bảng 3.2. Bảng phân loại HS qua hai lần kiểm tra ........................................ 123


8
Danh mục biểu đồ
Biểu đồ 3.1. Biểu đồ so sánh điểm kiểm tra bài số 1 ...................................... 123
Biểu đồ 3.2. Biểu đồ so sánh điểm kiểm tra bài số 2 ...................................... 124
Biểu đồ 3.3. Biểu đồ so sánh điểm của cả 2 bài kiểm tra ............................... 124


9
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Con ngƣời ln có nhu cầu nhận thức thế giới. Nhận thức của con
ngƣời là quá trình phản ánh một cách biện chứng thế giới khách quan trên cơ
sở thực tiễn lịch sử - xã hội. Q trình nhận thức đó diễn ra khơng đơn giản,
thụ động, máy móc, nhận thức khơng có sẵn, bất di bất dịch, mà là quá trình
phản ánh hiện thực khách quan vào bộ óc con ngƣời một cách năng động,
sáng tạo, biện chứng. Đó là q trình đi từ khơng biết đến biết, từ biết ít đến
biết nhiều, từ nông đến sâu, từ không đầy đủ và không chính xác trở thành
đầy đủ hơn và chính xác hơn.
Cũng nhƣ các khoa học khác, Toán học nghiên cứu những quy luật của
hiện thực khách quan. Nó là một trong những môi trƣờng thuận lợi, là phƣơng
tiện để ngƣời dạy có thể tổ chức lồng ghép, cài đặt những nội dung có tính phổ
biến, tồn diện của hiện thực khách quan vào trong quá trình DH của mình. Vì
vậy các kiến thức Tốn học nếu đƣợc giảng dạy chính xác với phƣơng pháp
đúng đắn sẽ góp phần tích cực giúp HS hiểu sâu sắc các quy luật phát triển của

tự nhiên, cũng nhƣ nhận thức đúng về thái độ của con ngƣời đối với tự nhiên, đối
với những biến đổi đang diễn ra trong tự nhiên, tức là sẽ góp phần vào việc bồi
dƣỡng cho HS có cách nhìn về thế giới một cách cặn kẽ, toàn diện hơn.
Và ngƣợc lại khi HS nhận thức về thế giới một cách cặn kẽ, tồn diện hơn,
thì tất yếu sẽ nảy sinh nguyện vọng và ý chí cải tạo thực tiễn và từ đó có đƣợc
động cơ mạnh mẽ vƣơn lên nắm lấy những kiến thức mới mẻ khác, giải quyết
những vấn đề Tốn học tốt hơn.
Nhƣng nhƣ vậy khơng có nghĩa là cứ dạy những kiến thức Toán học
thuần túy rồi tự khắc sẽ góp phần giúp học sinh có cách nhìn tồn diện về thế
giới, mà phải biết khai thác tƣ liệu Tốn học đó theo một mục đích đã định sẵn,


10
nếu khơng học sinh dễ nhầm Tốn học là kết quả thuần túy của hoạt động trí
tuệ, tách rời hiện thực khách quan.
Thực trạng DH Toán ở trƣờng THCS trong những năm gần đây cho
thấy: GV rất ít chú ý đến rèn luyện tính tồn diện và tƣ duy biện chứng cho
HS. Điều đó đã và đang làm cho tƣ duy của HS bị trì trệ, phát triển khơng
tồn diện. Vì thế trong q trình giải bài tập Tốn, HS bộc lộ những yếu kém,
nhìn các đối tƣợng Tốn học một cách rời rạc, khơng mang tính hệ thống và
tồn diện, chƣa thấy đƣợc mối liên hệ phụ thuộc, sự vận động biến đổi, quá
trình hình thành và phát triển, chƣa thấy đƣợc sự thống nhất và mâu thuẫn
giữa các mặt đối lập. Từ đó dẫn đến nhiều em gặp khó khăn khi giải các bài
tốn, nhất là các bài tốn địi hỏi tính sáng tạo trong lời giải. Một trong những
nguyên nhân có thể là GV chƣa thấy đƣợc tầm quan trọng của việc vận dụng
nguyên lý về mối liên hệ phổ biến của triết học DVBC vào việc xác định và
luyện tập một số hoạt động trong DH giải bài tập Toán cấp THCS, và quan
trọng hơn là thực hiện bồi dƣỡng tính tồn diện cho HS thơng qua việc giải
bài tập Toán nhƣ thế nào?
Ở nƣớc ta đã có một số cơng trình nghiên cứu về vấn đề này: Các tác

giả Nguyễn Cảnh Toàn, Đào Tam, Nguyễn Bá Kim, Vũ Dƣơng Thụy, Phạm
Gia Đức,... và nhiều tác giả khác trong các cơng trình nghiên cứu của mình đã
giải quyết nhiều nội dung về lý luận cũng nhƣ thực tiễn của vấn đề phát triển
tính tồn diện cho HS.
Việc vận dụng nguyên lý về mối liên hệ phổ biến vào giải bài tập Toán
cũng đƣợc nhiều nhà sƣ phạm và các thầy giáo quan tâm, đề cập với một số khía
cạnh khác nhau. Vấn đề trên đã đƣợc Giáo sƣ - tiến sĩ Đào Tam đề cập trong
([18]). Nguyên lý về mối liên hệ phổ biến còn đƣợc tác giả Lê Văn Chí quan tâm
với khía cạnh “khai thác một số tri thức của phép biện chứng duy vật vào trong
DH bộ mơn Tốn ở trường Trung học phổ thông” (luận văn thạc sĩ giáo dục học).
Tuy vậy, hiện nay vấn đề trên vẫn là một đề tài tƣơng đối mới. Thông qua việc


11
giải bài tập Toán, cùng với tƣ duy logic, tƣ duy biện chứng góp phần tạo cơ sở
trang bị cho HS những hiểu biết cơ bản về nguyên lý về mối liên hệ phổ biến và
quan điểm toàn diện của triết học DVBC, góp phần đào tạo HS trở thành những
con ngƣời phát triển toàn diện, năng động, sáng tạo, phù hợp yêu cầu xã hội hiện
nay.
Với các lý do nêu trên, để góp phần thay đổi nhận thức trong q trình
giải bài tập Tốn, đề tài đƣợc chọn là:
“Vận dụng nguyên lý về mối liên hệ phổ biến của triết học DVBC vào
việc xác định và luyện tập một số hoạt động trong DH giải bài tập Toán cấp
THCS”.
2. Mục đích nghiên cứu
Khai thác mối liên hệ phổ biến và mục đích yêu cầu của việc dạy học
giải bài tập Toán ở trƣờng THCS trong giai đoạn hiện nay để đề xuất một số
hoạt động dạy học giải bài tập Tốn nhằm góp phần thực thi đổi mới dạy học
Toán trong giai đoạn hiện nay.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu

Để đạt đƣợc những mục đích trên, luận văn có nhiệm vụ làm rõ những
vấn đề sau:
- Nghiên cứu trả lời câu hỏi nguyên lý về mối liên hệ phổ biến của triết
học duy vật biện chứng gắn với những hoạt động nào trong dạy học giải bài
tập Hình học.
- Những yêu cầu nào của DH giải bài tập HH đƣợc soi sáng bởi nguyên
lý về mối liên hệ phổ biến.
- Nghiên cứu, xác định và phƣơng thức luyện tập một số dạng hoạt
động trong DH giải bài tập HH cấp THCS.
- Tiến hành thực nghiệm sƣ phạm trên đối tƣợng học sinh lớp 9 ở
trƣờng Trung học cơ sở thị trấn Tràm Chim để kiểm nghiệm tính khả thi và
hiệu quả của việc vận dụng các nội dung luyện tập.


12
4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Xác định các dạng hoạt động trong DH giải bài
tập HH với việc dự tính vận dụng nguyên lý về mối liên hệ phổ biến và nêu
các phƣơng thức luyện tập các dạng hoạt động đã đề ra.
Phạm vi nghiên cứu: HS và GV dạy Toán cấp THCS thuộc các trƣờng:
THCS huyện Tam Nông, tỉnh Đồng Tháp.
5. Nội dung nghiên cứu
Hoạt động giải bài tập HH ở trƣờng THCS trong giai đoạn đổi mới giáo dục
hiện nay.
6. Phƣơng pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu khai thác các tài liệu, sách,
báo tham khảo có liên quan đến nguyên lý về mối liên hệ phổ biến, quan điểm
toàn diện, triết học Mác-Lênin, tâm lý học và lý luận về DH giải bài tập Toán ở
trong nƣớc và trên thế giới.
Phương pháp khảo sát thực tiễn: Làm sáng tỏ thực trạng hoạt động DH giải

bài tập HH ở một số trƣờng THCS ở huyện Tam Nông, tỉnh Đồng Tháp trong giai
đoạn hiện nay.
Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Nhằm đánh giá các phƣơng thức
luyện tập các hoạt động DH giải bài tập HH theo dự tính vận dụng nguyên lý về
mối liên hệ phổ biến.
7. Giả thuyết khoa học
Do Toán học nghiên cứu các quy luật về mối liên hệ, quan hệ giữa các
đối tƣợng nên chúng tôi cho rằng cần và có thể khai thác các khía cạnh về mối
liên hệ phổ biến để từ đó xác định và luyện tập một số dạng hoạt động trong
DH giải bài tập HH ở cấp THCS nhằm góp phần đổi mới phƣơng pháp và nâng
cao chất lƣợng DH.
8. Những đóng góp của luận văn


13
Về lý luận: Góp phần làm sáng tỏ nội dung “Vận dụng nguyên lý về
mối liên hệ phổ biến của triết học DVBC vào việc xác định và luyện tập một
số hoạt động trong DH giải bài tập HH cấp THCS”.
Về thực tiễn: Xác định đƣợc nội dung và cách thức luyện tập một số
dạng hoạt động trong DH giải bài tập HH cấp THCS có thể vận dụng nguyên
lý về mối liên hệ phổ biến của triết học DVBC để rèn luyện cho HS.
9. Cấu trúc của luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo, luận văn
gồm có 3 chƣơng.
Chƣơng 1. Cơ sở lý luận và thực trạng
Chƣơng 2. Xây dựng và luyện tập một số dạng hoạt động DH giải bài
tập HH cấp THCS theo hƣớng vận dụng nguyên lý về mối liên hệ phổ biến
Chƣơng 3. Thực nghiệm sƣ phạm
KẾT LUẬN

14
Chƣơng 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TRẠNG
1.1. Khái niệm bài tập, bài toán
Phân biệt một cách rõ nét hai khái niệm Bài toán và Bài tập là một việc
khá khó khăn và phức tạp. Do đó, hiện nay đang có nhiều quan niệm khác
nhau về các khái niệm này. Sau đây là ba quan niệm chủ yếu thể hiện qua các
đoạn trích tƣơng ứng [dẫn theo 32, tr.90].
- Quan niệm thứ nhất xem bài tập là một trƣờng hợp riêng của bài
toán.
Bài toán là “tất cả những câu hỏi cần giải đáp về một kết quả chưa biết
cần tìm bắt đầu từ những dữ kiện hoặc về phương pháp cần khám phá, mà
theo phương pháp này sẽ đạt được kết quả đã biết”.
“Bài toán. 1. Câu hỏi cần giải đáp bằng các phương pháp logic, hợp lý
trong lĩnh vực khoa học. 2. Bài tập ở học đường, đó là tìm các câu trả lời cho
một câu hỏi đặt ra, bắt đầu từ các dữ kiện đã biết”.
Theo trích đoạn thứ hai, trong phạm vi trƣờng học bài toán đƣợc hiểu là
một bài tập.
- Quan niệm thứ hai xem bài toán là một trƣờng hợp riêng của bài tập.
“Một bài toán (Toán học) là một bài tập nghiên cứu, mà đối với người
muốn giải quyết nó, đó là một thách thức. Nó địi hỏi những năng lực và khả
năng hiểu và vận dụng những kiến thức vào những tình huống mới lạ”.
- Quan niệm thứ ba phân biệt hai khái niệm bài tập và bài toán.
“Tuy nhiên, cũng cần có sự phân biệt giữa bài tập và bài tốn. Để giải
bài tập chỉ cần yêu cầu áp dụng máy móc các kiến thức, quy tắc hay thuật tốn
đã học. Nhưng đối với bài tốn, để giải được, phải tìm tịi, giữa các kiến thức có
thể sử dụng và việc áp dụng để xử lý tình huống cịn có một khoảng cách, vì các
kiến thức đó khơng dẫn trực tiếp đến phương tiện xử lý thích hợp. Muốn sử dụng

15
được những điều đã biết, cần phải kết hợp, biến đổi chúng, làm cho chúng thích
hợp với tình huống”.
Trong luận văn này, ta sử dụng quan niệm thứ nhất. Nhƣ vậy, trong
phạm vi DH Toán, ta đồng nhất hai khái niệm bài tập và bài tốn.
1.2. Vị trí, chức năng của bài tập Tốn trong q trình dạy học
1.2.1. Vị trí của bài tập Tốn trong q trình DH
DH giải bài tốn có tầm quan trọng đặc biệt là một trong những vấn đề
trung tâm của phƣơng pháp DH Toán ở trƣờng phổ thơng. Đối với HS việc
giải bài tốn là một hình thức chủ yếu của việc DH Tốn. Nhƣ vậy:
- DH giải bài tập Tốn là một hình thức tốt nhất để củng cố, đào sâu, hệ
thống kiến thức và rèn luyện kỹ năng, dẫn dắt HS tự mình đi đến kiến thức
mới.
- DH giải bài tập Tốn là hình thức vận dụng những kiến thức đã học
vào những vấn đề cụ thể, vào thực tế và các vấn đề mới.
- DH giải bài tập Tốn cịn là hình thức tốt nhất để GV kiểm tra HS và
HS tự kiểm tra về năng lực, mức độ tiếp thu và vận dụng tri thức.
- Không chỉ thế, DH giải bài tập Tốn cịn có tác dụng gây hứng thú
học tập cho HS, phát triển trí tuệ và giáo dục, rèn luyện con ngƣời HS về
nhiều mặt.
1.2.2. Vai trò chức năng của bài tập Tốn trong q trình DH
“Bài tập Tốn học có vai trị quan trọng trong mơn Tốn. Điều căn bản
bài tập Tốn có vai trị giá mang hoạt động của HS. Thông qua giải bài tập,
HS phải thực hiện đƣợc những hoạt động nhất định, bao gồm cả nhận dạng và
thể hiện định nghĩa, định lý, quy tắc hay những phƣơng pháp, những hoạt
động Toán học phức hợp, những hoạt động trí tuệ trong Tốn học và những
hoạt động ngôn ngữ” [4, tr.388]. Hoạt động của HS liên hệ mật thiết với mục
tiêu, nội dung và phƣơng pháp DH, vì vậy, chức năng của bài tập Tốn học
đƣợc thể hiện trên 3 bình diện này:

16
- Thứ nhất: Trên bình diện mục tiêu DH, bài tập Toán học là giá mang
những hoạt động mà việc thực hiện các hoạt động đó thể hiện mức độ đạt mục
tiêu. Mặt khác, những bài tập cũng thể hiện những chức năng khác nhau
hƣớng đến việc thực hiện các mục tiêu DH mơn Tốn, cụ thể là:
+ Hình thành, củng cố tri thức, kỹ năng, kỹ xảo ở những khâu khác
nhau của quá trình DH, kể cả kỹ năng ứng dụng Toán học thực tiễn.
+ Phát triển năng lực trí tuệ: rèn luyện những hoạt động tƣ duy hình
thành những phẩm chất trí tuệ.
+ Bồi dƣỡng thế giới quan DVBC, hình thành những phẩm chất đạo
đức của ngƣời học.
- Thứ hai: Trên bình diện nội dung DH, bài tập Toán học là giá mang
những hoạt động để ngƣời học kiến tạo những nội dung nhất định và nó trở
thành một phƣơng tiện để cài đặt nội dung nhằm hoàn chỉnh hay bổ sung
những tri thức nào đó đã đƣợc trình bày trong phần lý thuyết.
- Thứ ba: Trên bình diện phƣơng pháp DH, bài tập Toán học là giá
mang những hoạt động để ngƣời học kiến tạo những tri thức nhất định và trên
cơ sở đó thực hiện các mục tiêu DH khác. Khai thác tốt những bài tập nhƣ
vậy sẽ góp phần tổ chức cho HS học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự
giác, tích cực, chủ động và sáng tạo đƣợc thực hiện độc lập hoặc trong giao
lƣu.
Trong thực tiễn DH, bài tập đƣợc sử dụng với những dụng ý khác nhau
về phƣơng pháp DH: Đảm bảo trình độ xuất phát, gợi động cơ, làm việc với
nội dung mới, củng cố hoặc kiểm tra… Đặc biệt là về mặt kiểm tra, bài tập là
phƣơng tiện để đánh giá mức độ, kết quả dạy và học, khả năng làm việc độc
lập và trình độ phát triển của HS...
Một bài tập cụ thể có thể nhằm vào một hay nhiều dụng ý trên [4,
tr.389].

17
Ví dụ 1.1: Cho ABC cân tại A, đƣờng trung tuyến CD. Trên tia đối

1
của tia BA lấy điểm K sao cho BK  BA. CMR: CD  CK .
2
Trong Tốn học có nhiều bài tốn có rất nhiều cách giải. Ví dụ trên đây
đề cập đến một số cách giải bài tốn cấp THCS thơng qua việc vẽ đƣờng phụ.
Đây là cách giải đƣợc khai thác theo các hƣớng khác nhau trên cơ sở tính chất
đƣờng trung bình của tam giác, nhằm phát huy tính sáng tạo cho HS để giúp
các em hứng thú hơn trong việc học và làm toán.
Xin đƣa ra 3 cách giải cho bài toán trên là:
Cách 1: Nếu ta lấy E là trung điểm của AC thì ta nhận thấy ngay BE là
đƣờng trung bình của AKC nên BE 

1
KC . Bên cạnh đó ABC cân tại A
2

nên dễ dàng chứng minh đƣợc CD  BE. Nhƣ vậy ta đã tìm đƣợc lời giải của
bài tốn.
Vậy ta có lời giải sau:
Gọi E là trung điểm của AC

A

 BE là đƣờng trung bình của
D

1
 AKC  BE  CK (1)
2

B

C

Xét BDC và CEB có: BD  CE
(vì BD 

1
1
AB ; CE  AC mà AB  AC)
2
2

BC cạnh chung.

DBC  ECB (vì  ABC cân tại A)
Do đó BDC  CEB (c.g.c)
Suy ra CD  BE (cạnh tƣơng ứng) (2)

1
Từ (1) và (2) suy ra CD  CK .
2

E

K

Hình 1.1


18
Cách 2: Lấy H là trung điểm của KC do đó H chia đoạn CK thành hai
đoạn bằng nhau, ta nghĩ đến việc chứng minh một trong hai đoạn thẳng đó
bằng CD. Ở đây ta sẽ chứng minh CH  CD vì CH có thể gắn vào BHC và
chứng minh BDC  BHC (dựa vào BH//AC (do BH là đƣờng trung bình của

KAC )).
Từ những hƣớng dẫn trên ta có lời giải:
Gọi H là trung điểm của KC.
BH là đƣờng trung bình của AKC  BH 

1
AC .
2

Xét BDC và BHC có: BD  BH
(vì BD 

1
1
AB ; BH  AC mà AB  AC).
2
2

HBC  DBC (vì HBC  ACB (so le
trong, BH // AC), mà ACB  DBC ).

A

Cạnh BC là cạnh chung
Do đó BDC  BHC (c.g.c)

D

Suy

ra CH  DC (1)

B

C

Mà H là trung điểm của KC nên:
H

1
CH  CK (2)
2

K

1
Từ (1) và (2) suy ra CD  CK .
2

Hình 1.2

Cách 3: Nếu trên tia đối của CA lấy M sao cho CA  CM ta sẽ nhận
thấy CD là đƣờng trung bình của ABM , nên CD 

1
BM . Do đó bài tốn
2

trở thành việc chứng minh BM  CK. Ta dễ dàng nhận thấy KBC  MCB
(do đó MB  CK).
Nên ta có lời giải cho bài toán:


19
Trên tia đối của tia CA lấy

A

điểm M sao cho CA  CM.
D

CD là đƣờng trung bình
B

1
của ABM  DC  BM (1)
2
Xét KBC và MCB có:

C

K
M

BC cạnh chung

Hình 1.3

KBC  MCB (cùng bù ABC )
KB  MC (vì KB  AB, MC  AC, AB  AC).
Vậy KBC  MCB (c.g.c)
Suy ra KC  MB (2)

1
Từ (1) và (2) suy ra CD  CK
2
Ví dụ 1.2: Xét bài tốn sau “CMR trong một tam giác đều, đƣờng trung
trực ứng với cạnh đáy đồng thời là đƣờng phân giác, đƣờng trung tuyến,
đƣờng trung trực và đƣờng cao cùng xuất phát từ đỉnh đối diện với cạnh đó”.
Việc giải bài tốn này sẽ củng cố:
- Khái niệm về tam giác đều.
- Khái niệm và tính chất của đƣờng cao, trung tuyến, trung trực, phân
giác của tam giác đều.
A

B

H

C

Hình 1.4
Ta thay đổi giả thiết “tam giác đều” bằng “tam giác cân”, hình vẽ có
thay đổi nhƣng kết luận của bài tốn khơng thay đổi. Các bƣớc chứng minh
của bài toán mới này về cơ bản khơng có gì thay đổi.


20
Giải bài tốn này là hình thức tốt nhất để củng cố, đào sâu hệ thống
kiến thức và rèn luyện kỹ năng, dẫn dắt HS tự mình đi đến kiến thức mới
đồng thời phát huy đƣợc chức năng giáo dục của bài toán ban đầu.
Tiếp tục thay đổi giả thiết “tam giác cân” thành “tam giác vuông” hoặc
thành “tam giác bất kỳ”. Liệu kết luận của bài tốn cịn đúng nữa hay khơng?
HS vẽ hình, chứng minh, dựa vào tính chất của tam giác ta sẽ nhận thấy kết
luận của bài tốn đã thay đổi khơng cịn đúng nữa.
Ở thời điểm cụ thể nào đó, mỗi bài tập chứa đựng tƣờng minh hay ẩn
tàng những chức năng khác nhau (chức năng DH, chức năng giáo dục, chức
năng phát triển, chức năng kiểm tra), những chức năng này đều hƣớng tới
việc thực hiện các mục đích DH.
Tóm lại, các chức năng của bài tập Tốn khơng bộc lộ một cách riêng
lẻ và tách rời nhau, mà hiệu quả của việc DH Toán phụ thuộc vào việc thực
hiện một cách đầy đủ các chức năng có thể của một bài tập nhƣ: chức năng
giáo dục, chức năng DH, chức năng phát triển, chức năng kiểm tra.
1.3. Một số dạng hoạt động trong dạy học giải bài tập Toán
Một trong những hoạt động cơ bản của HS trong học tập mơn Tốn ở
trƣờng phổ thơng là hoạt động giải tốn. Đây là hoạt động phức tạp bao gồm
nhiều thành tố tham gia, mà lâu nay đã đƣợc các chuyên gia trong lĩnh vực
phƣơng pháp DH nghiên cứu và chỉ rõ. Thực tiễn DH lâu nay ở nƣớc ta, theo
nội dung, chƣơng trình và SGK đã ban hành, hoạt động học và giải toán của
HS cơ bản diễn ra theo trình tự:

Hoạt động 1: Làm nảy sinh nhu cầu nhận thức của HS (làm xuất hiện
vấn đề và tạo cho HS có nhu cầu tìm hiểu vấn đề đó).
Hoạt động 2: Tổ chức các hoạt động học tập (theo cá nhân, theo nhóm hay
cả lớp).
Hoạt động 3: Hƣớng dẫn HS trình bày ý kiến trƣớc nhóm, trƣớc lớp.
Hoạt động 4: Hƣớng dẫn HS nhận xét, đánh giá, bổ sung.


21
Hoạt động 5: GV hệ thống, kết luận vấn đề, hƣớng dẫn HS trình bày
(GV chốt lại các vấn đề quan trọng).
Hoạt động 6: Tổ chức cho HS luyện tập, thực hành, rèn các kỹ năng.
Mỗi bài toán là sự kết hợp đa dạng của các khái niệm, các mối quan hệ
Tốn học, địi hỏi HS phải biết xác lập đƣợc các mối quan hệ giữa các dữ liệu của
bài tốn: Biết so sánh, phân tích, tổng hợp. Trên cơ sở đó, lựa chọn đƣợc cách giải
quyết tốt nhất. Nhƣ chúng ta đã biết, đƣờng lối chung để hƣớng dẫn HS giải một
bài toán, thƣờng gồm các bƣớc nhƣ: Nghiên cứu tìm hiểu bài tốn, thiết lập quan
hệ giữa các dữ liệu để tóm tắt bài tốn, lập kế hoạch giải bài tốn, trình bày bài
giải và kiểm tra kết quả. Tuy nhiên, trong quá trình DH, nếu GV chỉ dừng lại ở
các bƣớc trên thì coi nhƣ mới hồn thành xong việc tổ chức hƣớng dẫn cho HS
giải một bài toán. Điều quan trọng là sau khi HS giải xong bài tốn đó, GV cần
làm gì, cần khai thác những gì từ bài tốn để một mặt củng cố đƣợc cách giải, một
mặt phải phát huy hết khả năng tƣ duy, sự sáng tạo (tính tồn diện) của HS khi
học tốn. Chẳng hạn:
- Nâng cao mức độ khó dễ của bài toán: Trên cơ sở HS đã nắm chắc,
hay đã củng cố tốt đƣợc cách giải khái quát của bài tốn, GV nâng dần mức
độ của bài tốn đó nhằm kiểm tra khả năng vận dụng của các em vào các t ình
huống khác nhau nhằm rèn kỹ năng, kỹ xảo giải toán, gây hứng thú học tập và
phát huy khả năng của từng em.
Ví dụ 1.3: Xét Bài tốn quỹ tích lớp 8 sau: “Cho ∆ABC, điểm M di

chuyển trên cạnh BC. Gọi I là trung điểm của AM, điểm I di chuyển trên
đƣờng nào?” [29, tr.73](*)
Ở bài toán này, ta dễ nhận thấy khi điểm M di chuyển trên cạnh BC cố
định thì điểm I di chuyển theo và luôn là trung điểm của AM. Để xác định
đƣợc quỹ tích điểm I, ta xét 2 vị trí đặc biệt của M:
- Khi M  B thì I  P (P là trung điểm của AB, P cố định).
- Khi M  C thì I  Q (Q là trung điểm của AC, Q cố định).


22
Từ đó suy ra đƣợc I  PQ (PQ là đƣờng trung bình của ∆ABC).
Lời giải: [tóm tắt theo 29, tr.112]
Qua I kẻ đƣờng thẳng d//BC, d

A

cắt AB, AC lần lƣợt tại P và Q (Hình
Q

P

1.5).

d

I

∆AMB có AI  IM, IP //BM

B

 P là trung điểm của AB.

M

C

Hình 1.5

Tƣơng tự, ta có: Q là trung điểm của AC. Các điểm P, Q cố định.
Vậy I di chuyển trên đoạn thẳng PQ (PQ là đƣờng trung bình của
∆ABC).
Việc hƣớng dẫn HS tìm lời giải cho bài tốn trên là khơng khó, tuy
nhiên GV có thể khai thác nâng mức độ khó của bài tốn trên để kích thích sự
hứng thú của HS theo hƣớng sau: Ở bài toán trên, bài toán mới chỉ tìm hiểu
khi có một điểm M di động trên một đoạn BC cố định. Câu hỏi đặt ra: liệu có
thể thay đổi giả thiết từ bài tốn gốc để xét với 2 điểm di động trên các đoạn
thẳng cố định hay khơng? Thật bất ngờ là hồn tồn đƣợc. Nhờ dựa vào tính
chất của hình bình hành và cách giải bài tốn ở trên, chúng ta có bài tốn hay
và khó hơn sau đây:
“Cho ∆ABC cân tại A. Hai điểm E và D thứ tự di chuyển trên các cạnh
AB, AC sao cho AE  CD. Tìm tập hợp trung điểm I của DE”.
- Tìm nhiều cách giải khác nhau cho bài toán:
Biện pháp này nhằm giúp HS có thể vận dụng các kiến thức đã học vào
giải quyết bài toán theo các hƣớng khác nhau. Trong mỗi bài tốn có thể chứa
đựng rất nhiều cách giải khác nhau, nên thơng qua mỗi bài tốn đó GV có thể
củng cố cho HS rất nhiều phƣơng pháp giải toán đã học.
Ví dụ 1.4: Với bài tốn (*) GV có thể hƣớng dẫn HS khai thác theo các
hƣớng giải khác nhau ngồi cách giải đã tìm hiểu ở trên nhƣ sau:

23
* Từ phân tích ở trên, thơng qua dự đốn quỹ tích, ta dễ dàng tìm ra
hƣớng chứng minh điểm I cách BC một khoảng khơng đổi. Từ đó có cách giải
thứ 2:
Cách 2: Kẻ AH, IK vng góc với BC

A

(Hình 1.6).
Q

P

∆AMH có IA  IM (giả thiết)

I

IK//AH (cùng  BC)

B

 IK là đƣờng trung bình của ∆AMH.
 IK 

C

H K M

Hình 1.6

AH
khơng đổi (vì AH khơng đổi). Mà KBC cố định nên I nằm
2

trên đƣờng thẳng song song BC, cách BC một khoảng bằng

AH
.
2

- Khi M  B thì I  trung điểm P của AB (P cố định).
- Khi M  C thì I  trung điểm Q của AC (Q cố định).
Vậy I di chuyển trên đƣờng trung bình PQ của ∆ABC (PQ//BC).
* Từ việc xét 2 vị trí đặc biệt của M, cùng với nhận xét rằng đƣờng
trung bình PQ cố định và I lại là trung điểm của AM giúp ta nghĩ đến đi chứng
minh I, P, Q thẳng hàng và ta có cách giải khác:
Cách 3:
Gọi P, Q lần lƣợt là trung điểm của AB, AC. Ta có P, Q cố định.
Áp dụng tính chất đƣờng trung bình của tam giác ta suy ra: PQ//BC và
PI//BC  I, P, Q thẳng hàng.
- Khi M  B thì I  trung điểm P

A

của AB (P cố định).
- Khi M  C thì I  trung điểm Q

I

của AC (Q cố định).
Vậy I di chuyển trên đƣờng trung

Q

P

B

C

Hình 1.7


24
bình PQ của ∆ABC (PQ//BC).
- Tìm hướng giải quyết bài tốn có nhiều khả năng xảy ra:
Biện pháp này bên cạnh giúp HS củng cố kỹ năng giải toán, phát triển
tƣ duy, ở mức độ cao hơn còn đòi hỏi các em phải biết tìm tịi giải quyết tất cả
các khả năng có thể xảy ra để tìm hết các đáp số của bài toán, biết loại trừ các
khả năng khơng phù hợp.
- Giải quyết bài tốn ngược với các bài toán đã giải:
Khi giải xong một bài toán, nếu giáo viên đặt ra các bài toán ngƣợc và
yêu cầu học sinh tìm cách giải, sẽ có tác dụng rất tốt trong việc phát huy khả
năng sáng tạo của các em trong việc vận dụng cách giải của bài toán vừa làm
để làm cơ sở giải các bài tốn ngƣợc.
Ví dụ 1.5: Sau khi cho HS chứng minh Định lý Pitago: “Trong một tam
giác vng, bình phƣơng cạnh huyền bằng tổng bình phƣơng hai cạnh góc
vng”.
Giáo viên có thể hỏi ngƣợc lại vấn đề nhƣ sau: “Trong một tam giác

nếu tổng bình phƣơng hai cạnh bằng bình phƣơng cạnh cịn lại thì có phải tam
giác vng khơng?”
- Tổ chức cho HS tìm dữ kiện cịn thiếu hay các dữ kiện thừa trong các
bài tốn:
Việc làm này khơng những củng cố, khắc sâu cách giải các dạng tốn
mà cịn có tác dụng rất tốt trong việc phát triển tính tồn diện trong tƣ duy cho
HS.
1.4. Yêu cầu đối với lời giải bài toán
Theo Lê Văn Tiến..., đối với lời giải của một bài tốn có ba u cầu mang tính
bắt buộc là:
- Lời giải khơng có sai lầm: Lời giải khơng có sai sót về kiến thức Tốn
học, về suy luận và tính tốn, về ký hiệu và hình vẽ, về trình bày...


25
- Lập luận phải có căn cứ chính xác: Các bƣớc trong lời giải phải có cơ
sở lý luận, nghĩa là phải dựa vào các định nghĩa, tính chất, định lý, quy tắc,
công thức... đã học, các giả thiết đã cho.
- Lời giải phải đầy đủ: Lời giải phải bao hàm hết tất cả các khả năng có
thể xảy ra đối với một tình huống.
Ví dụ 1.6: “CMR nếu tam giác ABC thỏa mãn a  2b cos C thì tam giác
đó cân”.
Xét bài làm của một HS:
A

Kẻ đƣờng cao AH, ta có: HB  ccosB;
HC  bcosC.
a  HB + HC  ccosB + bcosC

B

Từ giả thiết a  2b cos C , ta có:

H

Hình 1.8

ccosB + bcosC  2bcosC

 ccosB  bcosC  HB  HC
 AH vừa là đƣờng cao vừa là trung tuyến.
 Tam giác ABC cân tại A.
Bài làm này không thỏa mãn yêu cầu trên, vì khơng tính đến trƣờng
hợp H có thể nằm ngoài BC hoặc trùng B hay C.
Ngoài ba yêu cầu nói trên, trong DH bài tập Tốn nói chung và giải bài
tập HH nói riêng cũng rất cần yêu cầu lời giải ngắn gọn, đơn giản nhất, cách
trình bày rõ ràng hợp lý cả nội dung lẫn hình thức.
Tìm đƣợc một lời giải hay của một bài toán tức là đã khai thác đƣợc
những đặc điểm riêng của bài toán, điều đó làm cho HS “có thể biết đƣợc cái
quyến rũ của sự sáng tạo cùng niềm vui thắng lợi”.
1.5. Phƣơng pháp tìm tịi lời giải bài tốn
- Tìm hiểu nội dung bài tốn:
+ Giả thiết là gì? Kết luận là gì? Sử dụng ký hiệu nhƣ thế nào?
+ Dạng tốn nào? (tốn chứng minh hay tốn tìm tịi...).

C