1 so bai tap He phuong trinh

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Lời mở đầu. 1.. . (1  x) 1  x  (1  x) 1  x  1 . x 2 1  2. . 2. (Trích Đề số 35 của ĐTN-Mathlinks).

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Điều kiện:  1  x 1. Đặt.  a  1  x (a, b 0)  a 2  b 2 2   b  1  x 2.   x 1  2  1  x 1  3 x 1  1 0   Ta có Bất phương trình tương đương: 2. 2. Mà. a 3  b3 1 . 2. . x 2 1  2. 2. a 3  a3  1 3a 2 ; b3  b3  1 3b 2  a 3  b3 . . 2. x 2  1  2  1 2. 3(a 2  b 2 )  2 3.2  2  2 2 2. Dấu bằng xảy ra khi x 0 .. y  x 1  x 2  x  1   xy 2  6 y  1    x( y  1)  8  y ( x 1) y  x  1 1. . (Trích Đề số 34 của ĐTN-Mathlinks). Điều kiện: x 0; y 0.  xy 2  6 y  1 x 2  x  1 1 1    xy  6   x  y x 1 y x 1 Phương trình 1 tương đương:  x(y 1)  x( y  1)  Phương trình 2 tương đương:. Đặt. a  x( y  1)  y x 1  b  y ( x  1) . a  4   b  2 Với . 8 y ( x  1) y x 1. a  b  6    8 a  b . Hệ phương trình tương đương :. a  2 x     b  4 y  Với  x   y . y x 1  6 y ( x  1).  a  2   b  4  a  4   b  2.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> 2.. (3x  15) 2015  2016 (9  3 x) 2015 2016  15  ( x  4) . 2016. 2015.  2016  9  ( x  4) . 2015. (Trích Đề số 36 của ĐTN-Mathlinks) Điều kiện xác định:. x    5;3. f (t ) 2016 (15  t ) 2015  2016 (9  t ) 2015. Xét hàm số:. f '(t )  Suy ra:. , t    15;9. 1 1  2015  2016 2016 ( t  15)  (9  t )   2016   , f '(t ) 0  t 3. … Suy ra hàm số f (t ) đồng biến trên ( 15;  3) ; nghịch biến trên (  3; 9) . Khi đó phương trình tương đương 2016. (3 x  15) 2015  2016 (9  3x) 2015 2016  15  ( x  4) . 2015.  2016  9  ( x  4) . 2015. Với:. x    5;1. , phương trình (1) tương đương 3 x  x  4  x  2 (thoả). Với:. x    1;3. , phương trình (1) tương đương 3 x  x  4  x  2 (loại). (1). Vậy phương trình có nghiệm x  2. 1. 3.. x 4  x3  x 2  1 2  x 2 2 2( x  x  1) x  x2 (Trích Đề số 32 của ĐTN-Mathlinks). Phương trình tương đương. 1 1  2x  2 2 x  x 1 x  x2. 2  x2   x2  2 . 2. 1 1 4 1  2 2 x2  2 2 x  2 4 2 x 2 x  x 1 x  x 1 x  x2 x  x2 2. Giải từng cái bằng cách quy đồng với bình phương. x2  2 . 1 4 2 x  2 x  x 1 x  x2 2. 2 2 x2  . x2 . (1). 1 1 4 2 x 2 x  x 1 x  x2 2. 1 1 2 x 2 x  x 1 x  x2 2. Cả 2 cái (1) và (2) đều đúng vì. (1)  ( x  1)2 . x 2 ( x  1)2 0 ( x 2  x 1)( x 2  x  2). (2)  ( x  1) 2 ( x 4  3 x 2  x  2) 0. (2).

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Từ (1) và (2) để dấu bằng xảy ra khi chỉ khi x 1 Vậy nghiệm của bất phương trình x 1 .. 4.. x 2  9 x  1  x 11  3x 2 x  3. ( Châu Thanh Hải- ĐHKH Huế). Điều kiện : Phương trình tương đương:. x 2  9 x  1  x 11  3 x 2 x  3 x 2  9 x  1 2 x  3  x 11  3 x. .  x 2  9 x  1 15 x 2  3 x3  12 x  9  2(2 x  3) x 11  3 x  3 x3  14 x 2  3 x  10  2(2 x  3) x 11  3 x 0 . . . 11  3 x  1. . . 11  3 x  3 x 2  2 11  3 x  7 0.  11  3 x  1 0    11  3 x  3 0. 10  x 3   x 2  3. Thay lại thấy thoả mãn .. .  .  x  4 y2 1  x  4  y y  x  3    x 2 ( y 2  1)  2 x  1  3 x 2  6 y 2  17 5.  Điều kiện: x  3.  ( Châu Thanh Hải- ĐHKH Huế). Phương trình 1 tương đương:. y2  x  4  . . x  4 y 2  1  y x  3 0. x4 . 2.  . y 2 1  y .  x  4  y 2  1 0    y  x  3 0 Thay. x 3. . 2. 0.  x 0  2  y x  3. y 2 x  3 vào phương trình 2 ta được. x3  2 x 2  2 x  1  3 x2  6 x  1. .  ( x  1)3  ( x  1)  Xét hàm số. 3. f (t ) t 3  t.  x  1  3 x 2  6 x 1  x( x  3)( x  1) 0. . 3. x2  6 x 1  3 x2  6x 1 , t  R.  f '(t ) 3t 2 1. Suy ra f ( x  1)  f. . 3. x 2  6 x 1. .

<span class='text_page_counter'>(5)</span>  x 0  y  3    x  3  y 0  x 1  y 2  Vậy hệ phương trình trên có nghiệm. . . ( x; y )  0; 3 ;   3;0  ;  1; 2 . 6. (5 x  4) 3 x  2  5 2  x (6 x  1) x  3 ( Châu Thanh Hải- ĐHKH Huế) 2  x 2 Điều kiện: 3 . Phương trình tương đương: (5 x  4) 3 x  2  5 2  x  (6 x  1) x  3 0. . 3x  2  2  x . . x  3 3x  3 . 3x  2 2  x . . 3 x  2 x  3 0.  3x  2  2  x  x  3 0   3 x  3  3 x  2 2  x  3 x  2 x  3 0. 3x  2  2  x  x  3. Ta có:.  x 1  2 x  2 3x  2 2  x x  3    x  25 13  Ta lại có:. 3 x  3  3x  2 2  x  3 x  2 x  3 0  6 x  6 2 3 x  2 2  x  2 3 x  2 x  3. Suy ra. 6 x  6  3 x  2    2  x    3 x  2  6 x  1. Vậy phương trình có nghiệm. x 1; x . x  1  2 2 x  3 ( x  1)( x 2  2). 7.. 25 13. (Đề thi thử ĐH Vinh 2014). Điều kiện: x  1 Nhận thấy x  1 thoả mãn phương trình. Xét x   1 , phương trình tương đương. 4. .  . x 1  2  2. . 2 x  3  3  x3  x 2  2 x  12. 4( x  3) 4( x  3)  ( x  3)( x 2  2 x  4) x 1  2 2x  3  3 4 4    ( x  3)    ( x  1) 2  3  0 2x  3  3  x 1  2  . (Vô lí).

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Vì x   1 nên. Hay. 4 4  3 x 1  2 2x  3  3. x  1  0; 2 x  3  1 . Suy ra. 4 4   ( x  1) 2  3  0 x 1  2 2x  3  3 .. Do đó phương trình tương đương: x  3 0  x 3 Vậy phương trình có 2 nghiệm x  1 ; x 3.  y x  2  x y  2 2( x 3  y 3 )    1 2 y (1)  x 2  x   1  3 3 y x   (2) 8. . Điều kiện: x; y  2 ; x, y 0 ;. (Trích Đề số 15 của ĐTN-Mathlinks). x. 1 0 y. Nhận thấy x  2 hoặc y  2 không là nghiệm của hệ phương trình . Xét x; y   2. y x 2( x 3  y 3 )   y 2 x2 x2 y 2 Phương trình 1 của hệ tương đương với: t t 2  t 2 t 2  t 4 0 f (t )   f '(t )  t 2 t 2 2 (t  2)3 t   2 Xét hàm số. ,. Suy ra f (t ) đồng biến.. VP (*)  0    PTVN VT (*)  0 x  y  f ( y )  f ( x )  TH1: VP (*)  0    PTVN VT (*)  0 x  y  f ( y )  f ( x )  TH2: VP(*) 0   VT (*) 0 (thoả mãn hệ phương trình) TH3: x  y  f ( y)  f ( x) Thay x  y vào phương trình 2:. 1 2 x  x 2  x   1  3 3 x x . Điều kiện: x  0.

<span class='text_page_counter'>(7)</span>  x 2 x3  2 x x  3 2  x  x  x. . . 2 x3  2 x  2  3 2  x  x 2 x3  2 x  4 2 x3  2 x  2. . 2  x  x3. . 3. 2 x. . 2.  x 3 2  x  x2.  2x  ( x  x  2)   3  2x  2x  2  3  x  x  2 0.   0 2  2  x  x 3 2  x  x2   1. 3. . 3. .  ( x  1)( x 2  x  2) 0  x 1  y 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm. ( x; y ) (1;1).  1  x2 1  y2 y x  y  x 2 1  x2  1 y (1)  3 2 x  3x  1  5  y (2) 9. . (Trích Đề số 16 của ĐTN-Mathlinks). 2 Điều kiện: 5  y 0   5  y  5 . Phương trình 1 tương đương:. 2 2 2   1  x2 2 1 y 2 2 2  1 x 2  1 y  x.  2 xy  y  x  2 xy  y  x   1  y   1 0 2 2 2 2 1 y 1 x  1 y   1 x  2 2 2 2 2 2  x x  y y  x y   x2.  y2. 0  ( x 2  y 2 )   0 2 2 2 2  1 y 1 x  1 y 1 x  2.  ( x 2  y 2 )  x 4  x 2  y 4  y 2  0  ( x 2  y 2 )2 ( x 2  y 2  1) 0  x 2  y 2 Thay. x2  y2. vào phương trình 2, ta có. x3  3x  1  5  x 2  x3  3x  2  5  x 2  1  ( x  2)( x  1) 2 . 4  x2.  x2   ( x  2)  ( x  1)2   0 5  x 2 1 5  x2 1 .  ( x  2)  ( x  1) 2 5  x2  x 2  3 x  3 0  x 2  y 2   Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y) (2; 2); (2;  2).

<span class='text_page_counter'>(8)</span> 10.. . x 2  5 x  4 1  x3  2 x 2  4 x. .. (Trích đề thi thử ĐH Vinh 2015).  x  1  5 x 3  2 x 2  4 x 0     1  5 x 0 Điều kiện: Bất phương trình tương đương:. 2  1  5  x 0 . Khi đó: x  2 x  4 0;3x 0 . Hơn nữa hai biểu thức không đồng thời bằng 0.. TH1:. Vì vậy Suy ra TH2:. ( x 2  2 x  4)  3x  4 x( x 2  2 x  4). ( x 2  2 x  4)  3x  0 4 x( x 2  2 x  4).  1  5 x 0. thoả mãn bất phương trình đã cho.. x  1  5 . Khi đó. 2. x 2  2 x  4 0 . Đặt a  x  2 x  4 0; b  x  0 . Bất phương trình trở thành:. a 2  3b2  4ab  (a  b)(a  3b)  0  b  a  3b .  x 2  x  4  0  1  17 7  65 x  x  2x  4  3 x   2  x 2 2  x  7 x  4  0 2.   1  17 7  65  S  ;     1  5 x 0  2 2   Vậy tập nghiệm của bất phương trình là.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> 11.. 4  x 2  2 3 x 4  4 x 3  4 x 2 ( x  1)2  1  x (Trích đề thi thử ĐH Vinh 2015) 2. Điều kiện: 4  x 0   2  x 2 Phương trình đã cho tương đương :. x Ta có: Suy ra. 4  x2. . 2. x  4  x 2  x 2  2 x  2 3 ( x 2  2 x)2  2. 4  2 x 4  x 2 4,. x  4  x 2 2,. với mọi. với mọi. (1). x    2; 2. x    2; 2. (2). Dấu “=” ở (2) xảy ra khi x 0; x 2 . 3 2 t    1; 2 x    2; 2 Đặt t  x  2 x . Điều kiện với mọi. Khi đó VP (1) chính là. f (t ) t 3  2t 2  2, t    1;2.  t 0  f '(t ) 3t  4t 0    t 4 3  2.  4  22 f ( 1)  1, f (0) 2, f    , f (2) 2  3  27 Hơn nữa, ta lại có. t    1; 2 Suy ra f (t) 2 với mọi Do đó:. x 2  2 x  2 3 ( x 2  2 x) 2  2 2 với mọi x    2; 2. Dấu “=” xảy ra ở (3) khi x 0; x 2 . Từ (2) và (3) chúng ta có nghiệm của phương trình (1) là x 0; x 2 Vậy phương trình trên có 3 nghiệm. 12.. 2 2  2 x  30 xy 5( x  5 y ) 5 xy  50 y  2 2  2 x  y 51. Điều kiện: xy 0 Hệ phương trình tương đương:. x 0; x 2. ( Trích Đề thi thử ĐH Hồng Quang 2015). (3).

<span class='text_page_counter'>(10)</span> 2 2 2   2 x  30 xy  50 y 5( x  5 y ) 5 xy 2( x  5 y )  10 xy 5( x  5 y ) 5 xy   2  2 2 2   2 x  y 51 2 x  y 51. Do xy 0 không thoả mãn, từ phương trình (1) suy ra x  5 y  0 lại có xy  0 nên x  0; y  0.  x  5y 5 xy 5   (1)   5 xy x  2 y 2  2 2 x  y 2 51(2) Hệ phương trình   x  5y t 2, x  5 y 2 5 xy ) 5 xy Đặt (vì theo BĐT Cosi 1 5 t    t 2  x  5 y 2 5 xy t 2 Phương trình (1) trở thành suy ra x 5 y Thế x 5 y vào (2) ta được: x 5; y 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) (5;1). ( x  1)( y 1)( xy  4) 20  (1) 2  2 2 2 x  y  xy  12  x y  24 xy  (2) 13. . . . (Trích Đề số 30 của ĐTN-Mathlinks). Điều kiện: x; y 0. . 2. 20 ( x  1)( y  1)( xy  4) ( xy  4). . Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:. Từ phương trình 1 của hệ, ta có:. . . x y. . 2. . 20 xy  4. Từ phương trình 2 ta có:. 2. . x y. . 2.  xy  12 . .   xy  4  xy  12  Đặt t  xy ( t 0 ). x 2 y 2  24 xy . . x 2 y 2  24 xy 40. . ( x  1)(y  1) . 40 xy  4. x y. x y. . 2.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> . . t 2  24t 40. (t  4) t  12 . .  144(t  4) 40 t  12  t 2  24t. .  13t  12 5 t 2  24t  144t 2  288t 144 0  (t  1)2 0  t 1  xy 1.  x  y 2   xy 1 Với xy 1 , ta có hệ phương trình .  x 1   y 1. Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( x; y ) (1;1).  5  8 y2 y 1  8 y  x     8 xy   x x xy    (1) 8( x 2  y 2 )  1 5  xy (2) ( Đặng Thành Nam) 14. . . . Điều kiện: x, y  0. 8( x 2  y 2 )  Phương trình 2 của hệ tương đương:. 5  8 y 2 8x 2  Thay. 8x2  8. . 8 . . y. . x  y. y. x. . x  8x . 1 1 5  5  8 y 2 8 x 2  xy xy. 1 xy vào phương trình 1, ta có :. 1 xy. . y 1   8 xy   x xy . 1 1 8 y  x xy x xy.  x  x  y 0  ( x  y )  1   .  1  0  y  x . TH1: x  y ,phương trình 2 của hệ tương đương:.  x y   x  y 1.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> 1 5  16 x 3  5 x  1 0  (4 x  1)(4 x 2  4 x  1) 0 x 1 1   x 4  y 4  ( x  0) 17  1 17  1   x  8  y  8. 16 x 2 . x  y 1 . Áp dụng bất đẳng thức AM-GM. TH2:. 1 1  4 2 xy  x  y    2   2. 2  8( x 2  y 2 ) 4( x  y ) 2  2( x  y )   ( x  y ) 2  . 8( x 2  y 2 )  Cộng 2 vế trên của bất đẳng thức, ta có. Vậy hệ phương trình trên có nghiệm. . x y. . 4. 1. 1 1 5 x y  xy 4. . Dấu “=” xảy ra khi.  1 1   17  1 17  1  ( x; y )  ;  ;  ;  8   4 4  8. (1)   x  y  1  xy  x  y 1 12 xy (1)  2 2 (2) x 1  y  2 y  y 3x  2 x  1  xy  1 0 (2) 15. . 1 1  x 1;   y 1 2 Điều kiện: 2.  x  y 0    1 1   y 0   xy 0   x  y  1  xy  x  y  1  0 12 xy  PTVN  2 Nế u 2 1  x 1;0  y 1  xy 1(*) Suy ra 2. . Từ Đặt Do Từ. . . PT (1)  12 xy  2 xy  1 xy  2 xy  1. t  xy  t   0;1   12t 2 (2t  1)(t  1)2  (t  1)(2t 2  5t  1) 0. t   0;1  2t 2  5t  1  0  t 1  xy 1(**) (*). và. (**).  x  y 1. Vậy hệ phương trình ( x; y ) (1;1).

<span class='text_page_counter'>(13)</span>  x 2  y  2 x 2 y  y  3  2 2( x  y ) x 2  y  2 3 x 2  3 y  5 16.   x 2  y  2 0   2 x y  y  0  Điều kiện: . (1) (2). (Trích Đề số 39 Mathlinks- ĐTN).  y 0  2  x  y  2 0. PT (1)  x 2  y  3 2 ( x 2  1) y  x 2  y  1  y 1. PT (2)  3( x 2  y  2)  2  ( x 2  y  2)  2 y  2  x 2  y  2  1 0 Đặt. 2. t  x  y2. (3). ( t 0 ). PT(3)  3t 2  2(t 2  2 y  2)t  1 0 3t 2  2t 3  4t  1 1 4t  (t  1)2 (2t  1) 0  y. Dấu “bằng” xảy ra khi.  x2 1  y    y 1 t 1 .  x2 1  y  x 0    y 1  y 1  2  x  y  2 1. Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) (0;1). 1 17.. x 1. . . 2 x 2  2 x 1  x  1 x x. (*). (Huỳnh Kim Kha). Điều kiện: x 0 Xét x 0 không là nghiệm phương trình. Xét x  0 . Phương trình tương đương. . x x 1  1. . 2 x 2  2 x 1  x  1  x.  x2  x. .  x x.  Suy ra . . . . 2 x 2  2 x  1  x  1 x x. . x 1  1. . x 1  1. . x 1  1. . . x 1  1. . 2 x 2  2 x 1  x 1. . 2 x 2  2 x 1  x 1.  . 2x2  2x 1  x 1  1  x 1. 2 x 2  2 x  1 (1  x) x  1 (điều kiện x 1 ). . . 2x2  2x 1  x  1.

<span class='text_page_counter'>(14)</span>  2 x 2  2 x  1 (1  x) 2 ( x  1)  x ( x 2  3 x  1) 0  x 0 3 5   x 3  5 x  2  2. Vậy phương trình có nghiệm. x. 3. 5 2.  5 x 3  xy 2 2  x  y 3 x( x  1)  2 y 3x  2 y    2 y  x  3x  2 y 3  x 3  y 18. . Điều kiện:. (1) (2). (Bạn Bình Phương). 3 x 2 y 2  x 0  2 y x    y 0 3 x 2 y 3 . 5 x3  xy 2 PT (1)   3 x( x  1) 2 y 3 x  2 y 2 3 x  y 2 x y . 5 x 3  xy 2  y 2 3x 2 xy (*) t. x 0 y. . 5t 3  t  1 3t 2  (t  1) 2 (2t 1) 0  t 1 t 1. Đặt. PT(*). PT (2) . Mà. . 2 y  x  3 x  2 y 3 3 . 2 y  x  3x  2 y 3 . (4). x 2 y. 2 y  x 1  3 x  2 y 3  1 2. 2 y  x  1  3x  2 y3 1 2 2. Từ (4) và (5), ta suy ra x  y.  y  x  y 2  1 2 y  x  y(5).

<span class='text_page_counter'>(15)</span> Dấu “=” xảy ra các bất đẳng thức khi x  y 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) (1;1). 19..  29 x3  y 3 2 x3  3 y   3 2  x2  y 2   2 2 2 6 x  xy x  y   x(4 y  x)  2( x  2 y )  x 3  17 . (1) ( Bình (2)Phương). Vì x 0 không là nghiệm nghiệm của hệ phương trình. Xét 2 khả năng:. 4 y  x 0  x  4 y 0 x0     x  4 y  2 x  4 y 0  x 0 x  2 y  0 2 x  4 y  0   Với (Loại) 4 y  x 0 x 0   4 y  x  x  4 y 0  y 0 x  2 y  0  Với Khi đó ta có:. 2( x 2  y 2 )  ( x  y ) 2 ( x  y )2 0  2( x 2  y 2 )  x  y 3. 3. 2. 2. 2. 3. ( Áp dụng BĐT Bunhiacopxki). 2. 2x 2 x  2 x  x y  2 xy  y y( x  y) 2 x3  (2 x  y )    0  (2 x  y ) 2 2 x2  y 2 x2  y 2 x2  y 2 Ta lại có: x  y Khi đó :. 29 x 3  y 3 PT(1)   3 y (2 x  y )  3( x  y )  29 x 3  y 3 (5 x  y )(6 x 2  xy ) 2 6 x  xy  29 x 3  y 3 30 x 3  5 x 2 y  6 x 2 y  xy 2  x3  y 3  xy ( x  y) 0  ( x  y )( x  y ) 2 0  x  y Thay x  y vào (2). 17 17 PT (2)  x 3  6 x x 3  17  x   y  6 6.  17 17  ( x; y )  ;   6 6  Vậy hệ phương trình có nghiệm. . . . . (2  y ) x  2  x  x xy  1   2 x 2 y  xy 2  2 x 2  y 2  3xy 8 x  3 y  2 20. . (Nguyễn Thanh Tùng). Điều kiện: y 0;0  x 2. PT (1) . 2(2  y )( x  1)  x x  2 x. . . xy  1  (2  y )( x  1) 0. PT (2)  ( y  2)(2 x 2  7 x  1) ( y  2) 2 ( x 1)  6 x(3  x). (3) (4).

<span class='text_page_counter'>(16)</span> TH1:. x   1; 2  2 x 2  7 x  1  0  3  x 1 (Vô lí) mà VP (4)  0  y 2  0 nên. TH2:. x   0;1  2 x 2  7 x  1  0 mà VP(4) 0  y  2 0 nên (2  y )( x  1) 0. (5). Từ (3) và (5) ta suy ra y 2; x 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) (1; 2).  3 xy  3x  2 y  6  2( x  2) y  2  3 xy  2 x  y  2 1    2 x  1  3 y  3 x  2  2 x 2 y  7 x 3  7 x 2  6 x 0 21. . (1) (2) (Olympic toán 10 Nguyễn Du-Đắk Lắk). 1 x  ; y  2 2 Điều kiện:. PT (1)  3 ( x  2). Đặt. . . 2. y  2  1 1  3 ( x  1)( y  2). (3). a x  1  0; b  y  2 0. Từ (3), ta có:. 3. (1  a )(1  b) 2 1  3 ab 2.  1 3. 1 1 1 a b b . . 3 . . 1 a 1 b 1 b 1 a 1 b 1 b. (4). Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có: 3. 1 1 1 a b b 1 1 2  1 a 2b  . . 3 . .        1 1 a 1 b 1 b 1 a 1 b 1 b 3  1 a 1 b  3  1 a 1 b  2. x  1  y  2  y x  2 x  1 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a b hay Thay. y  x 2  2 x  1 vào PT(2), ta có:.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> 2 x  1  3 x 2  x  1  2 x 4  3 x3  5 x 2  6 x 0  .  . . 2x  1  1  2( x  1)  2 x  1 1. . 3. x 2  x  1  1  2 x 4  3 x3  5 x 2  6 x  2 0 x( x  1). 3. x. 2. 2.  2   ( x  1)   2 x  1  1    x 1  y 2 2  2 x  1 1 Vì.  ( x  1)(2 x  1)( x 2  2) 0.  x  1  x  x  1  1 3. 2.    (2 x  1)( x  2)  0 2 3   x 2  x 1  3 x 2  x 1  1  x. x 3. x. 2. 2. 2.  (2 x  1)( x 2  2)  0.  x  1  3 x 2  x  1  1. ,. x . 1 2. Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y) (1; 2).  2 1 y2 3 3  1  (1  x )(1  y ) (1  x )  (1  x )      3 3   2 x  y 2  8( x 2  y 2 )  12 xy  x(1  2 y )  y 22. .  1  x 1   1  y 1 Điều kiện:  Ta có:. 8( x 2  y 2 )  12 xy  ( x  y ) 2  7( x  y ) 2  x  y.  x(1  2 y )  y  x 2  y 2  8( x 2  y 2 )  12 xy x 2  y 2  x  y  x 2  2 xy  y 2 0  ( x  y )2 0  x  y Thay x  y vào phương trình 1 của hệ, ta có:. (1) (2). (Ngón Chân Cái).

<span class='text_page_counter'>(18)</span> . 2 1  x2  (1  x)    3 3. 2  2 (1  x)(1  x)  (1  x)3   2. 3. (1  x)  2 (1  x )(1  x )  (1  x )  2 1  x2 (1  x )3  (1  x)3      2 3 3 1 1  1 x  1 x 1  x  1  x 1  x  1  x 2 1  x  2  1 x2 2 3 1 1  2x 2  1  x2  2  1  x2 2 3 1 1 1  x 2  x  y 3 6 6 . . . . . . . . . . .  1 1  ( x; y )  ;   6 6 Vậy hệ phương trình có nghiệm. . .  x  y  x  y  1 2 x y  1  2 y x  1  2 y  (1)  4  x x  y  ( y  1) x  3 y xy  3x  1 (2) 23. . (Huỳnh Kim Kha). Điều kiện: x 1; y 0 Áp dụng bất đẳng thức AM-GM:. . x  y  1 2 x( y  1). . x y. . PT (1) : 2 x y  1  2 y x  1  2 y .   x  y 1 2 x. x y.  y x  1  y  xy ( y  1) . y. . xy  y  1 . . x( y 1) 0. y  1  2 xy ( y  1).   x  y 1 2 x. y  1  2 xy ( y  1).

<span class='text_page_counter'>(19)</span> Ta có:. y 0 . xy  y  1 . x( y  1) 0. xy  y  1  x( y  1). .  xy  y  1  2 xy  y  xy  x  x  1  y  2 y ( x  1) 0 . . x 1. y. . 2. 0 . x  1  y  x  y 1. PT (2)  4 x x  y  4 x 4 x  3 y 4  xy  3x  1 4 x 2  8 x  4 Áp dụng bất đẳng thức AM-GM:. 2.2 x x  y 2( x 2  x  y ) 2 x 2  4 x  2. (3). 4.1. x . x . 4 x  3 y 1  x 2  x 2  ( x  3 y ) 2 x 2  x  3 y  1 2 x 2  4 x  2 Lấy (3)+(4).  4 x x  y  4 x 4 x  3 y 4 x 2  8x  4. Dấu “=” xảy ra  x 1  y 0 Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) (1; 0). 24.. 3x 2  y 2  2 x  y( x  1)  4 x 2 x  y   2 14 xy  6 y 2 x3  y 3 x   x  9 x 2  xy  y 2 . (1) (Bạn (2) BÌnh Phương). 2 x  y 0   2 14 xy  6 y 2 0 x  9  Điều kiện:. PT (2)  Ta có:. x2 . 14 xy  6 y 2 x3  y3 x  2 9 x  xy  y 2 0.  x 2 y  xy 2  y 3 0  y ( x 2  xy  y 2 ) 0. (*). (4).

<span class='text_page_counter'>(20)</span> Ta lại có. PT (1) : 4 x 2  4 x 2 x  y  2 x  y  x 2  xy  y. .  x 2  xy  y 2  2 x . 2x  y. . 2.  x 2  xy  y 2 0 Do đó, từ (*) suy ra y 0 kèm theo x 0 .. x3 2 1 y3 2 1  x  y, 2  y x 2 2 2 3 3 x  xy  y 3 3 Ta có: x  xy  y Biến đổi tương đương, ta có:. 3 x3 (2 x  y )( x 2  xy  y 2 )  ( x  y)( x  y ) 2 0 (luôn dương vì x  x2  Xét PT(2), ta có:. . x  y 0 không thoả mãn hệ pt). 9 x 2  14 xy  6 y 2 1 14 xy  6 y 2 x3  y3  2   ( x  y) 9 x  xy  y 2 3 3. 9 x 2  14 xy  6 y 2 2 x  y.  5( x  y )2 0  x  y. 2. . x  2x  Thay x  y vào PT(1), ta được:. x. . 2.  x 1  y 1  x 2 x  x    x 1  y 1 x  x  2 x  9 9 . 1 1 ( x; y ) (1;1);  ;  9 9 Vậy hệ phương trình có nghiệm. 6 1 1   x4 2x  2 3 2 x 25.. Điều kiện:. Đặt.  14 2  x  0  x  9  2  3 2  x  0. t  2 x . 2  x t 2  2 3. (Công phá kì thi THPT Quốc Gia).

<span class='text_page_counter'>(21)</span> 6 1 1   t 2 t 3t  2 2 2 t 2 t 2   6 t 3t  2 t2  2 t2  2   3  3 0 t 3t  2 PT . . 2. t 2  3t  2 t 2  2  3 3t  2  0 t 3t  2. . 2 t 2  3t  2 t  3t  2  3 t    t 3t  2 2. t 2  3t  2   t. t  3t  2 . 3t  2.  0. 3  t 2  3t  2 . t  3t  2 0 3t  2 3   1   1   t 2  3t  2    t  3t  2  0 3t  2 t     . t Do. 2 1   3 t. 1. 3 t  3t  2 3t  2.  t 1  t 2  3t  2 0     t 2.  2  x 1  x 2    x  1  2  x 2. Vậy phương trình có nghiệm x 2; x  1. 26.. 113 3 x 3  4 x 2 y  2 xy 2  6 3 4( x3  y 3 ) 17 x  6 y   x  4 y  3 2 x  y  2 x   y.  x 0  y 0 Điều kiện: . (Bạn Bình Phương).

<span class='text_page_counter'>(22)</span> Áp dụng bất đẳng thức AM-GM:. 6 3 4( x 3  y 3 ) . PT  17 x  6 y 113 3x 3  4 x 2 y  2 xy 2  6 3 4.. 6 3 4.. ( x  y )3 4. ( x  y )3 4. 113 3x3  4 x 2 y  2 xy 2  6( x  y ).  11x 113 3 x3  4 x 2 y  2 xy 2  x  3 3 x 3  4 x 2 y  2 xy 2  x3 3 x3  4 x 2 y  2 xy 2  2 x 3  4 x 2 y  2 xy 2 0  2 x( x  y )2 0  x  y Thay x  y vào phương trình 2 của hệ, ta có: 4. x  3 x  2 x  1. . . 2x . 4. . x  3  ( x  1) 0. 4 x2  x  3  ( x  1) 0 A  4x  3   ( x  1)   1 0  A   x 1  y 1 . Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y) (1;1). . .  x  y  1 (4 x  4 y  1) 4 x 5 y  1  ( y 1) 5 x  6   2 2 2  2  x  2 x  5 ( y  1)  4( y 1) x  1 2 x x  7 x  2 27. . . . Điều kiện:. x. 6 1 y 5; 5.. (1) (Huỳnh(2) Kim Kha).

<span class='text_page_counter'>(23)</span> . PT (1)  4( x 2  y 2 )  5 x  3 y  1 4 x 5 y  1  ( y  1) 5 x  6. .  4 x 2  4 x 5 y  1  5 y  1 4 y 2  8 y  4  4( y  1) 5 x  6  5 x  6. .  2x . TH 1: 2 x . 2.  . 5 y  1  2( y  1) . 5 y  1 2( y  1) .  2( x  y  1)  5 x  6 . 5x  6. .  2x    2x  . 2. 5 y  1 2( y  1)  5 x  6. . 5 y  1  2( y  1)  5 x  6. . 5x  6. 5 y  1 0  2( x  y  1) . 5( x  y  1) 0 5x  6  5 y  1.   5  ( x  y  1)  2   0  x  y  1  5 x  6  5 y  1   2 Do. 5 0 5x  6  5 y  1. Thay x  y  1 vào PT(2), ta có:. 2. . x 2  2 x  5 ( x  2)  4 x x 2  1 2 x x 2  7 x  2.   2. x  7 x  2  0   2 x ( x  2)(3 x  1) x  2 x  5  ( x  2)  0 2 x 1  x  7 x  2.  2  x 2  2 x  5 ( x  2)  2 x 2 x 2  1 . 2. 2. 2. 2.   6x2  2x 2  ( x  2)  2  x  2 x  5   0  x 2  y 1 2 x2 1  x2  7 x  2  . TH 2 : 2 x . . 5 y  1  2( y  1) . . 5 x  6  2( x  y  1)  5 y  1  5 x  6.  4 x 2  4 y 2  4  8 xy  8 x  8 y 5 x  5 y  7  2 5 y  1 5 x  6. . .   x 2  2 x  1   y 2  2 y  1  5 y  1  2 5 y  1 5 x  6  5 x  6  3 x 2  3 y 2  8 xy  16 0  ( x  1) 2  ( y  1) 2 . Do:. . 5y  1 . ( x  1) 2  0;( y  1)2 0;. . 5x  6. 5y  1 . . 2.  3 x 2  3 y 2  8 xy  16 0  PTVN. 5x  6. . 2. 6 1 0;3x 2  3 y 2  8 xy  0, x  ; y  5 2. Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) (2;1) 2 2 3 2 28. ( x  2 x  1) x  x  1  x  4 x  2 x  1 (Trích đề 28 của ĐTN-Mathlinks).  ( x  1) 2 x 2  x  1 ( x  1)3  ( x 2  x  1)  2( x  1)  1.

<span class='text_page_counter'>(24)</span>  a  x 2  x  1 0  b x  1 Đặt . PT  b 2 a b3  a 2  2b  1   b  (a  1)   b 2  b  ( a  1)  0  b a  1  2  b  b  ( a  1) 0  x  x 2  x  1(VN )   x 2  x  1  x 2  x 1 0  x2  x 1 . x 2  x 1  2 0.  x 2  x  1  1(VN )   x 2  x  1 2  x 2  x  1 0   1 5 x 2   1 5  x   2. Vậy phương trình có nghiệm. x.  1 5 1 5 x  2 2 ,.  x( y 2  16)  7 x 2  5( x  y )  5 (1  2 y ) 3  y (3 x  7)  5  2 2 2 2  4 x( x  y )  y  16  4( y  xy  4)  x  9( x  y )  64 0 29. PT (2) . (1) (Ngón(2) Chân Cái). 4 x ( x  y )  y 2  16  4( y 2  xy  4)  x 2  9( x  y )2  64. Áp dụng bất đẳng thức Mincopxki, ta có:. VT  4 x( x  y)  y 2 16  4( y 2  xy  4)  x 2  (2 x  y ) 2  42  (2 y  x )2  42  (2 x  y  2 y  x) 2  (4  4) 2  9( x 2  y 2 )  64 VP Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x  y.

<span class='text_page_counter'>(25)</span> PT (1)  x 3  7 x 2  16 x  5 (1  2 x) 3  3 x 2  7 x  5  ( x  2)3  x 2  4 x  3 (1  2 x ) 3 (1  2 x)( x  2)   x 2  4 x  3  Thay x  y vào phương trình 1 của hệ, ta có: Đặt. a x  2; b  3 (1  2 x)( x  2)   x 2  4 x  3  .. a 3 (1  2 x) b   x 2  4 x  3   (*)   3 2 b (1  2 x) a   x  4 x  3   b3  a 3 (1  2 x)(a  b)  (b  a )(a 2  ab  b 2  1  2 x ) 0  a b  2 2  a  ab  b  1  2 x 0 2. b  3a 2  4  8 x  TH 1: a  ab  b  1  2 x 0   a    0 2 4  2. 2. 2. b  3( x  2)2  4  8 x   a   0  2 4  TH 2 : a b . 3. 2. b  3 x 2  4 x  16  a  0  PTVN    2 4 . (1  2 x )( x  2)   x 2  4 x  3  x  2.  x  3  y  3   x 3  9 x 2  19 x  3 0  ( x  3)( x 2  6 x  1) 0   x  3  2 2  y  3  2 2  x  3  2 2  y  3  2 2  Vậy hệ phương trình có ba nghiệm. 30.. . ( x; y ) ( 3;  3);(  3  2 2;  3  2 2);(  3  2 2;  3  2 2). 3  x  2 x 2  x  1 4 x 1  x  x 2  x  1. . 2. (Trích đề số 40 ĐTN-mathlinks). (*).

<span class='text_page_counter'>(26)</span> . . 2.  2 x 2  x  1  2 x  3 x 2  2 x  2 x 2  x  1  x 2    2 x 2  x  1  2 x  3  x  2  2 x  2 x 2  x  1  1  . .   2 x  x  1  2 x  3  x  2 x  x  1  2 x  3 2 x  x  1  2 x  1   2 x  x  1  2 x  3 2 x x  x  1  2 x  x  1 0   2 x  x  1  2 x  3 2 x  x  1  2 x x  x  1  0   2 x  x  1  2 x  3 x  x  1  2 x x  x  1  x  0   2 x  x  1  2 x  3 x  x  1  x  0 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2.  2 x 2  x  1 2 x  3   x 1  x 2  x  1  x Vậy phương trình có nghiệm x 1 . 2   x  y  8 xy 2 x  4 x  y  3  10( y  1) 2  x  y  2 14 x(1  y ) 31.  (Nguyễn Minh Thành).  x 0  y 0 Điều kiện: . PT (1) . x  y  (2  x)  (3  2 y)  (2  x)(3  2 y) 2 x 2  6 xy  5 y  14. (3). Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:. x 1 y 1   (2  x) 2  (3  2 y ) 2  1 2 2 2 2 2 x  8 y  7 x  23 y  30 (3)  2 x 2  6 xy  5 y  14  2 2 2  2 x  8 y  12 xy  7 x  13 y  2 0(4) x  y  (2  x)  (3  2 y )  (2  x)(3  2 y ) . Mặt khác, ta có:. PT(2)  10 y 2 14 xy  19 y  13x  8 0 Cộng vế theo vế. (5). (4)  (5)  2 x 2  2 y 2  2 xy  6 x  6 y  6 0  ( x  y  2) 2  ( x  1) 2  ( y  1) 2 0  x  y  2 0  x 1    x  1 0   y 1  y  1 0 . Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) (1;1) ..

<span class='text_page_counter'>(27)</span> x 2y   1  2 2 2 4 x  5 y 4 y  5 xy   xy 3  1  x  1 1  3 2 x  1 32. . . . (1) (2). . (Trích đề số 21 của ĐTN-Mathlinks).  xy 0  x  1 . Nhận thấy x  y 0 không là nghiệm của hệ phương trình. Điều kiện:  Đặt x ty , ta có:. PT (1) . ty 2. 4t y  4 y. t. . 2. 4t 2  5. 2y. . 2. 1. 2. 4 y  5ty 2. 2 1 5t  4. .  t 5t  4  2 4t 2  5  4t 2  5. 5t  4. .  t 5t  4  2 4t 2  5. . 2.  4t 2  5   5t  4 .  (t  1) 2 (45t 2  2t  1) 0  t 1  x  y Thay x  y vào PT(2), ta có:. . PT (2)  x 4   x4 . x x 1  1.  x3 x  1  x 3 . . x 1 1. . 3. 3. 3. . 2 x 1 1. . 2 x 1 1. 2 x  1  1 0. . .  x3 x  1  x 2 ( x  1)  x 2  x  1  x . . . . 3.  x 2 x x  1  ( x  1)   x 2  x  1  x . 2 x  1 0 3. . 2 x 1 0. x3  2x  1 x3  2 x  1 2  x.  ( x  x  1)  x x  1  ( x  1) x 2  x 3 2 x 1  3 2 x  1 2. .  x 2 ( x  1) x 1  ( x  x  1)  1   x x  1  ( x  1) x2  x 3 2x 1   2. . 3. . 2. 0.   0 2  2x 1  .  1 5 1 5  y x 2 2  x 2  x  1 0    1 5 (loai ) x  2.  1 5 1 5  ( x; y)  ;  2 2   Vậy hệ phương trình có nghiệm. .

<span class='text_page_counter'>(28)</span>  y2  y 3 x y   x2  x   2 y  2 y  92  33. . (1) x 4  2 x 2 y  1  x  93  2  x 4  2( y  1) 2 x  2  y  92. (2) (Huỳnh Kim Kha).  x 2  y 1 . Điều kiện:  Ta có:. . . 3. PT (1) . 3. x  y x2  x  y2  y.  . x  y x2  x . . . x2  x. . x2  x .. 3. x2  x .  . x2  x . x2  x . x y  1 . x y 1. . 3.   ( x  y  1)     x  y 1. x y. . 2. .  3 x  y 1. . y 2  y 0. . y 2  y 0 ( x  y )( x  y  1) x2  x  y 2  y.   0  2 2 2 x  x  y  y  x  y  3 x  y 1  x2  x. . 3. 0. x y. . Thay x  y  1 vào PT(2), ta có PT (2) . x 2  91 . x 4  2 x 2 x  2  x  93  2  x 4  2 x 2 x  2  x  93. 4 2 Đặt t  x  2 x x  2  x  93 0. . . 2.  t 2  x 4  2 x 2 x  2  x  93  x 2  x  2  91. .  t 2  91  x 2  x  2. . 2.  t 2  91  x 2  x  2. 2 2   x  91  t  2  t  2  t  91  x  2  x 2 Ta có hệ phương trình: . Lấy (3)  (4) . . x 2  91 . x2  t 2 x 2  91  t 2  91. . t 2  91  t  2 . (3) (4)  t 2 x  2  t 2  x2. x t  x 2  t 2 0 t  2  x 2.   x t 1  (x  t)    x  t  0 2 2 t 2 x 2  x  91  t  91   x  t 0  x t.

<span class='text_page_counter'>(29)</span> x 2  91  x  2  x 2. Với x t , ta có: PT (3) . . .  . 2. . x  2  1   x  9  0 . x  91  10 . 2. . x 3  ( x 2  9) 0 x  2 1. x  91  10  x 3  1  x  3  0   x 3   x  2 1  2  x  91  10.  x 3  ( x  3)   2  x  91  10 x 2  91  10  1 . x 2 . x2  9. 2. x 3 2. x  91  10.  x 3. x 3 2. x  91  10. . 1  x  3 0(*) x  2 1 1   x  3   x  2 1.  x 3  y 2 Vậy hệ phương trình có nghiệm. 3  2x2  2x x2  3  34.. ( x; y ) (3; 2). 3. 1  1  3 x 4 (Trích đề số 33 của ĐTN-Mathlinks) 3 BPT  x 2  3  2 x x 2  3  x 2  1  1  3x 4 2 3  x2  3  x  1  1  3x4 9 3   2 1  1  3x 4 x2  3  x. . . . .  3  3 1  3x 4  2 x 2  3  2 x x 2  3  3 1  3x 4  2 x2  2 x x 2  3 Áp dụng bất đẳng thức Cosi-Svac, ta có:. 3 1  3x 4 . 3 3 1  3 1  3 x 4   1  3x 2  2 2. 3 1  3x 2  2 x 2  2 x x 2  3  Ta chứng minh 2 . Thật vậy, bất đẳng thức tương đương: 5 x 2  3  4 x x 2  3 0  x 2  3  4 x x 2  3  4 x 2 0 . . x2  3  2x. . 2. 0. Bất phương trình cuối đúng 4. 2. 2. Suy ra 3 1  3 x 2 x  2 x x  3 . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x 1 . Vì bất phương trình dấu lớn hơn. Vậy tập nghiệm bất phương trình. S  \  1. 1 0 x  2 1.

<span class='text_page_counter'>(30)</span>  2x2  4 y2  2 3 4    ( x  y)  1   xy  y x  2  x  xy  3x  2( x  y  3)  x  y  3  35. . . Ta có:. . PT (1)  2 x 2  4 y 2 4.  2 x  3 y  x( x  y) y . (1) (2) (Lệ Văn Đoàn). xy.  4 y 2  4 xy  2 x 2  3xy 2 (2 x 2  3 xy )(4 y 2  3 xy ) 2. 2. 2. Đây là dạng a  b 2ab  a b  a b. 2.  x 4 y 4 y 2  4 xy 2 x 2  3 xy  2 x 2  7 xy  4 y 2 0    y  2 x Hay. Ta lại có. PT (2) . x  y 3 . x. xy  3x. . 2.  2( x  y  3)  2( x  y  3).  x  y  3  2 x( y  3) 2( x  y  3)  x  y  3  2 x( y  3) 0 . . . x. y 3. . 2. 0. x  y  3  x  y  3 (4). Từ (3) và (4), suy ra.  x y  3    x 4 y   x y  3    y  2 x. (3).   x 4    y 1   x 1    y  2. Thử lại, vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) (4;1).

<span class='text_page_counter'>(31)</span> 36.. Điều kiện:. Xét. (1).  ( x  2 y  1) 2 y  1 ( x  2 y ) x  1   2 xy  5 y  ( x  1)(2 y  1).  x  1 0   2 y  1 0. x   1; y . (toán (2)học 24h).  x  1   1 1 x  1; y   y  2 2 không là nghiệm của hệ phương trình. . Nhận thấy. 1 2 , ta có:. PT(1)  ( x  2 y  1) 2 y  1  ( x  2 y ) 2 y 1 ( x  2 y ) x  1  ( x  2 y ) 2 y  1  (4 y  1) 2 y  1 ( x  2 y )  (4 y  1) 2 y  1   4 y  1 0  y . . x 1 . 2 y 1. . ( x  2 y )2 x 1  2 y 1. 1 4. Ta lại có phương trình (2) tương đương:. 2 y 1 2x  5 2 1 2 1    2   2 6 1  1 2 y y y x 1 4  4 .  2 x  5 2 6( x  1) 2.   2 x  5  24( x 1) 2.  4 x 2  4 x  1 0   2 x  1 0  x . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi. y. 1 2. 1 4..  1 1 ( x; y )  ;   2 4 Vậy hệ phương trình có nghiệm. 1  y  4 .

<span class='text_page_counter'>(32)</span> (1).  x x 2  y  y  x 4  x3  x   9  x  y  x  1  y ( x  1)  2 37. . (2) (k2pi.net.vn).  x 1  y 0 . Điều kiện:  Ta có:. x 4  x2 y  y  x4  x3  x. PT (1) .  . . x4  x2 y . . x 4  x 3   y  x  0. x 2 ( y  x) x 4  x 2 y  x 4  x3.   y  x  0.   x2  ( y  x)   1  0  x 4  x 2 y  x 4  x3     x y Thay x  y vào PT(2), ta có:. PT (2)  x  x  x  1  x( x  1) . 9 2. 25   5  3  15    x    x     x  1     x ( x  1)   0 16   4  4  16   25   9  25 25 x x  x x    25 16   16  16  16    x  0 5 3 15 16 x x 1 x( x  1)  4 4 16     25  1 1 1   x   0  1 5 3 15  16    x x 1 x ( x  1)   4 4 16   25 25  x  y 16 16.  25 25  ( x; y )  ;   16 16  Vậy hệ phương trình có nghiệm.

<span class='text_page_counter'>(33)</span> . . . (1).  2 x  1  4 x 2 y  1  y 2 1    x x  y  xy  1 2 xy  x  y  1 38. . (2) (Công phá kì thi THPT Quốc gia). Điều kiện: x  y  xy  1 0. PT (1)  2 x  1  4 x 2  Ta có:.  y  2x  1  4x2 . 1 2. y  y 1 y 2  1 0. 4x2  y 2.  y  2x .  y2 1  y. 1  4 x 2  y 2 1. 0.   2x  y  0  ( y  2 x)  1  2 2   1  4 x  y  1    ( y  2 x). Mà. . . 1  4 x 2  y 2  1  2 x  y 0. 1  4 x 2  y 2 1  2 x  y   2 x  y  2 x  y  0.  y  2 x Thay y  2 x vào PT(2), ta có:. PT (2)  x 2 x 2  3 x  1  4 x 2  3 x  1  x 2 x 2  3 x  1  2 x 2  3 x  1  6 x 2  t. x 2 x 2  3x  1 x. 1 . 6x2 2 x2  3x  1. 2 x 2  3x  1 PT (2)  t 1  6t 2.  1  t 3    t  1  2. x 1   3  17  3  17  x   y    2 3 4 2  2 x  3x 1   x 1  3  37 3  37  x  y    2  4 2  2 x  3x 1 2.  3  17  3  17   3  37 3  37  ( x; y )  ; ;  ;   4 2 4 2     Vậy hệ phương trình có nghiệm.

<span class='text_page_counter'>(34)</span> . .  x  y 6 1  xy   6 2( x 6  y 6 ) x  2 3  2( x 2  y 2 ) 2 x  xy  y 39. . (1) (2). (Công phá kì thi THPT Quốc Gia). Điều kiện: xy  0 Ta chứng minh bất đẳng thức sau:. 3 x 4  x 2 y 2  y 4 x 2  xy  y 2  9  x 4  x 2 y 2  y 4   x 2  xy  y 2 . 2.  ( x  y) 2  4 x 2  7 xy  4 y 2  0 2 2 2 2 6 2( x 6  y 6 ) 6 2( x 2  y 2 )( x 4  x 2 y 2  y 4 ) 2 2( x  y )  x  xy  y    2 2( x 2  y 2 ). 2 2 2 2 2 2 x  xy  y x  xy  y Ta có: x  xy  y. Từ PT thứ 2 của hệ, ta suy ra. 3  2( x 2  y 2 ) =. x. 6 2( x 6  y 6 ) 2 2 x 2  xy  y 2  x  2 2( x  y ).  3  x  2( x 2  y 2 )(1) Áp dụng bất đẳng thức AM-GM trong phương trình 1, ta có:. x  y 6  6 xy 6  3( x  y)  2 x  y 3(2) Lấy. (1)  (2)  x  y  2( x 2  y 2 )  x  y. Dấu “=” xảy ra khi x  y 1 . Hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) (1;1).

<span class='text_page_counter'>(35)</span> . . . (1).  x2 1  y y 2 1  x 1   3x3  2 y 2  2  3 y 3  x 2  2 x  1  2 2  y  x  1  40. u  x 2  1  x  u, v  0    v  y 2  1  y Đặt:. (2) (Công phá kì thi THPT Quốc Gia). u  x  x 2  1  v  y  y 2  1.  u 2 1 x   2u  2 v 1  y 2 2 2  u  2ux  x x 1  2v   2   2 2 u2  1 v  2 xy  y  y 1  2 x  1 u  x   2u  2  y 2  1 v  y  v  1  2v  u 2  1 v 2 1   v 2  1 u 2  1  PT (1)       1 2u 2v   2v 2u   Ta có:.   v(u 2  1)  u (v 2  1)   u (v 2  1)  v(u 2  1)  4u 2 v 2   uv(u  v)  u  v   uv (u  v)  v  u  4u 2v 2  u 2 v 2 (u  v) 2  (u  v) 2 4u 2 v 2   uv  1  uv(u  v) 2  (u  v)2  0  uv 1. . . x2 1  x. . . x2 1  x . . x2 1 . . . y 2  1  y 1 1 2. y 1  y.  y2 1  y. y 2  1  x  y 0. x2  y 2 x 2 1  y 2 1.  x  y 0.   x y  ( x  y)   1 0  x2 1  y 2 1   . . .  ( x  y ) x  y  x 2  1  y 2  1 0. Do. x  y  x 2  1  y 2 1  x  y  x  y 0  x  y.

<span class='text_page_counter'>(36)</span> Thay x  y vào PT(2), ta có:. PT (2)  . 3x3  2 x 2  2   3 x3  x 2  2 x  1 2 x2  x 1. 3 x 3  2 x 2  2   3 x3  x 2  2 x  1 2( x 2  x  1). Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:. 3x3  2 x 2  2 1 2  3 x3  x 2  2 x  1  1  3 x3  x 2  2 x  1  2. 3x3  2 x 2  2 .  VT  3 x 3  2 x 2  2   3 x3  x2  2 x  1 . Dấu “=” xảy ra khi. 4( x 2  x  1)  ( x  1) 2 2( x 2  x  1) VP 2. 3 x 3  2 x 2  2 1  3 2  3 x  x  2 x  1 1  x  1  y 1 ( x  1) 2 0 . Vậy hệ phương trình có nghiệm. ( x; y ) (1;1). 2 x  y  1  2 x  1  4 x3  3 y 2  2   x2  2 3x  2 y 2x2  4x  y  4 2   6 2 2 41. . (1) (2). (Công phá kì thi THPT Quốc Gia). Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có:. 4 x3  3 y 2  2  2. 2  x  y  1  1. 2 x  1  (2  1)  2  x  y  1  2 x  1  3(4 x  2 y  3) 3(4 x  2 y  3)  4 x 3  3 y 2  2. Ta chứng minh bất đẳng thức sau: Thật vậy, bất đẳng thức tương đương:. 3(4 x  2 y  3) 4 x 3  3 y 2  2.  4 x3  3 y 2  11 12 x  6 y 4( x3  1  1) 4.3 x 12 x   2 3( y  1) 3.2 y 6 y Áp dụng bất đẳng thức Côsi:  . Suy ra bất đẳng thức trên đúng. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: x  y 1 Ta thay vào PT(2) thấy luôn thoả mãn. Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) (1;1).

<span class='text_page_counter'>(37)</span>  x  1  x  2 y 2  4 y  1  y (2 x  11  3 y 2  9 y )  2 x  5   (9 y 2  18 y  4) x  2  1 2  (2 x  4) x  2   x 1 4  x  x  5  42. (Huỳnh Kim Kha) Điều kiện: 2  x 4. PT (1) . x  1  ( x  1)  2( y  1) 2   y  2( x  1)  3 y 2  9 y  9   2 x  5.    . 3. . Do:. .  x 1 x 1. 2. x  1  2 x  1  y  1 2 y ( x  1)  3 y 3  9 y 2  9 y  2( x  1)  3 3. 3. 2.  2 x  1  y  1 2( x  1)( y  1)  3( y  1) 3 2.  2( x  1)( y  1)  2 x  1  y  1  3( y  1)3 0. . . x  1  3( y  1) x  1  x  1  y  1  ( y  1) 2 0. x  1  x  1  y  1  ( y  1)2  0. x  1  3( y  1) 0 . x  1 3( y  1) (ĐK: y  1 )  x 9 y 2  18 y  8. 2. Thay x 9 y  18 y  8 vào PT(2), ta có:. PT (2) . ( x  4) x  2  1 2  (2 x  4) x  2  x 1 4 x x 5.  a  x  2 0  a 2  b 2 2  b  4  x 0 Đặt  1  ab 2 2(1  a 3 )  b2  b  1 1 a2   1  ab 2   1  a 2  2(1  a 3 )  b 2  b  1 PT .  1  ab 2  a 2  a 3b 2 2b 2  2b  2  2a3b 2  2a 3b  2a 3  a 3 (b 2  2b  1)  b 2  2b  1  b 2  ab 2  a 3  a 2 0  a 3 (b  1) 2  (b  1) 2  b 2 (1  a )  a 2 (a  1) 0  ( a 3  1)(b  1) 2  (a  1)(2a 2  a 2  b 2 ) 0  a 3  1)(b  1) 2  (a  1)(2a 2  2) 0  ( a 3  1)(b  1) 2  2(a  1) 2 (a  1) 0.  x  2 1 a  1 0    x 3  b  1 0  4  x 1 Dấu “=” xảy ra. 5   y  3 (loai)   y  1  3.

<span class='text_page_counter'>(38)</span>   1 ( x; y )  3;   3  Vậy hệ phương trình có nghiệm 1   2  2 x  y  2( x  y  1) 3 y (2 x  1)  2 x  y  1  1  x 43. . . (1) (2). . 1 x  ; y 0 2 Điều kiện: .. PT (1)  Ta có:. Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:. . (Bình Phương). 2 2. 2x  y.  4( x  y  1) 6 y (2 x  1). 6 y (2 x  1) 3( y  2 x  1). 2. 2  4( x  y  1) 3( y  2 x  1) 2x  y.  2  2   (2 x  y  1) 0  2x  y    2  (2 x  y  1)   1 0  2  2 x  y 1  2x  y       2 . . 2 x  y 1  TH1:. 2. 2. . 2x  y 1 2x  y. . .  1 0.  2 2  (2 x  y )  2 x  y   2 x  y  . Ta thấy. 2 x  y 0 ko là nghiệm của hệ . 2 x  y 1  TH2:. . . 2x  y 1 2x  y.  2 x  y 0 2 x  y 0    2 x  y 1. 2 x  y 1  2 x  y 1 . Suy ra 2 x  y 1. 2 2. . .  1 0.  2 2  (2 x  y )  2 x  y   2 x  y  . 2 x  y 0  0  2 x  y 1  2 x  y 1. Với 2 trường hợp  2 x  y 1 . Thay 2 x  y 1 vào PT(2).

<span class='text_page_counter'>(39)</span> 1 PT (2)  2 x  2 2 x  1   1 x 2x  1  2x  1 2 2x  1  0 x 1  2 x  1 0  x   y 0     2  2 x  1 2  1  x  x 1  y 1 . 1  ( x; y )  ;0  ;  1;1 2  Vậy hệ phương trình có hai nghiệm. 44.. ( x 2  xy  1)( y 2  xy  1) 1   1 1 2  2  3  x  x 1  y  1 y  x. (1) (2). (Trích đề 18 của ĐTN-Mathlinks) 2. 1 3  y    2 1 y  y 1 2 4 y   1 0  0   0  y  0 y y y Điều kiện: x 0 . Từ PT(2), ta có: 3 2 2 3 2 2 Ta có: PT (1)  x y  2 x y  xy  x  2 xy  y 0.  xy ( x  y ) 2  ( x  y ) 2 0  x y  ( x  y ) 2 ( xy  1) 0    xy 1 Do y  0  x  0. Với x  y ,. Với xy 1 ,. PT (2) . 1 1  3  x 2  x  1 x   1 2 x x. PT (2) . 1 1  3  x 2  x  1 x   1 2 x x . Suy ra ta chỉ cần giải 1 phương trình..

<span class='text_page_counter'>(40)</span> 3 x 2  1  x x 2  x  1  x 2  x  1(3). PT (2)   . 3 x 2  1  ( x  1)  x 2 x( x  1) 2. 3x  1  ( x  1). .  x( x  1) 2. . . . x 2  x  1  x 0 x( x  1) 2. x  x 1  x. . x 2  x 1  x . 0. . 3 x 2  1  ( x  1) 0.  4( x 2  x  1)  (3x 2  1)   ( x  1)   x  1 0 2 2  2 x  x  1  3x  1 . . .  ( x  1) 2 x  3  3x 2  1  2 x 2  x  1 0  x 1  y 1  2 2  3x  1  2 x  x  1  x  3(4) 2 2 Lấy (3)  (4)  ( x  2) x  x  1 x  2 x  2.   0  x  1  3 x  0    ( x  2)( x 2  2 x  2) 0    x 2  PTVN ( x  2) 2 ( x 2  x 1) ( x 2  2 x  2)2  2  9 x ( x  1) 0 Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) (1;1) =. 2  x( x  y )2  x 2  y 2  y ( x  y )  ( x  y  1) x  y 2( x  1) 45. . (1) (Huỳnh (2) Kim Kha). PT (1)  2  y 2  x 2  x( x  y )2 Thay vào PT(2), ta có:.  PT (2)  y ( x  y )  ( x  y  1) x  y 2 x  y 2  x 2  x( x  y ) 2  y ( x  y )  ( x  y  1) x  y  ( x  y )( x  y )  x ( x  y ) 2 2 x  x( x  y )  x( x  y ) 2  2 x  ( x  y  1) x  y 0  x  ( x  y )  ( x  y ) 2  2   ( x  y  1) x  y 0  x( x  y  1)( x  y  2)  ( x  y  1) x  y 0  ( x  y  1)  x ( x  y  2)  x  y  0  x  y 1   x ( x  y  2)  x  y 0 Ta lại có:. PT (2)  2 x  y ( x  y )  ( x  y  1) x  y  2.

<span class='text_page_counter'>(41)</span>  x( x  y)  y ( x  y )  ( x  y  1) x  y  2  x  y 0  ( x  y ) 2  ( x  y ) x  y  2 0 Đặt. x  y a 0  a 4  a 3  2 0  ( a  1)( a3  2a 2  2a  2) 0. 3 2 Do a  2a  2a  2  0, a 0  a 1  x  y 1  y 1  x. Thay y 1  x vào PT(1), ta có:. PT (1)  2  x  x 2 (1  x) 2  x. 1 4  y 3 3.  1 4 ( x; y )  ;   3 3 Vậy hệ phương trình có nghiệm.  13 x  4  (4 x  5)(2 x  y  2)  3 3 y  xy  x  y  1    x2  1 y 3 x 1 1   1  y  3 1         2 2  x  x x 1 x 1  x 1  46. . (1) (2) (Huỳnh Kim Kha). Điều kiện: x  1; y 3. PT (1)  13 x  4  x (4 x  5)  (4 x  5)( x  y  2)  2( y  1)  xy  x  y  1  ( y  1) 0    . 4( x  1) 2  (4 x  5)( x  y  2)  2( y  1)  ( x  1)( y  1)  ( y  1) 0 4( x  1) 2  4( y  1) 2  (4 x  5)( x  y  2) 4( x  1) 2  (4 x  5)( x  y  2)  2( y  1) 4( x  y  2)( x  y )  (4 x  5)( x  y  2) 2. 4( x  1)  (4 x  5)( x  y  2)  2( y  1) ( x  y  2)(8 x  4 y  5) 4( x  1) 2  (4 x  5)( x  y  2)  2( y  1). . ( x  1)( y  1)  ( y  1) 2 0 ( x  1)( y  1)  ( y  1). . ( y  1)( x  y  2) 0 ( x  1)( y  1)  ( y  1). . ( y  1)( x  y  2) 0 ( x  1)( y  1)  ( y  1).   8x  4 y  5 y 1  0  ( x  y  2)    4( x  1) 2  (4 x  5)( x  y  2)  2( y  1)  ( x  1)( y  1)  ( y  1)   8x  4 y  5 Do. 4( x  1) 2  (4 x  5)( x  y  2)  2( y  1). . y 1  0, x  1; y 3 ( x  1)( y  1)  ( y  1)  x y  2.

<span class='text_page_counter'>(42)</span> x2   x 1. PT (2) . Thay x  y  2 . Ta có:.  1   1  x  1  1  x 1  . x 1 x 1 1    2 2 x  x x 1. x2 x 1 x 1 1 x2   x 1  2   x 1 x2 x x 1 x 1. x2 x 1 a ; b  x  1; c  2  abc 1 x 1 x Đặt 1 1 1 ab  bc  ca PT (2)  a  b  c     ab  ac  bc a b c abc  a  b  c  ab  ac  bc  abc  1 0  ( a  1)(b 1)(c 1) 0  x2 1(VN )   a 1  x  1   b 1   x  1 1  x 2  y 4  2  c 1  x 1(VN )  x  1 Vậy hệ phương trình có nghiệm. . ( x; y ) (2; 4). . .  y  1 x  1 1  2  y 2 9  xy 2 (2  y 2 )    x  y  2  y 2  xy 2 (2  y 2 ) 4 47.  Điều kiện: x 0; . Lấy. (1)  (2) . (1) (2)đề 41 của ĐTN-Mathlinks) (Trích. 2 x  2.  y 1 . . . x 1 1  2  y 2 . x y . 2  y 2 5.  x  y  2  y 2  xy 2 (2  y 2 ) 4   2 2  y 2  y  x  1  x 2  y  y 4  Ta có hệ phương trình mới:. . . 2  a  y  2  y   b  x 0 Đặt . 2 a 2. 2  2a  2b  ( a  2)b 8  2 ( a  2)(b  1)  2 ab 8 HPT mới tương đương . 2a  a 2b 8   2 2  a b  a  2b  2ab 10. (3) (4).

<span class='text_page_counter'>(43)</span> Lấy 3.(3)  2.(4)  (a  2)(ab 2 a  2 b 2) 0.  a 2   b  2a  2 a 2 . TH 1: b . 2a  2  (3)  a 3  6a  8 0  PTVN a 2 do. 2 a 2 nên a 3  6a  8  0.  x 1  x 1  TH 2 : a 2  b 1      y 1  y 1   y  1  Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) (1;1); (1;  1). 2. 48.. 2. x  x 1. .. 1 2. x  x 1 1  x. x (Trích đề 29 của ĐTN-Mathlinks). Ta thấy x 0 ko là nghiệm của phương trình.. PT . 2. . x 2  x 1  1  x 2. x  x 1.  x. 2.  ( x 2  2) x 2  x  1  x 2  2 x  2 0  ( x 2  2) x 2  x  1  2( x 2  x  1)  x 2  2  2 a x 2  2  2 b  x  x  1 0 Đặt  PT  ab  2b 2 a  2  (b  1)( a  2b  2) 0  b 1    a  2b  2 0.  x 2  x  1 1   x 1  x 2  2 x 2  x  1 0(VN ). Vậy phương trình có nghiệm x 1.

<span class='text_page_counter'>(44)</span> 2 49. 4 x  x  4. x. . 4x2  x  4. 1 (Trích đề số 37 của ĐTN-Mathlinks). Điều kiện: x 0. 1 Ta có:. 2 4x  x  4. . . x 4x2  x  4. . 2 4x  x  4. . x 4 x 1  0  x  0. . Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có:.  1. 2 4x  x  4. . x 2. 4x  x  4. . 4 x  x  4  9(4 x 2  x  4) 2. 4. 2. 9(4 x  x  4). . x 2. 4x  x  4. 3 3. x 3(4 x  x  4) 2.  12( x  1) 2  0  x 1 Vậy nghiệm của bất phương trình x  0, x 1. 50.. x. 2.  x  1 2 . 1  2 1 1    x   2  x  1 4 x 2 x   3 x  x x  (Quyền Nguyễn).  1 2  x 0   x  1 0  1 2 x   3 0 x Điều kiện: . Đặt.  1 (2 x  1)( x  1) 1  a  2  0  ab   2x   3 x  x x b  x  1 0 . PT  ( x 2  b 2 )a  ( x 2  a 2 )b 4abx(*) Áp dụng bất đẳng thức Cosi, ta có:.

<span class='text_page_counter'>(45)</span>  x 2  b 2 0  ( x 2  b 2 )a 2 x ab 2 xab   a 0  x 2  a 2 0  ( x 2  a 2 )b 2 x ab 2 xab  b  0  Cộng lại, ta có VT (*) VP(*). 1 5 1 5  x a b  x  , x 0 x  2 2 Dấu “=” xảy ra mà 1 5 x 2 Vậy phương trình có nghiệm. 51. Ta có:. 2 x 2  2 x  2  3 y 2  2 y  2  25  (2 x  3 y  1) 2    2x  3 2x  1 2  . y 2  4 y  11  . x  2 x  5  26(y 3) 5  2    2. (Huỳnh Kim Kha). PT (1)  2 1  ( x  1)2  3 1  ( y  1)2  25  (2( x  1)  3( y  1))2.  PT (1)  2 1  a 2  3 1  b 2  25  (2a  3b)2 Đặt: a  x  1; b  y  1  4  4a 2  12 1  a 2 1  b 2  9  9b 2 25  4a 2  12ab  9b 2  1  a 2 1  b 2 1  ab  1  a 2  b 2  a 2b 2 1  2ab  a 2b 2  ( a  b) 2 0  a b  x  1  y  1  y  x  2 Thay y x  2 vào phương trình 2, ta có:. 2x  1  2x  3  PT (2)  5  . x2  7  . x 2  2 x  5  26( x  1) 2  2 . Đặt:. u  x 2  7  7   2 v  x  2 x  5  5. v 2  u 2 2( x  1)   v2  u 2  2 x    2.

<span class='text_page_counter'>(46)</span>   v2  u 2  2 3   v2  u 2  2 1   PT (2)  5     u    v  13(v 2  u 2 ) 2 2 2 2     v2  u2  1 v2  u 2  1   5 u v  13(v 2  u 2 ) 2 2    5(v  u )  (u  v ) 2  1 26(v  u )(v  u )   u v  u v     u  v 5(VN )  2  5  (u  v )  1 26(v  u )  1 u v  5 .  x2  7  x2  2 x  5   x 2  7  x 2  2 x  5 5.   x 1  y 3   27  5 57 69  5 57   x   y 48 48  27  5 57 69  5 57  x   y   48 48   27  5 57 69  5 57   27  5 57 69  5 57  ( x; y ) (1;3);  ; ;  ;    48 48 48 48     Vậy hệ phương trình có ba nghiệm.  4 xy  x  4 (2  x)( y  2) 14  2 x  y 2  2 x  1 0 52.  (toanhoc24h) Điều kiện: (2  x)( y  2) 0 2 2 2 2 Ta có: PT (2)  ( x  1)  y  2 0  ( x 1) 2  y.   2  x  2  y  2  0  2  x 0 2 2 Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có: 2 ( x  1)  y 2( x  1) y  y ( x  1)  1 0. Ta lại có:. PT (1)  4 xy  x  4 (2  x)( y  2)  14.  4 xy  4 y  4 (2  x)  4 (2  x)( y  2)  4( y  2). .  4( xy  y  1) . 2 x  2 y 2.  xy  y  1 0  y ( x  1)  1 0. Dấu “=” xảy ra.  y ( x  1)  1 0   x  2   2  x 2 y  2    y  1  x 1  y . . 2. 0. (3).

<span class='text_page_counter'>(47)</span> Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) (  2;  1).  xy (2  x 2  y 2 )  4  1  x 1  y  2  x2  y2 1   2 2 xy  1 2  x  y  2  x  y. . Bài tập tương tự:. .  y 3  x  9 2 x  5  3 xy 3  9 x  4  10   y  1  2 y  xy  x 2  2 y 2  2( y  2) x  10 y 53. . Điều kiện:. x. . . . (Huỳnh kim Kha). (Chiều Thu Thị Phạm). 5 ; y 1; 2 y  xy  x 2 0; 2 y 2  2( y  2) x  10 y 0 2. Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki: Ta cần chứng bất đẳng thức sau:. a  b  2(a 2  b 2 ) . y  1  2 y  xy  x 2  2  3 y  xy  x 2  1. 2  3 y  xy  x 2  1  2 y 2  2( y  2) x  10 y.  ( x  y  1) 2 0 Suy ra bất đẳng thức luôn đúng. . y  1  2 y  xy  x 2  2 y 2  2( y  2) x  10 y. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x  y  1 Thay x  y  1 vào PT(1):.

<span class='text_page_counter'>(48)</span> PT (1)  y 3  y  11    y 3  11 y  14  . . 3. 3. y 4  y 3  9 y  13  9 2 y  7 0.  .     y  2 y  7  y  2   . Ta có:.  y 2. 2 y  7 0.   9  2  0 y 4  y 3  9 y  13  ( y  3) 3 y 4  y 3  9 y  13  ( y  3) 2 y  2 y  7   y2. 2. y 2. . y 4  y 3  9 y 13  y  3  9 y . . 3. . y2. . 3. y 4  y 3  9 y  13. . 2.  y2.  ( y  3) 3 y 4  y 3  9 y  13  ( y  3) 2 y2. . 3. . . 2. y 4  y 3  9 y  13  ( y  3) 3 y 4  y 3  9 y  13  ( y  3) 2. y2  2 y  2 3y  4  0 y 3 y 3. 9 0 y  2y  7.  y 2  2 y  7 0  y 1  2 2 do y 1  x 2  2 Vậy hệ phương trình có nghiệm. . ( x; y )  2  2;1  2 2.  4 x 2  8 y 2  10 x  9 y  y 6( x  1)  5   x2 1 1 x(1  y ) 1  x   x( y 2  1)    x y y 54.   x   0;1   y    1;0  Điều kiện: . PT (2)  Ta có:. 1 x  x. x2 1  x2. y 2 1 1 y   2 y y. . (Châu Thanh Hải).

<span class='text_page_counter'>(49)</span>  1 x 1 y        x y   yx xy   1 x 1 y   x y.  x2 1 y 2 1     0 2   x y   ( x  y )( x  y ) x2 y 2 0 x2 1 y 2 1  x2 y.   yx  1  .  2 xy  1  x x  1    x x2   y  x 0  x  y.    0 2 y 1 1  y    y y  x y x.(  y ). PT (2)  12 x 2  19 x  5  x 6( x  1) Thay x  y vào PT(2), ta có:.  x  12 x 2  19 x  5  0   2 2 2  12 x  19 x  5   x (6 x  6)  x  12 x 2  19 x  5  0  2 (2 x  1)(3 x  5)(24 x  25 x  5) 0 1 1   x 2  y 2  25  145 25  145   y   x  48 48. Vậy hệ phương trình có nghiệm.  1 1   25  145 25  145  ( x; y )  ;  ;  ;  48 48  2 2  . 2( x  1) 2  2( y  1) 2  2 y(3 x  1)  2 5( x  y  1) y ( x  1)   (2 x  1) y  2  y 2 y  1  2  x 1  x  2 55. . . Điều kiện: y 1;0 x 1. . (1) (2) (Huỳnh Kim Kha).

<span class='text_page_counter'>(50)</span> 5 PT (1)   x 2  2 x  1   y 2  2 y  1   3 xy  y   1  ( x  y  1) y ( x  1) 2 5   x 2  y 2  1  2 x  2 y  2 xy   y ( x  1)  ( x  y  1) y ( x  1) 2 5 2   x  y  1  y ( x  1)  ( x  y  1) y ( x  1) 2 y ( x  1) 5 x  y 1    (*) y ( x  1) x  y  1 2 x  y 1 y ( x  1) . Theo bất đẳng thức AM-GM, ta có:. t. Đặt.  x 1  y 2. y ( x  1)  t . 1 5 2 (*)  t    t 2  x  y  1 2 y ( x  1)   x  y  1 0  y  x  1 t 2 Thay y x  1 vào PT(2), ta có:. . PT(2)  (2 x  1) x  3  x  1 2 x  2  x. .  (2 x  1) x  3 2 x  2  x   x  (1  x)  x  3 2.  . x. . x  1 x  1 x.   x  1  x  x  3  1  x  x  3 2  1  x. x( x  3) 2  1  x . Ta có:. 1 x  2. 1  x 1  x. x  1 x. . . . .  . x  1 x. . . x  1 x 2  1 x. .  x  3  1  x . x ( x  3) 2 do 0  x 1 . x( x  3) 2  1  x .  x  3  1  x . Dấu “=” xảy ra khi x 1  y 2 Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y) (1; 2). ( x  y  1) x 2  y 2  2 x  1  8 y ( x  1)  12     3 2 y  3  x 5  4 x 2 4 x 2 56.  3 5 5 y  ; x  2 2 2 Điều kiện:. . y ( x  1). . 3. 0 (Huỳnh Kim Kha). x  y 1 2 y ( x 1).

<span class='text_page_counter'>(51)</span> PT (1)    x  1  y   ( x  1) 2  y 2  8 y ( x  1)   12 Ta có: Đặt. . y ( x  1). . 3. 0. a  x  1 0; b  y 0 . Suy ra, ta có:. PT(1)  ( a 2  b 2 )(a 4  b 4  8a 2b 2 ) 12a 3b 3 0  (a 2  b 2 )  a 4  b 4  4a 2b 2  2(a 2  b 2 )  3ab  Ta sẽ chứng minh rằng:. (a 2  b 2 )  a 4  b 4  4a 2b 2  2(a 2  b 2 )  3ab . 2 2 Mà theo bất đẳng thức AM-GM, ta có: a  b 2ab.  a 4  b 4 2ab  2( a 2  b 2 )  3ab   a 4  b 4  2a 2b 2 2ab  2a 2  2b 2  4ab   (a 2  b2 ) 2 4ab( a  b) 2  (a  b) 2  ( a  b ) 2  4ab  0  (a  b) 4 0  a b  x  1  y. 2 2 Thay x  1  y vào PT(2), ta có: PT (2)  3 2 x  1  x 5  4 x 4 x. PT (2)  3 . .  . 2 x  1  (2 x  1)  x. 1 5 x  2 Điều Kiện: 2. . 5  4 x 2  (3  2 x)  3(2 x 2  3 x 1) 0.  6(2 x 2  3 x  1) 4 x(2 x 2  3 x 1)   3(2 x 2  3 x  1) 0 2 2x  1  2x  1 5  4x  3  2x.   6 4x  (2 x 2  3 x  1)    3  0 5  4x2  3  2 x  2x  1  2x  1  1 3  x  y   2 2   x 1  y 2  1 3 ( x; y )  ;  ;(1; 2)  2 2 Vậy hệ phương trình có nghiệm. . .  y 2  y  1  x  6  4 x  6  x  6  x 2  x  1  xy ( x  1)  y 2 y  1  1    x 2 ( y 2  1)  7 x  2  3 x 2  6 y 2  28 57.  (Đề thi thử Trường Cờ Đỏ).

<span class='text_page_counter'>(52)</span>  x  6  y 0 Điều kiện:  y 2  y  1  x  6  4 x  6  x  6  x 2  x  1  x 2 y  xy  2 y  y  1. PT (1) .   .   x  6  ( y  1)   . y 2  y  1  x  6  ( y  1) . 4. x6 . y 2  y 1 . 4. x6 .  y   x. y  x  6  x 2  x  1 x 2 y  xy  y. Ta có:. . x 6  y .  PT (1) . . 4. 4. 4. x 6 .  y   . . x6 . y. . y  y 1  x  6  y  1. Nên. . 4. x6 . . x  6  y 0.  . 4. x 6 . y. . 4. x6  y. . y2  y 1 x  6  y  1. . x6  y. y 2  y 1  x  6  y  1. x 6  y. . y 2  y 1  x  6  y  1. x 6  y 4. 2. Do. 4.  x  1. x6  y. 2. y  y  1  x  6  ( y  1) . 2.  1   x 2  x  1. . 4.  1   x 2  x  1.  x  6  y  0  . . 4. 2.   1  0 . . . x6  y  0. y 0  x  6  y 2. 2. Thay x  6  y vào PT(2), ta có:. PT (2)  x 3  5 x 2  7 x  8  3 x 2  6 x  8. . .  ( x  2)3  ( x  2) . 3. x2  6 x  8  3 x 2  6 x  8.  x 2  6 x  8  ( x  2) 2  ( x  2) 3 x 2  6 x  8  3 x 2  6 x  8   x 0  y  6   x  2  3 x 2  6 x  8  x3  5 x 2  6 x 0   x  3  y  3  x  2  y 2 . .  x2. 3. . . . ( x; y ) (0; 6);(0;  6);(  3; 3);(  3;  3);   2; 2  ;(  2;  2) Vậy hệ phương trình có ba nghiệm.

<span class='text_page_counter'>(53)</span>