Về một số định lí điểm bất động trên không gian mêtric riêng
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (971.84 KB, 43 trang )
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
*****************
LÊ THỊ LOAN
VỀ MỘT SỐ ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRÊN
KHÔNG GIAN MÊTRIC RIÊNG
KHĨA LUẬN CỬ NHÂN KHOA HỌC
NGÀNH SƯ PHẠM TỐN HỌC
Vinh, 2012
1
MỤC LỤC
MỤC LỤC…...………………………………..…………………………………………..1
MỞ ĐẦU….….………………………………………………………………………..2
1. KHÔNG GIAN MÊTRIC RIÊNG VÀ NGUYÊN LÍ ÁNH XẠ CO
TRÊN KHƠNG GIAN MÊTRIC RIÊNG………………………..…………………..4
1.1 Khơng gian mêtric riêng………..…………………………….…………………….4
1.2 Sự hội tụ trong không gian mêtric riêng………...……….…………..……………..7
1.3 Định lí điểm bất động Banach trên khơng gian mêtric riêng….…...…………….....9
2. ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHO ÁNH XẠ - CO YẾU TỔNG QUÁT
TRÊN KHÔNG GIAN MÊTRIC RIÊNG……….………………………..………..19
3. ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHO ÁNH XẠ TỰA CO VÀ ÁNH XẠ
KIỂU
, TRÊN KHƠNG GIAN MÊTRIC RIÊNG….…...…………………..28
3.1 Định lí điểm bất động cho ánh xạ tựa co trên không gian mêtric riêng..................28
3.2 Định lí điểm bất động cho ánh xạ kiểu , trên không gian mêtric riêng……...33
KẾT LUẬN...............................................................................................................41
TÀI LIỆU THAM KHẢO........................................................................................42
2
MỞ ĐẦU
Lý thuyết điểm bất động là một trong những lĩnh vực tốn học thời sự, sơi
động đã và đang được nhiều nhà toán học trong nước, quốc tế quan tâm.
Trong lý thuyết này, ngoài việc nghiên cứu sự tồn tại của điểm bất động
người ta còn quan tâm đến cấu trúc của tập hợp các điểm bất động, các phương
pháp tìm điểm bất động và các ứng dụng của chúng. Người ta đã thấy sự ứng dụng
đa dạng của lý thuyết điểm bất động trong cả toán học ứng dụng, vật lý, tin học,
kinh tế, lý thuyết trò chơi…
Một trong những hướng nghiên cứu chính của các nhà tốn học trong lĩnh
vực này là tìm cách mở rộng, xây dựng không gian mới tổng quát hơn khái niệm
không gian mêtric, sau đó nghiên cứu các định lý ánh xạ co và các ứng dụng của nó
trên lớp các khơng gian mới này. Các lớp không gian tổng quát hơn khơng gian
mêtric có thể kể đến như lớp khơng gian mêtric tổng qt, khơng gian mêtric nón,
khơng gian mêtric mờ…Và đặc biệt là vào năm 1994 trong dự án nghiên cứu về sự
hiển thị ngôn ngữ và lưu thông dữ liệu trên mạng máy tính S.G Matthews đã xây
dựng khái niệm khơng gian mêtric riêng. Các khái niệm, tính chất tô pô và nguyên
lý ánh xạ co Banach trên lớp khơng gian mêtric riêng đã được S.G Matthews trình
bày tại hội nghị lần thứ 8 về tô pô tổng quát và ứng dụng. Sau đó, rất nhiều nhà
tốn học trên thế giới đã và đang quan tâm nghiên cứu lý thuyết về điểm bất động
trên lớp không gian mêtric riêng này.
Với mục đích là tìm hiểu về khơng gian mêtric riêng, các định lí điểm bất
động cho một số loại ánh xạ co trên không gian mêtric riêng và các ứng dụng,
chúng tơi chọn đề tài cho khóa luận của mình là “Về một số định lí điểm bất động
trên khơng gian mêtric riêng”.
Ngồi phần Mục lục, Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, nội dung khóa
luận được trình bày trong ba chương.
3
Chương 1: Khơng gian mêtric riêng và ngun lí ánh xạ co trên khơng gian
mêtric riêng.
Chương 2: Định lí điểm bất động cho ánh xạ - co yếu tổng qt trên khơng
gian mêtric riêng.
Chương 3: Định lí điểm bất động cho ánh xạ tựa co và ánh xạ kiểu , trên
khơng gian mêtric riêng.
Khóa luận được thực hiện tại Trường Đại Học Vinh dưới sự hướng dẫn tận
tình, chu đáo và nghiêm khắc của thầy giáo Th.S. Trần Đức Thành, tác giả xin
được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn tới các thầy cơ trong khoa Tốn, tổ Giải tích đã
tạo điều kiện giúp đỡ trong quá trình học tập và nghiên cứu tại trường.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng song khóa luận khơng tránh khỏi những hạn chế
và thiếu sót. Chúng tơi mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy, cơ và
bạn đọc để khóa luận được hoàn thiện hơn.
Nghệ An, tháng 5 năm 2012
Tác giả
4
CHƯƠNG 1
KHƠNG GIAN MÊTRIC RIÊNG VÀ NGUN LÍ ÁNH XẠ CO
TRÊN KHƠNG GIAN MÊTRIC RIÊNG
Trong chương này, chúng tơi trình bày khái niệm khơng gian mêtric riêng,
các tính chất tơ pô, sự hội tụ của dãy trong không gian mêtric riêng, cuối cùng là
phát biểu và chứng minh định lí điểm bất động Banach và sự mở rộng của nó trong
khơng gian mêtric riêng đã có trong các bài báo [4], [5], [6].
Ta bắt đầu giới thiệu về khái niệm khơng gian mêtric riêng và một số tính
chất tơ pơ trên không gian mêtric riêng.
1.1 Không gian mêtric riêng
1.1.1 Định nghĩa ([6]). Giả sử X là tập khác rỗng. Ánh xạ p : X X R
được gọi là một mêtric riêng nếu thoả mãn các điều kiện sau:
p
x y p x, x p y, y p x, y với mọi x, y X ;
p
p x, x p x, y với mọi x, y X ;
1
2
p p x, y p y, x với mọi
3
x, y X ;
p p x, z p x, y p y, z p y, y với mọi
4
x, y, z X .
Tập X cùng với một mêtric riêng p trên nó được gọi là một khơng gian
mêtric riêng và được kí hiệu là X , p .
1.1.2 Ví dụ ([6]). Cho X 0, và p x, y max x, y với mọi x, y X .
Khi đó X , p là một khơng gian mêtric riêng.
Thật vậy, ta thấy p thoả mãn điều kiện
p , p , p của
1
2
3
định nghĩa
1.1.1. Mặt khác, vì vai trị của x, y, z như nhau nên khơng mất tính tổng qt ta giả
sử x y z Khi đó, ta có
max x, z max x, y max y, z max y, y ,
hay
5
p x, z p x, y p y, z p y, y với mọi x, y, z X .
Vậy p thoả mãn điều kiện p4 của định nghĩa 1.1.1. Do đó X , p là một không
gian mêtric riêng.
1.1.3 Nhận xét ([6]). Cho không gian mêtric riêng
X , p
và ánh xạ
d p : X X R được xác định bởi d p x, y 2 p x, y p x, x p y, y .
Khi đó thoả d p là một mêtric trên X. Thật vậy, từ tiên đề p1 ta có
2 p x, y p x, x p y, y 0 x y .
d p x, y 0 x y .
Hay
Suy ra d p thoả mãn tiên đề 1 của mêtric.
Mặt khác, từ tiên đề p3 ta có p x, y p y, x với mọi x, y X .
Khi đó
dp x, y 2 p x, y p x, x p y, y 2 p y, x p y, y p x, x d p y, x .
Suy ra d p thoả mãn tiên đề 2 của mêtric.
d p x, y 2 p x, y p x, x p y, y ,
Ta có
d p y, z 2 p y, z p y , y p z , z ,
d p x, z 2 p x, z p x, x p z, z .
Suy ra
d p x, y d p y, z 2 p x, y p y, z p y, y p x, x p z, z
2 p x, z p x, x p z, z d p x, z (sử dụng p4 ).
Do đó
d p x, z d p x, y d p y, z với mọi x, y, z X .
Vậy d p thoả mãn tiên đề 3 của mêtric, điều này kéo theo d p là một mêtric trên X.
Tiếp theo, chúng ta sẽ trình bày một số định nghĩa, tính chất tơ pơ trong
khơng gian mêtric riêng.
6
1.1.4 Định nghĩa ([6]). Cho X , p là một không gian mêtric riêng, 0 và
x X . Ta kí hiệu Bp x : y X / p x,y và gọi Bp x là hình cầu mở tâm
x bán kính trong khơng gian mêtric riêng X , p .
1.1.5 Định lí ([6]). Tập hợp tất cả các hình cầu mở trong không gian mêtric
riêng X , p là cơ sở của tô pô T p trên X .
Chứng minh: Đặt X
xX
Bpp x , x 1 x , giả sử x, y X và Bp x , Bp y là
các hình cầu mở tùy ý trong không gian mêtric riêng X , p . Khi đó, ta có
Bp x Bp y Bp z / z Bp x Bp y ,
: p z, z min p x, z , p y, z .
trong đó
Vậy định lí được chứng minh.
1.1.6 Định lí ([6]). Giả sử X , p là khơng gian mêtric riêng, hình cầu mở
Bp a , a X và x Bp a . Khi đó tồn tại 0 sao cho x Bp x Bp a .
Chứng minh: Giả sử x Bp a , khi đó ta có p x, a .
Đặt
: p x, a p x, x suy ra 0 và p x, x .
x Bp x .
Do đó ta có
Bây giờ ta giả sử y Bp x , khi đó ta có p y, x .
Điều này kéo theo
p y, x p x, a p x, x ,
tương đương với
p y, x p x, a p x, x .
Từ p4 ta suy ra p y, a .
Vậy Bp x Bp a . Do đó định lí được chứng minh.
7
1.1.7 Định lí ([6]). Khơng gian mêtric riêng X , p là một To - không gian.
Chứng minh: Giả sử x, y X và x y .Từ điều kiện
nghĩa 1.1.1 ta suy ra p x, x p x, y . Đặt
p , p
1
2
của định
p x, x p x , y
. Do 0 nên
2
tồn tại hình cầu mở Bp x sao cho p x, x p x, y .
Điều này có nghĩa là x Bp x còn y Bp x .
Vậy X , p là To - không gian.
1.2 Sự hội tụ trong không gian mêtric riêng
1.2.1 Định nghĩa ([6]). Cho
X , p
là không gian mêtric riêng và dãy
x X . Khi đó
n
(i) Dãy
x được
n
gọi là hội tụ tới điểm
x X
nếu và chỉ nếu
p x, x lim
p x, xn .
n
(ii) Dãy xn được gọi là dãy Cauchy nếu lim p xn , xm tồn tại và hữu hạn.
n , m
(iii) Không gian mêtric riêng X , p được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy xn
trong X hội tụ tới điểm x X sao cho p x, x lim p xn , xm .
n , m
1.2.2 Bổ đề ([6]). (i) Dãy xn là một dãy Cauchy trong không gian mêtric
riêng X , p khi và chỉ khi nó là dãy Cauchy trong khơng gian mêtric X , d p .
(ii) Không gian mêtric riêng X , p được gọi là đầy đủ khi và chỉ khi không gian
mêtric X , d p đầy đủ. Hơn nữa,
lim
d p x, xn 0 p x, x lim
p x, xn nlim
p xn , xm .
n
n
, m
Chứng minh: (i) Giả sử xn là dãy Cauchy trong không gian mêtric riêng
X , p . Khi đó với mọi 0 tồn tại,
a R và N N * sao cho với mọi n, m N
ta có
8
p xn , xm a .
Mặt khác, ta lại có
d p xn , xm 2 p xn , xm p xn , xn p xm , xm 2 a a a 0 .
Điều này có nghĩa là d p xn , xm 0 khi n, m . Vậy xn là dãy Cauchy trong
không gian mêtric X , d p .
Ngược lại, giả sử xn là dãy Cauchy trong không gian mêtric X , d p , từ
định nghĩa d p ta có
d p xn , xm 2 p xn , xm p xn , xn p xm , xm 0
khi n, m . Điều đó chứng tỏ
lim p xn , xm lim
p xn , xm lim
p xn , xm ,
n
m
n , m
tức xn là dãy Cauchy trong kgông gian mêtric riêng X , p .
(ii) Suy từ (i) và định nghĩa d p .
Vậy bổ đề được chứng minh xong.
1.2.3 Bổ đề ([5]). Giả sử xn z khi n trong không gian mêtric riêng
X , p sao cho p z, z 0 . Khi đó lim p x , y p z, y với mọi
n
n
y X .
p xn , z p z, z 0 .
Chứng minh: Ta có lim
n
Sử dụng bất đẳng thức tam giác ta có
p xn , y p xn , z p z, y p z, z p xn , z p z, y ,
và
p z, y p z, xn p xn , y p xn , xn p xn , z p xn , y .
Do đó
0 | p xn , y p z, y | p xn , z .
p xn , z 0 nên lim
Mặt khác, vì lim
p xn , y p x, y 0 .
n
n
Suy ra điều phải chứng minh.
9
1.2.4 Bổ đề ([5]). Giả sử X , p là khơng gian mêtric riêng đầy đủ. Khi đó
(i). Nếu p x, y 0 thì x y .
(ii). Nếu x y thì p x, y 0 .
Chứng minh: (i) Giả sử p x, y 0 thì từ tiên đề P3 ta có
p x, x p x, y 0 ,
và
p y , y p x, y 0 .
Vì vậy ta có
p x, x p x, y p y, y 0 .
Do đó từ tiên đề P2 suy ra x y .
(ii) Từ định nghĩa mêtric riêng ta có p x, y 0 với mọi x, y X . Giả sử x y và
p x, y 0 , theo chứng minh (i) ta có x y điều này là trái với giả thiết x y .
Do đó p x, y 0 khi x y .
1.3 Định lí điểm bất động Banach trên không gian mêtric riêng
Sau đây, chúng ta sẽ phát biểu và chứng minh kết quả của S.G Matthews [6]
về định lí điểm bất động Banach cho các khơng gian mêtric riêng.
1.3.1 Định lí ([6]). Giả sử X , p là không gian mêtric riêng đầy đủ và ánh
xạ T : X X sao cho tồn tại 0 1 thoả mãn p T x ,T y p x, y với
mọi x, y X . Khi đó tồn tại duy nhất điểm a X sao cho a T a và p a, a 0 .
Chứng minh: Giả sử u X , khi đó với mọi n, k N ta có
p T nk 1 u ,T n u
p T nk 1 u ,T nk u p T nk u ,T n u p T nk u ,T nk u
n k p T u , u p T n k u , T n u .
Điều này kéo theo
10
p T nk 1 u ,T n u
nk ... n p T u , u p T n u ,T n u
n 1 k 1
p T u , u n p u , u
1
n
p T u , u
1
n p u, u với mọi n, k N .
Cho n ta suy ra T n u n là dãy Cauchy thoả mãn lim p T n u ,T m u 0 .
n , m
Theo bổ đề 1.2.2, dãy T n u là dãy Cauchy trong X , p
Cauchy trong
X , d . Hơn nữa, X , p đầy đủ
p
T u
n
là dãy
X , d đầy đủ. Do đó tồn tại
p
a X sao cho T n u a khi n trong X , d p thỏa mãn:
n
n
m
p a, a lim
p
T
u
,
a
lim
p
T
u
,
T
u 0 .
n
n ,m
Mặt khác,
p T a , a p T a ,T n1 u p T n1 u , a p T n1 u ,T n1 u
. p a,T n u p T n1 u , a .
Cho n ta suy ra p T a , a 0 . Do đó a T a , tức a là điểm bất động của
T.
Cuối cùng, ta chứng minh tính duy nhất của điểm bất động.
Giả sử b X , b a thoả mãn b T b , khi đó ta có
p a, b p T a ,T b p a, b ,
suy ra p a, b 0 , điều này mâu thuẫn với giả thiết b a . Do đó a b .
Vậy điểm bất động của T là duy nhất.
Tiếp theo, chúng ta sẽ trình bày kết quả của D. Ilic, V. Pavlovic và V.
Rakocevic [4], đây là một sự mở rộng nguyên lý ánh xạ co Banach trong không
gian mêtric riêng.
11
1.3.2 Định lí ([4]): Giả sử
X , p
là khơng gian mêtric riêng đầy đủ,
0,1 và ánh xạ T : X X thỏa mãn điều kiện
p Tx,Ty max p x, y , p x, x , p y, y với mọi x, y X .
(1.1)
Khi đó
1
Xp
là
tập
khác rỗng, trong
đó
X p x X / p x, x p
và
p inf p x, y : x, y X ;
2
Tồn tại duy nhất điểm bất động u trong X p ;
3
Với mỗi x X , dãy T n x
n1
hội tụ tới điểm bất động tương ứng với mêtric
dp .
Chứng minh: Lấy x X , khi đó từ (1.1) ta có
p Tx,Tx max p x, x , p x, x p x, x ,
dãy p T n x,T n x
n0
là dãy không tăng và
p T n x,T m x max p T n1x,T m1x , p T n1x,T n1x ,với mọi m n 1 .
Đặt
rx : lim p T n x,T n x inf p T n x,T n x 0
n
n
và
M x :
1
p x,Tx p x, x .
1
Chúng ta cần chứng minh p x,T n x M x , với mọi n 0 .
(1.2)
Ta thấy (1.2) luôn đúng với n 0,1. Giả sử (1.2) đúng với n n0 1 , ta cần chứng
minh (1.2) đúng với n n0 2 .
Ta có
p x,T n0 x p x,Tx p Tx,T n0 x p Tx,Tx
12
p x,Tx p Tx,T n0 x
p x,Tx max p x,T n0 1x , p x, x
p x,Tx
p x,Tx p x, x M x .
1
Như vậy theo phương pháp chứng minh qui nạp ta đã chứng minh được (1.2).
Tiếp theo, chúng ta sẽ chứng minh lim p T n x,T m x rx . Với mọi n, m N ta giả
n ,m
sử p T n x,T m x p T n x,T n x rx . Với 0 ta tìm được n0 N sao cho
p T n0 x,T n0 x rx và 2M x n0 rx .
Với mọi n, m 2n0 ta có
max p T
max p T
p T n x,T m x max p T n1x,T m1x , p T n1x,T n1x , p T m1x,T m1x
2
n0
n 2
x,T m2 x , p T n2 x,T n2 x , p T m2 x,T m2 x
nn0
x,T mn0 x , p T nn0 x,T nn0 x , p T mn0 x,T mn0 x
rx .
Cho 0 và chuyển qua giới hạn khi n, m ta được
lim p T n x,T m x rx .
n ,m
Vì X , p là khơng gian mêtric riêng đầy đủ nên tồn tại x* X sao cho
rx p x* , x* lim p x* ,T n x lim p T n x,T m x .
n
n ,m
Chúng ta cần chứng minh p x* , x* p x* ,Tx* .
(1.3)
(1.4)
Thật vậy, với mỗi n N , ta có
p x* ,Tx* p x* ,T n x p T n x,Tx* p T n x,T n x .
13
(1.5)
nk k 1
Từ (1.1) tồn tại một dãy con
p Tx ,T x p T
p Tx* ,T nk x p x* ,T nk 1x , k 1
*
nk
nk 1
hoặc
của số nguyên dương sao cho
p Tx* ,T nk x p x* , x* , k 1 , hoặc
x,T nk 1x , k 1 .
Chuyển qua giới hạn khi k và kết hợp với (1.5) ta được
p x* ,Tx* p x* , x* .
Do vậy (1.4) được chứng minh.
Bây giờ ta chứng minh X p là tập khác rỗng. Với mỗi k N chọn xk X với
p xk , xk p
1
. Chúng ta cần chứng minh lim p xn* , xm* p .
n ,m
k
(1.6)
3
Cho 0 và đặt n0 :
1 . Nếu k n0 thì ta có
1
p p Txk* ,Txk* p xk* , xk* rx p xk , xk p
k
1
1
1
.
p p
k
n0
3
Do đó
U k : p xk* , xk* p Txk* ,Txk*
1
3
Nếu k n0 thì p xk* , xk* rxk p xk . , xk p
p xk* , xk* p
1
3
với k n0 .
(1.7)
1
1
p , điều này kéo theo
k
n0
, với mọi k n0 .
(1.8)
Bây giờ nếu n, m n0 thì
p xn* , xm* p xn* ,Txn* p Txn* ,Txm* p Txm* , xm* p Txn* ,Txn* p Txm* ,Txm* ,
từ (1.4) ta có
p xn* , xm* U m U n p Txn* ,Txm* U m U n max p xn* , xm* , p xn* , xn* , p xm* , xm* .
Sử dụng (1.7) và (1.8) ta được
14
2
3
p p xn* , xm* max ,
2 1
2 1
p xn* , xn* ,
p xm* , xm*
3
3
2
max , p 1 p .
3
Cho 0 và chuyển qua giới hạn khi n, m ta thu được (1.7).
Do X , p là không gian mêtric riêng đầy đủ nên tồn tại y X sao cho
p y, y lim p y, xn* lim p xn* , xm* p .
n
n ,m
Mặt khác, y X p vì vậy X p . Lấy x X tùy ý, khi đó từ (1.4) ta có
p p Tx* ,Tx* p x* ,Tx* p x* , x* rx p ,
suy ra Tx* x* X . Do đó từ (1.3) ta nói rằng T n x
n1
hội tụ tới x* tương ứng với
mêtric d p .
Cuối cùng ta cần chứng minh T có điểm bất động duy nhất. Thật vậy, giả sử
u, v X p là hai điểm bất động của T sao cho Tu u, Tv v khi đó ta có
p u, v p Tu,Tv max p u, v , p u, u , p v, v p u, v .
(1.9)
Xét trường hợp max p u, v , p u, u , p v, v p u, v .Từ (1.9) suy ra
p u, v p u, v 1 p u, v 0 .
Điều này kéo theo p u, v 0 . Do đó u v hay T có điểm bất động duy nhất.
Xét trường hợp max p u, v , p u, u , p v, v p u, u . Từ (1.9) suy ra
p u, v p u, u u v .
Điều này chứng tỏ T có điểm bất động duy nhất. Hồn tồn tương tự cho trường
hợp max p u, v , p u, u , p v, v p v, v .
Định lí được chứng minh xong.
1.3.3 Định lí ([4]): Giả sử
X , p
là không gian mêtric riêng đầy
đủ, 0,1 và ánh xạ T : X X thỏa mãn điều kiện
15
p x, x p y , y
p Tx,Ty max p x, y ,
với mọi x, y X .
2
Khi đó tồn tại một điểm bất động duy nhất z X . Ngoài ra, z X p và với mỗi
x X p , dãy T n x
n1
hội tụ tới điểm bất động trên mêtric d p .
Chứng minh: Theo định lí 1.3.2 ta chỉ cần chứng minh tồn tại điểm bất động
duy nhất. Nếu Tz z và Tw w thì
p z, z p w, w
p z,w p Tz,Tw max p z, w ,
.
2
Nếu
p z, z p w, w
max p z, w ,
p z, w
2
thì
p z,w p z,w 1 p z,w 0 p z,w 0 z w .
Nếu
p z, z p w, w p z, z p w, w
max p z, w ,
2
2
thì
p z,w
p z, z p w, w
2 p z, w p z, z p w, w 0 d p z, w 0 .
2
Vì d p z, w là một mêtric nên d p z, w 0 z w .
Điều này có nghĩa là T có điểm bất động duy nhất.
1.3.4 Hệ quả ([4]): Cho
X , p
là không gian mêtric riêng đầy đủ,
0,1 . Giả sử ánh xạ T : X X thỏa mãn điều kiện
p Tx,Ty p x, y với mọi x, y X .
16
Khi đó tồn tại duy nhất điểm bất động z X . Ngoài ra, p z, z 0 và với mỗi
x X , dãy T n x
n1
hội tụ tới điểm bất động trên mêtric d p .
1.3.5 Ví dụ ([4]). Giả sử X : 0,1 2,3 và p : X X 0, cho bởi
x y
p x, y
max x, y
khi
khi
x, y 0,1
.
x
,
y
2,3
Cho T : X X được xác định bởi
x 1
2 khi 0 x 1
Tx 1 khi x 2 .
2 x
khi 2 x 3
2
Ta thấy X , p là không gian mêtric riêng đầy đủ.
khi x, x 0,1
xx
Thật vậy, ta có p x, x
max x, x khi x, x 2,3
0 khi
x khi
x, x 0,1
,
x, x 2,3
khi y , y 0,1
yy
p y, y
max y, y khi y, y 2,3
0 khi
y khi
y, y 0,1
,
y, y 2,3
khi x, y 0,1
x y
.
p x, y
max
x
,
y
khi
x
,
y
2,3
Ta thấy p x, x p y, y p x, y x y , với mọi x, y X . Khi đó p thỏa mãn
điều kiện p1 của mêtric riêng.
17
Với x, y 0,1 ta có 0 x y hay p x, x p x, y , với x, y 2,3 ta
có x max x, y hay p x, x p x, y . Do đó, p x, x p x, y , với mọi
x, y X hay p thỏa mãn điều kiện p2 của mêtric riêng.
Ta có
khi y, x 0,1
yx
p y, x
max y, x khi y, x 2,3
khi x, y 0,1
x y
max x, y khi x, y 2,3
p x, y .
Suy ra p x, y p y, x , với mọi x, y X hay p thỏa mãn điều kiện
p3
mêtric riêng.
Với x, y, z 0,1 , ta có
x y yz y y x y yz x y yz xz
suy ra
x y yz y y xz
hay
p x, z p x, y p y, z p y, y .
Với x, y 2,3 , ta có
max x, y max y, z max y, y max x, y max y, z y max x, z
hay
p x, z p x, y p y, z p y, y .
Do đó
p x, z p x, y p y, z p y, y với mọi x, y, z X .
Suy ra p thỏa mãn điều kiện p4 của mêtric riêng.
Vậy X , p là không gian mêtric riêng.
18
của
Vì 0,1 , 2,3 là những tập đóng nên X : 0,1 2,3 là tập đóng. Mặt khác, mọi
dãy nằm trong tập đóng đều là dãy Cauchy và hội tụ tới một điểm nằm trong tập
đóng đó. Do đó X , p là khơng gian mêtric riêng đầy đủ.
Ta có
p Tx,Ty
1
p x, y ,x, y 0,1
2
và
p Tx,Ty
p x, x p y, y
, x, y 2,3 .
2
Từ đó suy ra
p x, x p y , y
1
p Tx,Ty max p x, y ,
với mọi x, y X .
2
2
Theo định lí 1.3.4 tồn tại duy nhất điểm bất động z 1 và ta có p 1,1 0 .
19
CHƯƠNG 2
ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHO ÁNH XẠ - CO YẾU TỔNG QUÁT
TRÊN KHÔNG GIAN MÊTRIC RIÊNG
Ánh xạ co yếu được giới thiệu lần đầu tiên vào năm 1997 bởi Ya.I. Alber và
S. Guerre_Delabriere [2]. Cho X , d là một không gian mêtric, ánh xạ f : X X
được gọi là ánh xạ - co yếu nếu tồn tại một hàm sao cho với mọi x, y X
ta có
d fx, fy d x, y d x, y ,
ở đây
{ : 0, 0, | là nửa liên tục dưới và 1 0 0 }.
Các tác giả đã xây dựng và chứng minh kết quả về điểm bất động cho các
ánh xạ trên không gian Hilbert. Năm 2001, B.E Rhoades [7] đã chứng minh được
kết quả trên vẫn cịn đúng cho các khơng gian Banach tùy ý, kết quả chính của bài
báo này được phát biểu bởi định lí sau.
Định lí 2.1 ([7]). Giả sử X , d là một không gian mêtric đầy đủ, f là ánh xạ co yếu trên X và . Khi đó f có duy nhất điểm bất động.
Nhận xét 2.2. Bằng cách chọn t 1 k t ta nhận thấy ánh xạ - co yếu trở
thành nguyên lí ánh xạ co Banach.
Gần đây, Q. Zhang và Y. Song [10] đưa ra khái niệm về ánh xạ - co yếu
tổng quát cho hai ánh xạ và đã chứng minh được kết quả sau đây.
Định lí 2.3 ([10]). Giả sử X , d là không gian mêtric đầy đủ, f , g : X X là hai
ánh xạ thoả mãn
d fx, gy m x, y m x, y ,
với mọi x, y X . Ở đây và
20
1
m x, y max d x, y , d fx, x , d y, gy , d fx, y d x, gy .
2
Khi đó tồn tại duy nhất điểm bất động chung của f và g .
Trong chương này, chúng tơi trình bày kết quả nghiên cứu về ánh xạ - co
yếu tổng qt trên các khơng gian mêtric riêng đã có trong bài báo “Existence and
uniqueness of a common fixed point on partial metric” của các tác giả
T. Abdeljawad, E. Karapinar và K. Tas [1].
2.1 Định nghĩa ([1]). Cho X , p là không gian mêtric riêng, các ánh xạ
S ,T : X X được gọi là ánh xạ - co yếu tổng quát nếu tồn tại hàm
: 0, 0, liên tục, không giảm với t 0 , t 0, và 0 0 thoả
mãn:
p Tx, Sy M x, y M x, y với mọi x, y X ,
2.1
trong đó
1
M x, y max p x, y , p Tx, x , p y, Sy , p Tx, y p x, Sy .
2
2.2 Định lí ([1]): Giả sử
X , p
là không gian mêtric riêng đầy đủ,
: 0, 0, là một hàm liên tục, không giảm với t 0 , t 0, và
0 0 , S ,T : X X là các ánh xạ - co yếu tổng quát. Khi đó S ,T có điểm
bất động chung z duy nhất trong X .
Chứng minh: Trước hết chúng ta chứng minh tồn tại điểm bất động, tức là ta
chứng minh M x, y 0 khi và chỉ khi x y là điểm bất động chung của S , T .
Thật vậy, giả sử x y là điểm bất động chung của S , T khi đó
Ty Tx x y Sy Sx
và
21
1
M x, y max p x,y , p Tx, x , p y, Sy , p Tx, y p x, Sy p x, x .
2
Từ (2.1) ta có
p x, x p Tx, Sy M x, y M x, y p x, x p x , x
tương đương với
p x, x p x, x p x, x .
Điều này chỉ xảy ra khi p x, x 0 . Do đó M x, y 0 .
Bây giờ ta sẽ chứng minh điều ngược lại, giả sử M x, y 0 ta cần chứng
minh x y . Ta thấy rằng
p x, y M x, y , p Tx, x M x, y , p y, Sy M x, y .
Do đó
p x, y 0, p Tx, x 0 và p y, Sy 0 .
Vì p Tx, x 0 nên Tx x , vì p y, Sy 0 nên Sy y .
Mặt khác, từ tiên đề p1 , p2 của không gian mêtric riêng ta có
p x, x p x, y p y, y .
Điều này kéo theo
x y
Như vậy, x y là điểm bất động chung của S , T .
Giả sử x0 X . Xác định dãy xn như sau
x2 n2 Tx2 n1 và x2 n1 Sx2 n , n 0,1,2,...
Từ chứng minh trên ta thấy rằng nếu xn xn1 với n 0 thì khi đó S , T có điểm bất
động chung. Bây giờ ta giả sử xn xn1 , n 0 .
Nếu n lẻ, từ (2.1) ta có
p xn1 , xn2 p Txn , Sxn1 M xn , xn1 M xn , xn1 ,
trong đó
22
1
M xn , xn1 max p x n , xn1 , p Txn , xn , p xn1 , Sxn1 , p xn1 , Txn p xn , Sxn1
2
1
max p x n , xn1 , p xn1, xn 2 , p xn1, xn1 p xn , xn 2 .
2
Từ tiên đề p4 của khơng gian mêtric riêng ta có
1
1
p xn1 , xn1 p xn , xn 2 p xn , xn1 p xn1 , xn 2 .
2
2
Do đó
M xn , xn1 max p x n , xn1 , p xn1 , xn2 .
Nếu M xn , xn1 p xn1 , xn2 thì khi đó thay Tx xn1 , Sy xn2 vào (2.1) ta có
p xn1 , xn2 p xn1 , xn2 p xn1 , xn2 ,
điều này chỉ xảy ra khi p xn1, xn2 0 mâu thuẫn với điều ta giả sử là xn1 xn2 .
Do đó M xn , xn1 p xn , xn1 , thay Tx xn1 , Sy xn2 vào (2.1) ta có
p xn1 , xn2 p xn , xn1 p xn , xn1 p xn , xn1 ,
tương đương với
p xn1 , xn2 p xn , xn1 .
Tương tự cho trường hợp n chẵn ta được p xn1 , xn2 p xn , xn1 .
Đặt tn p xn , xn1 và ta thấy tn là dãy không âm, không giảm và từ ánh xạ - co
yếu tổng quát kéo theo
tn2 tn1 tn1 tn1 với mọi n N .
(2.2)
Do đó, dãy tn L , trong đó L 0 .
Vì thế ta xét 2 trường hợp L 0 hoặc L 0 .
Giả sử L 0 , vì là hàm khơng giảm nên ta có 0 L tn . Từ (2.2), ta có
tn1 tn tn tn L
và
23
tn2 tn1 tn1 tn tn tn1 tn 2 L .
Theo chứng minh qui nạp ta được tnk tn k L , điều này mâu thuẫn khi k N
đủ lớn. Do đó, ta có L 0 .
Như vậy
lim
p xn1 , xn 0 .
n
Tiếp theo, chúng ta sẽ chứng minh xn là dãy Cauchy trong không gian
mêtric riêng X , p .
Đặt
sn sup p xi , x j : i, j n .
s 0 thì sn là dãy Cauchy. Bây giờ ta giả sử
Ta thấy sn là dãy giảm . Nếu lim
n n
lim
s s 0 . Có thể chọn đủ nhỏ (chẳng hạn:
n n
s
) và một số tự nhiên N sao
16
cho
p xn , xn1 và sn s với mọi n N .
(2.3)
Theo cách đặt sN 1 thì tồn tại m, n N 1 sao cho
s sn p xm , xn .
(2.4)
Từ tiên đề p4 của không gian mêtric riêng ta có
p xn , xm p xn , xn1 p xn1 , xm p xn1 , xn1
(2.5)
p xn , xm p xn , xm1 p xm1 , xm p xm1 , xm1
(2.6)
p xn1 , xm p xn1 , xm1 p xm1 , xm p xm1 , xm1
(2.7)
Từ (2.4) và (2.3) ta biểu diễn (2.5), (2.6) như sau
s 2 p xn1 , xm và s 2 p xn , xm1 .
Kết hợp (2.7) và (2.8) ta được
24
(2.8)
s 3 p xn1 , xm1 . (vì p xn1 , xm p xn1 , xm1 p xm1 , xm và p xn , xn1 ,
với mọi n N )
Như vậy
p xn , xm p Txn1 ,Txm1 M xn1 , xm1 M xn1 , xm1
1
s
max p xn1 , xm1 , , , p xn1, xm p xn , xm1 ,
2
2
s
có nghĩa là sN 1 sN với đủ nhỏ. Điều này khơng thể xảy ra do đó s 0 .
2
Mặt khác, ta có
d p xn , xm 2 p xn , xm p xn1 , xn1 p xm1 , xm1 2 p xn , xm .
Vì s 0 nên d p xn , xm 0 khi m, n . Do đó
x
n
là dãy Cauchy trong
X , d . Mặt khác, vì X , p đầy đủ nên X , d đầy đủ và dãy x z X . Hơn
p
p
n
nữa, vì x2n z và x2 n1 z nên từ bổ đề 1.2.2 ta có
p z, z lim
p xn , z nlim
p xn , xm .
n
, m
(2.9)
Do s 0 nên từ (2.9) ta có p z, z 0 . Điều này kéo theo Tz z Sz . Giả sử
Tz z , có nghĩa là p z,Tz 0 . Khi đó với mọi 0 tồn tại N0 N sao cho
với mọi n N0 ta có
p x2 n1 , z
2
,
p x2 n , z ,
2
p x2 n1 , x2 n .
2
Bởi vậy, ta có
25
