Chuong 1 Luong giac 11

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Chương I. Nguyễn Bá Đại CHÖÔNG 0. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC. íãè. 1. Định nghĩa các giá trị lượng giác:. tang. I. HỆ THỨC CƠ BẢN. OP  coí a OQ  íãè a AT  taè a BT '  cot a. B Q. T. T'. cotang. M . O. Nhaän xeùt:. cosin. p. A.  a,  1  coí a  1;  1  íãè   1  taèa òaùc ñòèâ åâã a .  2.  k , k  Z ,.  cota òaùc ñòèâ åâã a  k , k  Z 2. Dấu của các giá trị lượng giác: Cïèá êâafè tö. I. II. II. IV. íãèa. +. +. –. –. coía. +. –. –. +. taèa. +. –. +. –. cota. +. –. +. –. Gãá tìịlư ợèá áãác. 3. Hệ thức cơ bản: íãè2a + coí2a = 1; taèa.cota = 1 1 1 1  taè 2 a  ; 1  cot 2 a  2 coí a íãè 2 a 4. Cung lieân keát: Cïèá đốã èâạ. Cïèá bïøèâaï. coí( a)  coí a. sin(  a)  íãè a. íãè( a)   íãè a. coí(  a)   coí a. taè(a)   taè a. taè(  a)   taè a. cot(a)   cot a. cot(  a)   cot a. 1. Cïèá êâïïèâaï   íãè   a   coí a 2    coí   a   íãè a 2    taè   a   cot a 2    cot   a   taè a 2 .

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Chương I. Nguyễn Bá Đại. . Cïèá âôè åeùm . Cïèá âôè åeùm. íãè(  a)   íãè a.   íãè   a   coí a 2 . coí(  a)   coí a.   coí   a    íãè a 2 . taè(  a)  taè a.   taè   a    cot a 2 . cot(  a)  cot a.   cot   a    taè a 2 . 2. 5. Bảng giá trị lượng giác của các góc (cung) đặc biệt. . . . . 6. 4. 3. 00. 300. 450. sin. 0. 1 2. cos. 1. tan. 0. 0. cotg. 2. 2 3. 3 4. . 3 2. 2. 600. 900. 1200. 1350. 1800. 2700. 3600. 2 2. 3 2. 1. 3 2. 2 2. 0. –1. 0. 3 2. 2 2. 1 2. 0. –1. 0. 1. 3 3. 1. 3. 3. 1. 3 3. 0. . 1 2. . 2 2.  3. –1. 3 3. –1. . 0. 0. 0. II. CÔNG THỨC CỘNG Công thức cộng: íãè(a  b)  íãè a.coí b  íãè b.coí a íãè(a  b)  íãè a.coí b  íãè b.coí a coí(a  b)  coí a.coí b  íãè a.íãè b. taè a  taè b 1  taè a.taè b taè a  taè b taè(a  b)  1  taè a.taè b. taè(a  b) . coí(a  b)  coí a.coí b  íãè a.íãè b. Heäëïaû:.   1  taè x   1  taè x taè   x   , taè   x   4  1  taè x 4  1  taè x III. CÔNG THỨC NHÂN. 1. Công thức nhân đôi:. 2.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Chương I. Nguyễn Bá Đại íãè2a = 2íãèa.coía coí 2a  coí2 a  íãè 2 a  2 coí2 a  1  1  2íãè2 a. taè 2a . 2 taè a 1  taè 2 a. ; cot 2a . 2. Công thức hạ bậc:. cot 2 a  1 2 cot a. 3. Công thức nhân ba: íãè 3a  3íãè a  4íãè3 a coí3a  4 coí3 a  3coí a 3taè a  taè3 a taè 3a  1  3taè 2 a. 1  coí 2a íãè a  2 1  coí 2a 2 coí a  2 1  coí 2a 2 taè a  1  coí 2a 2. 4. Công thức biểu diễn sina, cosa, tana theo t = tan Ñaët: t  taè. a 2t (a    2k ) tâì: íãè a  ; 2 1  t2. a : 2 coí a . 1  t2 1  t2. ;. taè a . IV. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI 1. Công thức biến đổi tổng thành tích:. ab ab .coí 2 2 ab ab íãè a  íãè b  2 coí .íãè 2 2 ab ab coí a  coí b  2 coí .coí 2 2 íãè a  íãè b  2íãè. coí a  coí b   2íãè. ab ab .íãè 2 2. íãè(a  b) coí a.coí b íãè(a  b) taè a  taè b  coí a.coí b íãè(a  b) cot a  cot b  íãè a.íãè b taè a  taè b . cot a  cot b . íãè(b  a) íãè a.sinb.     íãè a  coí a  2.íãè  a    2.coí  a   4 4  .     íãè a  coí a  2 íãè  a     2 coí  a    4  4 2. Công thức biến đổi tích thành tổng: 1 coí a.coí b   coí(a  b)  coí(a  b) 2 1 íãè a.íãè b   coí(a  b)  coí(a  b) 2 1 íãè a.coí b  íãè(a  b)  íãè(a  b)  2. 3. 2t 1  t2.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Chương I. Nguyễn Bá Đại. CHÖÔNG I. HAØM SỐ LƯỢNG GIÁC – PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC. I. HAØM SỐ LƯỢNG GIÁC Vấn đề 1:. TAÄP XAÙC ÑÒNH, TAÄP GIAÙ TRÒ, TÍNH CHAÜN – LEÛ, CHU KYØ. m leû, câï åyøT0  2 . y  íãè x : Taäê òaùc ñòèâ D = R; taäê áãaùtìò T   1, 1 ; âaø 2 a. *. y = íãè(aò + b) coù câï åyøT0 . *. y = íãè(f(ò)) òaùc ñòèâ  f ( x ) òaùc ñòèâ.. m câaüè, câï åyøT0  2 . y  coí x : Taäê òaùc ñòèâ D = R; Taäê áãaùtìò T   1, 1 ; âaø 2 a. *. y = coí(aò + b) coù câï åyøT0 . *. y = coí(f(ò)) òaùc ñòèâ  f ( x ) òaùc ñòèâ..   m leû, câï åyøT0   . y  taè x : Taäê òaùc ñòèâ D  R \   k , k  Z  ; taäê áãaùtìòT = R, âaø 2 . . *. y = taè(aò + b) coù câï åyøT0 . *. y = taè(f(ò)) òaùc ñòèâ  f ( x ) . a.  2.  k (k  Z ). m leû, câï åyøT0   . y  cot x : Taäê òaùc ñòèâ D  R \ k , k  Z  ; taäê áãaùtìòT = R, âaø. . *. y = cot(aò + b) coù câï åyøT0 . *. y = cot(f(ò)) òaùc ñòèâ  f ( x )  k (k  Z ) .. *. y = f1(ò) coù câï åyøT1 ; y = f2(ò) coù câï åyøT2. a. Tâì âaø m íoáy  f1 ( x )  f2 ( x ) coù câï åyøT0 laøboäã câïèá èâoû èâaát cïûa T1 vaøT2. Baøi 1. Tìm taäê òaùc ñòèâ vaøtaäê áãaù tìòcïûa caùc âaø m íoáíaï:.  2x  a/ y  íãè    x 1 . b/ y  íãè x. d/ y  1  coí2 x. e/ y . c/ y  2  íãè x. 1 íãè x  1. 4.   f/ y  taè  x   6 .

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Chương I. Nguyễn Bá Đại   á/ y  cot  x   3 . â/ y . íãè x coí( x   ). ã/ y =. 1 taè x  1. Bài 2. Tìm áãá tìịlớè èâấ t, áãaù tìòèâoûèâaát cïûa âaø m íoá:.   a/ y = 2íãè  x    1  4. b/ y  2 coí x  1  3. c/ y  íãè x. d/ y  4 íãè 2 x  4 íãè x  3. e/ y  coí2 x  2 íãè x  2. f/ y  íãè 4 x  2 coí2 x  1. á/ y = íãèò + coíò. â/ y = 3 íãè 2 x  coí 2 x. ã/ y = íãè x  3 coí x  3. Baøi 3. Xeùt tíèâ câaüè – leû cïûa âaø m íoá:. a/ y = íãè2ò. b/ y = 2íãèò + 3. d/ y = taèò + cotò á/ y =. c/ y = íãèò + coíò. 4. e/ y = íãè ò. íãè x  taè x íãè x  cot x. â/ y =. f/ y = íãèò.coíò. coí3 x  1. ã/ y = taè x. íãè3 x. Baøi 4. Tìm câï åyøcïûa âaø m íoá:. b/ y  coí. a/ y  íãè 2 x d/ y  íãè 2 x  coí. x 2. á/ y  2íãè x . coí3 x ÑS:. a/  .. Vấn đề 2:. b/ 6.. c/  .. x 3. c/ y  íãè 2 x. 3x 2x  íãè 5 7. e/ y  taè x  cot 3 x. f/ y  coí. â/ y  coí2 4 x. ã/ y = taè(3ò + 1). d/ 4. e/ .. f/ 70.. á/ .. â/.  4. .. ã/.  3. ĐỒ THỊ CỦA HAØM SỐ LƯỢNG GIÁC. 1/ Vẽ đồ thị hàm số lượng giác: –. Tìm taäê òaùc ñòèâ D.. –. Tìm câï åyøT0 cïûa âaø m íoá.. –. Xaùc ñòèâ tíèâ câaüè – leû (èeáï cafè).. –. Lậê bảèá bãếè tâãêè tìêè một đoạè có độdà ã baèèá câï åyøT0 coù tâeåcâoïè:  T T  x   0, T0  âoặc x    0 , 0  .  2 2. – –. Vẽđoftâịtìêè đoạè cóđộdà ã baèèá câï åyø ..   Rofã íïy ìa êâafè ñoftâòcoø è laïã baèèá êâeùê tòèâ tãeáè tâeo veùc tô v  k.T0 .i vefbeâè tìaùã vaøêâaûã íoèá  íoèá vớã tìïïc âoà èâ Oị (vớã i làvéc tơ đơè vịtìêè tìïïc Oị).. 2/ Một số phép biến đổi đồ thị: a/ Tö øñoftâòâaø m íoáy = f(ò), íïy ìa ñoftâòâaø m íoáy = f(ò) + a baèèá caùcâ tòèâ tãeáè ñoftâòy = f(ò) leâè tìeâè tìïïc âoà èâ a đơè vịèếï a > 0 vàtịèâ tãếè ịïốèá êâía dư ớã tìïïc âoà èâ a ñôè vòèeáï a < 0. b/ Tư øđoftâịy = f(ị), íïy ìa đoftâịy = – f(ị) bằèá cácâ lấy đốã ịư ùèá đoftâịy = f(ị) ëïa tìïïc âoà èâ.  f ( x ), èeáï f(ò)  0 c/ Ñoftâò y  f ( x )   ñö ôïc íïy tö øñoftđòy = f(ò) baỉỉâ caùcđ âề õỉâïyeđỉ íđafỉ ñof -f(ò), èeáï f(ò) < 0 tâịy = f(ị) ở êâía tìêè tìïïc âoà èâ vàlấy đốã ịư ùèá êâafè đoftâịy = f(ị) èằm ở êâía dư ớã tìïïc âoà èâ ëïa tìïïc âoà èâ.. 5.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Chương I. Nguyễn Bá Đại  y. Ví dụ 1: Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) = sinx. –. Taäê òaùc ñòèâ: D = R.. –. Taäê áãaùtìò:  1, 1 . . –. Câï åyø : T = 2.. –. Bảèá bãếè tâãêè tìêè đoạè  0, 2 . ò. . 0. 2. y = sinx. 1. . . 3 2. .  2.  2. 0. 3 2. . 5 2. . x. –1. 3 2. 2. 1 y. 0. 0. 0 –1. –.   Tịèâ tãếè tâeo véctơ v  2k .i ta đư ợc đoftâịy = íãèị.. Nâaäè òeùt: –. Ñoftâòlaømoät âaø m íốlẻ èêè èâậè áốc tọa độO là m tâm đốã ịư ùèá.. –.     Haø m íốđofèá bãếè tìêè åâoảèá  0,  vàèáâịcâ bãếè tìêè  ,   .  2 2  y. Ví dụ 2: Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) = cosx. –. Taäê òaùc ñòèâ: D = R.. –. Taäê áãaùtìò:  1, 1 .. –. Câï åyø : T = 2.. –. Bảèá bãếè tâãêè tìêè đoạè  0, 2  :. ò y. 2. 1. 3 2. . . 0.  2.  2. 3 2. . . 5 2. x. –1. . 0. . y = cosx. 1. . 3 2. 0. 2. 1. 0 –1. –.   Tịèâ tãếè tâeo véctơ v  2k .i ta đư ợc đoftâịy = coíị.. Nâaäè òeùt: – Ñoftâòlaømoät âaø m íoácâaüè èeâè èâaäè tìïïc tïèá Oy laø m tìïïc đốã ịư ùèá. –.   Haø m íốèáâịcâ bãếè tìêè åâoảèá  0,  vàèáâịcâ bãếè tìêè åâoảèá  2. Ví dụ 3: Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) = tanx.   – Taäê òaùc ñòèâ: D = R \   k , k  Z  2  – –. y. y = tanx. Taäê áãaùtìò: R. Gãớã âạè: lãm y   x . x.  2.  3   , . 2  . . 2. . 3 2. . .  2. O  2. : laøtãeäm caäè ñö ùèá.. 6. . 3 2. 2. 5 2. x.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Chương I. Nguyễn Bá Đại –. Câï åyø : T = .. –.    Baûèá bãeáè tâãeâè tìeâè   ,  :  2 2. . ò.  2.  2 +. 0. y. 0 –. –.   Tịèâ tãếè tâeo véctơ v  k .i ta đư ợc đoftâịy = tằị.. Nâaäè òeùt: – Ñoftâòlaømoät âaø m íốlẻ èêè èâậè áốc tọa độO là m tâm đốã ịư ùèá. – Haø m íoálïoâè ñofèá bãeáè tìeâè taäê òaùc ñòèâ D. Ví dụ 4: Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) = cotx. –. Taäê òaùc ñòèâ: D = R \ k , k  Z . – –. Taäê áãaù tìò: R. Gãớã âạè:. y = cotx. lãm y   , lãm y   . x 0. 2 . x x. –. tãeäm caäè ñö ùèá: ò = 0, ò = . Câï åyø : T = .. –. Bảèá bãếè tâãêè tìêè đoạè  0,   :. ò. y.  2. 0. .    2. 3 2.  2. O. 3 2. . 2. x. . + y. 0 –. –.   Tịèâ tãếè tâeo véctơ v  k .i ta đư ợc đoftâịy = cotị.. Nâaäè òeùt: –. Ñoftâòlaømoät âaø m íốlẻ èêè èâậè áốc tọa độO là m tâm đốã ịư ùèá.. –. Haø m íoálïoâè áãaûm tìeâè taäê òaùc ñòèâ D.. Ví dụ 5: Vẽ đồ thị y = – sinx. –. Veõñoftâò y = íãèò.. –. Tư øđoftâịy = íãèị, ta íïy ìa đoftâịy = – íãèị bằèá cácâ lấy đốã ịư ùèá ëïa Oị. y 1. –2. . 3 2. . . O.  2. y = –sinx. .  2. 3 2. 2. x. –1. Ví dụ 6: Vẽ đồ thị y = sinx íãè x , èeáï íãè ò  0 y  íãè x   -íãè ò, èeáï íãè ò < 0.. y 1 y = /sinx/ . .  2. O. 7.  2. . 3 2. 2. x.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Chương I. Nguyễn Bá Đại Ví dụ 7: Vẽ đồ thị hàm số y = 1 + cosx. –. Veõñoftâò y = coíò.. –. Tư øđoftâị y = coíị, ta íïy ìa đoftâị y  1  coí x bằèá cácâ tịèâ tãếè đoftâị y  coí x lêè tìïïc âoà èâ 1 ñôè vò.. –. Bảèá bãếè tâãêè tìêè đoạè  0, 2  :. ò. . 0. 3 2. . 2. 2. 1. 1. y = coíò. 0. 0 –1. 2. 2. y = 1 + coíò. 1. 1 0. y 2. y = 1 + cosx. 1. y = cosx . O.   2. x. 3 2. .  2. –1. Ví dụ 8: Vẽ đồ thị y = sin2x. –. y = íãè2ò coù câï åyøT = . –. Bảèá bãếè tâãêè tìêè đoạè  0, 2  :. . ò. . 2ò. . y = íãè2ò. 0. . 2. . . . 4.  2. . . 2. 2.  2 1. . . 0. 0. –1 y 1 y = sin2x. .  2. . O.  4. Ví dụ 9: Vẽ đồ thị y = cos2x..  4. 3 2. . –1. –. y = coí2ò coùcâï åyøT = . –. Bảèá bãếè tâãêè tìêè đoạè  0, 2  :     ò. 2. 2ò.  2. . 4   2.  .  4  2.  2 . 1 y = coí2ò. 0 –1. 0. 8. –1. 5 4. x.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Chương I. Nguyễn Bá Đại y 1 y = cos2x  2. O.  4.  4. 3 4.  2. x. –.   Ví dụ 10: Vẽ đồ thị y  íãè  x   có1 chu kỳ T = 2. 4  . ò. ò. – .  4. . . 3 4.  2   4. 3 4. . .  2. .  4.  4  2 1. 0.  4. 0.  2 3 2. 2 2.   y  íãè  ò    4. 2 2. . . 0. 5 4. 2 2. 0. . 3 4. 0. 2 2. . 2 2. –1 y 1 2 /2. . . 3 4. .  2. .   y = sin  x    4. O.  4.  2 /2.  4.  2. 3 4. . 5 4. 3 2. x. 7 4. –1.   Ví dụ 11: Vẽ đồ thị y  coí  x   có chu kỳ T = 2. 4   3      ò –  0  4 2 4   5 3   ò       4 4 4 2 4   2     2 y  coí  ò   0  4  2 2 . . . 2.  4 0.  2  4. 3 4. 2 2.   Ví dụ 12: Vẽ đồ thị y  íãè x  coí x  2 íãè  x   có chu kỳ T = 2. 4 . 9. . 1. 2. –1. 3 4  2. 0. . 2 2.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Chương I. Nguyễn Bá Đại. ò. ò. 3 4   2 –1. 3 4 2  2.  4. .   íãè  ò    4.  2   4 2 2. . – . . .  4.  4  2 1. 0.  4 2 2. 0 0. 3 4.  2 3 4 2 2.  5 4 2  2.  0. 2 1.   2 íãè  ò    4. 1. 0 –1. 0. –1. –1.  2 2. íãè ò  coí ò. 2. 1. 1. 1. 1. 1. 0. 0. y.  2. 1 . . 3 4. .  2. . O.  4. y=  4.  2.  4.  2. 3 4. 5 4. .  2. 3 2.   2 sin  x    4. x. 7 4. –1 y 2. 1 3  4. .   2.   4. O. y = sin x  cos x. Ví dụ 13: Vẽ đồ thị y  coí x  íãè x . 3 4 2  2 2  2 0 . ò. . coíò. –1. íãèò. 0. coíò – íãèò. –1. .  2. 0 –1 1. 3 2. 5 4. . 3 2. x. 7 4.   2 coí  x   coù chu kyø T = 2. 4 . 0.  4 2 2 2  2 2 .  4 2 2 2 2 0. 1 0 1.  2 0 1. –1. 3 4 2  2 2 2  2. 2. coí ò  íãè ò. 1. –1 0 –1. 2. 1. 1. 1. 0. y. . 1. 0y 2. 2 1. . . 3   4 2. .  4. o.  4.  2. 3 4. . 5 4. x. . . 3 4. 1.  2. y = cosx – sinx. y = cosx – sinx. 1. 10. .  2. .  4. o.  4.  2. 3 4. . 5 4. x.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> Chương I. Nguyễn Bá Đại Ví dụ 14: Vẽ đồ thị y = tanx + cotx. –.    Taäê òaùc ñòèâ: D  R \ k. , k  Z    2 . –. Câï åyøT = .. ò. .  2. . taèò cotò. 0.  3. .  4.  3. –1. 3 3. –1. . 0.  6 3 3. . 0.  6 3 3.  4.  3. 1. 3. 3. 1. 3 3.  3 +. . 4 3 3. . –  y. y = tanx + cotx. 4 3 3. 2. .  2. .    3 4. .  6.  6. O.  4. 4 3 3 2. 4 3 3. –.  3. –2 4 3 3. 11.  2. 0 +. 4 3 3. 2. y= taèò + cotò.  2. x.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> Chương I. Nguyễn Bá Đại. II. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC I. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN 1. Phöông trình sinx = sin  x    k 2 a/ íãè x  íãè    (k  Z )  x      k 2 íãè x  a. Ñieàu kieän :  1  a  1. b/  x  aìcíãè a  k 2 íãè x  a   (k  Z )  x    aìcíãè a  k 2. c/ íãè u   íãè v  íãè u  íãè(v)   d/ íãè u  coí v  íãè u  íãè   v  2    e/ íãè u   coí v  íãè u  íãè  v    2. Các trường hợp đặc biệt: íãè x  0  x  k (k  Z ) íãè x  1  x .  2.  k 2 (k  Z ). íãè x   1  x  . íãè x   1  íãè 2 x  1  coí2 x  0  coí x  0  x .  2.  2.  k 2 (k  Z ).  k (k  Z ). 2. Phöông trình cosx = cos a/ coí x  coí   x     k 2 (k  Z ) b/. coí x  a. Ñieàu kieän :  1  a  1. coí x  a  x   aìccoí a  k 2 (k  Z ). c/ coí u   coí v  coí u  coí(  v)   d/ coí u  íãè v  coí u  coí   v  2    e/ coí u   íãè v  coí u  coí   v  2 . Các trường hợp đặc biệt: coí x  0  x . .  k (k  Z ) 2 coí x  1  x  k 2 (k  Z ). coí x   1  x    k 2 (k  Z ). coí x   1  coí2 x  1  íãè2 x  0  íãè x  0  x  k (k  Z ) 3. Phöông trình tanx = tan a/ taè x  taè   x    k (k  Z ) b/ taè x  a  x  aìctaè a  k (k  Z ) c/ taè u   taè v  taè u  taè(v)   d/ taè u  cot v  taè u  taè   v  2 . 12.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> Chương I. Nguyễn Bá Đại   e/ taè u   cot v  taè u  taè   v  2 . Các trường hợp đặc biệt:. taè x   1  x  . taè x  0  x  k (k  Z ).  4.  k (k  Z ). 4. Phöông trình cotx = cot cot x  cot   x    k (k  Z ) cot x  a  x  aìccot a  k (k  Z ) Các trường hợp đặc biệt: cot x  0  x .  2.  k (k  Z ). cot x   1  x  .  4.  k (k  Z ). 5. Moät soá ñieàu caàn chuù yù: a/ Kâã áãaûã êâö ôèá tììèâ coù câö ùa caùc âaø m íốtằá, cotằá, có mẫï íốâoặc câư ùa căè bậc câẵè, tâì èâất tâãết êâảã đặt đãefï åãệè đểêâư ơèá tììèâ ịác địèâ. Pâö ôèá tììèâ câö ùa taèò tâì ñãefï åãeäè: x . . *.  k (k  Z ). 2 Pâö ôèá tììèâ câö ùa cotò tâì ñãefï åãeäè: x  k (k  Z ). *. Pâö ôèá tììèâ câö ùa caûtaèò vaøcotò tâì ñãefï åãeäè x  k. *. Pâö ôèá tììèâ coù maãï íoá:  íãè x  0  x  k (k  Z ). *. . . coí x  0  x . . taè x  0  x  k. 2. 2. (k  Z ).  k (k  Z ).  2. (k  Z ). . (k  Z ) 2 b/ Kâã tìm đư ợc èáâãệm êâảã åãểm tìa đãefï åãệè. Ta tâư ờ èá dïø èá một tìoèá các cácâ íạ đểåãểm tìa ñãefï åãeäè: 1. Kãeåm tìa tìö ïc tãeáê baèèá caùcâ tâay áãaù tìòcïûa ò vaø o bêeớ tđö ùc ñêefï ơêeôỉ. 2. Dïø èá đư ờ èá tìoø è lư ợèá áãác. 3. Gãaûã caùc êâö ôèá tììèâ voâñòèâ. . cot x  0  x  k. . Baøi 1. Gãaûã caùc êâö ôèá tììèâ:.   1) coí  2 x    0 6    4) íãè  3 x    0 3  7) íãè  3 x  1 . 1 2.   1 10) coí   2 x    2 6    13) taè  3 x    1 6 .   2) coí  4 x    1 3  x  5) íãè     1 2 4. . . 8) coí x  150 .   3) coí   x   1 5    6) íãè   2 x   1 6 . x  3 9) íãè      2 2 3. 2 2. . . 3 3. 11) taè  2 x  1  3. 12) cot 3 x  100 .   14) cot  2 x    1 3 . 15) coí(2ò + 250) = . 13. 2 2.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> Chương I. Nguyễn Bá Đại Baøi 2. Gãaûã caùc êâö ôèá tììèâ:. 1) íãè  3 x  1  íãè  x  2 .     2) coí  x    coí  2 x   3 6  . 3) coí3 x  íãè 2 x. 4) íãè x  120 0  coí 2 x  0.     5) coí  2 x    coí  x    0 3 3       7) taè  3 x    taè  x   4 6  .  x  6) íãè 3 x  íãè     0  4 2     8) cot  2 x    cot  x   4 3  . 9) taè  2 x  1  cot x  0. 10) coí x 2  x  0. . . 11) íãè x 2  2 x  0.  12) taè  x. 13) cot 2 x  1. 14) íãè 2 x . . . 15) coí x . 1 2. . 2. .  2 x  3  taè 2 1 2.   16) íãè 2  x    coí2 x 4 . II. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HAØM SỐ LƯỢNG GIÁC. Daïèá asin x  b íãè x  c  0. Ñaët t = íãèò. 1  t  1. a coí2 x  b coí x  c  0. t = coíò. 1  t  1. a taè 2 x  b taè x  c  0. t = taèò. x. a cot 2 x  b cot x  c  0. t = cotò. 2. Ñãefï åãeäè. .  k (k  Z ) 2 x  k (k  Z ). Nếï đặt: t  íãè2 x hoặc t  íãè x thì điều kiện : 0  t  1.. Baøi 1. Gãaûã caùc êâö ôèá tììèâ íaï:. 1) 2íãè2ò + 5coíò + 1 = 0. 2) 4íãè2ò – 4coíò – 1 = 0 4) taè 2 x  1  3  taè x  3  0. 3) 4coí5ò.íãèò – 4íãè5ò.coíò = íãè24ò 5) 4íãè2 x  2  3  1 íãè x  3  0 7) taè2ò + cot2ò = 2 Baøi 2. Gãaûã caùc êâö ôèá tììèâ íaï: 1) 4íãè23ò + 2  3  1 coí3 x  3 = 4 3) 4coí2(2 – 6ò) + 16coí2(1 – 3ò) = 13 5) 7). 3 + taè2ò = 9 coí x. 1 íãè2 x. = cotò + 3. 6) 4 coí3 x  3 2 íãè 2 x  8coí x 8) cot22ò – 4cot2ò + 3 = 0 2) coí2ò + 9coíò + 5 = 0 1 4)   3  3  taè x  3  3  0 coí2 x 4 6) 9 – 13coíò + =0 1  taè 2 x 1 8) + 3cot2ò = 5 2 coí x. 14.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> Chương I. Nguyễn Bá Đại 9) coí2ò – 3coíò = 4 coí2. x 2. 10) 2coí2ò + taèò =. 4 5.  íãè 3 x  coí3 x  3  coí 2 x . Tìm caùc èáâãeäm cïûa êâö ôèá tììèâ  íãè x   1  2íãè 2 x  5 . Baøi 3. Câo êâö ôèá tììèâ. tâïoäc  0 ; 2  . Baøi 4. Câo êâö ôèá tììèâ : coí5ò.coíò = coí4ò.coí2ò + 3coí2ò + 1. Tìm caùc èáâãeäm cïûa êâö ôèá tììèâ. tâïoäc   ;   .  . Baøi 5. Gãaûã êâö ôèá tììèâ : íãè 4 x  íãè 4  x .  5 4   íãè  x    . 4  4 4. . III. PHÖÔNG TRÌNH BAÄC NHAÁT THEO SINX VAØ COSX DAÏNG: a sinx + b cosx = c (1) Caùch 1: . a2  b2 ta đư ợc:. Câãa âaã veáêâö ôèá tììèâ câo (1) . . Ñaët: íãè  . a 2. a b. 2. , coí  . êâư ơèá tììèâ tìở tâà èâ:. a a2  b 2. íãè x . b 2. a b. 2. íãè  .íãè x  coí  .coí x . c a2  b2. c a2  b2. c a2  b2.  coí  (2). Đãefï åãệè đểêâư ơèá tììèâ có èáâãệm là : c a 2  b2. . a2  b2. coí x .   0, 2 .  coí( x   )  . b. (2)  x      k 2.  1  a 2  b2  c2 .. (k  Z ). Caùch 2:. x    k coù laøèáâãeäm âay åâoâèá? 2 2 x b/ Xeùt x    k 2  coí  0. 2 a/ Xeùt x    k 2 . x 2t 1  t2 Ñaët: t  taè , thay íãè x  , coí x  , ta đư ợc êâư ơèá tììèâ bậc âẫ tâeo t: 2 1  t2 1  t2. (b  c)t 2  2at  c  b  0 (3) Vì x    k 2  b  c  0, èeâè (3) coù èáâãeäm åâã:.  '  a2  (c2  b2 )  0  a2  b2  c2 . Gãảã (3), vớã mỗã èáâãệm t0, ta có êâư ơèá tììèâ: tằ Ghi chuù: 1/ Cácâ 2 tâư ờ èá dïø èá đểáãảã vàbãệè lïậè.. 15. x  t0 . 2.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> Chương I. Nguyễn Bá Đại 2/ Câo dïøcácâ 1 âay cácâ 2 tâì đãefï åãệè đểêâư ơèá tììèâ có èáâãệm: a2  b2  c2 . 3/ Baát ñaúèá tâö ùc B.C.S:. y  a.íãè x  b.coí x . a2  b2 . íãè 2 x  coí2 x .  mãè y   a2  b2 vaø maò y . a2  b2 . a2  b2. íãè x coí x a   taè x  a b b. Baøi 1. Gãaûã caùc êâö ôèá tììèâ íaï:. 2) íãè x  coí x . 1) coí x  3 íãè x  2 4) íãè x  coí x  2 íãè 5 x   6) 3 íãè 2 x  íãè   2 x   1 2  Baøi 2. Gãaûã caùc êâö ôèá tììèâ íaï: 1) 2íãè 2 x  3 íãè 2 x  3 3) 8 coí x . 5). . 6 2. 3). 3 coí3 x  íãè 3 x  2. 3  1 íãè x   3  1 coí x  3  1  0. 2) íãè 8 x  coí 6 x  3  íãè 6 x  coí8 x . 3 1  íãè x coí x. 4) coíò –.   3 íãè x  2 coí   x  3 . 5) íãè5ò + coí5ò = 2 coí13ò Baøi 3. Gãaûã caùc êâö ôèá tììèâ íaï:. 6) (3coíò – 4íãèò – 6)2 + 2 = – 3(3coíò – 4íãèò – 6). 1) 3íãèò – 2coíò = 2 3) coíò + 4íãèò = – 1 Baøi 4. Gãaûã caùc êâö ôèá tììèâ íaï:. 2) 3 coíò + 4íãèò – 4) 2íãèò – 5coíò = 5. 3 =0.      3 2  1) 2íãè  x   + íãè  x   = 2) 3 coí 2 x  íãè 2 x  2íãè  2 x    2 2 2  4  4  6 Bài 5. Tìm m đểêâư ơèá tììèâ : (m + 2)íãèị + mcoíị = 2 có èáâãệm . Bài 6. Tìm m đểêâư ơèá tììèâ : (2m – 1)íãèị + (m – 1)coíị = m – 3 vôèáâãệm.. IV. PHÖÔNG TRÌNH ÑAÚNG CAÁP BAÄC HAI DAÏNG: a sin2x + b sinx.cosx + c cos2x = d (1) Caùch 1:  Kãểm tìa coíị = 0 có tâoảmãè âay åâôèá? Löu yù: coíò = 0  x  .  2.  k  íãè2 x  1  íãè x   1.. Kâã coí x  0 , câãa âẫ vếêâư ơèá tììèâ (1) câo coí2 x  0 ta đư ợc:. a.taè 2 x  b.taè x  c  d (1  taè2 x ) . Ñaët: t = taèò, ñö a vefêâö ôèá tììèâ baäc âaã tâeo t: (a  d )t 2  b.t  c  d  0. Caùch 2: Dïø èá coâèá tâö ùc âaïbaäc. 1  coí 2 x íãè 2 x 1  coí 2 x  b.  c.  d 2 2 2  b.íãè 2 x  (c  a).coí 2 x  2d  a  c (đây làêâư ơèá tììèâ bậc èâất đốã vớã íãè2ị và coí2ò). (1)  a.. 16.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> Chương I. Nguyễn Bá Đại Baøi 1. Gãaûã caùc êâö ôèá tììèâ íaï:. 1) 2íãè 2 x  1  3  íãè x.coí x  1  3  coí2 x  1 2) 3íãè2 x  8íãè x.coí x   8 3  9  coí2 x  0 3) 4 íãè2 x  3 3 íãè x.coí x  2 coí2 x  4 1 4) íãè 2 x  íãè 2 x  2 coí2 x  2 5) 2íãè 2 x  3  3  íãè x.coí x   3  1 coí2 x  1 6) 5íãè 2 x  2 3 íãè x.coí x  3coí2 x  2 7) 3íãè2 x  8íãè x.coí x  4 coí2 x  0.  9)  8). 2  1  íãè 2 x  íãè 2 x   2  1 coí2 x  2 3  1 íãè 2 x  2 3 íãè x.coí x   3  1 coí2 x  0. 10) 3 coí4 x  4 íãè2 x coí2 x  íãè 4 x  0 11) coí2ò + 3íãè2ò + 2 3 íãèò.coíò – 1 = 0 12) 2coí2ò – 3íãèò.coíò + íãè2ò = 0 Baøi 2. Gãaûã caùc êâö ôèá tììèâ íaï:. 1) íãè3ò + 2íãè2ò.coí2ò – 3coí3ò = 0. 2). 3 íãè x.coí x  íãè 2 x . 2. 2 1 2. 2. Bài 3. Tìm m đểêâư ơèá tììèâ : (m + 1)íãè ị – íãè2ị + 2coí ị = 1 cóèáâãệm. Bài 4. Tìm m đểêâư ơèá tììèâ : (3m – 2)íãè2ị – (5m – 2)íãè2ị + 3(2m + 1)coí2ị = 0 vô. èáâãeäm .. V. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG Daïng 1: a.(sinx  cosx) + b.sinx.cosx + c = 0    Ñaët: t  coí x  íãè x  2.coí  x   ; t  2.  4. . 1  t 2  1  2íãè x.coí x  íãè x.coí x   (t 2  1). 2 Tâay vaø o êâư ơèá tììèâ đãcâo, ta đư ợc êâư ơèá tììèâ bậc âẫ tâeo t. Gãảã êâư ơèá tììèâ èà y tìm t tâoûa t  2. Sïy ìa ò.. Lö ï yù daáï: .     coí x  íãè x  2 coí  x    2 íãè  x    4  4. .     coí x  íãè x  2 coí  x     2 íãè  x    4  4. Daïng 2: a.|sinx  cosx| + b.sinx.cosx + c = 0 .   Ñaët: t  coí x  íãè x  2. coí  x   ; Ñk : 0  t  2.  4. 17.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> Chương I. Nguyễn Bá Đại. . 1  íãè x.coí x   (t 2  1). 2 Tư ơèá tư ïdạèá tìêè. Kâã tìm ị cafè lư ï ý êâư ơèá tììèâ câư ùa dấï áãátìịtïyệt đốã.. Baøi 1. Gãaûã caùc êâö ôèá tììèâ:. 1) 2íãè 2 x  3 3  íãè x  coí x   8  0. 2) 2  íãè x  coí x   3íãè 2 x  2. 3) 3  íãè x  coí x   2íãè 2 x  3. 4) 1  2  1  íãè x  coí x   íãè 2 x. 5) íãèò + coíò – 4íãèò.coíò – 1 = 0. 6) 1  2   íãè x  coí x   íãè 2 x  1  2. Baøi 2. Gãaûã caùc êâö ôèá tììèâ:. 1) íãè 2 x  4  coí x  íãè x   4. 2) 5íãè2ò – 12(íãèò – coíò) + 12 = 0. 3) 1  2  1  íãè x  coí x   íãè 2 x. 4) coíò – íãèò + 3íãè2ò – 1 = 0. 5) íãè2ò +.   2 íãè  x    1  4 2. 6)  íãè x  coí x    2  1 (íãè x  coí x )  2  0 Baøi 3. Gãaûã caùc êâö ôèá tììèâ:. 1) íãè3ò + coí3ò = 1 +. . 2  2  íãèò.coíò. 2) 2íãè2ò – 3 6 íãè x  coí x  8  0. VI. PHÖÔNG TRÌNH DAÏNG KHAÙC. Baøi 1. Gãaûã caùc êâö ôèá tììèâ íaï:. 3 2. 1) íãè2ò = íãè23ò. 2) íãè2ò + íãè22ò + íãè23ò =. 3) coí2ò + coí22ò + coí23ò = 1. 4) coí2ò + coí22ò + coí23ò + coí24ò =. 3 2. Baøi 2. Gãaûã caùc êâö ôèá tììèâ íaï:. 1) íãè6ò + coí6ò =. 1 4. 2) íãè8ò + coí8ò =. 3) coí4ò + 2íãè6ò = coí2ò. 1 8. 4) íãè4ò + coí4ò – coí2ò +. 1 4íãè2 2x. – 1=0. Baøi 3. Gãaûã caùc êâö ôèá tììèâ íaï:. 1) 1 + 2íãèò.coíò = íãèò + 2coíò. 2) íãèò(íãèò – coíò) – 1 = 0. 3) íãè3ò + coí3ò = coí2ò. 4) íãè2ò = 1 +. 5) íãèò(1 + coíò) = 1 + coíò + coí2ò. 6) (2íãèò – 1)(2coí2ò + 2íãèò + 1) = 3 – 4coí2ò. 7) (íãèò – íãè2ò)(íãèò + íãè2ò) = íãè23ò 8) íãèò + íãè2ò + íãè3ò =. 2 (coíò + coí2ò + coí3ò). Baøi 4. Gãaûã caùc êâö ôèá tììèâ íaï:. 18. 2 coíò + coí2ò.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> Chương I. Nguyễn Bá Đại 1) 2coíò.coí2ò = 1 + coí2ò + coí3ò. 2) 2íãèò.coí2ò + 1 + 2coí2ò + íãèò = 0. 3) 3coíò + coí2ò – coí3ò + 1 = 2íãèò.íãè2ò 4) coí5ò.coíò = coí4ò.coí2ò + 3coí2ò + 1 Baøi 5. Gãaûã caùc êâö ôèá tììèâ íaï:. 1) íãèò + íãè3ò + íãè5ò = 0. 2) coí7ò + íãè8ò = coí3ò – íãè2ò. 3) coí2ò – coí8ò + coí6ò = 1. 4) íãè7ò + coí22ò = íãè22ò + íãèò. Baøi 6. Gãaûã caùc êâö ôèá tììèâ íaï:. 1) íãè3ò + coí3ò +. 1.   íãè 2 x.íãè  x   = coíò + íãè3ò  4 2. 2) 1 + íãè2ò + 2coí3ò(íãèò + coíò) = 2íãèò + 2coí3ò + coí2ò. 19.

<span class='text_page_counter'>(20)</span>