De thi HSG toan 9

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Phßng GD huyÖn Thanh Oai §Ò thi chän häc sinh giái líp 9 n¨m häc 2014- 2015 Trêng THCS Bình Minh Thời gian làm bài 150 phút (không kể thời gian giao đề) Bµi 1: (6®) a. Cho biÓu thøc:  x2 P    x x 1. 1  4 x . x 1  3. 1.Rót gon P 8 2.Tìm các giá trị của x để P= 9. 3. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P b. Chøng minh r»ng 1 1 1 1 1     ...  4 3 4 5 6 7 8 79  80 A= 1  2. Bµi 2:(4®) a) Gi¶i ph¬ng tr×nh: 2 x2  x  6  x2  x  2 x . 4 x. b)Chøng minh r»ng : n2 + 7n + 2014 kh«ng chia hÕt cho 9 víi mäi sè tù nhiªn n. Bµi 3:(3®) a) T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh 1 + x + x 2 + x 3 = y3 b)Cho a,b,c lµ c¸c sè d¬ng vµ a+b+c=1 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A= a3 +b 3+ c 3 Bµi 4:(6®) Cho đờng tròn tâm O bán kính R, từ một điểm S ở ngoài đờng tròn vẽ các tiếp tuyến SA.SB ( A, B là các tiếp điểm). Kẻ đờng kính AC của (O) cắt AB tại E. Chứng minh: a) Bốn điểm A,O,S,B thuộc cùng một đờng tròn. b) AC2 = AB.AE c) SO // CB d) OE vu«ng gãc víi SC Bµi 5: (1®) T×m a,b lµ c¸c sè nguyªn d¬ng sao cho: a + b2 chia hÕt cho a2b-1. §¸p ¸n + biÓu ®iÓm Bµi 1: a) (4®) 1.(2®) Tìm đợc ĐK: x 0. 0,25®.

<span class='text_page_counter'>(2)</span>  x2 1  4 x   . x 1  3  ( x  1)( x  x  1)  x  2  ( x  x  1)  4 x   .  ( x  1)( x  x  1)  3 x 1 4 x  . ( x  1)( x  x  1) 3 . 0,5® 0,5® 0,5® 0,25®. 4 x 3( x  x  1). 2. (1®) 8 1  2 x  5 x  2 0  x1 4; x2  4 (TM§K) P= 9 3.Víi x 0;3( x  x 1)  0  P 0 , minP=0 khi x=0 4 1 1 4 x 2 x  1 1  x x nªn . Do đó P 3 . 4 ”=” x¶y ra khi x=1. VËy maxP= 3 khi x=1. 1 3( x   1) x Víi x>0,P= v×. DÊu. 1 1 1 1    ...  3 4 5 6 79  80 b. A= 1  2 1 1 1 1    ...  4 5 6 7 80  81 A> 2  3. 2A >. 1 1 1 1 1 1     ...   1 2 2 3 3 4 4 5 79  80 80  81. 1® 0,5® 0,25® 0,25®. 1®. 1®. 2A > 2  1  3  2  4  3  5  4  ...  81  80 2A > 81  1 9  1 8  A  4 (®pcm) Bµi 2:(4®) a) (2®) §K: x>0 2. 0,25®. 2. NhËn thÊy 2 x  x  6 x  x  2 víi mäi x Biến đổi:. 0,5® 0,25®.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> 4 x 2 x 4 x2  4  x 2x2  x  6  x2  x  2. 2 x2  x  6  x2  x  2 x  . 0,5® 0,5®. 2 x 2  x  6  x 2  x  2 x 4 2 x2  x  2  2 4 3 2  x  x x  x  2 2  x  x  2 x  4 0 .  ( x  1)( x 3  2 x 2  4 x  4) 0  x 1( dox3  2 x 2  4 x  4  0khix  0). b)(2®) Gi¶ sö n2 +7n +2014 9  n 2  7n  20143  4n 2  28n  80563  (2n  7) 2  80073 2 2 v× 80073  (2n  7) 3  (2n  7) 9 mµ 8007 kh«ng chia hÕt cho 9. Nªn (2n+7)2+8007 kh«ng 2. chia hªt cho 9  n  7n  2014 kh«ng chia hÕt cho 9 m©u thuÉn víi gi¶ sö nªn ®iÒu gi¶ sö lµ sai. VËy n2+7n +2014 kh«ng chia hÕt cho 9 (®pcm). 0,5® 0,5® 1®. Bµi 3: (3®iÓm) 1 3 a. (1,5d) Giải: Ta có x2+x+1=(x+ 2 )2 + 4 >0 11 2 19 )  2 20 >0 5x +11x+7=5(x+ 10. Nên(1+x+x2+x3)-(1+x+x2)<1+x+x2+x3<(1+x+x2+x3)+(5x2+11x+7)  x3<1+x +x2+x3<(x+2)3 hay x3<y3<(x+2)3 .Do đó y3=(x+1)3  x 0  =>(x+1)3=1+x+x2+x3  x(x+1)=0   x  1. *x=0=>y=1 *x=-1=>y=0 Vậy nghiệm nguyên của PT là : (0;1), (-1;0). 0,5®. 0,5®. 0,5®. b) (1,5®) a3 . ta cã a>0 nªn. 0,25® 0,25®. 1 1 1 1 a  3 3 a 3 . .  27 27 27 27 3 ( b®t c«si cho 3 sè d¬ng). a 2  a   3 27 b 2 3 c 2 b3   ;c   3 27 3 27 t¬ng tù. 0,5®. 3. ,. 0,5®.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> ⇒. 3. 3. a +b + c. 3. 1 2 1 2 1  (a  b  c)     3 9 3 9 9. 1 1 Do đó A 9 . Dấu “=” xảy ra khi a=b=c= 3 1 1  a b c  3 VËy min A= 9 . Bµi 4:(6®) a. Vẽ đúng hình chứng minh đợc 4 điểm A,O,S,B cùng thuộc 1 đờng tròn đờng kính SO b.Cm đợc AC2=AB.AE. 1,5® 1,5®. O S. C. 1,5®. y. c. Cm đợc SO//CB. E. 1,5®. EC AC EC AC      OCE đồng d. Cm  AECđồng dạng  SOA  OA SA OC SA dạng  SAC từ đó suy ra OE vuông góc với SC. Bµi 5: (1®) x 2  2xy  2  y ( x 2  2)xy  2  x( xy  2)  2( x  y )xy  2  2( x  y ) xy  2. §Æt 2(x+y)=k(xy+2) víi k  Z. . Nõu k=1  2 x  2 y xy  2  ( x  2)( y  2) 2 Tìm đợc x=4 ; y=3 Nõu k 2  2( x  y) 2( xy  2)  x  y xy  2  ( x  1)( y  1) 1 0 v« lÝ (lo¹i) VËy x=4. y=3 Chú ý: Nếu học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm.. 1,0®.

<span class='text_page_counter'>(5)</span>