De thi hsg toan 9

<span class='text_page_counter'>(1)</span>phßng gD & ĐT thanh Oai TRƯỜNG THCS BÍCH HÒA đề chính thức. §Ò thi häc sinh giái líp 9 N¨m häc 2014 - 2015 M«n: To¸n ( Thời gian: 150 phút không kể thời gian giao đề). Câu 1: ( 6 điểm ). 2 5 x 1 x1 A 1  (   ): 1  2 x 4 x  1 1  2 x 4 x  4 x 1 1) Cho biểu thức:. a/ Rút gọn A b/ Tìm giá trị nguyên của x để A đạt giá trị nguyên 3 x  7 49(5  4 2)(3  2 1  2 )(3  2 1  2 2 ) . c/ Tính giá trị của A với. 2) Tìm tất cả các số tự nhiên abc có 3 chữ số sao cho : abc n 2  1  2 cba  n  2 . với n là số nguyên lớn hơn 2.. Câu 2: ( 4 điểm ). 1) Giải phương trình sau:. x+3+ √ 1−x 2=3 √ x +1+ √1−x. 1 1 1 x yz    x y z. 2) Cho x, y, z là ba số thỏa mãn: x. y.z 1 và. P  x 2013  1  y 2014  1  z 2015  1. Tính giá trị của biểu thức: Câu 3: ( 3 điểm ). 1) T×m c¸c nghiệm nguyên của phương trình : x2 + xy + y2 = x2y2 2) Cho a, b và c là các số thực không âm thỏa mãn a  b  c 1 . ab bc ca 1    Chứng minh rằng c  1 a  1 b  1 4 .. Câu 4: ( 6 điểm ). Cho O là trung điểm của đoạn thẳng AB. Trên một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ hai tia Ax, By vuông góc với AB. Trên tia Ax lấy điểm C, trên tia By lấy điểm D sao cho góc COD = 900. Kẻ OH vuông góc với CD tại H. a) Chứng minh CD là tiếp tuyến của đường tròn tâm O đường kính AB; AB 2 AC.BD  4 ; b) Chứng minh. c) Nêu cách xác định vị trí điểm C trên tia Ax để diện tích tam giác COD bằng diện tích tam giác AHB. Câu 5: ( 1 điểm ). T×m nghiÖm nguyªn dương cña ph¬ng tr×nh : x2+2y2 +2xy +3y- 4 = 0 —————————————– Hết ——————————————–. Người ra đề Ðặng Ngọc Trình. Người duyệt đề.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> híng dÉn chÊm m«n to¸n 9 Năm học: 2014 - 2015. phßng gD ĐT thanh Oai TRƯỜNG THCS BÍCH HÒA. Điể m. Câu  2 5 x 1  x1     : 4 x  1 1  2 x  4 x  4 x 1 a/Cho biểu thức A= 1-  1  2 x 1 0; x  ; x 1 4 ĐK: x.   5 x 1  x1  2   :  2 x  1 2 x  1 (2 x  1) 2 x  1  2 x  1  A= 1- . . . . 0,5đ. . 2. 0,5đ. 4 x  2  5 x  2 x  1 (2 x  1) 2 . (2 x  1)(2 x  1) x1 A=1-. Câu 1.1 (4 ð). 0,5đ. 0,5đ. x  1 2 x 1 2 x 1 2 . 1   2 x  1 1 2 x A=1- 2 x  1 x  1 b/ Tìm x  Z để A nguyên. 2 A Z   Z  1 2 x  1 2 x Ư(2) Do x 0; x 1; x  Z  x 0. 1đ. Vậy x=0 thì A có giá trị nguyên. 3 c/Với x=  7 49(5  4 2)(3  2 1  2 )(3  2 1  2 2 ). 0,5đ 0,5đ. 3 x=-7 49(5  4 2)(5  4 2)  7.  7 49. . 2 2   x 7 . Vậy A 1  2.7  13. (1). 0,5. abc 100a  10b  c n 2  1  2 cba 100c  10b  a n  4n  4. Câu 1.2 (2 ð). 0,5. Viết được (2) Từ (1) và (2) ta có 99 ( a –c ) = 4n – 5 => 4n – 5  99 (3) Mặt khác : 2 2 100 n  1 999  101 n 1000  11 n 31  39 4n  5 119. Từ (3) và (4) => 4n – 5 = 99 Vậy số cần tìm abc 675 1.. 0,5 (4). 0,5. => n = 26. x+3+ √ 1−x 2=3 √ x +1+ √ 1−x (ĐK: −1< x< 1 ). 0,5đ..

<span class='text_page_counter'>(3)</span> √ x + 1= a √ 1− x = b. ( a. Đặt Thay vào phýõng trình đã cho ta có: a2 +2+ab=3 a+b ⇔ a2 + ( b−3 ) . a− ( b−2 ) =0⇔ ( a−1 )( a+b−2 )=0 {. Câu 2.1 (2đ). , b ≥0 ) ⇒ ¿ x + 3= a 2 + 2 2 1− x = ab √ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿. ⇔ [ a=1 ¿ [¿ [ a+b=2.  Với a=1⇒ √ x +1=1 ⇔ x=0 (thỏa mãn) 2 2 Với a+b=2 ⇒ √ x+ 1+ √1−x=2⇔ x +1+1−x +2 √ 1−x =4 ⇔ √1−x =1⇔ x=0 (thỏa mãn) Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x=0 . ---------------------------------------------------------------------------------------------1 1 1 xy  yz  zx x yz     x yz   xy  yz  xz x y z xyz Từ ( vì xyz 1 ). 0,5đ.. 0,5đ.. 0,5đ. 0,5đ 0,5đ. Xét tích  x  1  y  1  z  1  xy  x  y  1  z  1  xyz  xy  xz  yz  x  y  z  1 1  xy  xz  yz  x  y  z  1 0. Câu 2.2 (2ð) --------.  x  1 0   y  1 0   z  1 0.  x 1  y 1   z 1 Lần lượt thay x 1 hoặc y 1 hoặc z 1 vào biểu thức P ta đều được P 0. ---------------------------------------------------------------------------------------------Câu 3.1 (2ð).  x 2 y 2  4 x 2  2 2 2 *Víi x 2 vµ y 2 ta cã:  x y  4 y.  x2y2  2 (x2 + y2) = x2 + y2 +x2 + y2 x2 + y2 + 2xy> x2 + y2 + xy * VËy x 2 hoÆc y  2 - Với x =2 thay vào phơng trình ta đợc 4 + 2y + y2 = 4y2 hay 3y2-2y -4 =0  Ph¬ng tr×nh kh«ng cã nghiÖm nguyªn - Với x =-2 thay vào phơng trình ta đợc 4 - 2y + y2 = 4y2 hay 3y2+2y -4 =0  Ph¬ng tr×nh kh«ng cã nghiÖm nguyªn - Với x =1 thay vào phơng trình ta đợc 1 + y + y2 = y2 hay y = -1 - Với x =-1 thay vào phơng trình ta đợc 1 - y + y2 = y2 hay 1- y = 0  y =1 - Với x = 0 thay vào phơng trình ta đợc y =0 Thử lại ta đợc phơng trình có 3 nghiệm nguyên (x, y) là: (0; 0); (1, -1); (-1, 1). 0,5đ 0,5đ ------0,25ð 0,25ð 0,25ð 0,25ð 0,25ð 0,25ð 0,25ð 0,25ð. Học sinh phát biểu và CM bất đẳng thức phụ sau: 0,25 1 1 1 1     - Với x; y là các số thực dương bất kỳ ta có: x  y 4  x y  (1). Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi x = y..

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Câu 3.2 (1ð). Thật vậy: Vì x; y là các số thực dương theo BĐT Côsi ta có. 0,25. 1 1 1 1 11 1       2 xy .2 4  xy x y 4 x y  x y.  x  y . - Áp dụng BĐT (1) ta có: ab ab ab  1 1       c 1  c  a    c  b  4  c  a c  b . 0,25 (1’). bc bc  1 1  ca ca  1 1         ’  Tương tự a  1 4  a  b a  c  (2 ); b  1 4  b  a b  c  (3’). Cộng vế với vế của ba đẳng thức trên ta được: ab bc ca 1  ab  ca ab  cb cb  ca  a  b  c 1         c  1 a  1 b 1 4  b  c c a a b  4 4. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi. a b c . 0,25. 1 3.. 0,5. a) Vì Ax  AB; By  AB nên Ax, By là tiếp tuyến của đường tròn (O) Câu 4 Gọi M là trung điểm của CD => OM là đường trung bình của hình thang 1,5 ACDB => OM //AC => góc ACO = góc MOC ( So le trong) (1) (6đ) Lại có: OM là trung tuyến thuộc cạnh huyền của tam giác vuông COD => OM = MC => tam giác OMC cân tại M => góc COM = góc MCO (2) Từ (1) và (2) suy ra góc ACO = góc MCO => tam giác ACO = tam giác HCO (cạnh huyền - góc nhọn) => OH = OA => H thuộc đường tròn tâm O => CD là tiếp tuyến của đường tròn tâm O đường kính AB b) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có AC = CH; BD = DH 2. CH.DH = OH =>. AC.BD . AB 2 4. OH 1 => HK ( HK  AB; K thuộc AB ). 1,5. 0,5 c) SCOD S AHB 1,0 ( Vì tam giác COD đồng dạng với tam giác BHA) => OH = HK => K trùng O => H là điểm chính giữa của nửa đường tròn O => 1,0.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> AB AB AC = 2 vậy điểm C thuộc tia Ax sao cho AC = 2 thì SCOD S AHB .. ---------------------------------------------------------------------------------------------Biến đổi phơng trình x2+2y2 +2xy +3y- 4 = 0 ⇔ (x2+2xy+y2) +y2 +3y - 4= 0 ⇔ (y+4)(y-1) =-(x+y)2 ¿ 0 Câu 5 ⇒ - 4 ¿ y ¿ 1 v× y thuéc Z nªn y ¿ {−4 ;−3;−2;−1;0;1 } (1 ð) S¸u cÆp (x;y) tháa m·n ph¬ng tr×nh lµ (4;- 4), (1;- 1),(5;-3), (1;3),(2;0), (-2;0) V ì x; y nguyên dương nên x=1 và y=3. 0,25 0,25 0,25 0,25.

<span class='text_page_counter'>(6)</span>