Mon Toan nam 20152016

<span class='text_page_counter'>(1)</span>PHÒNG GD&ĐT THANH OAI TRƯỜNG THCS XUÂN DƯƠNG. ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LỚP 9 NĂM HỌC 2015 – 2016 Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề). Câu 1: (6đ) Cho biÓu thøc P = - + ( víi x≥ 0 ; x≠ 1) a) Rót gän biÓu thøc P b) TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc víi x = + + 2 c) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P Câu 2: (4đ) a) Giải phương trình: √ 2 x 2 − 9 x+ 4+ 3 √2 x −1=√ 2 x 2 +21 x −11 b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A=. xy yz zx + + z x y. với x,y,z là các số dương và x2 + y2 + z2 = 1. Câu 3: (3đ) a)Tìm các nghiệm nguyên của phương trình : 2x6 + y2 –2 x3y = 320 1 1 1   6 b) Cho x, y, z là các số dương thoả mãn x  y y  z z  x . 1 1 1 3    Chứng minh rằng: 3x  3 y  2 z 3x  2 y  3z 2 x  3 y  3z 2 .. Câu 4: (6đ) Cho đường tròn tâm O đường kính AB. M là điểm thuộc đoạn thẳng OA, vẽ đường tròn tâm O’ đường kính MB. Gọi I là trung điểm đoạn thẳng MA, vẽ dây cung CD vuông góc với ABtạiI. Đường thẳng BC cắt đường tròn (O’) tại J. a) Chứng minh: Đường thẳng IJ là tiếp tuyến của đường tròn (O’). b) Xác định vị trí của M trên đoạn thẳng OA để diện tích tam giác IJO’ lớn nhất. Câu 5: (1đ) Tìm các số nguyên dương x,y thỏa mãn: 2xy + x + y = 83 -----------Hết-----------.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> PHÒNG GD&ĐT THANH OAI TRƯỜNG THCS XUÂN DƯƠNG Câu. 1 (6đ). ĐÁP ÁN CHẤM THI HGS TOÁN 9 Năm học: 2015– 2016. ý. Nội dung trình bày. a. P = - + = = = =..... = = b. §Æt y = +  y = 7+5 + 7 - 5 + 3( + ).  y = 14 - 3y  y +3y -14 = 0 …………  (y- 2)( y + 2y + 7) = 0 ( vì y + 2y + 1 + 6 ≥ 6)  …….. y = 2  x=4 Thay x =4 vµo biÓu thøc rót gän cña P ta đợc P=4 c. P = = …. = +3 + -6 Áp dụng bất đẳng thức Cụ si đối với 2 sè d¬ng ta cã P = +3 + - 6 ≥ 2 -6 P ≥ 10 - 6 = 4 VËy Min P = 4  +3 = x=4. Điểm. 0,5. 0,5. 0,5 0,5 0,75 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 0,5 0,25. 2 (4đ). a. ĐK: x ≥ 4 hoặc x=0,5. 0,5.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Biến đổi:. √ 2 x 2 −9 x +4 +3 √2 x − 1=√ 2 x 2 +21 x −11 ⇔ √( x − 4 ) ( 2 x − 1 ) +3 √2 x − 1=√ ( x+ 11 ) ( 2 x − 1 ) ⇔ √ ( x − 4 )( 2 x − 1 )+ 3 √ 2 x − 1− √( x +11 ) ( 2 x −1 ) =0 ⇔ √ 2 x − 1( √ x − 4+3 − √ x +11)=0 1,0 ⇔ √2 x −1=0(1). Hoặc √ x − 4+3 − √ x +11=0 (2). Giải (1) được 0,5 x=0,5 (thỏa mãn),giải (2) được x=5 (thỏa mãn) b. xy yz zx + + z x y. A= Nên A2 =. x2 y2 y2 z2 z2 x2 + 2 + 2 +2 0,75 z2 x y. ( vì x2+y2+z2 =1) = B +2 Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 2 số dương ta có x2 y2 y2 z2 x2 y2 y2 z2 + ≥ =2 y 2 2 2 2 2 z x z x. √. Tương tự y 2 z2 z2 x2 + 2 ≥2 z 2 2 x y 2 2 2 2 x y z x + 2 ≥2 x 2 2 z y. 0,75. Cộng vế với vế ta được 2B 2 ⇒ B≥ 1. Do đó A2 = B +2 0,5 3 nên A √3 Vậy Min A = √ 3 ⇔ x=y=z=.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> √3 3. 3. a. (3đ). Từ 2x6 + y2 – 2x3y 0,5 = 320 <=>(x3-y)2 + (x3)2=320 => (x3)2 £ 320 mà x nguyên nên. 0,75. x£2. b. Nếu x=1 hoặc x=-1 thì y không nguyên (loại) Nếu x=2=> y=-2 hoặc y=6 Nếu x=-2 => y=-6 hoặc y=2 Vậy phương trình 0,25 đã cho có 4 cặp nghiệm (x;y) là: (2;-2);(2;6); (-2;-6);(-2;2) Áp dụng BĐT 0,5 1 1 4   a b a b (với a, b > 0). . 1 1 1 1     a b 4  a b . Ta có: 1 1 1 1     3x  3 y  2 z  2 x  y  z    x  2 y  z  4  2 x  y  z x .  11 1 1 1 1 1 1         4   x  y    x  z   x  y    y  z   4  4  x  y x  z x  y. 1 2 1 1       16  x  y x  z y  z .

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Tương tự:. 1 1 2 1 1       3 x  2 y  3z 16  x  z x  y y  z  1 1  0,5 2 1 1       2 x  3 y  3z 16  y  z x  y x  z . Cộng vế theo vế, ta có: 1 1 1 1 4 4      3 x  3 y  2 z 3 x  2 y  3z 2 x  3 y  3 z 16  x  y x  z. 4 1 1 1  1 3       .6  16  x  y x  z y  z  4 2 4. 1,0 C. (6đ). J. A. I. a D. M. O. O’. Xét tứ giác ACMD có : IA = IM (gt), IC = ID (vì AB  CD : gt)  ACMD là hình thoi  AC // DM, mà AC  CB (do C thuộc đường tròn đường kính AB)  DM  CB; MJ  CB (do J thuộc đường tròn đường kính MB)  D, M, J thẳng hàng. Ta có :   IDM + IMD = 900 ( 0  vì DIM = 90 ). B. 0,5. 0,5. 0,5. 0,5.

<span class='text_page_counter'>(6)</span>   Mà IJM = IDM (do IC = IJ = ID :  CJD vuông tại J có JI là trung tuyến)    MJO' = JMO' = IMD. (do O’J = O’M : bán kính đường ˆ ' tròn (O’); JMO và ˆ đối đỉnh) IMD .   IJM + MJO' 900. 0,5.  900  IJO  IJ. b. là tiếp tuyến của (O’), J là tiếp điểm Ta có: IA = IM  AB 0,5 IO’ = 2 = R (R là. bán kính của (O)) O’M = O’B (bán kính (O’)  JIO’ vuông tại I : 0,5 IJ2 + O’J2 = IO’2 = R2 Mà IJ2 + O’J2  0,5 2IJ.O’J = 4SJIO’ Do đó SJIO’. . R2 4. R2 SJIO’ = 4 khi IJ = O’J và  JIO’. 0,5. vuông cân có cạnh huyền IO’ = R nên : 2O’J2 = O’I2 = R2 R 2  O’J = 2. Khi đó MB = 2O’M = 2O’J = R. 0,5.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> 2. 5 (1đ). Tìm x,y nguyên 0,5 dương thỏa mãn: 2xy + x +y = 83  4 xy  2 x  2 y  1 167  (2 x  1)(2 y  1) 167 Do x,y nguyên dương. 0,5.  (2 x  1);(2 y  1)  Z  (2 x  1);(2 y  1) . Ư(167) Lập bảng tìm được (x,y)=(0;83); (83;0)..

<span class='text_page_counter'>(8)</span>